Κεντρικές (προοπτικές) προβολές.

Στις κεντρικές προβολές, τα άκρα του εμφανιζόμενου αντικειμένου, παράλληλα με το επίπεδο της εικόνας, απεικονίζονται χωρίς παραμόρφωση του σχήματος, αλλά με παραμόρφωση μεγέθους.

Εικόνα 24 Κεντρικές προβολές κύβου: α) ενός σημείου, β) δύο σημείων, γ) τριών σημείων.

Οι κεντρικές προβολές οποιουδήποτε συνόλου παράλληλων γραμμών που δεν είναι παράλληλες με το επίπεδο εικόνας θα συγκλίνουν στο σημείο εκμηδενίσεως. Το σημείο φυγής των ευθειών παράλληλων σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων ονομάζεται κύριο σημείο εξαφάνισης. Επειδή Υπάρχουν τρεις άξονες συντεταγμένων, τότε δεν μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από τρία κύρια σημεία φυγής.

Ανάλογα με τη θέση των αξόνων συντεταγμένων και το επίπεδο εικόνας, υπάρχουν ένα, δύο και τρία σημεία κεντρικές προβολές.

ΜΟΝΑΔΙΚΟ σημείομια προβολή λαμβάνεται όταν το επίπεδο εικόνας συμπίπτει με (ή είναι παράλληλο με) ένα από τα επίπεδα συντεταγμένων. Δηλαδή, μόνο ένας άξονας συντεταγμένων δεν είναι παράλληλος με το επίπεδο της εικόνας και έχει ένα κύριο σημείο φυγής.

Από σημείο σε σημείολαμβάνεται μια προβολή όταν μόνο ένας από τους άξονες συντεταγμένων είναι παράλληλος στο επίπεδο της εικόνας. Οι άλλοι δύο άξονες συντεταγμένων δεν είναι παράλληλοι με το επίπεδο εικόνας και έχουν δύο κύρια σημεία φυγής. Όταν απεικονίζονται αντικείμενα που βρίσκονται στην επιφάνεια της γης, χρησιμοποιείται συχνότερα η προβολή δύο σημείων, στην οποία το επίπεδο της εικόνας είναι παράλληλο κάθετος άξοναςσυντεταγμένες Και τα δύο κύρια σημεία εξαφάνισης βρίσκονται στην ίδια οριζόντια γραμμή - τη γραμμή του ορίζοντα (Εικ. 6.5). Στο τρίποντοκαι οι τρεις προβολές άξονες συντεταγμένωνδεν είναι παράλληλες με το επίπεδο της εικόνας και επομένως υπάρχουν τρία κύρια σημεία φυγής.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την περίπτωση προβολής ενός σημείου σε ένα σημείο Rστο αεροπλάνο z= 0 με κέντρο προβολής ΜΕ, ξαπλωμένος στον άξονα z(Εικ. 25).

Τελεία ΕΝΑπροβάλλεται στην οθόνη ως ΕΝΑ. Η απόσταση από τον παρατηρητή στο επίπεδο προβολής είναι k. Είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου ΕΝΑστην οθόνη. Ας τα χαρακτηρίσουμε Χε και yμι. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΕΝΑ y ΕΝΑ z ΝΚαι y ε ΕΠΙτο βρίσκουμε

(x.9)

ομοίως για το x:

. (x.10)

Ρύζι. 25. Παραγωγή τύπων κεντρικής προβολής.

Ρύζι. 26. Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού των συντεταγμένων των σημείων στην προβολή κεντρικής προοπτικής.

Θυμηθείτε ότι k είναι η απόσταση και ο παρατηρητής βρίσκεται στο σημείο Ν= (0,0,-κ). Αν το σημείο παρατήρησης τοποθετείται στην αρχή των συντεταγμένων και το επίπεδο προβολής σε απόσταση ένα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 26, και στη συνέχεια οι τύποι για Χ εκαι το y θα πάρει τη μορφή:

,
(x.11)

Οι τύποι (x.10) είναι πιο βολικοί όταν είναι απαραίτητο απλώς να μετακινήσετε τον παρατηρητή πιο κοντά ή μακρύτερα από το επίπεδο προβολής. Οι τύποι (x.11) απαιτούν λιγότερο χρόνο για τους υπολογισμούς λόγω της απουσίας της λειτουργίας πρόσθεσης.

Θεωρήστε ένα σημείο στον τρισδιάστατο χώρο ( ένα, σι, ντο). Αν φανταστούμε αυτό το σημείο ως μια ομοιογενή αναπαράσταση ενός σημείου σε δισδιάστατο χώρο, τότε οι συντεταγμένες του θα είναι ( ένα/ ντο, σι/ ντο). Συγκρίνοντας αυτές τις συντεταγμένες με τον δεύτερο τύπο τύπων που προέρχονται για την προβολή της κεντρικής προοπτικής, είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι η δισδιάστατη αναπαράσταση ενός σημείου με συντεταγμένες ( ένα, σι, ντο) μοιάζει με την προβολή του σε ένα επίπεδο z= 1, όπως φαίνεται στο Σχ. 27.

Ρύζι. 27. Προβολή σημείου ( ένα, σι, ντο) στο επίπεδο z = 1.

Ομοίως, λαμβάνοντας υπόψη τη χρήση ομοιογενών συντεταγμένων για διανύσματα τρισδιάστατου χώρου, μπορεί κανείς να αναπαραστήσει τον τρισδιάστατο χώρο ως προβολή τετραδιάστατου χώρου σε ένα υπερεπίπεδο w= 1 αν ( Χ, y, z)(wx, wy, wz, w) = (Χ, y, z, 1). .

Σε ομοιογενείς συντεταγμένες, ο μετασχηματισμός της κεντρικής προοπτικής μπορεί να προσδιοριστεί με μια πράξη μήτρας. Αυτός ο πίνακας γράφεται ως:

Ας δείξουμε ότι αυτός ο πίνακας καθορίζει τη μετατροπή ενός σημείου αντικειμένου που καθορίζεται σε ομοιογενείς συντεταγμένες σε ένα σημείο προοπτικής προβολής (επίσης σε ομοιογενείς συντεταγμένες). Αφήνω Π= (Χ, y, z) – σημείο στο τρία διαστασιακό χώρο. Η ομοιογενής παρουσίασή του v= (wx, wy, wz, w). Πολλαπλασιάστε το v με Π:

αυτό ακριβώς επαναλαμβάνει τους τύπους (x.10) που προέκυψαν για την κεντρική προοπτική.

Λόγω των ιδιαιτεροτήτων της ανθρώπινης όρασης, είναι καλύτερο να εφαρμόζεται μια προοπτική προβολή σε αντικείμενα που βρίσκονται μακριά από τον παρατηρητή, ορθογραφική ή αξονομετρική σε αρκετά κοντινά (σε μήκος του βραχίονα) και μια αντίστροφη προοπτική προβολή σε ακόμη πιο κοντινά αντικείμενα.

Για τη δημιουργία στερεοφωνικές εικόνεςχρησιμοποιούνται δύο κεντρικές προβολές, τα κέντρα των οποίων συμπίπτουν με τη θέση των ματιών ενός υποθετικού παρατηρητή, δηλ. βρίσκονται σε κάποια απόσταση το ένα από το άλλο σε μια ευθεία παράλληλη προς το επίπεδο της εικόνας. Αφού ολοκληρωθεί η προβολή, λαμβάνονται δύο εικόνες του αντικειμένου - για το αριστερό και το δεξί μάτι. Η συσκευή εξόδου πρέπει να παρέχει αυτές τις εικόνες σε κάθε μάτι του χρήστη ξεχωριστά. Για το σκοπό αυτό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα σύστημα έγχρωμων ή πολωτικών φίλτρων. Πιο πολύπλοκες συσκευές εξόδου (όπως κράνη) παρουσιάζουν καθεμία από τις εικόνες σε ξεχωριστές οθόνες για κάθε μάτι.

Όλες οι προβολές που συζητήθηκαν παραπάνω ανήκουν στην κατηγορία των επίπεδων γεωμετρικών προβολών, επειδή Η προβολή γίνεται σε επίπεδο (και όχι σε καμπύλη επιφάνεια) και χρησιμοποιώντας ένα σωρό ευθείες γραμμές (και όχι καμπύλες). Αυτή η κατηγορία προβολών χρησιμοποιείται συχνότερα στα γραφικά υπολογιστών. Αντίθετα, η χαρτογραφία χρησιμοποιεί συχνά μη επίπεδες ή μη γεωμετρικές προβολές.

Για να περιγραφούν λεπτομερώς οι μέθοδοι παρακολούθησης χαρακτηριστικών σημείων, βαθμονόμησης κάμερας και ανακατασκευής αντικειμένων 3D, είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένα μοντέλο σχεδίασης προοπτικής και να περιγραφεί γεωμετρικές ιδιότητεςαυτή η μεταμόρφωση. Τα σημεία πολλών εικόνων που λαμβάνονται με χρήση προοπτικής προβολής είναι μέσα ιδιαίτερη σχέσημεταξύ τους, τα οποία περιγράφονται με επιπολική γεωμετρία. Τα μοντέλα αυτών των σχέσεων πρέπει να εξεταστούν διεξοδικά, γιατί Σχεδόν όλες οι τρισδιάστατες μέθοδοι ανακατασκευής απαιτούν την αξιολόγηση των αντίστοιχων μοντέλων και βασίζονται στις ιδιότητές τους.

Είναι απαραίτητο να σημειωθεί χωριστά η υπόθεση ότι όλες οι εικόνες πηγής καταγράφουν την ίδια σκηνή, δηλ. κάθε εικόνα είναι μια άποψη της σκηνής από μια συγκεκριμένη κάμερα. Επομένως, για διευκόλυνση της περιγραφής, εισάγεται η έννοια της προβολής, ως εικόνα με ένα αντίστοιχο μοντέλο κάμερας από το οποίο προήλθε.

Προοπτική προβολή

Το μοντέλο προοπτικής προβολής αντιστοιχεί σε μια ιδανική κάμερα pinhole. Αυτό το μοντέλο ταιριάζει αρκετά με τη διαδικασία κατασκευής εικόνας στις περισσότερες σύγχρονες φωτογραφικές μηχανές και βιντεοκάμερες. Ωστόσο, λόγω των περιορισμών της σύγχρονης οπτικής, η πραγματική διαδικασία είναι κάπως διαφορετική από το μοντέλο της κάμερας obscura. Οι διαφορές μεταξύ της πραγματικής διαδικασίας και του μοντέλου ονομάζονται παραμορφώσεις και μοντελοποιούνται ξεχωριστά.

Το μοντέλο της απλούστερης κάμερας με οπή καρφίτσας είναι βολικό καθώς περιγράφεται πλήρως από το κέντρο προβολής και τη θέση του επιπέδου εικόνας. Επομένως, η προβολή οποιουδήποτε σημείου σκηνής στην εικόνα μπορεί να βρεθεί ως η τομή της ακτίνας που συνδέει το κέντρο της προβολής και το σημείο σκηνής με το επίπεδο εικόνας.

Το απλούστερο μοντέλο προοπτικής προβολής

Ας εξετάσουμε την απλούστερη περίπτωση όταν το κέντρο της προβολής της κάμερας (εστίαση) τοποθετείται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων και το επίπεδο της εικόνας συμπίπτει με το επίπεδο Z=1. Έστω (X,Y,Z) οι συντεταγμένες ενός σημείου σε τρισδιάστατο χώρο και (x,y) η προβολή αυτού του σημείου στην εικόνα I. Η προοπτική προβολή σε αυτή την περίπτωση περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις:

Σε μορφή πίνακα χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες, αυτές οι εξισώσεις ξαναγράφονται ως εξής:

(2.2)

Το επίπεδο που βρίσκεται σε απόσταση 1 από το κέντρο της προβολής και είναι κάθετο στον οπτικό άξονα ονομάζεται ιδανικό επίπεδο εικόνας. Ο οπτικός άξονας τέμνει το ιδανικό επίπεδο εικόνας σε ένα σημείο c, που ονομάζεται κύριο σημείο. Μια απεικόνιση της απλούστερης περίπτωσης προοπτικής προβολής φαίνεται στο Σχ. 1.

Βαθμονόμηση εσωτερικής κάμερας

Η πιο απλή περίπτωση προοπτικής προβολής σχεδόν πάντα δεν αντιστοιχεί στην πραγματική κάμερα. Η απόσταση από το κέντρο προβολής στο επίπεδο εικόνας, δηλ. η εστιακή απόσταση, που συμβολίζεται με f, συνήθως δεν είναι ίση με 1. Επίσης, οι συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο της εικόνας μπορεί να μην συμπίπτουν με απόλυτες συντεταγμένες. Όταν χρησιμοποιείτε μια ψηφιακή φωτογραφική μηχανή, η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου στην εικόνα και των απόλυτων συντεταγμένων ενός σημείου σε ένα ιδανικό επίπεδο καθορίζεται από το σχήμα και το μέγεθος των pixel του πίνακα.

