Najveća i najmanja vrijednost funkcije dvije varijable u zatvorenom području. Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekom ograničenom zatvorenom domenu $D$. Neka data funkcija ima konačne parcijalne izvode prvog reda u ovom području (s mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka). Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije dvije varijable u datom zatvorenom području, potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenom domenu $D$.

Pronađite kritične tačke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju području $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama.
Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$ pronalaženjem tačaka mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim tačkama.
Od vrijednosti funkcije dobijenih u prethodna dva paragrafa odaberite najveću i najmanju.

Šta su kritične tačke? prikaži/sakrij

Ispod kritične tačke impliciraju tačke u kojima su oba parcijalna izvoda prvog reda jednaka nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedan parcijalni izvod ne postoji.

Često se nazivaju tačke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne tačke. Dakle, stacionarne tačke su podskup kritičnih tačaka.

Primjer #1

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području ograničenom linijama $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Pratićemo gore navedeno, ali prvo ćemo se pozabaviti crtanjem date površine, koju ćemo označiti slovom $D$. Date su nam jednadžbe tri prave, koje ograničavaju ovu oblast. Prava linija $x=3$ prolazi kroz tačku $(3;0)$ paralelnu sa y-osom (osa Oy). Prava linija $y=0$ je jednačina apscisne ose (Ox osa). Pa, da bismo konstruisali pravu liniju $y=x+1$, hajde da nađemo dve tačke kroz koje povlačimo ovu pravu liniju. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobijamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo tačku $(10;11)$ koja leži na pravoj $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one tačke u kojima se prava $y=x+1$ siječe sa linijama $x=3$ i $y=0$. Zašto je bolje? Jer ćemo jednim udarcem položiti par golubova: dobićemo dve tačke za konstruisanje prave $y=x+1$ i istovremeno saznati u kojim tačkama ova prava seče druge prave koje ograničavaju datu području. Prava $y=x+1$ seče pravu $x=3$ u tački $(3;4)$, a prava $y=0$ - u tački $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpao tok rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobijene tačke $(3;4)$ i $(-1;0)$? prikaži/sakrij

Počnimo od tačke preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate željene tačke pripadaju i prvoj i drugoj liniji, tako da da biste pronašli nepoznate koordinate, morate riješiti sistem jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sistema je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednačinu imat ćemo: $y=3+1=4$. Tačka $(3;4)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$.

Sada hajde da nađemo tačku preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$. Ponovo sastavljamo i rješavamo sistem jednačina:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednačinu dobijamo: $0=x+1$, $x=-1$. Tačka $(-1;0)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$ (os apscisa).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke izgleda očigledno, jer se sve vidi sa slike. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Slika je samo ilustracija radi jasnoće.

Naše područje je postavljeno pomoću jednačina linija koje ga ograničavaju. Očigledno je da ove linije definišu trougao, zar ne? Ili nije sasvim očigledno? Ili nam je možda dato drugačije područje, ograničeno istim linijama:

Naravno, uslov kaže da je prostor zatvoren, pa je prikazana slika pogrešna. Ali da bi se izbjegle takve nejasnoće, bolje je definirati regije prema nejednakostima. Zanima nas dio ravnine koji se nalazi ispod prave $y=x+1$? Ok, dakle $y ≤ x+1$. Naša oblast treba da se nalazi iznad linije $y=0$? Odlično, dakle $y ≥ 0$. Inače, posljednje dvije nejednačine se lako kombinuju u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju domenu $D$ i definiraju je jedinstveno, bez ikakvih nejasnoća. Ali kako nam to pomaže u pitanju na početku fusnote? Također će pomoći :) Moramo provjeriti da li tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$. Zamenimo $x=1$ i $y=1$ u sistem nejednakosti koje definišu ovo područje. Ako su obe nejednakosti zadovoljene, onda se tačka nalazi unutar regiona. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, onda tačka ne pripada regiji. dakle:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su tačne. Tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$.

Sada je red da se istraži ponašanje funkcije na granici domene, tj. idi. Počnimo sa pravom linijom $y=0$.

