Ορίστε μια μπάλα. Σφαίρα, μπάλα, τμήμα και τομέας

Μια μπάλα είναι ένα σώμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη από ένα δεδομένο σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο της μπάλας και αυτή η απόσταση ονομάζεται ακτίνα της μπάλας. Το όριο μιας μπάλας ονομάζεται σφαιρική επιφάνεια ή σφαίρα. Τα σημεία της σφαίρας είναι όλα τα σημεία της μπάλας που απομακρύνονται από το κέντρο σε απόσταση ίση με την ακτίνα. Κάθε τμήμα που συνδέει το κέντρο μιας μπάλας με ένα σημείο της σφαιρικής επιφάνειας ονομάζεται επίσης ακτίνα. Το τμήμα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας και συνδέει δύο σημεία στη σφαιρική επιφάνεια ονομάζεται διάμετρος. Τα άκρα οποιασδήποτε διαμέτρου ονομάζονται διαμετρικά αντίθετα σημεία της μπάλας.

Μια μπάλα είναι ένα σώμα περιστροφής, ακριβώς όπως ένας κώνος και ένας κύλινδρος. Μια μπάλα λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό της ως άξονα.

Η επιφάνεια της μπάλας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

όπου r είναι η ακτίνα της μπάλας, d η διάμετρος της μπάλας.

Ο όγκος της μπάλας βρίσκεται με τον τύπο:

V = 4 / 3 πr 3,

όπου r είναι η ακτίνα της μπάλας.

Θεώρημα. Κάθε τμήμα μιας μπάλας από ένα επίπεδο είναι ένας κύκλος. Το κέντρο αυτού του κύκλου είναι η βάση της κάθετης που τραβιέται από το κέντρο της μπάλας στο επίπεδο κοπής.

Με βάση αυτό το θεώρημα, εάν μια μπάλα με κέντρο Ο και ακτίνα R τέμνεται από το επίπεδο α, τότε η διατομή καταλήγει σε κύκλο ακτίνας r με κέντρο Κ. Η ακτίνα της τομής της μπάλας από το επίπεδο μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Από τον τύπο είναι ξεκάθαρο ότι επίπεδα σε ίση απόσταση από το κέντρο τέμνουν τη μπάλα σε ίσους κύκλους. Η ακτίνα του τμήματος είναι μεγαλύτερη, όσο πιο κοντά είναι το επίπεδο κοπής στο κέντρο της μπάλας, δηλαδή τόσο μικρότερη είναι η απόσταση ΟΚ. Η μεγαλύτερη ακτίνα έχει μια τομή από ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας. Η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα της μπάλας.

Το επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας ονομάζεται κεντρικό επίπεδο. Το τμήμα μιας μπάλας κατά το διαμετρικό επίπεδο ονομάζεται μεγάλος κύκλος και το τμήμα μιας σφαίρας ονομάζεται μεγάλος κύκλος και το τμήμα μιας σφαίρας ονομάζεται μεγάλος κύκλος.

Θεώρημα. Οποιοδήποτε διαμετρικό επίπεδο μιας μπάλας είναι το επίπεδο συμμετρίας της. Το κέντρο της μπάλας είναι το κέντρο συμμετρίας της.

Το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α της σφαιρικής επιφάνειας και είναι κάθετο στην ακτίνα που σύρεται στο σημείο Α ονομάζεται εφαπτομενικό επίπεδο. Το σημείο Α ονομάζεται εφαπτομενικό σημείο.

Θεώρημα. Το εφαπτομενικό επίπεδο έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την μπάλα - το σημείο επαφής.

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α της σφαιρικής επιφάνειας κάθετα στην ακτίνα που σύρεται στο σημείο αυτό ονομάζεται εφαπτομένη.

Θεώρημα. Ένας άπειρος αριθμός εφαπτομένων διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο της σφαιρικής επιφάνειας και όλες βρίσκονται στο εφαπτόμενο επίπεδο της μπάλας.

Ένα σφαιρικό τμήμα είναι το τμήμα μιας μπάλας που αποκόπτεται από αυτό από ένα επίπεδο. Ο κύκλος ABC είναι η βάση του σφαιρικού τμήματος. Το κάθετο τμήμα MN που σχεδιάζεται από το κέντρο N του κύκλου ABC έως την τομή με τη σφαιρική επιφάνεια είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος. Το σημείο Μ είναι η κορυφή του σφαιρικού τμήματος.

