Zbir beskonačne aritmetičke progresije. Zbir aritmetičke progresije

Prilikom studiranja algebre u opšteobrazovna škola(9. razred) jedan od važne teme je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bi se ovo razumjelo, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Aritmetika ili je takav skup uređenih racionalnih brojeva čiji se svaki član razlikuje od prethodnog po nekoj konstantnoj vrijednosti. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.

Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 se više ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Sada dajemo glavne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetička progresija. Označiti simbolom a n n-ti termin sekvence gdje je n cijeli broj. Označimo razliku latinično pismo d. Onda sledeće izraze:

Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Odrediti zbir prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.

Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, jer se svaki problem dotičnog tipa gradi na njihovoj upotrebi. Takođe, ne zaboravite da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1 .

Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana

Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.

Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu je potrebno pronaći pet članova.

Već iz uslova zadatka proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:

Izračunajmo prvo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, može se uzeti bilo koja druga dva pojma koja stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda d \u003d a 5 - a 4, odakle dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamena poznate vrednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo morate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u posljednji izraz dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, oba rješenja vode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativnu vrijednost. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.

Primjer #2: razlika u progresiji

Ajmo sada malo zakomplikovati zadatak, dajte primjer kako pronaći razliku aritmetičke progresije.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tako je odgovoreno na prvi dio zadatka.

Za vraćanje niza do 7 pojmova, treba koristiti definiciju algebarska progresija, odnosno a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer #3: napredovanje

Hajde da to otežamo jače stanje zadataka. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stane još tri člana.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ovdje nismo dobili cjelobrojnu vrijednost razlike, ali ona jeste racionalni broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 što se poklopilo sa uslovom problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije sa rješenjem. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrite problem drugog tipa: neka su data dva broja, gdje je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u stanju problema. Ipak, napišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Navedeni sistem je najlakše riješiti ako izrazite 1 u svakoj jednačini, a zatim uporedite rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.

Primjer #5: Zbir

Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka se da numerička progresija sledeće vrste: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju kompjuterska tehnologija možete riješiti ovaj problem, odnosno uzastopno sabirati sve brojeve, što Računska mašinaće učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gausov" jer u početkom XVIII veka, slavni Nemac, još uvek sa samo 10 godina, uspeo je da to reši u svom umu za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako saberete parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbir članova od n do m

Drugi tipičan primjer zbir aritmetičke progresije je sljedeći: za niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., potrebno je pronaći koliki će biti zbir njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sažimanje uzastopno. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Pošto je n > m, očigledno je da zbir 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), onda dobijamo neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi zadaci se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Pre nego što počnete da rešavate bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uslov, jasno razumete šta želite da pronađete i tek onda nastavite sa rešavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti zajednički zadatak u zasebne podzadatke (u ovaj slučaj prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoji sumnja u rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Kada to shvatite, nije tako teško.

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za tebe :)

Pa, prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni dokazi kape govore da još uvijek ne znate šta je aritmetička progresija, ali zaista (ne, ovako: JAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću preći na posao.

Za početak, par primjera. Razmotrite nekoliko skupova brojeva:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Šta je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. naime: svaki sljedeći element se razlikuje od prethodnog za isti broj.

Procijenite sami. Prvi set su samo uzastopni brojevi, svaki više od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između stalni brojevi je već jednako pet, ali je ta razlika i dalje konstantna. U trećem slučaju, općenito postoje korijeni. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u kom slučaju se svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se plašiti da je ovaj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi se nazivaju samo aritmetičke progresije. Hajde da damo striktnu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za potpuno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Napomena: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo par važne napomene. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno redosled brojeva: dozvoljeno je da se čitaju striktno onim redom kojim su napisani - i ništa drugo. Ne možete preurediti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti ili konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očigledno konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto poput (1; 2; 3; 4; ...) - ovo je već beskonačna progresija. Mnogotočka iza četvorke, takoreći, nagoveštava da dosta brojeva ide dalje. Beskonačno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio napomenuti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli sve veće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

UREDU UREDU: posljednji primjer može izgledati previše komplikovano. Ali ostalo, mislim, razumete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija se naziva:

povećava se ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;

opadajuće, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - oni se sastoje od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od opadajuće? Srećom, ovdje sve zavisi samo od predznaka broja $d$, tj. razlike u napredovanju:

Ako je $d \gt 0$, tada se progresija povećava;
Ako je $d \lt 0$, onda se progresija očito smanjuje;
Konačno, postoji slučaj $d=0$ — u ovom slučaju se cjelokupna progresija svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri opadajuće progresije iznad. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i oduzeti broj s lijeve strane od broja s desne strane. To će izgledati ovako:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidimo, u svemu tri slučaja razlika je zaista negativna. I sada kada smo manje-više shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako su progresije opisane i koja svojstva imaju.

Članovi progresije i ponavljajuće formule

Budući da se elementi naših sekvenci ne mogu zamijeniti, mogu se numerisati:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno$\]

Pojedinačni elementi ovog skupa nazivaju se članovima progresije. Oni se na ovaj način označavaju pomoću broja: prvi član, drugi član itd.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strelica desno ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, morate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva formula se naziva rekurentna, jer uz njenu pomoć možete pronaći bilo koji broj, samo znajući prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, tako da postoji lukavija formula koja sve izračune svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \desno)d\]

Vjerovatno ste već naišli na ovu formulu. Oni to vole davati u svim vrstama priručnika i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku iz matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Odluka. Dakle, znamo prvi pojam $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo datu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naš napredak smanjuje.

Naravno, $n=1$ nije moglo biti zamijenjeno - već znamo prvi član. Međutim, zamjenom jedinice osigurali smo da i za prvi mandat naša formula funkcionira. U drugim slučajevima sve se svelo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napišite prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Odluka. Stanje problema pišemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(poravnati) \desno.\]

\[\left\( \begin(poravnati) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(poravnati) \desno.\]

Stavio sam znak sistema jer ovi zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. A sada primjećujemo da ako oduzmemo prvu jednačinu od druge jednačine (imamo pravo na to, jer imamo sistem), dobijamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(poravnati)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sistema. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje da pronađemo drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(poravnati)\]

Spremni! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

obratite pažnju na radoznala nekretnina progresija koju smo otkrili: ako uzmemo $n$th i $m$th članove i oduzmemo ih jedan od drugog, dobićemo razliku progresije pomnoženu brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno ali veoma korisno svojstvo, koji svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema u progresijama. Evo svetao za to primjer:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Odluka. Budući da je $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, i moramo pronaći $((a)_(15))$, primjećujemo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(poravnati)\]

Ali po uslovu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(poravnati)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo morali sastavljati nikakve sisteme jednačina i izračunavati prvi član i razliku – sve je odlučeno u samo par redova.

Sada razmotrimo drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njen prvi termin negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uslovi opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

Istovremeno, daleko je od uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno sortirajući elemente. Često su problemi osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula za izračunavanje bilo potrebno nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne bismo pronašli odgovor. Stoga ćemo nastojati da ove probleme riješimo na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Odluka. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, pa se progresija povećava. Prvi član je negativan, tako da ćemo zaista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati: koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) se čuva negativnost pojmova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Strelica desno ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strelica desno ((n)_(\max ))=15. \\ \end(poravnati)\]

Posljednji red treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovaraće nam samo celobrojne vrednosti broja (štaviše: $n\in \mathbb(N)$), tako da je najveći dozvoljeni broj upravo $n=15$, a ni u kom slučaju 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali susjedni pojmovi su poznati: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku u progresiji:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član u terminima prvog i razlike koristeći standardnu formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(poravnati)\]

Sada nastavljamo po analogiji sa prethodnim problemom. Saznajemo u kojoj točki u našem nizu će se pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strelica desno ((n)_(\min ))=56. \\ \end(poravnati)\]

Minimum cjelobrojno rješenje data nejednakost je broj 56.

Napominjemo da je u prošlom zadatku sve svedeno na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili kako riješiti jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam u budućnosti uštedjeti mnogo vremena i nejednakih ćelija. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrite nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti brojevnom linijom:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnoj liniji

Posebno sam spomenuo proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,(a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, radi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Podsjetimo se ponavljajuća formula i zapišite za sve označene članove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(poravnati)\]

Međutim, ove jednakosti se mogu drugačije napisati:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(poravnati)\]

Pa, pa šta? Ali činjenica da pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ leže na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . I ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći i za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti neograničeno, ali slika dobro ilustruje značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od centra

Šta ovo znači za nas? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su susjedni brojevi poznati:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izvukli smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štaviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka — i dalje će formula biti ispravna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

One. lako možemo pronaći neke $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može izgledati da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "naoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetičku progresiju (u određenom redoslijedu).

Odluka. Ukoliko naznačene brojeve su članovi progresije, za njih je zadovoljen uslov aritmetičke sredine: centralni element$x+1$ se može izraziti u terminima susjednih elemenata:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(poravnati)\]

Ispalo je klasično kvadratna jednačina. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ formiraju aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Odluka. Opet, srednji pojam izražavamo u terminima aritmetičke sredine susjednih pojmova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(poravnati)\]

Još jedna kvadratna jednačina. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja zadatka dobijete neke brutalne brojke, ili niste potpuno sigurni u tačnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućava da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti da li su ti odgovori tačni? Hajde da ih samo uključimo u originalno stanje i vidimo šta će se desiti. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), koji bi trebali formirati aritmetičku progresiju. Zamjena $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(poravnati)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koje se razlikuju za 52 je nesumnjivo aritmetička progresija. Ista stvar se dešava za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Strelica desno \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(poravnati)\]

Opet progresija, ali sa razlikom od 27. Dakle, problem je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tu je sve ispravno.

Uglavnom, rješavajući posljednje zadatke, naišli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što takođe treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvo aritmetika i poslednje, ovi brojevi formiraju aritmetičku progresiju.

U budućnosti, razumijevanje ove izjave omogućit će nam da doslovno „konstruiramo“ neophodne progresije na osnovu stanja problema. Ali prije nego što se upustimo u ovakvu „konstrukciju“, treba obratiti pažnju na još jednu činjenicu, koja direktno proizilazi iz već razmotrenog.

Grupisanje i zbir elemenata

Vratimo se ponovo na brojevnu pravu. Tu zapažamo nekoliko članova progresije, između kojih, možda. vrijedi mnogo drugih članova:

6 elemenata označenih na brojevnoj liniji

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(poravnati)\]

Sada imajte na umu da su sljedeće sume jednake:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+(a)_(k))-2d= S. \end(poravnati)\]

Jednostavno, ako za početak uzmemo dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, i onda od ovih elemenata krenemo iskoračiti do suprotne strane(jedan prema drugome ili obrnuto za uklanjanje), zatim sume elemenata na koje ćemo naići će takođe biti jednake$S$. Ovo se najbolje može prikazati grafički:

Ista alineja daju jednake sume

Razumijevanje ovu činjenicu omogućiće nam da suštinski više rešavamo probleme visoki nivo složenosti od onih o kojima se govorilo gore. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a proizvod drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Odluka. Hajde da zapišemo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(poravnati)\]

Dakle, ne znamo razliku u progresiji $d$. Zapravo, cijelo rješenje će biti izgrađeno oko razlike, budući da se proizvod $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \desno)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(poravnati)\]

Za one u rezervoaru: uzeo sam zajednički faktor 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni proizvod je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf će biti parabola sa granama nagore, jer ako otvorimo zagrade, dobijamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent na najvećem članu je 11 - to je pozitivan broj, tako da stvarno imamo posla sa parabolom sa granama nagore:

raspored kvadratna funkcija- parabola
Bilješka: minimalna vrijednost ova parabola uzima $((d)_(0))$ na svom vrhu sa apscisom. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj šemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bi bilo mnogo razumnije imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, tako da je tačka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(poravnati)\]

Zato nisam žurila da otvaram zagrade: u originalnom obliku, korenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Šta nam daje otkriveni broj? Uz to, potrebni proizvod uzima najmanju vrijednost(Usput, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - nismo obavezni da to radimo). Istovremeno, ovaj broj je razlika početne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Ubacite tri broja između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ tako da zajedno sa datim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Odluka. U stvari, trebamo napraviti niz od pet brojeva, pri čemu su prvi i posljednji već poznati. Označite brojeve koji nedostaju varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako u ovom trenutku ne možemo dobiti $y$ iz brojeva $x$ i $z$, onda je situacija drugačija sa krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, naći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da $x$ leži između $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ upravo pronađenih. Dakle

Slično argumentirajući, nalazimo preostali broj:

Spremni! Pronašli smo sva tri broja. Zapišimo ih u odgovoru redoslijedom kojim ih treba umetnuti između originalnih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 ubacite nekoliko brojeva koji zajedno sa datim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbir prvog, drugog i posljednjeg umetnutih brojeva 56.

