Matematičko očekivanje broja različitih cifara. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Matematičko očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable

Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, selektivno, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, zadaci, procjena očekivanja, varijansa, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna

Proširite sadržaj

Sažmi sadržaj

Matematičko očekivanje je definicija

Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderisani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju nizova brojeva, proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teoriji kockanja.

Matematičko očekivanje je srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.

Matematičko očekivanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).

Matematičko očekivanje je

Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.

Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable sa vjerovatnoćama ovih vrijednosti.

Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. Na jeziku kockara, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "ivica kuće" (ako je negativna za igrača).

Matematičko očekivanje je Procenat profita po pobjedi pomnožen prosječnim profitom minus vjerovatnoća gubitka pomnožen prosječnim gubitkom.

Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematičkoj teoriji

Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrite skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, dat je vjerovatnoćama.

Termin "očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i nastao je iz koncepta "očekivana vrijednost isplate", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascal-a i Christian Huygensa. . Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredina 19. stoljeća).

Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njenu prosječnu vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.

Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako je jedinična masa postavljena na pravu liniju, stavljajući neku masu u neke tačke (za diskretnu distribuciju) ili je "razmazujući" određenom gustinom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinatni "centar gravitacije" ravna.

Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je takoreći njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati” ili “prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokacija na numeričkoj osi, tj. opis pozicije.

Od karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće, najvažniju ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.

Uzmite u obzir slučajnu varijablu X, koji ima moguće vrijednosti x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da ove vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani "ponderisani prosek" vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable X, koje ćemo označiti M|X|:

Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.

X zbog neobične ovisnosti s aritmetičkom sredinom promatranih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između učestalosti i vjerovatnoće, može se zaključiti kao posljedica postojanja sličnog odnosa između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Zaista, razmotrite slučajnu varijablu X, koju karakteriše niz distribucija:

Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opšte značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti X, što je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označićemo M*|X|:

Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Dakle, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata, on će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Veza između aritmetičke sredine i gore formulisanog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje je riječ o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza opservacija iste vrijednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.

Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata je lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganje bilo kojeg tijela u laboratoriju na tačnim vagama, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; da bismo smanjili grešku opažanja, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobijenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na ovo povećanje, a sa dovoljno velikim brojem eksperimenata praktično prestaje da se menja.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je napraviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od većeg interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.

Pored najvažnije od karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja, u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebno mod i medijan slučajne varijable.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Termin "najvjerovatnija vrijednost", striktno govoreći, primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.

Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, kaže se da je distribucija "polimodalna".

Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum. Takve distribucije se nazivaju "antimodalne".

U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ona poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati i za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom raspodjele podijeljeno na pola.

U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan se poklapa sa srednjom vrijednosti i modom.

Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. Na najopštiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) je definiran kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:

Matematičko očekivanje se također može izračunati kao Lebesgueov integral od X distribucijom vjerovatnoće px količine X:

Na prirodan način, može se definirati koncept slučajne varijable sa beskonačnim matematičkim očekivanjem. Tipičan primjer su vremena povratka u nekim slučajnim šetnjama.

Uz pomoć matematičkog očekivanja određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno varijansa , kovarijansa.

Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki "tipični" parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta - koordinate težišta distribucije mase - u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije, uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. . S najvećom potpunošću, značenje matematičkog očekivanja otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova u bacanju kockice može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi za takvu vrijednost postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" sa velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prinos (ili gubitak) iz svake od rizičnih operacija?

Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da svaki četvrti tiket dobije, nagrada će biti 300 rubalja, a cena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačan broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštaće 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), odnosno za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.

Bacamo kocku. Ako nije varanje (bez pomjeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda bodova u prosjeku imati u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija podjednako verovatna, uzimamo glupu aritmetičku sredinu i dobijamo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što nijedno određeno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!

Sada da sumiramo naše primjere:

Pogledajmo sliku iznad. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (datih u gornjem redu). Druge vrijednosti ne mogu postojati. Ispod svake moguće vrijednosti, njena vjerovatnoća je potpisana ispod. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem pokušaja (sa velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti upravo ovom matematičkom očekivanju.

Vratimo se na istu kocku za igranje. Matematičko očekivanje broja poena u bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Ispalo je 4 i 6. U prosjeku je ispalo 5, odnosno daleko od 3,5. Ponovo su ga bacili, ispalo je 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A ako prosjek nije tačno 3,5, onda će biti blizu tome.

Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Tabela će izgledati ovako:

Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo prethodno utvrdili:

Druga stvar je što je i to "na prstima", bez formule teško bi bilo da ima više opcija. Pa, recimo da je bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% dobitnih tiketa.

Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.

Lako je to dokazati:

Konstantni množitelj se može izvaditi iz predznaka očekivanja, to jest:

Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.

Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:

odnosno matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.

Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, zatim:

Ovo je takođe lako dokazati) XY sama po sebi je slučajna varijabla, dok bi početne vrijednosti mogle poprimiti n i m vrijednosti, respektivno, onda XY može uzeti nm vrijednosti. Vjerovatnoća svake od vrijednosti se izračunava na osnovu činjenice da se vjerovatnoće nezavisnih događaja množe. Kao rezultat, dobijamo ovo:

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). To, zapravo, karakterizira situaciju da slučajna varijabla češće uzima neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva, neke - rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:

Evo X- zapravo slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata, vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. šanse za prevazilaženje 3 ili biti manje -3 prilično čisto teorijski.

Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:

Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo ako dobijemo mnogo slučajnih realnih brojeva sa uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.

Svojstva matematičkog očekivanja – linearnost itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva i ovde.

Odnos matematičkog očekivanja sa drugim statističkim pokazateljima

U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Često indikatori varijacije nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakteriše homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.

Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.

Najvažniji indikator koji karakteriše varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Kao i srednja linearna devijacija, varijansa također odražava stepen do kojeg se podaci raspršuju oko srednje vrijednosti.

Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je varijansa prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, sabira i zatim dijeli sa brojem vrijednosti u ovoj populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i srednje vrijednosti odražava mjeru odstupanja. On se kvadrira kako bi se osiguralo da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno poništavanje pozitivnih i negativnih odstupanja kada se sabiraju. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i uzima se u obzir prosjek. Odgovor na magičnu reč "disperzija" su samo tri reči.

Međutim, u svom čistom obliku, kao što je, na primjer, aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Ona čak nema ni normalnu jedinicu mjere. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat izvorne jedinice podataka.

Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je srednja vrijednost povezana s funkcijom distribucije?

Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će ispasti na kockicu tijekom svakog bacanja je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. N teži vrlo specifičnom broju – matematičkom očekivanju Mx. U ovom slučaju, Mx = 3,5.

Kako je nastala ova vrijednost? Pusti unutra N suđenja n1 kada padne 1 bod, n2 puta - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:

Slično i za ishode kada je ispalo 2, 3, 4, 5 i 6 bodova.

Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ... , pk.

Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x je:

Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, za procjenu prosječne plate razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da je broj ljudi koji primaju manje od medijalne plate i više, isti.

Vjerovatnoća p1 da je slučajna varijabla x manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da je slučajna varijabla x veća od x1/2 su iste i jednake su 1/2. Medijan nije jednoznačno određen za sve distribucije.

Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da su podaci grupisani oko srednje vrijednosti, a velika standardna devijacija ukazuje da su početni podaci daleko od nje. Standardna devijacija jednaka je kvadratnom korijenu veličine koja se zove varijansa. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od srednje vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:

Primjer. U uslovima testiranja kada pucate u metu, izračunajte varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable:

Varijacija- fluktuacija, varijabilnost vrijednosti atributa u jedinicama populacije. Odvojene numeričke vrijednosti karakteristike koje se javljaju u proučavanoj populaciji nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije čini potrebnim da se prosječne vrijednosti dopune indikatorima koji omogućavaju procjenu tipičnosti ovih prosjeka mjerenjem fluktuacije (varijacije) osobine koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava po formuli:

Raspon varijacije(R) je razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti osobine u proučavanoj populaciji. Ovaj pokazatelj daje najopćenitiju ideju o fluktuaciji osobine koja se proučava, jer pokazuje razliku samo između ekstremnih vrijednosti varijanti. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima atributa daje rasponu varijacije nestabilan, nasumičan karakter.

Prosječna linearna devijacija je aritmetička sredina apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:

Matematička očekivanja u teoriji kockanja

Matematičko očekivanje je prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo značajan koncept za igrača, jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je takođe najbolji alat za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.

Recimo da igrate novčić sa prijateljem, svaki put dajući jednaku opkladu od 1$, bez obzira na to šta se pojavi. Repovi - pobjeđujete, glave - gubite. Šanse da dođe do pada su jedan prema jedan i kladite se od 1 do 1 dolara. Dakle, vaša matematička očekivanja je nula, jer matematički govoreći, ne možeš znati da li ćeš voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.

Vaš dobitak po satu je nula. Isplata po satu je iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta u roku od sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovakav sistem klađenja nije loš. Ali to je samo gubljenje vremena.

Ali pretpostavimo da neko želi da se kladi $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubite $1, uložite drugi i osvojite $2. Kladili ste se na $1 dvaput i ispred ste za $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.

Ako novčić padne 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će biti već 250$, jer. u prosjeku ste izgubili $1 250 puta i osvojili $2 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, što je iznos koji u prosjeku dobijete na jednoj opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi vaše opklade.

Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti u prvih deset bacanja zaredom, ali vi, sa prednošću klađenja 2-na-1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zarađujete 50 centi na svaku opkladu od 1$ pod bilo kojim okolnosti. Nije bitno da li dobijete ili izgubite jednu ili više opklada, ali samo pod uslovom da imate dovoljno gotovine da lako nadoknadite troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, tada će tokom dužeg vremenskog perioda vaši dobici dostići zbir očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.

Svaki put kada napravite najbolju opkladu (opkladu koja može biti isplativa na duge staze) kada su kvote u vašu korist, sigurno ćete nešto osvojiti na tome, bilo da izgubite ili ne u datoj ruci. Suprotno tome, ako ste napravili lošiju opkladu (opkladu koja je dugoročno neisplativa) kada kvote nisu u vašu korist, gubite nešto, bilo da dobijete ili izgubite ruku.

Kladite se sa najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su kvote u vašu korist. Klađenjem sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo sa najboljim ishodom, sa najgorim - odustaju. Šta znače šanse u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Pravi izgledi za postizanje repova su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera klađenja. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.

Evo složenijeg primjera matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete izabrati broj. Da li pristajete na takvu opkladu? Šta se ovde očekuje?

U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, kvote protiv toga da pogodite broj će biti 4 prema 1. Šanse su da ćete izgubiti dolar u jednom pokušaju. Ipak, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4:1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako napravite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete izgubiti četiri puta po $1 i jednom dobiti $5. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.

Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, hvata kvote. S druge strane, on uništava šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja u zavisnosti od toga da li hvata ili uništava kvote.

Ako se kladite na $50 da osvojite $10 sa šansom 4 prema 1 za pobjedu, dobićete negativno očekivanje od $2, jer u prosjeku ćete dobiti četiri puta 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo dobijate četiri puta po 10$ i gubite jednom 30$, za profit od 10$. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.

Matematičko očekivanje je centar svake situacije u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, oni imaju pozitivno očekivanje od 50 centi za svakih 10 dolara. Ako kazino isplati čak i novac iz Craps pass linije, tada je pozitivna očekivanja kuće otprilike 1,40 USD za svakih 100 USD; ova igra je strukturirana tako da svi koji se klade na ovu liniju gube u prosjeku 50,7% i dobiju 49,3% vremena. Nesumnjivo, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi ogroman profit vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je primijetio vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak: “Negativna vjerovatnoća od hiljadu procenta na dovoljno dugoj udaljenosti dovest će do bankrota najbogatijeg čovjeka na svijetu.”

Matematička očekivanja pri igranju pokera

Poker je najilustrativniji i najilustrativniji primjer u smislu korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.

Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspešan poker podrazumeva uvek prihvatanje poteza sa pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Matematičko značenje matematičkog očekivanja prilikom igranja pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluke (ne znamo koje su karte u ruci protivnika, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.

Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:

Kada igrate poker, matematičko očekivanje se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju, fold equity treba uzeti u obzir, u drugom, sopstvene šanse pota. Kada procjenjujemo matematičko očekivanje određenog poteza, treba imati na umu da fold uvijek ima nulto matematičko očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.

Očekivanja vam govore šta možete očekivati ​​(profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara koje se u njima praktikuju ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, može se očekivati ​​da će klijent izgubiti novac, jer je “vjerovatnoća” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke periode, čime povećavaju šanse u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovina u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vaš prosječni profit minus vaša vjerovatnoća gubitka puta vaš prosječan gubitak.

Poker se takođe može razmatrati u smislu matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji, jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da će on zvati ako podignete prodajnu poziciju. Dakle, podizanje izgleda kao najbolja taktika. Ali ako podignete, preostala dva igrača će sigurno odustati. Ali ako platite opkladu, bićete potpuno sigurni da će druga dva igrača nakon vas učiniti isto. Kada podignete opkladu, dobijate jednu jedinicu, a jednostavnim callom dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i najbolja je taktika.

Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje su poker taktike manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da je vaš prosječan gubitak 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.

Još jedan važan razlog za razumijevanje očekivane vrijednosti je taj što vam daje osjećaj mira bez obzira na to da li ste dobili opkladu ili ne: ako ste dobro uložili ili odustali na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određeni iznos novac, koji slabiji igrač nije mogao uštedjeti. Mnogo je teže odustati ako ste frustrirani što vaš protivnik ima bolju ruku na izvlačenju. Međutim, novac koji uštedite neigranjem, umjesto klađenja, dodaje se vašem noćnom ili mjesečnom dobitku.

Samo zapamtite da ako promijenite ruke, vaš protivnik će vas zvati, a kao što ćete vidjeti u članku Fundamental Theorem of Poker, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebali biste se radovati kada se to dogodi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke, jer znate da bi drugi igrači u vašoj cipelama izgubili mnogo više.

Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, stopa povrata po satu povezana je s matematičkim očekivanjem, a ovaj koncept je posebno važan za profesionalne igrače. Kada ćete igrati poker, morate mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i neke matematičke proračune. Na primjer, ako igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$, a zatim izvlače dvije karte, što je vrlo loša taktika, sami možete izračunati da svaki put kada ulože 10$ gube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube oko 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača, koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti $48, a svaki će zarađivati ​​$12 po satu. Vaša satnica u ovom slučaju je jednostavno vaš udio u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača po satu.

Tokom dugog vremenskog perioda, ukupan dobitak igrača je zbir njegovih matematičkih očekivanja u odvojenim distribucijama. Što više igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste dati prednost igri koja može maksimizirati vaša pozitivna očekivanja ili negirati vaša negativna, tako da možete maksimizirati svoj dobitak po satu.

Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igre

Ako znate brojati karte, možda ćete imati prednost u odnosu na kasino ako vas ne primjete i izbace. Kazina vole pijane kockare i ne podnose brojanje karata. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tokom vremena. Dobro upravljanje novcem korištenjem kalkulacija očekivanja može vam pomoći da izvučete više iz svoje ivice i smanjite gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara više profita nego gubitaka, razlika u cijeni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem neće spasiti loš sistem igara.

Pozitivno očekivanje je definirano vrijednošću većom od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je očekivanje neispravno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja, razuman sistem igre. Igranje na intuiciji vodi do katastrofe.

Matematička očekivanja i trgovanje dionicama

Matematičko očekivanje je prilično tražen i popularan statistički indikator u berzanskom trgovanju na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ova vrijednost veća, to je više razloga da se proučavana trgovina smatra uspješnom. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo uz pomoć ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.

Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Kao iznimke, možemo navesti strategije koje koriste “prestajanje” gubitnih trgovina. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga u njegovom radu možda uopće nema gubitaka. U tom slučaju neće se moći kretati samo očekivanjem, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.

U trgovanju na tržištu, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na osnovu statistike njegovih prethodnih trgovina.

Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate razmjenu pod ovim uvjetima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubit ćete cijeli račun, ma koliko bio velik na početku.

Ovaj aksiom nije istinit samo za igre sa negativnim očekivanjima ili trgovine, već je istinit i za igre parnih kvota. Stoga, jedini slučaj u kojem imate šansu da dugoročno profitirate je kada sklapate poslove s pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; bitno je da li je pozitivan ili negativan. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, morate pronaći igru ​​s pozitivnim očekivanjima.

Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti nikakvo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, onda je moguće, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti to u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su mala pozitivna očekivanja! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru u jednoj trgovini (nakon naknada i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem da biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji pokazuje prosječan profit od 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanje).

Nije bitno koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem u budućnosti iskazati barem minimalan profit. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da sistem pokazuje pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.

Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimizuju, već i smanjenjem što većeg broja sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, želite da izgradite prilično primitivan i jednostavan sistem koji će konstantno donositi mali profit na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju biće zarađen kroz efikasno upravljanje novcem.

Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivna matematička očekivanja tako da se može koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće dugo raditi u realnom vremenu. Problem kod većine tehničkih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju različitih pravila i parametara sistema trgovanja. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i kompjutersko vrijeme na povećanje profita trgovačkog sistema, svoju energiju usmjerite ka povećanju nivoa pouzdanosti ostvarivanja minimalnog profita.

Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logična, daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanja novcem primijenjene na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, obavit će ostatak posla.

Svaki trgovac za uspjeh u svom poslu treba riješiti tri najvažnija zadatka: . Osigurati da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da vam je prilika za zaradu što je moguće češće; Ostvarite stabilan pozitivan rezultat svog poslovanja.

I ovdje, nama, trgovcima koji rade, matematičko očekivanje može biti dobra pomoć. Ovaj termin u teoriji vjerovatnoće je jedan od ključnih. Pomoću njega možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable je kao centar gravitacije, ako zamislimo sve moguće vjerovatnoće kao tačke sa različitim masama.

U odnosu na strategiju trgovanja, za procenu njene efikasnosti, najčešće se koristi matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka). Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih operacija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći sljedeći sistem:

Šta znači ovaj broj? U njemu se kaže da ćemo, po pravilima ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zaključene transakcije. Pošto je rezultat efikasnosti veći od nule, takav sistem se može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.

Iznos profita po trgovini se takođe može izraziti kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:

– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;

– procenat uspješnog trgovanja - 62%;

– procenat gubitka po 1 trgovini - 3%;

- procenat neuspješnih transakcija - 38%;

Odnosno, prosječna transakcija će donijeti 1,96%.

Moguće je razviti sistem koji će, uprkos dominaciji gubitnih trgovina, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.

Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija u prosjeku donosi samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem pretpostavi 1000 transakcija godišnje? Ovo će biti veoma ozbiljan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično sledi da se još jednim obeležjem dobrog sistema trgovanja može smatrati kratak period držanja.

Izvori i linkovi

dic.academic.ru - akademski online rječnik

mathematics.ru - obrazovna stranica o matematici

nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirskog državnog univerziteta

webmath.ru je obrazovni portal za studente, kandidate i školarce.

exponenta.ru obrazovna matematička web stranica

ru.tradimo.com - besplatna škola online trgovanja

crypto.hut2.ru - multidisciplinarni informativni resurs

poker-wiki.ru - besplatna enciklopedija pokera

sernam.ru - Naučna biblioteka izabranih publikacija prirodnih nauka

reshim.su - web stranica RJEŠAVANJE zadataka kontrola kurseva

unfx.ru – Forex na UNFX: obrazovanje, trgovački signali, upravljanje povjerenjem

slovopedia.com - Veliki enciklopedijski rječnik

pokermansion.3dn.ru - Vaš vodič u svijet pokera

statanaliz.info - informativni blog "Statistička analiza podataka"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - ažurna Forex analitika

fx-by.com - sve za trgovca

Matematičko očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen disperzije. U mnogim problemima prakse, potpun, iscrpan opis slučajne varijable - zakona raspodjele - ili se uopće ne može dobiti, ili uopće nije potreban. U ovim slučajevima, oni su ograničeni na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.

Matematičko očekivanje se često naziva jednostavno kao prosječna vrijednost slučajne varijable. Disperzija slučajne varijable je karakteristika disperzije, disperzija slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Pristupimo konceptu matematičkog očekivanja, prvo polazeći od mehaničke interpretacije distribucije diskretne slučajne varijable. Neka je jedinična masa raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n, a svaka materijalna tačka ima masu koja joj odgovara iz str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je odabrati jednu tačku na x-osi, koja karakteriše položaj čitavog sistema materijalnih tačaka, uzimajući u obzir njihove mase. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, u kojoj je apscisa svake tačke xi ulazi sa "težinom" jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Srednja vrijednost tako dobijene slučajne varijable X naziva se njeno matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:

Primjer 1 Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 po 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Koliki je prosječan dobitak za osobu koja kupi jednu kartu?

Odluka. Prosječan dobitak ćemo pronaći ako se ukupan iznos dobitka, koji je jednak 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijeli sa 1000 (ukupan iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka također se može predstaviti u sljedećem obliku:

S druge strane, pod ovim uvjetima, iznos dobitka je slučajna varijabla koja može poprimiti vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Stoga je očekivana prosječna isplata jednaka zbiru proizvoda veličine isplata i vjerovatnoće njihovog primanja.

Primjer 2 Izdavač je odlučio da objavi novu knjigu. Knjigu će prodati za 280 rubalja, od čega će 200 dobiti njemu, 50 knjižari, a 30 autoru. Tabela daje informacije o cijeni izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.

Pronađite očekivani profit izdavača.

Odluka. Slučajna varijabla "profit" jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:

Broj	Profit xi	Vjerovatnoća stri	xi str i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Ukupno:		1,00	25000

Tako dobijamo matematičko očekivanje profita izdavača:

.

Primjer 3Šansa za pogodak jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju školjki koje daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.

Odluka. Iz iste formule očekivanja koju smo do sada koristili izražavamo x- potrošnja školjki:

.

Primjer 4 Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogađanja sa svakim udarcem str = 0,4 .

Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .

Expectation Properties

Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja.

Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja:

Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:

Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:

Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj With, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:

Kada ne možete biti ograničeni samo na matematička očekivanja

U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može adekvatno okarakterizirati slučajnu varijablu.

Neka slučajne varijable X i Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:

Značenje X	Vjerovatnoća
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Značenje Y	Vjerovatnoća
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:

Međutim, njihova distribucija je drugačija. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava procjenu omjera visoko i nisko plaćenih radnika. Drugim riječima, prema matematičkom očekivanju ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.

Disperzija diskretne slučajne varijable

disperzija diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:

Standardna devijacija slučajne varijable X je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse:

.

Primjer 5 Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.

Odluka. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y, kao što je gore utvrđeno, jednaki su nuli. Prema formuli disperzije za E(X)=E(y)=0 dobijamo:

Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y konstituisati

.

Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X veoma mali i nasumični Y- značajno. To je posljedica razlike u njihovoj distribuciji.

Primjer 6 Investitor ima 4 alternativna investiciona projekta. U tabeli su sumirani podaci o očekivanoj dobiti u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.

Projekat 1	Projekat 2	Projekat 3	Projekat 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Pronađite za svaku alternativu matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju.

Odluka. Hajde da pokažemo kako se ove količine izračunavaju za 3. alternativu:

Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.

Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu ​​devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, tada će izabrati projekat sa najvećom standardnom devijacijom - projekat 4.

Svojstva disperzije

Predstavimo svojstva disperzije.

Nekretnina 1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

.

Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:

,

gdje .

Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbiru (razlici) njihovih varijansi:

Primjer 7 Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.

Odluka. Označiti sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla poprima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:

E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,

odakle dobijamo vjerovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .

Zakon distribucije slučajne varijable:

X	−3	7
str	0,3	0,7

Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 varijanse:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 8 Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Uzima veću vrijednost od 3 sa vjerovatnoćom od 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.

Primjer 9 Urna sadrži 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz urne se uzimaju 3 kuglice. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Odluka. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoća. Zakon distribucije slučajne varijable:

X	0	1	2	3
str	1/30	3/10	1/2	1/6

Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varijanca date slučajne varijable je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Matematičko očekivanje i disperzija kontinuirane slučajne varijable

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osu s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, za koju je argument funkcije xi mijenja se naglo, za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable također je povezano s njenom srednjom vrijednošću.

Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona ulazi direktno u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.

Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .

Teorija vjerovatnoće je posebna grana matematike koju izučavaju samo studenti visokoškolskih ustanova. Volite li kalkulacije i formule? Ne plašite li se mogućnosti upoznavanja normalne distribucije, entropije ansambla, matematičkog očekivanja i varijanse diskretne slučajne varijable? Onda će vam ova tema biti od velikog interesa. Hajde da se upoznamo sa nekim od najvažnijih osnovnih pojmova ovog odeljka nauke.

Prisjetimo se osnova

Čak i ako se sjećate najjednostavnijih koncepata teorije vjerojatnosti, nemojte zanemariti prve paragrafe članka. Činjenica je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi sa formulama o kojima se govori u nastavku.

Dakle, postoji neki slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat izvršenih radnji možemo dobiti nekoliko ishoda - neki su češći, drugi rjeđi. Vjerovatnoća događaja je omjer broja stvarno dobijenih ishoda jedne vrste i ukupnog broja mogućih ishoda. Samo poznavajući klasičnu definiciju ovog koncepta, možete početi proučavati matematičko očekivanje i disperziju kontinuiranih slučajnih varijabli.

Prosjek

Još u školi, na časovima matematike, počeli ste da radite sa aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i stoga se ne može zanemariti. Za nas je trenutno najvažnije da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable.

Imamo niz brojeva i želimo da pronađemo aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je da zbrojimo sve dostupno i podijelimo sa brojem elemenata u nizu. Neka imamo brojeve od 1 do 9. Zbir elemenata će biti 45, a mi ćemo ovu vrijednost podijeliti sa 9. Odgovor: - 5.

Disperzija

U naučnom smislu, varijansa je prosječni kvadrat odstupanja dobijenih vrijednosti karakteristika od aritmetičke sredine. Jedan je označen velikim latiničnim slovom D. Šta je potrebno da se izračuna? Za svaki element niza izračunavamo razliku između dostupnog broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će tačno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim sumiramo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, onda podijelite sa pet.

Varijanca također ima svojstva koja morate zapamtiti da biste je primijenili prilikom rješavanja problema. Na primjer, ako se slučajna varijabla poveća za X puta, varijansa se povećava za X puta kvadrat (tj. X*X). Nikada nije manji od nule i ne zavisi od pomeranja vrednosti za jednaku vrednost gore ili dole. Takođe, za nezavisna ispitivanja, varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.

Sada svakako moramo razmotriti primjere varijanse diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.

Recimo da izvodimo 21 eksperiment i dobijemo 7 različitih ishoda. Svaku od njih posmatrali smo 1,2,2,3,4,4 i 5 puta. Kolika će biti varijansa?

Prvo izračunamo aritmetičku sredinu: zbroj elemenata je, naravno, 21. Podijelimo ga sa 7 i dobijemo 3. Sada oduzimamo 3 od svakog broja u originalnom nizu, kvadriramo svaku vrijednost i zbrajamo rezultate . Ispada 12. Sada nam ostaje da podijelimo broj sa brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Hajde da razgovaramo o tome.

Ovisnost o broju eksperimenata

Ispostavilo se da prilikom izračunavanja varijanse imenilac može biti jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (što je u suštini ista stvar). Od čega zavisi?

Ako se broj testova mjeri u stotinama, onda u nazivnik moramo staviti N. Ako je u jedinicama, onda N-1. Naučnici su odlučili da granicu povuku sasvim simbolično: danas ona ide duž broja 30. Ako smo izvršili manje od 30 eksperimenata, tada ćemo količinu podijeliti sa N-1, a ako više, onda sa N.

Zadatak

Vratimo se na naš primjer rješavanja problema varijanse i očekivanja. Dobili smo srednji broj od 12, koji je morao biti podijeljen sa N ili N-1. S obzirom da smo izveli 21 eksperiment, što je manje od 30, mi ćemo izabrati drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijansa je 12 / 2 = 2.

Očekivana vrijednost

Prijeđimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje je rezultat zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih odgovarajućim vjerovatnoćama. Važno je shvatiti da se rezultujuća vrijednost, kao i rezultat izračunavanja varijanse, dobiva samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko ishoda razmatra.

Formula matematičkog očekivanja je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga njegovom vjerovatnoćom, dodamo isto za drugi, treći rezultat, itd. Sve što se tiče ovog koncepta je lako izračunati. Na primjer, zbir matematičkih očekivanja jednak je matematičkom očekivanju sume. Isto važi i za rad. Ne dozvoljava svaka veličina u teoriji vjerovatnoće izvođenje tako jednostavnih operacija. Uzmimo zadatak i izračunajmo vrijednost dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, ometala nas je teorija – vrijeme je za praksu.

Još jedan primjer

Proveli smo 50 pokušaja i dobili 10 vrsta ishoda - brojeve od 0 do 9 - koji se pojavljuju u različitim procentima. To su, respektivno: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerovatnoće, trebate podijeliti procentualne vrijednosti sa 100. Dakle, dobijamo 0,02; 0,1 itd. Predstavimo primjer rješavanja problema za varijansu slučajne varijable i matematičko očekivanje.

Aritmetičku sredinu izračunavamo pomoću formule koju pamtimo iz osnovne škole: 50/10 = 5.

