Neko se s oprezom odnosi prema riječi "napredak", kao prema vrlo složenom pojmu iz odjeljaka višu matematiku. U međuvremenu, najjednostavnija aritmetička progresija je rad taksi brojača (gdje još uvijek ostaju). I shvatite suštinu (a u matematici nema ništa važnije od "shvatanja suštine") aritmetički niz Nije tako teško kada shvatite nekoliko osnovnih pojmova.

Matematički niz brojeva

Uobičajeno je da se numerički niz naziva nizom brojeva, od kojih svaki ima svoj broj.

i 1 je prvi član niza;

i 2 je drugi član niza;

i 7 je sedmi član niza;

i n je n-ti član niza;

Međutim, ne zanima nas bilo koji proizvoljan skup cifara i brojeva. Pažnju ćemo usmjeriti na numerički niz u kojem je vrijednost n-tog člana povezana s njegovim rednim brojem zavisnošću koja se može jasno matematički formulirati. Drugim riječima: brojčana vrijednost n-tog broja je neka funkcija od n.

a - vrijednost člana numeričkog niza;

n - njegov serijski broj;

f(n) je funkcija u kojoj je ordinal u numeričkom nizu n argument.

Definicija

Aritmetičkom progresijom se obično naziva numerički niz u kojem je svaki sljedeći član veći (manji) od prethodnog za isti broj. Formula za n-ti član aritmetičkog niza je sljedeća:

a n - vrijednost trenutnog člana aritmetičke progresije;

a n+1 - formula sledećeg broja;

d - razlika (određeni broj).

Lako je utvrditi da ako je razlika pozitivna (d>0), tada će svaki sljedeći član niza koji se razmatra biti veći od prethodnog, a takva aritmetička progresija će se povećavati.

Na grafikonu ispod, lako je vidjeti zašto numerički niz nazvano "povećanje".

U slučajevima kada je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Vrijednost navedenog člana

Ponekad je potrebno odrediti vrijednost nekog proizvoljnog člana a n aritmetičke progresije. To možete učiniti tako što ćete sukcesivno izračunati vrijednosti svih članova aritmetičke progresije, od prvog do željenog. Međutim, ovaj način nije uvijek prihvatljiv ako je, na primjer, potrebno pronaći vrijednost pethiljaditog ili osmomilionitog člana. Tradicionalni proračun će trajati dugo. Međutim, određena aritmetička progresija može se istražiti korištenjem određenih formula. Postoji i formula za n-ti član: vrijednost bilo kojeg člana aritmetičke progresije može se odrediti kao zbir prvog člana progresije s razlikom progresije, pomnoženom brojem željenog člana, minus jedan .

Formula je univerzalna za povećanje i smanjenje progresije.

Primjer izračunavanja vrijednosti datog člana

Rešimo sledeći problem nalaženja vrednosti n-tog člana aritmetičke progresije.

Uvjet: postoji aritmetička progresija s parametrima:

Prvi član niza je 3;

Razlika u nizu brojeva je 1,2.

Zadatak: potrebno je pronaći vrijednost 214 pojmova

Rješenje: da bismo odredili vrijednost datog člana, koristimo formulu:

a(n) = a1 + d(n-1)

Zamjenom podataka iz iskaza problema u izraz, imamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odgovor: 214. član niza je jednak 258,6.

Prednosti ove metode proračuna su očigledne - cijelo rješenje ne traje više od 2 reda.

Zbir datog broja pojmova

Vrlo često je u datom aritmetičkom nizu potrebno odrediti zbir vrijednosti nekih njegovih segmenata. Takođe ne treba izračunavati vrijednosti svakog pojma i zatim ih zbrajati. Ova metoda je primjenjiva ako je mali broj članova čiji se zbir mora naći. U drugim slučajevima, prikladnije je koristiti sljedeću formulu.

Zbir članova aritmetičke progresije od 1 do n jednak je zbroju prvog i n-tog člana, pomnoženog sa brojem člana n i podijeljenog sa dva. Ako se u formuli vrijednost n-tog člana zamijeni izrazom iz prethodnog stava članka, dobijamo:

Primjer izračuna

Na primjer, riješimo problem sa sljedećim uvjetima:

Prvi član niza je nula;

Razlika je 0,5.

U zadatku je potrebno odrediti zbir članova niza od 56 do 101.

Rješenje. Koristimo formulu za određivanje sume progresije:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Prvo određujemo zbir vrijednosti 101 člana progresije zamjenom datih uslova našeg problema u formulu:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Očigledno, da bismo saznali zbir članova progresije od 56. do 101., potrebno je od S 101 oduzeti S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dakle, zbir aritmetičke progresije za ovaj primjer je:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Primjer praktične primjene aritmetičke progresije

Na kraju članka, vratimo se primjeru aritmetičkog niza datog u prvom pasusu - taksimetar (taxi auto mjerač). Razmotrimo takav primjer.

Ulazak u taksi (koji uključuje 3 km) košta 50 rubalja. Svaki naredni kilometar plaća se po stopi od 22 rublja / km. Udaljenost putovanja 30 km. Izračunajte cijenu putovanja.

