Tabela lokacija izlagača. Značenje broja e

U istom članku ćemo razgovarati o tome šta je tačno eksponent u Excelu i, što je najvažnije, za šta može biti koristan u običan život ili u poslu.

U studentskim godinama često sam čuo fraze poput: "Zašto uopće učimo 'ovo', u životu nam 'ovo' nikada neće trebati." Jedno takvo 'ovo' često je bio eksponent ili, na primjer, . Imao sam slabu višu matematiku na prvom školovanju, što mi je žao. A sada moram da uhvatim korak sa temama koje sam ranije propustio. Dijelim svoje znanje.

Znamo da je naš svijet opisan egzaktne nauke— tj. skup pravila i zakona koji manje-više precizno opisuju ono što se dešava. Za to, u većini slučajeva, pomažu funkcije / formule. U prirodi su eksponencijalne pojave prilično česte (opisane eksponencijalom) formulom s brojem e, i y \u003d e na stepen x će već biti eksponencijalna funkcija:

Broj e- ovo je tzv. Eulerov broj približno jednak 2,72. Važno je napomenuti da je derivacija ove funkcije jednaka samoj funkciji exp(x)` = exp(x).

Šta je to i šta to znači za nas?

Najbolje od svega, djelovanje eksponenta je prikazano na grafikonima u nastavku:

Dvije funkcije: y=2 u x i y= e na stepen x, gdje je x = vrijeme, na primjer. Možemo vidjeti da se stopa rasta eksponencijalnog dijagrama brže povećava. I sve zašto? Budući da je derivacija (stopa rasta ili smanjenja) funkcije jednaka samoj funkciji, tj. stopa rasta funkcije jednaka je vrijednosti funkcije.

Grubo govoreći, u prirodi je to zaista uobičajeno - što se ćelije više dijele, brže postaju više. Što više novca imate u banci, oni donose veći profit. Na primjer:

Uložili ste 1.000 rubalja. u banku, godinu dana kasnije doneli su svojih 100 rubalja. kamata, godinu dana kasnije 2 zaposlenika već rade za vas 1.000 rubalja. i 100 rubalja. i tako sve dok ne uzmete novac ili ne dođe do bankarske krize.

Inače, populacija na planeti Zemlji takođe raste eksponencijalno;)

Pareto princip i eksponent

Jeste li čuli za ovaj princip? Mislim da da. "20% napora donosi 80% rezultata." To je on. najbolja definicija da zapamtim, mislim:

20% pivopija konzumira 80% ukupnog piva

Izgrađen na Pareto principu ABC analiza dionice, na primjer.

Ovaj Pareto princip je još jedan primjer eksponencijala.

Inače, veoma pošten zakon pravi zivot, potvrđujem svojim iskustvom.Jednom na svom prvom projektu primijetio sam da u oko 20% vremena kreirate 80% proizvoda (kvantitativno), onda radite na kvalitetu. One. još 80% vremena završite, tražite greške, prilagodite. Čak sam čuo da ljudi kažu "razvoj u fazi izlagača" - tj. u procesu približavanja idealu.

Kod ovakvog „završetka“ projekta važno je stati na vrijeme, jer proizvod nikada neće biti savršen. Stoga unaprijed odlučite kakav kvalitet želite na kraju dobiti. Ako to ne učinite sami, obavezno prikupite zahtjeve od kupca. Princip izgleda otprilike ovako:

Eksponent (broj e) - iracionalan broj, približno jednako 2,71828. Broj e igra veliku ulogu u diferencijalu i integralni račun i koristi se u skoro svim naučne oblasti. Tako suvo matematička definicija ne otkriva suštinu fizičkog čula izlagači. Razmotrimo detaljnije.

Značenje broja e

Broj Pi nije samo iracionalan broj jednak 3,1415, već omjer obima i prečnika koji je isti za sve slučajeve. Slično tome, broj e ima svoje značenje.

Eksponent je osnovni omjer rasta za sve procese rasta. Bilo koji broj se može smatrati skaliranom jedinicom, svaki kvadrat kao skalirani jedinični kvadrat, bilo koji jednakostranični trougao- kao uvećani ili smanjeni pravougaonog trougla, ali bilo koji faktor rasta može se predstaviti kao skalirani faktor e.

Operacije na broju e će vam dati mogućnost da odredite stopu rasta u situacijama kao što su rast stanovništva, kamata na depozit ili poluživot radioaktivne supstance.

Diskretni rast

Osnovni primjer kontinuiranog sistema udvostručavanja je umnožavanje bakterija koje se udvostručuje svaki dan. Ako se udvostručenje dogodi jednom, onda matematički dobijamo 2 na prvi stepen, odnosno samo 2. Ako se udvostruči x puta, onda na kraju dobijemo 2 na x potenciju bakterija, novca ili bilo kojeg drugog dobra.

Međutim, sistem se možda neće promijeniti za 2 puta, već na primjer za 20% ili 120%. U ovom slučaju, udvostručenje možemo predstaviti ne kao dvojku, već kao 1 + 1 ili 1 + 100%. U takvom zapisu možemo zamijeniti bilo koji faktor rasta i dobiti formulu rasta kao:

Rast \u003d (1 + rast) x,

gdje je x broj ciklusa rasta.

Zahvaljujući ovoj formuli možemo saznati koliko ćemo bakterija dobiti iz jedne ćelije nakon 30 dana. Međutim, bakterije se dijele diskretno, odnosno dok se nova stanica ne formira u roku od jednog dana, neće moći proizvesti nove organizme. Primjenjujući ovu formulu na novac, dobivamo potpuno drugačiji rezultat.

Kontinuirani rast

Prilikom obračuna kamate na novac ne postoji diskretno, ali kontinuirani rast. Čim se na depozitu nakupi dobit u iznosu od nekoliko penija, ovaj novac počinje donositi vlastiti profit. Nema potrebe čekati da se "rodi" cijeli dolar koji se počne dijeliti poput bakterija. Dovoljno je formirati cent, koji će početi stvarati svoje mikroprofite.

Zamislimo da smo uložili 1 dolar u posao koji nam obećava 100% profita za godinu dana. To znači da ćemo dobiti povećanje:

Prihod = (1 + 1) 1 = 2

Samo 2$ - rijetko. Međutim, ako godinu podijelimo na dvije polugodišta, onda dobijemo 50 centi za svako polugodište. Primljeni centi već mogu sami generirati profit, a onda će se formula promijeniti.

Prihod = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Pošto sada imamo dva perioda udvostručenja, kvadrirali smo povećanje i imamo dodatnih 25 centi prihoda. Ako svoj profit razbijemo na 5 dijelova od 20 centi, ispast će još privlačnije:

Prihod = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Možda možemo dijeliti dobit na neodređeno vrijeme veliki broj sitni dijelovi i dobiti beskonačan profit? Nažalost nema. Čak i ako podijelimo naš dolar na 100.000 dijelova, prihod je:

Prihod = (1 + 0,00001) 100,000 = 2,71826

Uz beskonačno dijeljenje dolara, profit će se povećati za sto hiljaditi dio nakon decimalnog zareza. Naš profit od 2,71826 dolara će težiti ka 2,718281828, što nije ništa drugo do broj E.

I šta sve to znači

Eksponent je najveći mogući rezultat 100% kontinuiranog rasta u određenom vremenskom periodu. Da, u početku nam je obećan 100% profita, odnosno samo 2$, ali svaki cent donosi svoje dividende i kao rezultat imamo tačno 2,71828$ profita. Broj e je maksimum koji možemo dobiti dijeljenjem dobiti na sume beskonačno malih vrijednosti.

To znači da ako, sa potencijalnim povratom od 100%, uložimo 1 USD u posao, dobićemo 2,718 USD neto dobiti. Ako je $2, onda ćemo dobiti 2x neto profit, a ako $100, onda će naš profit biti 100x. Dakle, e je granična konstanta koja ograničava procese rasta na isti način na koji brzina svjetlosti ograničava kretanje informacija u prostoru. Broj e je maksimalni mogući rezultat, koji je teško postići u praksi, stoga se u stvarnosti mnogi procesi opisuju pomoću dijelova eksponenta.

Korištenje eksponenta u praksi

Na prvi pogled, rast je prikazan kao dodatak od 1%, međutim, matematički, takav porast se izražava kao množenje sa 1,01. Dakle, u operacijama sa brojem e koristimo stepene ili korijene. Ili prirodni logaritmi, ako nam je potrebna inverzna operacija. Koju god stopu rasta da uzmemo, to će značiti potenciju za broj e. Na primjer, ako znamo da ćemo u roku od 3 godine ostvariti profit od 200%, onda jednostavno pomnožimo rast (e 2) sa 3 perioda i dobijemo :

Visina = (e 3) 2 \u003d e 6

Za bolje razumijevanje pogledajmo primjere.

Bankovni depozit

Recimo da smo deponovali 100$ u banku po godišnjoj stopi od 8%. Odabrana banka nam nudi punu kapitalizaciju kamate, koliku dobit ćemo dobiti za 5 godina? S obzirom da nam banka obezbjeđuje kontinuirani rast novca, za 5 godina naš račun će već imati:

Dobit = 100 × e (0,08 × 5) = 149,1

Neverovatno, zar ne? Nažalost, prave banke rijetko koriste složena kamata, a ako računaju kapitalizaciju, onda prema vlastitim formulama, koje se donekle razlikuju od klasičnog eksponenta.

Poluživot

Zamislite da imate 5 kg radioaktivnog uranijuma, koji se raspada stopom od 100% godišnje. Koliko će vam uranijuma ostati nakon 2 godine? U teoriji, sav uranijum bi trebao da se raspadne u prvoj godini, ali to nije tako. Nakon 6 mjeseci ostat će vam samo 2,5 kg uranijuma, koji će zauzvrat početi da se raspada brzinom od samo 2,5 kg godišnje. Za još par mjeseci, 1 kg uranijuma će ostati u vašem skladištu, ali će se i raspadati sa više sporija brzina na nivou od 1 kg godišnje. Vremenom gubite radioaktivno gorivo, a brzina raspada se takođe smanjuje. Dakle, nakon 2 godine ćete imati:

Radioaktivni ostatak = 5 × e −2 = 0,676

Zaključak

Eksponent ima široku upotrebu u situacijama kada nešto raste kontinuirano ili diskretno. Možete koristiti kalkulator eksponencijalnog e za izračunavanje rezultata rasta bilo kojeg kontinuiranog procesa.

Izračunajte vrijednosti matematičke funkcije. Unesite , čiji eksponent želite izračunati. Zatim samo kliknite na dugme izlagača. Na većini kalkulatora izgleda kao "exp" ili "e" sa malim "x" malo iznad i desno od "e". Rezultat će se odmah pojaviti na indikatoru kalkulatora (ne morate pritisnuti dugme “=”).

Za izračunavanje eksponenta na računaru koristite standardni Windows kalkulator. Da biste to učinili, pokrenite program "kalkulator" (kliknite na dugme "Start", zatim "Pokreni", upišite "calc" u prozor koji se pojavi i kliknite na "OK"). Ako na tastaturi virtuelnog kalkulatora nema tastera za izračunavanje matematičkih funkcija, pređite na inženjerski režim (odaberite stavku menija "Prikaz", a zatim pokažite na "Inženjering").

Sada upišite broj čiji eksponent želite izračunati. Zatim označite polje "Inv" i kliknite na dugme za izračunavanje "ln". Imajte na umu da se nakon izračuna u polju "Inv" automatski resetuje i mora se ponovo postaviti. Nemojte koristiti dugme označeno sa "exp" za izračunavanje eksponenta! U Windows kalkulatoru, ovo dugme se koristi za sasvim drugu svrhu.

Postoje tri vrste inženjerskih slova: obrnuto poliranje, aritmetička i formula. Postoje i kalkulatori koji podržavaju prebacivanje metoda za unos izraza. Upotreba svakog od njih ima svoje karakteristike.

Uputstvo

Odredite koji način unosa je vaš . Ako nema tipku jednako, ali ima tipku sa strelicom nagore, ispred sebe imate pisaću mašinu za poliranje. Prisustvo ključa sa znakom jednakosti ukazuje da instrument koristi metod unosa. Konačno, ako indikator kalkulatora, pored poznavanja segmenta, ima i matrične, tada je uređaj dizajniran za formulaičnu notaciju. AT poslednji slučaj, umjesto znaka jednakosti na odgovarajućem ključu, može se primijeniti "EXE" ili "Enter".

Za izračunavanje za kalkulator sa obrnutom poljskom notacijom, prvo morate odrediti redoslijed radnji. Ovo se radi u skladu sa opšteprihvaćenim matematičkim pravilima.Izvršite akcije sa dva operanda na sledeći način. Unesite prvi operand. Pritisnite dugme sa strelicom nagore da ga pomerite za jedan registar gore u steku. Unesite drugi operand i tek onda pritisnite akcijski taster matematike. Rezultat proračuna će biti prikazan na indikatoru.Da izvršite radnju sa jednim operandom, jednostavno ga unesite, a zatim kliknite na odgovarajuće dugme.

Na kalkulatoru sa aritmetičkom notacijom, izvršite operacije sa dva operanda na isti način kao na običnom kalkulatoru. Izvršite radnje sa jednim operandom na isti način kao na pisaćoj mašini sa obrnutom poljskom notacijom.Ako na tastaturi postoje tasteri sa zagradama, nema potrebe da određujete redosled izračunavanja. Međutim, ne biste trebali dozvoliti da se prekorači nivo ugniježđenja zagrada naveden u uputama. U nedostatku uputstava, to se može utvrditi empirijski pritiskom na tipku sa zagradom za otvaranje nekoliko puta i napomenom, nakon čega je došlo do greške prema broju pritisaka.

Izraz se unosi u kalkulator sa zapisom formule na isti način kao što je napisan na papiru. Ako je polje za unos u jednom redu, formule koje sadrže razlomke se pretvaraju u formule "jednog reda" pomoću zagrada i znaka dijeljenja. Ako je potrebno, uneseni izraz se može ispraviti pomoću vodoravnih tipki sa strelicama, kao i tipki "Insert", "Backspace" i "Delete" (mogu se razlikovati na različitim kalkulatorima). Zatim pritisnite tipku "EXE" ili "Enter" i rezultat. Ako je potrebno da se ovaj rezultat stavi u sljedeću formulu, koristite tipku "ANS".

U mnogim kalkulatorima neki od tastera mogu obavljati više od jedne funkcije. Jednostavan pritisak na tipku odgovara izvršenju operacije koja je naznačena direktno na njemu. Ostale operacije su naznačene pored dugmeta u jednoj ili drugoj boji. Da bi kalkulator izvršio takvu funkciju, prvo morate pritisnuti tipku registra koja ima istu boju (može se zvati "F", "2ndF", "S"), a zatim dugme pored koje se izvodi operacija koja vam je potrebna. je naznačeno.

Povezani video zapisi

Od generala logaritmi dva su istaknuta - ovo je logaritam na osnovu 10 (decimalno) i na bazu, jednak broj"e" - konstanta, koja se naziva "Eulerov broj". Ova konstanta je iracionalan broj, odnosno nema tačnu vrijednost, ali predstavlja beskonačni razlomak. Logaritam s takvom bazom naziva se prirodnim i mnogo se više koristi u integralnom i diferencijalnom računu nego decimalni logaritam.

Uputstvo

Koristite najviše -kalkulatore brz način obračun prirodnog

Funkcija Exp u Pascalu (i mnogim drugim programskim jezicima) izračunava eksponent. sintaksa:

funkcija Exp(X: ValReal) : ValReal;

Exp X funkcija izračunava i vraća eksponent broja X.

Izračunavanje eksponenta je izračunavanje broja e na stepen X. To jest,

Pogledajte video za detalje i pročitajte članak u nastavku.

Inverzna funkcija Ln

Ako se sećate, onda se setite i da ona računa prirodni logaritam.

Dakle, inverzna funkcija od Exp je funkcija Ln. Drugim riječima, inverzna funkcija eksponencijalna funkcija (eksponent) je prirodni logaritam. To je:

Loge(Y) = Ln(Y) = X

eX=Y=Exp(X)

e X = Exp(X) = Exp(Ln(Y)) = Y

Postoji još jedna korisna formula:

x Y = e Y ln(x) = Exp(Y * Ln(X))

Iz ovoga slijedi da pomoću funkcija Ln i Exp možemo podići bilo koji broj na bilo koji stepen. To možete učiniti, na primjer, ovako:

P:= Exp(Y * Ln(X))

Ako to opišete matematički jezik, tada će gornji izraz biti ekvivalentan sljedećem unosu:

Istina, moram reći da ovdje ima nijansi. Postoje posebni slučajevi u kojima će gornji izraz dati netačan rezultat. Na primjer, kada Y ili X negativni brojevi, ili kada su jednake nuli. Takve situacije treba dalje rješavati. Međutim, ovaj članak nije o eksponencijaciji, pa ćemo ove posebne slučajeve razmotriti u drugom članku.

Primjer izvornog koda gdje se koristi funkcija Exp:

program funcexp; koristi matematiku; var x, y: single; započeti y:=Exp(2); //y = Exp(2) = 7.39 WriteLn("Exp(2) = e * e = ", y:0:4); x:=Exp(3 * Ln(2)); //x = 2 na stepen od 3 WriteLn("2 ^ 3 = ", x:0:4); ReadLn; kraj.