Sve vrijednosti grijeha. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Prije svega, da vas podsjetim na jednostavan, ali vrlo koristan zaključak iz lekcije "Šta su sinus i kosinus? Šta su tangenta i kotangens?"

Evo tog izlaza:

Sinus, kosinus, tangenta i kotangens su čvrsto povezani sa svojim uglovima. Znamo jedno, pa znamo nešto drugo.

Drugim riječima, svaki ugao ima svoj fiksni sinus i kosinus. I skoro svako ima svoju tangentu i kotangens. Zašto skoro? Više o tome u nastavku.

Ovo znanje će vam puno pomoći! Postoji mnogo zadataka u kojima morate ići od sinusa do uglova i obrnuto. Za ovo postoji tabela sinusa. Slično, za poslove sa kosinusom - kosinus tablica. I, pogađate, postoji tangentna tabela i kotangens table.)

Tablice su različite. Duge, gde se vidi čemu je, recimo, sin37°6' jednak. Otvaramo Bradisove tabele, tražimo ugao od trideset sedam stepeni šest minuta i vidimo vrednost od 0,6032. Naravno, pamćenje ovog broja (i hiljada drugih tabelarnih vrijednosti) apsolutno nije potrebno.

Zapravo, u naše vrijeme, duge tablice kosinusa, sinusa, tangenta i kotangensa zapravo nisu potrebne. Jedan dobar kalkulator ih u potpunosti zamjenjuje. Ali ne škodi saznanje o postojanju takvih tablica. Za opštu erudiciju.)

Zašto onda ova lekcija? - pitate.

Ali zašto. Među beskonačnim brojem uglova postoje poseban, o čemu bi trebalo da znate sve. Sva školska geometrija i trigonometrija izgrađena je na ovim uglovima. Ovo je svojevrsna "tabela množenja" trigonometrije. Ako ne znaš čemu je sin50°, na primjer, niko ti neće suditi.) Ali ako ne znaš čemu je jednako sin30°, spremi se da dobiješ zasluženu dvojku...

Takve poseban uglovi su takođe pristojno otkucani. Školski udžbenici se obično ljubazno nude za učenje napamet. tabela sinusa i tabela kosinusa za sedamnaest uglova. I naravno, tangentna tablica i kotangens tablica za istih sedamnaest uglova... To jest. predlaže se pamćenje 68 vrijednosti. Koje su, inače, vrlo slične jedna drugoj, ponavljaju se i mijenjaju znakove s vremena na vrijeme. Za osobu bez idealne vizuelne memorije - to je drugi zadatak...)

Ići ćemo drugim putem. Zamijenimo mehaničko pamćenje logikom i genijalnošću. Zatim moramo zapamtiti 3 (tri!) vrijednosti za tablicu sinusa i tablicu kosinusa. I 3 (tri!) vrijednosti za tablicu tangenta i tablicu kotangensa. I to je to. Šest vrijednosti je lakše zapamtiti nego 68, mislim...)

Ostalo tražene vrijednosti izvući ćemo se iz ovih šest uz moćnu pravnu varalicu - trigonometrijski krug. Ako niste proučavali ovu temu, idite na link, ne budite lijeni. Ovaj krug nije samo za ovu lekciju. On je nezamjenjiv za svu trigonometriju odjednom. Nekorištenje takvog alata je jednostavno grijeh! Ne želite? To je tvoja stvar. zapamtiti tabela sinusa. kosinus tablica. Tangentna tablica. Kotangentna tablica. Svih 68 vrijednosti za različite uglove.)

Dakle, počnimo. Za početak, podijelimo sve ove posebne kutove u tri grupe.

Prva grupa uglova.

Razmotrite prvu grupu uglovi od sedamnaest poseban. To su 5 uglova: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Ovako izgleda tablica sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ove uglove:

Ugao x (u stepenima)	0	90	180	270	360
Ugao x (u radijanima)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	ne imenica	0	ne imenica	0
ctg x	ne imenica	0	ne imenica	0	ne imenica

Oni koji žele da pamte - zapamtite. Ali moram odmah reći da su sve te jedinice i nule jako zbrkane u mojoj glavi. Mnogo jače nego što želite.) Stoga uključujemo logiku i trigonometrijski krug.

Crtamo krug i na njemu označavamo ove iste uglove: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Ove uglove sam označio crvenim tačkama:

Odmah se vidi koja je posebnost ovih uglova. Da! Ovo su uglovi koji padaju tačno na koordinatnoj osi! Zapravo, zato se ljudi zbunjuju... Ali mi se nećemo zbuniti. Hajde da shvatimo kako pronaći trigonometrijske funkcije ovih uglova bez mnogo pamćenja.

Inače, pozicija ugla je 0 stepeni potpuno se poklapa sa uglom od 360 stepeni. To znači da su sinusi, kosinusi, tangenti ovih uglova potpuno isti. Označio sam ugao od 360 stepeni da završim krug.

Pretpostavimo da ste u teškom stresnom okruženju Jedinstvenog državnog ispita na neki način sumnjali... Šta jednako sinus 0 stepeni? Čini se kao nula... Šta ako je jedinica?! Mehanička memorija je takva stvar. U teškim uslovima, sumnje počinju da grizu...)

Mirno, samo mirno!) Reći ću ti praktična tehnika, koji će dati 100% tačan odgovor i potpuno otkloniti sve nedoumice.

Kao primjer, hajde da shvatimo kako jasno i pouzdano odrediti, recimo, sinus od 0 stepeni. I u isto vrijeme, kosinus 0. Upravo u tim vrijednostima, koliko je čudno, ljudi se često zbune.

Da biste to učinili, nacrtajte krug proizvoljno ugao X. U prvoj četvrtini, tako da nije bilo daleko od 0 stepeni. Zabilježite na osi sinus i kosinus ovog ugla X, sve je kinar. Volim ovo:

A sada - pažnja! Smanjite ugao X, dovedite pokretnu stranu na os OH. Zadržite pokazivač miša preko slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i pogledajte sve.

Sada uključite elementarnu logiku!. Gledajte i razmišljajte: Kako se sinx ponaša kada se ugao x smanji? Kako se ugao približava nuli? Smanjuje se! I cosx - povećava! Ostaje da shvatimo šta će se dogoditi sa sinusom kada se ugao potpuno sruši? Kada će se pokretna strana ugla (tačka A) spustiti na os OX i ugao će postati jednak nuli? Očigledno, sinus ugla će takođe ići na nulu. A kosinus će se povećati na ... do ... Kolika je dužina pokretne stranice ugla (poluprečnik trigonometrijskog kruga)? Jedinstvo!

Evo odgovora. Sinus od 0 stepeni je 0. Kosinus od 0 stepeni je 1. Apsolutno oklopljen i bez ikakve sumnje!) Jednostavno zato što inače to ne može biti.

Na potpuno isti način možete saznati (ili razjasniti) sinus od 270 stepeni, na primjer. Ili kosinus 180. Nacrtaj krug, proizvoljno ugao u četvrtini pored koordinatne ose koja nas zanima, mentalno pomerimo stranu ugla i uhvatimo šta će sinus i kosinus postati kada se strana ugla naslanja na osu. To je sve.

Kao što vidite, za ovu grupu uglova nije potrebno ništa pamtiti. nije potrebno ovdje tabela sinusa... Da i kosinus tablica- također.) Usput, nakon nekoliko primjena trigonometrijskog kruga, sve ove vrijednosti pamte se same. A ako se zaborave, nacrtao sam krug za 5 sekundi i razjasnio ga. Mnogo lakše nego pozvati prijatelja iz toaleta uz rizik potvrde, zar ne?)

Što se tiče tangente i kotangensa, sve je isto. Na kružnici nacrtamo liniju tangente (kotangente) - i sve je odmah vidljivo. Gdje su jednake nuli, a gdje ne postoje. Šta, zar ne znaš za prave tangente i kotangensa? Ovo je tužno, ali popravljivo.) Posjetio Odjeljak 555 Tangenta i kotangens na trigonometrijski krug - i nema problema!

Ako razumijete kako jasno definirati sinus, kosinus, tangentu i kotangens za ovih pet uglova - čestitamo! Za svaki slučaj, obavještavam vas da sada možete definirati funkcije sve uglove koji padaju na osu. A ovo je 450°, i 540°, i 1800°, pa čak i beskonačan broj...) Prebrojao sam (tačno!) Ugao na krugu - i nema problema sa funkcijama.

Ali, samo sa brojanjem uglova dolazi do problema i grešaka... Kako ih izbeći piše u lekciji: Kako nacrtati (prebrojati) bilo koji ugao na trigonometrijskom krugu u stepenima. Elementarno, ali od velike pomoći u borbi protiv grešaka.)

I evo lekcije: Kako nacrtati (izbrojati) bilo koji ugao na trigonometrijskom krugu u radijanima - bit će naglo. U smislu mogućnosti. Recimo, odredimo na koju od četiri poluosi ugao pada

možete za par sekundi. Ne šalim se! Samo za par sekundi. Pa, naravno, ne samo 345 "pi" ...) I 121, i 16, i -1345. Bilo koji cjelobrojni koeficijent je dobar za trenutni odgovor.

Šta ako ugao

Razmisli! Tačan odgovor se dobija za 10 sekundi frakciona vrijednost radijana sa nazivnikom dva.

Zapravo, ovo je dobro trigonometrijski krug. Činjenica da sposobnost rada sa neki uglovima do kojih se automatski širi beskonačan skup uglovi.

Dakle, sa pet uglova od sedamnaest - shvatio sam.

Druga grupa uglova.

Sledeća grupa uglovi su 30°, 45° i 60°. Zašto ove, a ne npr. 20, 50 i 80? Da, nekako se dogodilo ovako... Istorijski.) Dalje će se vidjeti koliko su ti uglovi dobri.

Tablica sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa za ove uglove izgleda ovako:

Ugao x (u stepenima)	0	30	45	60	90
Ugao x (u radijanima)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		ne imenica
ctg x	ne imenica		1		0

Ostavio sam vrijednosti za 0° i 90° iz prethodne tabele radi potpunosti.) Da bi bilo jasno da ovi uglovi leže u prvoj četvrtini i rastu. Od 0 do 90. Ovo će nam biti korisno dalje.

Tabelarne vrijednosti za uglove 30°, 45° i 60° moraju se zapamtiti. Ogrebi ako želiš. Ali i ovdje postoji prilika da sebi olakšate život.) Obratite pažnju vrijednosti tabele sinusa ovi uglovi. I uporedi sa vrijednosti tabele kosinusa...

Da! Oni su isto! Nalazi se samo u obrnutim redosledom. Uglovi se povećavaju (0, 30, 45, 60, 90) - i vrijednosti sinusa povećati od 0 do 1. Možete provjeriti pomoću kalkulatora. I kosinusne vrijednosti - smanjiti od 1 do nule. Štaviše, same vrijednosti isto. Za uglove od 20, 50, 80 ovo se ne bi desilo...

Otuda koristan zaključak. Dovoljno za učenje tri vrijednosti za uglove 30, 45, 60 stepeni. I zapamtite da se povećavaju u sinusu, a smanjuju u kosinusu. Prema sinusu.) Na pola puta (45°) se sastaju, tj. sinus od 45 stepeni jednak je kosinsu od 45 stepeni. A onda se opet razilaze... Tri značenja se mogu naučiti, zar ne?

Kod tangenta - kotangensa, slika je isključivo ista. Jedan na jedan. Samo su vrijednosti različite. Ove vrijednosti (još tri!) također treba naučiti.

Pa, gotovo svo pamćenje je gotovo. Shvatili ste (nadamo se) kako odrediti vrijednosti za pet uglova koji padaju na osu i naučili ste vrijednosti za uglove od 30, 45, 60 stepeni. Ukupno 8.

