Linearna zavisnost dva vektora. Linearno zavisni i linearno nezavisni vektori

Da bi se provjerilo da li je sistem vektora linearno zavisan, potrebno je sastaviti linearnu kombinaciju ovih vektora, te provjeriti može li biti jednak nuli ako je barem jedan koeficijent jednak nuli.

Slučaj 1. Sistem vektora je dat vektorima

Pravimo linearnu kombinaciju

Dobili smo homogeni sistem jednačina. Ako ima rješenje različito od nule, tada determinanta mora biti jednaka nuli. Hajde da napravimo determinantu i pronađemo njenu vrednost.

Determinanta je nula, dakle, vektori su linearno zavisni.

Slučaj 2. Sistem vektora je dat analitičkim funkcijama:

a)
, ako je identitet istinit, tada je sistem linearno zavisan.

Napravimo linearnu kombinaciju.

Potrebno je provjeriti da li postoje takvi a, b, c (od kojih barem jedno nije jednako nuli) za koje je dati izraz jednak nuli.

Zapisujemo hiperboličke funkcije

,
, onda

tada će linearna kombinacija vektora poprimiti oblik:

Gdje
, uzmimo, na primjer, onda je linearna kombinacija jednaka nuli, dakle, sistem je linearno zavisan.

Odgovor: Sistem je linearno zavisan.

b)
, sastavljamo linearnu kombinaciju

Linearna kombinacija vektora, mora biti nula za bilo koju vrijednost x.

Provjerimo posebne slučajeve.

Linearna kombinacija vektora je nula samo ako su svi koeficijenti nula.

Dakle, sistem je linearno nezavisan.

Odgovor: Sistem je linearno nezavisan.

5.3. Naći neku osnovu i odrediti dimenziju linearnog prostora rješenja.

Formiramo proširenu matricu i dovedemo je u oblik trapeza pomoću Gaussove metode.

Da bismo dobili neku osnovu, zamjenjujemo proizvoljne vrijednosti:

Dobijte ostale koordinate

odgovor:

5.4. Pronađite koordinate vektora X u bazi, ako je ona data u bazi.

Pronalaženje koordinata vektora u novoj bazi svodi se na rješavanje sistema jednačina

Metoda 1. Pronalaženje pomoću prijelazne matrice

Sastavite prijelaznu matricu

Pronađimo vektor u novoj bazi po formuli

Pronađite inverznu matricu i izvršite množenje

,

Metoda 2. Pronalaženje sastavljanjem sistema jednačina.

Sastaviti bazne vektore iz koeficijenata baze

,
,

Pronalaženje vektora u novoj bazi ima oblik

, gdje d Ovo dati vektor x.

Rezultirajuća jednačina se može riješiti na bilo koji način, odgovor će biti isti.

Odgovor: vektor u novoj osnovi
.

5.5. Neka je x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . Da li su sljedeće transformacije linearne.

Sastavimo matrice linearnih operatora od koeficijenata datih vektora.

Provjerimo svojstva linearnih operacija za svaku matricu linearnog operatora.

Lijeva strana se nalazi množenjem matrice ALI po vektoru

Desnu stranu nalazimo množenjem datog vektora skalarom
.

Vidimo to
tako da transformacija nije linearna.

Provjerimo druge vektore.

, transformacija nije linearna.

, transformacija je linearna.

odgovor: Oh- ne linearna transformacija, Vx- nije linearno Cx- linearno.

Bilješka. Ovaj zadatak možete obaviti mnogo lakše ako pažljivo pogledate date vektore. AT Oh vidimo da postoje pojmovi koji ne sadrže elemente X, koji se nije mogao dobiti kao rezultat linearne operacije. AT Vx postoji element X na treći stepen, koji se takođe ne može dobiti množenjem vektorom X.

5.6. Dato x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Sjekira = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Izvršite zadatu operaciju: ( A ( B – A )) x .

Napišimo matrice linearnih operatora.

