Pravougaoni koordinatni sistem. Pravougaoni koordinatni sistem na ravni

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni je dat sa dve međusobno okomite prave. Prave se nazivaju koordinatne ose (ili koordinatne ose). Tačka presjeka ovih linija naziva se ishodište i označava se slovom O.

Obično je jedna od linija horizontalna, druga okomita. Horizontalna linija je označena kao x (ili Ox) osa i naziva se osa apscisa, vertikalna je osa y (Oy), naziva se osa ordinata. Cijeli koordinatni sistem je označen sa xOy.

Tačka O dijeli svaku od osi na dvije poluose, od kojih se jedna smatra pozitivnom (označena je strelicom), a druga negativnom.

Svakoj tački F ravni je dodeljen par brojeva (x;y) — njene koordinate.

X-koordinata se naziva apscisa. Jednako je sa Ox uzetom sa odgovarajućim predznakom.

Koordinata y naziva se ordinata i jednaka je udaljenosti od tačke F do ose Oy (sa odgovarajućim predznakom).

Osovinske udaljenosti se obično (ali ne uvijek) mjere u istoj jedinici dužine.

Tačke desno od y-ose imaju pozitivne apscise. Za tačke koje leže lijevo od y-ose, apscise su negativne. Za bilo koju tačku koja leži na Oy-osi, njena x-koordinata je jednaka nuli.

Tačke s pozitivnom ordinatom leže iznad x-ose, one s negativnom ordinatom leže ispod. Ako tačka leži na x-osi, njena y-koordinata je nula.

Koordinatne ose dijele ravan na četiri dijela, koji se nazivaju koordinatne četvrti (ili koordinatni uglovi ili kvadranti).

1 koordinatna četvrtina koji se nalazi u gornjem desnom uglu koordinatne ravni xOy. Obje koordinate tačaka koje se nalaze u I četvrti su pozitivne.

Prijelaz iz jedne četvrtine u drugu vrši se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

2. kvartal nalazi se u gornjem lijevom uglu. Tačke koje leže u drugoj četvrtini imaju negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu.

3. kvartal leži u donjem lijevom kvadrantu xOy ravni. Obje koordinate tačaka koje pripadaju III koordinatnom uglu su negativne.

4. koordinatni kvartal je donji desni ugao koordinatne ravni. Svaka tačka iz IV četvrtine ima pozitivnu prvu koordinatu i negativnu drugu.

Primjer lokacije tačaka u pravokutnom koordinatnom sistemu:

1. Pravougaoni koordinatni sistem na ravni

Pravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X"X i Y"Y O, što se naziva ishodištem, svaka osa ima pozitivan smjer. AT desna ruka koordinatnom sistemu, pozitivan smjer osi se bira tako da sa smjerom ose Y"Y gore, os X"X pogledao udesno.

Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih ose X"X i Y"Y, nazivaju se koordinatni uglovi ili kvadranti (vidi sliku 1).

Položaj tačke A na ravni je određena sa dvije koordinate x i y. Koordinate x jednaka dužini segmenta OB, koordinata y- dužina segmenta OC u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB i OC definisana linijama povučenim iz tačke A paralelno sa osama Y"Y i X"X respektivno. Koordinate x pozvao apscisa bodova A, koordinata y - ordinate bodova A. Ovako napisano: A x, y)

Ako tačka A leži u koordinatnom uglu I, zatim tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu II, zatim tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu III, zatim tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu IV, a zatim tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.

2. Polarne koordinate.

Polarna mreža sa nekoliko uglova označenih u stepenima.

Polarni koordinatni sistem- dvodimenzionalni koordinatni sistem u kojem je svaka tačka na ravni određena sa dva broja - uglom i rastojanjem. Polarni koordinatni sistem je posebno koristan kada je odnose između tačaka lakše predstaviti kao udaljenosti i uglove; u uobičajenijem kartezijanskom ili kartezijanskom koordinatnom sistemu, takvi odnosi se mogu uspostaviti samo primjenom trigonometrijskih jednačina.

Polarni koordinatni sistem je dat zrakom, koji se zove nulta ili polarna osa. Tačka iz koje izlazi ovaj zrak naziva se ishodište ili pol. Svaka tačka na ravni je definisana sa dve polarne koordinate: radijalne i ugaone. Radijalna koordinata (obično se označava r) odgovara udaljenosti od tačke do početka. Ugaona koordinata, koja se naziva i polarni ugao ili azimut i označena sa φ, jednaka je kutu za koji se polarna osa mora rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu da bi se došla do te točke.

Radijalna koordinata određena na ovaj način može imati vrijednosti od nule do beskonačnosti, a kutna koordinata varira od 0° do 360°. Međutim, radi praktičnosti, raspon vrijednosti polarne koordinate može se proširiti izvan punog kuta, a može se dopustiti i da uzima negativne vrijednosti, što odgovara rotaciji polarne ose u smjeru kazaljke na satu.

3. Podjela segmenata u ovom pogledu.

Odsječak AB koji spaja tačke A(x1;y1) i B(x2;y2) potrebno je podijeliti u datom omjeru λ > 0, tj.jpg" align="left" width="84 height=84" height =" 84">

Odluka: Hajde da predstavimo vektore https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src="> tj. i tj.

Jednačina (9.1) poprima oblik

S obzirom na to jednaki vektori imaju jednake koordinate, dobijamo:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) i

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Formule (9.2) i (9.3) se pozivaju formule podjele na segmente u ovom pogledu. Konkretno, za λ = 1, tj. gif" width="54" height="29 src=">. U ovom slučaju, tačka M(x;y) je sredini segmenta AB.

komentar:

Ako je λ = 0, to znači da se tačke A i M poklapaju ako je λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Udaljenost između tačaka.

Potrebno je pronaći rastojanje d između tačaka A(x1;y1) i B(x2;y2) ravnine.

Odluka: Željena udaljenost d je jednaka dužini vektora, tj.

5. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Ako su dvije proizvoljne tačke M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2) označene na pravoj liniji u prostoru, tada koordinate ovih tačaka moraju zadovoljiti jednadžbu gornje dobijene prave:

Osim toga, za tačku M1 možemo napisati:

Zajedno rješavajući ove jednačine dobijamo:

Ovo je jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije tačke u prostoru.

6. Odrednice 2. reda.

Vrijednost determinante 2. reda lako se izračunava po definiciji korištenjem formule.

7. Odrednice 3. reda.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> shema za izračunavanje determinante metodom trougla, tj.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Rješenje SLEE po Cramerovoj metodi.

Kramerova teorema: Sistem od N jednačina sa N nepoznatih, čija je determinanta različita od nule, uvek ima rešenje, štaviše, jedinstven je. Nalazi se na sljedeći način: vrijednost svake od nepoznanica jednaka je razlomku, čiji je imenilac determinanta sistema, a brojnik se dobija iz determinante sistema zamjenom stupca koeficijenata u nepoznate nepoznanice po koloni traženih članova.

Ovaj sistem jednačina će imati jedinstveno rješenje samo kada determinanta sastavljena od koeficijenata na X1 - n nije jednaka nuli. Označimo ovu determinantu znakom - Δ. Ako ova determinanta nije jednaka nuli, onda odlučujemo dalje. Tada je svaki Xi = Δi / Δ, gdje je Δi determinanta sastavljena od koeficijenata na X1 - n, samo vrijednosti koeficijenata u i-toj koloni zamjenjuju se vrijednostima iza znaka jednakosti u sistemu jednadžbi, a Δ je glavna determinanta

Sistem N-tog reda https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Rješenje SLE matričnom metodom.

Matrice omogućavaju da se ukratko zapiše sistem linearnih jednačina. Neka je zadan sistem od 3 jednadžbe sa tri nepoznate:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> i matrične kolone nepoznatih i slobodnih članova

Hajde da pronađemo proizvod

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> ili kraće A∙X=B.

Evo matrice A i B poznati su i matrica X nepoznato. Mora se pronaći, jer su njegovi elementi rješenje ovog sistema. Ova jednačina se zove matrična jednačina.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednačina rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednačine na lijevoj strani matricom A-1, inverzno od matrice A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Riješite sljedeći sistem jednačina na matrični način:

Pažnja: Nule se pojavljuju ako ne postoji jedna varijabla, tj., na primjer, ako X3 nije dat u uvjetu, tada je automatski jednak nuli. Isto sa X1 i X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

odgovor:

# a) S obzirom na:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> odgovor:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Nađimo inverznu matricu.

Oduzmite 1. red od svih redova ispod njega. Ova akcija nije u suprotnosti s elementarnim transformacijama matrice.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Oduzmite treći red od svih redova iznad njega. Ova akcija nije u suprotnosti s elementarnim transformacijama matrice.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Sve koeficijente na glavnoj dijagonali matrice dovodimo na 1. Svaki red matrice podijelimo sa koeficijentom ovog reda koji se nalazi na glavnoj dijagonali, ako nije jednak 1. Kvadratna matrica, koja se ispostavila kao desno od jedinične matrice, je inverzno glavnoj.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Vektori. Sabiranje vektora.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Vector oni veličinu koju karakteriše numerička vrijednost nazivaju smjerom u prostoru i razvijanje s drugom, sličnom vrijednošću geometrijski.

Grafički, vektori se prikazuju kao usmjereni ravni segmenti određene dužine, kao https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> ili DIV_ADBLOCK254">

Vektorski dodatak: Zbir vektora a(a1; a2) i b(b1; b2) je vektor c(a1+b1; a2+b2). Za bilo koje vektore a(a1; a2), b(b1; b2), c(c1; c2) jednakosti su tačne:

Teorema: Koje god da su tri tačke A, B i C, vrijedi vektorska jednakost

Kada se doda dva vektori često koriste tzv. pravilo paralelograma". U ovom slučaju, paralelogram se gradi koristeći članove vektora kao njegove susjedne stranice. Dijagonala paralelograma, povučena iz tačke u kojoj su povezani počeci vektora, je željeni zbir (slika 4, lijevo).

Lako je vidjeti (slika 4, desno) da ovo pravilo dovodi do istog rezultata kao i gornja metoda. Prilikom dodavanja više od dva vektora " pravilo paralelograma» se praktički ne koristi zbog glomaznih konstrukcija. Vektorsko sabiranje je komutativno, tj.
a + b = b + a.

Pa ipak, zbir određenog broja vektora ne zavisi od redosleda kojim se dodaju, tj. a + b) + d = a + (b + d). U ovom slučaju kažemo da je sabiranje vektora asocijativno, odnosno da za njega vrijedi asocijativni zakon.

12. Skalarni proizvod vektora.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMnoženje/

Tačkasti proizvod vektora je operacija na dva vektora koja rezultira brojem (ne vektorom).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Drugim riječima, skalarni proizvod vektora jednak je proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih. Treba napomenuti da je ugao između dva vektora ugao koji oni formiraju ako su odloženi iz jedne tačke, odnosno počeci vektora moraju se podudarati.

Sljedeća jednostavna svojstva slijede direktno iz definicije:

1. Skalarni proizvod proizvoljnog vektora a i samog sebe (skalarni kvadrat vektora a) je uvijek nenegativna i jednaka je kvadratu dužine ovog vektora. Štaviše, skalarni kvadrat vektora je jednak nuli ako i samo ako je dati vektor nula.

2. Skalarni proizvod bilo kojeg okomitog vektora a i b jednak je nuli.

3. Skalarni proizvod dva vektora jednak je nuli ako i samo ako su okomiti ili je barem jedan od njih jednak nuli.

4. Skalarni proizvod dva vektora a i b je pozitivan ako i samo ako između njih postoji oštar ugao.

5. Skalarni proizvod dva vektora a i b je negativan ako i samo ako između njih postoji tup ugao.

Alternativna definicija skalarnog proizvoda, ili izračunavanje skalarnog proizvoda dva vektora data njihovim koordinatama.

(Vrlo je lako izračunati koordinate vektora s obzirom na njegove početne i krajnje koordinate.:

Neka postoji vektor AB, A - početak vektora, B - kraj i koordinate ovih tačaka

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Tada koordinate vektora AB:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Slično u dvodimenzionalnom prostoru - jednostavno ne postoje treće koordinate)

Dakle, neka su data dva vektora data skupom njihovih koordinata:

a) U dvodimenzionalnom prostoru (na ravni)..gif" width="49" height="19 src=">

Tada se njihov skalarni proizvod može izračunati po formuli:

b) U trodimenzionalnom prostoru: ;

Slično dvodimenzionalnom slučaju, njihov skalarni proizvod se izračunava po formuli:

DIV_ADBLOCK257">

Recimo da imamo dva vektora: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

I moramo pronaći ugao između njih. Koristeći njihove koordinate, nalazimo njihove dužine, a zatim jednostavno izjednačavamo dvije formule za tačkasti proizvod. Tako dobijamo kosinus željenog ugla.

Dužina vektora a izračunato kao korijen skalarnog kvadrata vektora a, koje ćemo izračunati po formuli za skalarni proizvod vektora datih koordinatama:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

znači, ,

Pronađen je željeni ugao.

13. Vektorski proizvod.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMnoženje/

Vektorski proizvod dva vektora a i b je operacija nad njima, definisana samo u trodimenzionalnom prostoru, čiji je rezultat vektor sa sljedećim svojstvima:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, gdje a i b.

3) Vektor je usmjeren na takav način da ako dovedete vektor https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> prije nego što će vektor biti U suprotnom smjeru od kazaljke na satu.

Radi veće jasnoće, dajemo primjer - na slici desno, vektor je vektorski proizvod vektora a i b. Kao što je navedeno u definiciji, sva tri vektora smo doveli na zajednički početak, a zatim, ako pogledate vektore a i b sa kraja vektora, najkraći zaokret od vektora a do vektora b će biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Takođe, direktno iz definicije sledi da je za bilo koji skalarni faktor k (broj) tačno sledeće:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Nalaženje determinante matrice 3. reda po pravilu trougla

DIV_ADBLOCK261">

Svakom elementu kvadratne matrice (čiji je red veći ili jednak tri) mogu se dodijeliti dva broja, nazvana MINOR ili ALGEBARSKI KOMPLEMENT. Minor elementa Aij kvadratne matrice A (bilo kojeg reda) je DETERMINANTA MATRICE, dobijena iz matrice A brisanjem reda i stupca na čijem presjeku se nalazi element Aij. Znak M - Manja oznaka.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ELEMENTI

Minor

Algebarski komplement

Neka A = neka matrica III reda, tada je determinanta matrice A jednaka:

Napomena: determinanta se može izračunati preko elemenata bilo kojižice ili bilo koji kolone ove matrice.

# Pronađite determinantu matrice po elementima prvog reda i prve kolone:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 determinanta matrice n-tog reda

Neka je A kvadratna matrica reda n. Tada će determinanta matrice n-tog reda izgledati ovako:

Proširivanje elemenata 1 reda da se pronađu elementi matrice A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- jedan

6. GLAVNA SVOJSTVA ODREDNIKA

1. Odrednica se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima (transponiraju)

2. Kada permutirate dva reda ili kolone, definicija će promijeniti svoj predznak u suprotan.

3. Zajednički faktor svih elemenata reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante

4. Determinanta sa dva identična reda ili kolone je uvijek nula.

5. Ako su elementi dva reda (kolona) determinante proporcionalni, onda je determinanta jednaka nuli.

6. Ako se u nekom redu ili koloni determinante, odnosno, dodaju elementi drugog reda ili kolone, pomnoženi istim brojem, tada determinanta neće promijeniti svoju vrijednost.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> itd.

trouglasta determinanta- ovo je determinanta za koju su svi elementi koji leže iznad (ili ispod) glavne dijagonale nule, jednake proizvodu elemenata glavne dijagonale.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Ako postoji inverzna matrica A, tada se matrica naziva INVERZIVNA. Pronalaženje kvadratne matrice je od velike važnosti u rješavanju sistemskih linearnih jednačina.

