Τύπος διαφοράς για αλγεβρική πρόοδο. Άθροισμα αριθμητικής προόδου

Η έννοια της ακολουθίας αριθμών υπονοεί ότι κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποια πραγματική τιμή. Μια τέτοια σειρά αριθμών μπορεί να είναι είτε αυθαίρετη είτε να έχει ορισμένες ιδιότητες - μια εξέλιξη. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο (μέλος) της ακολουθίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το προηγούμενο.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμητικών τιμών στην οποία τα γειτονικά μέλη της διαφέρουν μεταξύ τους κατά τον ίδιο αριθμό (όλα τα στοιχεία της σειράς, ξεκινώντας από το 2ο, έχουν παρόμοια ιδιότητα). Αυτός ο αριθμός - η διαφορά μεταξύ των προηγούμενων και των επόμενων όρων - είναι σταθερός και ονομάζεται διαφορά προόδου.

Διαφορά προόδου: ορισμός

Θεωρήστε μια ακολουθία που αποτελείται από j τιμές A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N. Μια αριθμητική πρόοδος, σύμφωνα με τον ορισμό της, είναι μια ακολουθία , στην οποία a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Η τιμή d είναι η επιθυμητή διαφορά αυτής της προόδου.

d = a(j) – a(j-1).

Αποκορύφωμα:

• Μια αυξανόμενη πρόοδος, οπότε d > 0. Παράδειγμα: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Μείωση της εξέλιξης, τότε d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Πρόοδος διαφοράς και τα αυθαίρετα στοιχεία της

Εάν είναι γνωστοί 2 αυθαίρετοι όροι της προόδου (i-ος, k-ος), τότε η διαφορά για μια δεδομένη ακολουθία μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τη σχέση:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, που σημαίνει d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Διαφορά προόδου και πρώτος όρος της

Αυτή η έκφραση θα βοηθήσει στον προσδιορισμό μιας άγνωστης τιμής μόνο σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας είναι γνωστός.

Διαφορά προόδου και το άθροισμά της

Το άθροισμα μιας προόδου είναι το άθροισμα των όρων της. Για να υπολογίσετε τη συνολική τιμή των πρώτων j στοιχείων του, χρησιμοποιήστε τον κατάλληλο τύπο:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, αλλά αφού a(j) = a(1) + d(j – 1), μετά S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε λοιπόν και ας αρχίσουμε να γράφουμε μερικούς αριθμούς. Για παράδειγμα:
Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε (στην περίπτωσή μας υπάρχουν). Όσους αριθμούς και να γράψουμε, μπορούμε πάντα να πούμε ποιος είναι πρώτος, ποιος δεύτερος και ούτω καθεξής μέχρι τον τελευταίο, δηλαδή μπορούμε να τους αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών:

Αριθμητική ακολουθία
Για παράδειγμα, για τη σειρά μας:

Ο εκχωρημένος αριθμός είναι συγκεκριμένος μόνο για έναν αριθμό της σειράς. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν τρεις δεύτεροι αριθμοί στην ακολουθία. Ο δεύτερος αριθμός (όπως και ο αριθμός) είναι πάντα ο ίδιος.
Ο αριθμός με αριθμό ονομάζεται ο όρος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Στην περίπτωσή μας:

Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.
Για παράδειγμα:

και τα λοιπά.
Αυτή η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος.
Ο όρος «πρόοδος» εισήχθη από τον Ρωμαίο συγγραφέα Βοήθιο τον 6ο αιώνα και έγινε κατανοητός με μια ευρύτερη έννοια ως μια άπειρη αριθμητική ακολουθία. Η ονομασία «αριθμητική» μεταφέρθηκε από τη θεωρία των συνεχών αναλογιών, την οποία μελετούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας είναι ίσο με το προηγούμενο που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου και ορίζεται.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιες ακολουθίες αριθμών είναι αριθμητική πρόοδος και ποιες όχι:

ένα)
σι)
ντο)
ρε)

Το έπιασα? Ας συγκρίνουμε τις απαντήσεις μας:
Είναιαριθμητική πρόοδος - β, γ.
Δεν είναιαριθμητική πρόοδος - α, δ.

Ας επιστρέψουμε στη δεδομένη πρόοδο () και ας προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή του ου όρου της. Υπάρχει δύοτρόπο να το βρεις.

