U nekim problemima fizike ne može se uspostaviti direktna veza između veličina koje opisuju proces. Ali postoji mogućnost da se dobije jednakost koja sadrži derivate funkcija koje se proučavaju. Tako nastaju diferencijalne jednadžbe i potreba za njihovim rješavanjem kako bi se pronašla nepoznata funkcija.

Ovaj članak je namijenjen onima koji se suočavaju s problemom rješavanja diferencijalne jednadžbe u kojoj je nepoznata funkcija funkcija jedne varijable. Teorija je izgrađena na takav način da ćete bez razumijevanja diferencijalnih jednadžbi moći da se nosite sa svojim zadatkom.

Svaka vrsta diferencijalnih jednadžbi povezana je s metodom rješenja s detaljnim objašnjenjima i rješenjima tipičnih primjera i problema. Vi samo trebate odrediti vrstu diferencijalne jednadžbe za svoj problem, pronaći sličan analizirani primjer i izvršiti slične radnje.

Za uspješno rješenje diferencijalne jednadžbe s vaše strane, trebat će vam i sposobnost da pronađete skupove antiderivata ( neodređeni integrali) različitih funkcija. Ako je potrebno, preporučujemo da pogledate odjeljak.

Prvo razmatramo tipove običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje se mogu riješiti u odnosu na derivaciju, zatim prelazimo na ODE drugog reda, zatim se zadržavamo na jednadžbama višeg reda i završavamo sa sistemima diferencijalnih jednadžbi.

Podsjetimo da ako je y funkcija argumenta x.

Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika .

Napišimo nekoliko primjera takvog DE .

Diferencijalne jednadžbe može se riješiti u odnosu na izvod dijeljenjem obje strane jednakosti sa f(x) . U ovom slučaju dolazimo do jednačine , koja će biti ekvivalentna originalnoj za f(x) ≠ 0 . Primjeri takvih ODE-a su .

Ako postoje vrijednosti argumenta x za koje funkcije f(x) i g(x) istovremeno nestaju, tada se pojavljuju dodatna rješenja. Dodatna rješenja jednadžbe dati x su bilo koje funkcije definirane za te vrijednosti argumenata. Primjeri takvih diferencijalnih jednadžbi su .

Diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantni koeficijenti.

LODE sa konstantnim koeficijentima je vrlo čest tip diferencijalnih jednačina. Njihovo rješenje nije posebno teško. Prvo se pronalaze korijeni karakteristične jednadžbe . Za različite p i q moguća su tri slučaja: korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti realni i različiti, realni i podudarni ili kompleksni konjugat. U zavisnosti od vrijednosti korijena karakteristične jednadžbe, piše se zajednička odluka diferencijalna jednadžba kao , ili , odnosno.

Na primjer, razmotrite linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Korijeni njegove karakteristične jednadžbe su k 1 = -3 i k 2 = 0. Korijeni su realni i različiti, stoga je generalno rješenje LDE sa konstantnim koeficijentima


Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LIDE drugog reda sa konstantnim koeficijentima y traži se kao zbir opšteg rješenja odgovarajućeg LODE-a i određeno rješenje originalne nehomogene jednadžbe, odnosno, . Prethodni paragraf je posvećen pronalaženju opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima. A određeno rješenje se određuje ili metodom neodređenih koeficijenata pri određeni oblik funkciju f(x), koja stoji na desnoj strani originalne jednadžbe, ili metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Kao primjere LIDE-a drugog reda sa konstantnim koeficijentima predstavljamo


Da biste razumjeli teoriju i upoznali se sa detaljnim rješenjima primjera, nudimo vam na stranici linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Linearne homogene diferencijalne jednadžbe (LODE) i linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda (LNDE).

Poseban slučaj diferencijalnih jednadžbi ovog tipa su LODE i LODE sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje LODE-a na određenom intervalu predstavljeno je linearnom kombinacijom dvaju linearno nezavisnih partikularnih rješenja y 1 i y 2 ove jednadžbe, tj. .

Glavna poteškoća leži upravo u pronalaženju linearno nezavisnih parcijalnih rješenja ove vrste diferencijalne jednadžbe. Obično se biraju određena rješenja sledeći sistemi linearno nezavisne funkcije:


Međutim, određena rješenja nisu uvijek predstavljena u ovom obliku.

Primjer LODU je .

Opće rješenje LIDE se traži u obliku , gdje je opće rješenje odgovarajućeg LODE-a, a posebno rješenje originalne diferencijalne jednadžbe. Upravo smo govorili o pronalaženju, ali ono se može odrediti metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Primjer LNDE-a je .

Diferencijalne jednadžbe višeg reda.

Diferencijalne jednadžbe koje dopuštaju redukciju reda.

Red diferencijalne jednadžbe , koji ne sadrži željenu funkciju i njene derivate do k-1 reda, može se svesti na n-k zamjenom .

U ovom slučaju , i originalna diferencijalna jednadžba se svodi na . Nakon pronalaženja njenog rješenja p(x), ostaje da se vratimo na zamjenu i odredimo nepoznatu funkciju y .

Na primjer, diferencijalna jednadžba nakon što zamjena postaje odvojiva jednačina , a njen redoslijed se svodi s treće na prvu.

Diferencijalne jednadžbe drugog i višeg reda.
Linearni DE drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Primjeri rješenja.

Prelazimo na razmatranje diferencijalnih jednačina drugog reda i diferencijalnih jednačina višeg reda. Ako imate nejasnu ideju o tome šta je diferencijalna jednadžba (ili ne razumijete šta je to uopće), onda preporučujem da počnete s lekcijom Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. Mnogi principi odlučivanja i osnovni koncepti diffurs prvog reda se automatski proširuje na diferencijalne jednadžbe višeg reda, dakle vrlo je važno prvo razumjeti jednačine prvog reda.

Mnogi čitaoci mogu imati predrasudu da je DE 2., 3. i drugih reda nešto vrlo teško i nedostupno za savladavanje. Ovo nije istina . Naučite rješavati difuzije višeg reda jedva komplikovanije od "običnih" DE-ova prvog reda. A na nekim mjestima je i lakše, jer se u odlukama aktivno koristi materijal školskog programa.

Najpopularniji diferencijalne jednadžbe drugog reda. U diferencijalnu jednačinu drugog reda obavezno uključuje drugi izvod i nisu uključeni

Treba napomenuti da neke od beba (pa čak i sve odjednom) mogu nedostajati iz jednačine, važno je da je otac bio kod kuće. Najprimitivnija diferencijalna jednadžba drugog reda izgleda ovako:

Diferencijalne jednadžbe trećeg reda u praktični zadaci javljaju se mnogo rjeđe, prema mojim subjektivnim zapažanjima u Državna Duma dobili bi oko 3-4% glasova.

U diferencijalnu jednačinu trećeg reda obavezno uključuje treći derivat i nisu uključeni derivati ​​višeg reda:

Najjednostavnija diferencijalna jednadžba trećeg reda izgleda ovako: - tata je kod kuće, sva djeca su u šetnji.

Slično, mogu se definirati diferencijalne jednadžbe 4., 5. i višeg reda. U praktičnim problemima, takav DE izuzetno rijetko klizi, međutim, pokušat ću dati relevantne primjere.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda koje se predlažu u praktičnim problemima mogu se podijeliti u dvije glavne grupe.

1) Prva grupa - tzv jednačine nižeg reda. Uletite!

2) Druga grupa - linearne jednačine viših redova sa konstantnim koeficijentima. Koje ćemo početi razmatrati upravo sada.

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
sa konstantnim koeficijentima

U teoriji i praksi razlikuju se dvije vrste takvih jednadžbi - homogena jednačina i nehomogena jednačina.

Homogeni DE drugog reda sa konstantnim koeficijentima Ima sljedeći pogled:
, gdje su i konstante (brojevi), a na desnoj strani - strogo nula.

Kao što vidite, nema posebnih poteškoća s homogenim jednadžbama, glavna stvar je to odluči ispravno kvadratna jednačina .

Ponekad postoje nestandardni homogene jednačine, na primjer, jednadžba u obliku , gdje na drugom izvodu postoji neka konstanta , različita od jedinice (i, naravno, različita od nule). Algoritam rješenja se uopće ne mijenja, trebalo bi mirno sastaviti karakteristična jednačina i pronaći njegove korijene. Ako je karakteristična jednadžba će imati dva različita stvarna korijena, na primjer: , onda se opće rješenje može napisati na uobičajen način: .

U nekim slučajevima, zbog greške u kucanju u stanju, mogu ispasti "loši" korijeni, nešto poput . Šta da se radi, odgovor će morati da bude napisan ovako:

Sa "lošim" konjugiranim složenim korijenima kao takođe nema problema, opšte rešenje:

tj. opće rješenje postoji u svakom slučaju. Jer svaka kvadratna jednadžba ima dva korijena.

U poslednjem paragrafu, kao što sam obećao, ukratko ćemo razmotriti:

Linearne homogene jednadžbe višeg reda

Sve je vrlo, vrlo slično.

Linearna homogena jednadžba trećeg reda ima sljedeći oblik:
, gdje su konstante.
Za zadata jednačina također morate napraviti karakterističnu jednačinu i pronaći njene korijene. Karakteristična jednačina, kao što su mnogi pretpostavili, izgleda ovako:
, i to u svakom slučaju Ima tačno tri root.

Neka su, na primjer, svi korijeni stvarni i različiti: , onda se opće rješenje može napisati na sljedeći način:

Ako je jedan korijen realan, a druga dva su konjugirani kompleks, onda opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Poseban slučaj kada su sva tri korijena višestruka (isti). Razmotrimo najjednostavniji homogeni DE 3. reda sa usamljenim ocem: . Karakteristična jednačina ima tri podudarna nula korijena. Opće rješenje pišemo na sljedeći način:

Ako je karakteristična jednadžba ima, na primjer, tri višestruka korijena, tada je generalno rješenje:

Primjer 9

Riješiti homogenu diferencijalnu jednačinu trećeg reda

Odluka: Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednačinu:

, - dobije se jedan pravi korijen i dva konjugirana kompleksna korijena.

odgovor: zajednička odluka

Slično, možemo razmotriti linearnu homogenu jednačinu četvrtog reda sa konstantnim koeficijentima: , gdje su konstante.

Često samo pominjanje diferencijalne jednadžbečini studentima neprijatno. Zašto se ovo dešava? Najčešće, jer prilikom proučavanja osnova materijala nastaje jaz u znanju, zbog čega daljnje proučavanje difura postaje jednostavno mučenje. Ništa nije jasno šta učiniti, kako odlučiti odakle početi?

Međutim, pokušaćemo da vam pokažemo da difur nije tako težak kao što se čini.

Osnovni pojmovi teorije diferencijalnih jednadžbi

Još iz škole znamo najjednostavnije jednačine u kojima treba pronaći nepoznato x. Zapravo diferencijalne jednadžbe samo malo drugačiji od njih - umjesto varijable X moraju pronaći funkciju y(x) , što će jednadžbu pretvoriti u identitet.

D diferencijalne jednadžbe imati ogroman primijenjena vrijednost. Ovo nije apstraktna matematika koja nema nikakve veze sa svijetom oko nas. Diferencijalne jednadžbe opisuju mnoge realne prirodni procesi. Na primjer, vibracije struna, kretanje harmonijskog oscilatora, pomoću diferencijalnih jednadžbi u problemima mehanike, pronalaze brzinu i ubrzanje tijela. Također DU se široko koriste u biologiji, hemiji, ekonomiji i mnogim drugim naukama.

Diferencijalna jednadžba (DU) je jednadžba koja sadrži izvode funkcije y(x), samu funkciju, nezavisne varijable i druge parametre u raznim kombinacijama.

Postoji mnogo tipova diferencijalnih jednadžbi: obične diferencijalne jednadžbe, linearne i nelinearne, homogene i nehomogene, diferencijalne jednadžbe prvog i višeg reda, parcijalne diferencijalne jednadžbe i tako dalje.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja je pretvara u identitet. Postoje opća i posebna rješenja daljinskog upravljanja.

Opće rješenje diferencijalne jednadžbe je opći skup rješenja koji pretvaraju jednačinu u identitet. Konkretno rješenje diferencijalne jednadžbe je rješenje koje zadovoljava dodatne uvjete specificirane na početku.

Određuje se red diferencijalne jednadžbe najviši red derivati ​​uključeni u njega.

Obične diferencijalne jednadžbe

Obične diferencijalne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže jednu nezavisnu varijablu.

Razmotrimo najjednostavniju običnu diferencijalnu jednačinu prvog reda. Izgleda:

Ova jednačina se može riješiti jednostavnim integracijom njene desne strane.

Primjeri takvih jednadžbi:

Jednačine odvojive varijable

AT opšti pogled ova vrsta jednadžbe izgleda ovako:

Evo primjera:

Rješavajući takvu jednačinu, potrebno je odvojiti varijable, dovodeći ih u oblik:

Nakon toga ostaje integrirati oba dijela i dobiti rješenje.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Takve jednadžbe imaju oblik:

Ovdje su p(x) i q(x) neke funkcije nezavisne varijable, a y=y(x) je željena funkcija. Evo primjera takve jednadžbe:

Rješavajući takvu jednačinu, najčešće koriste metodu varijacije proizvoljne konstante ili traženu funkciju predstavljaju kao proizvod dvije druge funkcije y(x)=u(x)v(x).

Za rješavanje ovakvih jednadžbi potrebna je određena priprema, a bit će ih prilično teško uzeti „na hir“.

Primjer rješavanja DE sa odvojivim varijablama

Dakle, razmotrili smo najjednostavnije vrste daljinskog upravljača. Pogledajmo sada jedan od njih. Neka je to jednadžba sa odvojivim varijablama.

Prvo, prepisujemo derivat u poznatijem obliku:

Zatim ćemo odvojiti varijable, odnosno u jednom dijelu jednačine skupit ćemo sve "igre", au drugom - "xes":

Sada ostaje da se integrišu oba dela:

Integriramo i dobijemo opće rješenje ove jednačine:

Naravno, rješavanje diferencijalnih jednadžbi je vrsta umjetnosti. Morate biti u stanju razumjeti kojem tipu jednačina pripada, kao i naučiti koje transformacije trebate napraviti s njom da biste je doveli u ovaj ili onaj oblik, a da ne spominjemo samo sposobnost diferenciranja i integracije. I potrebna je praksa (kao i u svemu) da bi se uspjelo riješiti DE. I ako jesi ovog trenutka nema se vremena baviti kako se rješavaju diferencijalne jednadžbe ili je Cauchyjev problem narastao kao kost u grlu ili ne znate, obratite se našim autorima. U kratkom roku ćemo Vam dostaviti gotove i detaljno rješenje, da biste razumjeli detalje o kojima možete u bilo koje vrijeme koje vam odgovara. U međuvremenu, predlažemo da pogledate video na temu "Kako riješiti diferencijalne jednadžbe":

Diferencijalne jednadžbe višeg reda

Osnovna terminologija diferencijalnih jednačina višeg reda (DE VP).

Jednadžba oblika , gdje n >1 (2)

naziva se diferencijalna jednačina višeg reda, tj. n-th red.

Domen definicije daljinskog upravljanja, n red je površina.

Ovaj kurs će se baviti sljedećim vrstama kontrole zračnog prostora:

Cauchyjev problem za VP:

Neka dato DU ,
i početni uslovi n/a: brojevi.

Potrebno je pronaći kontinuiranu i n puta diferencibilnu funkciju
:

1)
je rješenje datog DE na , tj.
;

2) zadovoljava date početne uslove: .

Za DE drugog reda, geometrijska interpretacija rješenja problema je sljedeća: traži se integralna kriva koja prolazi kroz tačku (x 0 , y 0 ) i tangenta na pravu faktor nagiba k = y 0 ́ .

Teorema postojanja i jedinstvenosti(rješenja Cauchyjevog problema za DE (2)):

ako 1)
kontinuirano (ukupno (n+1) argumenti) na tom području
; 2)
kontinuirano (prema skupu argumenata
) u , dakle ! rješenje Cauchyjevog problema za DE koje zadovoljava date početne uslove n/s: .

Region se naziva region jedinstvenosti DE.

Generalno rješenje DP VP (2) – n -parametrijski funkcija,
, gdje
– proizvoljne konstante, koje zadovoljavaju sljedeće zahtjeve:

1)

– rješenje DE (2) na ;

2) n/a iz regiona jedinstvenosti !
:
zadovoljava zadate početne uslove.

Komentar.

Omjer pogleda
, koji implicitno određuje opće rješenje DE (2) na zove se zajednički integral DU.

Privatno rješenje DE (2) se dobija iz njegovog opšteg rešenja za određenu vrednost .

Integracija DP VP.

Diferencijalne jednadžbe višeg reda se po pravilu ne rješavaju egzaktnim analitičkim metodama.

Izdvojimo određeni tip DSW-a koji dozvoljava redukcije reda i svodi na kvadrature. Ove vrste jednadžbi i načine smanjenja njihovog redoslijeda sumiramo u tabeli.

DP VP, dopušta smanjenje narudžbe

		Metoda snižavanja
	DU je nekompletan, nedostaje . Na primjer,	itd. Poslije n ponovljenom integracijom, dobijamo opšte rešenje diferencijalne jednačine.
	Jednačina je nepotpuna; očito ne sadrži željenu funkciju i ona prvi derivati. Na primjer,	Zamjena snižava red jednačine za k jedinice.
	nepotpuna jednačina; očigledno ne sadrži argument željenu funkciju. Na primjer,	Zamjena red jednačine se smanjuje za jedan.
	Jednačina je u egzaktnim derivatima, može biti potpuna i nepotpuna. Takva jednačina se može transformirati u oblik (*) ́= (*)́, gdje su desni i lijevi dio jednačine tačni izvod nekih funkcija.	Integriranje desne i lijeve strane jednačine s obzirom na argument snižava red jednačine za jedan.
		Zamjena snižava red jednačine za jedan.

Definicija homogene funkcije:

Funkcija
naziva se homogenim u varijablama
, ako


u bilo kojoj tački opsega funkcije
;

je red homogenosti.

Na primjer, je homogena funkcija 2. reda u odnosu na
, tj. .

Primjer 1:

Naći opće rješenje za DE
.

DE 3. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Integrirajte jednačinu tri puta uzastopno.

,

je generalno rješenje DE.

Primjer 2:

Riješite Cauchyjev problem za DE
at

.

DE drugog reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno .

Zamjena
i njen derivat
snižava redosled DE za jedan.

. Primljeno DE prvog reda - Bernulijeva jednačina. Da bismo riješili ovu jednačinu, primjenjujemo Bernoullijevu zamjenu:

,

i ubacite ga u jednačinu.

U ovoj fazi rješavamo Cauchyjev problem za jednačinu
:
.

je jednadžba prvog reda sa odvojivim varijablama.

Početne uslove zamjenjujemo u posljednju jednakost:

odgovor:
je rješenje Cauchyjevog problema koje zadovoljava početne uslove.

Primjer 3:

Riješi DU.

– DE 2. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno varijablu , te stoga dozvoljava smanjenje reda za jedan korištenjem zamjene ili
.

Dobijamo jednačinu
(neka bude
).

– DE 1. reda sa razdvojenim varijablama. Hajde da ih podelimo.

je opšti integral DE.

Primjer 4:

Riješi DU.

Jednačina
je tačna jednačina derivacije. stvarno,
.

Integrirajmo lijevi i desni dio s obzirom na , tj.
ili . Primljeno DE 1. reda sa odvojivim varijablama, tj.
je opšti integral DE.

Primjer 5:

Riješite Cauchyjev problem za
u .

DE 4. reda, nepotpuna, ne sadrži eksplicitno
. Uzimajući u obzir da je ova jednačina u egzaktnim derivatima, dobijamo
ili
,
. Zamjenjujemo početne uslove u ovu jednačinu:
. Uzmimo daljinski
3. red prvog tipa (vidi tabelu). Integrirajmo ga tri puta, a nakon svake integracije zamijenićemo početne uslove u jednačinu:

odgovor:
- rješenje Cauchyjevog problema originalnog DE.

Primjer 6:

Riješite jednačinu.

– DE 2. reda, kompletan, sadrži ujednačenost u odnosu na
. Zamjena
će smanjiti red jednačine. Da bismo to učinili, svodimo jednačinu na oblik
, dijeleći obje strane originalne jednadžbe sa . I razlikujemo funkciju str:

.

Zamena
i
u DU:
. Ovo je jednadžba varijable 1. reda koja se može odvojiti.

S obzirom na to
, dobijamo DE ili
je opće rješenje originalnog DE.

Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi višeg reda.

Osnovna terminologija.

– NLDU -ti red, gdje - kontinuirane funkcije u nekom intervalu.

Zove se DE interval kontinuiteta (3).

Hajde da uvedemo (uslovni) diferencijalni operator th reda

Kada djeluje na funkciju, dobivamo

To jest, lijeva strana linearnog DE -tog reda.

Kao rezultat, LDE se može napisati

Svojstva linearnog operatora
:

1) - svojstvo aditivnosti

2)
– broj – svojstvo homogenosti

Svojstva se lako provjeravaju, budući da derivati ​​ovih funkcija imaju slična svojstva ( konačni iznos derivacija je jednaka zbiru konačan broj derivati; konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije).

To.
je linearni operator.

Razmotrimo pitanje postojanja i jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema za LDE
.

Hajde da riješimo LDE u odnosu na
: ,
, je interval kontinuiteta.

Funkcija je kontinuirana u domeni , derivati
kontinuirano u regionu

Dakle, domen jedinstvenosti , u kojem Cauchyjev problem LDE (3) ima jedinstveno rješenje i ovisi samo o izboru točke
, sve ostale vrijednosti argumenata
funkcije
može se uzeti proizvoljno.

Opća teorija OLDU-a.

je interval kontinuiteta.

Glavna svojstva OLDDE rješenja:

1. Svojstvo aditivnosti

(
– OLDDE rješenje (4) na )
(
je rješenje OLDDE (4) na ).

dokaz:

je rješenje OLDDE (4) na

je rješenje OLDDE (4) na

Onda

2. Svojstvo homogenosti

( je rješenje OLDDE (4) na ) (
(- numeričko polje))

je rješenje OLDDE (4) na .

Slično se dokazuje.

Svojstva aditivnosti i homogenosti nazivaju se linearna svojstva OLDU (4).

Posljedica:

(
– rješenje OLDDE (4) na )(

je rješenje OLDDE (4) na ).

3. ( je rješenje kompleksne vrijednosti OLDDE (4) na )(
su realnovrijedna rješenja OLDDE (4) na ).

dokaz:

Ako je rješenje OLDDE-a (4) na , onda prilikom zamjene u jednačinu pretvara ga u identitet, tj.
.

Zbog linearnosti operatora, lijeva strana posljednje jednakosti može se napisati na sljedeći način:
.

To znači da su , tj. realnovrijedna rješenja OLDDE (4) na .

Sljedeća svojstva OLDDE rješenja vezana su za pojam “ linearna zavisnost”.

Definicija linearna zavisnost konačan sistem funkcija

Sistem funkcija naziva se linearno zavisnim od toga da li postoji netrivijalan skup brojeva
tako da je linearna kombinacija
funkcije
sa ovim brojevima je identično jednak nuli na , tj.
.n , što je pogrešno. Teorema je dokazana diferencijalno jednačinevišinaređenja(4 sata...