Prilikom izračunavanja algebarskih polinoma, da bismo pojednostavili proračune, koristimo se skraćene formule za množenje . Ukupno je sedam takvih formula. Sve ih treba znati napamet.

Također treba imati na umu da umjesto a i b u formulama mogu postojati i brojevi i bilo koji drugi algebarski polinomi.

Razlika kvadrata

Razlika kvadrata dva broja jednaka je proizvodu razlike ovih brojeva i njihovog zbira.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

zbirni kvadrat

Kvadrat zbira dva broja jednak je kvadratu prvog broja plus dvostruki proizvod prvog broja i drugog plus kvadrat drugog broja.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Imajte na umu da je s ovom smanjenom formulom množenja to lako pronađite kvadrate velikih brojeva bez upotrebe kalkulatora ili dugog množenja. Objasnimo na primjeru:

Pronađite 112 2 .

Razložimo 112 u zbir brojeva čije kvadrate dobro pamtimo.2
112 = 100 + 1

Zbir brojeva upisujemo u zagrade i stavljamo kvadrat preko zagrada.
112 2 = (100 + 12) 2

Koristimo formulu kvadrata zbira:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Zapamtite da formula kvadratnog zbira također vrijedi za sve algebarske polinome.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Upozorenje!!!

(a + b) 2 nije jednako a 2 + b 2

Kvadrat razlike

Kvadrat razlike između dva broja jednak je kvadratu prvog broja minus dvostruki proizvod prvog i drugog plus kvadrat drugog broja.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Također je vrijedno zapamtiti vrlo korisnu transformaciju:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Gornja formula se dokazuje jednostavnim proširenjem zagrada:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

sum cube

Kocka zbira dva broja jednaka je kocki prvog broja plus tri puta kvadrat prvog broja puta drugi plus tri puta umnožak prvog puta kvadrat drugog plus kocka drugog.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Zapamtite ovu formulu "užasnog" izgleda prilično je jednostavno.

Naučite da je 3 na prvom mjestu.

Dva polinoma u sredini imaju koeficijente 3.

ATzapamtite da je bilo koji broj na nulti stepen 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Lako je vidjeti da u formuli postoji smanjenje stepena a i povećanje stepena b. Ovo možete provjeriti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Upozorenje!!!

(a + b) 3 nije jednako a 3 + b 3

kocka razlike

Kocka razlike između dva broja jednaka je kocki prvog broja minus tri puta kvadrat prvog broja i drugog plus tri puta umnošku prvog broja i kvadrata drugog minus kocke drugog .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ova formula se pamti kao prethodna, ali samo uzimajući u obzir izmjenu znakova "+" i "-". Prvom članu 3 prethodi "+" (prema pravilima matematike, mi ga ne pišemo). To znači da će ispred sljedećeg člana biti "-", zatim opet "+", itd.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Zbir kocki ( Ne treba se brkati sa kockom zbira!)

Zbir kocki jednak je proizvodu zbira dva broja i nepotpunog kvadrata razlike.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Zbir kocki je proizvod dvije zagrade.

Prva zagrada je zbir dva broja.

Druga zagrada je nepotpuni kvadrat razlike brojeva. Nepotpun kvadrat razlike naziva se izrazom:

A 2 - ab + b 2
Ovaj kvadrat je nepotpun, jer se u sredini, umjesto dvostrukog proizvoda, nalazi običan proizvod brojeva.

Kocka razlika (ne brkati sa kockom razlike!!!)

Razlika kocki jednaka je proizvodu razlike dva broja nepotpunim kvadratom zbira.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Budite oprezni kada pišete znakove.Treba imati na umu da se sve gore navedene formule također koriste s desna na lijevo.

Jednostavan način da zapamtite skraćene formule za množenje, ili... Pascalov trokut.

Je li teško zapamtiti formule skraćenog množenja? Slučaj je lako pomoći. Samo trebate zapamtiti kako je prikazana tako jednostavna stvar kao što je Pascalov trokut. Tada ćete ove formule pamtiti uvijek i svugdje, ili bolje rečeno, ne pamtite, već ih obnavljajte.

Šta je Pascalov trougao? Ovaj trokut se sastoji od koeficijenata koji ulaze u proširenje bilo kojeg stepena binoma oblika u polinom.

Rastavimo to, na primjer:

U ovom zapisu je lako zapamtiti da se na početku nalazi kocka prvog, a na kraju - kocka drugog broja. Ali ono što je u sredini teško je zapamtiti. Pa čak i činjenica da se u svakom sljedećem članu stepen jednog faktora stalno smanjuje, a drugi povećava - to je lako primijetiti i zapamtiti, teže je zapamtiti koeficijente i predznake (plus ili minus?).