Ας υποδηλώσουμε τις διαστάσεις των εικονοστοιχείων μιας μήτρας ψηφιακής φωτογραφικής μηχανής ως p x , p y , τη γωνία κλίσης των εικονοστοιχείων ως α , και το κύριο σημείο ως , Εικ. 2. Τότε οι συντεταγμένες του σημείου (x,y) της εικόνας που αντιστοιχεί στο σημείο (x R , y R) στο ιδανικό επίπεδο καθορίζονται από την έκφραση:

(2.3)

Εάν f x,f y είναι η εστιακή απόσταση f, μετρούμενη σε πλάτη και ύψη εικονοστοιχείων, και το tan(α)*f/p y συμβολίζεται ως s, τότε ο τύπος 2.3 μετατρέπεται σε:

(2.4)

Ο πίνακας K ονομάζεται εσωτερικός πίνακας βαθμονόμησης της κάμερας. Στις περισσότερες περιπτώσεις, στις πραγματικές ψηφιακές φωτογραφικές μηχανές η γωνία pixel είναι κοντά στην ευθεία, δηλ. παράμετρος s=0 και το πλάτος και το ύψος του εικονοστοιχείου είναι ίσα. Το βασικό σημείο βρίσκεται συνήθως στο κέντρο της εικόνας. Επομένως, ο πίνακας K μπορεί να γραφτεί ως:

(2.5)

Αυτή η υπόθεση σχετικά με τη μορφή του πίνακα K χρησιμοποιείται ευρέως για την απλοποίηση αλγορίθμων για τον προσδιορισμό της εσωτερικής βαθμονόμησης της κάμερας, καθώς και στη μοντελοποίηση συνθετικής εικόνας που απαιτείται για την αξιολόγηση της ποιότητας και της αποτελεσματικότητας των μεθόδων 3D ανακατασκευής.

Βαθμονόμηση εξωτερικής κάμερας

Έστω M ένα σκηνικό σημείο σε τρισδιάστατο χώρο. Οποιαδήποτε κίνηση είναι ένας Ευκλείδειος μετασχηματισμός του χώρου, επομένως σε ομοιογενείς συντεταγμένες εκφράζεται ως:

(2.6)

όπου R είναι ο πίνακας περιστροφής, T= T είναι το διάνυσμα μετάφρασης.

Η κίνηση της κάμερας σε σχέση με τη σκηνή είναι ισοδύναμη με την αντίστροφη κίνηση των σημείων της σκηνής σε σχέση με την κάμερα, επομένως είναι ίση με:

(2.7)

όπου R, T είναι ο πίνακας περιστροφής και το διάνυσμα κίνησης της κάμερας σε σχέση με τη σκηνή. Ο πίνακας C ονομάζεται μήτρα εξωτερική βαθμονόμησηκάμερες. Ο πίνακας C-1 ονομάζεται πίνακας κινήσεις της κάμερας. Έτσι, η μήτρα βαθμονόμησης της εξωτερικής κάμερας μεταφράζει τις συντεταγμένες των σημείων σκηνής από το σύστημα συντεταγμένων σκηνής στο σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με την κάμερα.

Ολοκληρωμένο μοντέλο προβολής προοπτικής

Από τις εκφράσεις 2.1, 2.4, 2.7, μπορούμε να εξαγάγουμε μια έκφραση για μια αυθαίρετη προοπτική προβολή για οποιαδήποτε κάμερα με αυθαίρετο προσανατολισμό και θέση στο χώρο:

Σε πιο συνοπτική μορφή, λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σημείωση, αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί ως:

Ο πίνακας P ονομάζεται μήτρα προβολής κάμερας.

Κατ' αναλογία με τον γενικό μετασχηματισμό προοπτικής, ας εξετάσουμε πρώτα την απλούστερη περίπτωση μετασχηματισμού προοπτικής ενός επιπέδου. Έστω το επίπεδο p συμπίπτει με το επίπεδο Z=0, τότε ομοιογενές 3D συντεταγμένεςοποιοδήποτε σημείο του Μ=. Για οποιαδήποτε κάμερα με πίνακα προβολής P, ο μετασχηματισμός προοπτικής του επιπέδου περιγράφεται από έναν πίνακα 3*3:

Εφόσον οποιοδήποτε επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να μεταφερθεί στο επίπεδο Z = 0 με τον Ευκλείδειο μετασχηματισμό της περιστροφής και της μετάφρασης, που ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του πίνακα της κάμερας P με τον πίνακα μετασχηματισμού L, τότε η προοπτική εμφάνιση ενός αυθαίρετου επιπέδου σε ο χώρος περιγράφεται από γραμμικός μετασχηματισμόςμε μήτρα 3*3.

Ονομάζεται επίσης μετασχηματισμός προοπτικού επιπέδου ομογραφία. Σε μορφή πίνακα, ο προοπτικός μετασχηματισμός του επιπέδου γράφεται ως m=HM.

Γεωμετρία δύο εικόνων

Η σκηνή που καταγράφεται σε όλες τις εικόνες πηγής θεωρείται ακίνητη, επομένως η σχετική θέση των προβολών των σημείων σκηνής σε διαφορετικά καρέ δεν μπορεί να αλλάξει με αυθαίρετο τρόπο. Οι περιορισμοί που επιβάλλονται στη θέση των σημειακών προβολών προφανώς εξαρτώνται από τις παραμέτρους των καμερών και τη θέση τους σε σχέση μεταξύ τους. Επομένως, ο καθορισμός μοντέλων τέτοιων περιορισμών παρέχει ορισμένες πληροφορίες σχετικά σχετική θέσηκάμερες από τις οποίες ελήφθησαν οι εικόνες.

Μετασχηματισμός προοπτικού επιπέδου

Εάν τα κέντρα των δύο καμερών συμπίπτουν, τότε τα σημεία στα επίπεδα εικόνας και των δύο καμερών μεταφράζονται μεταξύ τους με έναν προοπτικό μετασχηματισμό του επιπέδου. Σε αυτήν την περίπτωση, ο μετασχηματισμός των σημείων μεταξύ των εικόνων δεν εξαρτάται από το σχήμα της τρισδιάστατης σκηνής, αλλά εξαρτάται μόνο από τη σχετική θέση των επιπέδων εικόνας.

Εάν ολόκληρη η σκηνή ή μέρος της είναι ένα αεροπλάνο, τότε οι εικόνες της είναι αναμμένες ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙμε μη συμπίπτοντα κέντρα κάμερας μπορούν να μετατραπούν το ένα στο άλλο με μετασχηματισμό ομογραφίας. Έστω p το παρατηρούμενο επίπεδο, H 1 ο μετασχηματισμός ομογραφίας μεταξύ του επιπέδου p και της εικόνας Ι 1, H 2 - μετασχηματισμός ομογραφίας μεταξύ επιπέδου p και εικόνας Ι 2. Στη συνέχεια ο μετασχηματισμός ομογραφίας H 12 μεταξύ των εικόνων Ι 1Και Ι 2μπορεί να βγει ως εξής:

Το H 12 δεν εξαρτάται από την παραμετροποίηση του επιπέδου p και επομένως δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα

Οι περισσότερες μέθοδοι για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των τρισδιάστατων σημείων από τις προβολές τους και οι μέθοδοι για την ανακατασκευή μιας τρισδιάστατης σκηνής βασίζονται στην υπόθεση ότι το κέντρο της κάμερας κινείται μεταξύ των προβολών. Επομένως, εάν τα κέντρα των καμερών πολλών τύπων συμπίπτουν, αυτές οι μέθοδοι θα δώσουν εσφαλμένα αποτελέσματα. Τέτοιες διαμορφώσεις κάμερας πρέπει να ανιχνεύονται και να αντιμετωπίζονται με ειδικό τρόπο.

Εφόσον ο μετασχηματισμός της ομογραφίας είναι γραμμένος σε ομοιογενείς συντεταγμένες, ο πίνακας H ορίζεται μέχρι την κλίμακα. Έχει 8 βαθμούς ελευθερίας και παραμετροποιείται από 8 μεταβλητές. Κάθε γνωστό ζεύγος αντίστοιχων σημείων m 1Και m 2στην πρώτη και στη δεύτερη εικόνα αντίστοιχα δίνει 2 γραμμικές εξισώσειςαπό τα στοιχεία του πίνακα Η. Επομένως, 4 γνωστά ζεύγη αντίστοιχων σημείων αρκούν για να συνθέσουν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 8 εξισώσεων με 8 αγνώστους. Σύμφωνα με αυτό το σύστημα, η ομογραφία H μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά εάν κανένα από τα σημεία δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία.

Θεμελιώδης μήτρα

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που τα κέντρα των δύο τύπων καμερών δεν συμπίπτουν. Αφήνω Γ 1Και Γ 2- κέντρα δύο καμερών, M - τρισδιάστατο σημείο της σκηνής, m 1Και m 2- προβολές του σημείου Μ στην πρώτη και στη δεύτερη εικόνα, αντίστοιχα. Έστω P ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M και τα κέντρα των καμερών Γ 1Και Γ 2. Το επίπεδο P τέμνει το επίπεδο εικόνας της πρώτης και της δεύτερης όψης κατά μήκος ευθειών l 1Και l 2. Από τις ακτίνες Γ 1 ΜΚαι Γ 2 Μβρίσκονται στο επίπεδο P, τότε είναι προφανές ότι τα σημεία m 1Και m 2ξαπλώστε σε ευθείες γραμμές l 1Και l 2αντίστοιχα. Μπορούμε να δώσουμε μια γενικότερη δήλωση ότι οι προβολές οποιουδήποτε σημείου M" που βρίσκεται στο επίπεδο P και στις δύο εικόνες πρέπει να βρίσκονται σε ευθείες γραμμές l 1Και l 2. Αυτές οι γραμμές ονομάζονται επιπολικές γραμμές. Το επίπεδο P ονομάζεται επιπολικό επίπεδο.

Δύο όψεις της ίδιας σκηνής ονομάζονται στερεοφωνικό ζεύγος και τμήμα C 1 C 2, η σύνδεση των κέντρων των καμερών ονομάζεται βάση του στερεοφωνικού ζεύγους (γραμμή βάσης) ή στερεοφωνική βάση. Οποιοδήποτε επιπολικό επίπεδο διέρχεται από το τμήμα C 1 C 2. Αφήνω C 1 C 2τέμνει την πρώτη και τη δεύτερη εικόνα σε σημεία ε 1Και ε 2αντίστοιχα. Πόντοι ε 1Και ε 2ονομάζονται επιπολικά σημεία ή επίπολοι. Όλες οι επιπολικές γραμμές τέμνονται σε σημεία ε 1Και ε 2στην πρώτη και στη δεύτερη εικόνα αντίστοιχα. Το σύνολο των επιπολικών επιπέδων είναι μια δέσμη που τέμνεται κατά μήκος της στερεοφωνικής βάσης C 1 C 2. Οι πολλές επιπολικές γραμμές και στις δύο εικόνες αντιπροσωπεύουν επίσης δέσμες ευθειών γραμμών που τέμνονται στο ε 1Και ε 2 .

Πόντοι m 1Και m 2ονομάζονται αντίστοιχες αν είναι προβολές του ίδιου σκηνικού σημείου Μ. Επιπολικές γραμμές l 1Και l 2λέγονται αντίστοιχα αν βρίσκονται στο ίδιο επιπολικό επίπεδο P. Αν το επιπολικό επίπεδο P διέρχεται από ένα σημείο m 1, μετά οι επιπολικές γραμμές l 1Και l 2, που βρίσκονται σε αυτό ονομάζονται αντίστοιχα με το σημείο m 1.

Περιορισμός στη θέση των αντίστοιχων σημείων m 1Και m 2, που προκύπτει από την επιπολική γεωμετρία, μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: σημείο m 2, αντίστοιχος m 1, πρέπει να βρίσκεται στην επιπολική γραμμή l 2, αντίστοιχος m 1. Αυτή η κατάσταση ονομάζεται επιπολικός περιορισμός. Σε ομοιογενείς συντεταγμένες, η προϋπόθεση ότι ένα σημείο Μβρίσκεται στη γραμμή μεγάλογραμμένο ως l T m=0. Η επιπολική γραμμή διέρχεται επίσης από το επιπολικό σημείο. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημεία m 1Και ε 1μπορεί να γραφτεί ως:

l 1 ~ x m 1,

Οπου Χ- μια αντισυμμετρική μήτρα διάστασης 3*3 τέτοια ώστε, x m 1- διανυσματικό προϊόν m 1Και ε 1.

Για τις αντίστοιχες επιπολικές γραμμές l 1Και l 2σωστά:

Οπου Ρ+- ψευδοαναστροφή του πίνακα P.

Ο πίνακας F ονομάζεται θεμελιώδης πίνακας. Είναι ένας γραμμικός τελεστής που συσχετίζει κάθε σημείο m 1την αντίστοιχη επιπολική γραμμή του l 2. Για κάθε ζευγάρι των αντίστοιχων πόντων m 1Και m 2σωστά

m T 2 Fm 1 =0

Αυτή είναι μια διατύπωση του επιπολικού περιορισμού μέσω της θεμελιώδους μήτρας.

Ο θεμελιώδης πίνακας έχει 7 βαθμούς ελευθερίας. Κάθε ζευγάρι των αντίστοιχων πόντων m 1Και m 2ορίζει μια γραμμική εξίσωση για τα στοιχεία του πίνακα, ώστε να μπορεί να υπολογιστεί από τα γνωστά 7 ζεύγη των αντίστοιχων σημείων.

Ο επιπολικός περιορισμός ισχύει για οποιαδήποτε ζεύγη αντίστοιχων σημείων που βρίσκονται σε ιδανικά επίπεδα δύο τύπων. Εάν είναι γνωστοί οι εσωτερικοί πίνακες βαθμονόμησης Κ 1Και Κ2κάμερες και των δύο τύπων, τότε ο επιπολικός περιορισμός για τα αντίστοιχα σημεία σε ιδανικά επίπεδα γράφεται ως:

Ο πίνακας Ε ονομάζεται σημαντικόςμήτρα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η βασική μήτρα μπορεί επίσης να ληφθεί από τις σχετικές θέσεις των καμερών.

