Matematičko očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable

Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, selektivno, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, zadaci, procjena očekivanja, varijansa, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna

Proširite sadržaj

Sažmi sadržaj

Matematičko očekivanje je definicija

Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao prosjećna težina sve moguće parametre slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, istraživanju numeričke serije, proučavanje kontinuiranih i dugih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teoriji kockanje.

Matematičko očekivanje je srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.

Matematičko očekivanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).

Matematičko očekivanje je

Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.

Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable sa vjerovatnoćama ovih vrijednosti.

Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije veliki brojevi i velike udaljenosti.

Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. U kockarskom jeziku, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "kućna ivica" (ako je negativna za igrača).

Matematičko očekivanje je Procenat profita po pobjedi pomnožen prosječnim profitom minus vjerovatnoća gubitka pomnožen prosječnim gubitkom.

Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematička teorija

Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrite skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, dat je vjerovatnoćama.

Termin "očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i nastao je iz koncepta "očekivana vrijednost isplate", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascal-a i Christian Huygensa. . Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredina 19. stoljeća).

Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.

Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako je jedinična masa postavljena na pravu liniju, postavlja se neka masa u neke tačke (npr. diskretna distribucija), ili ga "razmazati" određenom gustinom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "centra gravitacije" prave linije.

Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je takoreći njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati” ili “prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokacija na numeričkoj osi, tj. opis pozicije.

Iz karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće suštinsku ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.

Razmotrite slučajnu varijablu X, koji ima moguće vrijednosti x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na osi apscise, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju razne vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani "ponderisani prosek" vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable X, koje ćemo označiti M|X|:

Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.

X zbog neobične ovisnosti s aritmetičkom sredinom promatranih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između učestalosti i vjerovatnoće može se zaključiti kao posljedica postojanja sličnog odnosa između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Zaista, razmotrite slučajnu varijablu X, koju karakteriše niz distribucija:

Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X prihvata određenu vrijednost. Pretpostavimo vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opšte značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti X, što je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označićemo M*|X|:

Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Dakle, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata, on će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Veza između aritmetičke sredine i gore formulisanog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Evo mi pričamo o stabilnosti aritmetičke sredine iz serije posmatranja iste vrednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, pristupa konstantna vrijednost- matematičko očekivanje.

Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata je lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganje bilo kojeg tijela u laboratoriju na tačnim vagama, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; da bismo smanjili grešku opažanja, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobijenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na ovo povećanje, a sa dovoljno velikim brojem eksperimenata praktično prestaje da se menja.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je napraviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od većeg interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.

Pored najvažnije od karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja, u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebno mod i medijan slučajne varijable.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Termin "najvjerovatnija vrijednost", striktno govoreći, primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.

Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, kaže se da je distribucija "polimodalna".

Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum. Takve distribucije se nazivaju "antimodalne".

AT opšti slučaj mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ona poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati i za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom raspodjele podijeljeno na pola.

U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan se poklapa sa srednjom vrijednosti i modom.

Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. po najviše na opšti način matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) je definiran kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:

Matematičko očekivanje se također može izračunati kao Lebesgueov integral od X distribucijom vjerovatnoće px količine X:

Na prirodan način, može se definirati koncept slučajne varijable sa beskonačnim matematičkim očekivanjem. Tipičan primjer su vremena povratka u nekim nasumičnim šetnjama.

Uz pomoć matematičkog očekivanja određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno varijansa , kovarijansa.

Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki "tipični" parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta - koordinate težišta distribucije mase - u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije, uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito – medijani, modusi, matematičko očekivanje se razlikuje po tome što velika vrijednost, koje ona i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. S najvećom potpunošću, značenje matematičkog očekivanja otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova u bacanju kockice može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi za takvu vrijednost postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" sa velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prinos (ili gubitak) iz svake od rizičnih operacija?

Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da svaki četvrti tiket dobije, nagrada će biti 300 rubalja, a cena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačan broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštaće 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), odnosno za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.

Bacamo kockice. Ako nije varanje (bez pomjeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda bodova u prosjeku imati u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija podjednako verovatna, uzimamo glupu aritmetičku sredinu i dobijamo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što nijedno određeno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!

Sada da sumiramo naše primjere:

Pogledajmo sliku iznad. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (datih u gornjem redu). Druge vrijednosti ne mogu postojati. Ispod svake moguće vrijednosti, njena vjerovatnoća je potpisana ispod. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da sa velikim brojem testova (sa veliki uzorak) prosječna vrijednost će težiti ovom matematičkom očekivanju.

Vratimo se na istu kocku za igranje. Matematičko očekivanje broja poena u bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Ispalo je 4 i 6. U prosjeku je ispalo 5, odnosno daleko od 3,5. Ponovo su ga bacili, ispalo je 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A ako prosjek nije tačno 3,5, onda će biti blizu tome.

Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Tabela će izgledati ovako:

Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo prethodno utvrdili:

Druga stvar je što je i to "na prstima", bez formule teško bi bilo da ima više opcija. Pa, recimo da je bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% dobitnih tiketa.

Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.

Lako je to dokazati:

Konstantni množitelj se može izvaditi iz predznaka očekivanja, to jest:

Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.

Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:

odnosno matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.

Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, zatim:

Ovo je takođe lako dokazati) XY sama po sebi je slučajna varijabla, dok bi početne vrijednosti mogle poprimiti n i m vrijednosti, respektivno, onda XY može uzeti nm vrijednosti. Vjerovatnoća svake od vrijednosti se izračunava na osnovu činjenice da su vjerovatnoće nezavisnih događaja umnožiti. Kao rezultat, dobijamo ovo:

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). To, zapravo, karakterizira situaciju da neke vrijednosti iz skupa realni brojevi slučajna varijabla uzima češće, neke - rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:

Evo X- zapravo slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata, vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. šanse za prevazilaženje 3 ili biti manje -3 prilično čisto teorijski.

Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:

Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo ako dobijemo mnogo slučajnih realnih brojeva sa uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.

Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost, itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva i ovde.

Odnos matematičkog očekivanja sa drugim statističkim pokazateljima

U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Često indikatori varijacije nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakterizira homogenost podataka, što je vrijedno statistička karakteristika.

Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.

Većina važan indikator karakteriziranje varijabilnosti slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Poput srednjeg linearnog odstupanja, varijansa također odražava obim do kojeg se podaci šire srednja veličina.

Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispostavilo se da je disperzija srednji kvadrat odstupanja. Odnosno, najprije se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, zbraja i zatim dijeli sa brojem vrijednosti u ovoj populaciji. Razlika između zasebna vrijednost a prosjek odražava mjeru odstupanja. Kvadrira se tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi te da se izbjegne međusobno uništavanje pozitivnih i negativna odstupanja kada ih sumiramo. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i uzima se u obzir prosjek. trag magic word"disperzija" su samo tri riječi.

Međutim, u čista forma, kao što je aritmetička sredina ili indeks, varijansa se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Ona čak nema ni normalnu jedinicu mjere. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat izvorne jedinice podataka.

Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je srednja vrijednost povezana s funkcijom distribucije?

Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će se pojaviti na kockici na svakom bacanju je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. Aritmetička sredina bodova postignutih za sva bacanja kockica je također slučajna varijabla, ali za velike N teži tome određeni broj- matematičko očekivanje Mx. U ovom slučaju, Mx = 3,5.

Kako je nastala ova vrijednost? Pusti unutra N suđenja n1 kada padne 1 bod, n2 puta - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:

Slično i za ishode kada je ispalo 2, 3, 4, 5 i 6 bodova.

Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ... , pk.

Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x je:

Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, da procijenim prosjek plate razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da je broj ljudi koji primaju manje od medijalne plate i više, isti.

Vjerovatnoća p1 da je slučajna varijabla x manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da je slučajna varijabla x veća od x1/2 su iste i jednake su 1/2. Medijan nije jednoznačno određen za sve distribucije.

Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da su podaci grupisani oko srednje vrijednosti, a velika standardna devijacija ukazuje da su početni podaci daleko od nje. Standardna devijacija jednaki kvadratni korijen količina koja se naziva disperzija. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od srednje vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:

Primjer. U uslovima testiranja kada pucate u metu, izračunajte varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable:

Varijacija- fluktuacija, varijabilnost vrijednosti atributa u jedinicama populacije. Odvojene numeričke vrijednosti karakteristike koje se javljaju u proučavanoj populaciji nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za kompletne karakteristike agregat nas tjera da prosječne vrijednosti dopunimo indikatorima koji nam omogućavaju da procijenimo tipičnost ovih prosjeka mjerenjem fluktuacije (varijacije) osobine koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava po formuli:

Varijacija raspona(R) je razlika između maksimuma i minimalne vrijednosti osobina u ispitivanoj populaciji. Ovaj indikator daje najviše opšta ideja o fluktuaciji osobine koja se proučava, jer pokazuje razliku samo između graničnih vrijednosti opcija. Zavisnost ekstremne vrednosti znak daje opseg varijacije nestabilan, slučajni karakter.

Prosječna linearna devijacija je aritmetička sredina apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:

Matematička očekivanja u teoriji kockanja

Matematičko očekivanje je prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo značajan koncept za igrača, jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je takođe najbolji alat za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.

Recimo da igrate novčić sa prijateljem, svaki put dajući jednaku opkladu od 1$, bez obzira na to šta se pojavi. Repovi - pobjeđujete, glave - gubite. Šanse da dođe do pada su jedan prema jedan i kladite se od 1 do 1 dolara. Dakle, vaša matematička očekivanja je nula, jer matematički govoreći, ne možeš znati da li ćeš voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.

Vaš dobitak po satu je nula. Isplata po satu je iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta u roku od sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovakav sistem klađenja nije loš. Ali to je samo gubljenje vremena.

Ali pretpostavimo da neko želi da se kladi $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubite $1, uložite drugi i osvojite $2. Kladili ste se na $1 dvaput i ispred ste za $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.

Ako novčić padne 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će biti već 250$, jer. u prosjeku ste izgubili $1 250 puta i osvojili $2 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, što je iznos koji u prosjeku dobijete na jednoj opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi vaše opklade.

Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti u prvih deset bacanja u nizu, ali vi, sa prednošću klađenja 2-na-1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zarađujete 50 centi na svaku opkladu od 1$ pod bilo kojim okolnosti. Nije bitno da li dobijete ili izgubite jednu ili više opklada, ali samo pod uslovom da imate dovoljno gotovine da lako nadoknadite troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, tada će tokom dužeg vremenskog perioda vaši dobici dostići zbir očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.

Svaki put kada napravite najbolju opkladu (opkladu koja može biti isplativa na duge staze) kada su kvote u vašu korist, sigurno ćete nešto osvojiti na tome, bilo da izgubite ili ne u datoj ruci. Suprotno tome, ako ste napravili lošiju opkladu (opkladu koja je dugoročno neisplativa) kada kvote nisu u vašu korist, gubite nešto, bilo da dobijete ili izgubite ruku.

Kladite se sa najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su kvote u vašu korist. Klađenjem sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo sa najboljim ishodom, sa najgorim - odustaju. Šta znače šanse u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Pravi izgledi za postizanje repova su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera klađenja. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.

Evo još složen primjer matematičko očekivanje. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete izabrati broj. Da li pristajete na takvu opkladu? Šta se ovde očekuje?

U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, kvote protiv toga da pogodite broj će biti 4 prema 1. Šanse su da ćete izgubiti dolar u jednom pokušaju. Međutim, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4:1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako napravite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete izgubiti četiri puta po $1 i jednom dobiti $5. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.

Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, hvata kvote. S druge strane, on uništava šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja u zavisnosti od toga da li hvata ili uništava kvote.

Ako se kladite na $50 da osvojite $10 sa šansom 4 prema 1 za pobjedu, dobićete negativno očekivanje od $2, jer u prosjeku ćete dobiti četiri puta 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo dobijate četiri puta po 10$ i gubite jednom 30$, za profit od 10$. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.

Matematičko očekivanje je centar svake situacije u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, oni imaju pozitivno očekivanje od 50 centi za svakih 10 dolara. Ako kazino isplati čak i novac iz Craps pass linije, tada je pozitivna očekivanja kuće otprilike 1,40 USD za svakih 100 USD; ova igra je strukturirana tako da svi koji se klade na ovu liniju gube u prosjeku 50,7% i dobiju 49,3% vremena. Nesumnjivo, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi ogroman profit vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak primetio: „Jedan hiljaditi deo procenta negativne verovatnoće na dovoljno velikoj udaljenosti će uništiti najbogatiji čovek u svijetu".

Matematička očekivanja pri igranju pokera

Igra pokera je najotkrivenija i dobar primjer u smislu korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.

Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspešan poker podrazumeva uvek prihvatanje poteza sa pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Matematičko značenje matematičkog očekivanja pri igranju pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluke (ne znamo koje su karte u ruci protivnika, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.

Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:

Kada igrate poker, matematičko očekivanje se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju, fold equity treba uzeti u obzir, u drugom, sopstvene šanse pota. Kada procjenjujemo matematičko očekivanje određenog poteza, treba imati na umu da fold uvijek ima nulto matematičko očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.

Očekivanja vam govore šta možete očekivati ​​(profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara koje se u njima praktikuju ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, može se očekivati ​​da će klijent izgubiti novac, jer je “vjerovatnoća” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke periode, čime povećavaju šanse u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca sklapanje mnogo poslova u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vaš prosječni profit minus vaša vjerovatnoća gubitka puta vaš prosječan gubitak.

Poker se takođe može razmatrati u smislu matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji, jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da će on zvati ako podignete prodajnu poziciju. Dakle, podizanje izgleda kao najbolja taktika. Ali ako podignete, preostala dva igrača će sigurno odustati. Ali ako platite opkladu, bićete potpuno sigurni da će druga dva igrača nakon vas učiniti isto. Kada podignete opkladu, dobijate jednu jedinicu, a jednostavnim callom dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i najbolja je taktika.

Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje su poker taktike manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da je vaš prosječan gubitak 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.

Drugi važan razlog da biste razumjeli suštinu matematičkog očekivanja je da vam ono daje osjećaj smirenosti bez obzira na to da li ste dobili opkladu ili ne: ako ste napravili dobru opkladu ili odustali na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određeni iznos novca koji slabiji igrač nije mogao da odbrani. Mnogo je teže odustati ako ste frustrirani što vaš protivnik ima bolju ruku na izvlačenju. Međutim, novac koji uštedite neigranjem, umjesto klađenja, dodaje se vašem noćnom ili mjesečnom dobitku.

Samo zapamtite da ako promijenite ruke, vaš protivnik će vas zvati, a kao što ćete vidjeti u članku Fundamental Theorem of Poker, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebali biste se radovati kada se to dogodi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke, jer znate da bi drugi igrači u vašoj cipelama izgubili mnogo više.

Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, stopa povrata po satu povezana je s očekivanom vrijednošću, i ovaj koncept posebno važno za profesionalne igrače. Kada ćete igrati poker, morate mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i neke matematičke proračune. Na primjer, ako igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$, a zatim izvlače dvije karte, što je vrlo loša taktika, sami možete izračunati da svaki put kada ulože 10$ gube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube oko 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača, koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti $48, a svaki će zarađivati ​​$12 po satu. Vaša satnica u ovom slučaju je jednostavno vaš udio u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača po satu.

Tokom dugog vremenskog perioda, ukupan dobitak igrača je zbir njegovih matematičkih očekivanja u odvojenim distribucijama. Što više igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste dati prednost igri koja može maksimizirati vaša pozitivna očekivanja ili negirati vaša negativna, tako da možete maksimizirati svoj dobitak po satu.

Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igre

Ako znate brojati karte, možda ćete imati prednost u odnosu na kasino ako vas ne primjete i izbace. Kazina vole pijane kockare i ne podnose brojanje karata. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tokom vremena. dobro upravljanje kapital pomoću kalkulacija očekivanja može vam pomoći da kapitalizirate svoju prednost i smanjite gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara više profita nego gubitaka, razlika u cijeni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem neće spasiti loš sistem igara.

Pozitivno očekivanje je definirano vrijednošću većom od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je goru situaciju. Ako je rezultat nula, onda je očekivanje neispravno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja, razuman sistem igre. Igranje na intuiciji vodi do katastrofe.

Matematička očekivanja i trgovanje dionicama

Matematičko očekivanje je prilično traženo i popularno. statistika prilikom obavljanja berzanskog trgovanja na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da to više datu vrijednost, razlog više da se proučavana trgovina smatra uspješnom. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo uz pomoć ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.

Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Kao iznimke, možemo navesti strategije koje koriste “prestajanje” gubitnih trgovina. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga u njegovom radu možda uopće nema gubitaka. U ovom slučaju neće se moći kretati samo očekivanjem, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.

U trgovanju na tržištu, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na osnovu statistike njegovih prethodnih trgovina.

Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate razmjenu pod ovim uvjetima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubit ćete cijeli račun, ma koliko bio velik na početku.

Ovaj aksiom nije istinit samo za igre sa negativnim očekivanjima ili trgovine, već je istinit i za igre parnih kvota. Stoga je jedini slučaj u kojem imate šansu da dugoročno profitirate kada sklapate poslove s pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; bitno je da li je pozitivan ili negativan. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, morate pronaći igru ​​s pozitivnim očekivanjima.

Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti nikakvo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, onda je moguće, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti to u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su mala pozitivna očekivanja! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru u jednoj trgovini (nakon naknada i proklizavanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem da biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji pokazuje prosječan profit od 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanje).

Nije bitno koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem u budućnosti iskazati barem minimalan profit. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da sistem pokazuje pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.

Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimiziraju, već i smanjenjem što je više moguće više sistemska pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, želite izgraditi prilično primitivan i jednostavan sistem, koji će konstantno donositi mali profit na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju biće zarađen kroz efektivno upravljanje novac.

Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivna matematička očekivanja tako da se može koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće dugo raditi u realnom vremenu. Problem kod većine tehničkih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju različitih pravila i parametara sistema trgovanja. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto trošenja energije i kompjutersko vreme da biste povećali profit trgovinskog sistema, usmerite svoju energiju na povećanje nivoa pouzdanosti dobijanja minimalnog profita.

Znajući da je upravljanje novcem pravedno igra brojeva, što zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logična, daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanje novcem, primijenjeno na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, obavit će ostatak posla.

Da bi svaki trgovac bio uspješan u svom poslu, potrebno je riješiti tri najvažnija važnih zadataka: . Osigurati da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da vam je prilika za zaradu što je moguće češće; Ostvarite stabilan pozitivan rezultat svog poslovanja.

I ovdje, nama, trgovcima koji rade, matematičko očekivanje može biti dobra pomoć. Ovaj termin u teoriji vjerovatnoće je jedan od ključnih. Može se koristiti za davanje prosječne procjene nekih slučajna vrijednost. Matematičko očekivanje slučajne varijable je kao centar gravitacije, ako sve zamislite moguće vjerovatnoće tačke sa različitim masama.

U odnosu na strategiju trgovanja, za procenu njene efikasnosti, najčešće se koristi matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka). Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih operacija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći sljedeći sistem:

Šta radi dati broj? U njemu se kaže da ćemo, po pravilima ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zaključene transakcije. Od rezultirajuće procjene efikasnosti Iznad nule, onda se takav sistem može koristiti za pravi posao. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.

Iznos profita po trgovini se takođe može izraziti kao relativna vrijednost kao %. Na primjer:

– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;

– procenat uspješnog trgovanja - 62%;

– procenat gubitka po 1 trgovini - 3%;

- procenat neuspješnih transakcija - 38%;

Odnosno, prosječna transakcija će donijeti 1,96%.

Moguće je razviti sistem koji će, uprkos dominaciji gubitnih trgovina, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.

Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija u prosjeku donosi samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem pretpostavi 1000 transakcija godišnje? Ovo će biti veoma ozbiljan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično slijedi da je drugi žig Dobar sistem trgovanja može se smatrati kratkim periodom zadržavanja.

Izvori i linkovi

dic.academic.ru - akademski online rječnik

mathematics.ru - obrazovna stranica o matematici

nsu.ru je obrazovna web stranica Novosibirska državni univerzitet

webmath.ru edukativni portal za studente, kandidate i školarce.

obrazovna matematička stranica exponenta.ru

en.tradimo.com - besplatno online škola trgovanje

crypto.hut2.ru - multidisciplinarno informacioni resurs

poker-wiki.ru - besplatna enciklopedija pokera

sernam.ru Naučna biblioteka odabrane prirodnonaučne publikacije

reshim.su - web stranica RJEŠAVANJE zadataka kontrola kurseva

unfx.ru – Forex na UNFX: obrazovanje, trgovački signali, upravljanje povjerenjem

slovopedia.com - Velika enciklopedijski rječnik Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Vaš vodič u svijet pokera

statanaliz.info – informativni blog « Statistička analiza podaci"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - ažurna Forex analitika

fx-by.com - sve za trgovca

Da bi statističke procjene dale dobru aproksimaciju procijenjenih parametara, one moraju biti nepristrasne, efikasne i konzistentne.

nepristrasan naziva se statistička procjena parametra , čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru za bilo koju veličinu uzorka.

Displaced zove se statistička evaluacija
parametar , čije matematičko očekivanje nije jednako procijenjenom parametru.

efikasan zove se statistička evaluacija
parametar , što za datu veličinu uzorka ima najmanju varijansu.

Bogati zove se statistička evaluacija
parametar , koji u
teži po vjerovatnoći procijenjenom parametru.

tj. za bilo koje

.

Za uzorke različitih veličina dobijaju se različite vrijednosti aritmetičke sredine i statističke varijanse. Stoga su aritmetička sredina i statistička varijansa slučajne varijable za koje postoji matematičko očekivanje i varijansa.

Izračunajmo matematičko očekivanje aritmetičke sredine i varijanse. Označiti sa matematičko očekivanje slučajne varijable

Ovdje se sljedeće smatraju slučajnim varijablama: – S.V., čije su vrijednosti jednake prvim vrijednostima dobijenim za različite zapreminske uzorke iz opšte populacije
–S.V., čije su vrijednosti jednake drugim dobivenim vrijednostima različiti uzorci volumen iz opšte populacije, ...,
- S.V., čije su vrijednosti jednake -te vrijednosti dobijene za različite zapreminske uzorke iz opšte populacije. Sve ove slučajne varijable su raspoređene prema istom zakonu i imaju ista matematička očekivanja.

Iz formule (1) proizilazi da je aritmetička sredina nepristrasna procjena matematičkog očekivanja, budući da je matematičko očekivanje aritmetičke sredine jednako matematičkom očekivanju slučajne varijable. Ova procjena je također konzistentna. Efikasnost ove procjene zavisi od vrste distribucije slučajne varijable
. ako npr.
normalno raspoređeno, procjena očekivane vrijednosti koristeći aritmetičku sredinu će biti efikasna.

Hajde da nađemo sada statistička evaluacija disperzija.

Izraz za statističku varijansu može se transformirati na sljedeći način

(2)

Nađimo sada matematičko očekivanje statističke varijanse

. (3)

S obzirom na to
(4)

dobijamo iz (3) -

Iz formule (6) se može vidjeti da se matematičko očekivanje statističke varijanse razlikuje za faktor od varijanse, tj. je pristrasna procjena varijanse populacije. To je zato što umjesto istinska vrijednost
, što je nepoznato, za procjenu varijanse koristi se statistička sredina .

Stoga uvodimo ispravljenu statističku varijansu

(7)

Tada je matematičko očekivanje ispravljene statističke varijanse

one. korigirana statistička varijansa je nepristrasna procjena varijanse populacije. Rezultirajuća procjena je također konzistentna.

CILJ PREDAVANJA: uvesti koncept procjene nepoznatog parametra distribucije i dati klasifikaciju takvih estimatora; dobiti tačke i intervalne procjene matematičkog očekivanja i varijanse.

U praksi, u većini slučajeva, zakon raspodjele slučajne varijable je nepoznat, a prema rezultatima opservacija
potrebno je procijeniti numeričke karakteristike (na primjer, matematičko očekivanje, varijansu ili drugi momenti) ili nepoznati parametar , koji definira zakon distribucije (gustina distribucije)
slučajna varijabla koja se proučava. Dakle, za eksponencijalnu ili Poissonovu distribuciju dovoljno je procijeniti jedan parametar, a za normalnu distribuciju već treba procijeniti dva parametra - matematičko očekivanje i varijansu.

Vrste ocjenjivanja

Slučajna vrijednost
ima gustinu vjerovatnoće
, gdje je nepoznat parametar distribucije. Kao rezultat eksperimenta, dobijene su vrijednosti ove slučajne varijable:
. Izrada procjene u suštini znači da vrijednosti uzorka slučajne varijable moraju biti povezane s određenom vrijednošću parametra , tj. stvoriti neku funkciju rezultata posmatranja
, čija se vrijednost uzima kao procjena parametar . Indeks označava broj izvedenih eksperimenata.

Poziva se svaka funkcija koja zavisi od rezultata posmatranja statistika. Pošto su rezultati posmatranja slučajne varijable, onda će i statistika biti slučajna varijabla. Dakle, procjena
nepoznati parametar treba posmatrati kao slučajnu varijablu, a njenu vrijednost izračunati iz eksperimentalne dati volumen, – kao jedna od mogućih vrijednosti ove slučajne varijable.

Procjene parametara distribucije (numeričke karakteristike slučajne varijable) dijele se na tačke i intervale. Point Estimation parametar određena jednim brojem , a njegovu tačnost karakterizira varijansa procjene. intervalna procjena naziva se procjena, koja je određena sa dva broja, i – po krajevima intervala koji pokriva procijenjeni parametar sa datim nivoom samopouzdanja.

Klasifikacija bodovnih procjena

Da se napravi tačkasta procjena nepoznatog parametra
je najbolji u smislu tačnosti, mora biti dosljedan, nepristrasan i efikasan.

Bogati zove rezultat
parametar , ako konvergira po vjerovatnoći procijenjenom parametru, tj.

. (8.8)

Na osnovu nejednakosti Čebiševa, može se pokazati da dovoljno stanje relacija (8.8) je jednakost

.

Konzistentnost je asimptotska karakteristika procjene za
.

nepristrasan zove rezultat
(procjena bez sistematske greške), čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru, tj.

. (8.9)

Ako jednakost (8.9) nije zadovoljena, onda se procjena naziva pristrasna. Razlika
naziva se pristrasnost ili pristrasnost procjene. Ako je jednakost (8.9) zadovoljena samo za
, tada se odgovarajuća procjena naziva asimptotski nepristrasna.

Treba napomenuti da ako je konzistentnost gotovo obavezan uslov za sve procjene koje se koriste u praksi (nekonzistentne procjene se koriste izuzetno rijetko), onda je svojstvo nepristrasnosti samo poželjno. Mnogi često korišteni procjenitelji nemaju svojstvo nepristrasnosti.

U opštem slučaju, tačnost procene određenog parametra dobijene na osnovu eksperimentalnih podataka
, karakterizira srednja kvadratna greška

,

koji se može dovesti u formu

,

gdje je disperzija,
je kvadrat pristranosti procjene.

Ako je procjena nepristrasna, onda

U finalu procjene se mogu razlikovati za srednji kvadrat greške . Naravno, što je manja ova greška, to su vrijednosti evaluacije bliže grupisane oko procijenjenog parametra. Stoga je uvijek poželjno da greška procjene bude što manja, tj. uslov

. (8.10)

Procjena zadovoljavajući uslov (8.10) naziva se procjena sa minimalnom greškom na kvadrat.

efikasan zove rezultat
, za koje srednja kvadratna greška nije veća od srednje kvadratne greške bilo koje druge procjene, tj.

gdje – bilo koja druga procjena parametara .

Poznato je da je varijansa bilo koje nepristrasne procjene jednog parametra zadovoljava Cramer–Rao nejednakost

,

gdje
– gustina distribucije uslovne verovatnoće dobijenih vrednosti slučajne varijable sa pravom vrednošću parametra .

Dakle, nepristrasni procjenitelj
, za koji Cramer-Rao nejednakost postaje jednakost, bit će efektivna, tj. takva procjena ima minimalnu varijansu.

Tačkaste procjene matematičkog očekivanja i varijanse

Ako uzmemo u obzir slučajnu varijablu
, koji ima matematičko očekivanje i disperzija , pretpostavlja se da su oba ova parametra nepoznata. Dakle, preko slučajne varijable
proizvedeno nezavisni eksperimenti koji daju rezultate:
. Potrebno je pronaći konzistentne i nepristrasne procjene nepoznatih parametara i .

Prema procjenama i obično se biraju statistička (uzorkova) sredina i statistička (uzorkova) varijansa:

; (8.11)

. (8.12)

Procjena očekivanja (8.11) je konzistentna prema zakonu velikih brojeva (Čebiševljev teorem):

.

Matematičko očekivanje slučajne varijable

.

Dakle, procjena je nepristrasan.

Disperzija procjene matematičkog očekivanja:

Ako je slučajna varijabla
raspoređeni prema normalnom zakonu, zatim procjena je takođe efikasan.

Matematičko očekivanje procjene varijanse

U isto vrijeme

.

As
, a
, onda dobijamo

. (8.13)

dakle,
je pristrasna procjena, iako je konzistentna i efikasna.

Iz formule (8.13) slijedi da bi se dobila nepristrasna procjena
varijansu uzorka (8.12) treba modificirati na sljedeći način:

što se smatra "boljim" od procjene (8.12), iako za velike ove procjene su skoro jednake jedna drugoj.

Metode za dobijanje procjena parametara distribucije

Često u praksi, na osnovu analize fizičkog mehanizma koji generiše slučajnu varijablu
, možemo zaključiti o zakonu raspodjele ove slučajne varijable. Međutim, parametri ove distribucije su nepoznati i moraju se procijeniti na osnovu rezultata eksperimenta, koji se obično predstavljaju kao konačni uzorak.
. Za rješavanje takvog problema najčešće se koriste dvije metode: metoda momenata i metoda maksimalne vjerovatnoće.

Metoda momenata. Metoda se sastoji u izjednačavanju teorijskih momenata sa odgovarajućim empirijskim momentima istog reda.

Empirijski početni momenti red se određuju formulama:

,

i odgovarajućih teoretskih početnih momenata th red - formule:

za diskretne slučajne varijable,

za kontinuirane slučajne varijable,

gdje je procijenjeni parametar distribucije.

Dobiti procjene parametara distribucije koja sadrži dva nepoznata parametra i , sistem se sastoji od dvije jednačine

gdje i – teorijski i empirijski centralne tačke drugi red.

Rješenje sistema jednačina su procjene i nepoznati parametri distribucije i .

Izjednačavajući teorijske empirijske početne momente prvog reda, dobijamo da procjenom matematičkog očekivanja slučajne varijable
, koji ima proizvoljnu distribuciju, bit će srednja vrijednost uzorka, tj.
. Zatim, izjednačavajući teorijske i empirijske centralne momente drugog reda, dobijamo da je procjena varijanse slučajne varijable
, koji ima proizvoljnu distribuciju, određuje se formulom

.

Na sličan način se mogu naći procjene teorijskih momenata bilo kojeg reda.

Metoda momenata je jednostavna i ne zahtijeva složene proračune, ali su procjene dobivene ovom metodom često neefikasne.

Metoda maksimalne vjerovatnoće. Metoda maksimalne vjerovatnoće tačkaste procjene nepoznatih parametara distribucije svodi se na pronalaženje maksimalne funkcije jednog ili više procijenjenih parametara.

Neka bude
je kontinuirana slučajna varijabla, koja kao rezultat testovi su uzimali vrijednosti
. Da biste dobili procjenu nepoznatog parametra potrebno je pronaći vrijednost , pri čemu bi vjerovatnoća realizacije dobijenog uzorka bila maksimalna. As
su međusobno nezavisne veličine sa istom gustinom verovatnoće
, onda funkcija vjerovatnoće pozvati funkciju argumenta :

Procjena maksimalne vjerovatnoće parametra ova vrijednost se zove , pri kojoj funkcija vjerovatnoće dostiže svoj maksimum, tj. rješenje je jednadžbe

,

što očigledno zavisi od rezultata testa
.

Budući da funkcije
i
dostići maksimum pri istim vrijednostima
, zatim često, da pojednostave proračune, koriste logaritamsku funkciju vjerovatnoće i traže korijen odgovarajuće jednadžbe

,

koji se zove jednadžba vjerovatnoće.

Ako trebate procijeniti nekoliko parametara
distribucija
, tada će funkcija vjerovatnoće ovisiti o ovim parametrima. Da biste pronašli procjene
distributivnih parametara, potrebno je riješiti sistem jednačine vjerovatnoće

.

Metoda maksimalne vjerovatnoće daje konzistentne i asimptotski efikasne procjene. Međutim, procjene dobijene metodom maksimalne vjerovatnoće ponekad su pristrasne, a osim toga, da bi se pronašle procjene, često se moraju riješiti prilično složeni sistemi jednačina.

Intervalne procjene parametara

Preciznost bodovnih procjena karakterizira njihova disperzija. Istovremeno, nema informacija o tome koliko su dobijene procjene bliske pravim vrijednostima parametara. U nizu zadataka potrebno je ne samo pronaći parametar odgovarajuću numeričku vrijednost, ali i ocijeniti njegovu tačnost i pouzdanost. Potrebno je otkriti do kojih grešaka može dovesti zamjena parametara. svoju tačku procenu i sa kojim stepenom samopouzdanja možemo očekivati ​​da ove greške neće preći poznate granice.

Takvi problemi su posebno relevantni za mali broj eksperimenata. kada je tačka procjene uglavnom slučajna i približna zamjena na može dovesti do značajnih grešaka.

Potpuniji i pouzdaniji način za procjenu parametara distribucija je da se odredi ne vrijednost jedne tačke, već interval koji, sa datom vjerovatnoćom, pokriva pravu vrijednost procijenjenog parametra.

Pusti rezultate eksperimentima, dobije se nepristrasna procjena
parametar . Potrebno je procijeniti moguću grešku. Odabrana je neka dovoljno velika vjerovatnoća
(na primjer), takav da se događaj sa ovom vjerovatnoćom može smatrati praktički sigurnim događajem i takva vrijednost se nalazi , za koji

. (8.15)

U ovom slučaju, raspon praktički mogućih vrijednosti greške koja se javlja prilikom zamjene na , će
, i veliki apsolutna vrijednost greške će se pojaviti samo sa malom vjerovatnoćom .

Izraz (8.15) znači da sa vjerovatnoćom
nepoznata vrijednost parametra pada u interval

. (8.16)

Vjerovatnoća
pozvao nivo samopouzdanja, i interval pokrivanje sa vjerovatnoćom poziva se prava vrijednost parametra interval povjerenja. Imajte na umu da je netačno reći da vrijednost parametra leži unutar intervala povjerenja s vjerovatnoćom . Korišteni izraz (pokriva) znači da iako je procijenjeni parametar nepoznat, on ima konstantnu vrijednost i stoga nema širenje, jer nije slučajna varijabla.

Osnovna svojstva tačkastih procjena

Da bi procjena imala praktičnu vrijednost, ona mora imati sljedeća svojstva.

1. Procjena parametra se naziva nepristrasna ako je njeno matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru, tj.

Ako jednakost (22.1) nije zadovoljena, tada procjena može ili precijeniti vrijednost (M>) ili je podcijeniti (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Procjena parametra se naziva konzistentnom ako se pridržava zakona velikih brojeva, tj. konvergira po vjerovatnoći procijenjenom parametru sa neograničenim povećanjem broja eksperimenata (zapažanja) i stoga je zadovoljena sljedeća jednakost:

gdje je > 0 proizvoljno mali broj.

Da bi (22.2) vrijedilo, dovoljno je da varijansa procjene teži nuli kao, tj.

i štaviše, da estimator bude nepristrasan. Lako je prijeći sa formule (22.3) na (22.2) ako koristimo Čebiševljevu nejednakost.

Dakle, konzistentnost procjene znači da je uz dovoljno veliki broj eksperimenata i sa proizvoljno visokom sigurnošću, odstupanje procjene od prave vrijednosti parametra manje od bilo kojeg unaprijed postavljena vrijednost. Ovo opravdava povećanje veličine uzorka.

Budući da je slučajna varijabla čija vrijednost varira od uzorka do uzorka, onda će mjera njene disperzije oko matematičkog očekivanja biti okarakterisana varijansom D. Neka su i dvije nepristrasne procjene parametra, tj. M = i M = , odnosno D i D i, ako je D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Nepristrasna procjena koja ima najmanju varijansu među svim mogućim nepristrasnim procjenama parametara izračunatim iz uzoraka iste veličine naziva se efektivna procjena.

U praksi, prilikom procene parametara nije uvek moguće istovremeno zadovoljiti zahteve 1, 2, 3. Međutim, izboru procene uvek treba da prethodi njeno kritičko ispitivanje sa svih tačaka gledišta. Prilikom uzorkovanja praktične metode prilikom obrade eksperimentalnih podataka, potrebno je voditi se formulisanim svojstvima procjena.

Procjena matematičkog očekivanja i varijanse za uzorak

Najvažnije karakteristike slučajne varijable su matematičko očekivanje i varijansa. Razmotrite pitanje koje karakteristike uzorka najbolje procjenjuju matematička očekivanja i varijansu u smislu nepristrasnosti, efikasnosti i konzistentnosti.

Teorema 23.1. Aritmetička sredina izračunata iz n nezavisnih opservacija nad slučajnom varijablom koja ima matematičko očekivanje M = je nepristrasna procjena ovog parametra.

Dokaz.

Neka - n nezavisnih zapažanja nad slučajnom varijablom. Po uslovu M = , i pošto su slučajne varijable i imaju isti zakon raspodjele, dakle. Po definiciji, aritmetička sredina

Razmotrimo matematičko očekivanje aritmetičke sredine. Koristeći svojstvo matematičkog očekivanja, imamo:

one. . Na osnovu (22.1) je nepristrasna procjena. ?

Teorema 23.2 . Aritmetička sredina izračunata iz n nezavisnih posmatranja slučajne varijable koja ima M = u je konzistentna procjena ovog parametra.

Dokaz.

Neka - n nezavisnih zapažanja nad slučajnom varijablom. Tada, na osnovu teoreme 23.1, imamo M = .

Za aritmetičku sredinu pišemo Čebiševljevu nejednakost:

Koristeći svojstva disperzije 4.5 i (23.1), imamo:

jer prema teoremi.

dakle,

Dakle, varijansa aritmetičke sredine je n puta manja od varijanse slučajne varijable. Onda

što znači da je to konzistentna procjena.

Komentar : 1 . Bez dokaza prihvatamo rezultat koji je veoma važan za praksu. Ako je N (a,), onda je nepristrasna procjena matematičkog očekivanja a ima minimalnu varijansu jednaku, stoga je efektivna procjena parametra a. ?

Pređimo na procjenu varijanse i provjerimo je li dosljednost i nepristrasnost.

Teorema 23.3 . Ako a slučajni uzorak sastoji se od n nezavisnih opservacija na slučajnoj varijabli sa

M = i D = , zatim varijansu uzorka

nije nepristrasna procjena D - generalne varijanse.

Dokaz.

Neka - n nezavisnih zapažanja nad slučajnom varijablom. Uslovno i za svakoga. Transformiramo formulu (23.3) varijanse uzorka:

Hajde da pojednostavimo izraz

Uzimajući u obzir (23.1), odakle

Neka slučajna varijabla s nepoznatim matematičkim očekivanjem i varijansom bude podvrgnuta nezavisnim eksperimentima koji su dali rezultate - . Izračunajmo dosljedne i nepristrasne procjene za parametre i .

Kao procjenu matematičkog očekivanja, uzimamo aritmetičku sredinu eksperimentalnih vrijednosti

. (2.9.1)

Prema zakonu velikih brojeva, ova procjena je bogati , sa veličinom u vjerovatnoći. Ista procjena je nepristrasan , ukoliko

. (2.9.2)

Varijanca ove procjene je

. (2.9.3)

Može se pokazati da je za normalnu distribuciju ova procjena efektivno . Za druge zakone to možda nije slučaj.

Procijenimo sada varijansu. Odaberimo prvo formulu za procjenu statistička disperzija

. (2.9.4)

Provjerimo konzistentnost procjene varijanse. Otvorimo zagrade u formuli (2.9.4)

.

Za , prvi član konvergira po vjerovatnoći količini , u drugom - do . Dakle, naša procjena konvergira po vjerovatnoći s varijansom

,

dakle ona je bogati .

Hajde da proverimo nepristrasnost procjene količine. Da bismo to učinili, zamjenjujemo izraz (2.9.1) u formulu (2.9.4) i uzimamo u obzir da slučajne varijable nezavisni

,

. (2.9.5)

Prijeđimo u formuli (2.9.5) na fluktuacije slučajnih varijabli

Proširujući zagrade, dobijamo

,

. (2.9.6)

Izračunajmo matematičko očekivanje vrijednosti (2.9.6), uzimajući to u obzir

. (2.9.7)

Relacija (2.9.7) pokazuje da je vrijednost izračunata po formuli (2.9.4) nije nepristrasna procjena za disperziju. Njegovo matematičko očekivanje nije jednako, već nešto manje. Ova procjena vodi do sistematska greška ka smanjenju. Da bi se eliminisala takva pristranost, potrebno je uvesti korekciju množenjem, a ne vrijednosti . Tada takva ispravljena statistička varijansa može poslužiti kao nepristrasna procjena varijanse

. (2.9.8)

Ova procjena je jednako konzistentna kao i procjena , jer za .

U praksi, umjesto procjene (2.9.8), ponekad je zgodnije koristiti ekvivalentnu procjenu koja se odnosi na drugi početni statistički trenutak

. (2.9.9)

Procjene (2.9.8), (2.9.9) nisu efikasne. Može se pokazati da će u slučaju normalne distribucije biti asimptotski efikasan (kada će težiti minimalnoj mogućoj vrijednosti).

Dakle, možemo formulirati sljedeća pravila za obradu ograničenog volumena statistički materijal. Ako u nezavisnim eksperimentima slučajna varijabla uzima vrijednosti sa nepoznatim matematičkim očekivanjem i varijansom , tada za određivanje ovih parametara treba koristiti približne procjene

(2.9.10)

Kraj rada -

Ova tema pripada:

Bilješke s predavanja o matematičkoj teoriji vjerojatnosti matematičkoj statistici

odjelu višu matematiku i informatika.. bilješke sa predavanja.. iz matematike..

Ako vam je potreban dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam se ovaj materijal pokazao korisnim, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

tweet

Sve teme u ovoj sekciji:

Teorija vjerovatnoće
Teorija vjerovatnoće je grana matematike koja proučava obrasce pojava slučajnih masa. Slučajnost je fenomen koji

Statistička definicija vjerovatnoće
Događaj je slučajna pojava koja se, kao rezultat iskustva, može pojaviti ili ne mora (fenomen dvije vrijednosti). Označite događaje velikim latiničnim slovima

Prostor elementarnih događaja
Neka skup događaja bude povezan sa nekim iskustvom, i: 1) kao rezultat iskustva, jedan i jedini

Akcije na događaje
Zbir dva događaja i

Permutacije
Broj različitih permutacija elemenata je označen

Smještaj
Postavljanje elemenata po

Kombinacije
Kombinacija elemenata

Formula za dodavanje vjerovatnoća za nekompatibilne događaje
Teorema. Vjerovatnoća zbira dva nekompatibilni događaji jednak je zbiru vjerovatnoća ovih događaja. (jedan

Formula zbrajanja vjerovatnoće za proizvoljne događaje
Teorema. Vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez vjerovatnoće njihovog proizvoda.