Dakle, prvo šanse. Ne morate ih pamtiti! Na marginama sveske brzo crtamo Pascalov trougao, i evo ih - koeficijenti, koji su već ispred nas. Počinjemo crtati sa tri, jedan na vrhu, dva ispod, desno i lijevo - da, već se dobija trokut:

Prvi red, sa jednom jedinicom, je nula. Zatim dolazi prvi, drugi, treći i tako dalje. Da biste dobili drugi red, potrebno je ponovo dodijeliti one duž ivica, a u sredinu upisati broj koji se dobije dodavanjem dva broja iznad njega:

Treći red pišemo: ponovo duž ivica jedinice, i ponovo, da biste dobili sljedeći broj u novom redu, dodajte brojeve iznad njega u prethodni:

Kao što ste možda pretpostavili, u svakoj liniji dobijamo koeficijente od dekompozicije binoma u polinom:

Pa, još je lakše zapamtiti znakove: prvi je isti kao u proširenom binomu (izlažemo zbroj, što znači plus, razliku, što znači minus), a zatim se znakovi izmjenjuju!

Ovo je tako korisna stvar - Pascalov trougao. Enjoy!

Formule ili pravila redukovanog množenja koriste se u aritmetici, tačnije u algebri, za brži proces izračunavanja velikih algebarskih izraza. Same formule su izvedene iz postojećih pravila u algebri za množenje nekoliko polinoma.

Upotreba ovih formula pruža prilično brzo rješenje za različite matematičke probleme, a također pomaže u pojednostavljenju izraza. Pravila algebarskih transformacija vam omogućavaju da izvršite neke manipulacije sa izrazima, prateći koje možete dobiti izraz na lijevoj strani jednakosti, koja je na desnoj strani, ili transformirati desnu stranu jednakosti (da biste dobili izraz na lijeva strana iza znaka jednakosti).

Pogodno je znati formule koje se koriste za skraćeno množenje po pamćenju, jer se često koriste u rješavanju zadataka i jednadžbi. Glavne formule uključene u ovu listu i njihovi nazivi su navedeni u nastavku.

zbirni kvadrat

Da biste izračunali kvadrat zbira, morate pronaći zbir koji se sastoji od kvadrata prvog člana, dvostrukog umnožaka prvog i drugog člana, te kvadrata drugog. U obliku izraza ovo pravilo je zapisano na sljedeći način: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kvadrat razlike

Da biste izračunali kvadrat razlike, morate izračunati zbir koji se sastoji od kvadrata prvog broja, dvostrukog umnožaka prvog broja sa drugim (uzetog sa suprotnim predznakom) i kvadrata drugog broja. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Razlika kvadrata

Formula za razliku dva broja na kvadrat jednaka je proizvodu zbira ovih brojeva i njihove razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

sum cube

Da biste izračunali kocku zbira dva člana, morate izračunati zbir koji se sastoji od kocke prvog člana, trostrukog umnožaka kvadrata prvog i drugog člana, trostrukog proizvoda prvog i drugog člana. na kvadrat i kocka drugog člana. U obliku izraza, ovo pravilo izgleda ovako: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Zbir kocki

Prema formuli, jednak je proizvodu zbira ovih članova i njihovog nepotpunog kvadrata razlike. U obliku izraza ovo pravilo izgleda ovako: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Primjer. Potrebno je izračunati volumen figure koji se formira dodavanjem dvije kocke. Poznate su samo veličine njihovih strana.

Ako su vrijednosti strana male, onda je lako izvesti proračune.

Ako su dužine stranica izražene glomaznim brojevima, tada je u ovom slučaju lakše primijeniti formulu "Zbroj kocki", što će uvelike pojednostaviti proračune.

kocka razlike

Izraz za kubičnu razliku zvuči ovako: kao zbir trećeg stepena prvog člana, utrostručite negativan proizvod kvadrata prvog člana sa drugim, utrostručite proizvod prvog člana sa kvadratom drugog , i negativnu kocku drugog člana. U obliku matematičkog izraza, kocka razlike izgleda ovako: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Razlika kocke

Formula za razliku kocki razlikuje se od zbira kocki samo za jedan znak. Dakle, razlika kocki je formula jednaka umnošku razlike ovih brojeva na njihov nepotpuni kvadrat zbira. U obliku matematičkog izraza, razlika kocki izgleda ovako: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Primjer. Potrebno je izračunati zapreminu figure koja će ostati nakon oduzimanja žute volumetrijske figure, koja je ujedno i kocka, od zapremine plave kocke. Poznata je samo veličina stranice male i velike kocke.