Hajde sada da prevedemo verovatnoće u broj ishoda "u komadima" da bi bilo zgodnije za brojanje. Dobijamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobijene vrijednosti oduzmimo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobijeni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti s prvim elementom kao primjerom: 1 - 5 = (-4). Dalje: (-4) * (-4) = 16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve uradili kako treba, onda nakon dodavanja svega dobijate 90.

Nastavimo s izračunavanjem varijanse i srednje vrijednosti dijeljenjem 90 sa N. Zašto biramo N, a ne N-1? Tako je, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10 = 9. Dobili smo disperziju. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerovatnije ste napravili banalnu grešku u proračunima. Još jednom provjeri šta si napisao i sigurno će sve doći na svoje mjesto.

Na kraju, prisjetimo se formule matematičkog očekivanja. Nećemo dati sve izračune, samo ćemo napisati odgovor sa kojim možete provjeriti nakon završetka svih potrebnih procedura. Očekivana vrijednost će biti 5,48. Podsjećamo samo kako izvoditi operacije, koristeći primjer prvih elemenata: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... i tako dalje. Kao što vidite, jednostavno množimo vrijednost ishoda njegovom vjerovatnoćom.

Devijacija

Drugi koncept usko povezan sa disperzijom i matematičkim očekivanjima je standardna devijacija. Označava se ili latiničnim slovima sd, ili grčkim malim slovima "sigma". Ovaj koncept pokazuje kako, u prosjeku, vrijednosti odstupaju od središnje karakteristike. Da biste pronašli njegovu vrijednost, morate izračunati kvadratni korijen varijanse.

Ako nacrtate normalnu distribuciju i želite da vidite kvadratnu devijaciju direktno na njoj, to se može učiniti u nekoliko koraka. Uzmite polovinu slike lijevo ili desno od moda (centralna vrijednost), nacrtajte okomitu na horizontalnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Vrijednost segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu os bit će standardna devijacija.

Softver

Kao što se može vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijanse i matematičkog očekivanja nije najlakši postupak sa aritmetičke tačke gledišta. Kako ne biste gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u visokom obrazovanju - zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućavaju da izračunate vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.

Na primjer, definirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Konačno

Disperzija i matematičko očekivanje su bez kojih je teško bilo šta izračunati u budućnosti. U glavnom kursu predavanja na univerzitetima oni se razmatraju već u prvim mjesecima izučavanja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu i kasnije dobijaju slabe ocjene na sesiji, što ih uskraćuje stipendijama.

Vježbajte barem jednu sedmicu po pola sata dnevno, rješavajući zadatke slične onima predstavljenim u ovom članku. Tada ćete se na bilo kojem testu teorije vjerovatnoće nositi s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.

Kao što je već poznato, zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, zakon distribucije je često nepoznat i čovjek se mora ograničiti na manje informacije. Ponekad je čak isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu; takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajne varijable. Matematičko očekivanje je jedna od važnih numeričkih karakteristika.

Matematičko očekivanje, kao što će biti prikazano u nastavku, približno je jednako prosječnoj vrijednosti slučajne varijable. Za rješavanje mnogih problema dovoljno je znati matematičko očekivanje. Na primjer, ako se zna da je matematičko očekivanje broja poena koje je postigao prvi strijelac veće od onog kod drugog, tada prvi strijelac u prosjeku izbacuje više poena od drugog, pa stoga šutira bolje od drugi. Iako matematičko očekivanje daje mnogo manje informacija o slučajnoj varijabli od zakona njene distribucije, ali za rješavanje problema poput ovog i mnogih drugih, dovoljno je poznavanje matematičkog očekivanja.

§ 2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla naziva se zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.

Neka je slučajna varijabla X može uzeti samo vrijednosti X 1 , X 2 , ..., X P , čije su vjerovatnoće jednake R 1 , R 2 , . . ., R P . Zatim matematičko očekivanje M(X) slučajna varijabla X je definisana jednakošću

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n str n .

Ako je diskretna slučajna varijabla X tada poprima prebrojiv skup mogućih vrijednosti

M(X)=

osim toga, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.

Komentar. Iz definicije proizilazi da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable neslučajna (konstantna) varijabla. Preporučujemo da zapamtite ovu izjavu, jer se kasnije više puta koristi. Kasnije će se pokazati da je matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable također konstantna vrijednost.

Primjer 1 Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X, poznavajući zakon njegove distribucije:

Odluka. Željeno matematičko očekivanje jednako je zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Primjer 2 Pronađite matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja ALI u jednom pokušaju, ako je vjerovatnoća događaja ALI je jednako sa R.

Odluka. Slučajna vrijednost X - broj pojavljivanja događaja ALI u jednom testu - može uzeti samo dvije vrijednosti: X 1 = 1 (događaj ALI dogodilo) sa vjerovatnoćom R i X 2 = 0 (događaj ALI nije došlo) sa vjerovatnoćom q= 1 -R.Željeno matematičko očekivanje

M(X)= 1* str+ 0* q= str

dakle, matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u jednom ogledu jednako je vjerovatnoći ovog događaja. Ovaj rezultat će se koristiti u nastavku.