Αφήνω P 1 =(I|0)Και P 2 =(R|-RT)- δύο πίνακες σχεδίασης με βαθμονόμηση K = I. Στη συνέχεια γράφονται οι εξισώσεις σχεδιασμού για το ιδανικό επίπεδο και των δύο καμερών με τη μορφή:

Ας βρούμε την επιπολική γραμμή στη δεύτερη όψη που αντιστοιχεί στο σημείο μ" 1στο πρώτο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να προβάλετε στη δεύτερη όψη δύο σημεία που βρίσκονται στην ακτίνα (C 1 , m" 1)στη δεύτερη προβολή, για παράδειγμα στο κέντρο της πρώτης κάμερας (0,0,0,1) Τκαι ένα σημείο στο επίπεδο του απείρου (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) Τ. Οι προβολές αυτών των σημείων θα είναι -RT, και R(x" 1,y" 1,z" 1,0) T. Εξίσωση Επιπολικής Γραμμής l 2, η διέλευση και από τα δύο αυτά σημεία δίνεται ως διανυσματικό γινόμενο:

l 2 =RT×R(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T =R(T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) T)

Σε μορφή μήτρας, ένα διάνυσμα δεν είναι γινόμενο T×(x" 1 ,y" 1 ,z" 1) Τμπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τον πίνακα S:

Τότε ο επιπολικός περιορισμός σε σημεία στο ιδανικό επίπεδο γράφεται ως:

Η έκφραση της βασικής μήτρας ως προς τις εξωτερικές παραμέτρους βαθμονόμησης των δύο καμερών χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των σχετικών θέσεων των καμερών.

Γεωμετρικές ιδιότητες τριών ή περισσότερων εικόνων

Αφήνω Γ 1,Γ 2Και Γ 3- τα κέντρα τριών όψεων της ίδιας τρισδιάστατης σκηνής. Σε αυτή την περίπτωση, επιπολικοί περιορισμοί επιβάλλονται στα αντίστοιχα σημεία οποιουδήποτε ζεύγους ειδών. Αν είναι γνωστές οι προβολές δύο σημείων m 1Και m 2στην πρώτη και τη δεύτερη όψη, τότε η θέση της προβολής στην τρίτη εικόνα μπορεί να βρεθεί ως η τομή δύο επιπολικών όψεων που αντιστοιχούν στα σημεία m 1Και m 2.

Σύμφωνα με δύο γνωστές προβολές m 1Και m 2Χρησιμοποιώντας δύο εικόνες με γνωστή βαθμονόμηση, μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη θέση του σημείου Μ στο χώρο. Επομένως, εάν η βαθμονόμηση της τρίτης εικόνας είναι γνωστή, τότε η προβολή του σημείου Μ στην τρίτη όψη μπορεί να προσδιοριστεί με μια απλή προβολή.

Οι περιορισμοί που επιβάλλονται στη θέση των αντίστοιχων σημείων σε περισσότερες από δύο εικόνες μπορούν επίσης να γραφτούν σε γραμμική μορφή. Για τρεις τύπους, αυτοί οι περιορισμοί γράφονται με τη μορφή τριεστιακού τανυστή, για τέσσερις τύπους - με τη μορφή τετραεστιακού τανυστή. Ωστόσο, ο υπολογισμός αυτών των περιορισμών είναι ισοδύναμος με τον υπολογισμό του μετρητή και των τριών ή τεσσάρων όψεων στον προβολικό χώρο. Αυτοί οι τύποι περιορισμών δεν χρησιμοποιούνται σε αυτήν την εργασία και ως εκ τούτου δεν συζητούνται με περισσότερες λεπτομέρειες.

Έργα των ετών. Voloshin Maximilian. ΑΞΙΑ ΕΝΟΣ ΠΟΙΗΤΗ. 1. Επεξεργαστείτε το ποίημα σαν το κείμενο μιας αποστολής στο εξωτερικό: Ξηρότητα, διαύγεια, πίεση - κάθε λέξη είναι σε εγρήγορση.

Να κόβεις γράμμα γράμμα σε μια σκληρή και στενή πέτρα: Όσο πιο αραιές είναι οι λέξεις, τόσο πιο έντονη η δύναμή τους. Η βουλητική φόρτιση της σκέψης είναι ίση με τις σιωπηλές στροφές.

Διαγράψτε τις λέξεις "Ομορφιά", "Έμπνευση" από το λεξικό - η ποταπή ορολογία των ομοιοκαταληκτών - κατανοήσεις: Αλήθεια, σχέδιο, σχέδιο, ισοδυναμία, συνοπτικότητα και ακρίβεια. Σε μια νηφάλια, σκληρή τέχνη υπάρχει η έμπνευση και η τιμή ενός ποιητή: Να οξύνει την υπερβατική επαγρύπνηση στο κωφάλαλο. Voloshin M.A. Βιβλιοθήκη: Oryol Regional Scientific Universal Public Library με το όνομά του. Ι.Α. Μπουνίνα. - Μ., ; Επιλεγμένα έργα: Σε 2 τόμους.

Μ., ; Red Smoke: Stories. - Μ., ; Gladyshev από την εταιρεία αναγνώρισης: Ιστορίες. - Μ., ; Βαθμός αξιωματικού; Αναπόφευκτο: Μυθιστορήματα. Έκανε πολλές μεταφράσεις ποιητών Mari και Udmurt. Κατά καιρούς δοκίμαζα τις δυνάμεις μου και στην πεζογραφία. Op. Ο Maximilian Aleksandrovich Voloshin () είναι ένας από τους μεγαλύτερους ποιητές του πρώτου τρίτου του 20ού αιώνα. Είναι ένας ταλαντούχος καλλιτέχνης, ένας πολύπλευρος στιχουργός, που έχει διανύσει το μονοπάτι από τα συμβολιστικά, εσωτεριστικά ποιήματα στην αστική-δημοσιογραφική και επιστημονική-φιλοσοφική ποίηση, μέσα από ανθρωποσοφικές προτιμήσεις - στο «ιδανικό της Πόλης του Θεού».

Η προτεινόμενη έκδοση δίνει στον αναγνώστη την ευκαιρία να εξοικειωθεί όχι μόνο με τα καλύτερα ποιητικά έργα του Voloshin, αλλά και με τα πιο ενδιαφέροντα έργα του για την αισθητική, την πεζογραφία των απομνημονευμάτων, τη δημοσιογραφία και τις επιστολές που σχετίζονται με δραματικά γεγονότα στη ζωή των χωρών. Συγγραφέας. Voloshin Maximilian. Όλα τα ποιήματα του συγγραφέα. Δουλειά. Η ανδρεία του ποιητή. 2. Αστέρια. Δημιουργήστε αγαπημένες συλλογές συγγραφέων και ποιημάτων!

Συζήτηση με ομοϊδεάτες! Γράψε κριτικές, συμμετείχε σε ποιητικές μονομαχίες και διαγωνισμούς! Εγγραφείτε στους καλύτερους! Ευχαριστούμε για τη συμμετοχή σας στο Poembook! Ένα email έχει σταλεί στο email σας με στοιχεία πρόσβασης λογαριασμού!

Πρέπει να συνδεθείτε εντός 24 ωρών. Διαφορετικά, ο λογαριασμός θα διαγραφεί! Οι εγγεγραμμένοι χρήστες λαμβάνουν πολλά οφέλη: Δημοσιεύστε ποίηση - συνειδητοποιήστε το ταλέντο σας! Δημιουργήστε αγαπημένες συλλογές συγγραφέων και ποιημάτων! Συζήτηση με ομοϊδεάτες! Γράψε κριτικές, συμμετείχε σε ποιητικές μονομαχίες και διαγωνισμούς! Maximilian Voloshin. Περιγραφή. Ο Maximilian Aleksandrovich Voloshin είναι ένας από τους μεγαλύτερους ποιητές του πρώτου τρίτου του 20ού αιώνα.

Είναι ένας ταλαντούχος καλλιτέχνης, ένας πολύπλευρος στιχουργός, που έχει διανύσει το μονοπάτι από τα συμβολιστικά, εσωτερικά ποιήματα στην αστική-δημοσιογραφική και επιστημονική-φιλοσοφική ποίηση, μέσα από ανθρωποσοφικές προτιμήσεις - στο «ιδανικό της Πόλης του Θεού». Η προτεινόμενη έκδοση δίνει στον αναγνώστη την ευκαιρία να εξοικειωθεί όχι μόνο με τα καλύτερα ποιητικά έργα του Voloshin, αλλά και με τα πιο ενδιαφέροντα έργα του για την αισθητική, την πεζογραφία των απομνημονευμάτων, τη δημοσιογραφία και τα γράμματα που σχετίζονται με το δράμα.

Επιλεγμένα έργα και γράμματα. M. A. Voloshin. Τιμή. τρίψιμο. Ο Maximilian Aleksandrovich Voloshin είναι ένας από τους μεγαλύτερους ποιητές του πρώτου τρίτου του 20ού αιώνα. Είναι ένας ταλαντούχος καλλιτέχνης, ένας πολύπλευρος στιχουργός, που έχει διανύσει το μονοπάτι από τα συμβολιστικά, εσωτερικά ποιήματα στην αστική-δημοσιογραφική και επιστημονική-φιλοσοφική ποίηση, μέσα από ανθρωποσοφικές προτιμήσεις - στο «ιδανικό της Πόλης του Θεού».

Voloshin M.A., The Poet’s Valor: Selected Works and Letters. σειρά: New Library of Russian Classics: υποχρεωτικό αντίγραφο Παρέλαση, πόλη, σελίδα, Περιγραφή του βιβλίου. Ο Maximilian Aleksandrovich Voloshin () είναι ένας από τους μεγαλύτερους ποιητές του πρώτου τρίτου του 20ού αιώνα. Είναι ένας ταλαντούχος καλλιτέχνης, ένας πολύπλευρος στιχουργός, που έχει διανύσει το μονοπάτι από τα συμβολιστικά, εσωτεριστικά ποιήματα στην αστική-δημοσιογραφική και επιστημονική-φιλοσοφική ποίηση, μέσα από ανθρωποσοφικές προτιμήσεις - στο «ιδανικό της Πόλης του Θεού».

ΚατηγορίεςΠλοήγηση ανάρτησης

Προοπτικές προβολές

Μια επίπεδη προοπτική προβολή καθορίζεται μοναδικά από τη θέση του σημείου παρατήρησης και την απόσταση από αυτό έως το επίπεδο προβολής (d). Η θέση του σημείου παρατήρησης μπορεί να καθοριστεί ως διάνυσμα V, που συνδέει το σημείο παρατήρησης και την αρχή του τρισδιάστατου συστήματος συντεταγμένων από το οποίο εκτελείται η προβολή. Το τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων από το οποίο εκτελείται η προβολή ονομάζεται παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων.

Διάνυσμα Vμπορεί να καθοριστεί σε μία από τις δύο μορφές (Εικ. 6.2-1):

1) στο σύστημα πολικών συντεταγμένων μέσω των παραμέτρων:

Συντελεστής R-διανύσματος V;

Q - γωνία μεταξύ του άξονα συντεταγμένων Χ και της διανυσματικής προβολής Vστο επίπεδο συντεταγμένων XY του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων.

J-γωνία μεταξύ του διανύσματος Vκαι ο άξονας Z του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων.

2) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μέσω διανυσματικών προβολών Vστους άξονες συντεταγμένων του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων:

V x – διανυσματική προβολή Vστον άξονα Χ.

V y – διανυσματική προβολή Vστον άξονα Χ.

V z – διανυσματική προβολή V στον άξονα Χ.

Ρύζι.6.2 ‑ 1

Το έργο της προβολής ενός γραφικού αντικειμένου καταλήγει τελικά στον καθορισμό των συντεταγμένων X,Y των μεμονωμένων σημείων του αντικειμένου στο επίπεδο προβολής, τα οποία αρχικά καθορίζονται από τρεις συντεταγμένες στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων.

Προσδιορισμός των συντεταγμένων ενός σημείου στο επίπεδο προβολής

Ας χωρίσουμε το γενικό πρόβλημα της προοπτικής προβολής σε δύο προβλήματα μετασχηματισμού συντεταγμένων:

Μετασχηματισμός για αλλαγή από παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων σε σύστημα συντεταγμένων προβολής

Μετασχηματισμοί για μετακίνηση από σύστημα συντεταγμένων όψης σε συντεταγμένες στο επίπεδο προβολής.

Εναλλαγή για προβολή συστήματος συντεταγμένων

Η μετάβαση στο σύστημα συντεταγμένων προβολής απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα (Εικ. 6.2-2).

Ένα σύστημα συντεταγμένων προβολής είναι ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων με άξονες συντεταγμένων X in , Y in , Z in , το οποίο είναι «βολικό» για μια δεδομένη προβολή, δηλ. από το οποίο πραγματοποιείται πιο εύκολα η μετάβαση σε ένα δισδιάστατο σύστημα στο επίπεδο προβολής (για παράδειγμα, μια οθόνη). Για αυτόν τον τύπο προοπτικής προβολής, η αρχή του συστήματος συντεταγμένων προβολής πρέπει να βρίσκεται στο σημείο Ε, ο άξονάς του Z πρέπει να συμπίπτει με το διάνυσμα προβολής V, ο άξονας X του πρέπει να προβάλλεται στον άξονα X e και ο άξονας Y του πρέπει να προβάλλεται στον άξονα Y e.

Ρύζι.6.2 ‑ 2

Με βάση αυτό, η μετάβαση από το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων στο σύστημα συντεταγμένων προβολής μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω της ακόλουθης ακολουθίας βασικών μετασχηματισμών:

1) μεταφορά του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων σε ένα διάνυσμα V, ως αποτέλεσμα του οποίου θα ληφθεί ένα σύστημα συντεταγμένων με την αρχή στο σημείο Ε και τους άξονες συντεταγμένων X 1, Y 1, Z 1 (που υλοποιείται από τον πίνακα T-1 (-V x, -V y, -V z) )

2) περιστροφή του προκύπτοντος συστήματος υπό γωνία (-(90 0 -q)) σε σχέση με τον άξονα συντεταγμένων του Z 1, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί ένα σύστημα με άξονες συντεταγμένων X 2, Y 2, Z 2 (εφαρμόζεται από τον πίνακα R z -1 (-( 90 0 -q)), στον οποίο το διάνυσμα Vβρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων Y 2, Z 2.

3) περιστροφή του προκύπτοντος συστήματος E, X 1, Y 1, Z 1 κατά γωνία ((180 0 - j)) σε σχέση με τον άξονα συντεταγμένων X 2, με αποτέλεσμα ένα σύστημα με άξονες συντεταγμένων X 3, Y 3, Z 3, η αρχή του οποίου είναι στο σημείο Ε, (που υλοποιείται από τον πίνακα R x -1 (180 0 - j)), στον οποίο το διάνυσμα V βρίσκεται στον άξονα Z 3.

4) αλλαγή της κατεύθυνσης του άξονα συντεταγμένων X 3, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί το επιθυμητό σύστημα συντεταγμένων προβολής με άξονες συντεταγμένων X in, Y in, Z in (που υλοποιείται από τον πίνακα R (-x)).

Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τους τέσσερις βασικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων, για τη μεταφορά στο σύστημα συντεταγμένων προβολής είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο γινόμενο πινάκων:

Για να προσδιορίσουμε τους πίνακες που χρησιμοποιούνται, αντιπροσωπεύουμε όλα τα στοιχεία τους μέσω των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin j, cos j, sin q, cos q και εισάγουμε τον συμβολισμό:

cos j= a ; sin j = b ; cos q = c; sin q = d;

u x = -r bc ; u y = -r bd ; u z =-r a .

Για το σκοπό αυτό, ας παρουσιάσουμε τους πίνακες που παρατίθενται στην παραπάνω έκφραση με την ακόλουθη μορφή.

Μήτρα μεταφοράς:

T -1 (u x, u y, u z)= T (-u x, -u y, -u z).

Αυτή η αναπαράσταση είναι θεμιτή, αφού ο πίνακας αντίστροφης μεταφοράς σε ένα διάνυσμα είναι ισοδύναμος με τον πίνακα άμεσης μεταφοράς στο ίδιο διάνυσμα προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Λαμβάνοντας υπόψη τις εισαγόμενες σημειώσεις, θα έχουμε:

Πίνακες περιστροφής σε σχέση με τον άξονα Z 1:

R z -1 (-(90 0 -Q))= R z (90 0 -Q),

και, δεδομένου ότι αμαρτία (90 0 -a)= cos a, μπορούμε να γράψουμε:

Πίνακες περιστροφήςσε σχέση με τον άξονα συντεταγμένων X 2:

R x -1 ((180 0 -j))= R x (-(180 0 -j)) ,

και, λαμβάνοντας υπόψη ότι sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, έχουμε:

Πίνακας για την αλλαγή της κατεύθυνσης του άξονα συντεταγμένωνΤο X 2 μοιάζει με:

Ας βρούμε τον πίνακα μετασχηματισμού προβολής R σε:

Ας προσδιορίσουμε τη σειρά πολλαπλασιασμού του πίνακα σύμφωνα με τις αγκύλες στη σημειογραφία:

Ας βρούμε το R1:

Ας βρούμε το προϊόν:

Όταν βρίσκουμε τον πίνακα μετασχηματισμού προβολής R στο, λαμβάνουμε υπόψη την ανάγκη επέκτασης του πίνακα R 2 από τη διάσταση 3 * 3 στη διάσταση 4 * 4:

Έτσι, ο πίνακας μετασχηματισμού προβολής έχει τη μορφή:

(6.2-1)

Μετάβαση από το σύστημα προβολής στις συντεταγμένες στο επίπεδο προβολής.

Για να ολοκληρώσετε αυτό το στάδιο, χρησιμοποιήστε το παρακάτω σχήμα (Εικ. 6.2-3).

Στο σχήμα χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες ονομασίες:

E – αρχή του συστήματος συντεταγμένων προβολής με άξονες συντεταγμένων X in, Y in, Z in.

T1 – ένα σημείο στο σύστημα συντεταγμένων προβολής, που βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων X στο Z σε ;

Т2 – ένα σημείο στο σύστημα συντεταγμένων όψης, που βρίσκεται στο επίπεδο συντεταγμένων Y στο Z στο .

D - απόσταση από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων θέασης έως το επίπεδο προβολής.

Χε, Υε- άξονες του συστήματος συντεταγμένων στο επίπεδο προβολής (στην οθόνη).

Από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ότι:

Αυτό συνεπάγεται την ακόλουθη εξάρτηση των συντεταγμένων ενός σημείου στην οθόνη από τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στο σύστημα συντεταγμένων προβολής:

(6.2-2)

Έτσι, χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμού προβολής R σε , που ορίζεται από την έκφραση (6.2-1), και τις σχέσεις σύμφωνα με τις εκφράσεις (6.2-2), είναι δυνατός ο υπολογισμός των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων στο προοπτικό επίπεδο προβολής.

Σημεία και γραμμές φυγής

Σε μια προοπτική προβολή, το σημείο εξαφάνισης της ευθείας γραμμής ΑΑ' είναι το σημείο στο επίπεδο προβολής προς το οποίο τείνει η προβολή του σημείου που «τρέχει μακριά» στο άπειρο κατά μήκος της ευθείας γραμμής ΑΑ'. Για να παρουσιάσετε τη γεωμετρική σημασία των σημείων εξαφάνισης, λάβετε υπόψη το παρακάτω σχήμα (Εικ. 6.2-4).

Στο σχήμα χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα σύμβολα:

E - προέλευση του συστήματος συντεταγμένων προβολής.

"PP" - επίπεδο προβολής (οθόνη) με άξονες συντεταγμένων X και Y.

Ρύζι.6.2 ‑ 4

Ας τραβήξουμε μια ευθεία Ea μέχρι το σημείο E, κάθετη στο επίπεδο προβολής. Αυτή η ευθεία τέμνεται με το επίπεδο προβολής στο σημείο a n, το οποίο θα είναι το σημείο προβολής όλων των σημείων της ευθείας Ea', συμπεριλαμβανομένου του σημείου που εκτείνεται κατά μήκος αυτής της ευθείας μέχρι το άπειρο. Επομένως, το σημείο a n είναι το σημείο φυγής για την ευθεία Ea’.

Ας πάρουμε ένα ορισμένο σημείο b p στο επίπεδο προβολής και ας τραβήξουμε μια ευθεία b p b’ μέσα από αυτό, παράλληλη με την ευθεία Ea’. Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο μέσα από τις ευθείες Ea ’ και b p b ’, που θα τέμνονται με το επίπεδο προβολής κατά μήκος της ευθείας b p a p . Ας πάρουμε το σημείο b b στην ευθεία b p b ‘ και ας το κατευθύνουμε κατά μήκος μιας ευθείας στο άπειρο.

Καθώς το τρέχον σημείο κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής προς το άπειρο, η προβολή του b bp θα κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής b p a p , τείνοντας στο σημείο a p καθώς το σημείο b p τείνει στο άπειρο. Έτσι, το σημείο a p θα είναι το σημείο φυγής για την ευθεία b p b '.

Η μόνη προϋπόθεση για την επιλογή της γραμμής bb ' ήταν να είναι παράλληλη με τη γραμμή Ea ». Συνεπώς, για όλες τις γραμμές που είναι παράλληλες στην Ea ’, το σημείο φυγής θα είναι το ίδιο σημείο a n.

Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω του σημείου a p στο επίπεδο προβολής, παράλληλη προς τον άξονα Χ του επιπέδου προβολής, και πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο d p σε αυτό. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω των σημείων E και d p. Στη συνέχεια, παίρνουμε ένα άλλο αυθαίρετο σημείο c p στο επίπεδο προβολής και σχεδιάζουμε μέσα από αυτό στο σύστημα συντεταγμένων προβολής μια ευθεία γραμμή c p c παράλληλη στην ευθεία E ρεΠ .

Μέσα από τις παράλληλες γραμμές που προκύπτουν σχεδιάζουμε ένα επίπεδο που τέμνει το επίπεδο προβολής κατά μήκος της ευθείας d p c p . Ας πάρουμε ένα σημείο c b στην ευθεία c n c και ας το κατευθύνουμε στο άπειρο. Όπως φαίνεται από το σχήμα, ως σημείο γ β. στο άπειρο, η προβολή του θα κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής c p d p., τείνει προς το σημείο d p. Από αυτό προκύπτει ότι το σημείο d n είναι το σημείο φυγής για την ευθεία c n c.

Επιχειρηματολογώντας με παρόμοιο τρόπο, είναι εύκολο να δείξουμε ότι για όλες τις παράλληλες ευθείες στο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο E και την ευθεία d p a p , τα σημεία φυγής θα βρίσκονται στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία d p a p .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η ευθεία d p a p είναι η γραμμή εξαφάνισης για όλα τα οριζόντια επίπεδα. Αυτή η ευθεία ονομάζεται γραμμή ορίζοντα.

Από τα παραπάνω μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε ότι όλες οι παράλληλες ευθείες, ανεξάρτητα από τη θέση τους, έχουν ένα σημείο φυγής. Τα παραπάνω ισχύουν και για κάθετες γραμμές, οι οποίες έχουν ένα μόνο σημείο εξαφάνισης που ονομάζεται σημείο ζενίθ.

Συλλογίζοντας με παρόμοιο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι όλα τα παράλληλα επίπεδα έχουν μια ενιαία γραμμή εξαφάνισης.

Η έννοια των σημείων και των γραμμών εξαφάνισης χρησιμοποιείται κατά την κατασκευή προβολών τρισδιάστατων αντικειμένων. Ας το δούμε αυτό με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Ας είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια προεξοχή ενός παραλληλεπίπεδου με κάθετες πλευρικές ακμές, που έχει ένα άνω άκρο που ορίζεται από τα σημεία αγκύρωσης 1, 2,3, 4 και μια κάτω όψη που ορίζεται από τα σημεία αγκύρωσης 5, 6, 7, 8 (Εικ. 6,2-5).

Σημειώστε ότι από τις ιδιότητες του δεδομένου αντικειμένου, οι άκρες που καθορίζονται από τα κομβικά σημεία 1,2. 3.4; 5.6; 7.8, παράλληλες, και, επομένως, οι ευθείες που τις μεταφέρουν συγκλίνουν σε ένα σημείο (σημείο Tc1). Ευθείες πλευρικές πλευρές στήριξης 3.7; 4.8; Τα 2.6 και 1.5 έχουν επίσης το ίδιο σημείο φυγής (σημείο Τ3). Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τα rib 1.3. 2.4; 5.7; 6,8 – οι ευθείες που τις φέρουν είναι παράλληλες μεταξύ τους και επομένως έχουν ένα μόνο σημείο φυγής (σημείο Tc2).

Για να κατασκευάσουμε με σαφήνεια μια προβολή ενός δεδομένου αντικειμένου, αρκεί να προσδιορίσουμε στην προβολή τα τρία προαναφερθέντα σημεία εξαφάνισης (T3, Ts1, Ts2) και τις προβολές των σημείων 2,5,6,8 (Εικ. 6.2- 6).

Ρύζι.6.2 ‑ 5

Η προβολή μπορεί να κατασκευαστεί με την ακόλουθη σειρά.

Μέσα από τα σημεία 5 και Tc2 χαράσσουμε μια ευθεία γραμμή που φέρει άκρα 5.7. Η τομή του με την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Tc1 και 8 (ευθεία,

Ρύζι.6.2 ‑ 6

ακμή ρουλεμάν 7.8), είναι το σημείο 7. Ρουλεμάν για πλευρικές νευρώσεις 3.7; 4.8; Τα 2,6 και 1,5 θα προκύψουν εάν χαράξουμε ευθείες γραμμές μέσω του ζενίθου σημείου Τ3 και των ήδη υπαρχόντων τεσσάρων κομβικών σημείων της κάτω ακμής του παραλληλεπίπεδου (γραμμές Τ3.6, Τ3,7, Τ3,8, Τ3,5).

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές Tc1,2. Το σημείο τομής του με την ευθεία Τ3.5 θα είναι το σημείο 1. Ας σχεδιάσουμε ευθείες Tc1,4. Το σημείο τομής του με την ευθεία Τ 3.7 θα είναι το σημείο 3.

Με αυτόν τον τρόπο, θα βρεθούν προβολές όλων των κομβικών σημείων του αντικειμένου που έχει καθοριστεί για προβολή, από τα οποία ολόκληρο το προβαλλόμενο παραλληλεπίπεδο μπορεί να κατασκευαστεί χωρίς αμφιβολία στο επίπεδο προβολής.

Προκειμένου να ληφθεί μια εικόνα ενός αντικειμένου κατά τη διάρκεια της προβολής που είναι κοντά στον τρόπο που αντιλαμβάνεται υποκειμενικά ένα άτομο, είναι απαραίτητο να περιοριστεί η γωνία προβολής (η γωνία θέασης ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από έναν παρατηρητή από την παρατήρηση σημείο, δηλαδή από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων της άποψης). Κατά κανόνα, ένα αποδεκτό αποτέλεσμα προβολής λαμβάνεται όταν η γωνία προβολής δεν υπερβαίνει τις 30-40 μοίρες.

Η εξεταζόμενη μέθοδος προβολής είναι αποδεκτή μόνο για σχετικά απλά αντικείμενα.