Η επιφάνεια ενός σφαιρικού τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ο όγκος ενός σφαιρικού τμήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

V = πh 2 (R – 1/3h),

όπου R είναι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου, h είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος.

Ένας σφαιρικός τομέας λαμβάνεται από ένα σφαιρικό τμήμα και έναν κώνο ως εξής. Εάν ένα σφαιρικό τμήμα είναι μικρότερο από ένα ημισφαίριο, τότε το σφαιρικό τμήμα συμπληρώνεται από έναν κώνο, η κορυφή του οποίου βρίσκεται στο κέντρο της μπάλας και η βάση είναι η βάση του τμήματος. Εάν το τμήμα είναι μεγαλύτερο από ένα ημισφαίριο, τότε ο καθορισμένος κώνος αφαιρείται από αυτό.

Ένας σφαιρικός τομέας είναι ένα μέρος μιας σφαίρας που οριοθετείται από μια καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού τμήματος (στο σχήμα μας, αυτό είναι AMCB) και μια κωνική επιφάνεια (στο σχήμα μας, αυτό είναι OABC), η βάση της οποίας είναι η βάση του τμήμα (ABC), και η κορυφή είναι το κέντρο της μπάλας O.

Ο όγκος του σφαιρικού τομέα βρίσκεται με τον τύπο:

V = 2/3 πR 2 H.

Ένα σφαιρικό στρώμα είναι ένα μέρος μιας μπάλας που περικλείεται μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων (επίπεδα ABC και DEF στο σχήμα) που τέμνουν τη σφαιρική επιφάνεια. Η καμπύλη επιφάνεια του σφαιρικού στρώματος ονομάζεται σφαιρική ζώνη (ζώνη). Οι κύκλοι ABC και DEF είναι οι βάσεις της σφαιρικής ζώνης. Η απόσταση ΝΚ μεταξύ των βάσεων της σφαιρικής ζώνης είναι το ύψος της.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ενότητα II. ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

§22. ΜΠΑΛΑ. ΣΦΑΙΡΑ.

1. Ορισμός μπάλας και σφαίρας. Στοιχεία μπάλας και σφαίρας.

Μια σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα που περιέχει τη διάμετρό του (Εικ. 500).

Το κέντρο του κύκλου που περιστρέφεται ονομάζεται κέντρο της μπάλας, η ακτίνα του κύκλου είναι η ακτίνα της μπάλας και η διάμετρος του κύκλου είναι η διάμετρος της μπάλας. Στο Σχήμα 500, το σημείο Ο είναι το κέντρο της μπάλας, το ΟΑ και το ΟΒ είναι οι ακτίνες της μπάλας και το ΑΒ είναι η διάμετρος της μπάλας.

Η επιφάνεια μιας μπάλας ονομάζεται σφαίρα.

Το κέντρο, η ακτίνα και η διάμετρος μιας σφαίρας είναι επίσης το κέντρο, η ακτίνα και η διάμετρος μιας σφαίρας.

Όλα τα σημεία της σφαίρας βρίσκονται στην ίδια απόσταση, ίση με την ακτίνα, από το κέντρο της σφαίρας. Άλλα σημεία της μπάλας που δεν ανήκουν στη σφαίρα ονομάζονται εσωτερικά σημεία· τέτοια σημεία λέγεται ότι βρίσκονται μέσα στη σφαίρα. Τα εσωτερικά σημεία της μπάλας βρίσκονται από το κέντρο της μπάλας σε απόσταση μικρότερη από την ακτίνα.

Έτσι φτάνουμε σε έναν άλλο ορισμό της σφαίρας και της μπάλας.

Η σφαίρα είναι μια επιφάνεια που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου που απέχουν ίσα από το ίδιο σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο της σφαίρας και η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας σε οποιοδήποτε σημείο της είναι η ακτίνα της σφαίρας.

Μια σφαίρα είναι ένα γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από ένα δεδομένο σημείο από ένα δεδομένο σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο της μπάλας και αυτή η απόσταση ονομάζεται ακτίνα της μπάλας.

Παράδειγμα. Η ακτίνα της σφαίρας είναι 3,5 εκ. Το σημείο Α βρίσκεται μέσα ή έξω από τη σφαίρα αν απέχει από το κέντρο της σφαίρας: 1) cm, 2)εκ.