Ostaje da se pozabavimo posljednjom grupom od 9 kornera.

Ovo su uglovi:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Za ove uglove morate znati željeznu tablicu sinusa, tablicu kosinusa itd.

Noćna mora, zar ne?)

A ako ovdje dodate uglove, na primjer: 405 °, 600 ° ili 3000 ° i mnogo, mnogo istih lijepih?)

Ili uglovi u radijanima? Na primjer, o uglovima:

i još mnogo toga što biste trebali znati sve.

Najsmješnije je znati sve - u principu nemoguće. Ako koristite mehaničku memoriju.

I vrlo je jednostavno, zapravo elementarno - ako koristite trigonometrijski krug. Ako se upoznate s trigonometrijskim krugom, svi ti grozni uglovi u stepenima mogu se lako i elegantno svesti na stare dobre:

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Da bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i da bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od samog početka i razumjeti pojam ugla.

Koncept ugla: radijan, stepen

Pogledajmo sliku. Vektor se "okrenuo" u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.

Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, jedinice ugla, naravno!

Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.

Ugao od (jedan stepen) se naziva centralni ugao u krug, zasnovan na kružnom luku jednakom dijelu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od "komada" kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.

Odnosno, gornja slika prikazuje ugao koji je jednak, odnosno ovaj ugao se zasniva na kružnom luku veličine obima.

Ugao u radijanima naziva se centralni ugao u krugu, zasnovan na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jeste li razumjeli? Ako ne, onda pogledajmo sliku.

Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao se zasniva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili poluprečniku jednaka dužini lukovi). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:

Gdje je centralni ugao u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao opisan krugom? Da, za to morate zapamtiti formulu za obim kruga. Evo je:

Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i dobijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelirajući vrijednost u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.

Koliko je radijana? Tako je!

Jasno? Zatim pričvrstite naprijed:

Ima li poteškoća? Onda pogledaj odgovori:

Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla

Dakle, s konceptom ugla razrađen. Ali šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Za to će nam pomoći pravougli trokut.

Kako se zovu strane? pravougaonog trougla? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog ugla (u našem primjeru, ovo je stranica); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravi ugao), štaviše, ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: koliki su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?

Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

u našem trouglu.

Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.

u našem trouglu.

Ugaona tangenta- ovo je omjer suprotne (daleke) noge prema susjednoj (bliskoj).

u našem trouglu.

Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).

u našem trouglu.

Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti s čime, morate to jasno razumjeti tangenta i kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susedni;

Kotangens→dodir→dodir→susedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens kao omjer stranica trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod jednim kutom). Ne vjerujete? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.

Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.

Jedinični (trigonometrijski) krug

Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove single. Veoma je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga ćemo se na tome zadržati malo detaljnije.

Kao što vidite, ovaj krug je ugrađen Kartezijanski sistem koordinate. Radijus kruga jednako jedan, dok centar kružnice leži na početku, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru, ovo je radijus).

Svaka tačka kružnice odgovara dva broja: koordinata duž ose i koordinata duž ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da biste to učinili, zapamtite razmatrani pravokutni trokut. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.

Čemu je jednako iz trougla? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, i stoga, . Zamijenite ovu vrijednost u našu kosinus formulu. Evo šta se dešava:

A koliko je jednako iz trougla? Pa, naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate tačke koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? A ako to shvatite i to su samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! Kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinira! Dakle, poenta.

I šta su onda jednaki i? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.

Šta ako je ugao veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Šta se promenilo u ovaj primjer? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, ponovo se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao: ugao (kao susedan uglu). Kolika je vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla? Tako je, pridržavamo se relevantnih definicija trigonometrijske funkcije:

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi su primjenjivi na bilo koje rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor za ili za? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jednu potpunu revoluciju i zaustaviti se na poziciji ili.