1. Odbacimo prva 3 km čija je cijena uključena u cijenu slijetanja.

30 - 3 = 27 km.

2. Dalje izračunavanje nije ništa drugo do raščlanjivanje niza aritmetičkih brojeva.

Članski broj je broj prijeđenih kilometara (minus prva tri).

Vrijednost člana je zbir.

Prvi član u ovom zadatku će biti jednak a 1 = 50 rubalja.

Razlika u napredovanju d = 22 p.

broj koji nas zanima - vrijednost (27 + 1) člana aritmetičke progresije - očitavanje brojila na kraju 27. kilometra - 27.999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Proračun kalendarskih podataka za proizvoljno dug period zasniva se na formulama koje opisuju određene numeričke nizove. U astronomiji, dužina orbite geometrijski zavisi od udaljenosti nebeskog tijela do svjetiljke. Osim toga, različite numeričke serije se uspješno koriste u statistici i drugim primijenjenim granama matematike.

Druga vrsta niza brojeva je geometrijska

Geometrijsku progresiju karakteriše velika, u poređenju sa aritmetičkom, stopa promene. Nije slučajno da se u politici, sociologiji, medicini često, kako bi se prikazala velika brzina širenja određene pojave, na primjer, bolesti tokom epidemije, kaže da se proces razvija eksponencijalno.

N-ti član niza geometrijskih brojeva razlikuje se od prethodnog po tome što se množi nekim konstantnim brojem - nazivnik, na primjer, prvi član je 1, nazivnik je 2, odnosno:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - vrijednost trenutnog člana geometrijske progresije;

b n+1 - formula sledećeg člana geometrijske progresije;

q je imenilac geometrijske progresije (konstantni broj).

Ako je graf aritmetičke progresije prava linija, onda geometrijski crta malo drugačiju sliku:

Kao iu slučaju aritmetike, geometrijska progresija ima formulu za vrijednost proizvoljnog člana. Svaki n-ti član geometrijske progresije jednak je umnošku prvog člana i nazivnika progresije na stepen n smanjen za jedan:

Primjer. Imamo geometrijsku progresiju sa prvim članom jednakim 3 i nazivnikom progresije jednakim 1,5. Pronađite 5. član progresije

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Zbir datog broja članova se također izračunava pomoću posebne formule. Zbir prvih n članova geometrijske progresije jednak je razlici između umnoška n-tog člana progresije i njegovog nazivnika i prvog člana progresije, podijeljen sa nazivnikom umanjenim za jedan:

Ako se b n zamijeni gore opisanom formulom, vrijednost zbroja prvih n članova razmatranog brojevnog niza imat će oblik:

Primjer. Geometrijska progresija počinje sa prvim članom jednakim 1. Imenilac je jednak 3. Nađimo zbir prvih osam članova.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom kursu algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Šta je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbir aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i. Dakle, znajući samo jedan početni broj, lako možete vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji (10) malo članova, moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d = 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, ovih suma je samo 5, odnosno tačno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbroja (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generalizujemo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj članova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji mu je postavio učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula data u prethodnom pasusu odgovara na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvih elemenata), ali je često u zadacima potrebno sabrati niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-og. Da bi se riješio problem, dati segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi brojevni niz. U ovom predstavljanju, m-ti član a m će biti prvi, a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za sumu, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Dati brojevi označavaju da je razlika d jednaka 3. Koristeći izraz za n-ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 = 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, kao i znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom paragrafu. Nabavite:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)

U kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po čeličnom pojmu, koji se još naziva razlika koraka ili progresije.

Dakle, postavljanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njegovih elemenata koristeći formulu

Svojstva aritmetičke progresije

1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije

I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.

Također, pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće

To je lako provjeriti ako zapišemo pojmove desno od znaka jednakosti

Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.

2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se po formuli

Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije, neophodna je u proračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.

3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, onda će vam sljedeća formula sume dobro doći

4) Od praktičnog je interesa pronaći zbir n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu

Tu se završava teorijski materijal i prelazimo na rješavanje problema koji su uobičajeni u praksi.

Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...

Rješenje:

Prema uslovima imamo

Definirajte korak napredovanja

Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije

Primjer2. Aritmetičku progresiju daju njen treći i sedmi član. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.

Rješenje:

Zapisujemo date elemente progresije prema formulama

Prvu jednačinu oduzimamo od druge jednačine, kao rezultat nalazimo korak progresije

Pronađena vrijednost se zamjenjuje u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije

Izračunajte zbir prvih deset članova progresije

Bez primjene složenih proračuna, pronašli smo sve tražene vrijednosti.

Primjer 3. Aritmetičku progresiju daje imenilac i jedan od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50, i zbir prvih 100.

Rješenje:

Napišimo formulu za stoti element progresije

i pronađite prvu

Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije

Pronalaženje zbroja dijela progresije

i zbir prvih 100

Zbir progresije je 250.