Izvršimo operaciju na matricama

Kada pomnožimo rezultujuću matricu sa X, dobijamo

odgovor:

Zadatak 1. Saznajte da li je sistem vektora linearno nezavisan. Sistem vektora će biti definisan matricom sistema čije se kolone sastoje od koordinata vektora.

.

Odluka. Neka linearna kombinacija jednako nuli. Napisavši ovu jednakost u koordinatama, dobijamo sljedeći sistem jednačina:

.

Takav sistem jednačina naziva se trouglasti. Ona ima jedino rešenje. . Otuda i vektori su linearno nezavisne.

Zadatak 2. Saznajte da li je sistem vektora linearno nezavisan.

.

Odluka. Vektori su linearno nezavisne (vidi problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Vektorski koeficijenti ekspanzije određuju se iz sistema jednačina

.

Ovaj sistem, kao i trouglasti, ima jedinstveno rješenje.

Dakle, sistem vektora linearno zavisna.

Komentar. Pozivaju se matrice kao u zadatku 1 trouglasti , au zadatku 2 – stepenasto trouglasto . Pitanje linearne zavisnosti sistema vektora lako se rešava ako je matrica sastavljena od koordinata ovih vektora stepenasto trouglasta. Ako matrica ne radi posebna vrsta, a zatim koristeći elementarne transformacije stringova , čuvajući linearne odnose između stupaca, može se svesti na stepenasti trouglasti oblik.

Elementarne transformacije linije matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) permutacija linija;

2) množenje niza brojem koji nije nula;

3) dodavanje u niz još jednog niza, pomnoženog proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno nezavisan podsistem i izračunajte rang sistema vektora

.

Odluka. Svedujmo matricu sistema uz pomoć EPS-a na stepenasto-trouglasti oblik. Da bismo objasnili proceduru, linija sa brojem matrice koja se transformiše biće označena simbolom . Kolona iza strelice pokazuje radnje koje treba izvršiti na redovima konvertovane matrice da bi se dobili redovi nove matrice.

.

Očigledno, prva dva stupca rezultirajuće matrice su linearno nezavisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine maksimalno linearno nezavisan podsistem sistema , a rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Naći osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijski vektori, čije koordinate zadovoljavaju uslov .

Odluka. Skup je ravan koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna baza na ravni sastoji se od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određuju se rješavanjem odgovarajućeg sistema linearnih jednačina.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu po koordinatama.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravni, jer su povezani relacijom , odnosno nisu nezavisni. Nezavisne varijable i (oni se nazivaju slobodnim) jednoznačno određuju vektor na ravni i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli i , tj.

Zadatak 5. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru , čije su neparne koordinate jednake jedna drugoj.

Odluka. Biramo, kao iu prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

As , zatim slobodne varijable jedinstveno definiraju vektor iz i, prema tome, su koordinate. Odgovarajuća baza se sastoji od vektora .

Zadatak 6. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , gdje su proizvoljni brojevi.

Odluka. Svaka matrica iz može se jedinstveno predstaviti kao:

Ova relacija je proširenje vektora iz u smislu baze
sa koordinatama .

Zadatak 7. Odrediti dimenziju i osnovu linearnog raspona sistema vektora

.

Odluka. Koristeći EPS, transformišemo matricu iz koordinata vektora sistema u stepenasti trouglasti oblik.

.

kolone posljednje matrice su linearno nezavisne, a stupci linearno se izražavaju kroz njih. Otuda i vektori čine osnovu , i .

Komentar. Osnova u izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe čine osnovu .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Odluka. Tražite zajednička odluka sistemi jednačina

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gausova metoda. Da bismo to učinili, pišemo ovaj homogeni sistem u koordinatama:

System Matrix

Dozvoljeni sistem izgleda ovako: (r A = 2, n= 3). Sistem je konzistentan i nedefinisan. Njegovo generalno rješenje ( x 2 – slobodna varijabla): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prisustvo privatnog rješenja različitog od nule, na primjer, , ukazuje da su vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno zavisna.

Primjer 2

Saznajte da li je ovaj sistem vektori linearno zavisni ili linearno nezavisni:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Odluka. Razmotrimo homogeni sistem jednačina a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ili proširen (po koordinatama)

Sistem je homogen. Ako je nedegenerisan, onda ima jedinstveno rješenje. Kada homogeni sistem je nulto (trivijalno) rješenje. Dakle, u ovom slučaju sistem vektora je nezavisan. Ako je sistem degenerisan, onda ima rješenja različita od nule i stoga je zavisan.

Provjera sistema na degeneraciju:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem je nedegenerisan, a samim tim i vektori a 1 , a 2 , a 3 su linearno nezavisne.

Zadaci. Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokazati da će sistem vektora biti linearno zavisan ako sadrži:

a) dva jednaka vektora;

b) dva proporcionalna vektora.

Vektori, njihova svojstva i radnje s njima

Vektori, akcije sa vektorima, linearni vektorski prostor.

Vektori su uređena kolekcija konačnog broja realnih brojeva.

Akcije: 1. Množenje vektora brojem: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 = (9, 12, 0.21 )

2. Sabiranje vektora (oni pripadaju istom vektorskom prostoru) vektor x + vektor y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. Da bi sistem od n vektora u n-dimenzionalnom linearnom prostoru bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da jedan od vektora bude linearna kombinacija ostalih.

Teorema. Bilo koji skup od n+ 1. vektora n-dimenzionalnog linearnog prostora yavl. linearno zavisna.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojevima. Oduzimanje vektora.

Zbir dva vektora je vektor usmjeren od početka vektora do kraja vektora, pod uvjetom da se početak poklapa sa krajem vektora. Ako su vektori dati svojim proširenjima u terminima baznih vektora, tada se zbrajanjem vektora zbrajaju njihove odgovarajuće koordinate.

Razmotrimo ovo na primjeru kartezijanskog koordinatnog sistema. Neka bude

Hajde da to pokažemo

Slika 3 to pokazuje

Količina bilo kojeg konačan broj vektori se mogu pronaći pomoću pravila poligona (slika 4): da bi se izgradio zbir konačnog broja vektora, dovoljno je kombinovati početak svakog narednog vektora sa krajem prethodnog i konstruisati vektor koji povezuje početak prvog vektora sa krajem posljednjeg.

Svojstva vektorske operacije sabiranja:

U ovim izrazima m, n su brojevi.

Razlika vektora se naziva vektor.Drugi član je vektor suprotan vektoru po pravcu, ali mu je jednak po dužini.

Dakle, operacija vektorskog oduzimanja je zamijenjena operacijom sabiranja

Vektor čiji je početak u početku koordinata, a kraj u tački A (x1, y1, z1), naziva se radijus vektor tačke A i označava se ili jednostavno. Pošto se njene koordinate poklapaju sa koordinatama tačke A, njeno proširenje u smislu vektora ima oblik

Vektor koji počinje u tački A(x1, y1, z1) i završava u tački B(x2, y2, z2) može se napisati kao

gdje je r 2 radijus vektor tačke B; r 1 - radijus vektor tačke A.

Prema tome, ekspanzija vektora u smislu ortova ima oblik

Njegova dužina jednaka je udaljenosti između tačaka A i B

MNOŽENJE

Tako u slučaju problem sa avionom proizvod vektora sa a = (ax; ay) i broja b nalazi se po formuli

a b = (ax b; ay b)

Primjer 1. Pronađite proizvod vektora a = (1; 2) sa 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Tako u slučaju prostorni problem proizvod vektora a = (ax; ay; az) i broja b nalazi se po formuli

a b = (ax b; ay b; az b)

Primjer 1. Pronađite proizvod vektora a = (1; 2; -5) sa 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Tačkasti proizvod vektora i gdje je ugao između vektora i ; ako bilo , onda

Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi da

gdje je, na primjer, vrijednost projekcije vektora na smjer vektora .

Skalarni kvadrat vektora:

Svojstva tačkastog proizvoda:

Točkasti proizvod u koordinatama

Ako a onda

Ugao između vektora

Ugao između vektora - ugao između pravaca ovih vektora (najmanji ugao).

Vektorski proizvod (Vektorski proizvod dva vektora.)- ovo je pseudovektor, okomito na ravan, izgrađen od dva faktora, što je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Proizvod nije ni komutativan ni asocijativan (antikomutativan je) i razlikuje se od dot proizvoda vektora. U mnogim inženjerskim i fizičkim problemima, potrebno je biti u stanju izgraditi vektor okomit na dva postojeća - vektorski proizvod pruža tu mogućnost. Unakrsni proizvod je koristan za "mjerenje" okomitosti vektora - dužina unakrsnog proizvoda dva vektora jednaka je proizvodu njihovih dužina ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski proizvod je definiran samo u trodimenzionalnim i sedmodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog proizvoda, kao i skalarni proizvod, zavisi od metrike euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje tačkastog proizvoda iz koordinata vektora u trodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu, formula za poprečni proizvod zavisi od orijentacije pravougaoni sistem koordinate ili, drugim riječima, njegova "kiralnost"

Kolinearnost vektora.

Dva vektora različita od nule (nisu jednaka 0) nazivaju se kolinearnim ako leže na paralelnim linijama ili na istoj liniji. Dozvoljavamo, ali ne preporučujemo, sinonim - "paralelne" vektore. Kolinearni vektori može biti usmjerena u istom smjeru (“ko-usmjereno”) ili suprotno usmjerena (u poslednji slučaj ponekad se nazivaju "antikolinearni" ili "antiparalelni").

Mješoviti proizvod vektora ( a,b,c)- skalarni proizvod vektora a i vektorski proizvod vektora b i c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

ponekad se naziva trostrukim skalarni proizvod vektori, očigledno zbog činjenice da je rezultat skalar (tačnije, pseudoskalar).

geometrijskog smisla: Modul mješovitog proizvoda je numerički jednak volumenu paralelepipeda formiranog od vektora (a,b,c) .

Svojstva

Mješoviti proizvod je koso-simetričan u odnosu na sve svoje argumente: tj. e. permutacija bilo koja dva faktora mijenja predznak proizvoda. Iz ovoga slijedi da je miješani proizvod na desnoj strani Kartezijanski sistem koordinate (u ortonormalnoj bazi) jednake su determinanti matrice sastavljene od vektora i:

Mješoviti proizvod u lijevom kartezijanskom koordinatnom sistemu (u ortonormalnoj bazi) jednak je determinanti matrice sastavljene od vektora i uzete sa predznakom minus:

posebno,

Ako su bilo koja dva vektora paralelna, onda sa bilo kojim trećim vektorom formiraju mješoviti proizvod jednak nuli.

Ako su tri vektora linearno zavisna (tj. koplanarna, leže u istoj ravni), onda je njihov mješoviti proizvod nula.

Geometrijski smisao - Miješani proizvod po apsolutna vrijednost jednak je volumenu paralelepipeda (vidi sliku) formiranog od vektora i; znak zavisi od toga da li je ova trojka vektora desna ili leva.

Komplanarnost vektora.

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnim ako se svode na zajednički početak, leže u istoj ravni

Svojstva komplanarnosti

Ako barem jedan od tri vektora- nula, tada se tri vektora također smatraju komplanarnim.

Trojka vektora koja sadrži par kolinearnih vektora je komplanarna.

Mješoviti proizvod komplanarnih vektora. Ovo je kriterijum za komplanarnost tri vektora.

Koplanarni vektori su linearno zavisni. Ovo je takođe kriterijum za komplanarnost.

U 3-dimenzionalnom prostoru, 3 nekoplanarna vektora čine osnovu

Linearno zavisni i linearno nezavisni vektori.

Linearno zavisni i nezavisni sistemi vektora.Definicija. Sistem vektora se zove linearno zavisna, ako postoji barem jedna netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nultom vektoru. Inače, tj. ako je samo trivijalna linearna kombinacija datih vektora jednaka nultom vektoru, vektori se pozivaju linearno nezavisna.

Teorema (kriterijum linearne zavisnosti). Da bi sistem vektora u linearnom prostoru bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da barem jedan od ovih vektora bude linearna kombinacija ostalih.

1) Ako među vektorima postoji barem jedan nulti vektor, onda je cijeli sistem vektora linearno zavisan.

Zaista, ako, na primjer, , onda, pod pretpostavkom , imamo netrivijalnu linearnu kombinaciju .▲

2) Ako neki od vektora formiraju linearno zavisan sistem, onda je ceo sistem linearno zavisan.

Zaista, neka su vektori , , linearno zavisni. Dakle, postoji netrivijalna linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Ali onda, pod pretpostavkom , takođe dobijamo netrivijalnu linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru.

2. Osnova i dimenzija. Definicija. Sistem linearno nezavisnih vektora vektorski prostor pozvao osnovu ovaj prostor, ako se bilo koji vektor iz može predstaviti kao linearna kombinacija vektora ovog sistema, tj. za svaki vektor postoje realni brojevi takva da vrijedi jednakost. Ova jednakost se zove vektorska dekompozicija prema osnovi , i brojevima pozvao vektorske koordinate u odnosu na bazu(ili u osnovi) .

Teorema (o jedinstvenosti ekspanzije u smislu baze). Svaki vektor prostora može se proširiti u smislu baze na jedinstven način, tj. koordinate svakog vektora u bazi definisani su nedvosmisleno.

Sistem vektora se zove linearno zavisna, ako postoje takvi brojevi , među kojima je barem jedan različit od nule, da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ako ova jednakost vrijedi samo ako su sve , tada se zove sistem vektora linearno nezavisna.

Teorema. Sistem vektora će linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1 Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno nezavisan sistem, budući da https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2 Matrični sistem , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno nezavisan, budući da je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno zavisna.

Odluka.

Napravite linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Izjednačavanje istoimenih koordinata jednaki vektori, dobijamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konačno dobijamo

i

Sistem ima samo jednu trivijalno rešenje, pa je linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli samo u slučaju kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Dakle, ovaj sistem vektora je linearno nezavisan.

Primjer 4 Vektori su linearno nezavisni. Kakvi će biti sistemi vektora

a).;

b).?

Odluka.

a). Sastavite linearnu kombinaciju i izjednačite je sa nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Pošto su vektori linearno nezavisni, koeficijenti za moraju biti jednaki nuli, tj.gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sistem jednačina ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno nezavisno;

b). Sastavite jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično razmišljanje, dobijamo

Rešavanjem sistema jednačina Gaussovom metodom dobijamo

ili

Poslednji sistem ima beskonačan skup rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji skup koeficijenata koji nije nula za koji je jednakost (**) . Dakle, sistem vektora je linearno zavisna.

Primjer 5 Vektorski sistem je linearno nezavisan, a vektorski sistem je linearno zavisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Zaista, za , sistem bi bio linearno zavisan.

Iz odnosa (***) dobijamo ili Označiti .

Get

Zadaci za nezavisno rešenje(u publici)

1. Sistem koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

2. Jednovektorski sistem a, je linearno zavisna ako i samo ako, a=0.

3. Sistem koji se sastoji od dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobija od drugog množenjem brojem).

4. Ako je k linearan zavisni sistem ako dodate vektor, dobijete linearno zavisan sistem.

5. Ako je od linearnog nezavisni sistem obrisati vektor, onda je rezultujući sistem vektora linearno nezavisan.

6. Ako sistem S linearno nezavisan, ali postaje linearno zavisan kada se doda vektor b, zatim vektor b linearno izraženo u terminima vektora sistema S.

c). Sistem matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sistem vektora a,b,c vektorski prostor je linearno nezavisan. Dokazati linearnu nezavisnost sledeći sistemi vektori:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka bude a,b,c su tri vektora u ravni koji se mogu koristiti za formiranje trougla. Hoće li ovi vektori biti linearno zavisni?

12. Zadana dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pokupite još dva 4D vektora a3 ia4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .