Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dva broja. Nod i nok dva broja, Euklidski algoritam

Razmotrite rješenje sljedećeg problema. Korak dječaka je 75 cm, a korak djevojčice 60 cm. Potrebno je pronaći najmanju udaljenost na kojoj će oboje napraviti cijeli broj koraka.

Odluka. Cijeli put kroz koji će momci proći mora biti djeljiv sa 60 i 70 bez ostatka, jer svaki od njih mora napraviti cijeli broj koraka. Drugim riječima, odgovor mora biti višekratnik i 75 i 60.

Prvo ćemo ispisati sve višekratnike za broj 75. Dobijamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Zapišimo sada brojeve koji će biti umnoženi sa 60. Dobijamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sada nalazimo brojeve koji se nalaze u oba reda.

• Uobičajeni višekratnici brojeva će biti brojevi, 300, 600, itd.

Najmanji od njih je broj 300. U ovom slučaju će se zvati najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.

Da se vratimo na stanje zadatka, najmanja razdaljina na kojoj momci naprave ceo broj koraka biće 300 cm. Dečak će ići ovim putem u 4 koraka, a devojčica će morati da napravi 5 koraka.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• Najmanji zajednički višekratnik dva prirodna broja a i b je najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b.

Da bismo pronašli najmanji zajednički višekratnik dva broja, nije potrebno zapisati sve višekratnike ovih brojeva u nizu.

Možete koristiti sljedeću metodu.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik

Prvo, trebate raščlaniti ove brojeve na proste faktore.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapišimo sada sve faktore koji se nalaze u proširenju prvog broja (2,2,3,5) i dodajmo mu sve faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja (5).

Kao rezultat, dobijamo niz prostih brojeva: 2,2,3,5,5. Proizvod ovih brojeva će biti najmanji zajednički faktor za ove brojeve. 2*2*3*5*5 = 300.

Opća shema za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika

• 1. Rastaviti brojeve na proste faktore.
• 2. Zapišite osnovne faktore koji su dio jednog od njih.
• 3. Ovim faktorima dodajte sve one koji su u razgradnji ostalih, ali ne i u odabranom.
• 4. Pronađite proizvod svih zapisanih faktora.

Ova metoda je univerzalna. Može se koristiti za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika bilo kojeg broja prirodnih brojeva.

Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak, morate pronaći proste faktore datih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serija višestrukih

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba manja od 10. Ako su dati veliki brojevi, koristite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički umnožak brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

1. Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. U tablici množenja možete pronaći više brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Uradite to pod višekratnicima prvog broja da biste uporedili dva reda brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati da napišete duge nizove umnožaka da biste pronašli zbir. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Prema tome, 40 je najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

   Primena faktorizacije

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dati manji brojevi, koristite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da se može koristiti ova metoda.

   2. Faktorizirajte prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnožite, dobijete zadani broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) i 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti činioci broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapišite ih kao izraz: .

   3. Faktori drugi broj u proste faktore. Uradite to na isti način kao što ste rastavili na faktore prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) i 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti činioci broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapišite ih kao izraz: .

   4. Zapišite faktore zajedničke za oba broja. Napišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, precrtajte ga u oba izraza (izrazi koji opisuju dekompoziciju brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\puta) i precrtaj 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor 2, pa napišite 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) i precrtajte drugo 2 u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu precrtani u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) obje dvije (2) su precrtane jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije precrtan, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvojke (2) su također precrtane. Faktori 7 i 3 nisu precrtani, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3).

   6. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u pismenoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

      Pronalaženje zajedničkih djelitelja

      1. Nacrtajte mrežu kao što biste to učinili za igru ​​tic-tac-toe. Takva mreža se sastoji od dvije paralelne prave koje se sijeku (pod pravim uglom) s dvije druge paralelne prave. Ovo će rezultirati tri reda i tri kolone (rešetka liči na znak #). Upišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. Upišite drugi broj u prvi red i treću kolonu.

         • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 18 i 30. U prvi red i drugu kolonu upišite 18, a u prvi red i treću kolonu upišite 30.

      2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi red i prvu kolonu. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

         • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, upišite 2 u prvi red i prvu kolonu.

      3. Podijelite svaki broj sa prvim djeliteljem. Upišite svaki količnik ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

         • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa napiši 9 ispod 18.
         • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napiši 15 ispod 30.

      4. Pronađite djelitelj zajednički za oba količnika. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, zapišite djelitelj u drugom redu i prvoj koloni.

         • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi sa 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

      5. Podijelite svaki količnik sa drugim djeliteljem. Zapišite svaki rezultat dijeljenja pod odgovarajućim količnikom.

         • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa upiši 3 ispod 9.
         • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa napiši 5 ispod 15.

      6. Ako je potrebno, dopunite mrežu dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake dok količniki ne budu imali zajednički djelitelj.

      7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem redu mreže. Zatim napišite označene brojeve kao operaciju množenja.

         • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u posljednjem redu, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

      8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik od dva data broja.

         • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puts 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 18 i 30 je 90.

      Euklidov algoritam

      1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Delitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostaje kada se podijele dva broja.

         • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
           15 je djeljivo
           6 je djelitelj
           2 je privatno
           3 je ostatak.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djelitelj od $a$, a broj $a$ se naziva višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ se naziva zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od ovih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među ovim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, a za označavanje se koristi notacija:

$gcd \ (a;b) \ ​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja:

1. Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Razložimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nađimo proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dva broja možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite gcd brojeva $48$ i $60$.

Odluka:

Pronađite skup djelitelja od $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Sada pronađimo skup djelitelja od $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$

Nađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom setu će biti broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički umnožak prirodnih brojeva$a$ i $b$ su prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Uobičajeni višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi sa originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik će se zvati najmanji zajednički umnožak i označen sa LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore
2. Napišite faktore koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Rastaviti brojeve na proste faktore

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite faktore uključene u prvi

dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najmanji zajednički višekratnik

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje lista djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se zasniva Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vdots b$, onda je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ je djeljiv sa K$(a;b)$
2. Ako je $a\vdots b$, onda je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako je $a\vdots c$ i $b\vdots c$, onda je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj $a$ i $b$ je djelitelj $D(a;b)$

Materijal predstavljen u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), a posebnu pažnju posvetite rješavanju primjera. Hajde da prvo pokažemo kako se LCM dva broja izračunava u terminima GCD ovih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pažnju na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD vam omogućava da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

odgovor:

LCM(126, 70)=630 .

Primjer.

Šta je LCM(68, 34)?

Odluka.

As 68 je jednako djeljivo sa 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

odgovor:

LCM(68, 34)=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoringom brojeva u proste faktore

Drugi način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako napravimo proizvod svih prostih faktora ovih brojeva, nakon čega iz ovog proizvoda isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima ovih brojeva, onda će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku ovih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite proizvod svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobijamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo proizvod svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . dakle, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako faktorima koji nedostaju iz proširenja broja b dodamo faktore iz dekompozicije broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobijamo dekompoziciju brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4 536 .

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći sukcesivnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetite se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nađemo m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada pronalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 = 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dakle, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To jest, m 4 = 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobijenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika koristeći dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo, dobijamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7) morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Pored faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2 2 2 2 3 7 11 13 , koji je jednak 48 048 .

Počnimo proučavati najmanji zajednički višekratnik dva ili više brojeva. U odjeljku ćemo dati definiciju pojma, razmotriti teoremu koja uspostavlja odnos između najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja i dati primjere rješavanja problema.

Uobičajeni višekratnici - definicija, primjeri

U ovoj temi će nas zanimati samo zajednički višekratnici cijelih brojeva koji nisu nula.

Definicija 1

Zajednički višestruki cijeli brojevi je cijeli broj koji je višekratnik svih datih brojeva. U stvari, to je bilo koji cijeli broj koji se može podijeliti bilo kojim od datih brojeva.

Definicija zajedničkih višekratnika odnosi se na dva, tri ili više cijelih brojeva.

Primjer 1

Prema gore datoj definiciji za broj 12, zajednički višekratnici su 3 i 2. Takođe, broj 12 će biti zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 4. Brojevi 12 i -12 su zajednički višekratnici brojeva ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Istovremeno, zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3 bit će brojevi 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 i broj bilo kojih drugih.

Ako uzmemo brojeve koji su djeljivi prvim brojem para, a nisu djeljivi drugim, onda takvi brojevi neće biti zajednički višekratnici. Dakle, za brojeve 2 i 3, brojevi 16 , − 27 , 5009 , 27001 neće biti zajednički višekratnici.

0 je zajednički višekratnik bilo kojeg skupa cijelih brojeva koji nisu nula.

Ako se prisjetimo svojstva djeljivosti u odnosu na suprotne brojeve, onda se ispostavlja da će neki cijeli broj k biti zajednički višekratnik ovih brojeva na isti način kao i broj - k. To znači da zajednički djelitelji mogu biti pozitivni ili negativni.

Da li je moguće pronaći LCM za sve brojeve?

Zajednički višekratnik se može naći za bilo koje cijele brojeve.

Primjer 2

Pretpostavimo da nam je dato k cijeli brojevi a 1 , a 2 , … , a k. Broj koji dobijemo tokom množenja brojeva a 1 a 2 … a k prema svojstvu djeljivosti, podijelit će se sa svakim od faktora koji su bili uključeni u originalni proizvod. To znači da je proizvod brojeva a 1 , a 2 , … , a k je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Koliko zajedničkih višekratnika mogu imati ovi cijeli brojevi?

Grupa cijelih brojeva može imati veliki broj zajedničkih višekratnika. U stvari, njihov broj je beskonačan.

Primjer 3

Pretpostavimo da imamo neki broj k . Tada će proizvod brojeva k · z, gdje je z cijeli broj, biti zajednički višekratnik brojeva k i z. S obzirom da je broj brojeva beskonačan, onda je broj zajedničkih višekratnika beskonačan.

Najmanji zajednički višestruk (LCM) - definicija, simbol i primjeri

Prisjetimo se koncepta najmanjeg broja iz datog skupa brojeva, koji smo razmatrali u odjeljku Poređenje cijelih brojeva. Imajući na umu ovaj koncept, formulirajmo definiciju najmanjeg zajedničkog višekratnika, koji ima najveću praktičnu vrijednost među svim zajedničkim višekratnicima.

Definicija 2

Najmanji zajednički višekratnik datih cijelih brojeva je najmanji pozitivan zajednički višekratnik ovih brojeva.

Najmanji zajednički višekratnik postoji za bilo koji broj datih brojeva. Skraćenica NOK se najčešće koristi za označavanje pojma u referentnoj literaturi. Skraćenica za najmanji zajednički višestruki broj za brojeve a 1 , a 2 , … , a kće izgledati kao LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Primjer 4

Najmanji zajednički višekratnik 6 i 7 je 42. One. LCM(6, 7) = 42. Najmanji zajednički višekratnik četiri broja - 2, 12, 15 i 3 će biti jednak 60. Skraćenica će biti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Nije za sve grupe datih brojeva najmanji zajednički višekratnik očigledan. Često se mora izračunati.

Odnos između NOC-a i NOD-a

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj su povezani. Odnos između pojmova je uspostavljen teoremom.

Teorema 1

Najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja a i b jednak je umnošku brojeva a i b podijeljenih najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva a i b, odnosno LCM (a, b) = a b: GCD (a , b) .

Dokaz 1

Pretpostavimo da imamo neki broj M koji je višekratnik brojeva a i b. Ako je broj M djeljiv sa , postoji i neki cijeli broj z , pod kojom je jednakost M = a k. Prema definiciji djeljivosti, ako je M također djeljiv sa b, pa onda a k podijeljena b.

Ako uvedemo novu notaciju za gcd (a, b) kao d, onda možemo koristiti jednakosti a = a 1 d i b = b 1 · d . U ovom slučaju, obje jednakosti će biti međusobno prosti brojevi.

To smo već utvrdili iznad a k podijeljena b. Sada se ovaj uslov može napisati na sljedeći način:
a 1 d k podijeljena b 1 d, što je ekvivalentno uslovu a 1 k podijeljena b 1 prema svojstvima djeljivosti.

Prema svojstvu relativno prostih brojeva, ako a 1 i b 1 su međusobno prosti brojevi, a 1 nije djeljivo sa b 1 unatoč činjenici da a 1 k podijeljena b 1, onda b 1 treba podijeliti k.

U ovom slučaju, bilo bi prikladno pretpostaviti da postoji broj t, za koji k = b 1 t, i od tada b1=b:d, onda k = b: d t.

Sada umjesto k staviti u jednakost M = a k izraz forme b: d t. To nam omogućava da dođemo do ravnopravnosti M = a b: d t. At t=1 možemo dobiti najmanji pozitivan zajednički višekratnik a i b , jednaka a b: d, pod uslovom da su brojevi a i b pozitivno.

Tako smo dokazali da je LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Uspostavljanje veze između LCM i GCD omogućava vam da pronađete najmanji zajednički višekratnik kroz najveći zajednički djelitelj dva ili više datih brojeva.

Definicija 3

Teorema ima dvije važne posljedice:

• višekratnici najmanjeg zajedničkog višekratnika dva broja su isti kao zajednički višekratnici ta dva broja;
• najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih pozitivnih brojeva a i b jednak je njihovom proizvodu.

Ove dvije činjenice nije teško potkrijepiti. Svaki zajednički višekratnik M brojeva a i b definiran je jednakošću M = LCM (a, b) t za neku cjelobrojnu vrijednost t. Pošto su a i b međusobno prosti, onda je gcd (a, b) = 1, dakle, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate sukcesivno pronaći LCM dva broja.

Teorema 2

Pretvarajmo se to a 1 , a 2 , … , a k su neki pozitivni cijeli brojevi. Za izračunavanje LCM m k ove brojeve moramo sekvencijalno izračunati m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Dokaz 2

Prvi zaključak prve teoreme o kojoj se raspravlja u ovoj temi pomoći će nam da dokažemo tačnost druge teoreme. Rezonovanje se gradi prema sljedećem algoritmu:

• zajednički višekratnici brojeva a 1 i a 2 poklapaju se sa višekratnicima njihovog LCM, u stvari, poklapaju se sa višekratnicima broja m2;
• zajednički višekratnici brojeva a 1, a 2 i a 3 m2 i a 3 m 3;
• zajednički višekratnici brojeva a 1 , a 2 , … , a k poklapaju se sa zajedničkim višekratnicima brojeva m k - 1 i a k, dakle, poklapaju se sa višekratnicima broja m k;
• zbog činjenice da je najmanji pozitivni višekratnik broja m k je sam broj m k, zatim najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2 , … , a k je m k.

Dakle, dokazali smo teoremu.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter