Что значит разность чисел и выполнения. Вычитание чисел

Разность или вычитание целых чисел напрямую связана с темой сложение целых чисел. Ведь зная сумму и одно из слагаемых, можно найти второе слагаемое. Рассмотрим пример:

У нас есть 10 яблок в корзине. В первый раз в корзину добавили 2 яблока, сколько во-второй раз добавили яблок в корзину, чтобы в итоге получить 10 яблок?
Обозначим за переменную x – количество яблок, добавленных во второй раз. Если мы прибавим к переменной x два яблока, то получим 10 яблок. Математически запись будет выглядеть так:

чтобы найти переменную x нужно из корзины убрать 2 яблока или от суммы 10 отнять одно известное слагаемое 2.

То есть переменная x=8.

Определение:
Разностью двух целых чисел называется целое число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.

Разность целых чисел a и b обозначается как a-b.

Разность a- b это сумма чисел a и противоположного числа b.
a- b= a+(- b)

где b и –b – это противоположные числа.

Пример:
5-2=5+(-2)=3

Вычитание целых положительных чисел в примерах.

Пример:
Выполните вычитание из целого числа 12 число 5.

Решение:
По правилу разности мы должны заменить вычитаемое 5 заменить на противоположное число, то есть -5 и выполнить .

Пример:
Из числа 37 выполните вычитание числа 56.

Решение:
Нужно вычитаемое число 56 заменить на противоположное число, то есть число -56 и выполнить сложение целых чисел с разными знаками.

37-56=37+(-56)=-21

Пример:
Из числа -4 нужно вычесть число 7.

Решение:
Заменяем вычитаемое число 7 на противоположное число -7 и складываем из по правилу

4-7=-4+(-7)=-11

Вычитание целых отрицательных чисел в примерах.

Пример:
Найдите разность чисел 6 и -8.

Решение:
По правилу разности нужно заменить вычитаемое -8 на противоположное число +8 или 8 и посчитать сумму целых чисел. Получим:

Из целого числа -14 вычтите число -10.
Нужно вычитаемое -10 заменить на противоположное число +10 или 10 по правилу вычитания целых чисел и потом выполнить сложение.

14-(-10)=-14+10=-4

Вычитание нуля из целых чисел.

Если вычесть нуль из целого числа, то число не измениться .

Рассмотрим пример:
3-0=3+0=3

a-0= a

Если вычесть нуль из нуля, то получим нуль.

Вычитание одинаковых целых чисел.

Рассмотрим задачу:
Миша получил от мамы 2 конфеты и он тут же угостил своего друга Сашу двумя конфетами. Сколько осталось конфет у Миши?

Решение:
Миша получил 2 конфеты и отдал 2 конфеты, математически можно записать так:

Ответ: у Миши осталось 0 конфет.

То есть если выполнить вычитание равных чисел в результате получим нуль.

Проверка результата вычитания.

Как проверить правильно ли вы нашли разность двух целых чисел?
Ответ прост он заключается в самом определении разности двух целых чисел. Нужно разность сложить с вычитаемым получим уменьшаемое . Словесная формула будет выглядеть так:

Разность+Вычитаемое=Уменьшаемое

Пример:
19-5=14

19 – это у нас уменьшаемое;
5 – вычитаемое;
14 – разность.

Выполним проверку:
К разности прибавим уменьшаемое, если правильно выполнили вычитание, то получим уменьшаемое.

Еще пример:
Выполните проверку вычитания 12-23=-11

12 – уменьшаемое;
23 – вычитаемое;
-11 – разность.

Выполним проверку вычитания:
Разность+Вычитаемое=Уменьшаемое

Вычесть значит отнять одно число от другого.

Вычитание есть такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. При вычитании целых чисел большее число уменьшается на столько единиц, сколько их содержится в меньшем. Вычесть одно число из другого значит убавить одно число другим, поэтому вычитание есть действие обратное сложению .

В вычитании два данных числа называются уменьшаемым и вычитаемым , а искомое - разностью .

Уменьшаемым называют большее число, от которого отнимают другое. Оно уменьшается от вычитания.

Вычитаемым называют меньшее число, которое отнимают от большего.

Разностью называют вывод, полученный от вычитания. Разность определяет, чем одно число больше другого или показывает разницу между двумя числами.

Знак вычитания . Действие вычитания обозначается знаком - (минус).

Вычитание однозначных чисел

Чтобы обозначить, что из 9 нужно вычесть 6, пишут эти числа рядом, отделяя их знаком - (минус):

Разность между этими числами будет 3, и ход вычисления выражают словесно:

девять без шести равно трем.

Письменно:

Большее число 9 будет уменьшаемым, меньшее 6 вычитаемым, число 3 остатком.

Способы вычитания

Можно двумя способами вычесть одно число из другого:

или можно отнять от большего числа столько единиц, сколько их содержится в меньшем. Так, из 9 вычесть 6 значит от 9 отнять 6. Число 3 будет искомый остаток;

или можно к меньшему числу прибавлять по единице до тех пор, пока не получим большее число. Так, вычитая 6 из 9, мы к 6 прибавляем 3 единицы. Число единиц, которое нужно прибавить к меньшему числу, чтобы уравнять его с большим, определяет разность. Меньшее число с разностью должно равняться большему числу, следовательно, меньшее число и разность суть слагаемые, а большее - их сумма. На этом основано другое определение вычитания :

Вычитание есть такое действие, в котором по данной сумме и одному слагаемому отыскивается другое слагаемое.

В этом случае данная сумма есть уменьшаемое, данное слагаемое - вычитаемое, а иском ая разность - другое слагаемое .

Вычитание многозначных чисел

Вычитание многозначных чисел основывается на том свойстве чисел, по которому вычесть число все-равно, что вычесть все его части . Из этого свойства видно, что вычесть какое-нибудь число все-равно, что вычесть последовательно все его единицы, десятки, сотни и т. д. Чтобы обозначить, что из числа 7228 нужно вычесть 3517, пишут:

и вычитают отдельно единицы из единиц, десятки из десятков и т. д.

Чтобы облегчить вычитание, подписывают меньшее число под большим так, чтобы единицы одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, проводят черту, слева ставят знак вычитания - и под чертою подписывают разность.

Ход вычисления выражают словесно:

Начинаем вычитание с простых единиц : 8 без 7 составляют 1; подписывают под единицами 1.

Вычитаем десятки : 2 без 1 дают 1, подписываем под десятками 1.

Вычитаем сотни . Пять нельзя вычесть из 2, поэтому занимаем у следующего высшего порядка (тысяч) единицу, что и обозначаем тем, что над 7 ставим точку. Единица каждого порядка содержит 10 единиц следующего меньшего порядка. Присоединяя эти 10 единиц к 2, получим 12; 12 без 5 составляют 7, подписываем под сотнями 7. Когда занимают единицу у высшего порядка, обозначают это тем, что ставят точку над порядком, у которого занимают.

Вычитаем тысячи. Тысяч осталось вместо 7 только 6, ибо одна была взята. 6 без 3 составляют 3; подписываем под тысячами 3.

Ход вычисления выражают письменно:

Пример . Из 17004 вычесть 6025.

Из 4 нельзя вычесть 5. Занимаем единицу у десятков, следующего высшего порядка, но в этом порядке единиц нет; занимаем у сотен, - и сотен нет; занимаем у тысяч и обозначаем это точкой над цифрой 7.

Единица четвертого имеет 10 единиц третьего порядка. Взяв из них одну для десятков, оставляем их в сотнях только 9. Присоединив 10 к 4, имеем 14.

Производя вычитание, получим:

для единиц 14 - 5 = 9

для десятков 9 - 2 = 7

для сотен 9 - 0 = 9

для тысяч 6 - 6 = 0

Для десятков тысяч имеем 1, ибо эту цифру уменьшаемого переносим в разность без изменения.

Ход вычисления выразится письменно:

Из предыдущих примеров выводим правила вычитания :

Чтобы сделать вычитание целых чисел, нужно вычитаемое подписать под уменьшаемым так, чтобы единицы одинаковых порядков стояли в одном вертикальном столбце, провести черту, под которою и подписать разность.

Вычитание нужно начинать с простых единиц, то есть с первого столбца, и затем, переходя к следующим столбцам от правой руки к левой, вычитают десятки из десятков, сотни из сотен и т. д.

Если цифра вычитаемого меньше цифры уменьшаемого, разность подписывают в том же столбце; если цифры равны, разность будет нуль. Если же цифра вычитаемого больше соответствующей цифры уменьшаемого, занимают единицу у следующего порядка уменьшаемого, отмечая это точкой, поставленной над цифрой, у которой занимают, прикладывают 10 к цифре уменьшаемого и производят вычитание. Цифру же с точкой считают на единицу меньше.

Если при вычитании цифра уменьшаемого, у которого занимают, будет 0, за которым в уменьшаемом следуют тоже нули, то занимают у первой значащей цифры, ставя над нею и всеми промежуточными нулями точки. Цифру с точкой считают на единицу меньше, а нули с точкой считают за 9.

Вычитание продолжают до тех пор, пока не получат полной разности.

Лишние цифры уменьшаемого переносят в разность.

Зависимость между данными и искомыми вычитания

Из примера 9 - 6 = 3 видно, что

Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью : 9 = 6 + 3.

Вычитаемое равно уменьшаемому без разности : 6 = 9 - 3.

Разность равна уменьшаемому без вычитаемого : 3 = 9 - 6.

Арифметическое дополнение . Разность между числом и ближайшей большей единицей называется арифметическим дополнением . Так, арифметическими дополнениями чисел 7, 79, 983 будут числа:

10 - 7 = 3
100 - 79 = 21
1000 - 983 = 17

Арифметическим дополнением иногда пользуются для облегчения арифметических вычислений.

Существуют четыре основных арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Они – основа математики, с их помощью производятся все остальные, более сложные вычисления. Сложение и вычитание – простейшие из них и взаимно противоположны. Но с терминами, используемыми при сложении, мы чаще сталкиваемся в жизни.

Говорим о «сложении усилий» при старании совместно получить нужный результат, о «слагаемых достигнутого успеха» и т.п. Названия же, связанные с вычитанием, остаются в пределах математики, редко появляясь в повседневной речи. Поэтому менее привычны слова «вычитаемое», «уменьшаемое», «разность». Правило нахождения каждого из данных компонентов возможно применить лишь при понимании значения этих названий.

В отличие от многих научных терминов, имеющих греческое, латинское или арабское происхождение, в данном случае используются слова с русскими корнями. Так что понять их значение несложно, а значит легко и запомнить, что каким термином обозначается.

Если присмотреться к самому названию, становится заметно, что оно имеет отношение к словам «разный», «разница». Из этого можно заключить, что имеется в виду установленная разница между количествами.

Данное понятие в математике означает:

разницу между двумя числами;
это показатель того, насколько одно количество больше или меньше другого;
это результат, полученный при выполнении вычитания — такое определение предлагает школьная программа.

Обратите внимание! Если количества равны друг другу, то между ними нет разницы. Значит разность их равняется нулю.

Что такое уменьшаемое и вычитаемое

Как следует из названия, уменьшаемое – это то, что делают меньше. А сделать количество меньшим можно, отняв от него часть. Таким образом, уменьшаемым называется число, от которого отнимают часть.

Вычитаемым, соответственно, называется то число, которое от него отнимают.

Уменьшаемое		Вычитаемое		Разность
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

Полезное видео: уменьшаемое, вычитаемое, разность

Правила нахождения неизвестного элемента

Разобравшись в терминах, несложно установить, по какому правилу находится каждый из элементов вычитания.

Поскольку разность – результат данного арифметического действия, то ее и находят с помощью этого действия, никаких других правил тут не требуется. Но они есть на случай, если неизвестен другой член математического выражения.

Как найти уменьшаемое

Данным термином, как было выяснено, называют количество, из которого вычли часть. Но если одну вычли, а другая осталась в итоге, следовательно, из этих двух частей число и состоит. Получается, что найти неизвестное уменьшаемое можно, сложив два известных элемента.

Итак, в данном случае, чтобы найти неизвестное, следует выполнить сложение вычитаемого и разности:

Так же и во всех подобных случаях:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

Как найти вычитаемое

Если целое состоит из двух частей (в данном случае количеств), то при вычитании одной из них в результате получится вторая. Таким образом, чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно вместо него вычесть из целого разность.

По тому же правилу решаются и другие подобные примеры.

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Вконтакте

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

сложение;
вычитание;
умножение;
деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

сумма - результат, получившийся при сложении чисел;
разность - результат, получившийся при вычитании чисел;
произведение - результат умножения чисел;
частное - результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

сумма - прибавить;
разность - отнять;
произведение - умножить;
частное - разделить.

Рассматривая определения , что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

И все эти определения являются верными .

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

Уменьшаемое - это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
Вычитаемое - это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность .

Математические действия с разностью чисел

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

Простые примеры

Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 - уменьшаемое значение,

15 - вычитаемое.

Решение: 20 - 15 = 5

Ответ: 5 - разница величин.

Пример 2. Найти уменьшаемое.

48 - разность,

32 - вычитаемое значение.

Решение: 32 + 48 = 80

Пример 3. Найти вычитаемое значение.

7 - разность,

17 - уменьшаемая величина.

Решение: 17 - 7 = 10

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

На примерах 1-3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

Пример 4. Найти разницу трёх значений.

Даны целые значения: 56, 12, 4.

56 - уменьшаемое значение,

12 и 4 - вычитаемые значения.

Решение можно выполнить двумя способами .

