Ολοκληρωμένος μετασχηματισμός. Κεφάλαιο xxxiii

Μέθοδοι λειτουργίας.

Για πολλά προβλήματα θερμικής αγωγιμότητας, η χρήση κλασικών μεθόδων αποδεικνύεται αναποτελεσματική, για παράδειγμα, η χρήση της μεθόδου διαχωρισμού μεταβλητών για προβλήματα με εσωτερικές πηγές θερμότητας.

Οι βασικοί κανόνες και τα θεωρήματα του λειτουργικού λογισμού λήφθηκαν από τους M. Vishchenko-Zakharchenko και Heaviswid. Έγιναν πιο διαδεδομένα στην ηλεκτρολογική μηχανική χάρη στο έργο του Heaviside.

Η λειτουργική μέθοδος Heaviswid είναι ισοδύναμη με τη μέθοδο ολοκληρωτικού μετασχηματισμού Laplace.

Η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace συνίσταται στη μελέτη όχι της ίδιας της συνάρτησης (πρωτότυπο), αλλά της τροποποίησης της (εικόνας).

Ολοκληρωμένος μετασχηματισμός συνάρτησης
καθορίζεται από τον τύπο

(40)

Εδώ το S μπορεί να είναι ένας μιγαδικός αριθμός. αλλά ταυτόχρονα το μέρος του πράγματος είναι μεγαλύτερο από 0.

- πρωτότυπο
- εικόνα της συνάρτησης. Για να υπάρχει η εικόνα, το ολοκλήρωμα (51) πρέπει να συγκλίνει.

Εάν το πρόβλημα λυθεί σε εικόνες, τότε το πρωτότυπο προσδιορίζεται από την εικόνα (μετασχηματισμός) χρησιμοποιώντας τον τύπο αντιστροφής

(41)

Αντί του τύπου (52) για να προσδιορίσετε το πρωτότυπο μιας συνάρτησης από την εικόνα της, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο αντιστροφής

(41.α)

Αυτός ο τύπος καθιστά δυνατή την απόκτηση της αρχικής συνάρτησης μόνο χρησιμοποιώντας τη λειτουργία διαφοροποίησης και μετάβαση στο όριο.

Εάν η εικόνα είναι συνάρτηση

(42)

που είναι μια μερική περίπτωση δύο ολόκληρων υπερβατικών συναρτήσεων, τότε με το θεώρημα επέκτασης έχουμε

(43)

Οπου - απλές ρίζεςλειτουργίες
; σε αυτή την περίπτωση ο παρονομαστής δεν περιέχει ελεύθερους όρους και

2. Εάν η εικόνα
αντιπροσωπεύει τον λόγο δύο ονομασιών (κλασματική-ορθολογική συνάρτηση) και τον βαθμό της ονομασίας
μικρότερη από την ονομαστική τιμή
, και ονομασία
έχει ρίζες πολλαπλότητας Κ στα σημεία , Οτι

όπου το άθροισμα λαμβάνεται σε όλες τις ρίζες
. Αν όλες οι ρίζες είναι απλές, π.χ. όλα τα K είναι ίσα με ένα, τότε ο τύπος (5) μπαίνει στο (43)

Ο ολοκληρωμένος μετασχηματισμός Laplace έχει τα μειονεκτήματά του. Ειδικότερα, προκύπτουν δυσκολίες κατά την επίλυση προβλημάτων όπου οι συνθήκες καθορίζονται ως συνάρτηση χωρικών συντεταγμένων ή κατά την επίλυση πολυδιάστατων προβλημάτων.

Από αυτή την άποψη, προτάθηκαν διάφορες μέθοδοι για ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς κατά μήκος χωρικών συντεταγμένων σύμφωνα με το γεωμετρικό σχήμα του σώματος.

Εάν ο μετασχηματισμός ληφθεί κατά μήκος της χωρικής συντεταγμένης x, τότε ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός της συνάρτησης
μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

(44)

Αν ο πυρήνας μετασχηματισμού K(p,x) ληφθεί στη μορφή
ή
, τότε αυτός ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός ονομάζεται ημιτονοειδής ή συνημιτονικός μετασχηματισμός Fourier, αντίστοιχα.

Εάν η συνάρτηση Bessel επιλεχθεί ως πυρήνας μετασχηματισμού
, τότε ονομάζεται μετασχηματισμός Hankel.

