Для чего нужны круги эйлера. Круг Эйлера

Круги Эйлера – это геометрическая схема. С ее помощью можно изобразить отношения между подмножествами (понятиями), для наглядного представления.

Способ изображения понятий в виде кругов позволяет развивать воображение и логическое мышление не только детям, но и взрослым. Начиная с 4-5 лет детям доступно решение простейших задач с кругами Эйлера, сначала с разъяснениями взрослых, а потом и самостоятельно. Овладение методом решения задач с помощью кругов Эйлера формирует у ребенка способность анализировать, сопоставлять, обобщать и группировать свои знания для более широкого применения.

Пример

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Вот несколько задач для маленьких детей на логическое мышление:

Определить круги, которые подходят к описанию предмета. При этом желательно обратить внимание на те качества, которыми предмет обладает постоянно и которыми временно. Например, стеклянный стакан с соком всегда остается стеклянным, но сок в нем есть не всегда. Или существует какое-то обширное определение, которое включает в себя разные понятия, подобную классификацию тоже можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Например, виолончель – это музыкальный инструмент, но не каждый музыкальный инструмент окажется виолончелью.

Для детей постарше можно предлагать варианты задач с вычислениями – от достаточно простых до совсем сложных. Причем самостоятельное придумывание этих задач для детей обеспечит родителям очень хорошую разминку для ума.

1. Из 27 пятиклассников все изучают иностранные языки – английский и немецкий. 12 изучают немецкий язык, а 19 – английский. Необходимо определить, сколько пятиклассников заняты изучением двух иностранных языков; сколько не изучают немецкий; сколько не изучают английский; сколько изучают только немецкий и только английский?

При этом первый вопрос задачи намекает в целом на путь к решению этой задачи, сообщая, что некоторые школьники изучают оба языка, и в этом случае использование схемы также упрощает понимание задачи детьми.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

И еще одна табличка...

Если Вы считаете, что ничего не знаете о таком понятии, как круги Эйлера, то вы глубоко заблуждаетесь. Еще из младшей школы известны схематические изображения, или кружки, позволяющие наглядно осмыслить взаимоотношения между понятиями и элементами системы.

Метод, придуманный Леонардом Эйлером, использовался ученым для решения сложных математических задач. Кругами он изображал множества и сделал эту схему основой такого понятия, как символическая . Метод призван максимально упростить рассуждения, направленные на решении той или иной задачи, именно поэтому методика активно используется как в младшей школе, так и в академической среде. Интересно, что подобный подход был ранее использован немецким философом Лейбницем, а позже был подхвачен и применен в различных модификациях известными умами в области математики. Например, прямоугольные схемы чешского Больцано, Шредера, Венна, известного созданием популярной диаграммы, основанной на этом простом, но удивительно действенном методе.

Круги являются основой так называемых «наглядных интернет мемов», которые основаны на схожести признаков отдельных множеств. Забавно, наглядно, а главное понятно.

Круги мысли

Круги позволяют наглядно описать условия задачи и мгновенно принять верное решение, или выявить направление движение в сторону правильного ответа. Как правило, круги Эйлера используются для решения логико-математических задач, связанных с множествами, их объединениями или частичными наложениями. В пересечение кругов попадают объекты, обладающие свойствами каждого из изображенных кружком множеств. Объекты, не вошедшие в множество, находятся за пределами того или иного круга. Если понятия абсолютно равнозначны, они обозначаются одним кругом, представляющим собой объединение двух множеств, имеющих равные свойства и объемы.

Логика взаимосвязей

Используя круги Эйлера, вы можете решить ряд бытовых задач и даже определиться с выбором будущей профессии, стоит лишь проанализировать свои возможности и желания и выбрать их максимальное пересечение.

Теперь становится ясно, что круги Эйлера вовсе не абстрактное математическое и философское понятие из разряда теоретических знаний, они имеют весьма прикладное и практическое значение, позволяя разобраться не только с простейшими математическими проблемами, но и решить важные жизненные дилеммы наглядным и понятным каждому способом.

Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).

Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.

Можно сказать, что понятие - это мысленное содержание слова.

Понятие - это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.

Понятие - это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.

Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски - «карандаш», по-английски - «pencil», по-немецки - bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.

Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ («адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).

В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ («крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).

Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ .

Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).

ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ	ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ) Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма.	1) А - Аристотель В - основатель логики 2) А - квадрат В - равносторонний прямоугольник
ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ) Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его.	1) А - человек В - студент 2) А - животное В - слон
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ) Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них.	1) А - юрист В - депутат 2) А - студент В - спортсмен
СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия.	1) А - животное В - кот; С - собака; D - мышь 2) А - драгоценный металл В - золото; С - серебро; D - платина
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ) Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный.	1) А - белый кот; В - рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми) 2) А - горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым) Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ) Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое - их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими.	1) А - высокий дом В - невысокий дом 2) А - выигрышный билет В - невыигрышный билет Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие.

Упражнение : Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера .

1) А - горячий чай; В - холодный чай; С - чай с лимоном

Горячий чай (В) и холодный чай (С) - находятся в отношении противоположности.

Чай с лимоном (С) может быть как горячим,

так и холодным, но может быть и, например, тёплым.

2) А - деревянный; В - каменный; С - строение; D - дом.

Всякое ли строение (С) - дом (D)? - Нет.

Всякий ли дом (D) - строение (С)? - Да.

Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) - Нет.

Но можно найти деревянное строение (например, будка),

также можно найти деревянный дом.

Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).

Но может быть и каменное строение, и каменный дом.

3) А - российский город; В - столица России;

С - Москва; D - город на Волге; Е - Углич.

Столица России (В) и Москва (С) - один и тот же город.

Углич (Е) является городом на Волге (D).

При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,

являются российскими городами (А)

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым Малая академия наук «Искатель»

Направление: математика

г. Красноперекопск – 2017

Работу выполнила:

Шумилина Мария Сергеевна,

ученица 7-А класса муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 5» муниципального образования городской округ Красноперекопск

Научный руководитель:

Шеина Елена Николаевна, учитель математики муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 5 » муниципального образования городской округ Красноперекопск

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………… 3

ГЛАВА 1. Немного из истории…………………………………. 5

ГЛАВА 2. Из теории множеств……………………………………….7

2.1. Понятие множества.……………………………………..8

2.2. Операции над множествами. …………………………..9

ГЛАВА 3. Решение задач с помощью кругов Эйлера ………………..10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………….23

ВВЕДЕНИЕ

Ничто так не способствует

формированию мыслительной культуры,

как решение логических задач. Математика-

не сухая и скучная наука, а полная

необычных и интересных открытий

Решать логические задачи очень увлекательно. Есть люди, для которых решение логической задачи - увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу они приходят необычайно быстро. Замечательно, что при этом не могут объяснить, как пришли к решению.

Логические задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам.

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.

Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь.

Цель работы:

Познакомится с кругами Эйлера – Венна;

Научиться применять способ решения задач с помощью кругов Эйлера;

Составлять задачи практического содержания.

Глава 1. Немного из истории

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии в 1707г. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ - первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению. В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма.

Эйлер много работает в области математического анализа. Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку-топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В -Р + Г = 2. Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только материальной точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения».

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

Глава 2. Из теории множеств

2.1. Понятие множества.

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты – элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы – ученики),множестве дней недели (элементы – дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы – числа 1, 2, 3, 6) и т. д.

В курсах алгебры и алгебры начало анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество M состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: M = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество

(является элементом данного множества M ) записывается с помощью специального значка следующим образом: 2 M ; а то что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества M ), записывается так: 5 M .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, - пустое множество. Например: множество простых делителей числа 1 – пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел – буквой N , множество всех целых чисел – буквой Z , множество всех рациональных чисел – буквой Q , а множество всех действительных чисел буквой R . С помощью кругов Эйлера – Венна это можно изобразить так:

Рис.1

Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что множество A является подмножеством множества B .

Это записывают следующим образом: A B .

Рис.2

2.2. Операции над множествами.

Над множествами можно выполнять определенные действия: находить их пересечение, объединение. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов.

Пересечением множеств A и B называют их общую часть, то есть множество C всех элементов, принадлежащих как множеству A , так и множеству B

Пересечение множеств обозначают знаком ∩ и записывают A ∩ B .

Рис.3

Объединением множеств A и B называют множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (A или B ). Объединение множеств обозначают знаком
и записывают A
B

Глава3. Решение задач с помощью Кругов Эйлера

Задача № 1.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки.

Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием.

Решение.

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки.

чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме

Рис.5

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М - школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 - это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 - 16 = 7 человек, только марки собирает 35 - 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 - 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга. Ответ: 10 человек.

Задача 2.

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?

Решение.

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера. Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей.

Пусть всеми видами спорта занимаются х мальчиков. Тогда только волейболом занимаются (10-х) мальчиков, а только баскетболом (9-х) мальчиков. Составим уравнение: 10-х + х+ 9-х=15, откуда х=4

10-х Б

х 9-х

Рис.6

Ответ: 4 человека.

Задача № 3.

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Чучело», 11 человек – фильм «Выше неба», из них 6 смотрели и «Чучело», и «Выше неба». Сколько человек смотрели только фильм «Выше неба»?

Решение: Чертим два множества таким образом: 6 человек, которые смотрели фильмы «Чучело» и «Выше неба», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Чучело».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Выше неба».

Получаем:

Рис.7

Ответ. 5 человек смотрели только «Выше неба».

Задача № 4.

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 - Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти в театр?

Решение.

Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;

только художественный театр посетят

30-12=18 туристов;

8
0-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр.

Рис.8

Ответ: 10 человек.

Задача № 5.

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Решение.

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Рис.9

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон. Ответ. 8 книг прочитал Рон.

Задача№6.

В туристической группе из 100 человек 75 человек знают немецкий язык, 65 человек - английский язык, а 10 человек - не знают ни немецкого, ни английского языка. Сколько туристов знают два языка? Решение.

Изобразим условие задачи в виде кругов Эйлера.

Легко видеть, что 90 туристов (100-10) знают хотя бы один язык; Пусть х туристов знают и английский, и немецкий языки. Тогда (65-х) туристов знают только английскй, а (75-х) человек только немецкий. Получим уравнение 65-х+75-х+х=90, откуда х=50 – туристов знают оба языка. Ответ: 50 туристов.

Задача№7.

Сколько человек участвует в прогулке, если известно, что 16 из них взяли бутерброд с ветчиной, 24 - с колбасой, 15 - с сыром, 11 и с ветчиной, и с колбасой, 8 и с ветчиной, и с сыром, 12 и с колбасой, и с сыром, 6-бутерброды всех видов, а 5- взяли пирожки? Решение : Изобразим множества следующим образом: Рис.11

16+24+15-11-8-12+6=30(чел) - участвовали в прогулке и с собой брали бутерброды или 3+2+6+5+7+6+1=30(чел)

30+5=35(чел) - участвовали в прогулке
Ответ. 35 человек

Задача №8

В 5 классе нашей школы 22, в 6 классе – 16, в 7 классе – 23 ребят. Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 4 человека. Каждые две секции посещают 9 человек. Сколько человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни на какой спортивный кружок?

Решение. Если на все три кружка ходят 4 ученика, а на каждые два – 9 человек, то две секции с 5 и 6 класса, с 6 и 7 класса, с 5 и 7 класса посещают по 5

человек.

Рис.12

Получаем 5+5+4=14 пятиклассников посещают кружки, 22-14=8 человек не ходят ни на какой кружков. Рассуждая также, из шестиклассников 16-14=2 ученика никуда не ходя, а из семиклассников – 23-14=9 человек.

Ответ: 14 учеников с каждого класса посещают кружки, не ходят ни на какой из 5-ого – 7, из 6-ого – 2, из 7-ого – 9 учеников.

Задача № 9.

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение: В оспользуемся кругами Эйлера.

Рис.13

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача № 10 .

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение . Д - драмкружок; Х - хор; С - спорт. В круге Д - 27 ребят, в круге Х - 32 человека, в круге С - 22 ученика. Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5

спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор или драмкружок, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом; 70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 - не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Рис.14 Ответ: 10 человек.

Задача№11 . В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23 - троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение.

Рис.15

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом - (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом - (9 − х) человек, только метро и автобусом -(12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: х − 6 - только автобусом и х + 4 - только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30.

отсюда х = 3.

Ответ: 3 человека.

Задача № 12.

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение:

Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.

Рис.16

Ответ: 2 сотрудника.

Задача № 13.

Ребят, которые хотят обмениваться различного рода журналами, собралось 10 человек. Среди них выписывают К - 6 человек, Т – 5 человек, Ю – 5 человек, К и Т – 3 человека, Т и Ю -2 человека, К и Ю – 3 человека., а один человек не выписывает ни одного журнала., но читает все эти журналы в библиотеке. Надо узнать, сколько человек выписывают все три журнала, сколько – два, а сколько – только один журнал.

Решение. Пусть большой круг, состоящий из 10 человек, – это множество всех ребят, обменивающихся журналами. Внутри большого круга нарисуем три меньших круга: К, Т, Ю, которые изображают ребят, подписавшихся на соответствующие журналы.. Известно, что один человек не выписывает ни одного журнала.

Пусть х ребят выписывают все три журнала, тогда (3-х)ребят выписывают только К и Т, (2-х) –только Т и Ю, (3-х)- только К и Ю. Значит, только журнал К выписывают 6-(3-х+х+3-х)=х человек, журнал Т 5-(3-х+х+2-х)=х, журнал Ю 5-(3-х+х+2-х)=х.

Рис.17

Составим уравнение: х+3-х+3-х+х+х+х+х+2-х=9, 8+х=9,х=1

Итак, 3 – это число ребят, подписавшихся только на один журнал, 5 – это число ребят, подписавшихся на два журнала, а 1 – число ребят, подписавшихся на все три журнала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предмет математики настолько серьезен,

что нельзя упускать случая сделать

его немного занимательным.

Б. Паскаль

Среди математических задач логические задачи занимают особое место Решение таких задач способствует развитию математического мышления. Они отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения часто не требуется запас каких-то специальных знаний, а нужна, как правило, сообразительность. Одна из характерных черт любой логики состоит в том, что она позволяет, получив некоторую информацию, извлечь (выявить) содержащиеся в ней новые знания.

Оказывается приемов, с помощью которых можно решать текстовые логические задачи, несколько. Они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.

В моей работе рассмотрены задачи, которые состоят из множества данных. Найденные решения подчиняются одному и тому же способу: составляем рисунок; заносим первоначальные данные в круги; анализируя и рассуждая, записываем результаты в части кругов; ищем и записываем ответ. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению. Кроме того с их помощью можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи.

Данная тема расширила мой математический кругозор, обогатила арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

Список используемых источников:

1. Гаврилова Т. Д..Занимательная математика. 5 - 11 классы. Волгоград: Учитель, 2005.-96 с.

2. Германович П.Ю. «Сборник задач по математике на сообразительность».

3. Гетманова А. Д. Логические основы математики 10 – 11 класс: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2005.

4. Глейзер Г. И. . - М.: Просвещение, 1964. - С. 232.

5. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. «Внеклассная работа по математике». М.: Просвещение, 1984.

6. Нелин Е.П., Долгова О.Е.. Учебник алгебра и начала анализа 11 класс.

Тезисы к работе

Тема моей исследовательской работы «Решение задач с помощью кругов Эйлера ». При подготовке к олимпиаде я столкнулась с задачами, в которых большое количество данных. Оказывается, упростить решение таких задач помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определённым свойством. Целью данной работы является изучение этого способа и умение применять его для решения задач.

В работе рассмотрены задачи, решение которых подчиняются одному алгоритму: составляем рисунок; заносим первоначальные данные в круги, начиная с условия которое содержит больше свойств; анализируя и рассуждая записываем результаты в части круга; записываем ответ.

Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь. Способ, рассмотренный в работе доступен и легок в понимании, что позволяет расширить круг его применения. Круги Эйлера можно встретить и в истории, и в биологии, и при изучении других предметов.

Материал,который был исследован в работе,а также практическая часть, могут быть применены на дополнительных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам.

Обзор материала

Математика – один из любимых моих предметов в гимназии. Мне нравится решать разные математические ребусы, логические задачи. На математическом кружке мы знакомимся с различными способами решения задач. Однажды на занятиях кружка нам задали на дом решить следующую задачу: «В классе 35 учеников, 12 – занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?». Я решила ее следующим образом:

35 - 16=19 (ребят)- посещают кружки

19- 9= 10 (ребят) – посещают математический кружок

12 - 10=2 (биолога) – увлекаются математикой.

И попросила проверить решение задачи старшего брата. Он сказал, что

задача решена верно, но есть более удобный и быстрый способ решения. Оказывается, упростить решение этой задачи помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определённым свойством. Меня заинтересовал новый способ решения задачи и я решила написать исследовательскую работу на тему: «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Я поставила перед собой цель: изучить новый способ решения нестандартных задач с помощью кругов Эйлера.

Для раскрытия темы моей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться пользоваться научной литературой.

Изучить, что собой представляют круги Эйлера.

Составить алгоритм решения задач.

Научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера.

Составить подборку задач для использования на занятиях математического кружка.

Методы исследования:

Изучение и анализ научной литературы;

Метод индуктивного обобщения, конкретизации.

Объект исследования: круги Эйлера

Предмет исследования: понятие множества, основные действия с ними, необходимые при решении задач с помощью кругов Эйлера

Участники исследования: учащиеся 5-9 классов гимназии

Гипотеза исследования: Метод Эйлера упрощает рассуждения при решении некоторых задач и облегчает путь к ее решению.

Актуальность исследования заключается в том, что существует множество приемов и способов решения нестандартных логических задач. Часто при решении задачи используются рисунки, что делает решение задачи более простым и наглядным. Одним из таких наглядных и удобных способов решения задач является метод кругов Эйлера. Этот метод позволяет решать задачи с громоздким условием и со многими данными.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, очень часто предлагаются на математических олимпиадах. Подобные задачи часто имеют практический характер, что важно в современной жизни. Они заставляют задумываться и подходить к решению какой-нибудь проблемы с разных сторон. Учат выбирать из множества способов наиболее простой и легкий.

Теоретическая часть

Краткая историческая справка.

Леонард Эйлер (1707-1783) – великий математик петербургской академии 18 века. Родился в Швейцарском городке Базеле. Рано обнаружил математические способности. В 13 лет он стал студентом факультета искусств Базельского университета, где преподавались и математика, и астрономия. В 17 лет был удостоен ученой степени магистра. В 20 лет Эйлер был приглашен на работу в Петербургскую академию наук, а в 23 года он уже профессор физики, еще через три года получает кафедру высшей математики.

Леонард Эйлер за свою долгую жизнь оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук, написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги.

Что представляют собой круги Эйлера?

Ответ на этот вопрос я нашла, прочитав различную познавательную литературу. Леонард Эйлер считал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач, он использовал идею изображения множеств с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера».

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Например, наш 5 класс – это множество, а количество учеников в классе – это его элементы.

В математике множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы прописными. Часто записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указываются элементы множества A.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А подмножество множества В. Например, множество учеников 5 класса нашей гимназии есть подмножество всех учеников гимназии.

С множествами, как с объектами, можно выполнять определенные действия (операции). Для того чтобы нагляднее представлять себе действия с множествами, используют специальные рисунки – диаграммы (круги) Эйлера. Познакомимся с некоторыми из них.

Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств А и В и обозначают с помощью знака ∩.

А∩ В = {т}, С ∩ В = {е, и}.

Множества А и С не имеют общих элементов, поэтому пересечением данных множеств является пустое множество: А∩ С =∅.

Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначается с помощью знака ∪.

Рассмотрим пример: Пусть А = {т, о, ч, к, а}, В = {т, и, р, е}, С = {д, е, ф, и, с}.

А∪В = {т, о, ч, к, а, и, р, е}, В∪ С = {т, и, р, е, д, ф, с}, А ∪ В ∪ С = {т, о, ч, к, а, и, р, е, д, ф, с}.

Выводы: Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая позволяет делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Убедиться в этом можно на примере задачи.

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь цветы. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро фиалки. И только у двух есть и кактусы и фиалки. Сколько у меня подруг?

Определим сколько в задаче множеств (т.е. сколько кругов будем рисовать при решении задачи).

В задаче подруги выращивают 2 вида цветов: кактусы и фиалки.

Значит первое множество (1 круг - это подруги, которые выращивают кактусы).

Второе множество (2 круг - это подруги, которые выращивают фиалки).

В первом круге будем обозначать владелиц кактусов, а во втором круге владелиц фиалок.

Выбираем условие, в котором содержится больше свойств, чтобы нарисовать круги. У некоторых подруг есть и те и другие цветы, то нарисуем круги так, чтобы у них была общая часть.

Выполняем рисунок.

В общей части ставим цифру 2, так как у двух подруг есть и кактусы, и фиалки.

По условию задачи 6 подруг разводят кактусы, а 2 уже есть в общей части, то в оставшейся части кактусов ставим цифру 4 (6-2=4).

5 подруг разводят фиалки, а 2 уже есть в общей части, то в оставшейся части фиалок ставим цифру 3 (5-2=3)

Рисунок сам нам подсказывает ответ 4+2+3=9. Записываем ответ.

Ответ: 9 подруг

Практическая часть

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Разобравшись в том, что представляют собой круги Эйлера на примере задачи и изученного материала, я решила перейти к составлению алгоритма решения задач с помощью данного метода.

2.1 Алгоритм решения задач

Внимательно изучаем и кратко записываем условие задачи.

Определяем количество множеств и обозначаем их.

Выполняем рисунок. Строим пересечение множеств.

Записываем исходные данные в круги.

Выбираем условие, в котором содержится больше свойств.

Записываем недостающие данные в круги Эйлера (рассуждая и анализируя)

Проверяем решение задачи и записываем ответ.

Составив алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера, я решила отработать его еще на нескольких задачах.

Задачи на пересечение и объединение двух множеств

Задача 1.

В моем классе 15 учащихся. Из них 9 занимаются в секции лёгкой атлетики, 5 – в секции плавания и 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся класса не посещают секции?

Решение.

В задаче одно множество и два подмножества. 1круг - всего учащихся. 2 круг – количество учащихся занимающихся легкой атлетикой. 3 круг - количество учащихся занимающихся плаванием.

Всего учащихся изобразим с помощью большего круга. Внутри поместим круги поменьше, причём нарисуем их так, чтобы у них была общая часть (так как трое ребят занимаются в обеих секциях).

Всего

Выполним рисунок.

Внутри большого круга 15 учеников. В общей части кругов поменьше ставим цифру 3. В оставшейся части круга л/а ставим цифру 6 (9-3=6). В оставшейся части круга п - поставим цифру 2 (5-3=2).

5.Записываем по рисунку ответ: 15-(6+3+2) = 4(учеников) не занимаются ни в одной из этих секций.

Задача 2. (которую я решала другим способом, а сейчас решу с помощью кругов Эйлера)

В классе 35 учеников, 12 занимаются в математическом кружке, 9 в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение:

В задаче одно множество и два подмножества. 1круг - всего учащихся в классе. 2 круг количество учащихся, занимающихся в математическом кружке (обозначим буквой М). 3 круг - количество учащихся, занимающихся в биологическом кружке (обозначим буквой Б).

Всего учащихся класса изобразим с помощью большого круга. Внутри поместим круги поменьше, имеющие общую часть, т.к. несколько биологов увлекаются математикой.

Выполним рисунок:

Внутри большого круга всего 35 учеников. Посещают эти кружки 35-16 = 19 (учеников). Внутри круга М ставим 12 учеников, занимающихся в математическом кружке. Внутри круга Б ставим 9 учеников, занимающихся в биологическом кружке.

Запишем ответ из рисунка: (12 + 9) – 19= 2 (учеников) – увлекаются биологией и математикой. Ответ: 2 ученика.

2.3. Задачи на пересечение и объединение трех множеств

Задача 3.

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение:

В задаче одно множество и три подмножества. 1круг большой - всего учащихся в классе. 2 круг поменьше количество учащихся, имеющих тройки по математике (обозначим буквой М), 3 круг поменьше- количество учащихся, имеющих тройки по русскому языку (обозначим буквой Р), 4 круг поменьше – количество учащихся, имеющих тройки по истории (обозначим буквой И)

Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история, причем все три круга пересекаются, так как 5 учеников имеют «тройки» по всем предметам.

Запишем данные в круги, рассуждая, анализируя и выполняя необходимые расчеты. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

7-5=2 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, И.

17-4-5-2=6 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, Р.

22-5-2-11=4 - число учеников, имеющих только две «тройки» - И, Р.

40-22-4-6-4=4 - число учеников, занимающихся без «тройки»

6+2+4=12 - число учеников, имеющих «тройки» - по двум предметам из трех

Ответ: 4 ученика, занимаются без «троек», 12 учеников имеют «тройки» по двум предметам из трех

Задача 4.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23 - троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение. 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом - (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом - (9 − х) человек, только метро и автобусом - (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: 15 –(12 − х) -(9 − х) - x = х − 6 - только автобусом и

23 - (9 − х) - (10 − х) – x = х + 4 - только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

Ответ: 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

2.4. Составление задач, имеющих практическое значение

Задача 1. В 5А классе 15 человек. В кружок «Эрудит» ходят 5 человек, в кружок «Путь к слову» 13 человек, спортивную секцию посещают 3 человека. Причем 2 человека посещают кружок «Эрудит» и кружок «Путь к слову», «Эрудит» и спортивную секцию, спортивную секцию и «Путь к слову». Сколько человек посещают все три кружка?

Решение:

1.Пусть х человек посещают все три кружка, тогда

2. 5+13+3-2-2-2+х=15, 13+х=15, х=2

Ответ: 2 человека посещают все три кружка.

Задача 2

Известно, что ученики 6Б класса зарегистрированы в социальной сетях: «ВК», «Одноклассники», «Галактика знакомств». 2 ученика не зарегистрированы ни в одной социальной сети, 7 учеников зарегистрированы и в «Одноклассниках», и в «ВК»; 2 ученика только в «Одноклассниках» и 1- только в «ВК»; а 2 ученика зарегистрированы во всех 3-х социальных сетях. Сколько человек класса зарегистрированы в каждой социальной сети? Сколько человек класса приняло участие в опросе?

Решение:

Воспользовавшись кругами Эйлера получаем:

В «ВК» зарегистрировано 1+5+2=8 человек,

В «Одноклассниках» 2+5+2=9 человек,

В «Галактике знакомств» только 2 человека.

Всего приняло участие в опросе 1+5+2+2+2=12 человек

2.5. Задачи для использования на занятиях математического кружка

Задача 1: «Гарри Поттер, Рон и Гермиона»

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Задача 2: «Пионерский лагерь»

Задача 3: «Экстрим»

Задача 4: «Футбольная команда»

В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари незаменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Задача 5: «Магазин»

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15- холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Задача 6: «Детский сад»

В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Задача 7: «Ученическая бригада»

В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из них не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором, 62 - комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе, и на комбайне?

Исследовательская часть

Цель: использование метода Эйлера учащимися гимназии при решении нестандартных задач.

Эксперимент проводился с участием учащихся 5-9 классов увлекающихся математикой. Им было предложено решить следующие две задачи:

Из класса шесть учеников ходит в музыкальную школу, а десять занимаются в футбольной секции, еще десять посещают изостудию. Из них трое посещают и футбол, и музыкальную школу. Сколько человек в классе?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Первую задачу из 10 участников (по 2 человека из каждой параллели классов) эксперимента решили только 4 человека, вторую только два (причем учащиеся 8 и 9 класса). После того, как я им представила свою исследовательскую работу, в которой рассказала о кругах Эйлера, разобрала решение нескольких простейших и предложенных задач с помощью этого метода, учащиеся могли сами решать несложные задачи.

По окончании эксперимента ребятам была предложена следующая задача:

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Из 10 участника эксперимента все справились с этой задачей.

Вывод: Решение задач с помощью кругов Эйлера развивает логическое мышление, дает возможность решать задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Учащиеся 5-7 классов не умеют решать системы уравнений, но решать эти же задачи могут. Значит ребятам необходимо знать этот метод решения задач с помощью кругов Эйлера.

Приложения