Pronalaženje intervala povjerenja za matematičko očekivanje. Primjer zadataka za pronalaženje intervala povjerenja

I drugi, sve su to procjene njihovih teoretskih parnjaka, do kojih bi se moglo doći da ne postoji uzorak, već opća populacija. Ali nažalost, opća populacija je vrlo skupa i često nedostupna.

Koncept intervalne procjene

Svaka procjena uzorka ima neki raspršivanje, jer je slučajna varijabla ovisno o vrijednostima u određenom uzorku. Stoga, za pouzdanije statističke zaključke, treba znati ne samo tačka procjene, ali i interval, koji sa velikom vjerovatnoćom γ (gama) pokriva procijenjeni indikator θ (teta).

Formalno, ovo su dvije takve vrijednosti (statistika) T1(X) i T2(X), šta T1< T 2 , za koji na datom nivou vjerovatnoće γ ispunjen je uslov:

Ukratko, vjerovatno je γ ili više prava vrijednost je između tačaka T1(X) i T2(X), koje se nazivaju donja i gornja granica interval povjerenja.

Jedan od uslova za konstruisanje intervala poverenja je njegova maksimalna uskost, tj. trebalo bi da bude što kraće. Želja je sasvim prirodna, jer. istraživač pokušava preciznije lokalizirati nalaz željenog parametra.

Iz toga slijedi da interval povjerenja treba da pokrije maksimalne vjerovatnoće distribucije. a sam rezultat bude na sredini.

Odnosno, vjerovatnoća odstupanja (pravog indikatora od procjene) naviše je jednaka vjerovatnoći odstupanja naniže. Takođe treba napomenuti da za iskrivljene distribucije, interval sa desne strane nije jednak intervalu lijevo.

Slika iznad jasno pokazuje da što je veći nivo pouzdanosti, širi je interval – direktna veza.

Ovo je bio mali uvod u teoriju intervalna procjena nepoznati parametri. Pređimo na pronalaženje granica povjerenja za matematičko očekivanje.

Interval pouzdanosti za matematička očekivanja

Ako su originalni podaci raspoređeni na , tada će prosjek biti normalna vrijednost. Ovo proizilazi iz pravila da linearna kombinacija normalnih vrijednosti također ima normalnu distribuciju. Stoga, da bismo izračunali vjerovatnoće, mogli bismo koristiti matematički aparat zakon normalne distribucije.

Međutim, to će zahtijevati poznavanje dva parametra - očekivane vrijednosti i varijanse, koji obično nisu poznati. Možete, naravno, koristiti procjene umjesto parametara (aritmetička sredina i ), ali tada distribucija srednje vrijednosti neće biti sasvim normalna, već će biti malo spljoštena. Građanin Vilijam Goset iz Irske vešto je primetio ovu činjenicu kada je objavio svoje otkriće u izdanju Biometrije iz marta 1908. U svrhu tajnosti, Gosset je potpisao sa Studentom. Tako se pojavila Studentova t-distribucija.

Međutim, normalnu distribuciju podataka koristi K. Gauss u analizi grešaka astronomska posmatranja, izuzetno je rijedak u zemaljskom životu i prilično je teško to utvrditi (za visoka preciznost potrebno je oko 2.000 opservacija). Stoga je najbolje napustiti pretpostavku normalnosti i koristiti metode koje ne zavise od distribucije originalnih podataka.

Postavlja se pitanje: kakva je distribucija aritmetičke sredine ako se ona izračunava iz podataka nepoznate distribucije? Odgovor daje dobro poznata u teoriji vjerovatnoće Central granična teorema (CPT). U matematici postoji nekoliko verzija (formulacije su se godinama usavršavale), ali se sve one, grubo rečeno, svode na tvrdnju da je zbir veliki broj nezavisne slučajne varijable poštuju zakon normalne distribucije.

Prilikom izračunavanja aritmetičke sredine koristi se zbir slučajnih varijabli. Iz ovoga proizlazi da aritmetička sredina ima normalnu distribuciju, u kojoj je očekivana vrijednost očekivana vrijednost početnih podataka, a varijansa .

Pametni ljudi znamo kako dokazati CLT, ali to ćemo provjeriti uz pomoć eksperimenta provedenog u Excelu. Hajde da simuliramo uzorak od 50 ravnomjerno raspoređenih slučajnih varijabli (koristeći Excel funkcije NASLUČAJNO IZMEĐU). Zatim ćemo napraviti 1000 takvih uzoraka i izračunati aritmetičku sredinu za svaki. Pogledajmo njihovu distribuciju.

Može se vidjeti da je raspodjela prosjeka bliska normalnom zakonu. Ako se volumen uzoraka i njihov broj povećaju, onda će sličnost biti još bolja.

Sada kada smo sami vidjeli valjanost CLT-a, možemo, koristeći , izračunati intervale povjerenja za aritmetičku sredinu, koji pokrivaju pravu srednju vrijednost ili matematičko očekivanje sa datom vjerovatnoćom.

Da biste postavili gornju i donju granicu, morate znati parametre normalna distribucija. U pravilu se ne koriste, stoga se koriste procjene: aritmetička sredina i varijansa uzorka . Opet, ova metoda daje dobru aproksimaciju samo za velike uzorke. Kada su uzorci mali, često se preporučuje korištenje Studentove distribucije. Ne vjeruj! Studentova raspodjela za srednju vrijednost se javlja samo kada izvorni podaci imaju normalnu distribuciju, odnosno gotovo nikada. Stoga je bolje odmah postaviti minimalnu traku za količinu potrebnih podataka i koristiti asimptotski ispravne metode. Kažu da je dovoljno 30 opservacija. Uzmite 50 - ne možete pogriješiti.

T 1.2 su donja i gornja granica intervala povjerenja

– uzorak aritmetičke sredine

s0– standardna devijacija uzorka (nepristrasna)

n - veličina uzorka

γ – nivo pouzdanosti (obično jednak 0,9, 0,95 ili 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – obrnuto značenje standardne funkcije normalne distribucije. Jednostavno rečeno, ovo je broj standardnih grešaka od aritmetičke sredine do donje ili gornje granice (naznačene tri vjerovatnoće odgovaraju vrijednostima od 1,64, 1,96 i 2,58).

Suština formule je da se uzme aritmetička sredina i onda se od nje izdvoji određeni iznos ( sa γ) standardne greške ( s 0 /√n). Sve se zna, uzmi i broji.

Prije masovne upotrebe PC-a, za dobivanje vrijednosti ​​normalne funkcije distribucije i njene inverzne, koristili su . I dalje se koriste, ali je efikasnije okrenuti se gotovim Excel formule. Svi elementi iz gornje formule ( , i ) mogu se lako izračunati u Excelu. Ali postoji i gotova formula za izračunavanje intervala povjerenja - NORMA POVJERENJE. Njegova sintaksa je sljedeća.

NORMA POUZDANJA (alfa, standard_dev, veličina)

alfa– nivo značajnosti ili nivo samopouzdanja, što je u gornjoj notaciji jednako 1- γ, tj. vjerovatnoća da je matematičkaočekivanje će biti izvan intervala pouzdanosti. Sa nivoom pouzdanosti od 0,95, alfa je 0,05 i tako dalje.

standard_off je standardna devijacija podataka uzorka. Ne morate izračunati standardnu ​​grešku, Excel će podijeliti s korijenom od n.

veličina– veličina uzorka (n).

Rezultat funkcije CONFIDENCE.NORM je drugi član iz formule za izračunavanje intervala povjerenja, tj. poluinterval. Shodno tome, donja i gornja tačka su prosjek ± dobijena vrijednost.

Tako je moguće izgraditi univerzalni algoritam za izračunavanje intervala povjerenja za aritmetičku sredinu, koji ne ovisi o distribuciji početnih podataka. Cijena univerzalnosti je njena asimptotičnost, tj. potreba za korištenjem relativno velikih uzoraka. Međutim, u veku moderne tehnologije skupiti pravi iznos podaci obično nisu teški.

