Kako riješiti jednadžbe koristeći Cramerovu metodu. Cramerova metoda: rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (Slau)

2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine (SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem Cramerovom metodom

U vezi sa varijablama X i at.
Rješenje:
Naći determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
i .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X i at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Uradimo sličnu akciju, zamjenjujući drugi stupac u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda se može koristiti za rješavanje sistema većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , a nemoguće je podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ima ili beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X i at.
Rješenje:
Naći determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). Dakle, ostala je samo jedna jednačina. Ovo je jednačina odnosa između varijabli.
Dobili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jednakošću.
Općenito rješenje je napisano ovako:
Konkretna rješenja se mogu odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove jednačine odnosa.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekonzistentan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Naći determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Ne možete koristiti Cramerove formule. Rešimo ovaj sistem metodom supstitucije

Druga jednadžba sistema je jednakost koja ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednačina sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja

U prvom dijelu pogledali smo neke teorijski materijal, metoda zamjene i metoda sabiranja sistemskih jednačina po članu. Svima koji su došli na stranicu preko ove stranice, preporučujem da pročitate prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti previše jednostavan, ali u toku rješavanja sistema linearne jednačine napravio sam mnogo važne napomene i zaključke u vezi sa odlukom matematički problemi općenito.

A sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješenje sistema linearnih jednačina koristeći inverzna matrica(matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno, gotovo svi čitaoci će moći naučiti kako rješavati sisteme koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo detaljno razmotriti Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Zašto? - Nakon svega najjednostavniji sistem može se riješiti školska metoda, pojam po termin!

Činjenica je da čak i ako ponekad, ali postoji takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako da više koristite Cramerovo pravilo težak slučaj– sistemi od tri jednačine sa tri nepoznate.

Osim toga, postoje sistemi linearnih jednačina sa dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati tačno po Cramerovom pravilu!

Razmotrimo sistem jednačina

U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.

Gaussova metoda.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još dvije determinante:
i

U praksi se i gore navedene odrednice mogu označiti latinično pismo.

Korijeni jednadžbe se nalaze po formulama:
,

Primjer 7

Riješiti sistem linearnih jednačina

Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki, na desnoj strani su decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost praktični zadaci u matematici, ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete sigurno dobiti strašne fensi razlomke, s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali ovdje će se pojaviti isti razlomci.

šta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.

;

;

Odgovori: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava prema gotovim formulama, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezna Fragment zadatka je sljedeći fragment: "tako da sistem ima jedinstveno rješenje". U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.

Neće biti suvišno provjeriti, što je zgodno provesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevoj strani svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, s malom greškom, trebali bi se dobiti brojevi koji se nalaze na desnoj strani.

Primjer 8

Izrazite svoj odgovor na uobičajen način nepravilni razlomci. Provjeri.

Ovo je primjer za nezavisna odluka(primjer završetka i odgovor na kraju lekcije).

Prelazimo na razmatranje Cramerovog pravila za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

Pronalazimo glavnu determinantu sistema:

Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I konačno, odgovor se izračunava po formulama:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" se suštinski ne razlikuje od slučaja "dva po dva", kolona slobodnih pojmova uzastopno "šeta" s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule.

, tako da sistem ima jedinstveno rješenje.

Odgovori: .

Zapravo, tu se opet nema šta posebno komentarisati, s obzirom na to da se odluka donosi po gotovim formulama. Ali postoji nekoliko napomena.

Dešava se da se kao rezultat izračunavanja dobiju „loši“ nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nema kompjutera pri ruci, radimo ovo:

1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na „loš” pogodak, morate odmah provjeriti da li da li je uslov ispravno napisan. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).

2) Ako kao rezultat provjere nisu pronađene greške, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u stanju zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO riješite zadatak do kraja, a zatim provjerite i sačiniti ga na čistoj kopiji nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji, eto, zaista voli da stavi minus za bilo kakvu lošu stvar. Kako postupati sa razlomcima detaljno je opisano u odgovoru za primjer 8.

Ako imate računar pri ruci, onda ga provjerite pomoću automatiziranog programa koji se može besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najpovoljnije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja), odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema matrična metoda.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer:

Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju umjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama u redu (koloni) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje izračunavanja.

Primjer 10

Riješite sistem koristeći Cramerove formule.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (završavanje uzorka i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Možete vidjeti živi primjer u lekciji Determinant Properties. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.

Rješenje sistema pomoću inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučili ovaj dio, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu matricu i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti date kako objašnjenje bude napredovalo.

Primjer 11

Riješite sistem matričnim metodom

Rješenje: Sistem zapisujemo u matričnom obliku:
, gdje

Molimo pogledajte sistem jednačina i matrice. Po kom principu upisujemo elemente u matrice, mislim da je svima jasno. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti stavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu nalazimo po formuli:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .

Prvo, pozabavimo se determinantom:

Ovdje je determinanta proširena za prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava eliminacijom nepoznatih (Gaussova metoda).

Sada trebate izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj linije u kojoj se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

Odnosno, dvostruki indeks označava da je element u prvom redu, trećem stupcu, dok je, na primjer, element u 3. redu, 2. koloni

Uz broj jednačina isti kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i ono je samo jedno).

Cramerova teorema.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, tada je sistem kompatibilan i ima jedno rešenje i može se naći po Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta sistemske matrice,

Δ i- determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto i kolona je kolona desnih dijelova.

Kada je determinanta sistema nula, onda sistem može postati konzistentan ili nekonzistentan.

Ova metoda se obično koristi za male sisteme sa proračunima zapremine i kada je potrebno odrediti 1 od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnogo determinanti.

Opis Cramerove metode.

Postoji sistem jednačina:

Sistem od 3 jednačine se može riješiti Cramerovom metodom, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.

Determinantu sastavljamo iz koeficijenata nepoznatih:

Ovo će kvalifikator sistema. Kada D≠0, tako da je sistem konzistentan. Sada ćemo sastaviti 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rješavamo po Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sistema jednačina Cramerovom metodom.

Primjer 1.

Dati sistem:

Rešimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu matrice sistema:

Jer Δ≠0, dakle, iz Cramerove teoreme, sistem je kompatibilan i ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. Dobijamo:

Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante matrice sistema, zamenjujući drugu kolonu sa kolonom slobodnih koeficijenata:

Metode Kramer i Gaussian jedno od najpopularnijih rješenja SLAU. Štoviše, u nekim slučajevima je svrsishodno koristiti specifične metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas se bavimo rješenjem po Cramer metodi. Na kraju krajeva, rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom je vrlo korisna vještina.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je sistem jednadžbi oblika:

Postavljena vrijednost x , na kojem se jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sistema, a i b su realni koeficijenti. Jednostavan sistem koji se sastoji od dvije jednačine sa dvije nepoznate može se riješiti mentalno ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. Ali može postojati mnogo više od dvije varijable (x) u SLAE, a jednostavne školske manipulacije su ovdje neophodne. šta da radim? Na primjer, riješite SLAE Cramerovom metodom!

Pa neka bude sistem n jednačine sa n nepoznato.

Takav sistem se može prepisati kao matrični oblik

Evo A je glavna matrica sistema, X i B , odnosno matrice kolona nepoznatih varijabli i slobodnih članova.

SLAE rješenje po Cramerovoj metodi

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica je nesingularna), sistem se može riješiti korištenjem Cramerove metode.

Prema Cramer metodi, rješenje se nalazi po formulama:

Evo delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti - determinanta dobijena iz determinante glavne matrice zamjenom n-te kolone sa kolonom slobodnih članova.

Ovo je cela poenta Cramerove metode. Zamjena vrijednosti pronađenih gore navedenim formulama x u željeni sistem, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Da biste lakše shvatili poentu, evo primjera. detaljno rješenje SLAE po Cramerovoj metodi:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete pucati SLOW kao orasi. Štaviše, sada apsolutno nije potrebno prevrtati bilježnicu, rješavajući glomazne proračune i pisati na štapu. Lako je riješiti SLAE Cramer metodom online, samo zamjenom koeficijenata u gotov oblik. isprobaj online kalkulator rješenja po Cramer metodi mogu se, na primjer, naći na ovoj stranici.