§ 3. Probabilističko značenje matematičkog očekivanja

Neka proizvedeno P testovi u kojima je slučajna varijabla X prihvaćeno t 1 puta vrijednost X 1 , t 2 puta vrijednost X 2 ,...,m k puta vrijednost x k , i t 1 + t 2 + …+t to = str. Zatim zbir svih uzetih vrijednosti X, je jednako sa

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X to t to .

Pronađite aritmetičku sredinu svih vrijednosti prihvaćenih kao slučajna varijabla, za koju pronađenu sumu podijelimo s ukupnim brojem pokušaja:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X to t to)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X to (t to /P). (*)

Primjećujući da je odnos m 1 / n- relativna frekvencija W 1 vrijednosti X 1 , m 2 / n - relativna frekvencija W 2 vrijednosti X 2 itd., zapisujemo relaciju (*) na sljedeći način:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X to W k . (**)

Pretpostavimo da je broj pokušaja dovoljno velik. Tada je relativna frekvencija približno jednaka vjerovatnoći pojave događaja (ovo će biti dokazano u poglavlju IX, § 6):

W 1 str 1 , W 2 str 2 , …, W k str k .

Zamenivši relativne frekvencije u odnosu (**) odgovarajućim verovatnoćama, dobijamo

x 1 str 1 + X 2 R 2 + … + X to R to .

Desna strana ove približne jednakosti je M(X). dakle,

M(X).

Vjerovatno značenje dobijenog rezultata je sljedeće: matematičko očekivanje je približno jednako(što tačnije to je veći broj pokušaja) aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable.

Napomena 1. Lako je vidjeti da je matematičko očekivanje veće od najmanjih i manje od najvećih mogućih vrijednosti. Drugim riječima, na brojevnoj osi moguće vrijednosti se nalaze lijevo i desno od očekivane vrijednosti. U tom smislu, očekivanje karakteriše lokaciju distribucije i stoga se često naziva distributivni centar.

Ovaj izraz je posuđen iz mehanike: ako su mase R 1 , R 2 , ..., R P nalazi se u tačkama sa apscisama x 1 , X 2 , ..., X n, i
zatim apscisa centra gravitacije

x c =
.

S obzirom na to
= M (X) i
dobijamo M(X)= x sa .

Dakle, matematičko očekivanje je apscisa centra gravitacije sistema materijalnih tačaka, čije su apscise jednake mogućim vrijednostima slučajne varijable, a mase jednake njihovim vjerovatnoćama.

Napomena 2. Poreklo pojma "očekivanje" vezuje se za početni period nastanka teorije verovatnoće (XVI-XVII vek), kada je njen obim bio ograničen na kockanje. Igrača je zanimala prosječna vrijednost očekivane isplate, ili, drugim riječima, matematičko očekivanje isplate.

Slučajne varijable, pored zakona distribucije, takođe se mogu opisati numeričke karakteristike .

matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njena prosječna vrijednost.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable izračunava se po formuli

gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerovatnoće.

Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem

M (kx) = kM (x)

3. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Za nezavisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n matematičko očekivanje proizvoda jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) \u003d 0

Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.

M(x) == .

Primjer 12. Neka su slučajne varijable x 1 , x 2 date zakonima distribucije, redom:

x 1 Tabela 2

x 2 Tabela 3

Izračunajte M (x 1) i M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, njihova distribucija je drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, onda se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerovatnoće takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti kakva se odstupanja od nje dešavaju i gore i dolje. Dakle, uz iste prosječne godišnje količine padavina na dva lokaliteta, ne može se reći da su ovi lokaliteti podjednako povoljni za poljoprivredne radove. Slično, po pokazatelju prosječne plate nije moguće suditi o odnosu visoko i nisko plaćenih radnika. Stoga se uvodi numerička karakteristika - disperzija D(x) , koji karakteriše stepen odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrednosti:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Disperzija je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa se izračunava po formuli:

D(x)= = (3)

Iz definicije varijanse slijedi da je D (x) 0.

Svojstva disperzije:

1. Disperzija konstante je nula

2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa nekim brojem k, tada se varijansa pomnoži s kvadratom ovog broja

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Za parno nezavisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Izračunajmo varijansu za slučajnu varijablu iz primjera 11.

Matematičko očekivanje M (x) = 1. Dakle, prema formuli (3) imamo:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Imajte na umu da je lakše izračunati varijansu ako koristimo svojstvo 3:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Izračunajmo varijanse za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable jednaka su nuli.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 0,002 \u004

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 \u003d 260

Što je vrijednost disperzije bliža nuli, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.

Vrijednost se poziva standardna devijacija. Slučajna moda x diskretni tip Md je vrijednost slučajne varijable, koja odgovara najvećoj vjerovatnoći.

Slučajna moda x kontinuirani tip Md, je realan broj definisan kao maksimalna tačka gustine distribucije verovatnoće f(x).

Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednačinu