Formule aritmetičke progresije kako pronaći e. Samostalni rad u parovima

Aritmetičke i geometrijske progresije

Teorijske informacije

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, dodat istim brojem d (d- razlika u napredovanju)	geometrijska progresija b n naziva se niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem q (q- imenilac progresije)
Rekurentna formula	Za bilo koji prirodni n a n + 1 = a n + d	Za bilo koji prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula n-tog člana	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
karakteristično svojstvo
Zbir prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Vježba 1

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Po uslovu:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d.

Potrebno je pronaći razliku progresija:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 2

Naći peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. način (koristeći n-term formulu)

Prema formuli n-tog člana geometrijske progresije:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

As b 1 = -3,

2. način (koristeći rekurzivnu formulu)

Pošto je imenilac progresije -2 (q = -2), onda:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Odgovor: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju, karakteristično svojstvo ima oblik .

dakle:

.

Zamijenite podatke u formuli:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Naći zbir prvih sedamnaest članova.

Da bi se pronašao zbir prvih n članova aritmetičke progresije, koriste se dvije formule:

.

Koje je od njih pogodnije primijeniti u ovom slučaju?

Po uslovu je poznata formula n-tog člana originalne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Može se odmah pronaći i a 1, i a 16 bez pronalaženja d . Stoga koristimo prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Po uslovu, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresija:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zabilježeno je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Pronađite termin progresije, označen slovom x.

Prilikom rješavanja koristimo formulu za n-ti član b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od ovih članova progresije i podijeliti s prethodnim. U našem primjeru možete uzeti i podijeliti po. Dobijamo da je q = 3. Umjesto n, u formulu zamjenjujemo 3, jer je potrebno pronaći treći član date geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobijamo:

.

Odgovor: .

Zadatak 7

Od aritmetičkih progresija datih formulom n-tog člana, izaberite onu za koju je uslov zadovoljen a 27 > 9:

Pošto navedeni uslov mora biti zadovoljen za 27. član progresije, u svakoj od četiri progresije zamjenjujemo 27 umjesto n. U 4. progresiji dobijamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveću vrijednost n za koju vrijedi nejednakost a n > -6.

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrite šta je niz brojeva, pošto je aritmetička progresija poseban slučaj niza brojeva.

Numerički niz je numerički skup čiji svaki element ima svoj serijski broj. Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Redni broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji zavisnost između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga, možemo smatrati niz kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, to se može reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može odrediti na tri načina:

1 . Redoslijed se može specificirati korištenjem tabele. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, neko je odlučio upravljati osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, on će dobiti niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele sadrži broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a u petak samo 15.

2 . Redoslijed se može specificirati korištenjem formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza od njegovog broja izražava se direktno kao formula.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu za n-ti član.

Isto radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Umjesto toga zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbi funkcije:

ako npr. , onda

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljne numeričke funkcije, samo prirodni broj može biti argument.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza sa brojem n o vrijednosti prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ovaj način sekvenciranja se zove ponavljajuća, od latinske riječi recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj numeričkog niza.

Aritmetička progresija naziva se numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodanom istim brojem.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili nula.

Ako title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; osam; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadanje.

Na primjer, 2; -jedan; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

.

Podijelite obje strane jednačine sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, onda

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije počinje sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo da za članove aritmetičke progresije vrijede sljedeće relacije:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti u terminima i . Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova koji su jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedni drugima:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbroj n članova ove progresije jednak .

Rasporedite pojmove progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Hajde da ga uparimo:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmislite rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Dobili smo da razlika dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

a) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , Zbog toga

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima je svaki broj veći (ili manji) od prethodnog za isti iznos.

Ova tema je često teška i nerazumljiva. Slovni indeksi, n-ti član progresije, razlika progresije - sve je to nekako zbunjujuće, da... Hajde da shvatimo značenje aritmetičke progresije i sve će se odmah riješiti.)

Koncept aritmetičke progresije.

Aritmetička progresija je vrlo jednostavan i jasan koncept. Sumnja? Uzalud.) Uvjerite se sami.

Napisaću nedovršeni niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Možete li produžiti ovu liniju? Koji će brojevi ići sljedeći, nakon petice? Svi... ovaj... ukratko, svi će shvatiti da će brojevi 6, 7, 8, 9 itd. ići dalje.

Hajde da zakomplikujemo zadatak. Dajem nedovršeni niz brojeva:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Možete uhvatiti uzorak, produžiti seriju i imenovati sedmi broj reda?

Ako ste shvatili da je ovaj broj 20 - čestitam vam! Ne samo da ste osetili ključne tačke aritmetičke progresije, ali ih i uspješno koristi u poslovanju! Ako ne razumete, čitajte dalje.

A sada da prevedemo ključne tačke iz senzacija u matematiku.)

Prva ključna tačka.

Aritmetička progresija se bavi nizovima brojeva. Ovo je u početku zbunjujuće. Navikli smo da rješavamo jednadžbe, gradimo grafove i sve to... I onda produžimo niz, nađemo broj niza...

Uredu je. Samo što su progresije prvo upoznavanje sa novom granom matematike. Odjeljak se zove "Serija" i radi sa nizovima brojeva i izraza. Naviknuti se na nešto.)

Druga ključna tačka.

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji broj se razlikuje od prethodnog za isti iznos.

U prvom primjeru ova razlika je jedna. Koji god broj da uzmete, jedan je više od prethodnog. U drugom - tri. Bilo koji broj je tri puta veći od prethodnog. Zapravo, ovaj trenutak nam daje priliku da uhvatimo obrazac i izračunamo sljedeće brojeve.

Treća ključna tačka.

Ovaj trenutak nije upečatljiv, da... Ali veoma, veoma važan. Eno ga: svaki broj progresije je na svom mjestu. Postoji prvi broj, postoji sedmi, postoji četrdeset peti i tako dalje. Ako ih slučajno zbunite, obrazac će nestati. Aritmetička progresija će također nestati. To je samo niz brojeva.

To je cela poenta.

Naravno, novi termini i oznake se pojavljuju u novoj temi. Moraju znati. U suprotnom, nećete razumjeti zadatak. Na primjer, morate odlučiti nešto poput:

Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n) ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Da li inspiriše?) Slova, neki indeksi... A zadatak, inače, nije mogao biti lakši. Vi samo trebate razumjeti značenje pojmova i oznaka. Sada ćemo savladati ovu materiju i vratiti se zadatku.

Termini i oznake.

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojima se svaki broj razlikuje od prethodnog za isti iznos.

Ova vrijednost se zove . Hajde da se pozabavimo ovim konceptom detaljnije.

Razlika aritmetičke progresije.

Razlika aritmetičke progresije je iznos za koji bilo koji broj progresije više prethodni.

Jedna važna tačka. Molimo obratite pažnju na riječ "više". Matematički, to znači da se dobija svaki broj progresije dodavanje razlika aritmetičke progresije u odnosu na prethodni broj.

Za izračunavanje, recimo sekunda brojeva reda, potrebno je prvo broj dodati upravo ova razlika aritmetičke progresije. Za obračun peti- razlika je neophodna dodati to četvrto pa itd.

Razlika aritmetičke progresije možda pozitivno tada će se svaki broj serije pokazati kao stvaran više od prethodnog. Ova progresija se zove povećanje. Na primjer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ovdje je svaki broj dodavanje pozitivan broj, +5 na prethodni.

Razlika može biti negativan tada će svaki broj u nizu biti manje od prethodnog. Ova progresija se zove (nećete vjerovati!) opadajući.

Na primjer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ovdje se dobija i svaki broj dodavanje na prethodni, ali već negativan broj, -5.

Inače, kada radite s progresijom, vrlo je korisno odmah odrediti njenu prirodu - da li se povećava ili smanjuje. Mnogo pomaže da se snađete u odluci, da otkrijete svoje greške i ispravite ih prije nego što bude prekasno.

Razlika aritmetičke progresije obično se označava slovom d.