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

1) 56 - 12 = 44 (здесь 44 - получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

1) 12 + 4 = 16 (где 16 - сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

2) 56 - 16 = 40.

Ответ: 40 - разница трёх значений.

Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 - уменьшаемая дробь,

3/5 - вычитаемая.

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

Решение: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Ответ: 1/5.

Пример 6. Утроить разницу чисел.

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Вновь прибегнем к правилам:

Удвоенное число - это величина, умноженная на два.
Утроенное число - это величина, умноженная на три.
Удвоенная разность - это разница величин, умноженная на два.
Утроенная разность - это разница величин, умноженная на три.

7 - уменьшаемая величина,

5 - вычитаемая величина.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 - разница чисел 7 и 5.

Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

7 - уменьшаемая величина;

18 - вычитаемая.

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

Ответ: - 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

Математика для блондинок

Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок - один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее - на калькуляторе. Калькулятор - это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела - это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг - это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

сумму - сложением слагаемых;
произведение - умножением множителей;
частное - делением делимого на делитель.

Вот такая интересная арифметика.

Определение суммы чисел

Суммой (лат. summa — итог, общее количество) чисел называется результат суммирования этих чисел: . В частности, если складывается два числа и , то

Задание. Найти сумму чисел:

Ответ.

Свойства суммы чисел

Ассоциативность:

На основании этих свойств можем заключить, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется.

Дистрибутивность по отношению к умножению

Задание. Найти сумму чисел удобным способом:

Решение. По свойствам сложения имеем

Ответ. 1)

При сложении больших чисел или десятичных дробей используется сложение в столбик.

Решение. Складываем эти числа в столбик, для этого запишем их друг под другом, разряд под разрядом. В случае десятичных дробей ориентируемся на то, чтобы запятая первого числа стояла под запятой второго. Далее складываем числа стоящие друг под другом, двигаясь справа на лево и записывая результата под чертой дроби. Если сумма чисел в одном столбце превышает десять, то количество десятков прибавляем к числам стоящим в следующем столбце слева от этого столбца:

Ответ. 1)

Сложение рациональных дробей производится по правилу

Решение. Вычислим первую сумму используя правило сложения рациональных чисел

Числитель и знаменатель полученной дроби можно сократить на 2, тогда в ответе получим

Для вычисления второй суммы, преобразуем сначала второе слагаемое в неправильную дробь, для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим полученное число к числителю. Далее применим правило сложение рациональных дробей

Выделим в полученной дроби целую часть, для этого разделим числитель на знаменатель с остатком. Полученное частное запишем в целую часть, а остаток от деления в числитель.

Ответ. 1) ; 2)

Как найти разность чисел в математике

Арифметические действия с числами

частное - результат деления.

сумма - прибавить;

произведение - умножить;

Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.

Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.

Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.

Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

Как найти разницу величин

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Пример 3. Найти вычитаемое значение.

Решение: 17 - 7 = 10

Даны целые значения: 56, 12, 4.

12 и 4 - вычитаемые значения.

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

Ответ: 40 - разница трёх значений.

Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 - уменьшаемая дробь,

Решение: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Удвоенное число - это величина, умноженная на два.
Утроенное число - это величина, умноженная на три.
Удвоенная разность - это разница величин, умноженная на два.
Утроенная разность - это разница величин, умноженная на три.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 - разница чисел 7 и 5.

7 - уменьшаемая величина;

Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

произведение - умножением множителей;
частное - делением делимого на делитель.

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

сумма - результат, получившийся при сложении чисел;
произведение - результат умножения чисел;

Это интересно: что такое модуль числа?

разность - отнять;
частное - разделить.

Это вычитание одного числа из другого.

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Уменьшаемое - это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
Вычитаемое - это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность .

Математические действия с разностью чисел

Решение: 20 - 15 = 5

Решение: 32 + 48 = 80

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

Решение можно выполнить двумя способами .

1) 56 - 12 = 44 (здесь 44 - получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

1) 12 + 4 = 16 (где 16 - сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

Математика для блондинок

разность - результат, получившийся при вычитании чисел;

Разность в математике

Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.

И все эти определения являются верными .

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

Простые примеры

Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 - уменьшаемое значение,

Ответ: 5 - разница величин.

Пример 2. Найти уменьшаемое.

32 - вычитаемое значение.

17 - уменьшаемая величина.

Пример 4. Найти разницу трёх значений.

56 - уменьшаемое значение,

Пример 6. Утроить разницу чисел.

Вновь прибегнем к правилам:

7 - уменьшаемая величина,

5 - вычитаемая величина.

Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

сумму - сложением слагаемых;

Вот такая интересная арифметика.

1-й класс Математика. «Сумма и значение суммы»

Цели:

Познакомить и формировать умение пользоваться математическими терминами » сумма», » значение суммы». Совершенствовать вычислительные навыки.

Развивать умения сравнивать, анализировать, обобщать. Развивать математическую речь, интерес к математике.

Воспитывать самостоятельность, дисциплинированность, умение работать в коллективе.

Оборудование: Мел, доска, карточки, мультимедийная установка, презентация.

1. Организация класса на урок.

2. Сообщение темы и целей урока:

Сегодня на уроке мы будем открывать и раскрывать тайны математики. Итак, в путь!

3. Знакомство с новым материалом.

Ребята, а вы любите сказки? А сказки Уолта Диснея? Сейчас я зачитаю отрывок из сказки, а вы попробуйте догадаться о ком идет речь.

Просыпайся, друг Филин!- весело крикнул зайчонок Толстячок.- Новый принц родился!

Радостная весть мгновенно облетела лес, и все лесные жители спешили посмотреть на новорожденного олененка. Они умилялись, глядя на то, как он пытается встать. Его ножки были еще слишком слабыми, и он все время падал.

Кто его узнал? Это, действительно, олененок по имени Бемби. И вот однажды наступило время познакомить его с лесом Из сказки мы с вами знаем, что Бемби любознательный, поэтому он приходил в восторг от всего, что видел вокруг.

Давайте мы с вами отправимся с олененком в необычный «лес-математики».

Олененок попадает на полянку и видит множество цветов. Но присмотревшись поближе, он замечает, что цветы хранят в себе какую-то тайну.

Помогите ему разгадать эту тайну.

Посмотрите и скажите, что вы видите? Какие всевозможные математические записи мы можем составить?

Формулы сокращённого умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо « a » и « b » в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт « a 3 ».
Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3 .
Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1 . (a 0 = 1, b 0 = 1) . Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени « a » и увеличение степени « b ». В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков « + » и « − ». Перед первым членом « a 3 » стоит « + » (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять « − », затем опять « + » и т.д.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.
Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».

21. Куб суммы и куб разности. Правила

При любых значениях a и b верно равенство

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2 a b + b 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b
то опять получится тождество.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3 . (2)

Поэтому формула куба суммы читается так:

куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения
плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,
плюс куб второго выражения.

(a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

A 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,
то оно является тождеством. Это тождество называется
формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b
подставить какие-нибудь выражения, например 5 y 3 и 2 z ,
то опять получится тождество.

(5 y 3 − 2 z) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (4)

Поэтому формула куба разности читается так:

куб разности двух выражений равен кубу первого выражения
минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,
плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,
минус куб второго выражения.

Задачи на тему «Куб суммы и куб разности»

Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение
в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ.

1) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 − c 3

2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Неверно. Не кликай на пустое поле. (x + 2 y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. (3 a − 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 − 27 a 2 b + 12 a b 2 − 8 b 3

2) = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3

3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. (

Льготная пенсия по вредности в 2018 году Общая информация Граждане, которым положена льготная пенсия по вредности, обязательно должны отработать не менее 10 лет в опасных и вредных условиях. В случае если стажа не хватает, выход на […]
Закон о защите прав потребителей ст 27-31 Споры о защите прав потребителей - одни из самых распространенных и актуальных В спорах о защите прав потребителей, одной из сторон всегда выступает гражданин, приобретающий, заказывающий товары […]
ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 15 марта 2018 Пенсионный фонд напоминает, что с 2018 года программа материнского капитала расширена […]
Адвокат требует наказать пристава, не пустившего его в зал суда Адвоката Евгения Баранникова не пустили в зал заседания к своему подзащитному, тогда как прокурору такое право предоставили. Баранников дошел до кассационной инстанции в […]
Образец претензии, если нарушены права потребителя при использовании услуг автосервиса При сдаче автомобиля в автосервис прежде всего необходимо проследить за правильным оформлением документов. Согласно п. 15 "Правил оказания услуг […]
Как провести возврат товара поставщику в 1с Вопрос: Как произвести возврат товара поставщику в "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0)? Дата публикации 11.05.2016 Использован релиз 3.0.43 Возврат не принятого на учет товара Возврат принятого на […]
Создание Учебного центра В настоящий момент создание учебного центра возможно в двух вариантах: 1. Создание Учебного центра профессиональной подготовки (для рабочих специальностей). 2. Создание корпоративного учебного центр а в форме […]
О морально-психологическом обеспечении оперативно-служебной деятельности органов внутренних дел Российской Федерации МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИПРИКАЗ “11” февраля 2010 г. № 80 О морально-психологическом обеспечении […]