Formula množenja vjerovatnoće
Neka su data dva događaja. Razmotrite događaj

Formula ukupne vjerovatnoće
Neka je potpuna grupa nekompatibilnih događaja, oni se nazivaju hipotezama. Razmislite o nekom događaju

Formula vjerovatnoća hipoteza (Bayes)
Razmotrimo ponovo - kompletnu grupu nekompatibilnih hipoteza i događaja

Asimptotska Poissonova formula
U slučajevima kada je broj pokušaja veliki i vjerovatnoća nastanka događaja

Slučajne diskretne varijable
Slučajna vrijednost je veličina koja, kada se eksperiment ponovi, može poprimiti nejednake numeričke vrijednosti. Slučajna varijabla se naziva diskretna,

Slučajne kontinuirane varijable
Ako, kao rezultat eksperimenta, slučajna varijabla može poprimiti bilo koju vrijednost iz određenog segmenta ili cijele realne ose, tada se naziva kontinuirana. zakon

Funkcija gustoće vjerovatnoće slučajne kontinuirane varijable
Neka bude. Razmotrite tačku i dajte joj prirast

Numeričke karakteristike slučajnih varijabli
Slučajne diskretne ili kontinuirane varijable smatraju se potpuno specificiranim ako su poznati njihovi zakoni distribucije. Zaista, poznavajući zakone raspodjele, uvijek se može izračunati vjerovatnoća udara

Kvantili slučajnih varijabli
Kvantil reda slučajne kontinuirane varijable

Matematičko očekivanje slučajnih varijabli
Matematičko očekivanje slučajne varijable karakteriše njenu prosječnu vrijednost. Sve vrijednosti slučajne varijable su grupisane oko ove vrijednosti. Razmotrimo prvo slučajnu diskretnu varijablu

Standardna devijacija i varijansa slučajnih varijabli
Razmotrimo prvo slučajnu diskretnu varijablu. Numeričke karakteristike modusa, medijana, kvantila i matematičko očekivanje

Trenuci slučajnih varijabli
Pored matematičkog očekivanja i disperzije, teorija vjerovatnoće koristi numeričke karakteristike višeg reda, koje se nazivaju momenti slučajnih varijabli.

Teoreme o numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli
Teorema 1. Matematičko očekivanje neslučajne varijable jednako je ovoj vrijednosti. Dokaz: Neka

Zakon binomne distribucije

Poissonov zakon distribucije
Neka nasumična diskretna varijabla uzima vrijednosti

Zakon o jedinstvenoj distribuciji
Ujednačeni zakon distribucije slučajne kontinuirane varijable je zakon funkcije gustoće vjerovatnoće, koja

Zakon normalne distribucije
Normalni zakon raspodjele slučajne kontinuirane varijable je zakon funkcije gustoće

Zakon eksponencijalne distribucije
Eksponencijalna ili eksponencijalna distribucija slučajne varijable koristi se u takvim aplikacijama teorije vjerovatnoće kao što je teorija queuing, teorija pouzdanosti

Sistemi slučajnih varijabli
U praksi, u primjenama teorije vjerojatnosti, često se susreću s problemima u kojima se rezultati eksperimenta ne opisuju jednom slučajnom varijablom, već nekoliko slučajnih varijabli odjednom.

Sistem od dvije slučajne diskretne varijable
Neka dva slučajna diskretne količine formiraju sistem. Slučajna vrijednost

Sistem od dvije slučajne kontinuirane varijable
Sada neka sistem formiraju dvije slučajne kontinuirane varijable. Zakon distribucije ovog sistema naziva se vjerovatno

Uslovni zakoni distribucije
Neka i zavisne slučajne kontinuirane varijable

Numeričke karakteristike sistema od dvije slučajne varijable
Početni trenutak reda sistema slučajnih varijabli

Sistem od nekoliko slučajnih varijabli
Rezultati dobijeni za sistem od dvije slučajne varijable mogu se generalizirati na slučaj sistema koji se sastoji od proizvoljnog broja slučajnih varijabli. Neka sistem formira skup

Normalna distribucija sistema dvije slučajne varijable
Razmotrimo sistem od dva slučajna kontinuirane količine. Zakon distribucije ovog sistema je normalan zakon rasp

Granične teoreme teorije vjerovatnoće
Glavni cilj discipline teorije vjerovatnoće je proučavanje obrazaca slučajnih masovnih pojava. Praksa pokazuje da posmatranje mase homogenih slučajnih pojava otkriva

Čebiševljeva nejednakost
Razmotrite slučajnu varijablu s matematičkim očekivanjem

Čebiševljeva teorema
Ako su slučajne varijable nezavisne po parovima i imaju konačne varijanse ograničene u populaciji

Bernulijeva teorema
Sa neograničenim povećanjem broja eksperimenata, učestalost pojave događaja konvergira se u vjerovatnoći s vjerovatnoćom događaja

Centralna granična teorema
Prilikom dodavanja slučajnih varijabli s bilo kojim zakonima distribucije, ali s varijacijama ograničenim u agregatu, zakon distribucije

Glavni zadaci matematičke statistike
Zakoni teorije vjerovatnoće o kojima se gore raspravljalo su matematički izraz stvarnih obrazaca koji stvarno postoje u raznim pojavama slučajne mase. studiranje

Jednostavna statistika. Statistička funkcija raspodjele
Razmotrimo neku slučajnu varijablu čiji je zakon distribucije nepoznat. Obavezno na osnovu iskustva

Statistička linija. bar grafikona
Uz veliki broj zapažanja (reda stotina) stanovništva postaje nezgodno i glomazno za snimanje statističkog materijala. Za preglednost i kompaktnost, statistički materijal

Numeričke karakteristike statističke distribucije
U teoriji vjerovatnoće razmatrane su različite numeričke karakteristike slučajnih varijabli: matematičko očekivanje, varijansa, početni i centralni momenti različitog reda. Slični brojevi

Izbor teorijske raspodjele metodom momenata
U bilo kojoj statističkoj distribuciji, neizbježno postoje elementi slučajnosti povezani s ograničenim brojem opservacija. Uz veliki broj zapažanja, ovi elementi slučajnosti su izglađeni,

Testiranje vjerodostojnosti hipoteze o obliku zakona raspodjele
Neka se data statistička distribucija aproksimira nekom teorijskom krivom ili

Kriteriji pristanka
Razmotrite jedan od najčešće korištenih testova dobrote pristajanja, takozvani Pearsonov test. Pretpostavimo

Procjene bodova za nepoznate parametre distribucije
U p.p. 2.1. – 2.7 detaljno smo razmotrili načine rješavanja prvog i drugog glavnog zadatka matematičke statistike. To su zadaci utvrđivanja zakona raspodjele slučajnih varijabli prema eksperimentalnim podacima

Interval povjerenja. Vjerovatnoća povjerenja
U praksi, uz mali broj eksperimenata na slučajnoj varijabli, približna zamjena nepoznatog parametra