Ako je svrha modeliranja jasna, onda se javlja sljedeći zadatak - zadatak konstruiranja matematički model. U ovoj fazi, početne pretpostavke se prevode na jasan, nedvosmislen jezik kvantitativnih relacija i eliminišu se nejasne, dvosmislene izjave ili definicije, koje se zamenjuju, možda, približnim, ali jasnim iskazima koji ne dozvoljavaju različita tumačenja.

Konstrukcija matematičkog modela se izvodi u sljedećem redoslijedu:

1) izbor vrste modela i podmodela;

2) projektovanje strukture i sastava modela (podmodela);

3) razvoj pojedinačnih podmodela;

4) sklapanje modela u celini;

5) identifikacija parametara modela i priprema početnih podataka;

6) validacija modela sistema.

U prvoj i drugoj podfazi se formalizuje opis sistema: uspostavlja se njegova struktura i bitne zavisnosti između elemenata. Glavni zadatak ove dvije podfaze je da se dobije matematički opis procesa u simuliranom sistemu i njegovog blok dijagram, koji bi trebao biti identičan blok dijagramu industrijskog sistema.

Uz visoku složenost sistema, proces funkcionisanja sistema u početku je podeljen na zasebne, prilično autonomne podprocese. Dakle, model je funkcionalno podijeljen na podmodele, od kojih se svaki može podijeliti na još manje elemente.

Za ispravno konstruisan model karakteristično je da otkriva samo one obrasce koji su potrebni istraživaču, a ne uzima u obzir svojstva sistema. , nije neophodno za ovu studiju. Treba napomenuti da original i model moraju biti istovremeno slični u nekim aspektima, a različiti u drugim, što omogućava izdvajanje najvažnijih svojstava koja se proučavaju.

Razvoj pojedinačnih podmodela sastoji se od sastavljanja njihovog matematičkog opisa: u uspostavljanju odnosa između parametara procesa i identifikaciji njihovih graničnih i početnih uslova, kao i u formalizovanju procesa u obliku sistema matematičkih odnosa koji karakterišu objekt koji se proučava ( tehnološki proces). Prilikom sastavljanja matematičkog opisa koristi se ili teorijski ili statistički pristup (vidi Odjeljak 2.2.4).

Prilikom izvođenja ove faze posebno je važno odabrati matematički model minimalno potrebne složenosti. Ako se model složenog sistema formira jednostavnim kombinovanjem kompletnih modela podsistema nižih nivoa, onda može doći do disproporcije između tražene tačnosti i stvarne složenosti modela. Ova disproporcija se može eliminisati grubljanjem modela nižeg nivoa (nakon detaljnog autonomnog proučavanja istih). Opcije takva grublja su:

Svođenje detaljnih opisa višekomponentnog procesa na glavnu komponentu sa faktorima korekcije;

Konsolidacija stanja i faza procesa;

Aproksimacija identifikovanih zavisnosti;

Usrednjavanje karakteristika procesa njihovim argumentima;

Zamrzavanje parametara koji se polako mijenjaju;

Smanjeni zahtjevi za tačnost iteracije;

Zanemarivanje međusobne zavisnosti varijabli;

Za izvedene matematičke relacije, u sljedećoj podfazi, identifikuju se njihovi parametri. Trenutno se široko koriste različite metode za procjenu parametara: metodom najmanjih kvadrata, metodom maksimalne vjerovatnoće, Bayesovom, Markovom procjenom.

Inicijalna priprema podataka sastoji se u prikupljanju i obradi rezultata posmatranja sistema koji se proučava. Obrada se u tipičnom slučaju sastoji u konstrukciji funkcija distribucije odgovarajućih slučajnih varijabli ili izračunavanju numeričkih karakteristika distribucija. Ovi početni podaci, dobijeni kao rezultat istraživanja na realnom sistemu, koristiće se kao parametri modela kada se implementira na računaru.

Validacija modela sistema je prva od provjera izvršenih u fazi implementacije modela. Budući da je model približan opis procesa funkcionisanja realnog sistema , dok se ne dokaže valjanost modela , ne može se tvrditi da će se uz njegovu pomoć dobiti rezultati koji se poklapaju s onima koji bi se mogli dobiti prilikom provođenja eksperimenta punog opsega sa stvarnim sistemom . Stoga se određivanjem pouzdanosti modela utvrđuje stepen povjerenja u rezultate dobivene metodom modeliranja. Provjera modela u razmatranoj podfazi treba da odgovori na pitanje koliko logička šema modela sistema i korišteni matematički odnosi odražavaju namjeru modela formiranog u prvoj fazi. Istovremeno se provjerava mogućnost rješavanja zadatka, tačnost odraza ideje u logičkoj shemi, potpunost logičke sheme modela, ispravnost korištenih matematičkih odnosa.

Tek nakon što se programer uvjeri odgovarajućom provjerom ispravnosti svih ovih odredbi, može se smatrati da je razvijena logička shema modela sistema pogodan za dalji rad na implementaciji modela na računaru.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Dobar posao na stranicu">

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Slični dokumenti

Značaj matematike u našem životu. Istorija računa. Razvoj metoda računske matematike u današnje vrijeme. Upotreba matematike u drugim naukama, uloga matematičko modeliranje. Stanje matematičkog obrazovanja u Rusiji.

članak, dodan 01.05.2010


Osnovni pojmovi matematičkog modeliranja, karakteristike faza kreiranja modela zadataka planiranja proizvodnje i zadataka transporta; analitički i programski pristupi njihovom rješavanju. Simpleksna metoda za rješavanje problema linearno programiranje.

seminarski rad, dodan 11.12.2011


Proces odabira ili izgradnje modela za istraživanje određenih svojstava originala pod određenim uvjetima. Faze procesa modeliranja. Matematički modeli i njihovi tipovi. Adekvatnost matematičkih modela. Neusklađenost između originala i modela.

test, dodano 09.10.2016


Suština matematičkog modeliranja. Analitički i simulacijski matematički modeli. Geometrijska, kinematička i energetska analiza mehanizama podizno-zglobnih uređaja. Proračun za stabilnost pokretne poljoprivredne jedinice.

seminarski rad, dodan 18.12.2015


Matematičko modeliranje problema komercijalne aktivnosti na primjeru modeliranja procesa odabira proizvoda. Metode i modeli linearnog programiranja (određivanje dnevnog plana proizvodnje proizvoda koji obezbjeđuju maksimalan prihod od prodaje).

test, dodano 16.02.2011


Matematika kao izuzetno moćan i fleksibilan alat u proučavanju svijeta. Uloga matematike u industrijsko polje, građevinarstvo, medicina i ljudski život. Mjesto matematičkog modeliranja u stvaranju različitih arhitektonskih modela.

prezentacija, dodano 31.03.2015


Glavne faze matematičkog modeliranja - približan opis klase pojava ili objekata stvarnom svijetu na jeziku matematike. Metode kodiranja informacija. Izrada uređaja koji vam omogućava da prevedete Morzeov kod u mašinski kod.

seminarski rad, dodan 28.06.2011


Primena MathCAD sistema u rešavanju primenjenih problema tehničke prirode. Osnovna sredstva matematičkog modeliranja. Rješenje diferencijalne jednadžbe. Korišćenje MathCad sistema za implementaciju matematičkih modela električnih kola.

seminarski rad, dodan 17.11.2016

Predavanje 1

METODOLOŠKE OSNOVE MODELIRANJA

Sadašnje stanje problema modeliranja sistema

Koncepti modeliranja i simulacije

Modeliranje može se smatrati zamjenom istraživanog objekta (originala) njegovom uslovnom slikom, opisom ili drugim objektom tzv. model i pružanje ponašanja blisko originalnom u okviru određenih pretpostavki i prihvatljivih grešaka. Modeliranje se obično izvodi s ciljem poznavanja svojstava originala ispitivanjem njegovog modela, a ne samog objekta. Naravno, modeliranje je opravdano u slučaju kada je jednostavnije od stvaranja samog originala ili kada je potonje iz nekog razloga bolje uopće ne stvarati.

Ispod model podrazumijeva se fizički ili apstraktni objekt čija su svojstva u određenom smislu slična svojstvima predmeta koji se proučava.U ovom slučaju zahtjevi za modelom su određeni problemom koji se rješava i raspoloživim sredstvima. Postoji nekoliko općih zahtjeva za modele:

2) potpunost - pružanje svih potrebnih informacija primaocu

o objektu;

3) fleksibilnost – sposobnost reprodukcije različitih situacija u svemu

opseg promenljivih uslova i parametara;

4) složenost razvoja treba da bude prihvatljiva za postojeće

vremena i softvera.

Modeliranje je proces izgradnje modela objekta i proučavanja njegovih svojstava ispitivanjem modela.

Dakle, modeliranje uključuje 2 glavne faze:

1) razvoj modela;

2) proučavanje modela i izvođenje zaključaka.

Istovremeno, u svakoj fazi, različite zadatke i korišteno

suštinski različite metode i sredstva.

U praksi, primenite razne metode modeliranje. Ovisno o načinu implementacije, svi modeli se mogu podijeliti u dvije velike klase: fizičke i matematičke.

Matematičko modeliranje Uobičajeno je da se smatra sredstvom za proučavanje procesa ili pojava uz pomoć njihovih matematičkih modela.

Ispod fizičko modeliranje odnosi se na proučavanje objekata i pojava na fizičkim modelima, kada se proces koji se proučava reproducira uz održavanje svog fizičke prirode ili koristiti neki drugi fizički fenomen sličan onom koji se proučava. Gde fizički modeli Oni po pravilu pretpostavljaju stvarno oličenje onih fizičkih svojstava originala koja su bitna u određenoj situaciji.Na primjer, pri projektovanju novog aviona nastaje njegov model koji ima ista aerodinamička svojstva; prilikom planiranja zgrade, arhitekti prave raspored koji odražava prostorni raspored njegovih elemenata. U tom smislu se naziva i fizičko modeliranje izrada prototipa.

HIL Modeling je studija kontrolisanih sistema na simulacionim kompleksima uz uključivanje realne opreme u model. Uz stvarnu opremu, zatvoreni model uključuje simulatore udara i smetnji, matematičke modele vanjskog okruženja i procesa za koje nije poznat dovoljno tačan matematički opis. Uključivanje stvarne opreme ili realnih sistema u krug za modeliranje složenih procesa omogućava smanjenje apriorne nesigurnosti i istraživanje procesa za koje ne postoji tačan matematički opis. Uz pomoć poluprirodne simulacije, studije se izvode uzimajući u obzir male vremenske konstante i nelinearnosti svojstvene stvarnoj opremi. U proučavanju modela uz uključivanje stvarne opreme koristi se koncept dinamička simulacija, u studiji složeni sistemi i pojave - evolucijski, imitacija i kibernetička simulacija.

Očigledno, stvarna korist od modeliranja može se postići samo ako su ispunjena dva uslova:

1) model daje ispravan (adekvatan) prikaz svojstava

original, značajan sa stanovišta operacije koja se proučava;

2) model omogućava otklanjanje gore navedenih problema koji su inherentni

vršenje istraživanja na stvarnim objektima.