17. Inverzna matrica.

http://www. mahelp. *****/book1/matrix. htm

1. Pronađite determinantu matrice A

2. Pronađite algebarski komplement svih elemenata matrice A (Aij) i napišite novu matricu

3. Transponirajte novu matricu

4. Pomnožite transponiranu matricu recipročnom vrijednosti determinante. (Na primjer: broju 6, inverzna determinanta će biti broj)

Označimo ∆ =det A. Da bi kvadratna matrica A imala inverznu, potrebno je i dovoljno da matrica nije degenerisana (osim nule). Inverznost matrice A označava se sa A-1, tako da je B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src= " > - faktor normalizacije ravni, čiji se predznak bira suprotno od predznaka D, ako je proizvoljno, ako D=0.

21. Krive 2. (jednačina kružnice).

Definicija 11.1.Krive drugog reda na ravni nazivaju se linije presjeka kružnog konusa sa ravnima koje ne prolaze kroz njegov vrh.

Ako takva ravnina siječe sve generatore jedne šupljine stošca, onda se u presjeku ispostavlja elipsa, na preseku generatora obe šupljine - hiperbola, a ako je rezna ravan paralelna bilo kojoj generatrisi, tada je presjek konusa parabola.

Komentar. Sve krive drugog reda date su jednačinama drugog stepena u dvije varijable.

Klasifikacija krivulja drugog reda

Nedegenerisane krive

nedegenerisan ako se mogu pojaviti sljedeće opcije:

Nedegenerisana kriva drugi red se naziva centralnim ako

elipsa - obezbeđeno D> 0 i ∆ I < 0;

predviđen poseban slučaj elipse - kruga I 2 = 4D ili a 11 = a 22,a 12 = 0;

imaginarna elipsa (bez realne tačke) - podložna Δ I > 0;

hiperbola - predmet D < 0;

Nedegenerisana kriva drugog reda naziva se necentralna ako je Δ I = 0

parabola - predmet D = 0.

Degenerisane krive: Kriva drugog reda se zove degenerisati ako je Δ = 0. Mogu se pojaviti sljedeće opcije:

realna tačka na preseku dve imaginarne prave (degenerisana elipsa) - predviđeno D > 0;

par pravih linija koje se seku (degenerisana hiperbola) - pod uslovom D < 0;

degenerisana parabola - predviđeno D = 0:

par realnih paralelnih pravih - obezbeđeno B < 0;

jedna realna linija (dve spojene paralelne prave) - obezbeđeno B = 0;

par zamišljenih paralelnih pravih (ni jedna stvarna tačka) - obezbeđeno B > 0.

22. Elipsa i njena jednadžba.

Definicija 11.2.Elipsa je skup tačaka u ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 ovog aviona, tzv trikovi, je konstantna vrijednost.

Komentar. Kada se bodovi poklope F 1 i F 2 elipsa se pretvara u krug.

Direktorica Di elipsa koja odgovara fokusu fi, naziva se prava linija koja se nalazi u istoj poluravni sa fi oko ose OU okomito na osu Oh na daljinu a/e od porijekla.

Komentar. Uz drugačiji izbor koordinatnog sistema, elipsa se može dati ne kanonskom jednačinom (11.1), već jednačinom drugog stepena druge vrste.

Svojstva elipse:

1) Elipsa ima dvije međusobno okomite ose simetrije (glavne ose elipse) i centar simetrije (centar elipse). Ako je elipsa data kanonskom jednačinom, tada su njene glavne ose koordinatne ose, a centar je ishodište. Budući da su dužine segmenata formiranih presjekom elipse sa glavnim osama jednake 2 a i 2 b (2a>2b), tada se glavna osa koja prolazi kroz žarišta naziva glavna os elipse, a druga velika os se naziva sporedna os.

Zatim https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Kanonsku jednačinu hiperbole izvodimo analogno izvođenju jednadžbe elipse, koristeći istu notaciju.

|r1 - r2 | = 2a, gdje. Ako odredimo b² = c² - a², odavde možete dobiti https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

za koje se realna i imaginarna osa zamjenjuju uz zadržavanje istih asimptota.

4) Ekscentricitet hiperbole e> 1.

5) Odnos udaljenosti ri od tačke hiperbole do fokusa fi na distancu di od ove tačke do direktrise koja odgovara fokusu jednaka je ekscentricitetu hiperbole.

Dokaz se može izvesti na isti način kao i za elipsu.

23. Parabola.

Definicija 11.8.parabola je skup tačaka u ravni za koje je udaljenost do neke fiksne tačke F ova ravan je jednaka udaljenosti do neke fiksne prave linije. Dot F pozvao fokus parabole, a prava linija - njegova ravnateljica.

Za izvođenje jednadžbe parabole, biramo kartezijanski koordinatni sistem tako da je njegovo ishodište središte okomice FD, spušten iz fokusa na direktrisu, a koordinatne ose su bile paralelne i okomite na direktrisu. Neka je dužina segmenta FD

D O F x je R. Zatim iz jednakosti r = d slijedi da https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Algebarskim transformacijama ova jednadžba se može svesti na oblik:

y² = 2 px, (11.4) pozvan kanonska jednadžba parabole.

Vrijednost R pozvao parametar parabole.

Parabola Properties :

1) Parabola ima os simetrije (osa parabole). Tačka presjeka parabole sa osom naziva se vrh parabole. Ako je parabola data kanonskom jednadžbom, tada je njena osa osa Oh, a vrh je ishodište koordinata.

2) Cijela parabola se nalazi u desnoj poluravnini Ohu.