Ο σύνθετος μετασχηματισμός Fourier είναι βολικός στη χρήση για σώματα απεριόριστης έκτασης· ο ημιτονικός μετασχηματισμός Fourier θα πρέπει να χρησιμοποιείται όταν η τιμή στην επιφάνεια του σώματος καθορίζεται από τύπους, π.χ. στο GU!, και το συνημίτονο είναι ο μετασχηματισμός Fourier όταν λυθεί το διαφορικό. εξισώσεις μεταφοράς στο GI2. Οι μετασχηματισμοί Hankel εφαρμόζονται όταν το σώμα είναι αξονικά συμμετρικό. Η πρακτική εφαρμογή αυτών των ολοκληρωμένων μετασχηματισμών παρουσία λεπτομερών πινάκων εικόνων δεν προκαλεί ιδιαίτερες δυσκολίες.

Η μετάβαση από τις εικόνες στα πρωτότυπα μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους αντιστροφής για:

Μιγαδικός μετασχηματισμός Fourier

(45)

Ημιτονοειδής μετασχηματισμός Fourier

(46)

Μετασχηματισμός συνημιτόνου Fourier

(47)

Μεταμόρφωση Χάνκελ

(48)

Οι θεωρούμενοι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί ισχύουν για σώματα ημιπεριορισμένης έκτασης.

Πεπερασμένοι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί

Οι περιορισμοί των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών των Fourier, Hankel και εν μέρει του Laplace, αφενός, και η επείγουσα ανάγκη επίλυσης προβλημάτων με ένα πεπερασμένο εύρος αλλαγών σε μεταβλητές, από την άλλη, οδήγησαν στη δημιουργία μεθόδων για πεπερασμένους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς. . Είναι προτιμότερο ακόμη και για προβλήματα που επιλύονται με κλασικές μεθόδους.

Η ιδέα της μεθόδου πεπερασμένου ολοκληρωτικού μετασχηματισμού προτάθηκε από τον N.S. Κομμέκοφ

(49)

Η περαιτέρω επεξεργασία των θεμάτων της μεθόδου των πεπερασμένων ολοκληρωτικών μετασχηματισμών αποτυπώθηκε στα έργα των Griabarga G.A., Sleddon, Tranter, Deug (Deig) και άλλων.

Εάν το όριο ολοκλήρωσης βρίσκεται μεταξύ 0 και e, ο πυρήνας του πεπερασμένου ημιτονοειδούς και συνημιτόνου μετασχηματισμούς Fourier, καθώς και οι μετασχηματισμοί Hankel, αντίστοιχα, έχουν τη μορφή:

(50)

(51)

Με GU1 και GU2
, και στο GU3 είναι οι ρίζες της εξίσωσης

(52)

Μετασχηματισμοί αόριστων ολοκληρωμάτων Όπως και στην άλγεβρα δίνονται κανόνες που σας επιτρέπουν να μετασχηματίσετε αλγεβρικές εκφράσειςπροκειμένου να τα απλοποιήσουμε, και για αόριστο ολοκλήρωμαυπάρχουν κανόνες που επιτρέπουν τη μεταμόρφωσή του. I. Το ολοκλήρωμα του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με αλγεβρικό άθροισμαολοκληρώματα από κάθε όρο ξεχωριστά, δηλ. S dx=lf(x)dx+l (i)="" ii.="" ο σταθερός παράγοντας μπορεί να "εξαχθεί="" πέρα ​​από το "" sign="" του ολοκληρώματος , e.="" ( γ-σταθερή τιμήτύπος για ολοκλήρωση κατά μέρη, δηλαδή: Ας αποδείξουμε τον τύπο (III). Ας πάρουμε τη διαφορά από τη δεξιά πλευρά της ισότητας (III) Εφαρμόζοντας τον τύπο 4 από τον πίνακα στην § 2 του Κεφ. IX, παίρνουμε x. Μετασχηματίζουμε τον όρο σύμφωνα με τον τύπο 5 του ίδιου πίνακα: και ο όρος d J /" (d:) f (l;) dx σύμφωνα με τον τύπο (B) § 1 αυτού του κεφαλαίου είναι ίσος με d\f (*) f = =/ (x) f" (l:) dx + f (x) /" (x) dx -/" (x) f (*) dx = =f(x)y"(x)dx, δηλ. πήραμε αυτό που παίρνουμε όταν διαφοροποιούμε την αριστερή πλευρά της ισότητας (III).Οι τύποι (I) και (II) ελέγχονται παρόμοια Παράδειγμα 1. ^ (l* - Εφαρμογή του κανόνα ολοκλήρωσης I και των τύπων 1 και 5 από τον πίνακα ολοκληρώματα, λαμβάνουμε J (x1 - sin l:) dx= ^ xg dx-^ sin xdx = x* x9 = (-cosх) + C= y + cos x + C. Παράδειγμα 2. I ^ dx Εφαρμογή του κανόνα II και τον τύπο J COS X 6 από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων , λαμβάνουμε J cos2* J COS2* σε 1 Παράδειγμα 3. ^ Inx dx Δεν υπάρχει τέτοιο ολοκλήρωμα στον πίνακα των ολοκληρωμάτων που δίνεται στην § 1. Ας το υπολογίσουμε με ολοκλήρωση κατά μέρη· γι' αυτό ξαναγράφουμε αυτό το ολοκλήρωμα ως εξής: J Σε xdx= ^ Σε l: 1 dx Βάζοντας /(x) = Σε l: και<р"(д;)=п1, применим правило интегрирования по частям: J 1 п лг tf* = 1 п л: ср (л;) - J (In х)" ф (х) dx. Но так как ф (л:) = J ф" (л:) dx = ^ 1. = j х0 dx, то, применяя формулу 1 таблицы интегралов (п = 0), получим Ф = *. Окончательно получаем Inxdx = x In л:- = л: In х- J dx - x In jc - x + C. Пример 4. Рассмотрим ^ л; sfn л; rfx. Положим f(x) - x и ф" (л:) = sinx. Тогда ф(лг) = - cosjc, так как (-cos*)" = = sin*. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J х sin х dx = - х cos *- J (*)" (- cos x) dx = = - x cos * + ^ cos x dx = - x cos x + sin x + C. Пример 5. Рассмотрим ^ хгехdx. Положим /(x) = xг и ф"(лг) = е*. Тогда ф(лг) = е*, так как (ех)" = ех. Применяя интегрирование по частям, будем иметь J хгех dx = x*ex- J (л:1)" dx = = хгех - 2 ^ хех dx. (*) Таким образом, заданный интеграл выражен при помощи более простого интеграла J хех dx. Применим к последнему интегралу еще раз формулу интегрирования по частям, для этого положим f(x) = x и ф/(лг) = ех. Преобразования неопределенных интегралов Отсюда ^ хех dx = хех - ^ (х)" ех dx = ~хе*-J ех dx = xe* - ех Соединяя равенства (*) и (**), получим окончательно ^ х2е* dx = x2ex - 2 [хех - ех + С] = = х2ех - 2хех + 2ех - 2 С = = хгех - 2хех + 2ех + С, где Ct = - 2С, так что С, есть произвольное постоянное интегрирования.

Ο μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει μια συνάρτηση πραγματικών μεταβλητών σε μια συνάρτηση

Οι πραγματικές μεταβλητές και η μεταβλητή 7, γενικά μιλώντας σύνθετες, ονομάζονται ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί σε σχέση με τη μεταβλητή.Η μεταβλητή ονομάζεται μεταβλητή μετασχηματισμού. Για λόγους σαφήνειας, παρακάτω θα υποδηλώσουμε τη μεταβλητή μετασχηματισμού με το σύμβολο Ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός (1) καθορίζεται από τα όρια μετασχηματισμού , τον πυρήνα και τη συνάρτηση βάρους.Τα όρια μπορεί να είναι άπειρα. Οι ιδιότητες των συναρτήσεων θα οριστούν παρακάτω. Μια συνάρτηση ονομάζεται ολοκληρωτικός μετασχηματισμός, καθώς και ένας ολοκληρωμένος μετασχηματισμός, εικόνα ή εικόνα μιας συνάρτησης. Παρακάτω, ο πρώτος από αυτούς τους ισοδύναμους όρους θα χρησιμοποιηθεί κυρίως. Μια συνάρτηση ονομάζεται συχνά το πρωτότυπο ή πρωτότυπο μιας συνάρτησης

Οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί είναι δυνατοί σε πολλές ή όλες τις μεταβλητές ταυτόχρονα. Γενίκευση σε αυτή την περίπτωση που δόθηκε παραπάνω

οι ορισμοί είναι προφανείς. Παρακάτω θα εξετάσουμε μετασχηματισμούς για μία μόνο μεταβλητή. Η διαδοχική εφαρμογή τέτοιων μετασχηματισμών, ωστόσο, ισοδυναμεί με κάποιο μετασχηματισμό σε πολλές μεταβλητές.

Θα υποδηλώσουμε τις μετασχηματισμένες συναρτήσεις με τα ίδια σύμβολα όπως πριν από τον μετασχηματισμό, αλλά με κάποιο είδος εικονιδίου πάνω από το σύμβολο: μια γραμμή, μια κυματιστή γραμμή και με ποια μεταβλητή πραγματοποιήθηκε ο μετασχηματισμός, θα είναι σαφές από ποια ορίσματα μετασχηματισμένη συνάρτηση εξαρτάται από. Για παράδειγμα, δεν θα γράψουμε ρητά τον ολοκληρωτικό μετασχηματισμό μιας συνάρτησης σε σχέση με τη μεταβλητή Ορίσματα σε περιπτώσεις όπου αυτό δεν μπορεί να οδηγήσει σε παρεξηγήσεις.

Ο μετασχηματισμός με τον οποίο μια συνάρτηση μετατρέπεται ξανά σε συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφος ολοκληρωτικός μετασχηματισμός (1) ή απλά αντίστροφος μετασχηματισμός. Στην περίπτωση αυτή, ο ίδιος ο μετασχηματισμός (1) ονομάζεται άμεσος.

Ο ολοκληρωτικός μετασχηματισμός ορίζεται όταν υπάρχει το ολοκλήρωμα στη δεξιά πλευρά του (1). Για την πρακτική εφαρμογή των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών, ωστόσο, είναι σημαντικό να υπάρχουν και αντίστροφοι μετασχηματισμοί, οι οποίοι, μαζί με το (1), θα καθιέρωσαν μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ δύο κατηγοριών συναρτήσεων: της αρχικής κατηγορίας συναρτήσεων και της κατηγορία συναρτήσεων που είναι οι αναπόσπαστοι μετασχηματισμοί τους. Κάτω από αυτήν την προϋπόθεση, είναι επίσης δυνατό να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ των πράξεων και στις δύο κατηγορίες συναρτήσεων και η λύση ενός προβλήματος που δίνεται για συναρτήσεις μιας κλάσης μπορεί να οδηγήσει σε ένα πρόβλημα για συναρτήσεις μιας άλλης κλάσης, το οποίο μπορεί να είναι απλούστερο. Έχοντας λύσει αυτό το τελευταίο πρόβλημα, βρίσκεται μια λύση στο αρχικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Ένα πολύ γνωστό παράδειγμα στον αναγνώστη είναι ο λειτουργικός λογισμός, που βασίζεται στη χρήση του ολοκληρωτικού μετασχηματισμού Laplace. Εδώ, η διαφοροποίηση των συναρτήσεων της αρχικής κατηγορίας συναρτήσεων αντιστοιχεί στον πολλαπλασιασμό με μια ανεξάρτητη μεταβλητή συναρτήσεων που είναι μετασχηματισμοί Laplace. Χάρη σε αυτό, προβλήματα για συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές μειώνονται σε αλγεβρικά προβλήματα για μετασχηματισμένες συναρτήσεις.

Η ιδέα της χρήσης ολοκληρωτικών μετασχηματισμών σε προβλήματα για μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι παρόμοια: προσπαθεί κανείς να επιλέξει έναν ολοκληρωτικό μετασχηματισμό που θα επέτρεπε τις διαφορικές πράξεις σε μία από τις μεταβλητές να αντικατασταθούν από αλγεβρικές πράξεις. Όταν αυτό είναι επιτυχές, το μετασχηματισμένο πρόβλημα είναι συνήθως απλούστερο από το αρχικό. Έχοντας βρει μια λύση στο μετασχηματισμένο πρόβλημα, χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό βρίσκουν επίσης μια λύση στο αρχικό. Η κύρια διαφορά από τον λειτουργικό λογισμό είναι η εφαρμογή ολοκληρωτικών μετασχηματισμών σε εξισώσεις με

μερικοί παράγωγοι είναι η χρήση ενός ευρύτερου φάσματος ολοκληρωτικών μετασχηματισμών, κάτι που είναι σημαντικό όταν οι συντελεστές των εξισώσεων είναι μεταβλητοί.