Odluka. Čak više težak zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo tačno koliko brojeva da unesemo. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon ubacivanja biti tačno $n$ brojeva, i prvi od njih je 2, a posljednji je 42. U ovom slučaju, željena aritmetička progresija može se predstaviti kao:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobijeni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima za jedan korak jedan prema drugom , tj. do centra niza. A to znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(poravnati) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(poravnati)\]

Znajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku u progresiji:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strelica desno d=5. \\ \end(poravnati)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(poravnati)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s progresijama

U zaključku, želio bih razmotriti nekoliko jednostavni zadaci. Pa, kao jednostavni: većini učenika koji uče matematiku u školi, a nisu pročitali gore napisano, ovi zadaci mogu izgledati kao gest. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE i USE iz matematike, pa preporučujem da se s njima upoznate.

Zadatak broj 11. Tim je u januaru proizveo 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveo je 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je delova brigada proizvela u novembru?

Odluka. Očigledno, broj delova, slikanih po mesecima, biće sve veća aritmetička progresija. i:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembar je 11. mjesec u godini, tako da moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dakle, u novembru će biti proizvedeno 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigovezačka radionica je u januaru uvezala 216 knjiga, a svakog mjeseca je uvezala 4 knjige više nego prethodnog mjeseca. Koliko knjiga je radionica povezala u decembru?

Odluka. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Decembar je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor - u decembru će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste čitali do sada, žurim da vam čestitam: uspješno ste završili „tečaj mladog borca“ iz aritmetičkih progresija. Možemo sa sigurnošću preći na sljedeću lekciju, gdje ćemo proučavati formulu sume progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

IV Yakovlev | Materijali iz matematike | MathUs.ru

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je posebna vrsta podsekvenca. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a zatim geometrijske) progresije, moramo ukratko prodiskutirati o važnom konceptu niza brojeva.

Subsequence

Zamislite uređaj na čijem se ekranu neki brojevi prikazuju jedan za drugim. Recimo 2; 7; trinaest; jedan; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva je samo primjer niza.

Definicija. Numerički niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (tj. staviti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Poziva se broj sa brojem n n-ti član sekvence.

Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi član niza, koji se može označiti sa a1; broj pet ima broj 6 koji je peti član niza, koji se može označiti a5. Općenito, n-ti član niza je označen sa (ili bn, cn, itd.).

Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; jedan; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira niz: 1; jedan; jedan; jedan; : : :

Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži ¾previše¿ brojeva da bi se prenumerirali. Skup R od svih realni brojevi takođe nije niz. Ove činjenice su dokazane u toku matematičke analize.

Aritmetička progresija: osnovne definicije

Sada smo spremni da definišemo aritmetičku progresiju.

Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem svaki član (počevši od drugog) jednak je zbiru prethodni član i neki fiksni broj (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).

Na primjer, sekvenca 2; 5; osam; jedanaest; : : : je aritmetička progresija sa prvim članom 2 i razlikom 3. Sekvenca 7; 2; 3; osam; : : : je aritmetička progresija sa prvim članom 7 i razlikom 5. Sekvenca 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija sa nultom razlikom.

Ekvivalentna definicija: Niz an se naziva aritmetičkom progresijom ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (ne ovisi o n).

Za aritmetičku progresiju se kaže da raste ako je njena razlika pozitivna, a opada ako je njena razlika negativna.

1 A evo i sažetije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.

Po defaultu, nizovi se smatraju beskonačnim, odnosno sadrže beskonačan skup brojevi. Ali niko se ne trudi uzeti u obzir i konačne nizove; u stvari, bilo koji konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, konačan niz jedan; 2; 3; 4; 5 se sastoji od pet brojeva.