1. Μέθοδος

Μπορούμε να προσθέσουμε τον αριθμό προόδου στην προηγούμενη τιμή μέχρι να φτάσουμε στον ό ​​όρο της προόδου. Είναι καλό που δεν έχουμε πολλά να συνοψίσουμε - μόνο τρεις τιμές:

Άρα, ο όρος της περιγραφόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με.

2. Μέθοδος

Τι θα γινόταν αν χρειαζόταν να βρούμε την τιμή του ου όρου της προόδου; Η άθροιση θα μας έπαιρνε περισσότερο από μία ώρα, και δεν είναι γεγονός ότι δεν θα κάναμε λάθη κατά την πρόσθεση αριθμών.
Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν βρει έναν τρόπο με τον οποίο δεν είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στη σχεδιασμένη εικόνα... Σίγουρα έχετε ήδη παρατηρήσει ένα συγκεκριμένο μοτίβο, δηλαδή:

Για παράδειγμα, ας δούμε από τι αποτελείται η τιμή του ου όρου αυτής της αριθμητικής προόδου:


Με άλλα λόγια:

Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την τιμή ενός μέλους μιας δεδομένης αριθμητικής προόδου με αυτόν τον τρόπο.

Υπολόγισες; Συγκρίνετε τις σημειώσεις σας με την απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι λάβατε ακριβώς τον ίδιο αριθμό με την προηγούμενη μέθοδο, όταν προσθέσαμε διαδοχικά τους όρους της αριθμητικής προόδου στην προηγούμενη τιμή.
Ας προσπαθήσουμε να "αποπροσωποποιήσουμε" αυτόν τον τύπο - ας τον βάλουμε σε γενική μορφή και ας πάρουμε:

Αριθμητική εξίσωση προόδου.

Οι αριθμητικές προόδους μπορεί να αυξάνονται ή να μειώνονται.

Αυξάνεται- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Φθίνων- προόδους στις οποίες κάθε επόμενη τιμή των όρων είναι μικρότερη από την προηγούμενη.
Για παράδειγμα:

Ο παραγόμενος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των όρων τόσο σε αύξοντες όσο και σε φθίνοντες όρους μιας αριθμητικής προόδου.
Ας το ελέγξουμε στην πράξη.
Μας δίνεται μια αριθμητική πρόοδος που αποτελείται από τους ακόλουθους αριθμούς: Ας ελέγξουμε ποιος θα είναι ο ος αριθμός αυτής της αριθμητικής προόδου αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μας για να τον υπολογίσουμε:

Από τότε:

Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι ο τύπος λειτουργεί τόσο σε φθίνουσα όσο και σε αυξανόμενη αριθμητική πρόοδο.
Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας τους ου και τους όρους αυτής της αριθμητικής προόδου.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα:

Ιδιότητα αριθμητικής προόδου

Ας περιπλέκουμε το πρόβλημα - θα αντλήσουμε την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου.
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται η εξής συνθήκη:
- αριθμητική πρόοδος, βρείτε την τιμή.
Εύκολα, λες και αρχίζεις να μετράς σύμφωνα με τον τύπο που ήδη ξέρεις:

Ας, αχ, τότε:

Απόλυτο δίκιο. Αποδεικνύεται ότι πρώτα βρίσκουμε, μετά το προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό και παίρνουμε αυτό που ψάχνουμε. Εάν η πρόοδος αντιπροσωπεύεται από μικρές τιμές, τότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτήν, αλλά τι γίνεται αν μας δοθούν αριθμοί στη συνθήκη; Συμφωνώ, υπάρχει πιθανότητα να γίνει λάθος στους υπολογισμούς.
Τώρα σκεφτείτε εάν είναι δυνατό να λυθεί αυτό το πρόβλημα σε ένα βήμα χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε τύπο; Φυσικά ναι, και αυτό θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε τώρα.

Ας υποδηλώσουμε τον απαιτούμενο όρο της αριθμητικής προόδου καθώς, ο τύπος για την εύρεση της είναι γνωστός σε εμάς - αυτός είναι ο ίδιος τύπος που αντλήσαμε στην αρχή:
, Επειτα:

• ο προηγούμενος όρος της εξέλιξης είναι:
• ο επόμενος όρος της εξέλιξης είναι:

Ας συνοψίσουμε τους προηγούμενους και τους επόμενους όρους της εξέλιξης:

Αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των προηγούμενων και των επόμενων όρων της προόδου είναι η διπλή τιμή του όρου προόδου που βρίσκεται μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, για να βρείτε την τιμή ενός όρου προόδου με γνωστές προηγούμενες και διαδοχικές τιμές, πρέπει να τις προσθέσετε και να διαιρέσετε με.

Σωστά, έχουμε τον ίδιο αριθμό. Ας εξασφαλίσουμε το υλικό. Υπολογίστε μόνοι σας την αξία για την εξέλιξη, δεν είναι καθόλου δύσκολο.

Μπράβο! Ξέρεις σχεδόν τα πάντα για την εξέλιξη! Μένει να μάθουμε μόνο έναν τύπο, τον οποίο, σύμφωνα με το μύθο, συνήγαγε εύκολα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών, ο «βασιλιάς των μαθηματικών» - ο Καρλ Γκάους...

Όταν ο Carl Gauss ήταν 9 ετών, ένας δάσκαλος, απασχολημένος με τον έλεγχο της εργασίας των μαθητών σε άλλες τάξεις, ανέθεσε την ακόλουθη εργασία στην τάξη: «Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως (σύμφωνα με άλλες πηγές) χωρίς αποκλεισμούς». Φανταστείτε την έκπληξη του δασκάλου όταν ένας από τους μαθητές του (αυτός ήταν ο Καρλ Γκάους) ένα λεπτό αργότερα έδωσε τη σωστή απάντηση στην εργασία, ενώ οι περισσότεροι από τους συμμαθητές του τολμηρού, μετά από μεγάλους υπολογισμούς, έλαβαν το λάθος αποτέλεσμα...

Ο νεαρός Carl Gauss παρατήρησε ένα συγκεκριμένο μοτίβο που μπορείτε εύκολα να παρατηρήσετε και εσείς.
Ας πούμε ότι έχουμε μια αριθμητική πρόοδο που αποτελείται από -ους όρους: Πρέπει να βρούμε το άθροισμα αυτών των όρων της αριθμητικής προόδου. Φυσικά, μπορούμε να αθροίσουμε με μη αυτόματο τρόπο όλες τις τιμές, αλλά τι γίνεται αν η εργασία απαιτεί την εύρεση του αθροίσματος των όρων της, όπως έψαχνε ο Gauss;

Ας απεικονίσουμε την εξέλιξη που μας δόθηκε. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά στους επισημασμένους αριθμούς και προσπαθήστε να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις με αυτούς.


Το έχεις δοκιμάσει? Τι προσέξατε; Σωστά! Τα αθροίσματά τους είναι ίσα

Πες μου τώρα, πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά στην εξέλιξη που μας δόθηκε; Φυσικά, ακριβώς το ήμισυ όλων των αριθμών, δηλαδή.
Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα δύο όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο και παρόμοια ζεύγη είναι ίσα, προκύπτει ότι το συνολικό άθροισμα είναι ίσο με:
.
Έτσι, ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Σε ορισμένα προβλήματα δεν γνωρίζουμε τον όρο, αλλά γνωρίζουμε τη διαφορά της προόδου. Προσπαθήστε να αντικαταστήσετε τον τύπο του ου όρου με τον τύπο του αθροίσματος.
Τι πήρες?

Μπράβο! Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα που τέθηκε στον Carl Gauss: υπολογίστε μόνοι σας με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το ου και το άθροισμα των αριθμών που ξεκινούν από το th.

Πόσα πήρες;
Ο Gauss βρήκε ότι το άθροισμα των όρων είναι ίσο και το άθροισμα των όρων. Αυτό αποφάσισες;

Στην πραγματικότητα, ο τύπος για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου αποδείχθηκε από τον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Διόφαντο τον 3ο αιώνα και σε όλο αυτό το διάστημα, πνευματώδεις άνθρωποι έκαναν πλήρη χρήση των ιδιοτήτων της αριθμητικής προόδου.
Για παράδειγμα, φανταστείτε την Αρχαία Αίγυπτο και το μεγαλύτερο κατασκευαστικό έργο εκείνης της εποχής - την κατασκευή μιας πυραμίδας... Η εικόνα δείχνει τη μία πλευρά της.

Πού είναι η εξέλιξη εδώ, λέτε; Κοιτάξτε προσεκτικά και βρείτε ένα σχέδιο στον αριθμό των τεμαχίων άμμου σε κάθε σειρά του τοίχου της πυραμίδας.


Γιατί όχι μια αριθμητική πρόοδος; Υπολογίστε πόσα τετράγωνα χρειάζονται για να χτιστεί ένας τοίχος εάν τοποθετηθούν τούβλα από τούβλα στη βάση. Ελπίζω να μην μετράτε ενώ μετακινείτε το δάχτυλό σας στην οθόνη, θυμάστε τον τελευταίο τύπο και όλα όσα είπαμε για την αριθμητική πρόοδο;

Σε αυτήν την περίπτωση, η εξέλιξη μοιάζει με αυτό: .
Αριθμητική διαφορά προόδου.
Ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους τελευταίους τύπους (υπολογίστε τον αριθμό των μπλοκ με 2 τρόπους).

Μέθοδος 1.

Μέθοδος 2.

Και τώρα μπορείτε να υπολογίσετε στην οθόνη: συγκρίνετε τις λαμβανόμενες τιμές με τον αριθμό των μπλοκ που βρίσκονται στην πυραμίδα μας. Το έπιασα? Μπράβο, καταλάβατε το άθροισμα των ντων όρων μιας αριθμητικής προόδου.
Φυσικά, δεν μπορείτε να χτίσετε μια πυραμίδα από μπλοκ στη βάση, αλλά από; Προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσα τούβλα άμμου χρειάζονται για να χτίσετε έναν τοίχο με αυτήν την κατάσταση.
Κατάφερες?
Η σωστή απάντηση είναι μπλοκ:

Εκπαίδευση

Καθήκοντα:

1. Η Μάσα παίρνει φόρμα για το καλοκαίρι. Κάθε μέρα αυξάνει τον αριθμό των squats κατά. Πόσες φορές η Μάσα θα κάνει squat σε μια εβδομάδα αν έκανε squat στην πρώτη προπόνηση;
2. Ποιο είναι το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται.
3. Κατά την αποθήκευση αρχείων καταγραφής, τα καταγραφικά τα στοιβάζουν με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε επάνω στρώμα να περιέχει ένα αρχείο καταγραφής λιγότερο από το προηγούμενο. Πόσοι κορμοί υπάρχουν σε μια τοιχοποιία, αν το θεμέλιο της τοιχοποιίας είναι κορμοί;

Απαντήσεις:

1. Ας ορίσουμε τις παραμέτρους της αριθμητικής προόδου. Σε αυτήν την περίπτωση
   (εβδομάδες = ημέρες).

   Απάντηση:Σε δύο εβδομάδες, η Μάσα πρέπει να κάνει squats μία φορά την ημέρα.

2. Πρώτος μονός αριθμός, τελευταίος αριθμός.
   Αριθμητική διαφορά προόδου.
   Ο αριθμός των περιττών αριθμών είναι ο μισός, ωστόσο, ας ελέγξουμε αυτό το γεγονός χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του ου όρου μιας αριθμητικής προόδου:

   Οι αριθμοί περιέχουν περιττούς αριθμούς.
   Ας αντικαταστήσουμε τα διαθέσιμα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Το άθροισμα όλων των περιττών αριθμών που περιέχονται σε είναι ίσο.

3. Ας θυμηθούμε το πρόβλημα με τις πυραμίδες. Για την περίπτωσή μας, ένα , αφού κάθε επάνω στρώμα μειώνεται κατά ένα κούτσουρο, τότε συνολικά υπάρχουν ένα σωρό στρώματα, δηλαδή.
   Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

   Απάντηση:Υπάρχουν κορμοί στην τοιχοποιία.

Ας το συνοψίσουμε

1. - μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση. Μπορεί να αυξάνεται ή να μειώνεται.
2. Εύρεση φόρμουλαςΟ όρος μιας αριθμητικής προόδου γράφεται με τον τύπο - , όπου είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.
3. Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου- - πού είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.
4. Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδουμπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους:
   
   , όπου είναι ο αριθμός των τιμών.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Αριθμητική ακολουθία

Ας καθίσουμε να αρχίσουμε να γράφουμε κάποιους αριθμούς. Για παράδειγμα:

Μπορείτε να γράψετε οποιουσδήποτε αριθμούς και μπορεί να υπάρχουν όσοι από αυτούς θέλετε. Μπορούμε όμως πάντα να πούμε ποιο είναι πρώτο, ποιο δεύτερο και ούτω καθεξής, δηλαδή μπορούμε να τα αριθμήσουμε. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ακολουθίας αριθμών.

Αριθμητική ακολουθίαείναι ένα σύνολο αριθμών, στον καθένα από τους οποίους μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός.

Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός μπορεί να συσχετιστεί με έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό και έναν μοναδικό. Και δεν θα εκχωρήσουμε αυτόν τον αριθμό σε κανέναν άλλο αριθμό από αυτό το σύνολο.

Ο αριθμός με αριθμό λέγεται το ου μέλος της ακολουθίας.

Συνήθως ονομάζουμε ολόκληρη την ακολουθία με κάποιο γράμμα (για παράδειγμα,) και κάθε μέλος αυτής της ακολουθίας είναι το ίδιο γράμμα με δείκτη ίσο με τον αριθμό αυτού του μέλους: .

Είναι πολύ βολικό εάν ο όρος της ακολουθίας μπορεί να προσδιοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος

ορίζει τη σειρά:

Και ο τύπος είναι η ακόλουθη σειρά:

Για παράδειγμα, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (ο πρώτος όρος εδώ είναι ίσος και η διαφορά είναι). Ή (, διαφορά).

τύπος nου όρου

Ονομάζουμε έναν τύπο επαναλαμβανόμενο στον οποίο, για να μάθετε τον όρο, πρέπει να γνωρίζετε τον προηγούμενο ή πολλούς προηγούμενους:

Για να βρούμε, για παράδειγμα, τον όρο της προόδου χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα πρέπει να υπολογίσουμε τους προηγούμενους εννέα. Για παράδειγμα, αφήστε το. Επειτα:

Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο τώρα ποια είναι η φόρμουλα;

Σε κάθε γραμμή που προσθέτουμε, πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο αριθμό. Ποιό απ'όλα? Πολύ απλό: αυτός είναι ο αριθμός του τρέχοντος μέλους μείον:

Πολύ πιο βολικό τώρα, σωστά; Ελέγχουμε:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Σε μια αριθμητική πρόοδο, βρείτε τον τύπο για τον nο όρο και βρείτε τον εκατοστό όρο.

Λύση:

Ο πρώτος όρος είναι ίσος. Ποιά είναι η διαφορά? Να τι:

(Γι' αυτό λέγεται διαφορά γιατί ισούται με τη διαφορά διαδοχικών όρων της προόδου).

Λοιπόν, ο τύπος:

Τότε ο εκατοστός όρος ισούται με:

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από έως;

Σύμφωνα με το μύθο, ο μεγάλος μαθηματικός Carl Gauss, ως 9χρονο αγόρι, υπολόγισε αυτό το ποσό μέσα σε λίγα λεπτά. Παρατήρησε ότι το άθροισμα του πρώτου και του τελευταίου αριθμού είναι ίσο, το άθροισμα του δεύτερου και του προτελευταίου είναι το ίδιο, το άθροισμα του τρίτου και του 3ου από το τέλος είναι το ίδιο κ.ο.κ. Πόσα τέτοια ζευγάρια υπάρχουν συνολικά; Σωστά, ακριβώς ο μισός αριθμός όλων των αριθμών, δηλαδή. Ετσι,

Ο γενικός τύπος για το άθροισμα των πρώτων όρων οποιασδήποτε αριθμητικής προόδου θα είναι:

Παράδειγμα:
Βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων πολλαπλασίων.

Λύση:

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι αυτός. Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας στον προηγούμενο αριθμό. Έτσι, οι αριθμοί που μας ενδιαφέρουν σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο και τη διαφορά.

Τύπος του ου όρου για αυτήν την εξέλιξη:

Πόσοι όροι υπάρχουν στην πρόοδο αν πρέπει όλοι να είναι διψήφιοι;

Πολύ εύκολο: .

Ο τελευταίος όρος της προόδου θα είναι ίσος. Τότε το άθροισμα:

Απάντηση: .

Τώρα αποφασίστε μόνοι σας:

1. Κάθε μέρα ο αθλητής τρέχει περισσότερα μέτρα από την προηγούμενη. Πόσα συνολικά χιλιόμετρα θα τρέξει σε μια εβδομάδα αν έτρεξε km m την πρώτη μέρα;
2. Ένας ποδηλάτης διανύει περισσότερα χιλιόμετρα κάθε μέρα από την προηγούμενη. Την πρώτη μέρα ταξίδεψε χλμ. Πόσες μέρες χρειάζεται να διανύσει για να διανύσει ένα χιλιόμετρο; Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει την τελευταία μέρα του ταξιδιού του;
3. Η τιμή ενός ψυγείου σε ένα κατάστημα μειώνεται κατά το ίδιο ποσό κάθε χρόνο. Προσδιορίστε πόσο μειώθηκε η τιμή ενός ψυγείου κάθε χρόνο, αν, έξι χρόνια αργότερα, πωλούνταν για ρούβλια.

Απαντήσεις:

1. Το πιο σημαντικό εδώ είναι να αναγνωρίσουμε την αριθμητική πρόοδο και να καθορίσουμε τις παραμέτρους της. Σε αυτή την περίπτωση, (εβδομάδες = ημέρες). Πρέπει να προσδιορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων αυτής της προόδου:
   .
   Απάντηση:
2. Εδώ δίνεται: , πρέπει να βρεθεί.
   Προφανώς, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο αθροίσματος όπως στο προηγούμενο πρόβλημα:
   .
   Αντικαταστήστε τις τιμές:

   Η ρίζα προφανώς δεν ταιριάζει, οπότε η απάντηση είναι.
   Ας υπολογίσουμε τη διαδρομή που διανύθηκε την τελευταία ημέρα χρησιμοποιώντας τον τύπο του ου όρου:
   (χλμ).
   Απάντηση:

3. Δόθηκαν: . Εύρημα: .
   Δεν θα μπορούσε να είναι πιο απλό:
   (τρίψιμο).
   Απάντηση:

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Αυτή είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η διαφορά μεταξύ γειτονικών αριθμών είναι ίδια και ίση.

Η αριθμητική πρόοδος μπορεί να είναι αύξουσα () και φθίνουσα ().

Για παράδειγμα:

Τύπος για την εύρεση του nου όρου μιας αριθμητικής προόδου

γράφεται από τον τύπο, όπου είναι ο αριθμός των αριθμών σε εξέλιξη.

Ιδιότητα μελών μιας αριθμητικής προόδου

Σας επιτρέπει να βρείτε εύκολα έναν όρο μιας προόδου εάν είναι γνωστοί οι γειτονικοί όροι της - πού είναι ο αριθμός των αριθμών στην πρόοδο.

Άθροισμα όρων μιας αριθμητικής προόδου

Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το ποσό:

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Πού είναι ο αριθμός των τιμών.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε κατανοήσει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Θεωρητικές πληροφορίες

Θεωρητικές πληροφορίες

	Αριθμητική πρόοδος	Γεωμετρική πρόοδος
Ορισμός	Αριθμητική πρόοδος a nείναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό ρε (ρε- διαφορά εξέλιξης)	Γεωμετρική πρόοδος b nείναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε όρος των οποίων, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό q (q- παρονομαστής προόδου)
Φόρμουλα υποτροπής	Για κάθε φυσικό n a n + 1 = a n + d	Για κάθε φυσικό n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Φόρμουλα ντος όρος	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Χαρακτηριστική ιδιότητα
Άθροισμα των πρώτων ν όρων

Παραδείγματα εργασιών με σχόλια

Ασκηση 1

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) Α'1 = -6, Α2

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

ένα 22 = Α'1+ d (22 - 1) = Α'1+ 21 d

Κατά όρο:

Α'1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21 d .

Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 2

Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου: -3; 6;....

1η μέθοδος (χρησιμοποιώντας τον τύπο n-term)

Σύμφωνα με τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Επειδή β 1 = -3,

2η μέθοδος (χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενο τύπο)

Εφόσον ο παρονομαστής της προόδου είναι -2 (q = -2), τότε:

β 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

β 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

β 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: β 5 = -48.

Εργασία 3

Σε αριθμητική πρόοδο ( α ν ) α 74 = 34; ένα 76= 156. Βρείτε τον εβδομήντα πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, η χαρακτηριστική ιδιότητα έχει τη μορφή .

Επομένως:

.

Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

Απάντηση: 95.

Εργασία 4

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n ) a n= 3n - 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δεκαεπτά όρων.

Για να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούνται δύο τύποι:

.

Ποιο από αυτά είναι πιο βολικό στη χρήση σε αυτήν την περίπτωση;

Κατά συνθήκη, ο τύπος για τον nο όρο της αρχικής προόδου είναι γνωστός ( a n) a n= 3n - 4. Μπορείτε να βρείτε αμέσως και Α'1, Και ένα 16χωρίς να βρεθεί δ. Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο.

Απάντηση: 368.

Εργασία 5

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) Α'1 = -6; Α2= -8. Βρείτε τον εικοστό δεύτερο όρο της προόδου.

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = Α'1+ 21η.

Κατά όρο, εάν Α'1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21η . Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 6

Γράφονται αρκετοί διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου:

Βρείτε τον όρο της προόδου με την ένδειξη x.

Κατά την επίλυση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον nο όρο b n = b 1 ∙ q n - 1για γεωμετρικές προόδους. Ο πρώτος όρος της προόδου. Για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου q, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε από τους δεδομένους όρους της προόδου και να διαιρέσετε με τον προηγούμενο. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να πάρουμε και να διαιρέσουμε με. Λαμβάνουμε ότι q = 3. Αντί για n, αντικαθιστούμε 3 στον τύπο, αφού είναι απαραίτητο να βρούμε τον τρίτο όρο μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε:

.

Απάντηση:.

Εργασία 7

Από τις αριθμητικές προόδους που δίνονται από τον τύπο του nου όρου, επιλέξτε αυτή για την οποία ικανοποιείται η συνθήκη ένα 27 > 9:

Εφόσον η δεδομένη συνθήκη πρέπει να ικανοποιηθεί για τον 27ο όρο της προόδου, αντικαθιστούμε 27 αντί για n σε καθεμία από τις τέσσερις προόδους. Στην 4η εξέλιξη παίρνουμε:

.

Απάντηση: 4.

Εργασία 8

Σε αριθμητική πρόοδο Α'1= 3, d = -1,5. Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή του n για την οποία ισχύει η ανισότητα a n > -6.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)... είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτή την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδεικνύεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με μια αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων αριθμητικής προόδου

Κατ' αρχήν, οι πληροφορίες που παρουσιάζονται παραπάνω είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το διπλανό του κατά τον ίδιο αριθμό. Ας μάθουμε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο (πρώτο αρνητικό) στοιχείο που χρειαζόμαστε.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(…5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που ορίζεται από το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε αυτό που ψάχνουμε: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Δεν γνωρίζουμε όμως τη σημασία τους· μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές μία προς μία, χρησιμοποιώντας αυτό που μας δίνεται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Βρέθηκε το απαιτούμενο ποσό.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι για την αριθμητική πρόοδο

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο αυτής της αλυσίδας προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (το διαφορά της εξέλιξης).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις κατά τις οποίες το να αποφασίσετε "με τα μούτρα" είναι πολύ άβολο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα δεν πρέπει να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις \(385\) φορές; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Θα βαρεθείς να μετράς...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις δεν λύνουν τα πράγματα "κατά μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και τα κυριότερα είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα των \(n\) πρώτων όρων.

Τύπος του \(n\)ου όρου: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
\(a_n\) – όρος της προόδου με αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρίσκουμε γρήγορα ακόμη και το τριακόσιο ή το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά της προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) – ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων εικοσιπέντε όρων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρων. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας ένα με το \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το απαιτούμενο ποσό.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα των πρώτων στοιχείων \(n\).
\(a_1\) – ο πρώτος αθροιστικός όρος.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) – αριθμός στοιχείων συνολικά.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία δεν χρειάζεται μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Αρχίζουμε να λύνουμε το ίδιο πράγμα: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα ήθελα να αντικαταστήσω το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα... και εδώ προκύπτει μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε το \(n\). Με άλλα λόγια, δεν γνωρίζουμε πόσοι όροι θα πρέπει να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να γίνει μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε σε τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ας υπολογίσουμε...
\(n>65.333…\)		...και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το ελέγξουμε αυτό.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος καθορίζεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο στο στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Για μια τέτοια περίπτωση δεν έχουμε τύπο. Πώς να αποφασίσετε; Είναι εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και μετά να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο έως το \(25\)ο (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τα τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-y στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\) στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για την αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν εξετάσαμε σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Προβλήματα σχετικά με την αριθμητική πρόοδο υπήρχαν ήδη στην αρχαιότητα. Εμφανίστηκαν και ζήτησαν λύση γιατί είχαν πρακτική ανάγκη.

Έτσι, ένας από τους παπύρους της Αρχαίας Αιγύπτου που έχει μαθηματικό περιεχόμενο, ο πάπυρος Rhind (19ος αιώνας π.Χ.), περιέχει την ακόλουθη εργασία: μοιράστε δέκα μέτρα ψωμιού σε δέκα άτομα, με την προϋπόθεση ότι η διαφορά μεταξύ τους είναι το ένα όγδοο του Μετρήστε."

Και στα μαθηματικά έργα των αρχαίων Ελλήνων υπάρχουν κομψά θεωρήματα που σχετίζονται με την αριθμητική πρόοδο. Έτσι, το Hypsicles of Alexandria (2ος αιώνας, που συγκέντρωσε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα και πρόσθεσε το δέκατο τέταρτο βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη), διατύπωσε την ιδέα: «Σε μια αριθμητική πρόοδο που έχει ζυγό αριθμό όρων, το άθροισμα των όρων του 2ου μισού είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των όρων του 1ου στο τετράγωνο 1/2 αριθμού μελών."

Η ακολουθία συμβολίζεται με ένα. Οι αριθμοί μιας ακολουθίας ονομάζονται μέλη της και συνήθως ορίζονται με γράμματα με δείκτες που υποδεικνύουν τον αύξοντα αριθμό αυτού του μέλους (a1, a2, a3 ... διαβάστε: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" και ούτω καθεξής ).

Η ακολουθία μπορεί να είναι άπειρη ή πεπερασμένη.

Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος; Με αυτό εννοούμε αυτόν που προκύπτει προσθέτοντας τον προηγούμενο όρο (n) με τον ίδιο αριθμό d, που είναι η διαφορά της προόδου.

Αν δ<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, τότε αυτή η πρόοδος θεωρείται αυξανόμενη.

Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται πεπερασμένη αν ληφθούν υπόψη μόνο οι πρώτοι όροι της. Με έναν πολύ μεγάλο αριθμό μελών, αυτό είναι ήδη μια ατελείωτη εξέλιξη.

Οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος ορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

an =kn+b, ενώ τα b και k είναι κάποιοι αριθμοί.

Η αντίθετη πρόταση είναι απολύτως αληθής: αν μια ακολουθία δίνεται με παρόμοιο τύπο, τότε είναι ακριβώς μια αριθμητική πρόοδος που έχει τις ιδιότητες:

1. Κάθε όρος της προόδου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου όρου και του επόμενου.
2. Αντίστροφη: αν, ξεκινώντας από τον 2ο, κάθε όρος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου, δηλ. εάν η συνθήκη πληρούται, τότε αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος. Αυτή η ισότητα είναι επίσης σημάδι προόδου, γι' αυτό συνήθως ονομάζεται χαρακτηριστική ιδιότητα προόδου.
   Με τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα που αντανακλά αυτήν την ιδιότητα είναι αληθές: μια ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος μόνο εάν αυτή η ισότητα ισχύει για οποιονδήποτε από τους όρους της ακολουθίας, ξεκινώντας από τον 2ο.

Η χαρακτηριστική ιδιότητα για οποιουσδήποτε τέσσερις αριθμούς μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να εκφραστεί με τον τύπο an + am = ak + al, εάν n + m = k + l (m, n, k είναι αριθμοί προόδου).

Σε μια αριθμητική πρόοδο, οποιοσδήποτε απαραίτητος (Νος) όρος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Για παράδειγμα: ο πρώτος όρος (a1) σε μια αριθμητική πρόοδο είναι ίσος με τρία και η διαφορά (d) είναι ίση με τέσσερα. Πρέπει να βρείτε τον σαράντα πέμπτο όρο αυτής της εξέλιξης. a45 = 1+4(45-1)=177

Ο τύπος an = ak + d(n - k) σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου μέσω οποιουδήποτε από τους kth όρους της, υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστός.

Το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου (που σημαίνει τους πρώτους n όρους μιας πεπερασμένης προόδου) υπολογίζεται ως εξής:

Sn = (a1+an) n/2.

Εάν ο 1ος όρος είναι επίσης γνωστός, τότε ένας άλλος τύπος είναι βολικός για τον υπολογισμό:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου που περιέχει n όρους υπολογίζεται ως εξής:

Η επιλογή των τύπων για τους υπολογισμούς εξαρτάται από τις συνθήκες των προβλημάτων και τα αρχικά δεδομένα.

Η φυσική σειρά οποιωνδήποτε αριθμών, όπως 1,2,3,...,n,..., είναι το απλούστερο παράδειγμα αριθμητικής προόδου.

Εκτός από την αριθμητική πρόοδο, υπάρχει και μια γεωμετρική πρόοδος, η οποία έχει τις δικές της ιδιότητες και χαρακτηριστικά.