Uvod. Obrada rezultata mjerenja u fizičkoj praksi Mjerenja i greške mjerenja Analiza rezultata direktnih mjerenja

Slučajne greške imaju sljedeća svojstva.

Uz veliki broj mjerenja, jednako često se javljaju greške iste veličine, ali suprotnog predznaka.

Manje je vjerovatno da će se pojaviti velike greške nego male. Iz relacija (1), prepisujući ih u obliku

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

i zbrajanjem u koloni, možete odrediti pravu vrijednost izmjerene vrijednosti na sljedeći način:

ili
.

(2)

one. prava vrijednost mjerene veličine jednaka je aritmetičkoj sredini rezultata mjerenja, ako ih ima beskonačan broj. Uz ograničen, a još više uz mali broj mjerenja, kojima se u praksi obično bavimo, jednakost (2) je približna.

Neka se kao rezultat nekoliko mjerenja dobiju sljedeće vrijednosti mjerene veličine X: 13,4; 13.2; 13.3; 13.4; 13.3; 13.2; 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1. Napravimo dijagram distribucije ovih rezultata, crtajući očitanja instrumenta duž ose apscise u rastućem redoslijedu. Udaljenosti između susjednih tačaka duž ose apscise jednake su dvostrukoj maksimalnoj grešci očitavanja na instrumentu. U našem slučaju, odbrojavanje je napravljeno do 0,1. Ovo je jednako jednoj podjeli skale označene na x-osi. Na ordinatnoj osi iscrtavamo vrijednosti proporcionalne relativnom broju rezultata koji odgovaraju određenom očitanju uređaja. Relativni broj, ili relativna učestalost rezultata jednaka x k, biće označen sa W(x k). U našem slučaju

Svakom x dodjeljujemo

(3)

gdje je A koeficijent proporcionalnosti.

Dijagram, koji se naziva histogram, razlikuje se od uobičajenog grafikona po tome što tačke nisu povezane glatkom zakrivljenom linijom, već se kroz njih povlače koraci. Očigledno je da je površina koraka preko neke vrijednosti x k proporcionalna relativnoj učestalosti pojavljivanja ovog rezultata. Odabirom koeficijenta proporcionalnosti u izrazu (3) na odgovarajući način, ovo područje se može učiniti jednakom relativnoj frekvenciji rezultata x k. Tada je zbir površina svih koraka, kao zbir relativnih frekvencija svih rezultati, treba da budu jednaki jedan

Odavde nalazimo A=10. Uvjet (4) se naziva uvjetom normalizacije funkcije (3).

Ako napravite seriju mjerenja sa n mjerenja u svakoj seriji, onda sa malim n relativne frekvencije iste vrijednosti x k pronađene iz različitih serija mogu se značajno razlikovati jedna od druge. Kako se broj mjerenja u seriji povećava, fluktuacije vrijednosti W(x k) se smanjuju i ove vrijednosti se približavaju određenom konstantnom broju, koji se naziva vjerovatnoća rezultata x k i označava se sa P (x k ).

Pretpostavimo da, dok pravimo eksperiment, rezultat ne računamo na cijele podjele skale ili njihove udjele, ali možemo fiksirati tačku gdje se strelica zaustavila. Zatim, za beskonačno veliki broj mjerenja, strelica će posjetiti svaku tačku na skali. Distribucija rezultata mjerenja u ovom slučaju poprima kontinuirani karakter i opisuje se kontinuiranom krivom y=f(x) umjesto stepenastim histogramom. Na osnovu svojstava slučajnih grešaka može se zaključiti da kriva mora biti simetrična i da stoga njen maksimum pada na aritmetičku sredinu rezultata mjerenja, koja je jednaka pravoj vrijednosti mjerene veličine. U slučaju kontinuirane distribucije rezultata mjerenja, nema

ima smisla govoriti o vjerovatnoći bilo koje njihove vrijednosti, jer postoje vrijednosti proizvoljno bliske onoj koja se razmatra. Sada bi već trebalo da postavimo pitanje verovatnoće da se tokom merenja nađe rezultat u određenom intervalu oko vrednosti x k, jednakog
,
. Baš kao što je na histogramu relativna frekvencija rezultata x do jednaka površini koraka izgrađenog preko ovog rezultata, na grafu za kontinuiranu distribuciju vjerovatnoća pronalaženja rezultata u intervalu (
,
) jednaka je površini krivolinijskog trapeza konstruisanog na ovom intervalu i ograničenog krivom f(x). Matematička notacija ovog rezultata je

ako
malo, tj. površina šrafiranog krivolinijskog trapeza zamjenjuje se približnom površinom pravokutnika s istom osnovom i visinom jednakom f(xk). Funkcija f(x) naziva se gustinom vjerovatnoće distribucije rezultata mjerenja. Vjerovatnoća pronalaženja x u nekom intervalu jednaka je gustini vjerovatnoće za dati interval pomnoženoj njegovom dužinom.

Krivulja raspodjele rezultata mjerenja dobijenih eksperimentalno za određeni dio skale instrumenta, ako se nastavi, asimptotski aproksimirajući os apscise s lijeve i desne strane, analitički je dobro opisana funkcijom oblika

(5)

Kao što je ukupna površina svih koraka na histogramu bila jednaka jedinici, čitava površina između krivulje f (x) i ose apscise, što ima značenje vjerovatnoće ispunjenja barem neke vrijednosti od x tokom mjerenja, također je jednaka jedan. Raspodjela opisana ovom funkcijom naziva se normalna distribucija. Glavni parametar normalne distribucije je varijansa  2 . Približna vrijednost disperzije može se naći iz rezultata mjerenja pomoću formule

(6)

Ova formula daje disperziju blisku realnoj vrijednosti samo za veliki broj mjerenja. Na primjer, σ 2 pronađen na osnovu rezultata 100 mjerenja može imati odstupanje od stvarne vrijednosti od 15%, pronađeno iz 10 mjerenja već 40%. Varijanca određuje oblik krive normalne distribucije. Kada su slučajne greške male, disperzija je, kao što slijedi iz (6), mala. Kriva f(x) je u ovom slučaju uža i oštrija blizu prave vrijednosti X i teži nuli brže kada se udaljava od nje nego kod velikih grešaka. Sljedeća slika će pokazati kako se oblik krive f(x) za normalnu distribuciju mijenja ovisno o σ.

U teoriji vjerojatnosti dokazano je da ako ne uzmemo u obzir distribuciju rezultata mjerenja, već distribuciju srednjih aritmetičkih vrijednosti pronađenih iz serije od n mjerenja u svakoj seriji, onda se i ona pridržava normalnog zakona, ali s disperzijom to je n puta manje.

Vjerovatnoća pronalaženja rezultata mjerenja u određenom intervalu (
) blizu prave vrijednosti izmjerene vrijednosti jednaka je površini krivolinijskog trapeza izgrađenog na ovom intervalu i ograničenog odozgo krivom f(x). Vrijednost intervala
obično se mjeri u jedinicama proporcionalnim kvadratnom korijenu varijanse
Ovisno o vrijednosti k po intervalu
postoji krivolinijski trapez veće ili manje površine, tj.

gdje je F(k) neka funkcija od k. Proračuni pokazuju da za

k=1,

k=2,

k=3,

Ovo pokazuje da je u intervalu
čini približno 95% površine ispod krive f(x). Ova činjenica je u potpunoj saglasnosti sa drugim svojstvom slučajnih grešaka, koje kaže da su velike greške malo verovatne. Greške veće od
, javlja se sa vjerovatnoćom manjom od 5%. Izraz (7) prepisan za distribuciju aritmetičke sredine od n mjerenja ima oblik

(8)

Vrijednost u (7) i (8) može se odrediti na osnovu rezultata mjerenja samo približno po formuli (6)

Zamjena ove vrijednosti u izraz (8), desno ćemo dobiti ne F (k), već neku novu funkciju, koja ne zavisi samo od veličine razmatranog intervala vrednosti X, već i od broja izvršenih merenja
I

jer samo za veoma veliki broj merenja formula (6) postaje dovoljno tačna.

Nakon što smo riješili sistem dvije nejednačine u zagradama na lijevoj strani ovog izraza u odnosu na pravu vrijednost X, možemo ga prepisati u obliku

Izraz (9) određuje vjerovatnoću sa kojom je prava vrijednost X u određenom intervalu dužine o vrijednosti . Ova vjerovatnoća u teoriji grešaka naziva se pouzdanost, a interval koji joj odgovara za pravu vrijednost naziva se interval povjerenja. Funkcija
izračunato u zavisnosti od t n i n i za to je sastavljena detaljna tabela. Tabela ima 2 ulaza: pt n i n. Uz njegovu pomoć, za dati broj mjerenja n, moguće je, za određenu vrijednost pouzdanosti R, pronaći vrijednost t n , nazvanu Studentov koeficijent.

Analiza tabele pokazuje da se za određeni broj mjerenja uz zahtjev povećanja pouzdanosti dobijaju rastuće vrijednosti t n , tj. povećanje intervala pouzdanosti. Pouzdanost jednaka jedan bi odgovarala intervalu povjerenja jednakom beskonačnosti. Uz određenu pouzdanost, možemo suziti interval povjerenja za pravu vrijednost povećanjem broja mjerenja, jer se S n ne mijenja mnogo, a smanjuje se i smanjenjem brojnika i povećanjem nazivnika. Nakon što je napravljen dovoljan broj eksperimenata, moguće je napraviti interval povjerenja bilo koje male vrijednosti. Ali za veliko n, daljnje povećanje broja eksperimenata vrlo sporo smanjuje interval povjerenja, a količina računskog rada se znatno povećava. Ponekad je u praktičnom radu zgodno koristiti približno pravilo: da bi se interval pouzdanosti koji se nalazi iz malog broja mjerenja smanjio za nekoliko puta, potrebno je povećati broj mjerenja za isti faktor.

PRIMJER OBRADE DIREKTNIH REZULTATA MJERENJA

Uzmimo kao eksperimentalne podatke prva tri rezultata od 12, prema kojima je izgrađen histogram X: 13,4; 13.2; 13.3.

Zapitajmo se pouzdanost, koja je inače prihvaćena u obrazovnoj laboratoriji, P = 95%. Iz tabele za P = 0,95 i n = 3 nalazimo t n = 4,3.

ili

sa 95% pouzdanosti. Posljednji rezultat se obično piše kao jednakost

Ako interval pouzdanosti takve vrijednosti ne odgovara (na primjer, u slučaju kada je instrumentalna greška 0,1), a želimo da ga prepolovimo, treba udvostručiti broj mjerenja.

Ako uzmemo, na primjer, zadnjih 6 vrijednosti ​​​od istih 12 rezultata (za prvih šest predlaže se da sami izračunate)

X: 13,1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1,

onda

Vrijednost koeficijenta t n nalazi se iz tabele za R = 0,95 i n = 6; tn = 2,6.

U ovom slučaju
Iscrtajmo interval pouzdanosti za pravu vrijednost u prvom i drugom slučaju na numeričkoj osi.

Interval izračunat iz 6 mjerenja je, kako se i očekivalo, unutar intervala pronađenog iz tri mjerenja.

Instrumentalna greška unosi sistematsku grešku u rezultate, što proširuje intervale povjerenja prikazane na osi za 0,1. Dakle, rezultati napisani uzimajući u obzir instrumentalnu grešku imaju oblik

1)
2)

U opštem slučaju, postupak obrade rezultata direktnih merenja je sledeći (pretpostavlja se da nema sistematskih grešaka).

Slučaj 1 Broj mjerenja je manji od pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječan rezultat x, definisan kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Prema formuli (12) izračunavaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

.

3) Prema formuli (14) utvrđuje se prosječna apsolutna greška

.

4) Prema formuli (15) izračunava se prosječna relativna greška rezultata mjerenja

.

5) Zabilježite konačni rezultat u sljedećem obliku:

, at
.

Slučaj 2. Broj mjerenja je preko pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječan rezultat

.

2) Prema formuli (12) određuju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

.

3) Prema formuli (7) izračunava se srednja kvadratna greška jednog mjerenja

.

4) Izračunati standardnu ​​devijaciju za prosječnu vrijednost izmjerene vrijednosti po formuli (9).

.

5) Konačan rezultat se bilježi u sljedećem obliku

.

Ponekad se slučajne greške mjerenja mogu pokazati manjim od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U ovom slučaju, za bilo koji broj mjerenja, dobije se isti rezultat. U takvim slučajevima, kao prosječna apsolutna greška
uzeti polovinu skale instrumenta (alata). Ova vrijednost se ponekad naziva granična ili instrumentalna greška i označava
(za instrumente sa noniusom i štopericu
jednaka tačnosti instrumenta).

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine je uvijek ograničen iz ovog ili onog razloga. Due sa ovo može biti zadatak procjene pouzdanosti rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerovatnoćom se može tvrditi da greška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ova vjerovatnoća se naziva vjerovatnoća povjerenja. Označimo to slovom.

Može se postaviti i inverzni problem: odrediti granice intervala
tako da sa datom vjerovatnoćom moglo bi se tvrditi da je prava vrijednost mjerenja količine neće ići dalje od navedenog, takozvanog intervala povjerenja.

Interval pouzdanosti karakterizira tačnost dobivenog rezultata, a interval povjerenja njegovu pouzdanost. Metode za rješavanje ove dvije grupe problema su dostupne i posebno su razvijene za slučaj kada su greške mjerenja raspoređene po normalnom zakonu. Teorija vjerovatnoće također pruža metode za određivanje broja eksperimenata (ponovljenih mjerenja) koji obezbjeđuju datu tačnost i pouzdanost očekivanog rezultata. U ovom radu ove metode se ne razmatraju (ograničićemo se na njihovo pominjanje), jer se takvi zadaci obično ne postavljaju prilikom izvođenja laboratorijskih radova.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj procjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizičkih veličina sa vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer,
. Upravo je to slučaj sa kojim se često susrećemo u izvođenju laboratorijskih radova iz fizike. Prilikom rješavanja ovakve vrste zadataka preporučuje se korištenje metode zasnovane na Studentovoj raspodjeli (zakon).

Radi pogodnosti praktične primjene metode koja se razmatra, postoje tabele pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti
koji odgovara datom nivou pouzdanosti ili riješiti inverzni problem.

U nastavku se nalaze oni dijelovi navedenih tabela koji mogu biti potrebni pri ocjenjivanju rezultata mjerenja u laboratorijskoj nastavi.

Neka, na primjer, proizveden jednaka (pod istim uslovima) mjerenja neke fizičke veličine i izračunao njegovu prosječnu vrijednost . Potrebno je pronaći interval pouzdanosti odgovara datom nivou pouzdanosti . Problem se uglavnom rješava na sljedeći način.

Prema formuli, uzimajući u obzir (7), izračunajte

Zatim za date vrijednosti n i prema tabeli (Tabela 2) pronađite vrijednost . Vrijednost koju tražite izračunava se na osnovu formule

(16)

Prilikom rješavanja inverznog problema, parametar se prvo izračunava pomoću formule (16). Željena vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti uzima se iz tabele (Tabela 3) za dati broj i izračunati parametar .

Tabela 2. Vrijednost parametra za dati broj eksperimenata

i nivo samopouzdanja

Tabela 3 Vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti za dati broj eksperimenata n i parametar ε

Glavne odredbe metoda za obradu rezultata direktnih mjerenja sa višestrukim opservacijama definirane su u GOST 8.207-76.

Uzmite kao rezultat mjerenja prosjek podaci n zapažanja, iz kojih su isključene sistematske greške. Pretpostavlja se da rezultati opservacija nakon isključenja sistematskih grešaka iz njih pripadaju normalnoj raspodjeli. Za izračunavanje rezultata mjerenja potrebno je isključiti sistematsku grešku iz svakog opažanja i kao rezultat dobiti ispravljeni rezultat i-to zapažanje. Zatim se izračunava aritmetička sredina ovih korigovanih rezultata i uzima kao rezultat merenja. Aritmetička sredina je konzistentna, nepristrasna i efikasna procjena mjerne veličine pod normalnom distribucijom podataka opservacije.

Treba napomenuti da se ponekad u literaturi umjesto termina rezultat posmatranja termin se ponekad koristi jedan rezultat mjerenja, iz čega su isključene sistematske greške. Istovremeno, srednja aritmetička vrijednost se podrazumijeva kao rezultat mjerenja u ovoj seriji od nekoliko mjerenja. Ovo ne mijenja suštinu dolje prikazanih postupaka obrade rezultata.

Prilikom statističke obrade grupa rezultata posmatranja potrebno je izvršiti sljedeće: operacije :

1. Uklonite poznatu sistematsku grešku iz svakog posmatranja i dobijete ispravljeni rezultat pojedinačnog posmatranja x.

2. Izračunajte aritmetičku sredinu korigovanih rezultata posmatranja, uzetih kao rezultat merenja:

3. Izračunajte procjenu standardne devijacije

posmatračke grupe:

Provjera dostupnosti grube greške – postoje li vrijednosti koje prelaze ±3 S. Uz normalan zakon distribucije s vjerovatnoćom praktički jednakom 1 (0,997), nijedna od vrijednosti ove razlike ne bi trebala ići izvan navedenih granica. Ako jesu, tada odgovarajuće vrijednosti treba isključiti iz razmatranja, a proračune i evaluaciju treba ponoviti ponovo. S.

4. Izračunajte RMS procjenu rezultata mjerenja (prosjek

aritmetika)

5. Testirajte hipotezu o normalnoj distribuciji rezultata posmatranja.

Postoje različite približne metode za provjeru normalnosti distribucije rezultata opservacije. Neki od njih su dati u GOST 8.207-76. Ako je broj zapažanja manji od 15, u skladu s ovim GOST-om, njihova pripadnost normalnoj distribuciji se ne provjerava. Granice pouzdanosti slučajne greške određuju se samo ako je unaprijed poznato da rezultati promatranja pripadaju ovoj raspodjeli. Približno, o prirodi distribucije može se suditi konstruisanjem histograma rezultata posmatranja. Matematičke metode za provjeru normalnosti distribucije razmatraju se u stručnoj literaturi.

6. Izračunajte granice pouzdanosti e slučajne greške (slučajne komponente greške) rezultata mjerenja

gdje t q- Studentov koeficijent, u zavisnosti od broja zapažanja i nivoa pouzdanosti. Na primjer, kada n= 14, P= 0,95 t q= 2,16. Vrijednosti ovog koeficijenta date su u prilogu navedenog standarda.

7. Izračunajte granice ukupne neisključene sistematske greške (TSE) rezultata mjerenja Q (prema formulama u Odjeljku 4.6).

8. Analizirajte omjer Q i :

Ako je , tada je NSP zanemaren u poređenju sa slučajnim greškama, a granica greške rezultata D=e.. Ako je > 8, onda se slučajna greška može zanemariti i granica greške rezultata D=Θ . Ako obje nejednakosti nisu zadovoljene, onda se granica greške rezultata nalazi konstruiranjem kompozicije distribucija slučajnih grešaka i NSP prema formuli: , gdje je To– koeficijent u zavisnosti od odnosa slučajne greške i NSP; S e- procjena ukupne standardne devijacije rezultata mjerenja. Procjena ukupne standardne devijacije se izračunava po formuli:

.

Koeficijent K se izračunava po empirijskoj formuli:

.

Nivo pouzdanosti za izračunavanje i mora biti isti.

Greška od primjene posljednje formule za sastav uniformne (za NSP) i normalne (za slučajnu grešku) distribucije dostiže 12% uz nivo pouzdanosti od 0,99.

9. Zabilježite rezultat mjerenja. Postoje dvije opcije za upis rezultata mjerenja, jer je potrebno razlikovati mjerenja, kod kojih je krajnji cilj dobijanje vrijednosti mjerene veličine, i mjerenja čiji će se rezultati koristiti za dalje proračune ili analizu.

U prvom slučaju dovoljno je znati ukupnu grešku rezultata mjerenja, a uz simetričnu grešku povjerenja, rezultati mjerenja se prikazuju u obliku: , gdje je

gdje je rezultat mjerenja.

U drugom slučaju treba znati karakteristike komponenti greške mjerenja - procjenu standardne devijacije rezultata mjerenja, granice NSP-a, broj izvršenih opservacija. U nedostatku podataka o obliku funkcija distribucije komponenti greške rezultata i potrebe za daljom obradom rezultata ili analizom grešaka, rezultati mjerenja se prikazuju u obliku:

Ako su granice NSP-a izračunate u skladu sa klauzulom 4.6, tada je dodatno naznačena verovatnoća pouzdanosti P.

Procjene i derivati ​​njihove vrijednosti mogu se izraziti kako u apsolutnom obliku, odnosno u jedinicama mjerene veličine, tako iu relativnom, odnosno kao omjer apsolutne vrijednosti date veličine i rezultata mjerenja. U ovom slučaju, proračune prema formulama iz ovog odjeljka treba izvršiti koristeći količine izražene samo u apsolutnom ili relativnom obliku.

Fizika je eksperimentalna nauka, što znači da se zakoni fizike uspostavljaju i testiraju akumuliranjem i poređenjem eksperimentalnih podataka. Cilj fizikalne radionice je da učenici iskuse osnovne fizičke pojave, nauče kako pravilno mjere numeričke vrijednosti fizičkih veličina i uporede ih sa teorijskim formulama.

Sva mjerenja se mogu podijeliti u dvije vrste - ravno i indirektno.

At direktno Kod mjerenja, vrijednost željene veličine se direktno dobija iz očitavanja mjernog instrumenta. Tako se, na primjer, dužina mjeri ravnalom, vrijeme satom itd.

Ako se željena fizička veličina ne može direktno izmjeriti uređajem, već se izražava kroz formulu kroz mjerene veličine, tada se takva mjerenja nazivaju indirektno.

Mjerenje bilo koje količine ne daje apsolutno tačnu vrijednost ove količine. Svako mjerenje uvijek sadrži neku grešku (grešku). Greška je razlika između izmjerene i stvarne vrijednosti.

Greške se dijele na sistematično i nasumično.

Sistematično se naziva greška koja ostaje konstantna tokom čitave serije merenja. Takve greške nastaju zbog nesavršenosti mjernog alata (na primjer, nulte pomake uređaja) ili metode mjerenja i mogu se, u principu, isključiti iz konačnog rezultata uvođenjem odgovarajuće korekcije.

U sistemske greške spada i greška mjernih instrumenata. Točnost bilo kojeg uređaja je ograničena i karakterizira je njegova klasa tačnosti, koja je obično naznačena na mjernoj skali.

Slučajno naziva greška, koja varira u različitim eksperimentima i može biti i pozitivna i negativna. Slučajne greške nastaju zbog uzroka koji zavise kako od mjernog uređaja (trenje, praznine, itd.) tako i od vanjskih uvjeta (vibracije, fluktuacije napona u mreži itd.).

Slučajne greške se ne mogu empirijski isključiti, ali se njihov uticaj na rezultat može smanjiti ponovljenim merenjima.

Proračun greške u direktnim mjerenjima, prosječne vrijednosti i prosječne apsolutne greške.

Pretpostavimo da radimo seriju mjerenja X. Zbog prisustva slučajnih grešaka, dobijamo n različita značenja:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Kao rezultat mjerenja obično se uzima prosječna vrijednost

Razlika između srednje vrijednosti i rezultata ja- ovo mjerenje naziva se apsolutna greška ovog mjerenja

Kao mjera greške srednje vrijednosti može se uzeti srednja vrijednost apsolutne greške jednog mjerenja

(2)

Vrijednost
naziva se aritmetička sredina (ili apsolutna srednja) greška.

Zatim rezultat mjerenja treba upisati u obrazac

(3)

Za karakterizaciju tačnosti mjerenja koristi se relativna greška, koja se obično izražava u postocima

(4)

U opštem slučaju, postupak obrade rezultata direktnih merenja je sledeći (pretpostavlja se da nema sistematskih grešaka).

Slučaj 1 Broj mjerenja je manji od pet.

x, definisan kao aritmetička sredina rezultata svih mjerenja, tj.

2) Prema formuli (12) izračunavaju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Prema formuli (14) utvrđuje se prosječna apsolutna greška

.

4) Prema formuli (15) izračunava se prosječna relativna greška rezultata mjerenja

5) Zabilježite konačni rezultat u sljedećem obliku:

Slučaj 2. Broj mjerenja je preko pet.

1) Prema formuli (6) nalazi se prosječan rezultat

2) Prema formuli (12) određuju se apsolutne greške pojedinačnih mjerenja

3) Prema formuli (7) izračunava se srednja kvadratna greška jednog mjerenja

.

4) Izračunati standardnu ​​devijaciju za prosječnu vrijednost izmjerene vrijednosti po formuli (9).

5) Konačan rezultat se bilježi u sljedećem obliku

Ponekad se slučajne greške mjerenja mogu pokazati manjim od vrijednosti koju mjerni uređaj (instrument) može registrirati. U ovom slučaju, za bilo koji broj mjerenja, dobije se isti rezultat. U takvim slučajevima se kao prosječna apsolutna greška uzima polovina podjele skale instrumenta (instrumenta). Ova vrijednost se ponekad naziva granična ili instrumentalna greška i označava (za instrumente s noniusom i štopericu, jednaka je preciznosti instrumenta).

Procjena pouzdanosti rezultata mjerenja

U svakom eksperimentu, broj mjerenja fizičke veličine je uvijek ograničen iz ovog ili onog razloga. U tom smislu, može se postaviti zadatak da se proceni pouzdanost rezultata. Drugim riječima, odredite s kojom vjerovatnoćom se može tvrditi da greška napravljena u ovom slučaju ne prelazi unaprijed određenu vrijednost ε. Ova vjerovatnoća se naziva vjerovatnoća povjerenja. Označimo to slovom.

Može se postaviti i inverzni problem: odrediti granice intervala, tako da se sa datom vjerovatnoćom može tvrditi da prava vrijednost mjerenja veličine neće ići dalje od navedenog, takozvanog intervala povjerenja.

Interval pouzdanosti karakterizira tačnost dobivenog rezultata, a interval povjerenja njegovu pouzdanost. Metode za rješavanje ove dvije grupe problema su dostupne i posebno su razvijene za slučaj kada su greške mjerenja raspoređene po normalnom zakonu. Teorija vjerovatnoće također pruža metode za određivanje broja eksperimenata (ponovljenih mjerenja) koji obezbjeđuju datu tačnost i pouzdanost očekivanog rezultata. U ovom radu ove metode se ne razmatraju (ograničićemo se na njihovo pominjanje), jer se takvi zadaci obično ne postavljaju prilikom izvođenja laboratorijskih radova.

Od posebnog je interesa, međutim, slučaj procjene pouzdanosti rezultata mjerenja fizičkih veličina sa vrlo malim brojem ponovljenih mjerenja. Na primjer, . Upravo je to slučaj sa kojim se često susrećemo u izvođenju laboratorijskih radova iz fizike. Prilikom rješavanja ovakve vrste zadataka preporučuje se korištenje metode zasnovane na Studentovoj raspodjeli (zakon).

Radi pogodnosti praktične primjene metode koja se razmatra, postoje tabele pomoću kojih možete odrediti interval pouzdanosti koji odgovara datoj vjerovatnoći pouzdanosti ili riješiti inverzni problem.

U nastavku se nalaze oni dijelovi navedenih tabela koji mogu biti potrebni pri ocjenjivanju rezultata mjerenja u laboratorijskoj nastavi.

Neka se, na primjer, izvrše jednako tačna (pod istim uslovima) mjerenja određene fizičke veličine i izračuna se njena prosječna vrijednost. Potrebno je pronaći interval pouzdanosti koji odgovara datom nivou pouzdanosti. Problem se uglavnom rješava na sljedeći način.

Prema formuli, uzimajući u obzir (7), izračunajte

Zatim za date vrijednosti n i pronađite vrijednost prema tabeli (Tabela 2). Vrijednost koju tražite izračunava se na osnovu formule

Prilikom rješavanja inverznog problema parametar se prvo izračunava po formuli (16). Željena vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti uzima se iz tabele (Tabela 3) za dati broj i izračunati parametar.

Tabela 2. Vrijednost parametra za dati broj eksperimenata

i nivo samopouzdanja

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Tabela 3 Vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti za dati broj eksperimenata n i parametar ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
b	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Obrada rezultata indirektnih mjerenja

Vrlo rijetko se sadržaj laboratorijskog rada ili naučnog eksperimenta svodi na dobijanje rezultata direktnog mjerenja. Uglavnom, željena količina je funkcija nekoliko drugih veličina.

Zadatak obrade eksperimenata sa indirektnim mjerenjima je izračunavanje najvjerovatnije vrijednosti željene vrijednosti i procjena greške indirektnih mjerenja na osnovu rezultata direktnih mjerenja određenih veličina (argumenata) povezanih sa željenom vrijednošću određenom funkcionalnom zavisnošću.

Postoji nekoliko načina za rukovanje indirektnim mjerenjima. Razmotrite sljedeće dvije metode.

Neka se neka fizička veličina odredi metodom indirektnih mjerenja.

Rezultati direktnih mjerenja njegovih argumenata x, y, z dati su u tabeli. 4.

Tabela 4

Broj iskustva	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Prvi način obrade rezultata je sljedeći. Koristeći izračunatu (17) formulu, željena vrijednost se izračunava na osnovu rezultata svakog eksperimenta

(17)

Opisani način obrade rezultata je u principu primjenjiv u svim slučajevima indirektnih mjerenja bez izuzetka. Međutim, najcelishodnije ga je koristiti kada je broj ponovljenih mjerenja argumenata mali, a formula za izračunavanje indirektno izmjerene vrijednosti relativno jednostavna.

U drugoj metodi obrade rezultata eksperimenata, prvo, koristeći rezultate direktnih mjerenja (Tablica 4), prvo se izračunavaju srednje aritmetičke vrijednosti svakog od argumenata, kao i greške njihovog mjerenja. Zamena , , ,... u proračunsku formulu (17) odrediti najvjerovatniju vrijednost mjerene veličine

(17*)