Formula n-tog člana aritmetičke progresije

Lako je shvatiti da je aritmetička progresija u potpunosti određena sa dva broja: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?

Nije teško dobiti željenu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka an

aritmetička progresija s razlikom d. Imamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; ::):
Posebno pišemo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
i sada postaje jasno da je formula za an:
an = a1 + (n 1)d:

Zadatak 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; osam; jedanaest; : : : pronađite formulu n-tog člana i izračunajte stoti član.

Odluka. Prema formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Svojstvo i znak aritmetičke progresije

svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji an za bilo koji

Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina susjednih članova.

	Dokaz. Imamo:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

što je bilo potrebno.

Više na opšti način, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost

a n = a n k+ a n+k

za bilo koji n > 2 i bilo koji prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Pokazalo se da je formula (2) ne samo neophodna, već i dovoljno stanje da je niz aritmetička progresija.

Znak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.

Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:

a na n 1= a n+1a n:

Ovo pokazuje da razlika an+1 an ne zavisi od n, a to samo znači da je niz an aritmetička progresija.

Svojstvo i znak aritmetičke progresije mogu se formulisati kao jedan iskaz; radi praktičnosti, to ćemo učiniti za tri broja (ovo je situacija koja se često javlja u problemima).

Karakterizacija aritmetičke progresije. Tri broja a, b, c formiraju aritmetičku progresiju ako i samo ako je 2b = a + c.

Zadatak 2. (Moskovski državni univerzitet, Ekonomski fakultet, 2007) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 u navedenom redosledu formiraju opadajuću aritmetičku progresiju. Pronađite x i napišite razliku ove progresije.

Odluka. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Ako je x = 1, onda se dobija opadajuća progresija od 8, 2, 4 sa razlikom od 6. Ako je x = 5, onda se dobija rastuća progresija od 40, 22, 4; ovaj slučaj ne radi.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Zbir prvih n članova aritmetičke progresije

Legenda kaže da je jednom učiteljica rekla djeci da pronađu zbir brojeva od 1 do 100 i sjela da tiho čitaju novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to devetogodišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najveći matematičari u istoriji.

Ideja malog Gausa je bila ovo. Neka bude

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Hajde da zapišemo ovaj iznos obrnutim redoslijedom:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodajte ove dvije formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih je ukupno 100. Dakle

2S = 101 100 = 10100;

Koristimo ovu ideju da izvedemo formulu sume

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Korisna modifikacija formule (3) se dobija zamjenom formule za n-ti član an = a1 + (n 1)d u nju:

		2a1 + (n 1)d

Zadatak 3. Nađite zbir svih pozitivnih trocifrenih brojeva djeljivih sa 13.

Odluka. Trocifreni brojevi, višekratnici od 13, formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom 104 i razlikom 13; n-ti član ove progresije je:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Hajde da saznamo koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednakost:

an 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Dakle, u našoj progresiji ima 69 članova. Prema formuli (4) nalazimo potrebnu količinu:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Prije nego počnemo odlučivati problemi aritmetičke progresije, razmotrite šta je niz brojeva, budući da je aritmetička progresija poseban slučaj numerički niz.

Brojčani niz je set brojeva, čiji svaki element ima svoje serijski broj . Elementi ovog skupa nazivaju se članovima niza. Redni broj elementa niza označen je indeksom:

Prvi element niza;

Peti element niza;

- "n-ti" element niza, tj. element "stoji u redu" na broju n.

Postoji zavisnost između vrijednosti elementa niza i njegovog rednog broja. Stoga, možemo smatrati niz kao funkciju čiji je argument redni broj elementa niza. Drugim riječima, to se može reći niz je funkcija prirodnog argumenta:

Redoslijed se može odrediti na tri načina:

1 . Redoslijed se može specificirati korištenjem tabele. U ovom slučaju jednostavno postavljamo vrijednost svakog člana niza.

Na primjer, neko je odlučio upravljati osobnim vremenom i za početak izračunati koliko vremena provodi na VKontakteu tokom sedmice. Upisivanjem vremena u tabelu, on će dobiti niz koji se sastoji od sedam elemenata:

Prvi red tabele sadrži broj dana u sedmici, drugi - vrijeme u minutama. Vidimo da je u ponedeljak Neko proveo 125 minuta na VKontakteu, odnosno u četvrtak - 248 minuta, a u petak samo 15.

2 . Redoslijed se može specificirati korištenjem formule n-tog člana.

U ovom slučaju, ovisnost vrijednosti elementa niza od njegovog broja izražava se direktno kao formula.

Na primjer, ako , onda

Da bismo pronašli vrijednost elementa niza sa datim brojem, zamjenjujemo broj elementa u formulu za n-ti član.

Isto radimo ako trebamo pronaći vrijednost funkcije ako je vrijednost argumenta poznata. Umjesto toga zamjenjujemo vrijednost argumenta u jednadžbi funkcije:

ako npr. , onda

Još jednom napominjem da u nizu, za razliku od proizvoljnog numerička funkcija, argument može biti samo prirodan broj.

3 . Niz se može specificirati pomoću formule koja izražava ovisnost vrijednosti člana niza sa brojem n o vrijednosti prethodnih članova. U ovom slučaju nije nam dovoljno znati samo broj člana niza da bismo pronašli njegovu vrijednost. Moramo navesti prvog člana ili prvih nekoliko članova niza.

Na primjer, razmotrite slijed ,

Možemo pronaći vrijednosti članova niza u nizu, počevši od trećeg:

To jest, svaki put da bismo pronašli vrijednost n-tog člana niza, vraćamo se na prethodna dva. Ovaj način sekvenciranja se zove ponavljajuća, od latinska reč recurro- vrati se.

Sada možemo definirati aritmetičku progresiju. Aritmetička progresija je jednostavan poseban slučaj numeričkog niza.

Aritmetička progresija naziva se numerički niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, dodanom istim brojem.

Broj je pozvan razlika aritmetičke progresije. Razlika aritmetičke progresije može biti pozitivna, negativna ili nula.

Ako title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povećanje.

Na primjer, 2; 5; osam; jedanaest;...

Ako je , tada je svaki član aritmetičke progresije manji od prethodnog, a progresija je opadanje.

Na primjer, 2; -jedan; -4; -7;...

Ako , tada su svi članovi progresije jednaki istom broju, a progresija je stacionarno.

Na primjer, 2;2;2;2;...

Glavno svojstvo aritmetičke progresije:

Pogledajmo sliku.

Vidimo to

, i istovremeno

Sabiranjem ove dvije jednakosti dobijamo:

Podijelite obje strane jednačine sa 2:

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dva susjedna:

Štaviše, pošto

, i istovremeno

, onda

, i stoga

Svaki član aritmetičke progresije počinje sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo da za članove aritmetičke progresije vrijede sljedeće relacije:

i na kraju

Imamo formula n-tog člana.

BITAN! Bilo koji član aritmetičke progresije može se izraziti u terminima i . Poznavajući prvi član i razliku aritmetičke progresije, možete pronaći bilo koji od njegovih članova.

Zbir n članova aritmetičke progresije.

U proizvoljnoj aritmetičkoj progresiji, sumi članova koji su jednako udaljeni od ekstremnih jednaki su jedni drugima:

Razmotrimo aritmetičku progresiju sa n članova. Neka je zbroj n članova ove progresije jednak .

Rasporedite pojmove progresije prvo uzlaznim redoslijedom brojeva, a zatim opadajućim redoslijedom:

Hajde da ga uparimo:

Zbir u svakoj zagradi je , broj parova je n.

Dobijamo:

dakle, zbir n članova aritmetičke progresije može se pronaći pomoću formula:

Razmislite rješavanje problema aritmetičke progresije.

1 . Niz je dat formulom n-tog člana: . Dokažite da je ovaj niz aritmetička progresija.

Dokažimo da je razlika između dva susjedna člana niza jednaka istom broju.

Dobili smo da razlika dva susjedna člana niza ne ovisi o njihovom broju i da je konstanta. Stoga je po definiciji ovaj niz aritmetička progresija.

2 . S obzirom na aritmetičku progresiju -31; -27;...

a) Pronađite 31 termin progresije.

b) Odredite da li je broj 41 uključen u ovu progresiju.

a) Vidimo to;

Zapišimo formulu za n-ti član za našu progresiju.