Primjer 4

Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rješenje:

Zapisujemo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i definiramo ih

Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju

Pravljenje pojednostavljenja

i riješi kvadratnu jednačinu

Od dvije pronađene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Tako je zbir prvih osam članova progresije 111.

Primjer 5

riješiti jednačinu

1+3+5+...+x=307.

Rješenje: Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Zapisujemo njegov prvi član i nalazimo razliku progresije

IV Yakovlev | Materijali iz matematike | MathUs.ru

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a zatim geometrijske) progresije, moramo ukratko prodiskutirati o važnom konceptu niza brojeva.

Subsequence

Zamislite uređaj na čijem se ekranu neki brojevi prikazuju jedan za drugim. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva je samo primjer niza.

Definicija. Numerički niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (tj. staviti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Broj sa brojem n naziva se n-ti član niza.

Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi član niza, koji se može označiti sa a1; broj pet ima broj 6 koji je peti član niza, koji se može označiti a5. Uopšte, n-ti član sekvence su označene sa (ili bn, cn, itd.).

Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira niz: 1; 1; 1; 1; : : :

Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži ¾previše¿ brojeva da bi se prenumerirali. Skup R svih realnih brojeva također nije niz. Ove činjenice su dokazane u toku matematičke analize.

Aritmetička progresija: osnovne definicije

Sada smo spremni da definišemo aritmetičku progresiju.

Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član (počevši od drugog) jednak zbiru prethodnog člana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).

Na primjer, sekvenca 2; 5; 8; jedanaest; : : : je aritmetička progresija sa prvim članom 2 i razlikom 3. Sekvenca 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetička progresija sa prvim članom 7 i razlikom 5. Sekvenca 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija sa nultom razlikom.

Ekvivalentna definicija: Niz an se naziva aritmetičkom progresijom ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (ne ovisi o n).

Za aritmetičku progresiju se kaže da raste ako je njena razlika pozitivna, a opada ako je njena razlika negativna.

1 A evo i sažetije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.

Podrazumevano, nizovi se smatraju beskonačnim, odnosno sadrže beskonačan broj brojeva. Ali niko se ne trudi uzeti u obzir i konačne nizove; u stvari, bilo koji konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, konačni niz 1; 2; 3; 4; 5 se sastoji od pet brojeva.

Formula n-tog člana aritmetičke progresije

Lako je shvatiti da je aritmetička progresija u potpunosti određena sa dva broja: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?

Nije teško dobiti željenu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka an

Zadatak 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; 8; jedanaest; : : : pronađite formulu n-tog člana i izračunajte stoti član.

Rješenje. Prema formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Svojstvo i znak aritmetičke progresije

svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji an za bilo koji

Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina susjednih članova.

što je bilo potrebno.

Općenito, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost

a n = a n k+ a n+k

za bilo koji n > 2 i bilo koji prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Ispostavilo se da je formula (2) ne samo neophodna, već i dovoljno stanje da je niz aritmetička progresija.

Znak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.

Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:

a na n 1= a n+1a n:

Ovo pokazuje da razlika an+1 an ne zavisi od n, a to samo znači da je niz an aritmetička progresija.

Svojstvo i znak aritmetičke progresije mogu se formulisati kao jedan iskaz; radi praktičnosti, to ćemo učiniti za tri broja (ovo je situacija koja se često javlja u problemima).

Karakterizacija aritmetičke progresije. Oblikuju se tri broja a, b, c aritmetička progresija ako i samo ako je 2b = a + c.

Zadatak 2. (Moskovski državni univerzitet, Ekonomski fakultet, 2007) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 u navedenom redosledu formiraju opadajuću aritmetičku progresiju. Pronađite x i napišite razliku ove progresije.

Rješenje. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Ako je x = 1, onda se dobija opadajuća progresija od 8, 2, 4 sa razlikom od 6. Ako je x = 5, onda se dobija rastuća progresija od 40, 22, 4; ovaj slučaj ne radi.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Zbir prvih n članova aritmetičke progresije

Legenda kaže da je jednom učiteljica rekla djeci da pronađu zbir brojeva od 1 do 100 i sjela da tiho čitaju novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to devetogodišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najveći matematičari u istoriji.

Ideja malog Gausa je bila ovo. Neka

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Hajde da zapišemo ovaj iznos obrnutim redoslijedom:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodajte ove dvije formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih je ukupno 100. Dakle

2S = 101 100 = 10100;

Koristimo ovu ideju da izvedemo formulu sume

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Korisna modifikacija formule (3) se dobija zamjenom formule za n-ti član an = a1 + (n 1)d u nju:

Zadatak 3. Nađite zbir svih pozitivnih trocifrenih brojeva djeljivih sa 13.

Rješenje. Trocifreni brojevi, višekratnici od 13, formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom 104 i razlikom 13; n-ti član ove progresije je:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Hajde da saznamo koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednakost:

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Dakle, u našoj progresiji ima 69 članova. Prema formuli (4) nalazimo potrebnu količinu:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2