U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri potpuna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju za ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu i tako dalje. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)

Sada, poznavanje definicija osnovnih trigonometrijskih funkcija i korištenje jedinični krug, pokušajte odgovoriti koliko su vrijednosti jednake:

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:

Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama ugla. Pa, počnimo redom: ugao u odgovara tački s koordinatama, dakle:

Ne postoji;

Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Ne postoji

Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:

Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:

Ne bojte se, sada ćemo pokazati jedan od primjera dosta pamćenje odgovarajuće vrijednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangenta kuta u. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:

Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Kotangentne vrijednosti se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti cijelu vrijednost iz tablice.

Koordinate tačke na kružnici

Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegovog polumjera i kuta rotacije?

Pa, naravno da možete! Hajde da iznesemo opšta formula da nađemo koordinate tačke.

Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dato nam je da je tačka centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.

Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:

Onda imamo to za tačku koordinatu.

Po istoj logici nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. Na ovaj način,

Dakle unutra opšti pogled koordinate tačaka određene su formulama:

Koordinate centra kruga,

polumjer kruga,

Ugao rotacije radijus vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, jer su koordinate centra nula, a polumjer jednak jedan:

Pa, hajde da probamo ove formule za ukus, vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?

1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene okretanjem tačke.

2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.

3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene okretanjem tačke.

4. Tačka - centar kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

5. Tačka - centar kruga. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.

Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?

Riješite ovih pet primjera (ili dobro razumite rješenje) i naučit ćete kako ih pronaći!

1.

To se vidi. A znamo šta odgovara potpunom preokretu početne tačke. Na ovaj način, željenu tačkuće biti u istoj poziciji kao i prilikom uključivanja. Znajući to, nalazimo željene koordinate tačke:

2. Krug je jedinica sa centrom u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Znamo šta odgovara dva puni okret polazna tačka. Tako će željena tačka biti u istoj poziciji kao i pri okretanju. Znajući to, nalazimo željene koordinate tačke:

Sinus i kosinus su tablične vrijednosti. Pamtimo njihove vrijednosti i dobijamo:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

3. Krug je jedinica sa centrom u tački, što znači da možemo koristiti pojednostavljene formule:

To se vidi. Opišimo razmatrani primjer na slici:

Radijus čini uglove sa osom jednakim i. Znajući da su tabelarne vrijednosti kosinusa i sinusa jednake, i utvrdivši da kosinus ovdje ima negativnu vrijednost, a sinus pozitivan, imamo:

Više slični primjeri razumjeti kada proučavate formule za redukciju trigonometrijskih funkcija u temi.

Dakle, željena tačka ima koordinate.

4.

Ugao rotacije vektora radijusa (prema uslovu)

Da bismo odredili odgovarajuće znakove sinusa i kosinusa, konstruiramo jediničnu kružnicu i kut:

Kao što vidite, vrijednost je, odnosno, pozitivna, a vrijednost, odnosno negativna. Poznavajući tablične vrijednosti odgovarajućih trigonometrijskih funkcija, dobijamo da:

Zamijenimo dobivene vrijednosti u našu formulu i pronađemo koordinate:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

5. Za rješavanje ovog problema koristimo formule u općem obliku gdje

Koordinate središta kruga (u našem primjeru,

Radijus kruga (prema uslovu)

Ugao rotacije radijus vektora (prema uslovu).

Zamijenite sve vrijednosti u formulu i dobijete:

i - tabelarne vrijednosti. Pamtimo ih i zamjenjujemo ih u formulu:

Dakle, željena tačka ima koordinate.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.

Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.

Tangent ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i susjednog (bliskog).

Kotangens ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i suprotnog (dalekog).

TABELA VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija sastavljena je za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 i 360 stepeni i njihove odgovarajuće uglove u radijanima. Od trigonometrijskih funkcija, tabela prikazuje sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Za praktičnost rješenja školski primjeri vrijednosti trigonometrijskih funkcija u tablici su zapisane kao razlomak uz očuvanje znakova vađenja kvadratnog korijena iz brojeva, što vrlo često pomaže u smanjenju složenih matematičkih izraza. Za tangentu i kotangens, vrijednosti nekih uglova se ne mogu odrediti. Za vrijednosti tangenta i kotangensa takvih uglova nalazi se crtica u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Općenito je prihvaćeno da su tangens i kotangens takvih uglova jednaki beskonačnosti. Na posebnoj stranici nalaze se formule za redukciju trigonometrijskih funkcija.

Tabela vrijednosti za trigonometrijsku funkciju sinus prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in stepen mjere, što odgovara sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. školski sto sinusi.

Za trigonometrijsku kosinusnu funkciju, u tabeli su prikazane vrijednosti ​​​​za sljedeće uglove: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 u stepenu mjere, što odgovara cos 0 pi, cos pi do 6, cos pi sa 4, cos pi sa 3, cos pi sa 2, cos pi, cos 3 pi sa 2, cos 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Školska tablica kosinusa.

Trigonometrijska tablica za tangentu trigonometrijske funkcije daje vrijednosti za sljedeće uglove: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 u mjeri stepena, što odgovara tg pi 0 pi, t / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi u radijanskoj mjeri uglova. Slijedeće vrijednosti trigonometrijske funkcije tangente nisu definisane tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 i smatraju se jednakim beskonačnosti.

Za kotangens trigonometrijske funkcije u trigonometrijskoj tabeli date su vrijednosti sljedećih uglova: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 u stepenskoj mjeri, što odgovara ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 u radijanskoj mjeri uglova. Sljedeće vrijednosti trigonometrijskih kotangensnih funkcija nisu definirane ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi i smatraju se jednakima beskonačnosti.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija sekansa i kosekansa date su za iste uglove u stupnjevima i radijanima kao sinus, kosinus, tangent, kotangens.

Tabela vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih uglova prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove u stepenima 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 stepena i u radijanima pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radijana. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija izražene su kao razlomci i kvadratni korijeni kako bi se pojednostavila redukcija razlomaka u školskim primjerima.

Još tri čudovišta trigonometrije. Prvi je tangent od 1,5 stepeni i po, ili pi podijeljen sa 120. Drugi je kosinus od pi podijeljen sa 240, pi/240. Najduži je kosinus od pi podijeljen sa 17, pi/17.

Trigonometrijski krug vrijednosti funkcija sinusa i kosinusa vizualno predstavlja znakove sinusa i kosinusa ovisno o veličini kuta. Posebno za plavuše, kosinusne vrijednosti su podvučene zelenom crticom kako bi bile manje zbunjene. Pretvaranje stupnjeva u radijane je također vrlo jasno predstavljeno, kada se radijani izražavaju kroz pi.

Ova trigonometrijska tabela prikazuje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove od 0 nula do 90 devedeset stepeni u intervalima od jednog stepena. Za prvih četrdeset pet stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija moraju se pogledati na vrhu tabele. Prvi stupac sadrži stupnjeve, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa upisuju se u sljedeće četiri stupca.

Za uglove od četrdeset pet stepeni do devedeset stepeni, nazivi trigonometrijskih funkcija su napisani na dnu tabele. Posljednja kolona sadrži stupnjeve, vrijednosti kosinusa, sinusa, kotangensa i tangenta su upisane u prethodna četiri stupca. Treba biti oprezan, jer se nazivi trigonometrijskih funkcija u donjem dijelu trigonometrijske tablice razlikuju od naziva u gornjem dijelu tablice. Sinusi i kosinusi se zamjenjuju, baš kao tangenta i kotangens. To je zbog simetrije vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Znaci trigonometrijskih funkcija prikazani su na gornjoj slici. Sinus ima pozitivne vrijednosti od 0 do 180 stepeni ili od 0 do pi. Negativne vrijednosti sinus ima 180 do 360 stepeni, ili pi do 2 pi. Vrijednosti kosinusa su pozitivne od 0 do 90 i 270 do 360 stepeni, odnosno od 0 do 1/2 pi i 3/2 do 2 pi. Tangent i kotangens imaju pozitivne vrijednosti od 0 do 90 stepeni i od 180 do 270 stepeni, što odgovara vrijednostima od 0 do 1/2 pi i od pi do 3/2 pi. Negativna tangenta i kotangens su 90 do 180 stepeni i 270 do 360 stepeni, ili 1/2 pi do pi i 3/2 pi do 2 pi. Prilikom određivanja predznaka trigonometrijskih funkcija za uglove veće od 360 stepeni ili 2 pi, treba koristiti svojstva periodičnosti ovih funkcija.

Trigonometrijske funkcije sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije. Vrijednosti ovih funkcija za negativne kutove bit će negativne. Kosinus je parna trigonometrijska funkcija - vrijednost kosinusa za negativan ugaoće biti pozitivna. Prilikom množenja i dijeljenja trigonometrijskih funkcija morate slijediti pravila znakova.

1. Tabela vrijednosti za sinus trigonometrijske funkcije prikazuje vrijednosti za sljedeće uglove

   Dokument

   Zasebna stranica sadrži formule za izvođenje trigonometrijskifunkcije. AT stovrijednostizatrigonometrijskifunkcijesinusdatovrijednostizasljedećiuglovi: sin 0, sin 30, sin 45 ...

2. Predloženi matematički aparat je potpuni analog kompleksnog računa za n-dimenzionalne hiperkompleksne brojeve sa bilo kojim brojem stupnjeva slobode n i namijenjen je matematičkom modeliranju nelinearnih

   Dokument

   ... funkcije jednaki funkcije Slike. Iz ove teoreme trebalo bi, šta za pronalaženje koordinata U, V, dovoljno je izračunati funkcija... geometrija; polynar funkcije(multidimenzionalni analozi dvodimenzionalnog trigonometrijskifunkcije), njihova svojstva, stolovi i primjena; ...

3. U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

   Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

   Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... i sada se nastavljaju rasprave, kako bi se došlo do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa naučna zajednica jos nije uspeo... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Vikipedija," Zenonove Aporije "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

   Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava tačka u trenutku kada Ahil sustiže kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

   Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči sa konstantna brzina. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

   Kako izbjeći ovu logičnu zamku? ostani unutra konstantne jedinice mjerenja vremena i ne prelaze na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

   Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

   Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

   Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

   Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

   U ovoj aporiji logički paradoks savladava se vrlo jednostavno - dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela počiva na različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene različite tačke prostor u jednom trenutku, ali iz njih je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći). Na šta želim da se fokusiram Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

   Srijeda, 04.07.2018

   Vrlo dobro su razlike između skupa i multiseta opisane na Wikipediji. Gledamo.

   Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, na kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

   Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

   Bez obzira koliko se matematičari kriju iza fraze "pamet mi, ja sam u kući", odnosno "studi matematike apstraktni koncepti", postoji jedna pupčana vrpca koja je neraskidivo povezana sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primenljivo matematička teorija setove samim matematičarima.

   Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

   Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: postoji na različitim novčićima različit iznos blato, kristalna struktura a raspored atoma u svakom novčiću je jedinstven...

   A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

   Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom području polja. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

   Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Ja ću vam pokazati, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

   Nedjelja, 18.03.2018

   Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

   Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi jesu grafičkih simbola, uz pomoć kojih pišemo brojeve i na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

   Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

   1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

   2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

   3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

   4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

   Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

   Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi računajući, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. OD veliki broj 12345 Ne želim da se zavaravam, uzmite u obzir broj 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

   Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

   Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

   Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

   Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.
   

   Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

   Jao! Nije li ovo ženski toalet?
   - Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

   Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

   Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

   Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

   Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ta devojka glupa, ne ko zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

   1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

   Trigonometrija, kao nauka, nastala je na Drevnom Istoku. Prve trigonometrijske omjere razvili su astronomi kako bi napravili tačan kalendar i orijentirali se prema zvijezdama. Ovi proračuni su za sferna trigonometrija, dok je u školski kurs proučavati omjer stranica i ugla ravnog trougla.

   Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosom između stranica i uglova trokuta.

   Tokom procvata kulture i nauke u 1. milenijumu nove ere, znanje se širilo iz drevni istok u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski naučnik al-Marazvi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncept sinusa i kosinusa uveli su indijski naučnici. Mnogo pažnje posvećeno je trigonometriji u djelima velikih antičkih ličnosti poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.

   Osnovne veličine trigonometrije

   Osnovne trigonometrijske funkcije numerički argument su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.

   Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinoj teoremi. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", jer je dokaz dat na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.

   Sinus, kosinus i druge zavisnosti uspostavljaju odnos između oštri uglovi i stranice bilo kojeg pravokutnog trougla. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za ugao A i pratimo odnos trigonometrijskih funkcija:

   

   Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako nogu a predstavimo kao proizvod grijeha A i hipotenuzu c, i krak b u obliku cos A * c, tada dobijamo sljedeće formule za tangentu i kotangens:

   

   trigonometrijski krug

   Grafički se odnos navedenih veličina može predstaviti na sljedeći način:

   

   krug, u ovaj slučaj, predstavlja sve moguće vrijednosti ugla α — od 0° do 360°. Kao što možete vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativan ili pozitivna vrijednost zavisno od ugla. Na primjer, sin α će biti sa znakom “+” ako α pripada I i II četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Sa α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.

   Pokušajmo napraviti trigonometrijske tablice za određene uglove i saznati značenje veličina.

   

   Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.

   

   Ovi uglovi nisu izabrani slučajno. Oznaka π u tabelama je za radijane. Rad je ugao pod kojim dužina kružnog luka odgovara njegovom poluprečniku. Ova vrijednost uveden je kako bi se uspostavio univerzalni odnos, pri računanju u radijanima stvarna dužina polumjera u cm nije bitna.

   

   Uglovi u tabelama za trigonometrijske funkcije odgovaraju radijanskim vrijednostima:

   

   Dakle, nije teško pogoditi da je 2π pun krug ili 360°.

   Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus

   Da bismo razmotrili i uporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. Ovo se može uraditi u obliku krive koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu.

   Razmislite uporedna tabela svojstva za sinusoidni i kosinusni talas:

   

   sinusoida	kosinusni talas
   y = sin x	y = cos x
   ODZ [-1; jedan]	ODZ [-1; jedan]
   sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z
   sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, gdje je k ϵ Z
   sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, tj. neparna funkcija	cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna
   	funkcija je periodična, najmanji period je 2π
   sin x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i II ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemu x pripada četvrtinama I i IV ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtinama III i IV ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemu x pripada četvrtima II i III ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   raste na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
   opada na intervalima [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	smanjuje se u intervalima
   izvod (sin x)' = cos x	izvod (cos x)’ = - sin x

   Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znacima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na osu OX. Ako su predznaci isti, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.

   

   Uvod u radijane i nabrajanje osnovna svojstva sinusoidi i kosinusni valovi nam omogućavaju da donesemo sljedeću pravilnost:

   

   Vrlo je lako provjeriti ispravnost formule. Na primjer, za x = π/2, sinus je jednak 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti gledanjem u tabele ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.

   Svojstva tangentoida i kotangenoida

   Grafovi tangentne i kotangensne funkcije značajno se razlikuju od sinusoidnog i kosinusnog vala. Vrijednosti tg i ctg su inverzne jedna drugoj.

   

   

   1. Y = tgx.
   2. Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
   3. Najmanje pozitivan period tangentoid je jednak π.
   4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. funkcija je neparna.
   5. Tg x = 0, za x = πk.
   6. Funkcija se povećava.
   7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

   Razmislite grafička slika kotangentoidi ispod.

   

   Glavna svojstva kotangentoida:

   1. Y = ctgx.
   2. Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
   3. Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
   4. Najmanji pozitivni period kotangtoida je π.
   5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je neparna.
   6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
   7. Funkcija se smanjuje.
   8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix