Ένα σώμα μπορεί να πεταχτεί έτσι ώστε η αρχική του ταχύτητα v 0θα κατευθυνθεί οριζόντια (α = 0). Έτσι, για παράδειγμα, το αρχικό ταχύτητα σώματοςπου ξέφυγε από αεροσκάφος που πετούσε οριζόντια. Είναι εύκολο να καταλάβουμε ποια τροχιά θα κινηθεί το σώμα. Ας στραφούμε στο σχήμα 15, το οποίο δείχνει την παραβολική τροχιά ενός σώματος που εκτοξεύεται υπό γωνία α ως προς τον ορίζοντα. Στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς της παραβολής, η ταχύτητα του σώματος κατευθύνεται με ακρίβεια οριζόντια. Όπως ήδη γνωρίζουμε, πέρα ​​από αυτό το σημείο το σώμα κινείται κατά μήκος του δεξιού κλάδου της παραβολής. Είναι προφανές ότι οποιοδήποτε σώμα πεταχτεί οριζόντια θα κινηθεί επίσης κατά μήκος του κλάδου της παραβολής.

Η τροχιά της κίνησης των σωμάτων που ρίχνονται οριζόντια ή υπό γωνία προς τον ορίζοντα μπορεί να μελετηθεί οπτικά σε απλή εμπειρία. Ένα δοχείο γεμάτο με νερό τοποθετείται σε ένα ορισμένο ύψος πάνω από το τραπέζι και συνδέεται με έναν ελαστικό σωλήνα σε μια άκρη εξοπλισμένη με βρύση. Οι πίδακες νερού που απελευθερώνονται δείχνουν απευθείας τις τροχιές των σωματιδίων του νερού. Έτσι, είναι δυνατό να παρατηρηθούν τροχιές σε διαφορετικές τιμές της γωνίας πρόσπτωσης α και της ταχύτητας v 0.

Ο χρόνος κίνησης ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια από ένα ορισμένο αρχικό ύψος προσδιορίζεται μόνο Εν τω μεταξύ, που είναι απαραίτητο για να πέφτει το σώμα ελεύθερα από αυτό το αρχικό ύψος. Επομένως, για παράδειγμα, μια σφαίρα που εκτοξεύεται από έναν σκοπευτή από ένα όπλο σε οριζόντια κατεύθυνση θα πέσει στο έδαφος ταυτόχρονα με μια σφαίρα που πέφτει τυχαία τη στιγμή της βολής (υπό την προϋπόθεση ότι ο σκοπευτής ρίξει τη σφαίρα από το ίδιο ύψος στο οποίο είναι στο όπλο τη στιγμή της βολής! .). Αλλά μια σφαίρα που θα πέσει θα πέσει στα πόδια του σκοπευτή και μια σφαίρα που θα πετάξει από μια κάννη όπλου θα πέσει πολλές εκατοντάδες μέτρα μακριά του.

Παράδειγμα λύσης προβλήματος

Αυτό το παράδειγμα επιλέχθηκε με βάση αυτός ο λόγοςότι το πρόβλημα που εξετάζουμε είναι αρκετά γενικό στη φύση και, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της επίλυσής του, μας επιτρέπει να κατανοήσουμε καλύτερα όλα τα χαρακτηριστικά της κίνησης ενός σώματος υπό την επίδραση της βαρύτητας.

Αρχικές παραδοχές που επιβάλλονται στις προϋποθέσεις επίλυσης του προβλήματος

Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, θα χρησιμοποιήσουμε μόνο δύο αρχικές υποθέσεις:

1. θα παραμελήσουμε την εξάρτηση του μεγέθους του διανυσματικού μεγέθους της επιτάχυνσης ελεύθερη πτώσηαπό το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα σε οποιαδήποτε στιγμή κίνησης (βλ. Εικ. 11 και σχόλιό του)
2. θα παραμελήσουμε την καμπυλότητα η επιφάνεια της γηςκατά την ανάλυση της κίνησης του σώματος (βλ. Εικ. 11 και σχολιασμός)

Το έργο:

Από ένα σημείο με συντεταγμένες x 0 , y 0 ένα σώμα εκτοξεύεται υπό γωνία α 0 ως προς τον ορίζοντα με ταχύτητα v 0 (βλ. Εικόνα 16). Εύρημα:

• θέση και ταχύτητα του σώματος μετά το χρόνο t.
• εξίσωση διαδρομής πτήσης.
• κανονική και εφαπτομενική επιτάχυνση και ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς τη στιγμή t.
• πλήρης απασχόλησηπτήση;
• υψηλότερο ύψος ανύψωσης.
• τη γωνία στην οποία πρέπει να εκτιναχθεί το σώμα έτσι ώστε το ύψος της ανύψωσής του να είναι ίσο με την απόσταση πτήσης (υπό την προϋπόθεση ότι x 0 = y 0 = 0).

Λύση

Ας κατευθύνουμε τους άξονες ορθογώνιο σύστημαΧ και Υ συντεταγμένες στις κατευθύνσεις της οριζόντιας και κάθετης κίνησης του σημείου. Εφόσον το διάνυσμα επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης δεν έχει συνιστώσα παράλληλη προς τον άξονα Χ, δηλαδή οι διανυσματικές εξισώσεις κίνησης του σώματος έχουν τη μορφή:

Σε ρητή μορφή, η έκφραση για τις προβολές των διανυσματικών μεγεθών που περιλαμβάνονται στην πρώτη εξίσωση στον άξονα του συστήματος συντεταγμένων έχει τη μορφή που καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t:

Δεδομένου ότι κάθε διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των προβολών του (και αυτά είναι διανύσματα) στον άξονα συντεταγμένων, κάθε διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύο διανυσματικές εξισώσεις, αλλά για προβολές. Έχοντας εκφράσει τις προβολές των διανυσματικών μεγεθών που περιλαμβάνονται σε δεύτερη εξίσωση, στον άξονα του συστήματος συντεταγμένων, βρίσκουμε τις συνιστώσες της ταχύτητας

και η έκφραση για την ταχύτητα που προκύπτει (χρησιμοποιείται το Πυθαγόρειο θεώρημα) Η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της κατεύθυνσης της ταχύτητας που προκύπτει και του άξονα Χ είναι ίση, δηλαδή αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Αυτό είναι κατανοητό, καθώς η τιμή της ταχύτητας έχει μια γεωμετρική ερμηνεία με τη μορφή της εφαπτομένης της εφαπτομένης γωνίας στην εξάρτηση του διανύσματος συντεταγμένων ή ακτίνας από το χρόνο.

Εξαιρώντας το t και από τις δύο εξισώσεις που καθορίζουν τη θέση του σώματος τη στιγμή t, λαμβάνουμε την εξίσωση διαδρομής πτήσης

Για να προσδιορίσουμε την εφαπτομενική και την κανονική επιτάχυνση του σώματος σε σημείο με συντεταγμένες x, y, σημειώνουμε ότι η συνολική επιτάχυνση του σώματος κατευθύνεται πάντα προς τα κάτω και αντιπροσωπεύει μόνο την επιτάχυνση της βαρύτητας (δεν υπάρχουν άλλες δυνάμεις και επιταχύνσεις σύμφωνα με την συνθήκες του προβλήματος). Η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι ίση με την προβολή του διανύσματος στην εφαπτομένη της τροχιάς (δηλ. −g singγ, όπως φαίνεται στο επεξηγηματικό σχήμα του προβλήματος), και η κανονική της επιτάχυνσης στην εφαπτομένη είναι ίση με την προβολή −g cosγ (βλ. Εικ. 16)

Οτι

Ας βρούμε στην πορεία την κατά προσέγγιση τιμή της ακτίνας καμπυλότητας (R) της τροχιάς τη χρονική στιγμή t. Υποθέτοντας ότι το σημείο κινείται κατά μήκος ενός κυκλικού τόξου (αυτή είναι μια προσέγγιση που απλοποιεί το τελικό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣαποτέλεσμα, το οποίο στην πραγματικότητα δεν λαμβάνει χώρα και εκτελείται καλύτερα κοντά στο σημείο μέγιστης ανύψωσης του σώματος), χρησιμοποιούμε τον τύπο

Επειτα

Εάν το σώμα εκτιναχθεί από ένα σημείο της επιφάνειας όπου y = 0, το πρόβλημα απλοποιείται σημαντικά. Μειώνοντας κατά (x max − x 0) , βρίσκουμε ότι

Ο συνολικός χρόνος πτήσης μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο που

Το μέγιστο ύψος ανύψωσης του αμαξώματος επιτυγχάνεται τη στιγμή t όταν v y = 0. Εφόσον η συνιστώσα του διανύσματος ταχύτητας κατά τον άξονα Υ είναι ίση, τότε στο σημείο της μέγιστης ανύψωσης του σώματος λαμβάνει χώρα η ισότητα v y = 0, από την οποία λαμβάνουμε

Ας εξετάσουμε την κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια και κινείται μόνο υπό την επίδραση της βαρύτητας (παραμελούμε την αντίσταση του αέρα). Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι μια μπάλα που βρίσκεται σε ένα τραπέζι δέχεται μια ώθηση, και αυτή κυλά στην άκρη του τραπεζιού και αρχίζει να πέφτει ελεύθερα, έχοντας μια αρχική ταχύτητα κατευθυνόμενη οριζόντια (Εικ. 174).

Ας προβάλουμε την κίνηση της μπάλας στον κάθετο άξονα και στον οριζόντιο άξονα. Η κίνηση της προβολής της μπάλας στον άξονα είναι κίνηση χωρίς επιτάχυνση με ταχύτητα. η κίνηση της προβολής της μπάλας στον άξονα είναι ελεύθερη πτώση με επιτάχυνση μεγαλύτερη από την αρχική ταχύτητα υπό την επίδραση της βαρύτητας. Γνωρίζουμε τους νόμους και των δύο κινημάτων. Η συνιστώσα της ταχύτητας παραμένει σταθερή και ίση με . Το συστατικό μεγαλώνει αναλογικά με το χρόνο: . Η ταχύτητα που προκύπτει μπορεί εύκολα να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου, όπως φαίνεται στο Σχ. 175. Θα έχει κλίση προς τα κάτω και η κλίση του θα αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου.

Ρύζι. 174. Κίνηση μπάλας που κυλά από τραπέζι

Ρύζι. 175. Μια μπάλα που ρίχνεται οριζόντια με ταχύτητα έχει στιγμιαία ταχύτητα

Ας βρούμε την τροχιά ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια. Οι συντεταγμένες του σώματος τη στιγμή του χρόνου έχουν νόημα

Για να βρούμε την εξίσωση τροχιάς, εκφράζουμε χρόνο από (112.1) έως και αντικαθιστούμε αυτήν την έκφραση με (112.2). Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 176. Οι τεταγμένες των σημείων τροχιάς αποδεικνύονται ανάλογες με τα τετράγωνα της τετμημένης. Γνωρίζουμε ότι τέτοιες καμπύλες ονομάζονται παραβολές. Το γράφημα διαδρομής απεικονίστηκε ως παραβολή ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση(§ 22). Έτσι, ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα ταχύτητα εκκίνησηςπου είναι οριζόντια, κινείται κατά μήκος μιας παραβολής.

Η διαδρομή που διανύεται στην κατακόρυφη κατεύθυνση δεν εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα. Αλλά η διαδρομή που διανύεται στην οριζόντια κατεύθυνση είναι ανάλογη με την αρχική ταχύτητα. Επομένως, σε υψηλή οριζόντια αρχική ταχύτητα, η παραβολή κατά μήκος της οποίας πέφτει το σώμα είναι πιο επιμήκη στην οριζόντια κατεύθυνση. Εάν ένα ρεύμα νερού απελευθερωθεί από έναν οριζόντιο σωλήνα (Εικ. 177), τότε μεμονωμένα σωματίδια νερού, όπως η μπάλα, θα κινηθούν κατά μήκος μιας παραβολής. Όσο πιο ανοιχτή είναι η βρύση από την οποία το νερό εισέρχεται στο σωλήνα, τόσο μεγαλύτερη είναι η αρχική ταχύτητα του νερού και όσο πιο μακριά από τη βρύση το ρεύμα φτάνει στον πυθμένα της κυψελίδας. Τοποθετώντας μια οθόνη με προσχεδιασμένες παραβολές πίσω από τον πίδακα, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι ο πίδακας νερού έχει πραγματικά το σχήμα παραβολής.

112.1. Μετά από 2 δευτερόλεπτα πτήσης, ποια θα είναι η ταχύτητα ενός σώματος που πετιέται οριζόντια με ταχύτητα 15 m/s; Σε ποια στιγμή η ταχύτητα θα κατευθυνθεί υπό γωνία 45° ως προς την οριζόντια; Παραμελήστε την αντίσταση του αέρα.

112.2. Μια μπάλα κύλησε από ένα τραπέζι ύψους 1 m και έπεσε 2 m από την άκρη του τραπεζιού. Ποια ήταν η οριζόντια ταχύτητα της μπάλας; Παραμελήστε την αντίσταση του αέρα.

Σώμα ριγμένο οριζόντια

Εάν η ταχύτητα δεν κατευθύνεται κάθετα, τότε η κίνηση του σώματος θα είναι καμπυλόγραμμη.

Ας εξετάσουμε την κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια από ύψος h με ταχύτητα (Εικ. 1). Θα παραμελήσουμε την αντίσταση του αέρα. Για να περιγράψετε την κίνηση, είναι απαραίτητο να επιλέξετε δύο άξονες συντεταγμένων - Ox και Oy. Η αρχή των συντεταγμένων είναι συμβατή με την αρχική θέση του σώματος. Από το σχήμα 1 είναι σαφές ότι.

Τότε η κίνηση του σώματος θα περιγραφεί από τις εξισώσεις:

Η ανάλυση αυτών των τύπων δείχνει ότι στην οριζόντια κατεύθυνση η ταχύτητα του σώματος παραμένει αμετάβλητη, δηλαδή το σώμα κινείται ομοιόμορφα. Στην κατακόρυφη κατεύθυνση, το σώμα κινείται ομοιόμορφα με επιτάχυνση, δηλαδή όπως ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα. Ας βρούμε την εξίσωση τροχιάς. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το χρόνο από την εξίσωση (1) και, αντικαθιστώντας την τιμή του με τον τύπο (2), παίρνουμε

Αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής. Κατά συνέπεια, ένα σώμα που ρίχνεται οριζόντια κινείται κατά μήκος μιας παραβολής. Η ταχύτητα του σώματος σε οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου κατευθύνεται εφαπτομενικά στην παραβολή (βλ. Εικ. 1). Η μονάδα ταχύτητας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Γνωρίζοντας το ύψος h από το οποίο εκτοξεύεται το σώμα, μπορεί κανείς να βρει το χρόνο μετά τον οποίο το σώμα θα πέσει στο έδαφος. Αυτή τη στιγμή η συντεταγμένη y ισούται με το ύψος: . Από την εξίσωση (2) βρίσκουμε

Εάν η ταχύτητα \(~\vec \upsilon_0\) δεν κατευθύνεται κάθετα, τότε η κίνηση του σώματος θα είναι καμπυλόγραμμη.

Σκεφτείτε την κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια από ύψος ημε ταχύτητα \(~\vec \upsilon_0\) (Εικ. 1). Θα παραμελήσουμε την αντίσταση του αέρα. Για να περιγράψετε την κίνηση, είναι απαραίτητο να επιλέξετε δύο άξονες συντεταγμένων - ΒόδιΚαι Oy. Η αρχή των συντεταγμένων είναι συμβατή με την αρχική θέση του σώματος. Από το σχήμα 1 είναι σαφές ότι υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, σολ x = 0, σολ y = σολ.

Τότε η κίνηση του σώματος θα περιγραφεί από τις εξισώσεις:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)

Η ανάλυση αυτών των τύπων δείχνει ότι στην οριζόντια κατεύθυνση η ταχύτητα του σώματος παραμένει αμετάβλητη, δηλαδή το σώμα κινείται ομοιόμορφα. Στην κατακόρυφη κατεύθυνση, το σώμα κινείται ομοιόμορφα με επιτάχυνση \(~\vec g\), δηλαδή όπως ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα χωρίς αρχική ταχύτητα. Ας βρούμε την εξίσωση τροχιάς. Για να γίνει αυτό, από την εξίσωση (1) βρίσκουμε τον χρόνο \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) και, αντικαθιστώντας την τιμή του στον τύπο (2), λαμβάνουμε \[~y = \frac( ζ)(2 \ upsilon^2_0) x^2\] .

Αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής. Κατά συνέπεια, ένα σώμα που ρίχνεται οριζόντια κινείται κατά μήκος μιας παραβολής. Η ταχύτητα του σώματος σε οποιαδήποτε στιγμή του χρόνου κατευθύνεται εφαπτομενικά στην παραβολή (βλ. Εικ. 1). Η μονάδα ταχύτητας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)

Γνωρίζοντας το υψόμετρο ημε το οποίο πετιέται το σώμα, μπορεί να βρεθεί χρόνος t 1 μέσω του οποίου το σώμα θα πέσει στο έδαφος. Αυτή τη στιγμή η συντεταγμένη yίσο με ύψος: y 1 = η. Από την εξίσωση (2) βρίσκουμε \[~h = \frac(gt^2_1)(2)\]. Από εδώ

\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)). \qquad (3)\)

Ο τύπος (3) καθορίζει τον χρόνο πτήσης του σώματος. Σε αυτό το διάστημα το σώμα θα διανύσει μια απόσταση προς την οριζόντια κατεύθυνση μεγάλο, το οποίο ονομάζεται εύρος πτήσης και το οποίο μπορεί να βρεθεί με βάση τον τύπο (1), λαμβάνοντας υπόψη ότι μεγάλο 1 = Χ. Επομένως, \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) είναι το εύρος πτήσης του σώματος. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αυτή τη στιγμή είναι \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh).\).

Βιβλιογραφία

Aksenovich L. A. Φυσική στο Λύκειο: Θεωρία. Καθήκοντα. Τεστ: Σχολικό βιβλίο. επίδομα για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης. περιβάλλον, εκπαίδευση / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Εκδ. Κ. Σ. Φαρίνο. - Μν.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - Σ. 15-16.

Θεωρία

Εάν ένα σώμα εκτοξευθεί υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, τότε κατά την πτήση του επιδρά η δύναμη της βαρύτητας και η δύναμη της αντίστασης του αέρα. Εάν η δύναμη αντίστασης παραμεληθεί, τότε η μόνη δύναμη που απομένει είναι η βαρύτητα. Επομένως, λόγω του 2ου νόμου του Νεύτωνα, το σώμα κινείται με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας. οι προβολές επιτάχυνσης στους άξονες συντεταγμένων είναι ίσες ένα x = 0, και y= -g.

Οποιος σύνθετη κίνηση υλικό σημείομπορεί να αναπαρασταθεί ως υπέρθεση ανεξάρτητων κινήσεων κατά μήκος άξονες συντεταγμένων, και προς την κατεύθυνση διαφορετικών αξόνων ο τύπος κίνησης μπορεί να διαφέρει. Στην περίπτωσή μας, η κίνηση ενός ιπτάμενου σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως υπέρθεση δύο ανεξάρτητων κινήσεων: ομοιόμορφη κίνησηκατά μήκος του οριζόντιου άξονα (άξονας Χ) και ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος κάθετος άξονας(άξονας Υ) (Εικ. 1).

Επομένως, οι προβολές ταχύτητας του σώματος αλλάζουν με το χρόνο ως εξής:

,

όπου είναι η αρχική ταχύτητα, α είναι η γωνία ρίψης.

Επομένως, οι συντεταγμένες του σώματος αλλάζουν ως εξής:

Με την επιλογή μας για την προέλευση των συντεταγμένων, οι αρχικές συντεταγμένες (Εικ. 1) Στη συνέχεια

Η δεύτερη χρονική τιμή στην οποία το ύψος είναι μηδέν είναι μηδέν, που αντιστοιχεί στη στιγμή της ρίψης, δηλ. αυτή η τιμή έχει και φυσική σημασία.

Λαμβάνουμε το εύρος πτήσης από τον πρώτο τύπο (1). Το εύρος πτήσης είναι η τιμή συντεταγμένων Χστο τέλος της πτήσης, δηλ. σε χρόνο ίσο με t 0. Αντικαθιστώντας την τιμή (2) στον πρώτο τύπο (1), παίρνουμε:

.

(3)

Από αυτόν τον τύπο μπορεί να φανεί ότι η μεγαλύτερη εμβέλεια πτήσης επιτυγχάνεται σε γωνία ρίψης 45 μοιρών.

Μέγιστο ύψοςΗ ανύψωση ενός πεταχθέντος σώματος μπορεί να ληφθεί από τον δεύτερο τύπο (1). Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε σε αυτόν τον τύπο μια τιμή χρόνου ίση με το ήμισυ του χρόνου πτήσης (2), επειδή Είναι στο μέσο της τροχιάς που το ύψος πτήσης είναι το μέγιστο. Κάνοντας υπολογισμούς, παίρνουμε