Testiranje statističkih hipoteza korištenjem intervala povjerenja

(modul 111)

Jedan od glavnih problema koji se rješavaju u statistici je. Ukratko, njegova suština je ovo. Pretpostavlja se, na primjer, da je očekivanje stanovništva jednaka je nekoj vrijednosti. Zatim se konstruiše distribucija srednjih vrednosti uzorka, koja se može posmatrati sa datim očekivanjem. Zatim ćemo pogledati gdje se u ovoj uslovnoj raspodjeli nalazi pravi prosjek. Ako prelazi dozvoljene granice, onda je pojava takvog prosjeka vrlo malo vjerojatna, a uz jedno ponavljanje eksperimenta gotovo je nemoguće, što je u suprotnosti s postavljenom hipotezom koja se uspješno odbacuje. Ako srednja vrijednost ne ide dalje kritičnom nivou, tada se hipoteza ne odbacuje (ali ne i dokazuje!).

Dakle, uz pomoć intervala pouzdanosti, u našem slučaju za očekivanje, možete testirati i neke hipoteze. To je vrlo lako uraditi. Pretpostavimo da je aritmetička sredina za određeni uzorak 100. Provjerava se hipoteza da je očekivanje, recimo, 90. To jest, ako pitanje postavimo primitivno, onda zvuči ovako: može li biti da kada pravo značenje prosjek jednak 90, posmatrani prosjek je bio jednak 100?

Da biste odgovorili na ovo pitanje, dodatne informacije o prosjeku standardna devijacija i veličinu uzorka. Recimo standardna devijacija je 30, a broj zapažanja je 64 (za lako izdvajanje korijena). Tada je standardna greška srednje vrijednosti 30/8 ili 3,75. Za izračunavanje intervala pouzdanosti od 95% bit će potrebno odložiti obje strane prosjeka za dva standardne greške(tačnije za 1,96). Interval pouzdanosti će biti približno 100 ± 7,5, odnosno od 92,5 do 107,5.

Dalje obrazloženje je sljedeće. Ako testirana vrijednost spada u interval pouzdanosti, onda to nije u suprotnosti s hipotezom, jer uklapa se u granice slučajnih fluktuacija (sa vjerovatnoćom od 95%). Ako je testirana tačka izvan intervala pouzdanosti, onda je vjerovatnoća takvog događaja vrlo mala, u svakom slučaju ispod prihvatljivog nivoa. Stoga se hipoteza odbacuje kao kontradiktorna uočenim podacima. U našem slučaju, hipoteza očekivanja je izvan intervala pouzdanosti (testirana vrijednost od 90 nije uključena u interval od 100±7,5), pa je treba odbaciti. Odgovarajući na prethodno primitivno pitanje, treba reći: ne, ne može, u svakom slučaju, to se dešava izuzetno rijetko. Često to ukazuje na specifičnu vjerovatnoću pogrešnog odbacivanja hipoteze (p-nivo), a ne na dati nivo prema kojem je građen interval povjerenja, ali o tome drugi put.

Kao što vidite, nije teško izgraditi interval povjerenja za srednju vrijednost (ili matematičko očekivanje). Glavna stvar je uhvatiti suštinu, a onda će stvari krenuti. U praksi, većina koristi interval pouzdanosti od 95%, što je oko dvije standardne greške široke na obje strane srednje vrijednosti.

To je sve za sada. Sve najbolje!

Interval povjerenja– granične vrijednosti statistika, koji će sa datom vjerovatnoćom pouzdanosti γ biti u ovom intervalu sa većom veličinom uzorka. Označava se kao P(θ - ε . U praksi, izaberite nivo samopouzdanjaγ od vrijednosti γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99 dovoljno blizu jedinice.

Servisni zadatak. Ova usluga definiše:

• interval povjerenja za opću srednju vrijednost, interval povjerenja za varijansu;
• interval povjerenja za standardnu ​​devijaciju, interval povjerenja za opći razlomak;

Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer). Ispod je video uputstvo kako popuniti početne podatke.

Primjer #1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1.000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontroli. Kao rezultat, utvrđeno je prosječno striženje vune od 4,2 kg po ovci. Odrediti sa vjerovatnoćom od 0,99 standardnu ​​grešku uzorka u određivanju prosječnog smicanja vune po ovci i granice u kojima se nalazi vrijednost smicanja ako je varijansa 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer #2. Iz serije uvezenih proizvoda na pošti Moskovske sjeverne carine uzet je slučajnim redoslijedom resampling 20 uzoraka proizvoda "A". Kao rezultat provjere, utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda "A" u uzorku, koji se ispostavilo da iznosi 6% sa prosjekom standardna devijacija 1 %.
Odrediti sa vjerovatnoćom od 0,683 granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer #3. Istraživanje na 36 učenika pokazalo je da je prosječan broj udžbenika koji čitaju akademske godine, pokazalo se da je jednako 6. Pod pretpostavkom da je broj udžbenika koji student pročita po semestru normalan zakon distribucije sa standardnom devijacijom jednakom 6, pronađite: A) sa pouzdanošću od 0,99 procjena intervala za matematičko očekivanje ovoga slučajna varijabla; B) s kojom se vjerovatnoćom može tvrditi da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat za ovaj uzorak, odstupiti od matematičkog očekivanja za apsolutna vrijednost ne više od 2.

Klasifikacija intervala povjerenja

Prema vrsti parametra koji se procjenjuje:

Po vrsti uzorka:

1. Interval pouzdanosti za beskonačno uzorkovanje;
2. Interval pouzdanosti za konačni uzorak;

Uzorkovanje se naziva ponovno uzorkovanje, ako se odabrani objekt vrati u opću populaciju prije odabira sljedećeg. Uzorak se naziva neponavljajućim. ako se odabrani objekt ne vrati u opću populaciju. U praksi se obično radi sa uzorcima koji se ne ponavljaju.

Izračunavanje srednje greške uzorkovanja za slučajni odabir

Nesklad između vrijednosti indikatora dobijenih iz uzorka i odgovarajućih parametara opće populacije naziva se greška reprezentativnosti.
Oznake glavnih parametara opće populacije i populacije uzorka.

Formule uzorka srednje greške
ponovni izbor		selekcija koja se ne ponavlja
za sredinu	za dionicu	za sredinu	za dionicu

Odnos između granice greške uzorkovanja (Δ) zagarantovan sa određenom verovatnoćom P(t), i prosečna greška uzorak ima oblik: ili Δ = t μ, gdje je t– koeficijent pouzdanosti, određen u zavisnosti od nivoa verovatnoće P(t) prema tabeli integralne Laplaceove funkcije.

Formule za izračunavanje veličine uzorka uz odgovarajuću metodu slučajnog odabira

Neka se napravi uzorak iz opšte populacije koja je podložna zakonu normalno distribucija XN( m;  ). Ova osnovna pretpostavka matematičke statistike zasniva se na središnjoj graničnoj teoremi. Neka je poznata opšta standardna devijacija  , ali matematičko očekivanje teorijske distribucije je nepoznato m(srednja vrijednost).

U ovom slučaju, srednja vrijednost uzorka , dobijena tokom eksperimenta (odjeljak 3.4.2), također će biti slučajna varijabla m;
). Zatim "normalizovano" odstupanje
N(0;1) je standardna normalna slučajna varijabla.

Problem je pronaći procjenu intervala za m. Konstruirajmo dvostrani interval povjerenja za m tako da mu pravo matematičko očekivanje pripada sa datom vjerovatnoćom (pouzdanošću)  .

Postavite takav interval za vrijednost
znači pronaći maksimalnu vrijednost ove količine
i minimum
, koje su granice kritične regije:
.

Jer ova vjerovatnoća je
, zatim korijen ove jednadžbe
može se pronaći pomoću tabela Laplaceove funkcije (Tablica 3, Dodatak 1).

Onda sa vjerovatnoćom  može se tvrditi da je slučajna varijabla
, odnosno željena opšta sredina pripada intervalu
. (3.13)

vrijednost
(3.14)

pozvao preciznost procjene.

Broj
– kvantil normalna distribucija - može se naći kao argument Laplaceove funkcije (Tabela 3, Dodatak 1), s obzirom na omjer 2F( u)=, tj. F( u)=
.

nazad, do postavljena vrijednost odstupanja  moguće je pronaći s kojom vjerovatnoćom nepoznata opšta sredina pripada intervalu
. Da biste to učinili, morate izračunati

. (3.15)

Neka se iz opće populacije uzme slučajni uzorak metodom ponovne selekcije. Iz jednadžbe
može se naći minimum volumen ponovnog uzorkovanja n potrebno da se osigura da interval pouzdanosti sa datom pouzdanošću nije premašio prethodno podešenu vrijednost  . Potrebna veličina uzorka se procjenjuje pomoću formule:

. (3.16)

Istraživanje tačnost procjene
:

1) Sa povećanjem veličine uzorka n magnitude  smanjuje, a time i tačnost procjene povećava.

2) C povećati pouzdanost procjena vrijednost argumenta se povećava u(jer F(u) monotono raste) i stoga povećava  . U ovom slučaju, povećanje pouzdanosti smanjuje tačnost njegove procjene  .

Procjena
(3.17)

pozvao klasična(gde t je parametar koji zavisi od i n), jer karakteriše najčešće zakone distribucije.

3.5.3 Intervali pouzdanosti za procjenu očekivanja normalne distribucije sa nepoznatom standardnom devijacijom 

Neka bude poznato da opća populacija podliježe zakonu normalne distribucije XN( m; ), gdje je vrijednost srednji kvadrat odstupanja nepoznato.

Da bi se izgradio interval pouzdanosti za procjenu opšte srednje vrijednosti, u ovom slučaju se koristi statistika
, koji ima Studentovu distribuciju sa k= n–1 stepen slobode. Ovo proizilazi iz činjenice da N(0;1) (vidi tačku 3.5.2), i
(vidjeti tačku 3.5.3) i iz definicije Studentove distribucije (dio 1. tačka 2.11.2).

Nađimo tačnost klasične procjene Studentove distribucije: tj. naći t iz formule (3.17). Neka je vjerovatnoća ispunjenja nejednakosti
koju daje pouzdanost  :

. (3.18)

Ukoliko TSt( n-1), očigledno je da t zavisi od  i n, tako obično pišemo
.

(3.19)

gdje
je Studentova funkcija distribucije sa n-1 stepen slobode.

Rješavanje ove jednadžbe za m, dobijamo interval
koji sa pouzdanošću  pokriva nepoznati parametar m.

Vrijednost t  , n-1, koristi se za određivanje intervala pouzdanosti slučajne varijable T(n-1), distribuira Student sa n-1 stepen slobode se naziva Studentov koeficijent. Treba ga pronaći prema datim vrijednostima n i  iz tabela " Kritične tačke Distribucija studenata. (Tabela 6, Dodatak 1), koji su rješenja jednadžbe (3.19).

Kao rezultat, dobijamo sljedeći izraz tačnost interval povjerenja za procjenu matematičkog očekivanja (opća sredina), ako je varijansa nepoznata:

(3.20)

Dakle, postoji opšta formula za konstruisanje intervala poverenja za matematička očekivanja opšte populacije:

gdje je tačnost intervala povjerenja  ovisno o poznatoj ili nepoznatoj varijansi nalazi se prema formulama 3.16. i 3.20.

Zadatak 10. Obavljeni su neki testovi, čiji su rezultati navedeni u tabeli:

x i

Poznato je da se pridržavaju zakona normalne raspodjele s
. Pronađite procjenu m* za matematičko očekivanje m, izgradite interval pouzdanosti od 90% za to.

Odluka:

dakle, m(2.53;5.47).

Zadatak 11. Dubina mora se mjeri instrumentom čija je sistematska greška 0, a slučajne greške se distribuiraju prema normalnom zakonu, sa standardnom devijacijom  =15m. Koliko nezavisnih mjerenja treba napraviti da bi se odredila dubina s greškom ne većom od 5 m sa nivoom pouzdanosti od 90%?

Odluka:

Po uslovu problema imamo XN( m;  ), gdje  =15m,  =5m,  =0,9. Nađimo volumen n.

1) Sa zadatom pouzdanošću = 0,9, iz tabele 3 (Dodatak 1) nalazimo argument Laplaceove funkcije u  = 1.65.

2) Poznavanje date tačnosti procjene  =u  =5, pronađi
. Imamo

. Dakle, broj suđenja n25.

Zadatak 12. Uzorkovanje temperature t za prvih 6 dana januara prikazan je u tabeli:

Pronađite interval pouzdanosti za očekivanje m opšta populacija sa pouzdanom verovatnoćom
i procijeniti opšte standardna devijacija s.

Odluka:

i
.

2) Nepristrasna procjena pronađite po formuli
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Pošto je opšta varijansa nepoznata, ali je njena procena poznata, onda da se proceni matematičko očekivanje m koristimo Studentovu distribuciju (Tabela 6, Prilog 1) i formulu (3.20).

Jer n 1 =n 2 =6, onda ,
, s 1 =6,85 imamo:
, dakle -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Dakle -33.3<m 1 <-25.1.

Slično, imamo
, s 2 = 4,8, dakle

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) i m 2 (-34.9;-29.1).

U primijenjenim naukama, na primjer, u građevinskim disciplinama, za procjenu tačnosti objekata koriste se tabele intervala pouzdanosti, koje su date u relevantnoj referentnoj literaturi.

Možete koristiti ovaj obrazac za pretragu da pronađete pravi zadatak. Unesite riječ, frazu iz zadatka ili njegov broj ako ga znate.

Pretražujte samo u ovoj sekciji

Intervali pouzdanosti: Lista rješenja problema

Intervali povjerenja: teorija i problemi

Razumijevanje intervala povjerenja

Hajde da ukratko predstavimo koncept intervala poverenja, koji
1) procjenjuje neki parametar numeričkog uzorka direktno iz podataka samog uzorka,
2) pokriva vrijednost ovog parametra sa vjerovatnoćom γ.

Interval povjerenja za parametar X(sa vjerovatnoćom γ) naziva se interval oblika , takav da , a vrijednosti se na neki način izračunavaju iz uzorka.

Obično se u primijenjenim problemima vjerovatnoća pouzdanosti uzima jednakom γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Razmotrimo neki uzorak veličine n, napravljen od opće populacije, raspoređene vjerovatno prema normalnom zakonu distribucije. Hajde da pokažemo po kojim formulama se nalaze intervali povjerenja za parametre distribucije- matematičko očekivanje i disperzija (standardna devijacija).

Interval pouzdanosti za matematička očekivanja

Slučaj 1 Varijanca distribucije je poznata i jednaka je . Zatim interval pouzdanosti za parametar a izgleda kao:
t se određuje iz Laplaceove distribucijske tablice omjerom

Slučaj 2 Varijanca distribucije je nepoznata; tačkasta procjena varijanse je izračunata iz uzorka. Zatim interval pouzdanosti za parametar a izgleda kao:
, gdje je srednja vrijednost uzorka izračunata iz uzorka, parametar t utvrđeno iz Studentove tabele raspodjele

Primjer. Na osnovu podataka 7 mjerenja određene vrijednosti utvrđeno je da je prosjek rezultata mjerenja jednak 30, a varijansa uzorka jednaka 36. Pronađite granice u kojima je sadržana prava vrijednost izmjerene vrijednosti sa pouzdanošću od 0,99 .

Odluka. Hajde da nađemo . Tada se granice pouzdanosti za interval koji sadrži pravu vrijednost izmjerene vrijednosti mogu pronaći po formuli:
, gdje je srednja vrijednost uzorka, je varijansa uzorka. Ubacivanjem svih vrijednosti dobijamo:

Interval pouzdanosti za varijansu

Vjerujemo da je, općenito govoreći, matematičko očekivanje nepoznato, a poznata je samo točkasta nepristrasna procjena varijanse. Tada interval pouzdanosti izgleda ovako:
, gdje - kvantile distribucije određene iz tabela.

Primjer. Na osnovu podataka 7 testova utvrđena je vrijednost procjene standardne devijacije s=12. Odrediti sa vjerovatnoćom od 0,9 širinu intervala povjerenja izgrađenog za procjenu varijanse.

Odluka. Interval pouzdanosti za nepoznatu varijansu populacije može se pronaći pomoću formule:

Zamijenite i dobijete:


Tada je širina intervala povjerenja 465,589-71,708=393,881.

Interval pouzdanosti za vjerovatnoću (postotak)

Slučaj 1 Neka su veličina uzorka i frakcija uzorka (relativna frekvencija) poznati u zadatku. Tada je interval povjerenja za opći razlomak (prava vjerovatnoća):
, gdje je parametar t se određuje iz Laplaceove tablice raspodjele omjerom .

Slučaj 2 Ako problem dodatno poznaje ukupnu veličinu populacije iz koje je uzorak uzet, interval povjerenja za opći dio (prava vjerovatnoća) može se pronaći pomoću prilagođene formule:
.

Primjer. Poznato je da se sa vjerovatnoćom Nađite granice u kojima se zaključuje opći udio.

Odluka. Koristimo formulu:

Nađimo parametar iz uslova , dobijamo zamjenu u formuli:

Na stranici možete pronaći i druge primjere problema iz matematičke statistike

Neka je slučajna varijabla X opće populacije normalno raspoređena, s obzirom da su varijansa i standardna devijacija s ove distribucije poznate. Potrebno je procijeniti nepoznato matematičko očekivanje iz srednje vrijednosti uzorka. U ovom slučaju, problem se svodi na pronalaženje intervala povjerenja za matematičko očekivanje s pouzdanošću b. Ako postavimo vrijednost vjerovatnoće pouzdanosti (pouzdanosti) b, onda možemo pronaći vjerovatnoću pada u interval za nepoznato matematičko očekivanje koristeći formulu (6.9a):

gdje je F(t) Laplaceova funkcija (5.17a).

Kao rezultat, možemo formulirati algoritam za pronalaženje granica intervala povjerenja za matematičko očekivanje ako je poznata varijansa D = s 2:

1. Postavite vrijednost pouzdanosti na b.
2. Iz (6.14) izraziti F(t) = 0,5× b. Odaberite vrijednost t iz tabele za Laplaceovu funkciju po vrijednosti F(t) (vidi Dodatak 1).
3. Izračunajte devijaciju e koristeći formulu (6.10).
4. Interval povjerenja napišite prema formuli (6.12) tako da je s vjerovatnoćom b tačna sljedeća nejednakost:

.

Primjer 5.

Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju. Pronađite intervale povjerenja za procjenu s pouzdanošću b = 0,96 nepoznate srednje vrijednosti a, ako je dato:

1) opšta standardna devijacija s = 5;

2) srednja vrednost uzorka;

3) veličina uzorka n = 49.

U formuli (6.15) intervalne procjene matematičkog očekivanja a sa pouzdanošću b, sve veličine osim t su poznate. Vrijednost t se može naći pomoću (6.14): b = 2F(t) = 0,96. F(t) = 0,48.

Prema tabeli Dodatka 1 za Laplaceovu funkciju F(t) = 0,48, naći odgovarajuću vrijednost t = 2,06. dakle, . Zamjenom izračunate vrijednosti e u formulu (6.12) možemo dobiti interval povjerenja: 30-1,47< a < 30+1,47.

Željeni interval pouzdanosti za procjenu s pouzdanošću b = 0,96 nepoznatog matematičkog očekivanja je: 28,53< a < 31,47.