Ορισμός.

Σφαίρα (επιφάνεια της μπάλας) είναι η συλλογή όλων των σημείων στον τρισδιάστατο χώρο που βρίσκονται στην ίδια απόσταση από ένα σημείο, που ονομάζεται κέντρο της σφαίρας(ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ).

Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί ως ένα τρισδιάστατο σχήμα που σχηματίζεται περιστρέφοντας έναν κύκλο γύρω από τη διάμετρό του κατά 180° ή ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό του κατά 360°.

Ορισμός.

Μπάλαείναι μια συλλογή όλων των σημείων στον τρισδιάστατο χώρο, η απόσταση από τα οποία δεν υπερβαίνει μια ορισμένη απόσταση σε ένα σημείο που ονομάζεται κέντρο της μπάλας(Ο) (το σύνολο όλων των σημείων του τρισδιάστατου χώρου που περιορίζεται από μια σφαίρα).

Μια μπάλα μπορεί να περιγραφεί ως μια τρισδιάστατη φιγούρα που σχηματίζεται περιστρέφοντας έναν κύκλο γύρω από τη διάμετρό της κατά 180° ή ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρό της κατά 360°.

Ορισμός. Ακτίνα της σφαίρας (μπάλα)(R) είναι η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας (μπάλα) Οσε οποιοδήποτε σημείο της σφαίρας (επιφάνεια της μπάλας).

Ορισμός. Διάμετρος σφαίρας (μπάλας).Το (D) είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία μιας σφαίρας (την επιφάνεια μιας μπάλας) και διέρχεται από το κέντρο της.

Τύπος. Όγκος σφαίρας:

V=	4	π R 3 =	1	π Δ 3
	3		6

Τύπος. Επιφάνεια μιας σφαίραςμέσω ακτίνας ή διαμέτρου:

S = 4π R 2 = π D 2

Εξίσωση σφαίρας

1. Εξίσωση σφαίρας με ακτίνα R και κέντρο στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Εξίσωση σφαίρας με ακτίνα R και κέντρο σε σημείο με συντεταγμένες (x 0, y 0, z 0) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Ορισμός. Διαμετρικά αντίθετα σημείαείναι οποιαδήποτε δύο σημεία στην επιφάνεια μιας μπάλας (σφαίρας) που συνδέονται με διάμετρο.

Βασικές ιδιότητες μιας σφαίρας και μιας μπάλας

1. Όλα τα σημεία της σφαίρας απέχουν εξίσου από το κέντρο.

2. Οποιοδήποτε τμήμα μιας σφαίρας από ένα επίπεδο είναι κύκλος.

3. Οποιοδήποτε τμήμα μιας μπάλας από ένα επίπεδο είναι κύκλος.

4. Η σφαίρα έχει τον μεγαλύτερο όγκο μεταξύ όλων των χωρικών μορφών με την ίδια επιφάνεια.

5. Μέσα από οποιαδήποτε δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία μπορείτε να σχεδιάσετε πολλούς μεγάλους κύκλους για μια σφαίρα ή κύκλους για μια μπάλα.

6. Μέσα από οποιαδήποτε δύο σημεία, εκτός από διαμετρικά αντίθετα σημεία, μπορείτε να σχεδιάσετε μόνο έναν μεγάλο κύκλο για μια σφαίρα ή έναν μεγάλο κύκλο για μια μπάλα.

7. Οποιοιδήποτε δύο μεγάλοι κύκλοι μιας μπάλας τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας και οι κύκλοι τέμνονται σε δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία.

8. Αν η απόσταση μεταξύ των κέντρων οποιωνδήποτε δύο σφαιρών είναι μικρότερη από το άθροισμα των ακτίνων τους και μεγαλύτερη από το μέτρο της διαφοράς των ακτίνων τους, τότε τέτοιες μπάλες διατέμνω, και σχηματίζεται ένας κύκλος στο επίπεδο τομής.

Τομή, χορδή, επίπεδο τομής μιας σφαίρας και οι ιδιότητές τους

Ορισμός. Τομή σφαίραςείναι μια ευθεία που τέμνει τη σφαίρα σε δύο σημεία. Τα σημεία τομής ονομάζονται σημεία διάτρησηςεπιφάνειες ή σημεία εισόδου και εξόδου στην επιφάνεια.

Ορισμός. Χορδή σφαίρας (μπάλα)- αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε μια σφαίρα (την επιφάνεια μιας μπάλας).

Ορισμός. Αεροπλάνο κοπήςείναι το επίπεδο που τέμνει τη σφαίρα.

Ορισμός. Διαμετρικό επίπεδο- αυτό είναι ένα επίπεδο τομής που διέρχεται από το κέντρο μιας σφαίρας ή μιας μπάλας, η τομή σχηματίζεται ανάλογα μεγάλος κύκλοςΚαι μεγάλος κύκλος. Ο μεγάλος κύκλος και ο μεγάλος κύκλος έχουν ένα κέντρο που συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας (μπάλα).

Κάθε χορδή που διέρχεται από το κέντρο μιας σφαίρας (μπάλας) είναι διάμετρος.

Μια συγχορδία είναι ένα τμήμα μιας τέμνουσας γραμμής.

Η απόσταση d από το κέντρο της σφαίρας προς την τομή είναι πάντα μικρότερη από την ακτίνα της σφαίρας:

ρε< R

Η απόσταση m μεταξύ του επιπέδου κοπής και του κέντρου της σφαίρας είναι πάντα μικρότερη από την ακτίνα R:

Μ< R

Η θέση του τμήματος του επιπέδου κοπής στη σφαίρα θα είναι πάντα μικρός κύκλος, και στην μπάλα το τμήμα θα είναι μικρός κύκλος. Ο μικρός κύκλος και ο μικρός κύκλος έχουν τα δικά τους κέντρα που δεν συμπίπτουν με το κέντρο της σφαίρας (μπάλα). Η ακτίνα r ενός τέτοιου κύκλου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

r = √R 2 - m 2,

Όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας (μπάλα), m είναι η απόσταση από το κέντρο της μπάλας μέχρι το επίπεδο κοπής.

Ορισμός. Ημισφαίριο (ημισφαίριο)- αυτό είναι το μισό μιας σφαίρας (μπάλας), η οποία σχηματίζεται όταν κόβεται από ένα διαμετρικό επίπεδο.

Εφαπτομένη, εφαπτόμενο επίπεδο σε μια σφαίρα και οι ιδιότητές τους

Ορισμός. Εφαπτομένη σε μια σφαίραείναι μια ευθεία γραμμή που αγγίζει τη σφαίρα μόνο σε ένα σημείο.

Ορισμός. Εφαπτόμενο επίπεδο σε μια σφαίραείναι ένα επίπεδο που αγγίζει τη σφαίρα σε ένα μόνο σημείο.

Η εφαπτομένη (επίπεδο) είναι πάντα κάθετη στην ακτίνα της σφαίρας που τραβιέται στο σημείο επαφής

Η απόσταση από το κέντρο της σφαίρας μέχρι την εφαπτομένη γραμμή (επίπεδο) είναι ίση με την ακτίνα της σφαίρας.

Ορισμός. Τμήμα μπάλας- αυτό είναι το μέρος της μπάλας που κόβεται από την μπάλα με ένα αεροπλάνο κοπής. Βάση του τμήματοςονομάζεται ο κύκλος που σχηματίστηκε στη θέση του τμήματος. Ύψος τμήματος h είναι το μήκος της κάθετου που σύρεται από το μέσο της βάσης του τμήματος μέχρι την επιφάνεια του τμήματος.

Τύπος. Εξωτερική επιφάνεια ενός τμήματος σφαίραςμε ύψος h στην ακτίνα της σφαίρας R:

S = 2πRh

Μπάλα (σφαίρα)

Σφαιρική επιφάνεια. Μπάλα (σφαίρα). Τμήματα μπάλας: κύκλους.

Θεώρημα του Αρχιμήδη. Μέρη της μπάλας: σφαιρικό τμήμα,

σφαιρικό στρώμα, σφαιρικός ιμάντας, σφαιρικός τομέας.

Σφαιρική επιφάνεια - Αυτό τόπος σημείων(εκείνοι. Πολλάαριθμός όλων των πόντων)στο διάστημα, σε ίση απόσταση από ένα σημείο Ο , που ονομάζεται κέντρο της σφαιρικής επιφάνειας (Εικ.90). Ακτίνα κύκλου AOi διάμετροςΑΒ καθορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως σε έναν κύκλο.

Μπάλα (σφαίρα) - Αυτό ένα σώμα που οριοθετείται από μια σφαιρική επιφάνεια.Μπορώ πάρτε την μπάλα περιστρέφοντας το ημικύκλιο (ή κύκλος ) γύρω από τη διάμετρο. Όλα τα επίπεδα τμήματα της μπάλας είναι κύκλους (Εικ.90 ). Ο μεγαλύτερος κύκλος βρίσκεται σε ένα τμήμα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας και ονομάζεται μεγάλος κύκλος. Η ακτίνα του είναι ίση με την ακτίνα της μπάλας. Οποιοιδήποτε δύο μεγάλοι κύκλοι τέμνονται κατά μήκος της διαμέτρου της μπάλας (ΑΒ, Εικ.91 ).Αυτή η διάμετρος είναι επίσης η διάμετρος των τεμνόμενων μεγάλων κύκλων. Μέσω δύο σημείων μιας σφαιρικής επιφάνειας που βρίσκονται στα άκρα της ίδιας διαμέτρου(Α και Β, Εικ. 91 ), μπορείτε να σχεδιάσετε αμέτρητους μεγάλους κύκλους. Για παράδειγμα, ένας άπειρος αριθμός μεσημβρινών μπορεί να σχεδιαστεί μέσα από τους πόλους της Γης.

Ο όγκος της σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περιβάλλεται γύρω από αυτήν. (Εικ.92 ), ΕΝΑ η επιφάνεια της μπάλας είναι μιάμιση φορά μικρότερη από τη συνολική επιφάνεια του ίδιου κυλίνδρου ( Θεώρημα του Αρχιμήδη):

Εδώ μικρό μπάλα Και V μπάλα - την επιφάνεια και τον όγκο της μπάλας, αντίστοιχα.

μικρό κύλ Και V κύλ - τη συνολική επιφάνεια και όγκο του περιγεγραμμένου κυλίνδρου.

Μέρη της μπάλας. Μέρος μιας μπάλας (σφαίρα) ), αποκόπηκε από αυτό με κάποιο αεροπλάνο ( ABC, Εικ. 93), που ονομάζεται μπάλα(σφαιρικός ) τμήμα. Κύκλος ABC που ονομάζεται βάσητμήμα μπάλας. Ευθύγραμμο τμήμα MN κάθετο τραβηγμένο από το κέντροΝ κύκλος ABC μέχρι να διασταυρωθεί με μια σφαιρική επιφάνεια, ονομάζεται ύψοςτμήμα μπάλας. ΤελείαΜ που ονομάζεται μπλουζατμήμα μπάλας.

Τμήμα μιας σφαίρας που περικλείεται ανάμεσα σε δύο παράλληλα επίπεδαΤο ABC και το DEF τέμνουν μια σφαιρική επιφάνεια (Εικ. 93), που ονομάζεται σφαιρικό στρώμα; η καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού στρώματος ονομάζεται ζώνη μπάλας(ζώνη). Κύκλους ABC και DEF – λόγουςζώνη μπάλας. ΑπόστασηΝ.Κ. μεταξύ των βάσεων της σφαιρικής ζώνης - του ύψος. Το τμήμα της μπάλας που οριοθετείται από την καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού τμήματος ( AMCB, Εικ.93) και κωνική επιφάνεια OABC , η βάση του οποίου είναι η βάση του τμήματος (αλφάβητο ), και η κορυφή είναι το κέντρο της μπάλαςΟ , που ονομάζεται σφαιρικός τομέας.

Μια μπάλα και μια σφαίρα είναι, πρώτα απ 'όλα, γεωμετρικά σχήματα, και αν μια μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα, τότε μια σφαίρα είναι η επιφάνεια μιας μπάλας. Αυτά τα στοιχεία είχαν ενδιαφέρον πολλές χιλιάδες χρόνια πριν π.Χ.

Στη συνέχεια, όταν ανακαλύφθηκε ότι η Γη είναι μια μπάλα και ο ουρανός είναι μια ουράνια σφαίρα, αναπτύχθηκε μια νέα συναρπαστική κατεύθυνση στη γεωμετρία - γεωμετρία σε μια σφαίρα ή σφαιρική γεωμετρία. Για να μιλήσετε για το μέγεθος και τον όγκο μιας μπάλας, πρέπει πρώτα να την ορίσετε.

Μπάλα

Μια σφαίρα ακτίνας R με κέντρο στο σημείο Ο στη γεωμετρία είναι ένα σώμα που δημιουργείται από όλα τα σημεία του χώρου που έχουν κοινή ιδιότητα. Αυτά τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση που δεν υπερβαίνει την ακτίνα της μπάλας, δηλαδή γεμίζουν όλο το χώρο λιγότερο από την ακτίνα της μπάλας προς όλες τις κατευθύνσεις από το κέντρο της. Αν λάβουμε υπόψη μόνο εκείνα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο της μπάλας, θα εξετάσουμε την επιφάνειά της ή το κέλυφος της μπάλας.

Πώς μπορώ να πάρω την μπάλα; Μπορούμε να κόψουμε έναν κύκλο από χαρτί και να αρχίσουμε να τον περιστρέφουμε γύρω από τη δική του διάμετρο. Δηλαδή, η διάμετρος του κύκλου θα είναι ο άξονας περιστροφής. Η σχηματισμένη φιγούρα θα είναι μια μπάλα. Επομένως, η μπάλα ονομάζεται επίσης σώμα περιστροφής. Γιατί μπορεί να σχηματιστεί περιστρέφοντας μια επίπεδη φιγούρα - έναν κύκλο.

Ας πάρουμε λίγο αεροπλάνο και ας κόψουμε την μπάλα μας με αυτό. Όπως ακριβώς κόψαμε ένα πορτοκάλι με ένα μαχαίρι. Το κομμάτι που αποκόψαμε από την μπάλα ονομάζεται σφαιρικό τμήμα.

Στην Αρχαία Ελλάδα, ήξεραν πώς όχι μόνο να εργάζονται με μια μπάλα και μια σφαίρα ως γεωμετρικά σχήματα, για παράδειγμα, να τα χρησιμοποιούν στην κατασκευή, αλλά ήξεραν επίσης πώς να υπολογίζουν την επιφάνεια μιας μπάλας και τον όγκο μιας μπάλας.

Μια σφαίρα είναι ένα άλλο όνομα για την επιφάνεια μιας μπάλας. Μια σφαίρα δεν είναι σώμα - είναι η επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής. Ωστόσο, δεδομένου ότι τόσο η Γη όσο και πολλά σώματα έχουν σφαιρικό σχήμα, για παράδειγμα μια σταγόνα νερού, η μελέτη των γεωμετρικών σχέσεων μέσα στη σφαίρα έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη.

Για παράδειγμα, αν συνδέσουμε δύο σημεία μιας σφαίρας μεταξύ τους με μια ευθεία γραμμή, τότε αυτή η ευθεία γραμμή θα ονομαστεί χορδή, και αν αυτή η χορδή περάσει από το κέντρο της σφαίρας, που συμπίπτει με το κέντρο της μπάλας, τότε η χορδή θα ονομάζεται διάμετρος της σφαίρας.

Αν σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που αγγίζει τη σφαίρα σε ένα μόνο σημείο, τότε αυτή η γραμμή θα ονομάζεται εφαπτομένη. Επιπλέον, αυτή η εφαπτομένη στη σφαίρα σε αυτό το σημείο θα είναι κάθετη στην ακτίνα της σφαίρας που τραβιέται στο σημείο επαφής.

Αν επεκτείνουμε τη συγχορδία σε μια ευθεία γραμμή προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση από τη σφαίρα, τότε αυτή η χορδή θα λέγεται διατομή. Ή μπορούμε να το πούμε διαφορετικά - η τομή στη σφαίρα περιέχει τη χορδή της.

Όγκος μπάλας

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας είναι:

όπου R είναι η ακτίνα της μπάλας.

Εάν πρέπει να βρείτε τον όγκο ενός σφαιρικού τμήματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

V seg =πh 2 (R-h/3), h είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος.

Επιφάνεια μιας σφαίρας ή μιας σφαίρας

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν μιας σφαίρας ή την επιφάνεια μιας μπάλας (είναι το ίδιο πράγμα):

όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.

Ο Αρχιμήδης αγαπούσε πολύ τη μπάλα και τη σφαίρα, ζήτησε μάλιστα να αφήσει ένα σχέδιο στον τάφο του στο οποίο ήταν χαραγμένη μια μπάλα σε έναν κύλινδρο. Ο Αρχιμήδης πίστευε ότι ο όγκος μιας μπάλας και η επιφάνειά της είναι ίσοι με τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου στον οποίο είναι εγγεγραμμένη η μπάλα».