Ako su vrijednosti strana male, onda su proračuni prilično jednostavni. A ako su duljine stranica izražene značajnim brojevima, onda je vrijedno koristiti formulu pod nazivom "Razlika kocki" (ili "Kocka razlike"), koja će uvelike pojednostaviti proračune.

Formule skraćenih izraza se vrlo često koriste u praksi, pa je poželjno da ih naučite sve napamet. Do ovog trenutka služit ćemo vjerno, što preporučujemo da odštampate i stalno držite pred očima:

Prve četiri formule iz sastavljene tablice skraćenih formula za množenje omogućavaju vam da kvadrirate i kockirate zbir ili razliku dva izraza. Peti je za kratko množenje razlike i zbira dva izraza. A šesta i sedma formula se koriste za množenje sume dva izraza a i b njihovim nepotpunim kvadratom razlike (ovako se naziva izraz oblika a 2 −a b + b 2) i razlikom dva izraza a i b nepotpunim kvadratom njihovog zbira (a 2 + a b+b 2 ) redom.

Posebno je vrijedno napomenuti da je svaka jednakost u tabeli identitet. Ovo objašnjava zašto se formule za skraćeno množenje nazivaju i skraćeni identiteti množenja.

Prilikom rješavanja primjera, posebno u kojima se vrši faktorizacija polinoma, FSU se često koristi u obliku sa preuređenim lijevim i desnim dijelovima:

Posljednja tri identiteta u tabeli imaju svoja imena. Poziva se formula a 2 −b 2 =(a−b) (a+b). formule razlike kvadrata, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - formula za zbir kocki, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - formula razlike kocke. Napominjemo da nismo imenovali odgovarajuće formule sa preuređenim dijelovima iz prethodne tabele FSU.

Dodatne formule

Ne škodi dodati još nekoliko identiteta u tablicu skraćenih formula za množenje.

Opseg skraćenih formula za množenje (FSU) i primjeri

Glavna svrha skraćenih formula za množenje (FSU) objašnjava se njihovim imenom, odnosno sastoji se u kratkom množenju izraza. Međutim, opseg FSO je mnogo širi i nije ograničen samo na kratko umnožavanje. Hajde da navedemo glavne pravce.

Bez sumnje, središnja primjena formule reduciranog množenja pronađena je u izvođenju identičnih transformacija izraza. Najčešće se ove formule koriste u procesu pojednostavljenja izraza.

Primjer.

Pojednostavite izraz 9·y−(1+3·y) 2 .

Odluka.

U ovom izrazu, kvadriranje se može izvesti skraćeno, imamo 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Ostaje samo otvoriti zagrade i dati slične pojmove: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

U prethodnoj lekciji bavili smo se faktorizacijom. Savladali smo dvije metode: vađenje zajedničkog faktora iz zagrada i grupiranje. U ovom vodiču, sljedeća moćna metoda: skraćene formule za množenje. Ukratko - FSU.

Skraćene formule množenja (kvadrat zbira i razlike, kub zbira i razlike, razlika kvadrata, zbir i razlika kocki) su bitne u svim granama matematike. Koriste se za pojednostavljivanje izraza, rješavanje jednačina, množenje polinoma, smanjenje razlomaka, rješavanje integrala itd. itd. Ukratko, postoje svi razlozi za suočavanje s njima. Shvatite odakle dolaze, zašto su potrebni, kako ih zapamtiti i kako ih primijeniti.

Da li razumemo?)

Odakle dolaze formule za skraćeno množenje?

Jednačine 6 i 7 nisu napisane na vrlo uobičajen način. Kao suprotno. Ovo je namjerno.) Svaka jednakost funkcionira i s lijeva na desno i s desna na lijevo. U takvom zapisu je jasnije odakle FSO dolazi.

One se uzimaju iz množenja.) Na primjer:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To je to, bez naučnih trikova. Samo množimo zagrade i dajemo slične. Ovako ispada sve skraćene formule za množenje. skraćeno množenje je zato što u samim formulama nema množenja zagrada i redukcije sličnih. Smanjeno.) Rezultat se odmah daje.

FSU treba da zna napamet. Bez prve tri ne možete sanjati trojku, bez ostatka - o četvorci sa petorkom.)

Zašto su nam potrebne skraćene formule za množenje?

Postoje dva razloga da naučite, čak i zapamtite, ove formule. Prvi - gotov odgovor na mašini dramatično smanjuje broj grešaka. Ali to nije glavni razlog. A evo i drugog...

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.