Prava linija $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenite $y=0$ u datu funkciju $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Rezultirajuća funkcija zamjene jedne varijable $x$ će biti označena kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, tako da na listu tačaka dodajemo i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunavamo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u tačkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako tačka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, onda, naravno, ne bi bilo potrebe da se izračunava vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih tačaka u originalnom izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za tačku $M_2$ dobijamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, proračuni se mogu malo pojednostaviti. Da biste to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Napisat ću to detaljno:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za tako detaljnim unosima, a u budućnosti ćemo sve proračune početi zapisivati na kraći način:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo pravoj liniji $x=3$. Ova linija ograničava domen $D$ pod uslovom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenite $x=3$ u datu funkciju $z$. Kao rezultat takve zamjene, dobijamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, tako da dodajemo $M_5(3;3)$ na ranije pronađene tačke. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u tačkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u tačkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U tački $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u tačkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (poravnano)

I, konačno, razmotrite posljednju granicu $D$, tj. red $y=x+1$. Ova linija ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$, imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Još jednom imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet, morate pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na listu tačaka i saznamo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj tački. Tačke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. tačke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ su razmatrane ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Dobili smo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hajde da se okrenemo. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od onih brojeva koji su dobijeni u trećem paragrafu, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problem je riješen, ostaje samo da se zapiše odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer #2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo napravimo crtež. Jednačina $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija date oblasti) definiše kružnicu sa centrom u početku (tj. u tački $(0;0)$) i poluprečnikom od 5. Nejednakost $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadovoljava sve tačke unutar i na pomenutom krugu.

Mi ćemo djelovati. Nađimo parcijalne izvode i saznajmo kritične tačke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje tačke u kojima pronađeni parcijalni izvod ne postoje. Otkrijmo u kojim su tačkama oba parcijalna izvoda istovremeno jednaka nuli, tj. pronađite stacionarne tačke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarnu tačku $(6;-8)$. Međutim, pronađena tačka ne pripada regionu $D$. To je lako prikazati bez pribjegavanja crtanju. Provjerimo da li vrijedi nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$, koja definira našu domenu $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ nije zadovoljena. Zaključak: tačka $(6;-8)$ ne pripada regionu $D$.

Dakle, nema kritičnih tačaka unutar $D$. Idemo dalje, do. Moramo istražiti ponašanje funkcije na granici datog područja, tj. na krugu $x^2+y^2=25$. Možete, naravno, izraziti $y$ u terminima $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednačine kružnice dobijamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u datu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalje rješenje će biti potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je u ovoj situaciji razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu. Nas zanima samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode, dobićemo tačke u kojima i ispitati funkciju $z$ za minimalnu i maksimalnu vrijednost.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Pronalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sistem jednačina:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(poravnano) \ desno. \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sistem, hajde da odmah naznačimo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednačinu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ kaže da je vrijednost $\lambda=-1$ nevažeća. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ u terminima $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje očigledno zašto smo posebno odredili uvjet $\lambda\neq -1$. Ovo je urađeno kako bi se izraz $1+\lambda$ uklopio u nazivnike bez smetnji. To jest, da budemo sigurni da je imenilac $1+\lambda\neq 0$.

Zamenimo dobijene izraze za $x$ i $y$ u treću jednačinu sistema, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, i to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. U skladu s tim, dobijamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (poravnano)

Dakle, dobili smo dvije tačke mogućeg uslovnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Pronađite vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (poravnano)

Trebalo bi izabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovom slučaju izbor je mali :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Lekcija na temu: "Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje prostora

Šta ćemo učiti:

1. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti prema grafu funkcije.
2. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti pomoću izvoda.
3. Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu.
4. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na otvorenom intervalu.
5. Primjeri.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti iz grafa funkcije

Ljudi, ranije smo pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije. Pogledali smo graf funkcije i zaključili gdje funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost, a gdje minimalnu.
da ponovimo:

Grafik naše funkcije pokazuje da se najveća vrijednost postiže u tački x= 1, jednaka je 2. Najmanja vrijednost se postiže u tački x= -1, a jednaka je -2. Na ovaj način je prilično lako pronaći najveću i najmanju vrijednost, ali nije uvijek moguće nacrtati graf funkcije.

Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti pomoću izvoda

Ljudi, šta mislite, kako možete pronaći najveću i najmanju vrijednost koristeći derivat?

Odgovor se može naći u temama ekstrema funkcije. Tamo smo ti i ja našli maksimum i minimum bodova, zar pojmovi nisu slični. Međutim, ne treba brkati maksimalne i minimalne vrijednosti s maksimumom i minimumom funkcije, to su različiti koncepti.

Pa hajde da predstavimo pravila:
a) Ako je funkcija kontinuirana na intervalu, tada dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost na ovom intervalu.
b) Funkcija može dostići maksimalnu i minimalnu vrijednost kako na krajevima segmenata tako i unutar njih. Pogledajmo ovu tačku detaljnije.

Na slici a, funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na krajevima segmenata.
Na slici b, funkcija postiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti unutar intervala. Na slici c, minimalna tačka je unutar segmenta, a maksimalna tačka je na kraju segmenta, u tački b.
c) Ako se unutar segmenta postignu najveća i najmanja vrijednost, onda samo na stacionarnim ili kritičnim tačkama.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y= f(x) na segmentu

Pronađite izvod f "(x).
Pronađite stacionarne i kritične tačke unutar segmenta.
Izračunajte vrijednost funkcije u stacionarnim i kritičnim tačkama, kao i na f(a) i f(b). Odaberite najmanju i najveću vrijednost, to će biti točke najmanjih i najvećih vrijednosti funkcije.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na otvorenom intervalu

Ljudi, kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na otvorenom intervalu? Da bismo to učinili, koristimo važnu teoremu, koja se dokazuje u toku više matematike.

Teorema. Neka je funkcija y= f(x) kontinuirana na intervalu x i ima unutar ovog intervala jedinu stacionarnu ili kritičnu tačku x= x0, tada:
a) ako je x= x0 maksimalna tačka, tada je y max. = f(x0).
b) ako je x= x0 minimalna tačka, tada je y min. = f(x0).

Primjer

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 na segmentu
a) [-9;-1], b) [-3; 3], c) .
Rješenje: Pronađite izvod: y "= x 2 + 4x + 4.
Izvod postoji na cijelom domenu definicije, tada moramo pronaći stacionarne tačke.
y"= 0, sa x= -2.
Dalji proračuni će se izvršiti za potrebne segmente.
a) Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački.
Onda y nam. = -122, pri x= -9; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, za x= -1.
b) Nađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i u stacionarnoj tački. Najveća i najmanja vrijednost se postižu na krajevima segmenta.
Onda y nam. = -8, pri x= -3, y max. = 34, na x= 3.
c) Stacionarna tačka ne pada na naš segment, nalazimo vrijednosti na krajevima segmenta.
Onda y nam. = 34, pri x= 3, y max. = 436, na x= 9.

Primjer

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| na segmentu.
Rješenje: Proširite modul i transformirajte našu funkciju:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, za x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, za x ≥ 1.

Tada će naša funkcija poprimiti oblik:
\begin(jednačina*)f(x)= \begin(slučajevi) x^2 - 4x + 6,\quad if\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad if\quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednačina*) Pronađite kritične tačke: \begin(equation*)f"(x)= \begin(slučajevi) 2x - 4,\quad za \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad when\quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednačina*) \begin(equadation*)f"(x)=0,\quad when\quad x= \begin(slučajevi) 2,\quad when \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad za \quad x ≥ 1 \end(slučajevi) \end(jednačina*) Dakle, imamo dvije stacionarne tačke i ne zaboravimo da se naša funkcija sastoji od dvije funkcije za različite x.
Nađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije, za to izračunavamo vrijednosti funkcije u stacionarnim točkama i na krajevima segmenta:
Odgovor: Funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost u stacionarnoj tački x= 1, najmanje y. = 3. Funkcija dostiže svoju maksimalnu vrijednost na kraju segmenta u tački x= 4, y max. = 12.

Primjer

Pronađite maksimalnu vrijednost funkcije y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ na zraku: , b) , c) [-4;7].
b) Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| na intervalu [-1;5].
c) Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y= $-2x-\frac(1)(2x)$ na zraku (0;+∞).

Sa praktične tačke gledišta, najzanimljivija je upotreba derivacije za pronalaženje najveće i najmanje vrednosti funkcije. Sa čime je to povezano? Maksimiziranje profita, minimiziranje troškova, određivanje optimalnog opterećenja opreme... Drugim riječima, u mnogim oblastima života treba riješiti problem optimizacije nekih parametara. A to je problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije.

Treba napomenuti da se najveća i najmanja vrijednost funkcije obično traže na nekom intervalu X, koji je ili cijeli domen funkcije ili dio domene. Interval X sam po sebi može biti segment linije, otvoreni interval , beskonačan interval .

U ovom članku ćemo govoriti o pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti eksplicitno zadane funkcije jedne varijable y=f(x).

Navigacija po stranici.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije - definicije, ilustracije.

Hajde da se ukratko zadržimo na glavnim definicijama.

Najveća vrijednost funkcije , što za bilo koje nejednakost je tačna.

Najmanja vrijednost funkcije y=f(x) na intervalu X naziva se takva vrijednost , što za bilo koje nejednakost je tačna.

Ove definicije su intuitivne: najveća (najmanja) vrijednost funkcije je najveća (najmanja) vrijednost prihvaćena u intervalu koji se razmatra sa apscisom.

Stacionarne tačke su vrijednosti argumenta kod kojih derivacija funkcije nestaje.

Zašto su nam potrebne stacionarne tačke pri pronalaženju najvećih i najmanjih vrijednosti? Odgovor na ovo pitanje daje Fermatova teorema. Iz ove teoreme slijedi da ako diferencijabilna funkcija ima ekstrem (lokalni minimum ili lokalni maksimum) u nekoj tački, onda je ta tačka stacionarna. Dakle, funkcija često uzima svoju maksimalnu (najmanju) vrijednost na intervalu X u jednoj od stacionarnih tačaka iz ovog intervala.

Također, funkcija često može poprimiti najveću i najmanju vrijednost na mjestima gdje prvi izvod ove funkcije ne postoji, a sama funkcija je definirana.

Odgovorimo odmah na jedno od najčešćih pitanja na ovu temu: "Da li je uvijek moguće odrediti najveću (najmanju) vrijednost funkcije"? Ne ne uvek. Ponekad se granice intervala X poklapaju sa granicama domene funkcije, ili je interval X beskonačan. A neke funkcije na beskonačnosti i na granicama domene definicije mogu uzeti i beskonačno velike i beskonačno male vrijednosti. U ovim slučajevima se ništa ne može reći o najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Radi jasnoće dajemo grafičku ilustraciju. Pogledajte slike - i mnogo toga će vam biti jasno.

Na segmentu

Na prvoj slici, funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim tačkama unutar segmenta [-6;6].

Razmotrite slučaj prikazan na drugoj slici. Promijenite segment u . U ovom primjeru, najmanja vrijednost funkcije postiže se u stacionarnoj tački, a najveća - u tački sa apscisom koja odgovara desnoj granici intervala.

Na slici br. 3, granične tačke segmenta [-3; 2] su apscise tačaka koje odgovaraju najvećoj i najmanjoj vrijednosti funkcije.

Na otvorenom

Na četvrtoj slici funkcija uzima najveću (max y) i najmanju (min y) vrijednost u stacionarnim točkama unutar otvorenog intervala (-6;6).

Na intervalu se ne mogu izvući zaključci o najvećoj vrijednosti.

U beskonačnosti

U primjeru prikazanom na sedmoj slici, funkcija uzima najveću vrijednost (max y ) u stacionarnoj tački sa apscisom x=1 , a najmanju vrijednost (min y ) postiže se na desnoj granici intervala. Na minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3.

Na intervalu funkcija ne dostiže ni najmanju ni najveću vrijednost. Kako x=2 teži udesno, vrijednosti funkcije teže minus beskonačnosti (prava x=2 je vertikalna asimptota), a kako apscisa teži plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju y=3 . Grafička ilustracija ovog primjera prikazana je na slici 8.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije na segmentu.

Pišemo algoritam koji nam omogućava da pronađemo najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu.

Pronalazimo domenu funkcije i provjeravamo da li sadrži cijeli segment.
Pronalazimo sve tačke u kojima prvi izvod ne postoji i koje su sadržane u segmentu (obično se takve tačke javljaju u funkcijama sa argumentom pod znakom modula i u funkcijama stepena sa razlomačno-racionalnim eksponentom). Ako takvih tačaka nema, idite na sljedeću tačku.
Određujemo sve stacionarne tačke koje spadaju u segment. Da bismo to učinili, izjednačavamo je sa nulom, rješavamo rezultirajuću jednadžbu i biramo odgovarajuće korijene. Ako nema stacionarnih tačaka ili nijedna od njih ne pada u segment, idite na sljedeći korak.
Izračunavamo vrijednosti funkcije u odabranim stacionarnim tačkama (ako ih ima), u tačkama u kojima prvi izvod ne postoji (ako postoji), kao i na x=a i x=b.
Od dobivenih vrijednosti funkcije biramo najveću i najmanju - to će biti željena maksimalna i najmanja vrijednost funkcije.

Analizirajmo algoritam prilikom rješavanja primjera za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu.

Primjer.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu;
na intervalu [-4;-1] .

Odluka.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva, osim nule, odnosno . Oba segmenta spadaju u domen definicije.

Nalazimo derivaciju funkcije u odnosu na:

Očigledno, derivacija funkcije postoji u svim tačkama segmenata i [-4;-1] .

Stacionarne tačke se određuju iz jednačine . Jedini pravi korijen je x=2. Ova stacionarna tačka spada u prvi segment.

Za prvi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta iu stacionarnoj tački, odnosno za x=1, x=2 i x=4:

Dakle, najveća vrijednost funkcije se postiže na x=1, a najmanja vrijednost – na x=2 .

Za drugi slučaj izračunavamo vrijednosti funkcije samo na krajevima segmenta [-4;-1] (pošto ne sadrži ni jednu stacionarnu tačku):

Neka funkcija y=f(X) kontinuirano na segmentu [ a, b]. Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti na ovom segmentu. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili u unutrašnjoj točki segmenta [ a, b], ili na granici segmenta.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije na intervalu [ a, b] potrebno:

1) pronaći kritične tačke funkcije u intervalu ( a, b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, odnosno za x=a i x = b;

4) od svih izračunatih vrijednosti funkcije odaberite najveću i najmanju.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

na segmentu.

Pronalaženje kritičnih tačaka:

Ove tačke leže unutar segmenta; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

u tački x= 3 i u tački x= 0.

Istraživanje funkcije za konveksnost i prevojnu tačku.

Funkcija y = f (x) pozvao konveks između (a, b) , ako njegov graf leži ispod tangente povučene u bilo kojoj tački ovog intervala, i zove se konveksno prema dolje (konkavno) ako njegov graf leži iznad tangente.

Tačka na prijelazu kroz koju se konveksnost zamjenjuje konkavnošću ili obrnuto naziva se tačka pregiba.

Algoritam za proučavanje konveksnosti i tačke pregiba:

1. Pronađite kritične tačke druge vrste, odnosno tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli ili ne postoji.

2. Stavite kritične tačke na brojevnu pravu, razbijajući je na intervale. Pronađite predznak drugog izvoda na svakom intervalu; ako , onda je funkcija konveksna prema gore, ako, onda je funkcija konveksna prema dolje.

3. Ako pri prolasku kroz kritičnu tačku druge vrste promijeni predznak i u ovoj tački je druga derivacija jednaka nuli, tada je ova tačka apscisa tačke prevoja. Pronađite njegovu ordinatu.

Asimptote grafa funkcije. Istraživanje funkcije u asimptote.

Definicija. Poziva se asimptota grafa funkcije ravno, koji ima svojstvo da udaljenost od bilo koje tačke grafa do ove linije teži nuli uz neograničeno uklanjanje tačke grafa od početka.

Postoje tri vrste asimptota: vertikalni, horizontalni i nagnuti.

Definicija. Direktno pozvan vertikalna asimptota graf funkcije y = f(x), ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije u ovoj tački jednaka beskonačnosti, tj.

gdje je tačka diskontinuiteta funkcije, odnosno ne pripada domenu definicije.

Primjer.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - tačka prekida.

Definicija. Pravo y=A pozvao horizontalna asimptota graf funkcije y = f(x) u , ako

Primjer.

x
y

Definicija. Pravo y=kx +b (k≠ 0) se poziva kosa asimptota graf funkcije y = f(x) u , gdje

Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje.

Algoritam istraživanja funkcijay = f(x) :

1. Pronađite domenu funkcije D (y).

2. Pronađite (ako je moguće) tačke preseka grafika sa koordinatnim osa (sa x= 0 i at y = 0).

3. Istražite parne i neparne funkcije ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ neparan).

4. Naći asimptote grafa funkcije.

5. Naći intervale monotonosti funkcije.

6. Pronađite ekstreme funkcije.

7. Naći intervale konveksnosti (konkavnosti) i prevojne tačke grafa funkcije.

8. Na osnovu sprovedenog istraživanja konstruisati graf funkcije.

Primjer. Istražite funkciju i nacrtajte njen graf.

1) D (y) =

x= 4 - tačka prekida.

2) Kada x = 0,

(0; – 5) – tačka preseka sa oy.

At y = 0,

3) y(‒ x)= opšta funkcija (ni parna ni neparna).

4) Istražujemo asimptote.

a) vertikalno

b) horizontalno

c) pronaći kose asimptote gdje

‒kosa asimptotna jednačina

5) U ovoj jednačini nije potrebno pronaći intervale monotonosti funkcije.

Ove kritične tačke dijele cijeli domen funkcije na intervalu (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Dobijene rezultate pogodno je prikazati u obliku sljedeće tabele.