Komentar. Koristeći svojstva direktrisa elipse i hiperbole i definiciju parabole, možemo dokazati sljedeću tvrdnju:

Skup ravnih tačaka za koji je omjer e udaljenost do neke fiksne tačke do udaljenosti do neke prave linije je konstantna vrijednost, je elipsa (sa e<1), гиперболу (при e>1) ili parabola (kada e=1).

Svođenje jednadžbe drugog reda na kanonski oblik.

Definicija 11.9. Prava definisana opštom jednadžbom drugog reda

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> možete postaviti matricu

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (pod pretpostavkom da λ .

U slučaju kada je jedna od svojstvenih vrijednosti matrice ALI je jednak 0, jednačina (11.5) kao rezultat dvije transformacije koordinata može se svesti na oblik: , (11.8) što je kanonska jednačina parabole.

24. Pravougaone koordinate u prostoru.

Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formirane od tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY i oz. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koji se zove ishodište, na svakoj osi se bira pozitivan smjer označen strelicama i jedinica mjerenja segmenata na osi. Jedinice mjere su obično iste za sve ose (što je opciono). OX- apscisa osa, OY- y-osa, oz- aplikirana osovina.

Ako se za pravac uzme palac desne ruke X, pokazujući smjer Y, i prosjek po smjeru Z, tada se formira u pravu koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem. Drugim riječima, pozitivan smjer osi se bira tako da kada se os rotira OX u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njegov pozitivni smjer se poklopio s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra sa strane pozitivnog smjera ose oz. Desni i lijevi koordinatni sistem se ne mogu kombinovati tako da se odgovarajuće ose poklapaju (vidi sliku 2).

Položaj tačke A u prostoru je određena sa tri koordinate x, y i z. Koordinate x jednaka dužini segmenta OB, koordinata y- dužina segmenta OC, koordinata z- dužina segmenta OD u odabranim mjernim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD definisani su ravnima povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ i XOY respektivno. Koordinate x nazvana apscisa tačke A, koordinata y- ordinatna tačka A, koordinata z- tačka primene A. Zapisuju to ovako:

Ako kroz tačku O u prostoru povučemo tri per-pen-di-ku-lar-prave, nazovemo ih, uzmemo-desno-le-nie, označavajući pojedinačne rezove, onda ćemo dobiti pravougaoni si-ste-mu ko-or-di-nat u prostoru. Osi ko-or-di-nat su na-zy-va-yut-sya ovako: Oh - osa abs-ciss, Oy - osa or-di-nat i Oz - axis up-pli-cat. Cijeli si-ste-ma ko-or-di-nat znači-me-cha-et-sya - Oxyz. Na ovaj način postoje tri co-or-di-nat-nye avioni: Oxy, Oxz, Oyz.

Dajemo primjer izgradnje tačke B (4; 3; 5) u pravougaonom sistemu ko-or-di-nat (vidi sliku 1).

Rice. 1. Konstrukcija tačke B u prostoru

Prva ko-ili-di-na-ta tačka B - 4, tako da od-cla-dy-va-em do Ox 4, zatamnjujemo direktnu para-ral-lel-ali os Oy da se ponovo-re-se -che-tion s ravnom linijom, koja prolazi kroz y = 3. Na ovaj način dobijamo tačku K. Ova tačka leži u Oxy ravni i ima ko-ili-di-na-ti K (4; 3; 0). Sada trebate pro-ve-sti direktnu par-ral-lel-ali Oz os. I pravo, neko-raj prolazi kroz tačku sa app-pli-ka-that 5 i para-ral-lel-on dia-go-on-bilo pa-ral-le-lo-gram -ma u Oxy ravni. Na njihovom re-se-che-nii, dobićemo željenu tačku B.

Uzmite u obzir distribuciju bodova, za neke, jedan ili dva co-ili-di-na-you su jednaki 0 (vidi sliku 2).

Na primjer, tačka A(3;-1;0). Potrebno je nastaviti Oy osu ulijevo do vrijednosti -1, na osi Ox pronaći tačku 3, a na ponovnom dijelu linija koje prolaze kroz ove vrijednosti -tion dobijamo tačku A. tačka ima app-pli-ka-tu 0, što znači da leži u ravni Oxy.

Tačka C (0; 2; 0) ima abs-cis-su i app-pli-ka-tu 0 - ne od-me-cha-e. Or-di-na-ta je jednako 2, što znači da tačka C leži samo na osi Oy, nešto-raj je-la-je-a-re-re-se-če-ne-to je ravan stey Oxy i Oyz.

Da pomerimo tačku D (-4; 0; 3) nastavljamo Ox osu nazad za na-cha-lo ko-or-di-nat do tačke -4. Sada, vrati-sto-nav-li-va-em iz ove tačke po-pen-di-ku-lyar - ravno, paralelno sa osom Oza do ponovnog re-se-che-niya sa ravnom linijom, paralelno sa osom Ox i prolazi kroz vrednost 3 na osi Oz. Prema trenutnom D (-4; 0; 3). Pošto je or-di-na toj tački jednaka 0, tada tačka D leži u ravni Oxz.

Sljedeća tačka je E(0;5;-3). Ili-di-na-ta tačke 5, app-pli-ka-ta -3, prolazimo ravnim linijama koje prolaze kroz ove vrijednosti na-odgovor-th-osi, a na njihovim re-se-che-nii , dobijamo tačku E (0; 5; -3). Ova tačka ima prvi co-or-di-to-tu 0, što znači da leži u ravni Oyza.

2. Vektorske koordinate

Prokleti pravokutni si-ste-mu ko-or-di-nat u svemiru Oxyz. Za-da-dim u prostoru pravougaonog si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Na svakoj od lo-zhi-tel-nyh in-lu-osi od-lo-plaka od na-cha-la ko-or-di-nat jedan vektor, tj. vektor-torus, dužina nečega-ro- go je jednako jedan. Označavamo jedan vektor ose abs-ciss, jedan vektor ose or-di-nat i jedan vektor ose up-pli-kat (vidi sliku 1). Ovi kapci su ko-na-desno-le-na sa desno-le-ni-i-mi osovinama, imaju jednu dužinu i or-to-go-nal-na - u parovima -ali po-pen-di -ku-lyar-ny. Takav vijek-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi age-to-ra-mi ili ba-zi-som.

Rice. 1. Raz-lo-same-age-that-ra u tri co-or-di-nat-ny vek-that-frame

Uzmite mem-tor, u-me-stim ga u na-cha-lo ko-or-di-nat, i raširite ovaj vektor-tor u tri određena-plan-nar-nym-le-zha-shim u različitim ravnima - od veka do okvira. Da bismo to uradili, spustimo projekciju tačke M na Oxy ravan, i pronađemo ko-ili-di-na-vas vektorski jarak, i. On-lu-cha-eat:. Ras-pogledaj-obod na od-del-no-sti svaki od ovih vekova-to-jarak. Vektorski torus leži na osi Ox, što znači da se, prema svojstvu množenja vektora brojem, može predstaviti kao neka vrsta broja x ženskog roda na ko-ili-di-nat-ny vektoru. , a dužina kapka je tačno x puta veća od dužine . Na isti način, hajde da zakoračimo sa vek-to-ra-mi i, iu lu-cha-eat times-lo-iste-age vek-that-ra u tri ko-or-di-nat-ny vekovima do ovna:

Co-ef-fi-qi-en-you ovog vremena x, y i z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi age-to-ra u svemiru.

Ras-pogledaj-rim desno-vi-la, neki-raži pozira-u-la-jut prema ko-or-di-on-tamo dat stoljećima-do-rova da nađeš ko-ili-di-na- ti si njihov zbir i razlika, kao i ko-ili-di-na-ti pro-od-ve-de-nija datog stoljeća-that-ra na datom broju.

1) Složenost:

2) You-chi-ta-nie:

3) Množenje brojem: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go sova-pa-yes-et sa na-cha-otpadom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya radijus-vijek-rum.(Sl. 2). Vektor-tor - ra-di-us-vektor, gdje su x, y i z ko-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion ovog stoljeća-to-ra prema ko-ili - di-nat-ny vijek-to-ram,,. U ovom slučaju, x je prvi ko-ili-di-on-ta tačke A na osi Ox, y je ko-ili-di-on-ta tačke B na osi Oy, z je ko-ili - di-na-ta tačka C na osi Oz. Prema ri-sun-ku, jasno je da ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra jedan-ali-put-men-ali je-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi bodova M.

Uzmite tačku A(x1;y1;z1) i tačku B(x2;y2;z2) (vidi sliku 3). Stoljeće-tor zamišljamo kao razliku vek-i-rov i, po svom svojstvu, vek-a-rov. Štaviše, i - ra-di-us-vek-to-ry, i njihov co-or-di-na-you co-pa-da-yut sa co-or-di-na-ta-mi con- tsov ove vekovima-rov. Tada možemo zamisliti ko-or-di-na-you vek-to-ra kao razliku sa-od-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat veka-that-jarka i : . Na ovaj način, ko-or-di-na-ti od stoljeća do-ra, možemo vy-ra-zit kroz ko-or-di-na-you od kraja i na-cha-la od stoljeća do-ra .

Ras-pogledajte primjere, il-lu-stri-ru-yu-sche svojstva stoljetnog jarka i njihova vi-ra-isto-cija kroz ko-ili-di-na-ti. Take-meme vek-koji-ry , , . Mi smo pitani-shi-va-yut vektor. U ovom slučaju, pronaći ga znači pronaći ko-ili-di-na-ti vek-ta-ra, nekoga ko je u potpunosti određen time. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie umjesto sto vekova-raka sa-od-rep-stven-ali njihov ko-ili-di-na-ti. By-lu-cha-eat:

Sada množimo broj 3 za svaki co-or-di-na-tu u zagradama, a isti de-la-em sa 2:

Imamo zbir tri stoljetna jarka, skladištimo ih prema gore proučenom svojstvu:

odgovor:

Primjer br. 2.

Dato: Trouglasti pi-ra-mi-da AOBC (vidi sliku 4). AOB, AOC i OCB avioni - u parovima, ali po-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.

Naći: ,,,,,,,.

Rješenje: Hajde da uvedemo pravougaoni si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz sa početkom brojanja u tački O. Po uslovu znamo tačke A, B i C na osi i se-re -di-ny rubova pi-ra-mi-dy - M, P i N. Prema ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you vrhovi pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Prilikom uvođenja koordinatnog sistema na ravni ili u trodimenzionalni prostor, pojavljuje se jedinstvena prilika da se geometrijski oblici i njihova svojstva opisuju pomoću jednačina i nejednačina. Ovo ima drugo ime - metode algebre.

Ovaj članak će vam pomoći da shvatite zadatak pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sistema i određivanje koordinata tačaka. Vizuelnija i detaljnija slika dostupna je u grafičkim ilustracijama.

Za uvođenje koordinatnog sistema na ravan potrebno je nacrtati dvije okomite prave na ravni. Izaberi pozitivnog smjera, označeno strelicom. Mora izabrati skala. Tačka presjeka pravih naziva se slovom O. Ona se smatra referentna tačka. Ovo se zove pravougaoni koordinatni sistem na površini.

Zovu se linije sa ishodištem O koje imaju pravac i razmeru koordinatna linija ili koordinatna osa.

Pravougaoni koordinatni sistem je označen O x y . Koordinatne ose se nazivaju O x i O y, respektivno apscisa i y-osa.

Slika pravougaonog koordinatnog sistema na ravni.

Osa apscisa i ordinata imaju istu jedinicu promjene i razmjera, što je prikazano crticom na početku koordinatnih osa. Standardni smjer je O x s lijeva na desno, a O y odozdo prema gore. Ponekad se koristi alternativna rotacija pod potrebnim uglom.

Pravougaoni koordinatni sistem naziva se kartezijanskim u čast njegovog otkrića Rene Descartesa. Naziv često možete pronaći kao pravougaoni Kartezijanski koordinatni sistem.

Trodimenzionalni euklidski prostor ima sličan sistem, samo što se ne sastoji od dvije, već od tri ose O x, O y, O z. To su tri međusobno okomite prave, gdje O z ima ime applique axis.

U pravcu koordinatnih ose dele se na desni i levi pravougaoni koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora.

Koordinatne ose se seku u tački O, koja se naziva ishodište. Svaka osa ima pozitivan smjer, što je označeno strelicama na osi. Ako se, kada se O x okrene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90 °, njegov pozitivni smjer poklapa s pozitivnim O y, onda je to primjenjivo za pozitivni smjer O z. Takav sistem se razmatra u pravu. Drugim riječima, ako uporedimo smjer X sa palcem, onda je kažiprst odgovoran za Y, a srednji za Z.

Slično se formira i lijevi koordinatni sistem. Oba sistema se ne mogu kombinovati, jer se odgovarajuće ose neće poklapati.

Za početak, ostavimo tačku M na koordinatnoj osi O x. Bilo koji realni broj x M jednak je jedinoj tački M koja se nalazi na datoj pravoj. Ako se tačka nalazi na koordinatnoj liniji na udaljenosti od 2 od početka u pozitivnom smjeru, tada je jednaka 2, ako je - 3, tada je odgovarajuća udaljenost 3. Nula je ishodište koordinatnih linija.

Drugim riječima, svaka tačka M koja se nalazi na O x jednaka je realnom broju x M . Ovaj realni broj je nula ako je tačka M locirana u ishodištu, odnosno na preseku O x i O y. Broj dužine segmenta je uvijek pozitivan ako se tačka ukloni u pozitivnom smjeru i obrnuto.

Poziva se dostupan broj x M koordinata tačka M na datoj koordinatnoj liniji.

Uzmimo tačku kao projekciju tačke M x na O x, a kao projekciju tačke M y na O y. To znači da se prave prave okomite na ose O x i O y mogu povući kroz tačku M, gde dobijamo odgovarajuće presečne tačke M x i M y .

Tada tačka M x na O x osi ima odgovarajući broj x M , a M y na O y - y M . Na koordinatnim osama to izgleda ovako:

Svaka tačka M na datoj ravni u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ima jedan odgovarajući par brojeva (x M, y M), koji se naziva svojim koordinate. Abscisa M je x M , ordinata M je y M .

Obrnuti iskaz se također smatra istinitim: svaki uređeni par (x M , y M) ima odgovarajuću tačku datu u ravni.

Definicija tačke M u trodimenzionalnom prostoru. Neka postoje M x , M y , M z , koji su projekcije tačke M na odgovarajuće ose O x, O y, O z. Tada će vrijednosti ovih tačaka na osi O x, O u, O z poprimiti vrijednosti x M , y M , z M . Hajde da ga predstavimo na koordinatnim linijama.

Da biste dobili projekcije tačke M, morate dodati okomite linije O x, O y, O z da biste nastavili i prikazali u obliku ravnina koje prolaze kroz M. Dakle, ravni se sijeku u M x , M y , M z

Svaka tačka trodimenzionalnog prostora ima svoje podatke (x M , y M , z M) koji imaju naziv koordinate tačke M , x M , y M , z M - ovo su brojevi koji se zovu apscisa, ordinata i applique data tačka M . Za ovaj sud važi i obrnuti iskaz: svaka uređena trojka realnih brojeva (x M , y M , z M) u datom pravougaonom koordinatnom sistemu ima jednu odgovarajuću tačku M trodimenzionalnog prostora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Koordinatna metoda je, naravno, vrlo dobra, ali u stvarnim C2 problemima nema koordinata i vektora. Stoga se moraju unijeti. Da, da, samo ga uzmite i unesite ovako: označite ishodište, jedinični segment i smjer osa x, y i z.

Odlična stvar kod ove metode je da nije bitno kako unosite koordinatni sistem. Ako su svi proračuni tačni, onda će odgovor biti tačan.

Koordinate kocke

Ako postoji kocka u zadatku C2, smatrajte da ste sretnici. Ovo je najjednostavniji poliedar, čiji su svi diedarski uglovi 90°.

Koordinatni sistem se također upisuje vrlo jednostavno:

Izvor koordinata je u tački A;
Najčešće, ivica kocke nije naznačena, pa je uzimamo kao jedan segment;
Usmjeravamo x-osu duž ivice AB, y - duž ivice AD, a z-os - duž ivice AA 1 .

Imajte na umu da je z-osa usmjerena prema gore! Nakon dvodimenzionalnog koordinatnog sistema, ovo je pomalo neobično, ali zapravo vrlo logično.

Dakle, sada svaki vrh kocke ima koordinate. Skupimo ih u tablicu - odvojeno za donju ravninu kocke:

Lako je uočiti da se tačke gornje ravni razlikuju od odgovarajućih tačaka donje ravni samo po z-koordinati. Na primjer, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Glavna stvar je da se ne zbunite!

Prism je već mnogo zabavniji. Uz pravi pristup, dovoljno je znati koordinate samo donje baze - gornja će se automatski izračunati.

U zadacima C2 postoje izuzetno pravilne triedarske prizme (prave prizme zasnovane na pravilnom trouglu). Kod njih se koordinatni sistem unosi na skoro isti način kao i za kocku. Inače, ako neko nije upoznat, i kocka je prizma, samo tetraedarska.

Pa idemo! Unesite koordinatni sistem:

Izvor koordinata je u tački A;
Strana prizme se uzima kao jedan segment, osim ako nije drugačije navedeno u uslovu problema;
Usmjeravamo x-osu duž ivice AB, z - duž ivice AA 1, a y-os postavljamo tako da se ravan OXY poklapa sa ravninom baze ABC.

Ovdje je potrebno neko objašnjenje. Činjenica je da se y-osa NE poklapa sa AC rubom, kao što mnogi misle. Zašto se ne poklapa? Razmislite sami: trougao ABC je jednakostranični trougao sa svim uglovima od 60°. A uglovi između koordinatnih osa trebaju biti 90 °, tako da će gornja slika izgledati ovako:

Nadam se da je sada jasno zašto y-osa ne ide duž AC. Nacrtajte visinu CH u ovom trouglu. Trougao ACH je pravougli, a AC = 1, pa je AH = 1 cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Ove činjenice su potrebne za izračunavanje koordinata tačke C.

Sada pogledajmo cijelu prizmu zajedno sa konstruiranim koordinatnim sistemom:

Dobijamo sljedeće koordinate tačaka:

Kao što vidite, tačke gornje baze prizme se opet razlikuju od odgovarajućih tačaka donje baze samo po z koordinati. Glavni problem su tačke C i C 1 . Imaju iracionalne koordinate koje samo trebate zapamtiti. Pa, ili da shvati odakle dolaze.

Koordinate heksagonalne prizme

Heksagonalna prizma je "klonirana" trouglasta prizma. Možete razumjeti kako se to događa ako pogledate donju bazu - označimo je ABCDEF. Izvodimo dodatne konstrukcije: segmente AD, BE i CF. Ispostavilo se šest trouglova, od kojih je svaki (na primjer, trokut ABO) osnova za trokutnu prizmu.

Sada da predstavimo stvarni koordinatni sistem. Početna tačka koordinata - tačka O - biće postavljena u centar simetrije šestougla ABCDEF. X-osa će ići duž FC, a y-osa - kroz sredine segmenata AB i DE. Dobijamo ovu sliku:

Napomena: ishodište koordinata NE poklapa se sa vrhom poliedra! U stvari, kada rješavate stvarne probleme, otkrit ćete da je to vrlo zgodno, jer vam omogućava značajno smanjenje količine proračuna.

Ostaje dodati z-osu. Po tradiciji, crtamo ga okomito na ravan OXY i usmjeravamo ga okomito prema gore. Dobijamo konačnu sliku:

Zapišimo koordinate tačaka. Pretpostavimo da su sve ivice naše pravilne heksagonalne prizme jednake 1. Dakle, koordinate donje baze:

Koordinate gornje baze su pomaknute za jedan na z-osi:

Piramida je generalno veoma teška. Analizirat ćemo samo najjednostavniji slučaj - pravilnu četverokutnu piramidu, čiji su svi rubovi jednaki jednoj. Međutim, u stvarnim C2 problemima, dužine ivica mogu se razlikovati, pa je opća shema za izračunavanje koordinata data u nastavku.

Dakle, ispravna četvorougaona piramida. Ovo je isto kao i Keops, samo malo manji. Označimo ga SABCD, gdje je S vrh. Uvodimo koordinatni sistem: ishodište je u tački A, jedinični segment AB = 1, x-osa je usmerena duž AB, y-osa je duž AD, a z-osa je prema gore, okomita na ravan OXY . Za dalje proračune potrebna nam je visina SH - pa hajde da je izgradimo. Dobijamo sledeću sliku:

Sada pronađimo koordinate tačaka. Počnimo sa avionom OXY. Ovdje je sve jednostavno: baza je kvadrat, njegove koordinate su poznate. Problemi nastaju sa tačkom S. Pošto je SH visina do ravni OXY, tačke S i H se razlikuju samo po z-koordinati. Zapravo, dužina segmenta SH je z koordinata za tačku S, pošto je H = (0,5; 0,5; 0).

Imajte na umu da trouglovi ABC i ASC imaju tri jednake stranice (AS = CS = AB = CB = 1, a stranica AC je uobičajena). Dakle, SH = BH. Ali BH je polovina dijagonale kvadrata ABCD, tj. BH = AB sin 45°. Dobijamo koordinate svih tačaka:

To je sve sa koordinatama piramide. Ali ne sa koordinatama uopšte. Razmotrili smo samo najčešće poliedre, ali ovi primjeri su dovoljni za samostalno izračunavanje koordinata bilo kojeg drugog oblika. Dakle, možemo prijeći, zapravo, na metode rješavanja specifičnih problema C2.