Kako pronaći d? Veoma jednostavno. Potrebno je oduzeti bilo koji broj serije prethodni broj. Oduzmi. Usput, rezultat oduzimanja naziva se "razlika".)

Definirajmo npr. d za rastuću aritmetičku progresiju:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Uzimamo bilo koji broj reda koji želimo, na primjer, 11. Oduzmimo od njega prethodni broj one. osam:

Ovo je tačan odgovor. Za ovu aritmetičku progresiju, razlika je tri.

Možeš samo uzeti bilo koji broj progresija, jer za konkretnu progresiju d-uvijek isto. Bar negdje na početku reda, barem u sredini, barem bilo gdje. Ne možete uzeti samo prvi broj. Samo zbog prvog broja bez prethodnog.)

Usput, znajući to d=3, pronalaženje sedmog broja ove progresije je vrlo jednostavno. Petom broju dodajemo 3 - dobijamo šesti, biće 17. Šestom broju dodajemo tri, dobijamo sedmi broj - dvadeset.

Hajde da definišemo d za opadajuću aritmetičku progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Podsjećam da se, bez obzira na znakove, treba odrediti d potrebno sa bilo kojeg broja oduzeti prethodni. Biramo bilo koji broj progresije, na primjer -7. Njegov prethodni broj je -2. onda:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetičke progresije može biti bilo koji broj: cijeli, razlomak, iracionalan, bilo koji.

Ostali pojmovi i oznake.

Svaki broj u nizu se poziva član aritmetičke progresije.

Svaki član progresije ima svoj broj. Brojevi su striktno uredni, bez ikakvih trikova. Prvi, drugi, treći, četvrti itd. Na primjer, u progresiji 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi član, pet je drugi, jedanaest je četvrti, pa, razumete...) Molim vas jasno shvatite - sami brojevi može biti apsolutno bilo koji, cijeli, razlomak, negativan, bilo koji, ali numerisanje- strogo po redu!

Kako napisati progresiju u opštem obliku? Nema problema! Svaki broj u nizu je napisan kao slovo. Za označavanje aritmetičke progresije u pravilu se koristi slovo a. Broj člana je označen indeksom u donjem desnom uglu. Članovi se pišu odvojeni zarezima (ili tačkom i zarezom), ovako:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 je prvi broj a 3- treći itd. Ništa lukavo. Ovu seriju možete ukratko napisati ovako: (a n).

Postoje progresije konačno i beskonačno.

krajnji progresija ima ograničen broj članova. Pet, trideset osam, svejedno. Ali to je konačan broj.

Beskrajno progresija - ima beskonačan broj članova, kao što možete pretpostaviti.)

Možete napisati konačnu progresiju kroz seriju poput ove, sa svim članovima i tačkom na kraju:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ili ovako, ako ima mnogo članova:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

U kratkom unosu morate dodatno navesti broj članova. Na primjer (za dvadeset članova), ovako:

(a n), n = 20

Beskonačna progresija se može prepoznati po elipsi na kraju reda, kao u primjerima u ovoj lekciji.

Sada već možete rješavati zadatke. Zadaci su jednostavni, isključivo za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.

Primjeri zadataka za aritmetičku progresiju.

Pogledajmo detaljnije gornji zadatak:

1. Zapišite prvih šest članova aritmetičke progresije (a n), ako je a 2 = 5, d = -2,5.

Zadatak prevodimo na razumljiv jezik. S obzirom na beskonačnu aritmetičku progresiju. Drugi broj ove progresije je poznat: a 2 = 5. Poznata razlika u napredovanju: d = -2,5. Moramo pronaći prvog, trećeg, četvrtog, petog i šestog člana ove progresije.