Uglavnom

U našem slučaju , Zbog toga

Dobijamo:

b) Pretpostavimo da je broj 41 član niza. Hajde da nađemo njegov broj. Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

Dobili smo prirodnu vrijednost n, dakle, da, broj 41 je član progresije. Ako pronađena vrijednost n ne bi bila prirodni broj, onda bismo odgovorili da broj 41 NIJE član progresije.

3 . a) Između brojeva 2 i 8 ubaciti 4 broja tako da oni zajedno sa datim brojevima čine aritmetičku progresiju.

b) Naći zbir članova rezultirajuće progresije.

a) Ubacimo četiri broja između brojeva 2 i 8:

Dobili smo aritmetičku progresiju u kojoj ima 6 članova.

Hajde da pronađemo razliku ove progresije. Da bismo to učinili, koristimo formulu za n-ti član:

Sada je lako pronaći vrijednosti brojeva:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Odgovor: a) da; b) 30

4. Kamion prevozi seriju lomljenog kamena težine 240 tona, svakodnevno povećavajući brzinu transporta za isti broj tona. Poznato je da je prvog dana prevezeno 2 tone šuta. Odredite koliko je tona lomljenog kamena prevezeno dvanaestog dana ako su svi radovi završeni za 15 dana.

U skladu sa stanjem problema, količina lomljenog kamena koju kamion prevozi svakim danom raste za isti broj. Dakle, imamo posla sa aritmetičkom progresijom.

Ovaj problem formulišemo u terminima aritmetičke progresije.

Prvog dana prevezeno je 2 tone lomljenog kamena: a_1=2.

Svi radovi završeni za 15 dana: .

Kamion prevozi seriju lomljenog kamena težine 240 tona:

Moramo pronaći.

Prvo, pronađimo razliku u progresiji. Koristimo formulu za zbir n članova progresije.

u našem slučaju:

Problemi aritmetičke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tražili rješenje, jer su imali praktičnu potrebu.

Dakle, u jednom od papirusa drevni egipat, koji ima matematički sadržaj - Rajndov papirus (XIX vek pre nove ere) - sadrži sledeći zadatak: podeliti deset mera hleba na deset ljudi, s tim da je razlika između svake od njih jedna osmina mere.

A u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Dakle, Gipsicles iz Aleksandrije (II vek, koji je iznosio mnogo zanimljivih zadataka i dodajući četrnaestu knjigu Euklidovim "Načelima", formulisao je ideju: "U aritmetičkoj progresiji sa parnim brojem članova, zbir članova 2. polovine veći je od zbira članova 1. za kvadrat 1/2 broja članova."

Niz an je označen. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima sa indeksima koji označavaju serijski broj ovog člana (a1, a2, a3 ... on glasi: „a 1.“, „a 2.“, „a 3. ” i tako dalje).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Šta je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da se dobije dodavanjem prethodnog člana (n) sa istim brojem d, što je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda se smatra da se takva progresija povećava.

Za aritmetičku progresiju se kaže da je konačna ako se uzme u obzir samo nekoliko njenih prvih članova. U vrlo u velikom brojučlanova je već beskonačna progresija.

Bilo koja aritmetička progresija data je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Tvrdnja je apsolutno tačna, što je suprotno: ako je niz dat sa slična formula, onda je ovo upravo aritmetička progresija, koja ima svojstva:

Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
Suprotno: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog člana i sljedećeg, tj. ako je uslov ispunjen, tada je dati niz aritmetička progresija. Ova jednakost je istovremeno i znak progresije, pa se obično naziva karakterističnim svojstvom progresije.
Na isti način, tačna je teorema koja odražava ovo svojstvo: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od članova niza, počevši od 2.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji neophodan (N-ti) član se može pronaći primjenom sljedeće formule:

Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dat i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogućava da odredite n-ti član aritmetičke progresije kroz bilo koji njegov k-ti član, pod uslovom da je poznat.

Zbir članova aritmetičke progresije (pretpostavljajući 1. n članova konačna progresija) se izračunava na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je i 1. član poznat, onda je druga formula pogodna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbir aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za proračun zavisi od uslova zadataka i početnih podataka.

Prirodni nizovi bilo kojih brojeva kao što su 1,2,3,...,n,...- najjednostavniji primjer aritmetička progresija.

Pored aritmetičke progresije postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.