Trigonometrija u građevinarstvu. Dodatne primjene trigonometrije u životu

align=centar>

Trigonometrija- mikrosekcija matematike u kojoj se proučavaju odnosi između vrijednosti uglova i dužina stranica trokuta, kao i algebarski identiteti trigonometrijskih funkcija.
Postoje mnoga područja u kojima se koriste trigonometrija i trigonometrijske funkcije. Trigonometrija ili trigonometrijske funkcije se koriste u astronomiji, pomorskoj i zračnoj navigaciji, akustici, optici, elektronici, arhitekturi i drugim poljima.

Istorija stvaranja trigonometrije

Istorija trigonometrije, kao nauke o odnosima između uglova i stranica trougla i drugih geometrijskih figura, obuhvata više od dva milenijuma. Većina ovih relacija ne može se izraziti običnim algebarskim operacijama, te je stoga bilo potrebno uvesti posebne trigonometrijske funkcije, u početku predstavljene u obliku numeričkih tablica.
Povjesničari vjeruju da su trigonometriju stvorili drevni astronomi, a nešto kasnije počela se koristiti u arhitekturi. S vremenom se opseg trigonometrije stalno širio, danas uključuje gotovo sve prirodne nauke, tehnologiju i niz drugih područja djelovanja.

Rani vijekovi

Poznato mjerenje uglova u stepenima, minutama i sekundama potiče iz vavilonske matematike (uvođenje ovih jedinica u starogrčku matematiku obično se pripisuje 2. vijeku prije nove ere).

Glavno dostignuće ovog perioda bio je odnos između kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu, koji je kasnije postao poznat kao Pitagorina teorema.

Ancient Greece

U starogrčkoj geometriji pojavio se opći i logički koherentan prikaz trigonometrijskih odnosa. Grčki matematičari još nisu identifikovali trigonometriju kao zasebnu nauku; za njih je ona bila deo astronomije.
Glavno dostignuće antičke trigonometrijske teorije bilo je rješenje u općem obliku problema "rješavanja trougla", odnosno pronalaženja nepoznatih elemenata trougla na osnovu njegova tri data elementa (od kojih je barem jedan stranica).
Primijenjeni trigonometrijski problemi su vrlo raznoliki - na primjer, mogu se specificirati praktično mjerljivi rezultati djelovanja na navedene veličine (na primjer, zbir uglova ili omjer dužina stranica).
Paralelno sa razvojem ravne trigonometrije, Grci su pod uticajem astronomije uveliko napredovali u sfernoj trigonometriji. U Euklidovim Elementima postoji samo teorema na ovu temu o odnosu zapremina sfera različitih prečnika, ali su potrebe astronomije i kartografije uslovile brzi razvoj sferne trigonometrije i srodnih oblasti - nebeskih koordinatnih sistema, teorije kartografskih projekcija. i tehnologiju astronomskih instrumenata.

Srednje godine

Prvi specijalizovani traktat o trigonometriji bio je rad srednjoazijskog naučnika (X-XI vek) "Knjiga ključeva nauke o astronomiji" (995-996). Cijeli kurs trigonometrije sadržavao je glavno Al-Birunijevo djelo - "Kanon Mas'uda" (Knjiga III). Pored tabela sinusa (u koracima od 15"), Al-Biruni je dao tablice tangenta (u koracima od 1°).

Nakon što su arapski traktati prevedeni na latinski u 12.-13. vijeku, mnoge ideje indijskih i perzijskih matematičara postale su vlasništvo evropske nauke. Očigledno, prvo upoznavanje Evropljana sa trigonometrijom dogodilo se zahvaljujući ziju, čija su dva prevoda napravljena u 12. veku.

Prvo evropsko djelo koje je u potpunosti posvećeno trigonometriji često se naziva "Četiri rasprave o direktnim i obrnutim akordima" engleskog astronoma Richarda od Wallingforda (oko 1320.). Trigonometrijske tablice, često prevedene s arapskog, ali ponekad i originalne, sadržane su u djelima niza drugih autora 14.-15. stoljeća. U isto vrijeme, trigonometrija je zauzela svoje mjesto među univerzitetskim predmetima.

Novo vrijeme

Razvoj trigonometrije u moderno doba postao je izuzetno važan ne samo za astronomiju i astrologiju, već i za druge primjene, prvenstveno artiljeriju, optiku i navigaciju tokom dugih morskih putovanja. Stoga su se nakon 16. vijeka mnogi istaknuti naučnici bavili ovom temom, uključujući Nikolaja Kopernika, Johanesa Keplera, Fransoa Vieta. Kopernik je posvetio dva poglavlja trigonometriji u svojoj raspravi O rotaciji nebeskih sfera (1543). Ubrzo (1551) su se pojavile 15-cifrene trigonometrijske tablice Retika, Kopernikovog učenika. Kepler je objavio Optički dio astronomije (1604.).

Viet je u prvom dijelu svog “Matematičkog kanona” (1579.) uključio različite tabele, uključujući i trigonometrijske, a u drugom dijelu je dao detaljan i sistematičan, iako bez dokaza, prikaz ravne i sferne trigonometrije. Godine 1593. Viet je pripremio prošireno izdanje ovog velikog djela.
Zahvaljujući radovima Albrechta Durera, sinusni talas je rođen.

XVIII vijek

Trigonometrija je dala moderan izgled. U svojoj raspravi "Uvod u analizu beskonačnosti" (1748), Ojler je dao definiciju trigonometrijskih funkcija ekvivalentnu savremenoj, i shodno tome definisao inverzne funkcije.

Ojler je smatrao da su negativni uglovi i uglovi veći od 360° prihvatljivi, što je omogućilo definisanje trigonometrijskih funkcija na celoj pravoj realnog broja, a zatim ih proširiti na kompleksnu ravan. Kada se postavilo pitanje o proširenju trigonometrijskih funkcija na tupe uglove, predznaci ovih funkcija prije Eulera često su birani pogrešno; mnogi matematičari su, na primjer, smatrali kosinus i tangens tupog ugla pozitivnima. Ojler je odredio ove predznake za uglove u različitim koordinatnim kvadrantima na osnovu redukcionih formula.
Euler nije proučavao opću teoriju trigonometrijskih redova i nije proučavao konvergenciju rezultirajućeg niza, ali je dobio nekoliko važnih rezultata. Konkretno, izveo je ekspanzije cjelobrojnih potencija sinusa i kosinusa.

Primjena trigonometrije

Na svoj način su u pravu oni koji kažu da trigonometrija nije potrebna u stvarnom životu. Pa, koji su njeni uobičajeni zadaci primjene? Izmjerite udaljenost između nepristupačnih objekata.
Od velikog značaja je tehnika triangulacije, koja omogućava merenje udaljenosti do obližnjih zvezda u astronomiji, između orijentira u geografiji i upravljanje satelitskim navigacionim sistemima. Također je vrijedna pažnje primjena trigonometrije u oblastima kao što su navigacijska tehnologija, teorija muzike, akustika, optika, analiza finansijskog tržišta, elektronika, teorija vjerovatnoće, statistika, biologija, medicina (uključujući ultrazvuk i kompjuterizovana tomografija), farmacija, hemija, teorija brojeva ( i kao posljedica toga kriptografija), seizmologija, meteorologija, oceanologija, kartografija, mnoge grane fizike, topografija i geodezija, arhitektura, fonetika, ekonomija, elektronika, mašinstvo, kompjuterska grafika, kristalografija itd.
zaključak: trigonometrija je veliki pomoćnik u našem svakodnevnom životu.

studija, čiji početak podsjeća na mali val, nakon čega se opaža sistolni porast. Mali talas obično ukazuje na kontrakciju atrija. Početak uspona poklapa se s početkom izbacivanja krvi u aortu. Na istoj traci možete vidjeti još jedan maksimalni vrh, koji signalizira zatvaranje polumjesečnih ventila. Oblik datog segmenta maksimalnog porasta može biti prilično raznolik, što dovodi do različitih rezultata ovog istraživanja. Nakon maksimalnog uspona slijedi spuštanje krivine, koje se nastavlja do samog kraja. Ovaj segment apikalnog kardiograma prati otvaranje mitralne valvule. Nakon toga dolazi do blagog porasta talasa. Označava brzo vrijeme punjenja. Cijeli preostali segment krivulje označava se kao vrijeme pasivnog ventrikularnog punjenja. Takav pregled desne komore može ukazivati na moguće patološke abnormalnosti.

Srednja škola MBOU Tselinnaya

Prijavite trigonometriju u stvarnom životu

Pripremljeno i sprovedeno

nastavnik matematike

kvalifikacionu kategoriju

Ilyina V. P.

Selo Tselinny, mart 2014

Sadržaj.

1. Uvod .

2. Istorija nastanka trigonometrije:

Rani vijekovi.

Ancient Greece.

Srednje godine.

Novo vrijeme.

Iz istorije razvoja sferne geometrije.

3. Trigonometrija i stvarni život:

Primjena trigonometrije u navigaciji.

Trigonometrija u algebri.

Trigonometrija u fizici.

Trigonometrija u medicini i biologiji.

Trigonometrija u muzici.

Trigonometrija u informatici

Trigonometrija u građevinarstvu i geodeziji.

4. Zaključak .

5. Spisak referenci.

Uvod

U matematici je odavno uvriježena praksa da se mi studenti prilikom sistematskog proučavanja matematike tri puta susrećemo sa trigonometrijom. Shodno tome, čini se da se njegov sadržaj sastoji od tri dijela. Tokom treninga, ovi dijelovi su vremenski odvojeni jedan od drugog i nisu slični jedni drugima kako po značenju uloženom u objašnjenje osnovnih pojmova, tako i u aparaturu koji se razvija i u uslužnim funkcijama (aplikacijama).

Zaista, prvi put smo se susreli s trigonometrijskim materijalom u 8. razredu kada smo proučavali temu „Odnosi između stranica i uglova pravouglog trougla“. Tako smo naučili šta su sinus, kosinus i tangenta i naučili da rešavamo ravni trouglove.

Međutim, prošlo je neko vrijeme i u 9. razredu smo se ponovo vratili trigonometriji. Ali ova trigonometrija nije kao ono što je ranije proučavano. Njegovi odnosi se sada određuju pomoću kruga (jediničnog polukruga) umjesto pravokutnog trokuta. Iako su još uvijek definirani kao funkcije uglova, ovi uglovi su već proizvoljno veliki.

Prešavši u 10. razred, ponovo smo se susreli s trigonometrijom i vidjeli da je postala još složenija, uveden je koncept radijanske mjere ugla, a trigonometrijski identiteti, formulacija zadataka i tumačenje njihovih rješenja izgledali su drugačije. . Uvode se grafovi trigonometrijskih funkcija. Na kraju se pojavljuju trigonometrijske jednadžbe. I sav ovaj materijal pojavio se pred nama kao dio algebre, a ne kao geometrija. I jako smo se zainteresirali za proučavanje historije trigonometrije, njene primjene u svakodnevnom životu, jer korištenje historijskih podataka od strane nastavnika matematike nije obavezno prilikom izlaganja nastavnog materijala. Međutim, kako K. A. Malygin ističe, „... izleti u istorijsku prošlost oživljavaju lekciju, oslobađaju od mentalnog stresa, podižu interesovanje za materijal koji se proučava i doprinosi njegovoj čvrstoj asimilaciji.” Štaviše, građa o istoriji matematike je veoma opsežna i zanimljiva, budući da je razvoj matematike usko povezan sa rešavanjem gorućih problema koji su se javljali u svim periodima postojanja civilizacije.

Saznavši o istorijskim razlozima nastanka trigonometrije i proučavajući kako su plodovi rada velikih naučnika uticali na razvoj ove oblasti matematike i rešavanje konkretnih problema, mi, školarci, povećavamo interesovanje za predmet se proučava i videćemo njegov praktični značaj.

Cilj projekta - razvijanje interesovanja za izučavanje teme „Trigonometrija“ u okviru algebre i početak analize kroz prizmu primenjene vrednosti gradiva koje se proučava; proširenje grafičkih prikaza koji sadrže trigonometrijske funkcije; upotreba trigonometrije u naukama kao što su fizika, biologija itd.

Povezanost trigonometrije sa vanjskim svijetom, značaj trigonometrije u rješavanju mnogih praktičnih problema i grafičke mogućnosti trigonometrijskih funkcija omogućavaju „materijalizaciju“ znanja učenika. Ovo vam omogućava da bolje razumete vitalnu neophodnost znanja stečenog kroz proučavanje trigonometrije, i povećava interesovanje za proučavanje ove teme.

Ciljevi istraživanja:

1. Razmotrite istoriju nastanka i razvoja trigonometrije.

2. Na konkretnim primjerima pokazati praktične primjene trigonometrije u različitim znanostima.

3. Na konkretnim primjerima otkriti mogućnosti korištenja trigonometrijskih funkcija, koje omogućavaju pretvaranje „malo zanimljivih“ funkcija u funkcije čiji grafovi imaju vrlo originalan izgled.

“Jedna stvar ostaje jasna: svijet je strukturiran prijeteći i lijepo.”

N. Rubtsov

trigonometrija - ovo je grana matematike u kojoj se proučavaju odnosi između vrijednosti uglova i dužina stranica trokuta, kao i algebarski identiteti trigonometrijskih funkcija. Teško je zamisliti, ali se sa ovom naukom susrećemo ne samo na časovima matematike, već i u svakodnevnom životu. Možda nismo ni slutili, ali trigonometrija se nalazi u naukama kao što su fizika, biologija, igra važnu ulogu u medicini, a što je najzanimljivije, čak ni muzika i arhitektura ne mogu bez nje. Problemi sa praktičnim sadržajem imaju značajnu ulogu u razvoju vještina primjene teorijskih znanja stečenih na izučavanju matematike u praksi. Svakog studenta matematike zanima kako i gdje primjenjuje stečeno znanje. Ovaj rad daje odgovor na ovo pitanje.

Istorija stvaranja trigonometrije

Rani vijekovi

Poznato mjerenje uglova u stepenima, minutama i sekundama potiče iz vavilonske matematike (uvođenje ovih jedinica u starogrčku matematiku obično se pripisuje 2. vijeku prije nove ere).

Glavno dostignuće ovog perioda bio je odnos između kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu, koji je kasnije dobio ime.

Ancient Greece

Srednje godine

U 4. veku, nakon smrti antičke nauke, centar razvoja matematike se preselio u Indiju. Promijenili su neke koncepte trigonometrije, približivši ih modernim: na primjer, prvi su uveli kosinus u upotrebu.
Prvi specijalizovani traktat o trigonometriji bio je rad srednjoazijskog naučnika (X-XI vek) "Knjiga ključeva nauke o astronomiji" (995-996). Cijeli kurs trigonometrije sadržavao je glavno Al-Birunijevo djelo - "Kanon Mas'uda" (Knjiga III). Pored tabela sinusa (u koracima od 15"), Al-Biruni je dao tablice tangenta (u koracima od 1°).

Prvi evropski rad koji je u potpunosti posvećen trigonometriji engleski astronom (oko 1320.) često naziva "Četiri rasprave o ravnim i obrnutim akordima". Trigonometrijske tablice, često prevedene s arapskog, ali ponekad i originalne, sadržane su u djelima niza drugih autora 14.-15. stoljeća. U isto vrijeme, trigonometrija je zauzela svoje mjesto među univerzitetskim predmetima.

Novo vrijeme

Reč „trigonometrija“ prvi put se pojavljuje (1505) u naslovu knjige nemačkog teologa i matematičara Pitiscusa.Poreklo ove reči je grčko: trougao, mera. Drugim riječima, trigonometrija je nauka o mjerenju trouglova. Iako je ime nastalo relativno nedavno, mnogi pojmovi i činjenice koje se danas odnose na trigonometriju bile su poznate već prije dvije hiljade godina.

Koncept sinusa ima dugu istoriju. U stvari, različiti omjeri segmenata trougla i kruga (i, u suštini, trigonometrijskih funkcija) nalaze se već u 8. stoljeću. BC e u djelima velikih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimskom periodu ove odnose je već prilično sistematski proučavao Menelaj (Ӏ vek pne), iako nisu dobili poseban naziv. Moderni minus ugao, na primjer, proučavan je kao proizvod polutetive na koji počiva središnji ugao, ili kao tetiva udvojenog luka.

U narednom periodu matematiku su dugo najaktivnije razvijali indijski i arapski naučnici. U ɀV- Vvekovima Posebno se poseban termin pojavio u radovima o astronomiji velikog indijskog naučnika Aryabhata (476-oko 550), po kome je nazvan prvi indijski satelit Zemlje.

Kasnije je usvojeno kraće ime jiva. Arapski matematičari u ΙXV. riječ jiva (ili jiba) zamijenjena je arapskom riječju jaib (konveksnost). Prilikom prevođenja arapskih matematičkih tekstova naXΙΙV. ova riječ je zamijenjena latiničnim sinusom (sinus-savijanje, zakrivljenost)

Riječ kosinus je mnogo mlađa. Kosinus je skraćenica od latinskog izrazadopunasinus, tj. "dodatni sinus" (ili na drugi način "sinus dodatnog luka"; zapamtitecosa= grijeh(90°- a)).

Kada se bavimo trigonometrijskim funkcijama, idemo znatno dalje od zadatka “mjeranja trokuta”. Stoga je poznati matematičar F. Klein (1849-1925) predložio da se doktrina „trigonometrijskih“ funkcija drugačije nazove - gonometrija (ugao). Međutim, ovo ime se nije uhvatilo.

Tangente su nastale u vezi s rješavanjem problema određivanja dužine sjene. Tangenta (kao i kotangens, sekans i kosekans) se uvodi uXV. Arapski matematičar Abu-l-Wafa, koji je sastavio prve tabele za pronalaženje tangenta i kotangensa. Međutim, ova otkrića su dugo ostala nepoznata evropskim naučnicima, a tangente su ponovo otkrivene uXΙVV. prvo engleski naučnik T. Braverdin, a kasnije njemački matematičar i astronom Regiomontanus (1467). Naziv "tangenta" dolazi od latinskogtanger(dodir), pojavio se 1583Tangenteprevedeno kao "tangencijalno" (zapamtite: tangentna linija je tangenta na jediničnu kružnicu)

Moderne oznakearcsin I arctgpojavljuju se 1772. godine u radovima bečkog matematičara Scherfera i poznatog francuskog naučnika J.L. Lagrangea, iako ih je nešto ranije već razmatrao J. Bernoulli, koji je koristio drugačiji simbolizam. Ali ovi simboli su tek na kraju postali opšteprihvaćeniXVΙΙΙvekovima. Prefiks "luk" dolazi od latinskogarcusx, na primjer, je ugao (i moglo bi se reći luk), čiji je sinus jednakx.

Trigonometrija se dugo razvijala kao dio geometrije, tj. činjenice koje sada formulišemo u terminima trigonometrijskih funkcija formulisane su i dokazane korišćenjem geometrijskih koncepata i iskaza. Možda su najveći poticaji za razvoj trigonometrije nastali u vezi s rješavanjem astronomskih problema, koji su bili od velikog praktičnog interesa (na primjer, za rješavanje problema određivanja lokacije broda, predviđanja pomračenja itd.)

Astronome su zanimale veze između stranica i uglova sfernih trouglova sastavljenih od velikih krugova koji leže na sferi. I treba napomenuti da su se drevni matematičari uspješno nosili s problemima koji su bili znatno teži od problema rješavanja ravnih trouglova.

U svakom slučaju, u geometrijskom obliku, mnoge nama poznate trigonometrijske formule su otkrili i ponovo otkrili starogrčki, indijski i arapski matematičari (međutim, formule za razliku trigonometrijskih funkcija postale su poznate tek uXVΙӀ stoljeće - razvio ih je engleski matematičar Napier kako bi pojednostavio proračune sa trigonometrijskim funkcijama. A prvi crtež sinusnog vala pojavio se 1634.)

Sastavljanje prve tabele sinusa od strane C. Ptolomeja (dugo vremena se zvala tabela akorda) bilo je od fundamentalnog značaja: pojavilo se praktično sredstvo za rešavanje niza primenjenih problema, a prvenstveno problema astronomije.

Kada se bavimo gotovim tablicama ili koristimo kalkulator, često ne razmišljamo o tome da je postojalo vrijeme kada tablice još nisu bile izmišljene. Da bi se oni sastavili, bilo je potrebno izvršiti ne samo veliku količinu proračuna, već i smisliti način za sastavljanje tabela. Ptolomejeve tabele su tačne do pet decimalnih mesta uključujući.

Savremeni oblik trigonometrije dao je najveći matematičarXV2. vek L. Euler (1707-1783), Švajcarac po rođenju, koji je dugo godina radio u Rusiji i bio je član Sankt Peterburške akademije nauka. Ojler je prvi uveo dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo da razmatra funkcije proizvoljnog ugla i dobio formule redukcije. Sve je to mali delić onoga što je Ojler uspeo da uradi u matematici tokom svog dugog života: ostavio je preko 800 radova i dokazao mnoge teoreme koje su postale klasične, a odnose se na različite oblasti matematike. Ali ako pokušate da operišete sa trigonometrijskim funkcijama u geometrijskom obliku, to jest, kao što su radile mnoge generacije matematičara pre Eulera, moći ćete da cenite Ojlerove zasluge u sistematizaciji trigonometrije. Nakon Eulera, trigonometrija je dobila novi oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati formalnom primjenom trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji i jednostavniji.

Iz istorije razvoja sferne geometrije .

Opšte je poznato da je euklidska geometrija jedna od najstarijih nauka: već uIIIvek pne Pojavilo se Euklidovo klasično djelo Elementi. Ono što je manje poznato je da je sferna geometrija tek nešto mlađa. Njegovo prvo sistematsko izlaganje se odnosi naI- IIvekovima. U knjizi "Sfere", koju je napisao grčki matematičar Menelaj (Ic.), proučavana su svojstva sfernih trouglova; Posebno je dokazano da je zbir uglova sfernog trougla veći od 180 stepeni. Drugi grčki matematičar Klaudije Ptolomej (IIV.). U suštini, on je bio prvi koji je sastavio tabele trigonometrijskih funkcija i uveo stereografsku projekciju.

Kao i euklidska geometrija, sferna geometrija je nastala u rješavanju problema praktične prirode, a prvenstveno problema astronomije. Ovi zadaci bili su neophodni, na primjer, za putnike i moreplovce koji su plovili po zvijezdama. A budući da je u astronomskim promatranjima zgodno pretpostaviti da se Sunce i Mjesec i zvijezde kreću duž prikazane "nebeske sfere", prirodno je da je za proučavanje njihovog kretanja bilo potrebno znanje o geometriji sfere. Stoga nije slučajno što je Ptolomejevo najpoznatije djelo nosilo naslov "Velika matematička konstrukcija astronomije u 13 knjiga".

Najvažniji period u istoriji sferne trigonometrije povezan je sa aktivnostima naučnika na Bliskom istoku. Indijski naučnici su uspješno riješili probleme sferne trigonometrije. Međutim, oni nisu koristili metodu koju je opisao Ptolomej i zasnovan na Menelajevoj teoremi o potpunom četvorouglu. A u sfernoj trigonometriji koristili su projektivne metode koje su odgovarale metodama iz Ptolemejeve Analeme. Kao rezultat toga, dobili su skup specifičnih računskih pravila koja su omogućila rješavanje gotovo svakog problema u sfernoj astronomiji. Uz njihovu pomoć, ovaj zadatak se u konačnici sveo na međusobno poređenje sličnih ravnih pravokutnih trokuta. Prilikom rješavanja problema često se koristila teorija kvadratnih jednadžbi i metoda uzastopnih aproksimacija. Primjer astronomskog problema koji su indijski naučnici riješili uz pomoć pravila koje je razvio je problem koji se razmatra u djelu “Panga Siddhantika” od Varahamihire (V- VI). Sastoji se od pronalaženja nadmorske visine Sunca, ako su poznati geografska širina mjesta, deklinacija Sunca i njegov satni ugao. Kao rezultat rješavanja ovog problema, nakon niza konstrukcija, uspostavlja se relacija koja je ekvivalentna modernoj kosinus teoremi za sferni trokut. Međutim, ova relacija i još jedan ekvivalent teoremi sinusa nisu generalizirani kao pravila primjenjiva na bilo koji sferni trokut.

Među prvim istočnjačkim naučnicima koji su se okrenuli razmatranju Menelajeve teoreme treba navesti braću Banu Musu - Muhameda, Hasana i Ahmada, sinove Musse ibn Shakira, koji su radili u Bagdadu i studirali matematiku, astronomiju i mehaniku. Ali najranije sačuvano djelo o Menelajevoj teoremi je “Traktat o figuri sekanata” njihovog učenika Thabita ibn Qorre (836-901)

Rasprava Thabita ibn Qorre stigla je do nas u arapskom originalu. I to u latinskom prevoduXIIV. Ovaj prijevod Geranda iz Kremone (1114-1187) postao je široko rasprostranjen u srednjovjekovnoj Evropi.

Primijenjeni trigonometrijski problemi su vrlo raznoliki - na primjer, mogu se specificirati praktično mjerljivi rezultati djelovanja na navedene veličine (na primjer, zbir uglova ili omjer dužina stranica).

Paralelno sa razvojem ravne trigonometrije, Grci su pod uticajem astronomije uveliko napredovali u sfernoj trigonometriji. U Euklidovim Elementima postoji samo teorema na ovu temu o odnosu zapremina sfera različitih prečnika, ali su potrebe astronomije i kartografije uslovile brzi razvoj sferne trigonometrije i srodnih oblasti - nebeskih koordinatnih sistema, teorije kartografskih projekcija. i tehnologiju astronomskih instrumenata.

kursevi.

Trigonometrija i stvarni život

Trigonometrijske funkcije su našle primenu u matematičkoj analizi, fizici, informatici, geodeziji, medicini, muzici, geofizici i navigaciji.

Primjena trigonometrije u navigaciji

Navigacija (ova riječ dolazi iz latinskognavigatio- plovidba na brodu) jedna je od najstarijih nauka. Najjednostavniji navigacijski zadaci, poput određivanja najkraće rute i odabira smjera putovanja, suočili su se s prvim navigatorima. Trenutno te iste i druge probleme moraju rješavati ne samo mornari, već i piloti i astronauti. Pogledajmo neke navigacijske koncepte i zadatke detaljnije.

Zadatak. Poznate su geografske koordinate - geografska širina i dužina tačaka A i B na zemljinoj površini:, I, . Potrebno je pronaći najkraću udaljenost između tačaka A i B duž zemljine površine (pretpostavlja se da je poluprečnik Zemlje poznat:R= 6371 km)

Rješenje. Podsjetimo prvo da je geografska širina tačke M na zemljinoj površini vrijednost ugla kojeg formira poluprečnik OM, gdje je O centar Zemlje, sa ekvatorijalnom ravninom: ≤ , a geografska širina sjeverno od ekvator se smatra pozitivnim, a na jugu negativnim (slika 1)

Geografska dužina tačke M je vrednost diedralnog ugla između ravnina COM i SON, gde je C severni pol Zemlje, a H tačka koja odgovara opservatoriji Greenwich: ≤ (istočno od Griničkog meridijana, geografska dužina se smatra pozitivnom, na zapadu negativnom).

Kao što je već poznato, najkraća udaljenost između tačaka A i B na zemljinoj površini je dužina manjeg od lukova velikog kruga koji spaja A i B (takav luk se naziva ortodrom - u prijevodu s grčkog znači "ravno trčanje" ). Stoga se naš zadatak svodi na određivanje dužine stranice AB sfernog trougla ABC (C je sjeverni pol).

Koristeći standardnu notaciju za elemente trougla ABC i odgovarajući trougao OABC, iz uslova problema nalazimo: α = = - , β = (Sl. 2).

Ugao C također nije teško izraziti kroz koordinate tačaka A i B. Prema definiciji, ≤, dakle, ili ugao C =, ako je ≤, ili -, ako. Znajući = koristeći kosinus teorem: = + (-). Znajući i, prema tome, ugao, nalazimo traženu udaljenost: =.

Trigonometrija u navigaciji 2.

Za ucrtavanje kursa broda na kartu napravljenu u projekciji Gerharda Mercatora (1569), bilo je potrebno odrediti geografsku širinu. Prilikom plovidbe po Sredozemnom moru u smjerovima doXVIIV. geografska širina nije navedena. Edmond Gunther (1623) bio je prvi koji je koristio trigonometrijske proračune u navigaciji.

Trigonometrija pomaže izračunati uticaj vjetra na let aviona. Trokut brzine je trokut koji formira vektor brzine (V), vektor vjetra (W), vektor brzine tla (V P ). PU – ugao smjera, UL – ugao vjetra, KUV – ugao smjera vjetra.

Odnos između elemenata trokuta brzine navigacije ima oblik:

V P = V cos DC + W cos UV; grijeh DC = * grijeh UV, tg HC =

Navigacijski trokut brzina rješava se pomoću računskih uređaja, na navigacijskom ravnalu i približno u umu.

Trigonometrija u algebri.

Evo primjera rješavanja složene jednadžbe pomoću trigonometrijske zamjene.

S obzirom na jednačinu

Neka , dobijamo

;

gdje: ili

uzimajući u obzir ograničenja dobijamo:

Trigonometrija u fizici

Gdje god imamo posla s periodičnim procesima i oscilacijama – bilo da je riječ o akustici, optici ili zamahu klatna, imamo posla s trigonometrijskim funkcijama. Formule oscilovanja:

Gdje A– amplituda oscilovanja, - ugaona frekvencija oscilovanja, - početna faza oscilovanja

Faza oscilovanja.

Kada su predmeti uronjeni u vodu, oni ne mijenjaju ni oblik ni veličinu. Čitava tajna je optički efekat koji čini da naš vid drugačije percipira predmet. Najjednostavnije trigonometrijske formule i vrijednosti sinusa upadnog ugla i loma zraka omogućavaju izračunavanje konstantnog indeksa loma kada svjetlosni snop prelazi iz medija u medij. Na primjer, duga nastaje jer se sunčeva svjetlost lomi od kapljica vode suspendovanih u zraku prema zakonu refrakcije:

grijeh α /sin β = n 1 /n 2

gdje:

n 1 - indeks prelamanja prve sredine
n 2 - indeks prelamanja druge sredine

α -upadni ugao, β - ugao prelamanja svetlosti.

Prodiranje nabijenih čestica solarnog vjetra u gornju atmosferu planeta određeno je interakcijom magnetskog polja planete sa solarnim vjetrom.

Sila koja djeluje na nabijenu česticu koja se kreće u magnetskom polju naziva se Lorentzova sila. Proporcionalan je naboju čestice i vektorskom proizvodu polja i brzine čestice.

Kao praktičan primjer, razmotrite fizički problem koji se može riješiti pomoću trigonometrije.

Zadatak. Na nagnutoj ravni koja čini ugao od 24,5 sa horizontom O , postoji tijelo težine 90 kg. Pronađite silu kojom ovo tijelo pritiska nagnutu ravan (tj. koliki pritisak vrši tijelo na ovu ravan).

Rješenje:

Nakon što smo označili osi X i Y, počinjemo graditi projekcije sila na osi, prvo koristeći ovu formulu:

ma = N + mg , zatim pogledajte crtež,

X : ma = 0 + mg sin24.5 0

Y: 0 = N – mg cos24,5 0

N = mg cos 24,5 0

Zamijenimo masu i nađemo da je sila 819 N.

Odgovor: 819 N

Trigonometrija u medicini i biologiji

Jedan od fundamentalna svojstvaživa priroda je ciklična priroda većine procesa koji se u njoj odvijaju.

Biološki ritmovi, bioritmovi– to su manje-više redovite promjene u prirodi i intenzitetu bioloških procesa.

Osnovni zemaljski ritam– dnevnica.

Model bioritma može se izgraditi pomoću trigonometrijskih funkcija.

Da biste izgradili model bioritma, morate unijeti datum rođenja osobe, referentni datum (dan, mjesec, godina) i trajanje prognoze (broj dana).

Čak se i neka područja mozga nazivaju sinusi.

Zidove sinusa formira dura mater, obložena endotelom. Lumen sinusa zjapi, zalisci i mišićno tkivo, za razliku od drugih vena, su odsutni. U sinusnoj šupljini nalaze se fibrozne pregrade prekrivene endotelom. Iz sinusa krv teče u unutrašnje jugularne vene; osim toga, postoji veza između sinusa i vena vanjske površine lubanje kroz rezervne venske otvore.

Kretanje ribe u vodi odvija se prema zakonu sinusa ili kosinusa, ako fiksirate točku na repu, a zatim razmotrite putanju kretanja.

Kada pliva, tijelo ribe poprima oblik krivulje koja podsjeća na grafikon

funkcije y= tgx.

Trigonometrija u muzici

Slušamo muziku u formatump3.

Zvučni signal je talas, evo njegovog "grafa".

Kao što vidite, iako je vrlo složena, to je sinusoida koja se pokorava zakonima trigonometrije.

U proleće 2003. godine u Moskovskom umetničkom pozorištu održana je prezentacija albuma „Trigonometrija” grupe „Noćni snajperi”, solistkinje Diane Arbenine. Sadržaj albuma otkriva izvorno značenje riječi "trigonometrija" - mjerenje Zemlje.

Trigonometrija u informatici

Trigonometrijske funkcije se mogu koristiti za precizne proračune.

Koristeći trigonometrijske funkcije možete aproksimirati bilo koju

(u smislu "dobra") funkcija, proširujući je u Fourierov niz:

a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + a 3 cos 3x + b 3 greh 3x + ...

Odgovarajući odabir brojeva a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., Gotovo svaku funkciju u kompjuteru je moguće predstaviti u obliku takvog (beskonačnog) zbroja sa potrebnom tačnošću.

Trigonometrijske funkcije su korisne kada radite sa grafičkim informacijama. Potrebno je simulirati (kompjuterski opisati) rotaciju nekog objekta oko određene ose. Rotacija se dešava pod određenim uglom. Da biste odredili koordinate tačaka, morat ćete pomnožiti sa sinusima i kosinusima.

Justin Windell, programer i dizajner izGoogle Grafika Lab , objavio demo koji prikazuje primjere korištenja trigonometrijskih funkcija za kreiranje dinamičke animacije.

Trigonometrija u građevinarstvu i geodeziji

Duljine stranica i vrijednosti uglova proizvoljnog trokuta na ravnini međusobno su povezane određenim odnosima, od kojih se najvažniji nazivaju teoremi kosinusa i sinusa.

2ab

= =

U ovim formulama a,b, c- dužine stranica trougla ABC, koje leže suprotnim uglovima A, B, C. Ove formule nam omogućavaju da iz tri elementa trougla rekonstruišemo preostala tri elementa - dužine stranica i uglova. Koriste se u rješavanju praktičnih problema, na primjer u geodeziji.

Sva "klasična" geodezija je zasnovana na trigonometriji. Budući da su se, zapravo, od davnina geodeti bavili „rješavanjem“ trouglova.

Proces izgradnje objekata, puteva, mostova i drugih objekata počinje geodetskim i projektantskim radovima. Sva mjerenja na gradilištu se izvode korištenjem geodetskih instrumenata kao što su teodolit i trigonometrijski nivo. Trigonometrijskim nivelmanom utvrđuje se visinska razlika između nekoliko tačaka na zemljinoj površini.

Zaključak

Trigonometrija je oživjela potrebom za mjerenjem uglova, ali se vremenom razvila u nauku o trigonometrijskim funkcijama.

Trigonometrija je usko povezana sa fizikom i nalazi se u prirodi, muzici, arhitekturi, medicini i tehnologiji.

Trigonometrija se odražava u našim životima, a područja u kojima igra važnu ulogu će se širiti, pa je poznavanje njenih zakona neophodno svima.

Veza između matematike i vanjskog svijeta omogućava nam da „materijaliziramo“ znanje školaraca. To nam pomaže da bolje razumijemo vitalnu neophodnost znanja stečenog u školi.

Pod matematičkim problemom sa praktičnim sadržajem (problem primijenjene prirode) podrazumijevamo problem čija zaplet otkriva primjenu matematike u srodnim akademskim disciplinama, tehnologiji i svakodnevnom životu.

Priča o istorijskim razlozima nastanka trigonometrije, njenom razvoju i praktičnoj primeni kod nas školaraca podstiče interesovanje za predmet koji se izučava, oblikuje naš pogled na svet i unapređuje opštu kulturu.

Ovaj rad će biti koristan srednjoškolcima koji još nisu vidjeli ljepotu trigonometrije i nisu upoznati s područjima njene primjene u životu oko sebe.

Bibliografija:

Ostale sekcije

Riječ "trigonometrija" prvi put pronađen (1505) u naslovu knjige njemačkog teologa i matematičara Pitiscusa. Porijeklo ove riječi je grčko: xpiyrovov - trougao, tsetreso - mjera. Drugim riječima, trigonometrija je nauka o mjerenju trouglova. Iako je ime nastalo relativno nedavno, mnogi pojmovi i činjenice koje se danas odnose na trigonometriju bile su poznate već prije dvije hiljade godina.

Koncept ima dugu istorijusinus U stvari, različiti omjeri segmenata trougla i kruga (i, u suštini, trigonometrijskih funkcija) pronađeni su već u 3. stoljeću. BC e. u djelima velikih matematičara antičke Grčke - Euklida, Arhimeda, Apolonija iz Perge. U rimskom periodu ove odnose je već prilično sistematski proučavao Menelaj (1. vek nove ere), iako nisu dobili poseban naziv.

U narednom periodu matematiku su dugo najaktivnije razvijali indijski i arapski naučnici. U IV-V vijeku. Posebno se poseban termin pojavio u radovima o astronomiji velikog indijskog naučnika Aryabhata (476 - oko 550), po kome je nazvan prvi indijski satelit Zemlje. Segment je nazvao ardhajiva.

Kasnije je usvojeno kraće ime jiva. Arapski matematičari u 9. veku. riječ jiva (ili jiba) zamijenjena je arapskom riječju jaib (konveksnost). Prilikom prevođenja arapskih matematičkih tekstova u 12. stoljeću. ova riječ je zamijenjena latinicomsinus (sinus - krivina, zakrivljenost).

Riječ kosinus je mnogo mlađa.Kosinus je skraćenica od latinskog izraza komplementarni sinus, tj. "dodatni sinus" (ili inače "sinus dodatnog luka"; zapamtite cos a = sin (90° - a)).

Tangente nastao u vezi sa rješavanjem problema određivanja dužine sjene. Tangenta (kao i kotangens, sekans i kosekans) uvedena je u 10. veku. Arapski matematičar Abul-Wafa, koji je sastavio prve tabele za pronalaženje tangenta i kotangensa. Međutim, ova otkrića su dugo ostala nepoznata evropskim naučnicima, a tangente su ponovo otkrivene u 14. veku. prvo engleski naučnik T. Braverdin, a kasnije njemački matematičar i astronom Regiomontanus (1467).

Naziv "tangenta", izveden od latinskog tanger (dodirnuti), pojavio se 1583. Tangens je preveden kao "dodirivanje" (tangentna linija je tangenta na jediničnu kružnicu).

Moderne oznakearcsin i arctg pojavljuju se 1772. godine u radovima bečkog matematičara Scherfera i poznatog francuskog naučnika Lagrangea, iako ih je nešto ranije već razmatrao J. Bernoulli, koji je koristio drugačiji simbolizam. Ali ovi simboli postali su opšteprihvaćeni tek krajem 18. veka. Prefiks "luk" dolazi od latinskog arcus(luk, luk), što je sasvim u skladu sa značenjem pojma: arcsin x, na primjer, je ugao (i moglo bi se reći luk), čiji je sinus jednak x.

Dugo vremena se trigonometrija razvijala kao dio geometrije. Možda su najveći poticaji za razvoj trigonometrije nastali u vezi s rješavanjem astronomskih problema, koji su bili od velikog praktičnog interesa (na primjer, za rješavanje problema određivanja lokacije broda, predviđanja pomračenja itd.).

Astronome su zanimale veze između stranica i uglova sfernih trouglova sastavljenih od velikih krugova koji leže na sferi.

U svakom slučaju, u geometrijskom obliku, mnoge trigonometrijske formule su otkrili i ponovo otkrili starogrčki, indijski i arapski matematičari. (Istina, formule za razliku trigonometrijskih funkcija postale su poznate tek u 17. stoljeću - izveo ih je engleski matematičar Napier kako bi pojednostavio proračune sa trigonometrijskim funkcijama. A prvi crtež sinusnog vala pojavio se 1634. godine.)

Sastavljanje prve tabele sinusa od strane C. Ptolomeja (dugo vremena se zvala tabela akorda) bilo je od fundamentalnog značaja: pojavilo se praktično sredstvo za rešavanje niza primenjenih problema, a prvenstveno problema astronomije.

Savremeni oblik trigonometrije dao je najveći matematičar 18. vekaL . Euler(1707-1783), rođenjem Švajcarac, radio je dugi niz godina u Rusiji i bio je član Petrogradske akademije nauka. Ojler je prvi uveo dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, počeo da razmatra funkcije proizvoljnog ugla i dobio formule redukcije. Sve je to mali dio onoga što je Euler uspio da uradi u matematici tokom svog dugog života: napisao je preko 800 radova i dokazao mnoge teoreme koje su postale klasične, a odnose se na različite oblasti matematike. (Uprkos činjenici da je Euler izgubio vid 1776. godine, nastavio je da diktira sve više i više djela do svojih posljednjih dana.)

Nakon Eulera, trigonometrija je dobila oblik računa: razne činjenice su se počele dokazivati kroz formalnu primjenu trigonometrijskih formula, dokazi su postali mnogo kompaktniji i jednostavniji.

Opseg trigonometrije pokriva različite oblasti matematike, neke dijelove prirodnih nauka i tehnologije.

Trigonometrija ima nekoliko varijanti:

Sferna trigonometrija se bavi proučavanjem sfernih trouglova.

Pravolinijska ili ravna trigonometrija obično proučava trouglove.

Starogrčki i helenistički naučnici značajno su razvili trigonometriju. Međutim, u djelima Euklida i Arhimeda, trigonometrija je predstavljena u geometrijskom obliku. Teoreme o dužini akorda primjenjuju se na zakone sinusa. A Arhimedov teorem za dijeljenje tetiva odgovara formulama za sinuse zbira i razlike uglova.

Trenutno, matematičari koriste novu notaciju poznatih teorema, na primjer, sin α/ sin β< α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, тем самым, компенсируют недостатки таблиц хорд, времен Аристарха Самосского.

Navodno su sastavljene prve trigonometrijske tablice Hiparh iz Nikeje, koji se s pravom smatra “ocem trigonometrije”. On je zaslužan za stvaranje zbirne tablice veličina lukova i tetiva za niz uglova. Štaviše, Hiparh iz Nikeje je prvi počeo da koristi krug od 360°.

Klaudije Ptolomej značajno je razvio i proširio Hiparhovo učenje. Ptolomejev teorem kaže: zbir proizvoda suprotnih strana cikličkog četverokuta jednak je proizvodu dijagonala. Posljedica Ptolemejeve teoreme bilo je razumijevanje ekvivalencije četiri formule zbira i razlike za sinus i kosinus. Osim toga, Ptolomej je izveo formulu za pola ugla. Ptolomej je koristio sve svoje rezultate u sastavljanju trigonometrijskih tablica. Nažalost, do danas nije sačuvana niti jedna autentična trigonometrijska tablica Hiparha i Ptolomeja.

Trigonometrijski proračuni su našli svoju primenu u gotovo svim oblastima geometrije, fizike i inženjerstva.
Koristeći trigonometriju (tehniku triangulacije), možete mjeriti udaljenosti između zvijezda, između orijentira u geografiji i kontrolirati satelitske navigacijske sisteme.

Trigonometrija se uspešno koristi u navigacionoj tehnici, muzičkoj teoriji, akustici, optici, u analizi finansijskih tržišta, elektronici, teoriji verovatnoće, statistici, biologiji i medicini, hemiji i teoriji brojeva (kriptografija), seizmologiji, meteorologiji, okeanologiji, kartografiji, topografiji i geodezija, arhitektura i fonetika, mašinstvo i kompjuterska grafika e.

Primjena trigonometrije u fizici i njeni problemi

Praktična primjena trigonometrijskih jednačina u stvarnom životu

Postoje mnoga područja u kojima se primjenjuje trigonometrija. Na primjer, metoda triangulacije se koristi u astronomiji za mjerenje udaljenosti do obližnjih zvijezda, u geografiji za mjerenje udaljenosti između objekata i u satelitskim navigacijskim sistemima. Sinus i kosinus su fundamentalni za teoriju periodičnih funkcija, na primjer u opisivanju zvučnih i svjetlosnih valova.

Trigonometrija se koristi u astronomiji (posebno za izračunavanje položaja nebeskih objekata kada je potrebna sferna trigonometrija), u pomorskoj i vazdušnoj navigaciji, u muzičkoj teoriji, u akustici, u optici, u analizi finansijskog tržišta, u elektronici, u teoriji verovatnoće, u statistika, u biologiji, medicinskom snimanju (npr. kompjuterizovana tomografija i ultrazvuk), farmaciji, hemiji, teoriji brojeva, meteorologiji, okeanografiji, mnogim fizičkim naukama, geodetskom premjeru, arhitekturi, fonetici, ekonomiji, elektrotehnici, mašinstvu, građevinarstvu, kompjuterska grafika, kartografija, kristalografija, razvoj igara i mnoge druge oblasti.

U svijetu oko nas moramo se suočiti s periodičnim procesima koji se ponavljaju u pravilnim intervalima. Ovi procesi se nazivaju oscilatornim. Oscilatorne pojave različite fizičke prirode podliježu općim zakonima i opisuju se istim jednačinama. Postoje različiti vrste oscilatornih pojava.

Harmonična oscilacija je pojava periodične promjene bilo koje veličine, u kojoj ovisnost o argumentu ima karakter sinusne ili kosinusne funkcije. Na primjer, količina harmonično oscilira i mijenja se tokom vremena na sljedeći način:

Gdje je x vrijednost promjenjive veličine, t je vrijeme, A je amplituda oscilacija, ω je ciklična frekvencija oscilacija, je puna faza oscilacija, r je početna faza oscilacija.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku x’’ + ω²x = 0.

Kamen je bačen na padinu planine pod uglom α prema njenoj površini. Odredite domet leta kamena ako je početna brzina kamena v 0, a ugao nagiba planine prema horizontu je β. Zanemarite otpor vazduha.

Rješenje. Složeno kretanje kamena duž parabole mora se predstaviti kao rezultat superpozicije dva pravolinijska kretanja: jednog duž površine Zemlje, drugog duž normale na nju.

Odaberimo pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački bacanja kamena tako da osi OX I OY poklopila sa naznačenim pravcima, te ćemo pronaći komponente vektora početne brzine v 0 i ubrzanja gravitacije g duž osi. Projekcije ovih komponenti na os OX I OY jednaki su redom:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ

Nakon toga, složeno kretanje se može smatrati kao dva jednostavnija: jednoliko sporo kretanje duž površine Zemlje sa ubrzanjem g sinβ i jednoliko promenljivo kretanje okomito na padinu planine sa ubrzanjem g cosβ.

Sastavljamo jednadžbe kretanja za svaki smjer, uzimajući u obzir činjenicu da se za vrijeme t cijelog kretanja kamena pomjera po normali na površinu (duž ose OY) ispostavilo se da je nula, a duž površine (duž ose OX) - jednako s:

U skladu sa uslovima zadatka, dati su nam v 0 , α i β, pa u sastavljenim jednačinama postoje dve nepoznate veličine s i t1.

Iz prve jednadžbe određujemo vrijeme leta kamena:

Zamijenivši ovaj izraz u drugu jednačinu, nalazimo:

S= v 0 cosα∙ =
=

Analizirajući rješenje navedenog problema, možemo zaključiti da matematika ima aparat i njeno korištenje u ostvarivanju interdisciplinarnih veza između fizike i matematike dovodi do svijesti o jedinstvu svijeta i integraciji naučnih saznanja.

Matematika djeluje kao vrsta jezika neophodnog za kodiranje značajnih fizičkih informacija.

Korišćenje međupredmetnih veza između fizike i matematike dovodi do poređenja ove dve nauke i omogućava jačanje kvalitetne teorijske i praktične obuke studenata.

Potreba za rješavanjem trouglova prvi put je otkrivena u astronomiji; stoga se dugo vremena razvijala i proučavala trigonometrija kao jedna od grana astronomije.

Tablice položaja Sunca i Mjeseca koje je sastavio Hiparh omogućile su da se unaprijed izračunaju trenuci početka pomračenja (sa greškom od 1-2 sata). Hiparh je prvi koristio metode sferne trigonometrije u astronomiji. Povećao je tačnost zapažanja koristeći ukrštene niti u goniometrijskim instrumentima - sekstantima i kvadrantima - da ukaže na svjetiljku. Naučnik je sastavio ogroman katalog položaja 850 zvijezda za to vrijeme, podijelivši ih po sjaju na 6 stepeni (zvjezdane magnitude). Hiparh je uveo geografske koordinate - geografsku širinu i dužinu, te se može smatrati osnivačem matematičke geografije. (oko 190. pne - oko 120. pne)