Radi jasnoće, zapisaću niz prema stanju problema. Prvih šest članova, gdje je drugi član pet:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

a 3 = a 2 + d

Zamjenjujemo u izrazu a 2 = 5 i d=-2,5. Ne zaboravite minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Treći mandat je manji od drugog. Sve je logično. Ako je broj veći od prethodnog negativan vrijednost, pa će sam broj biti manji od prethodnog. Progresija se smanjuje. U redu, uzmimo to u obzir.) Smatramo da je četvrti član naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Dakle, termini od trećeg do šestog su izračunati. To je rezultiralo nizom:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Ostaje da se pronađe prvi pojam a 1 prema poznatom drugom. Ovo je korak u drugom smjeru, ulijevo.) Dakle, razlika aritmetičke progresije d ne treba dodati a 2, a oduzmi:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je sve. Odgovor na zadatak:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Usput napominjem da smo ovaj zadatak riješili ponavljajuća način. Ova strašna riječ znači samo potragu za članom progresije prethodnim (susednim) brojem. Drugi načini rada s progresijom bit će razmotreni kasnije.

Iz ovog jednostavnog zadatka može se izvući jedan važan zaključak.

Zapamtite:

Ako znamo barem jedan član i razliku aritmetičke progresije, možemo pronaći bilo koji član ove progresije.

Sećaš se? Ovaj jednostavan zaključak nam omogućava da riješimo većinu problema školskog kursa na ovu temu. Svi zadaci se vrte oko tri glavna parametra: član aritmetičke progresije, razlika progresije, broj člana progresije. Sve.

Naravno, sva prethodna algebra se ne poništava.) Nejednakosti, jednačine i druge stvari se vezuju za progresiju. Ali prema progresiji- sve se vrti oko tri parametra.

Na primjer, razmotrite neke popularne zadatke na ovu temu.

2. Zapišite konačnu aritmetičku progresiju kao niz ako je n=5, d=0,4 i a 1=3,6.

Ovdje je sve jednostavno. Sve je već dato. Morate zapamtiti kako se članovi aritmetičke progresije izračunavaju, broje i zapisuju. Preporučljivo je ne preskakati riječi u uslovu zadatka: "konačno" i " n=5". Da ne računate dok ne budete potpuno plav u licu.) Postoji samo 5 (pet) članova u ovoj progresiji:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaje zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Još jedan zadatak:

3. Odredite da li će broj 7 biti član aritmetičke progresije (a n) ako a 1 \u003d 4,1; d = 1.2.

Hmm... Ko zna? Kako nešto definisati?

Kako-kako... Da, zapišite progresiju u obliku serije i vidite hoće li biti sedam ili ne! Mi vjerujemo:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Sada se jasno vidi da nas je samo sedam provukao se između 6,5 i 7,7! Sedam nije ušlo u naš niz brojeva, pa stoga sedam neće biti član date progresije.

Odgovor: ne.

A evo zadatka zasnovanog na pravoj verziji GIA-e:

4. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; petnaest; X; devet; 6; ...

Evo serije bez kraja i početka. Nema brojeva članova, nema razlike d. Uredu je. Za rješavanje problema dovoljno je razumjeti značenje aritmetičke progresije. Hajde da vidimo šta možemo otkriti sa ove linije? Koji su parametri tri glavna?

Brojevi članova? Ovdje nema ni jednog broja.

Ali postoje tri broja i - pažnja! - riječ "uzastopno" u stanju. To znači da su brojevi strogo po redu, bez praznina. Ima li dva u ovom redu? susjedni poznati brojevi? Da imam! To su 9 i 6. Dakle, možemo izračunati razliku aritmetičke progresije! Oduzimamo od šest prethodni broj, tj. devet:

Ostalo je praznih mjesta. Koji će broj biti prethodni za x? Petnaest. Dakle, x se lako može naći jednostavnim sabiranjem. Na 15 dodajte razliku aritmetičke progresije:

To je sve. odgovor: x=12

Sljedeće probleme rješavamo sami. Napomena: ove zagonetke nisu za formule. Čisto za razumijevanje značenja aritmetičke progresije.) Samo zapišemo niz brojeva-slova, pogledamo i razmislimo.

5. Pronađite prvi pozitivni član aritmetičke progresije ako je a 5 = -3; d = 1.1.

6. Poznato je da je broj 5,5 član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 1,6; d = 1,3. Odrediti broj n ovog člana.

7. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Pronađite 3.

8. Ispisuje se nekoliko uzastopnih članova aritmetičke progresije:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Pronađite termin progresije, označen slovom x.

9. Vlak je krenuo sa stanice, postepeno povećavajući brzinu za 30 metara u minuti. Kolika će biti brzina voza za pet minuta? Odgovor dajte u km/h.

10. Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Pronađite 1.

Odgovori (u neredu): 7,7; 7.5; 9.5; devet; 0,3; 4.

Je li sve uspjelo? Nevjerovatno! Aritmetičku progresiju možete naučiti na višem nivou u sljedećim lekcijama.

Zar nije sve uspjelo? Nema problema. U Posebnom dijelu 555, svi ovi problemi su razbijeni na komade.) I, naravno, opisana je jednostavna praktična tehnika koja odmah ističe rješenje takvih zadataka jasno, jasno, kao na dlanu!

Inače, u slagalici o vozu postoje dva problema na koja se ljudi često spotiču. Jedan - čisto napredovanjem, a drugi - uobičajen za sve zadatke iz matematike, pa i fizike. Ovo je prijevod dimenzija s jedne na drugu. To pokazuje kako se ovi problemi trebaju riješiti.

U ovoj lekciji smo ispitali osnovno značenje aritmetičke progresije i njene glavne parametre. Ovo je dovoljno za rješavanje gotovo svih problema na ovu temu. Dodati d na brojke, napišite seriju, sve će se odlučiti.

Rješenje za prst dobro funkcionira za vrlo kratke komade serije, kao u primjerima u ovoj lekciji. Ako je niz duži, proračuni postaju složeniji. Na primjer, ako je u problemu 9 u pitanju, zamijenite "pet minuta" na "trideset pet minuta" problem će postati mnogo gori.)

A postoje i zadaci koji su jednostavni u suštini, ali krajnje apsurdni u smislu proračuna, na primjer:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

I šta, dodaćemo 1/6 mnogo, mnogo puta?! Da li je moguće da se ubijete!?

Možete.) Ako ne znate jednostavnu formulu po kojoj možete riješiti takve zadatke za minut. Ova formula će biti u sljedećoj lekciji. I taj problem je tu riješen. Za minut.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Zbir aritmetičke progresije.

Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, hajde da se pozabavimo značenjem i formulom sume. A onda ćemo odlučiti. Za vaše zadovoljstvo.) Značenje sume je jednostavno kao spuštanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, trebate samo pažljivo sabrati sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno ... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula štedi.

Formula sume je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će razjasniti mnogo toga.

S n je zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svečlanovi, sa prvo on zadnji. Važno je. Tačno zbrojite svečlanovi u nizu, bez razmaka i skokova. I, tačno, počevši od prvo. U problemima kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira članova od petog do dvadesetog, direktna primjena formule će biti razočaravajuća.)

a 1 - prvočlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj u redu. Ime nije baš poznato, ali kada se primeni na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n je broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih članova.

Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Popunjavajuće pitanje: kakav će član posljednje, ako je dato beskrajno aritmetička progresija?

Za pouzdan odgovor morate razumjeti osnovno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje treba ograničiti. Inače, konačan, specifičan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno kakva je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije bitno kako je dat: nizom brojeva ili formulom n-tog člana.

Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali ništa, u primjerima ispod ćemo otkriti ove tajne.)

Primjeri zadataka za zbir aritmetičke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima za zbir aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera u detalje. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbir prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Šta treba da znamo da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg termina n.

Gdje dobiti posljednji članski broj n? Da, tamo, u stanju! Piše pronađite sumu prvih 10 članova. Pa, koji će to biti broj posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo formulu a 10, ali umjesto toga n- deset. Opet, broj posljednjeg člana je isti kao i broj članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 i a 10. To se lako izračunava formulom n-tog člana, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ovoga - ništa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i računati:

To je sve. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.

Odmah pišemo formulu sume:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobićemo:

Dajemo slične, dobijamo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban. a n. U nekim zadacima ova formula puno pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. I možete ga jednostavno povući u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, formula za zbir i formula za n-ti član moraju se pamtiti na svaki način.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Pronađite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višekratnici tri.

Kako! Nema prvog člana, nema poslednjeg, nema napredovanja uopšte... Kako živjeti!?

Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz stanja izvući sve elemente zbira aritmetičke progresije. Šta su dvocifreni brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) zadnja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...

Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su jednako djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema stanju problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Svakako! Svaki termin se razlikuje od prethodnog striktno za tri. Ako se terminu doda 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj se više neće dijeliti sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do hrpe: d = 3. Korisno!)

Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi - uvijek idu redom, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super vrijedne. Možete naslikati progresiju, cijeli niz brojeva i prebrojati broj pojmova prstom.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobijamo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.

Gledamo formulu za zbir aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje količine iz stanja problema:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:

Odgovor: 1665

Još jedna vrsta popularnih zagonetki:

4. Zadana je aritmetička progresija:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađi zbir pojmova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu zbira i ... uznemireni smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbir od prvečlan. A u zadatku morate izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, oslikati cijelu progresiju u nizu, i staviti pojmove od 20 do 34. Ali ... nekako ispadne glupo i dugo, zar ne?)

Postoji elegantnije rešenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo je zbiru članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ovo pokazuje da se nalazi zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba suma na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Počinjemo li?

Izvlačimo parametre progresije iz uslova zadatka:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Računamo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Ništa nije ostalo. Oduzmite zbir 19 članova od zbira 34 člana:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna funkcija u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo što, čini se, nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često štedi u zlim zagonetkama.)

U ovoj lekciji razmatrali smo probleme za čije je rješavanje dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Kada rješavate bilo koji zadatak za zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula n-tog člana:

Ove formule će vam odmah reći šta da tražite, u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA-i.

7. Vasya je uštedio novac za praznik. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da najvoljenijoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasja?

Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da je dato numerički niz :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 pozvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći itd. Broj a n pozvao n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susedna člana a n i a n +1 sekvence članova a n +1 pozvao naknadno (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste specificirali niz, morate specificirati metodu koja vam omogućava da pronađete član niza s bilo kojim brojem.

Često je niz dat sa formule n-tog člana , odnosno formula koja vam omogućava da odredite član niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i redoslijed naizmjeničnog 1 i -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti ponavljajuća formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jedan ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti final i beskrajno .

Slijed se zove krajnji ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajno ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvocifrenih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Redoslijed prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajno. ◄

Slijed se zove povećanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Slijed se zove opadanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja, ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monotoni niz .

Monotoni nizovi, posebno, su rastuće sekvence i opadajuće sekvence.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između narednih i prethodnih članova date aritmetičke progresije je uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d ona n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronađite trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očigledno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Koristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

dakle,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Zapiši to n -ti član aritmetičke progresije može se naći ne samo kroz a 1 , ali i bilo koji prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očigledno

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovini zbroja članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju, jednakost je tačna:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, as

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvo n članovi aritmetičke progresije jednak je proizvodu polovine zbira ekstremnih članova sa brojem članova:

Iz ovoga, posebno, proizilazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je data aritmetička progresija, onda su količine a 1 , a n, d, n iS n povezane sa dve formule:

Dakle, ako su date vrijednosti tri od ovih veličina, onda se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• ako d > 0 , onda se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i imenilac.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i imenilac q ona n -ti pojam se može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronađite sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očigledno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i narednih članova.

Budući da je i obrnuto tačno, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak proizvodu druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da je niz dat formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Koristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

dakle,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Zapiši to n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i bilo koji prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očigledno

b n 2 = b n - k· b n + k

Kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je proizvodu članova ove progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , as

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvo n članovi geometrijske progresije sa nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je data geometrijska progresija, onda su količine b 1 , b n, q, n i S n povezane sa dve formule:

Stoga, ako su date vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe s dvije nepoznate.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i imenilac q odvijaju se sljedeće svojstva monotonosti :

• napredovanje se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija znak naizmjenična: njeni neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da naizmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n uslovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , tj

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda nije opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

Sa takvim nazivnikom, niz je predznak alternativan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj na koji je zbir prvog n uslovi progresije uz neograničeno povećanje broja n . Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos između aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