2. Osnovni koncepti matematičkog modeliranja

Rješavanje praktičnih problema matematičkim metodama dosljedno se provodi formulisanjem problema (izrada matematičkog modela), izborom metode za proučavanje dobijenog matematičkog modela i analizom dobijenog matematičkog rezultata. Matematička formulacija problema obično se predstavlja u obliku geometrijskih slika, funkcija, sistema jednačina itd. Opis objekta (fenomena) može se predstaviti pomoću kontinuiranih ili diskretnih, determinističkih ili stohastičkih i drugih matematičkih oblika.

Teorija matematičkog modeliranja osigurava identifikaciju zakonitosti u toku različitih pojava okolnog svijeta ili rada sistema i uređaja njihovim matematičkim opisom i modeliranjem bez terenskih ispitivanja. U ovom slučaju se koriste odredbe i zakoni matematike koji opisuju simulirane pojave, sisteme ili uređaje na određenom nivou njihove idealizacije.

matematički model (MM) je formalizirani opis sistema (ili operacije) u nekom apstraktnom jeziku, na primjer, u obliku skupa matematičkih odnosa ili algoritamske šeme, tj. e. takav matematički opis koji pruža imitaciju rada sistema ili uređaja na nivou koji je dovoljno blizak njihovom stvarnom ponašanju dobijenom tokom testiranja sistema ili uređaja u punoj mjeri.

Svaki MM opisuje stvarni predmet, pojavu ili proces sa određenim stepenom aproksimacije stvarnosti. Tip MM zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od ciljeva studije.

Matematičko modeliranje društvenih, ekonomskih, bioloških i fizičkih pojava, objekata, sistema i raznih uređaja jedno je od najvažnijih sredstava razumijevanja prirode i dizajniranja širokog spektra sistema i uređaja. Poznati su primjeri efikasne upotrebe modeliranja u stvaranju nuklearnih tehnologija, zrakoplovnih i svemirskih sistema, u prognozi atmosferskih i okeanskih pojava, vremena itd.

Međutim, tako ozbiljne oblasti modeliranja često zahtijevaju superkompjutere i godine rada velikih timova naučnika na pripremi podataka za modeliranje i njihovo otklanjanje grešaka. Ipak, i u ovom slučaju, matematičko modeliranje složenih sistema i uređaja ne samo da štedi novac na istraživanju i testiranju, već može i eliminirati ekološke katastrofe - na primjer, omogućava napuštanje nuklearnih i termonuklearnog oružja u korist svog matematičkog modeliranja ili testiranja vazduhoplovnih sistema pre njihovih stvarnih letova.U međuvremenu, matematičko modeliranje na nivou rešavanja jednostavnijih problema, na primer, iz oblasti mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike i mnogih drugih oblasti nauke i tehnologija je sada postala dostupna za izvođenje na modernim računarima. A kada se koriste generalizirani modeli, postaje moguće modelirati prilično složene sisteme, na primjer, telekomunikacijske sisteme i mreže, radarske ili radio-navigacijske sisteme.

Svrha matematičkog modeliranja je analiza stvarnih procesa (u prirodi ili tehnologiji) matematičkim metodama. Zauzvrat, ovo zahtijeva formalizaciju MM procesa koji treba istražiti.Model može biti matematički izraz koji sadrži varijable čije je ponašanje slično ponašanju realnog sistema.Model može uključivati ​​elemente slučajnosti koji uzimaju u obzir vjerovatnoće moguće radnje dva ili više"igrači", kao, na primjer, u teoriji igara; ili može predstavljati stvarne varijable međusobno povezanih dijelova operativnog sistema.

Matematičko modeliranje za proučavanje karakteristika sistema može se podeliti na analitičko, simulaciono i kombinovano. Zauzvrat, MM se dijele na simulacijske i analitičke.

Analitičko modeliranje

Za analitičko modeliranje karakteristično je da su procesi funkcionisanja sistema zapisani u obliku nekih funkcionalnih relacija (algebarskih, diferencijalnih, integralnih jednačina). Analitički model se može istražiti sljedećim metodama:

1) analitički, kada nastoje da uđu opšti pogled eksplicitne zavisnosti za karakteristike sistema;

2) numeričke, kada nije moguće naći rešenje jednačina u opštem obliku i one se rešavaju za određene početne podatke;

3) kvalitativni, kada se u nedostatku rješenja pronađu neka njegova svojstva.

Analitički modeli se mogu dobiti samo za relativno jednostavne sisteme. Za složene sisteme često se javljaju veliki matematički problemi. Da bi se primijenila analitička metoda, ide se na značajno pojednostavljenje originalnog modela. Međutim, studija na pojednostavljenom modelu pomaže da se dobiju samo indikativni rezultati. Analitički modeli matematički ispravno odražavaju odnos između ulaznih i izlaznih varijabli i parametara. Ali njihova struktura ne odražava unutrašnju strukturu objekta.

U analitičkom modeliranju njegovi rezultati se prikazuju u obliku analitičkih izraza. Na primjer, povezivanjem RC- krug do izvora konstantan napon E(R, C i E su komponente ovog modela), možemo napraviti analitički izraz za vremensku zavisnost napona u(t) na kondenzatoru C:

Ovo je linearna diferencijalna jednadžba (DE) i predstavlja analitički model ovog jednostavnog linearnog kola. Njegovo analitičko rješenje, pod početnim uslovom u(0) = 0, što znači ispražnjeni kondenzator C na početku simulacije, omogućava vam da pronađete potrebnu zavisnost - u obliku formule:

u(t) = E(1− exstr(- t/RC)). (2)

Međutim, čak iu ovom najjednostavnijem primjeru potrebni su određeni napori da se riješi diferencijalna jednadžba (1) ili da se primijeni kompjuterski matematički sistemi(SCM) sa simboličkim proračunima - sistemi kompjuterske algebre. Za ovaj sasvim trivijalan slučaj, rješenje problema modeliranja linearne RC-kolo daje analitički izraz (2) prilično općenitog oblika - pogodno je za opisivanje rada kola za bilo koju vrijednost komponenti R, C i E, i opisuje eksponencijalni naboj kondenzatora C kroz otpornik R iz izvora konstantnog napona E.

Nesumnjivo, iznalaženje analitičkih rješenja u analitičkom modeliranju pokazuje se izuzetno vrijednim za otkrivanje općih teorijskih zakona jednostavnih linearnih kola, sistema i uređaja, međutim, njegova složenost naglo raste kako utjecaji na model postaju složeniji, a redoslijed i broj jednadžbe stanja koje opisuju povećanje modeliranog objekta. Možete dobiti manje ili više vidljive rezultate prilikom modeliranja objekata drugog ili trećeg reda, ali čak i sa višim redom, analitički izrazi postaju pretjerano glomazni, složeni i teško razumljivi. Na primjer, čak i jednostavno elektronsko pojačalo često sadrži desetke komponenti. Međutim, mnogi moderni SCM-ovi, kao što su sistemi simboličke matematike Maple, Mathematica ili srijeda MATLAB sposoban za automatizaciju rješenja u velikoj mjeri izazovni zadaci analitičko modeliranje.

Jedna vrsta modeliranja je numerička simulacija, koji se sastoji u dobijanju potrebnih kvantitativnih podataka o ponašanju sistema ili uređaja bilo kojom odgovarajućom numeričkom metodom, kao što su Euler ili Runge-Kutta metode. U praksi je modeliranje nelinearnih sistema i uređaja pomoću numeričkih metoda mnogo efikasnije od analitičkog modeliranja pojedinačnih privatnih linearnih kola, sistema ili uređaja. Na primjer, za rješavanje DE (1) ili sistema DE-ova preko teški slučajevi rješenje u analitičkom obliku nije dobijeno, ali se pomoću numeričkih simulacijskih podataka mogu dobiti dovoljno potpuni podaci o ponašanju simuliranih sistema i uređaja, kao i za crtanje grafova koji opisuju ovakvo ponašanje zavisnosti.

Simulacija

At imitacija U modeliranju, algoritam koji implementira model reproducira proces funkcionisanja sistema u vremenu. Imitiraju se elementarne pojave koje čine proces, uz očuvanje njihove logičke strukture i slijeda toka u vremenu.

Glavna prednost simulacijskih modela u odnosu na analitičke je sposobnost rješavanja složenijih problema.

Simulacijski modeli olakšavaju uzimanje u obzir prisutnosti diskretnih ili kontinuiranih elemenata, nelinearnih karakteristika, slučajnih efekata itd. Stoga se ova metoda široko koristi u fazi projektovanja složenih sistema. Glavni alat za implementaciju simulacionog modeliranja je računar koji omogućava digitalno modeliranje sistema i signala.

U tom smislu definišemo izraz " kompjutersko modeliranje“, koji se sve više koristi u literaturi. Pretpostavićemo to kompjutersko modeliranje- ovo je matematičko modeliranje pomoću računarske tehnologije. U skladu s tim, tehnologija kompjuterske simulacije uključuje sljedeće radnje:

1) definisanje svrhe modeliranja;

2) razvoj konceptualnog modela;

3) formalizacija modela;

4) softverska implementacija modela;

5) planiranje modelskih eksperimenata;

6) sprovođenje plana eksperimenta;

7) analiza i interpretacija rezultata simulacije.

At simulacijsko modeliranje korišteni MM reproducira algoritam („logiku“) funkcionisanja sistema koji se proučava u vremenu za različite kombinacije vrijednosti parametara sistema i okoline.

Primjer najjednostavnijeg analitičkog modela je jednadžba ravnomjernog pravolinijskog kretanja. Prilikom proučavanja ovakvog procesa uz pomoć simulacionog modela, potrebno je implementirati promatranje promjene putanje u vremenu.Očigledno je da je u nekim slučajevima poželjnije analitičko modeliranje, u drugim - simulacija (ili kombinacija oba). . Da biste napravili dobar izbor, potrebno je odgovoriti na dva pitanja.

Koja je svrha modeliranja?

Kojoj klasi se može pripisati simulirani fenomen?

Odgovori na oba ova pitanja mogu se dobiti tokom izvođenja prve dvije faze modeliranja.

Simulacijski modeli ne samo po svojstvima, već i po strukturi odgovaraju objektu koji se modelira. U ovom slučaju postoji nedvosmislena i eksplicitna korespondencija između procesa dobijenih na modelu i procesa koji se dešavaju na objektu. Nedostatak simulacijskog modeliranja je što je potrebno mnogo vremena za rješavanje problema kako bi se postigla dobra tačnost.

Rezultati simulacionog modeliranja rada stohastičkog sistema su realizacije slučajne varijable ili procesa. Stoga je za pronalaženje karakteristika sistema potrebno višestruko ponavljanje i naknadna obrada podataka. Najčešće se u ovom slučaju koristi vrsta simulacije - statistički

modeliranje(ili Monte Carlo metoda), tj. reprodukcija u modelima slučajnih faktora, događaja, veličina, procesa, polja.

Na osnovu rezultata statističkog modeliranja određuju se procene probabilističkih kriterijuma kvaliteta, opštih i posebnih, koji karakterišu funkcionisanje i efikasnost kontrolisanog sistema. Statističko modeliranje se široko koristi za rješavanje naučnih i primijenjenih problema u različitim oblastima nauke i tehnologije. Metode statističkog modeliranja se široko koriste u proučavanju složenih dinamičkih sistema, evaluaciji njihovog funkcionisanja i efikasnosti.

Završna faza statističkog modeliranja zasniva se na matematičkoj obradi dobijenih rezultata. Ovdje se koriste metode matematičke statistike (parametrijska i neparametarska procjena, testiranje hipoteza). Primjer parametarske procjene je srednja vrijednost uzorka mjere učinka. Među neparametarskim metodama, najčešće se koriste histogramska metoda.

Razmatrana shema je zasnovana na višestrukim statističkim testovima sistema i metoda statistike nezavisnih slučajnih varijabli.Ova shema je daleko od uvijek prirodna u praksi i optimalna u smislu troškova. Smanjenje vremena testiranja sistema može se postići upotrebom preciznijih metoda procjene. Kao što je poznato iz matematičke statistike, efektivne procjene imaju najveću tačnost za datu veličinu uzorka. Optimalno filtriranje i metoda maksimalne vjerovatnoće daju opšta metoda dobijanje takvih procjena U problemima statističkog modeliranja obrada realizacija slučajnih procesa neophodna je ne samo za analizu izlaznih procesa.

Također je vrlo važno kontrolirati karakteristike ulaznih slučajnih efekata. Kontrola se sastoji u provjeravanju da li distribucije generiranih procesa odgovaraju datim distribucijama. Ovaj zadatak se često formuliše kao zadatak testiranja hipoteza.

Opšti trend u kompjuterski potpomognutoj simulaciji složenih kontrolisanih sistema je želja da se skrati vreme simulacije, kao i da se istraživanje sprovodi u realnom vremenu. Računski algoritmi su prikladno predstavljeni u ponavljajućem obliku koji omogućava njihovu implementaciju tempom trenutnih informacija.

PRINCIPI SISTEMSKOG PRISTUPA U MODELIRANJU

Osnove teorije sistema

Glavne odredbe teorije sistema nastale su tokom proučavanja dinamičkih sistema i njihovih funkcionalnih elemenata. Sistem se shvata kao grupa međusobno povezanih elemenata koji deluju zajedno kako bi izvršili unapred određeni zadatak. Analiza sistema vam omogućava da utvrdite najviše stvarne načine ostvarenje postavljenog zadatka, obezbeđivanje maksimalnog zadovoljenja postavljenih zahteva.

Elementi koji čine osnovu teorije sistema ne stvaraju se uz pomoć hipoteza, već se otkrivaju eksperimentalno. Da bi se pristupilo izgradnji sistema potrebno je imati opšte karakteristike tehnoloških procesa. Isto važi i za principe kreiranja matematički formulisanih kriterijuma koje proces ili njegov teorijski opis mora da zadovolji. Modeling je jedan od najpopularnijih važne metode naučno istraživanje i eksperimentisanje.

Prilikom izgradnje modela objekata koristi se sistematski pristup, odnosno metodologija za rješavanje složenih problema, koja se zasniva na razmatranju objekta kao sistema koji djeluje u određenom okruženju. Sistemski pristup podrazumeva otkrivanje integriteta objekta, identifikaciju i proučavanje njegove unutrašnje strukture, kao i veze sa spoljašnjim okruženjem. U ovom slučaju, objekat je predstavljen kao dio stvarnog svijeta, koji se identificira i proučava u vezi s problemom izgradnje modela koji se rješava. osim toga, sistemski pristup uključuje dosljedan prijelaz od opšteg ka posebnom, kada se razmatranje zasniva na cilju dizajna, a objekt se razmatra u odnosu na okolinu.

Složeni objekat se može podijeliti na podsisteme, koji su dijelovi objekta koji ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1) podsistem je funkcionalno nezavisan dio objekta. Povezan je sa drugim podsistemima, razmenjuje informacije i energiju sa njima;

2) za svaki podsistem se mogu definisati funkcije ili svojstva koja se ne poklapaju sa svojstvima celog sistema;

3) svaki od podsistema može se dalje podijeliti na nivo elemenata.

U ovom slučaju, element se shvata kao podsistem nižeg nivoa, čija je dalja podela necelishodna sa stanovišta problema koji se rešava.

Dakle, sistem se može definirati kao reprezentacija objekta u obliku skupa podsistema, elemenata i odnosa u svrhu njegovog stvaranja, istraživanja ili poboljšanja. Istovremeno, prošireni prikaz sistema, koji uključuje glavne podsisteme i veze između njih, naziva se makrostruktura, a detaljno otkrivanje unutrašnje strukture sistema do nivoa elemenata naziva se mikrostruktura.

Uz sistem obično postoji i supersistem - sistem višeg nivoa, koji uključuje predmet koji se razmatra, a funkcija bilo kog sistema može se odrediti samo preko supersistema.

Neophodno je istaći pojam okruženja kao skupa objekata spoljašnjeg sveta koji značajno utiču na efikasnost sistema, ali nisu deo sistema i njegovog nadsistema.

U vezi sa sistematskim pristupom građenju modela koristi se koncept infrastrukture koji opisuje odnos sistema sa njegovom okolinom (okruženjem).U ovom slučaju se vrši odabir, opis i proučavanje osobina objekta koje su značajne. u okviru određenog zadatka naziva se stratifikacija objekta, a svaki model objekta je njegov stratifikovani opis.

Za sistematski pristup važno je odrediti strukturu sistema, tj. skup veza između elemenata sistema, koji odražava njihovu interakciju. Da bismo to učinili, prvo ćemo razmotriti strukturne i funkcionalne pristupe modeliranju.

Strukturalnim pristupom otkriva se sastav odabranih elemenata sistema i veze između njih. Ukupnost elemenata i odnosa omogućava suđenje strukture sistema. Najopštiji opis strukture je topološki opis. Omogućava vam da definišete komponente sistema i njihove odnose pomoću grafova. Manje je uopšten funkcionalni opis kada se razmatraju pojedinačne funkcije, tj. algoritmi za ponašanje sistema. Istovremeno se implementira funkcionalni pristup koji određuje funkcije koje sistem obavlja.

Na osnovu sistematskog pristupa može se predložiti slijed razvoja modela, kada se razlikuju dvije glavne faze dizajna: makro-dizajn i mikro-dizajn.

U fazi makro-dizajna izgrađuje se model eksternog okruženja, identifikuju resursi i ograničenja, odabire model sistema i kriterijume za procenu adekvatnosti.

Faza mikrodizajna u velikoj mjeri ovisi o specifičnoj vrsti odabranog modela. U opštem slučaju, podrazumeva kreiranje informacione, matematičke, tehničke i softverske podrške za sistem modeliranja. U ovoj fazi utvrđuju se glavne tehničke karakteristike kreiranog modela, procjenjuju se vrijeme rada s njim i troškovi resursa za dobijanje datog kvaliteta modela.

Bez obzira na vrstu modela, prilikom izgradnje potrebno je voditi se nizom principa sistematskog pristupa:

1) dosljedan napredak kroz faze kreiranja modela;

2) koordinaciju informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

3) tačan odnos različitih nivoa izgradnje modela;

4) integritet pojedinih faza projektovanja modela.

Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisati zavisnost osnovna svojstva objekt, proces ili sistem iz vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke relacije (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije);
5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. definisati eksterne veze i opisati ih uz pomoć ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;
3. prilagođavanje modela;
4. koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu stol. Obično se za to mjere njegova dužina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja dužine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao željena površina stola. Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjeriti dužine suprotne strane tablicu, kao i dužinu njegovih dijagonala i međusobno ih uporediti. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravougaonika će morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Uz pomoć ovoga jednostavan primjer pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen istraživanim objektom, procesom ili sistem.

ILI (bit će potvrđeno sutra)

Načini rješavanja mat. modeli:

1, Izgradnja m. na osnovu zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način uz pomoć statističkih. Obrada i rezultati mjerenja (statistički pristup)

3. Konstrukcija brojila na osnovu modela elemenata (složeni sistemi)

1, Analitički - koristite uz dovoljno proučavanja. Opšti obrazac Izv. modeli.

2. eksperiment. U nedostatku informacija

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta sst. Generalno.

Primjer izgradnje matematičkog modela.

Matematički model- ovo je matematičko predstavljanje stvarnost.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodno i društvene znanosti koristeći matematički aparat, zapravo, bave se matematičkim modeliranjem: zamjenjuju objekt njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću vrši se uz pomoć lanca hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Korišćenjem matematičke metode opisuje, po pravilu, idealan objekat izgrađen u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su potrebni modeli?

Vrlo često, prilikom proučavanja objekta, nastaju poteškoće. Sam original ponekad nije dostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je uključivanje originala skupo. Svi ovi problemi se mogu riješiti uz pomoć simulacije. Model u određenom smislu može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste prepoznali osobu, dovoljno je vidjeti njegovu fotografiju.

§ Arhitekta je kreirao izgled novog stambeni prostor. Može pomjeriti ruku visoka zgrada iz jednog dela u drugi. U stvarnosti, to ne bi bilo moguće.

Tipovi modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" i idealan. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeličesto su simbolične. Istovremeno, stvarni pojmovi zamjenjuju se nekim znakovima, koji se lako mogu fiksirati na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje spada u klasu modeliranja znakova. U isto vrijeme, modeli se mogu kreirati od bilo kojeg matematički objekti: brojevi, funkcije, jednačine, itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Postoji nekoliko faza konstruisanja matematičkog modela:

1. Razumijevanje zadatka, isticanje najvažnijih kvaliteta, svojstava, vrijednosti i parametara za nas.

2. Uvođenje notacije.

3. Izrada sistema ograničenja koja moraju zadovoljiti unesene vrijednosti.

4. Formulisanje i evidentiranje uslova koje željeno optimalno rešenje mora da zadovolji.

Proces modeliranja se ne završava sastavljanjem modela, već njime samo počinje. Nakon što su sastavili model, biraju metodu za pronalaženje odgovora, rješavaju problem. nakon što se nađe odgovor, uporedite ga sa stvarnošću. I moguće je da odgovor ne zadovoljava, u tom slučaju se model modificira ili čak bira potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje obuhvata dve fabrike nameštaja, treba da unapredi svoj mašinski park. Štaviše, prva fabrika nameštaja treba da zameni tri mašine, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije fabrike alatnih mašina. Prva fabrika može proizvesti najviše 6 mašina, a druga fabrika će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Potrebno je odrediti način narudžbe.

Zadaci koji se rješavaju LP metodama su veoma raznoliki po sadržaju. Ali njihovi matematički modeli su slični i konvencionalno kombinovani u tri velike grupe zadaci:

• transportni zadaci;
• planiranje zadataka;

Razmotrimo primjere specifičnih ekonomskih problema svake vrste i detaljnije se zadržimo na izgradnji modela za svaki problem.

Transportni zadatak

Na dvije trgovačke baze ALI i AT Ima 30 kompleta namještaja, po 15 komada. Sav namještaj je potrebno dostaviti u dvije prodavnice namještaja, OD i D i u OD potrebno je da isporučite 10 slušalica i u D- 20. Poznato je da je isporuka jedne slušalice iz baze ALI u prodavnicu OD košta jednu novčanu jedinicu za prodavnicu D- u tri sata novčane jedinice s. Prema bazi AT do prodavnica OD i D: dvije i pet novčanih jedinica. Napravite plan transporta tako da troškovi svih transporta budu najmanji.
Radi praktičnosti, ove zadatke označavamo u tabeli. Na preseku redova i kolona nalaze se brojevi koji karakterišu troškove dotičnog transporta (tabela 3.1).

Tabela 3.1

Hajde da napravimo matematički model problema.
Promjenljive se moraju unijeti. Formulacija pitanja kaže da je potrebno izraditi plan prevoza. Označiti sa X 1 , X 2 broja slušalica koje se transportuju iz baze ALI do prodavnica OD i D odnosno kroz at 1 , at 2 - broj slušalica koje se transportuju iz baze AT do prodavnica OD i D respektivno. Zatim količina namještaja uklonjena iz skladišta ALI, jednako ( X 1 + X 2) bunar sa zaliha AT - (at 1 + at 2). Potreba za radnjom OD je jednako 10 slušalica, a oni su ga donijeli ( X 1 + at 1) komada, tj. X 1 + at 1 = 10. Slično, za radnju D imamo X 2 + at 2 = 20. Imajte na umu da su potrebe prodavnica tačno jednake broju slušalica na lageru, tako da X 1 + at 2 = 15 i at 1 + at 2 = 15. Ako iz skladišta odnesete manje od 15 kompleta, onda prodavnice ne bi imale dovoljno namještaja da podmire svoje potrebe.
Dakle, varijable X 1 , X 2 , at 1 , at 2 su nenegativni u smislu problema i zadovoljavaju sistem ograničenja:
(3.1)
Označavanje kroz F troškovi dostave, hajde da ih prebrojimo. za prevoz jedne garniture nameštaja iz ALI in OD provesti jedan dan. jedinice, za transport x 1 set - x 1 dan jedinice Isto tako, za transport x 2 kompleta ALI in D košta 3 x 2 dana jedinice; od AT in OD - 2y 1 dan jedinice, od AT in D - 5y 2 dana jedinice
dakle,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(želimo da ukupni troškovi dostave budu što niži).
Hajde da matematički formulišemo problem.
Na skupu rješenja sistema ograničenja (3.1) pronaći rješenje koje minimizira ciljnu funkciju F(3.2), ili pronaći optimalni plan ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) određena sistemom ograničenja (3.1) i ciljnom funkcijom (3.2).
Problem koji smo razmatrali može se predstaviti u opštijem obliku, sa bilo kojim brojem dobavljača i potrošača.
U problemu koji smo razmatrali raspoloživost tereta od dobavljača (15 + 15) jednaka je ukupnoj potrebi potrošača (10 + 20). Takav model se zove zatvoreno, a odgovarajući zadatak je balansirani transport zadatak.
U ekonomskim proračunima značajnu ulogu igraju i takozvani otvoreni modeli u kojima se ova jednakost ne poštuje. Ili je ponuda dobavljača veća od potražnje potrošača, ili potražnja premašuje dostupnost robe. imajte na umu da je tada u sistemu ograničenja neuravnoteženih transportni zadatak zajedno sa jednadžbama će uključiti i nejednakosti.

Razmotrimo primjer neuravnoteženog transportnog problema.
U bodovima ALI i AT nalaze se ciglane, a u OD i D- Kamenolomi koji ih snabdevaju peskom. potreba za peskom u fabrikama je manja od produktivnosti kamenoloma. Zna se koliko je pijeska potrebno svakoj od fabrika i koliko se iskopa u svakom kamenolomu. Poznata je i cijena transporta 1 tone pijeska iz svakog kamenoloma do tvornica (brojevi na strelicama). Neophodno je planirati snabdevanje fabrika peskom na način da troškovi transporta budu najniži. Podaci zadatka na dijagramu.

Konstruišemo matematički model problema.
Hajde da predstavimo varijable:
x 11 - broj tona peska prevezenih iz kamenoloma OD u fabriku ALI;
x 12 - iz kamenoloma OD u fabriku ALI;
x 21 - broj tona peska u ALI iz kamenoloma D;
x 22 - broj tona peska iz kamenoloma D u fabriku AT.
U fabriku ALI Iz oba površinska kopa mora biti dopremljeno 40 tona, što znači x 11 + x 21 = 40, fabrika AT 50 tona mora biti isporučeno, znači x 12 + x 22 = 50. Iz kamenoloma OD nije izvezeno više od 70 tona, tj. x 11 + x 12 ≤ 70, slično x 21 + x 22 ≤ 30. Imamo sistem ograničenja:
(3.3)
I ciljna funkcija F, koji izražava troškove transporta, ima oblik
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22→min. (3.4)

Zadatak izrade plana

Neka fabrika treba da napravi optimalan plan za proizvodnju dve vrste proizvoda koji se obrađuju na četiri vrste mašina. Određene hardverske mogućnosti i performanse su poznate; cijena proizvoda koja tvornici osigurava profit je 4 hiljade rubalja. za proizvod tipa I, 6 hiljada rubalja. - za proizvod II vrste. Napraviti plan proizvodnje ovih proizvoda kako bi pogon ostvario najveću dobit od njihove prodaje. U tabeli je prikazano vrijeme potrebno za obradu svake od dvije vrste proizvoda na opremi sva četiri tipa (tabela 3.2).

Tabela 3.2

Proizvodi	Tipovi mašina
	1	2	3	4
I	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Mogući mašinski sati	18	12	12	9

Hajde da napravimo matematički model.
U zadatku je potrebno odrediti plan proizvodnje proizvoda, označiti sa x broj proizvoda tipa I, za y- broj proizvoda tipa II. Zatim izračunavamo koliko će vremena prva mašina potrošiti na obradu svih proizvodnih proizvoda. Ona troši jednu jedinicu vremena na jedan predmet tipa I, što znači x komada proizvoda će potrošiti 1 x jedinice vreme za obradu y proizvodi tipa II koštaju 1 y jedinice vrijeme. Ukupno, rezerva vremena za rad prve mašine je 18 jedinica vremena. znači, x + y≤ 18. Slično razmišljanje sa drugom mašinom, trećom i četvrtom će dati sistem ograničenja:
(3.5)
Ukupna dobit će biti izražena u ciljna funkcija:
F = 4x + 6y → max. (3.6)
Problem je pronaći na skupu rješenja sistema (3.5) takvo rješenje za koje bi vrijednost ciljne funkcije (3.6) bila maksimalna.

Zadatak miješanja

Još jedan uobičajeni LP problem je problem sastava mješavine. Primjer takvih zadataka može biti zadatak sastavljanja takvih mješavina naftnih derivata koje bi zadovoljile određene tehničke zahtjeve i bile najjeftinije u smislu troškova. Ili zadaci o ishrani, kada je to potrebno određene supstance i sadržaj ovih supstanci u raznim proizvodima. Prehranu je potrebno sastaviti na način da se zadovolje potrebe za potrebnim supstancama, a da bi istovremeno prehrambena korpa imala minimalan trošak pri datim cijenama hrane.
Gotovo slični zadaci postavljeni su, na primjer, na bilo kojoj stočnoj farmi i imaju vrlo veliki spektar aplikacije.
Razmotrimo primjer. Za tov pilića na farmi peradi, njihova prehrana mora uključivati ​​najmanje 33 jedinice tvari ALI, 23 hranljive jedinice AT, 12 kom OD. Za tov se koriste tri vrste hrane. Podaci o sadržaju hranljivih materija u svakoj vrsti hrane dati su u tabeli. Poznata je i cijena hrane. Potrebno je napraviti najjeftiniju ishranu (tabela 3.3).

Tabela 3.3

Proizvodi za hranu	Supstance			Cijena 1 jedinice. stern
	ALI	AT	OD
I	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Da biste razumjeli problem, možete zamisliti te supstance ALI, AT, OD- to su masti, proteini, ugljikohidrati, a proizvodi I, II, III su ono čime se pilići hrane, na primjer, prosom, krmnom smjesom, vitaminskim dodacima. Tada je u prvom redu tabele prikazan sadržaj u jednoj jedinici prosa: 4 jedinice. proteina, 3 jedinice. masti, jedna jedinica ugljikohidrati. Druga linija - sadržaj proteina, masti, ugljikohidrata u 1 jedinici. II proizvod itd.
Ako je formulacija problema jasna, prelazimo na konstrukciju matematičkog modela.
Kao odgovor na zadatak, moramo ponuditi dijetu, odnosno naznačiti koliko i kakvu hranu uzimati da bi potreban iznos nutrijenti su ispunjeni, a istovremeno je koštao što je moguće manje.
Dakle, označimo x 1 količina hrane tipa I u ishrani, per x 2 - količina hrane tipa II i, shodno tome, x 3 - količina hrane III u ishrani. Zatim supstance ALI kada jedu ovu dijetu, pilići će dobiti 4 x 1 - prilikom konzumiranja proizvoda tipa I, 3 x 2 - prilikom konzumiranja proizvoda II, 2 x 3 - kada se konzumira III. Total Supstance ALI prema stanju problema potrebno je koristiti najmanje 33 jedinice, dakle 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Slično raspravljati i sa supstancama AT i OD, imamo:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 i x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Tako dobijamo sistem ograničenja:
(3.7)
Varijable su nenegativne u smislu problema. U ovom slučaju, trošak dijete je izražen funkcijom:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → min, (3.8)
jer 20, 20, 10 - cijena jedne jedinice. proizvodi I, II, III vrste odnosno, a njihova prehrana sadrži x 1 , x 2 , x 3 jedinice.
Sistem ograničenja (3.7) zajedno sa ciljnom funkcijom (3.8) čine matematički model originalni problem. Rešiti to znači pronaći x 1 , x 2 , x 3 zadovoljavajući sistem ograničenja i invertujući vrijednost funkcije F na minimum.

Raspored tipova brodova duž linija

Izraditi takav plan za postavljanje dva tipa brodova duž tri linije, koji bi obezbijedio maksimalnu ukupnu nosivost flote, ali ne manji od obima saobraćaja koji je naveden na linijama.

Tip plovila	Produktivnost plovila, milion tona milja dnevno			Period rada, dani
	1. red	2. red	3rd line
1	str 11	str 12	str 13	s 1
2	p21	p22	str 23	s2
Ciljani obim transporta, milion tona-milja	V 1	V 2	V 3

Ekonomsko-matematički model problema.
Ograničenja u periodu rada:
x 1 /p 11 + x 2 /p 12 + x 3 /p 13 ≤ s 1
x 4 /p 21 + x 5 /p 22 + x 6 /p 23 ≤ s 2

Ograničenja isporuke:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

ciljna funkcija
p 11 x 1 +p 12 x 2 +p 13 x 3 +p 21 x 4 +p 22 x 5 +p 23 x 6 → max

Pitanja za samokontrolu
1. Iskaz transportnog problema. opisati konstrukciju matematičkog modela.
2. Šta je uravnotežen i neuravnotežen transportni problem?
3. Šta se računa u funkciji cilja transportnog zadatka?
4. Šta odražava svaka nejednakost sistema ograničenja planskog problema?
5. Šta odražava svaka nejednakost sistema ograničenja problema mješavine?
6. Šta znače varijable u problemu plana i problemu mješavine?