A ako se sistem pokazao tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer, za. Ako u sistemu postoji najmanje 100 nepoznatih, mi ćemo to sigurno riješiti ispravno i na vrijeme!

Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. ima oblik

Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta sastavljena od koeficijenata na nezavisnom sistemske varijable(1.5) naziva se glavna determinanta sistema. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako je u glavnoj odrednici proizvoljan ( j th) stupac, zamijenimo ga kolonom slobodnih članova sistema (1.5), onda možemo dobiti više n pomoćne odrednice:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, onda sistem takođe ima jedinstveno rešenje, koje se može naći po formulama:

(1.8)

Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

.

Izračunajmo glavnu determinantu sistema:

Od D¹0 sistem ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Na ovaj način,

Matrične akcije

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Sabiranje matrice.

Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice ALI odgovara broju redova matrice AT, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice ALI dimenzije m´ n na matricu AT dimenzije n´ k dobijamo matricu OD dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice OD izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB i BA:

Rješenje. 1) Da nađem posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Umetničko delo BA ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednačina na matrični način

Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom ALI ako vrijedi jednakost:

gde kroz I označeno matrica identiteta isti red kao i matrica ALI:

.

To kvadratna matrica ima inverz ako i samo ako je njegova determinanta različita od nule. Inverzna matrica se nalazi po formuli:

, (1.13)

gdje A ij - algebarski dodaci elementima aij matrice ALI(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice ALI raspoređeni su u inverznu matricu u obliku odgovarajućih kolona).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu nalazimo po formuli (1.13), što je za slučaj n= 3 izgleda ovako:

.

Hajde da nađemo det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice drugačija od nule, onda postoji inverzna matrica.

1) Pronađite algebarske sabirke A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzne matrice, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.

Od dobijenih algebarskih sabiraka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako ćemo dobiti inverznu matricu:

Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi sa glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Za ovo je sistem (1.5) zapisan u matričnom obliku:

gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) na lijevoj strani sa A- 1, dobijamo rješenje sistema:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavnoj matrici sistema i pomnožiti je s desne strane matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina

koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Sistem zapisujemo u matričnom obliku: ,

gdje je glavna matrica sistema, je kolona nepoznatih, i kolona slobodnih termina. Pošto je glavna odrednica sistema , zatim glavna matrica sistema ALI ima inverznu matricu ALI-jedan. Da pronađemo inverznu matricu ALI-1, izračunajte algebarske komplemente svim elementima matrice ALI:

Od dobijenih brojeva sastavljamo matricu (štaviše, algebarski dodaci redovima matrice ALI upišite u odgovarajuće kolone) i podijelite ga determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sistema nalazimo po formuli (1.15):

Na ovaj način,

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi običnim Jordanovim izuzecima

Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). AT opšti slučaj sistem (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.

U rješavanju ovakvih problema, dobro poznati školski kurs metoda eliminacije nepoznatih, koja se naziva i metoda običnih Jordanovih eliminacija. esencija ovu metodu je da je u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražena u terminima drugih varijabli. Zatim se ova varijabla zamjenjuje u druge jednačine sistema. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu manju varijablu od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. U procesu eliminacije nepoznanica, neke jednačine se mogu pretvoriti u prave identitete, na primjer. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer vrijede za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednačina postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer, ), tada zaključujemo da sistem nema rješenja.

Ako u toku rješavanja nekonzistentnih jednačina nije nastalo, onda se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednačine. Ako u posljednjoj jednačini ostane samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Zatim tzv obrnuti hod". Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.

Kao rezultat dobijamo rešenje sistema. Ovo rješenjeće biti jedinstven ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim sve ostale ovise o parametrima, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje omogućavaju pronalaženje rješenja za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednačine i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini, dolazimo do sistema:

Express y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:

Zapamtite drugu jednačinu, a iz prve nalazimo z:

Praveći obrnuti potez, sukcesivno nalazimo y i z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu , iz koje nalazimo y:

.

Zatim zamjenjujemo i u prvu zapamćenu jednačinu odakle nalazimo x:

Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Zapamtite prvu jednačinu

U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y , dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost nije zadovoljena, ni za jednu vrijednost varijabli x, y, i z. Prema tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenje.

Čitaoci se pozivaju da samostalno provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sistem koji se od sistema (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Zapamtite prvu jednačinu a mi predstavljamo slične članove u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:

izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.

U posljednjoj memorisanoj jednakosti, varijabla zće se smatrati kao parametar. Mi vjerujemo . Onda

Zamena y i z u prvu zapamćenu jednakost i pronađite x:

.

Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan skup rješenja, a bilo koje rješenje se može naći iz formule (1.19) odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18). ).

U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, specificirana metoda običnih jordanskih eliminacija izgleda glomazna. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sistema u jednom koraku u opšti pogled i formalizirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tabela.

Neka je zadan sistem linearnih oblika (jednačina):

, (1.20)
gdje x j- nezavisne (željene) varijable, aij- konstantni koeficijenti
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti i varijable (zavisne) i konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, koja se u daljem tekstu naziva "jedan korak običnih Jordanskih izuzetaka". Od proizvoljnog ( r th) jednakost, izražavamo proizvoljnu varijablu ( x s) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobićemo sledeći sistem:

. (1.21)

Od s jednakosti sistema (1.21), naknadno ćemo pronaći varijablu x s(nakon što se pronađu druge varijable). S Ta linija se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.

Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) u smislu koeficijenata originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable x s kroz ostale varijable će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednačina se izračunava po sljedećim formulama:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljna jednačina. Da bismo to učinili, zamjenjujemo varijablu izraženu u (1.22) x s in i jednačina sistema (1.20):

Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (s izuzetkom r ta jednačina):

(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom običnih jordanskih eliminacija prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se nazivaju "jordanski stolovi".

Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		amn

Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu zaglavnu kolonu u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornju liniju glave u kojoj su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožimo matricu ALI na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda zaglavlja, onda dobijamo matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca zaglavlja. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . U ovom slučaju, sljedeća Jordanova tabela odgovara sistemu (1.21):

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permisivni element a rs označićemo masnim slovima. Podsjetimo da bi se implementirao jedan korak Jordanovih izuzetaka, razrješavajući element mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži permisivni element naziva se permisivni red. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( x s) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog stupca zaglavlja tabele u gornji red zaglavlja.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Element omogućavanja zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi permisivne linije podijeljeni su permisivnim elementom i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi kolone za omogućavanje dijele se na omogućavajući element:

4. Elementi koji nisu uključeni u red za razrješavanje i kolonu za razrješenje se preračunavaju prema formulama:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrsnici i-oh i r-ti redovi i j th and s-te kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi element koji se preračunava). Tačnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći grafikon:

-21 -26 -13 -37

Izvođenje prvog koraka jordanskih izuzetaka, bilo koji element tabele 1.3 koji se nalazi u kolonama x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu jednaki nuli). Ne biste trebali odabrati samo omogućavajući element u posljednjoj koloni, jer potrebno je pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Biramo, na primjer, koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element omogućavanja je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). Istovremeno, varijabla x 3 se izražava u terminima preostalih varijabli.

string x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon prethodnog pamćenja, isključiti iz Tabele 1.4. Tabela 1.4 takođe isključuje treću kolonu sa nulom u gornjem redu zaglavlja. Poenta je da bez obzira na koeficijente ove kolone b i 3 svi članovi svake jednačine 0 koji joj odgovaraju b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga se ovi koeficijenti ne mogu izračunati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 pamtimo prvi red i isključujemo ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Iz zadnje tabele 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Uzastopno zamjenjujući već pronađene varijable u memorisane linije, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sistem ima beskonačan broj rješenja. varijabla x 5, možete dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli njegovo generalno rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t razna značenja, dobijamo beskonačan broj rješenja originalnog sistema. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).