Πώς να μάθετε να λύνετε παράλογες ανισότητες. Παράλογες ανισότητες

T.D. Ιβάνοβα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΟΡΘΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

CDO και NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

ΒΒΚ 22. 1Υ72

Συντάχθηκε από την T.D.Ivanova

Κριτής: Baisheva M.I.– Υποψήφιος Παιδαγωγικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος

μαθηματική ανάλυση της Μαθηματικής Σχολής

Ινστιτούτο Μαθηματικών και Πληροφορικής του Γιακούτσκ

κρατικό πανεπιστήμιο

Μέθοδοι επίλυσης παράλογων ανισοτήτων: Μεθοδολογικό εγχειρίδιο

M 34 για μαθητές των τάξεων 9-11 / συζ. Ivanova T.D. από το Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 σελ.

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές λυκείου των σχολείων δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και σε όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια ως μεθοδολογικός οδηγός επίλυσης παράλογων ανισοτήτων. Το εγχειρίδιο εξετάζει λεπτομερώς τις κύριες μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, παρέχει παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισοτήτων με παραμέτρους και προσφέρει επίσης παραδείγματα για την επίλυσή τους μόνοι σας. Οι εκπαιδευτικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν τον οδηγό ως διδακτικό υλικόγια την πραγματοποίηση ανεξάρτητη εργασία, με ανασκόπηση του θέματος «Παράλογες ανισότητες».

Το εγχειρίδιο αντικατοπτρίζει την εμπειρία του δασκάλου στη μελέτη του θέματος «Παράλογες ανισότητες» με τους μαθητές.

Προβλήματα από υλικά εισαγωγικές εξετάσεις, μεθοδολογικές εφημερίδες και περιοδικά, διδακτικά βοηθήματα, κατάλογος των οποίων δίνεται στο τέλος του εγχειριδίου

UDC 511 (O75.3)

ΒΒΚ 22. 1Υ72

 T.D. Ivanova, σύντ., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Πρόλογος 5

Εισαγωγή 6

Ενότητα Ι. Παραδείγματα επίλυσης των απλούστερων παράλογων ανισώσεων 7

Ενότητα II Ανισότητες της μορφής
>g(x), g(x), g(x) 9

Ενότητα III. Ανισότητες της μορφής
;
;

;
13

Ενότητα IV. Ανισώσεις που περιέχουν πολλές ρίζες ζυγού βαθμού 16

Ενότητα V. Μέθοδος αντικατάστασης (εισαγωγή νέας μεταβλητής) 20

Ενότητα VI. Ανισώσεις της μορφής f(x)
0;

f(x)0;
25

Ενότητα VII. Ανισότητες της μορφής

Ενότητα VIII. Χρήση ριζικών μετασχηματισμών έκφρασης

σε παράλογες ανισότητες 26

Ενότητα IX. Γραφική λύση παράλογων ανισοτήτων 27 Ενότητα Χ. Ανισότητες 31

μικτού τύπου

Ενότητα XI. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μονοτονίας μιας συνάρτησης 41

Ενότητα XII. Μέθοδος αντικατάστασης συνάρτησης 43

Ενότητα XIII. Παραδείγματα άμεσης επίλυσης ανισοτήτων

Μέθοδος διαστήματος 45

Ενότητα XIV. Παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισοτήτων με παραμέτρους 46

Λογοτεχνία 56

Αυτό το διδακτικό βοήθημα προορίζεται για μαθητές των τάξεων 10-11. Όπως δείχνει η πρακτική, οι μαθητές και οι υποψήφιοι αντιμετωπίζουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στο σχολικά μαθηματικάΑυτή η ενότητα δεν θεωρείται αρκετή, οι διάφορες μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων δεν εξετάζονται με περισσότερες λεπτομέρειες. Επίσης, οι δάσκαλοι των σχολείων αισθάνονται έλλειψη μεθοδολογικής βιβλιογραφίας, η οποία εκδηλώνεται σε περιορισμένο όγκο προβληματικού υλικού που υποδεικνύει διάφορες προσεγγίσεις και μεθόδους επίλυσης.

Το εγχειρίδιο εξετάζει μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Ivanova T.D. στην αρχή κάθε ενότητας, εισάγει τους μαθητές στην κύρια ιδέα της μεθόδου, στη συνέχεια δείχνει παραδείγματα με επεξηγήσεις και προσφέρει επίσης προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

Ο μεταγλωττιστής χρησιμοποιεί τις πιο «θεαματικές» μεθόδους για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων που εμφανίζονται κατά την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση εκπαιδευτικά ιδρύματαμε αυξημένες απαιτήσεις στις γνώσεις των μαθητών.

Οι μαθητές, έχοντας διαβάσει αυτό το εγχειρίδιο, μπορούν να αποκτήσουν ανεκτίμητη εμπειρία και δεξιότητες στην επίλυση περίπλοκων παράλογων ανισοτήτων. Πιστεύω ότι αυτό το εγχειρίδιο θα είναι χρήσιμο και σε καθηγητές μαθηματικών που εργάζονται σε εξειδικευμένες τάξεις, καθώς και σε προγραμματιστές μαθημάτων επιλογής.

Υποψήφιος Παιδαγωγικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος Μαθηματικής Ανάλυσης, Μαθηματική Σχολή, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Πληροφορικής, Yakut State University

Baisheva M.I.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το εγχειρίδιο απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου των σχολείων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, καθώς και σε όσους εισέρχονται στα πανεπιστήμια ως μεθοδολογικός οδηγός για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων. Το εγχειρίδιο εξετάζει λεπτομερώς τις κύριες μεθόδους επίλυσης παράλογων ανισώσεων, παρέχει κατά προσέγγιση παραδείγματα για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, παρέχει παραδείγματα επίλυσης παράλογων ανισώσεων με παραμέτρους και προσφέρει επίσης παραδείγματα για την επίλυσή τους μόνοι σας για ορισμένες από αυτές, σύντομες απαντήσεις και οδηγίες δίνονται.

Κατά την ανάλυση παραδειγμάτων και την επίλυση ανισώσεων ανεξάρτητα, θεωρείται ότι ο μαθητής γνωρίζει πώς να λύνει γραμμικές, τετραγωνικές και άλλες ανισώσεις και γνωρίζει διάφορες μεθόδους για την επίλυση ανισώσεων, ιδίως τη μέθοδο των διαστημάτων. Προτείνεται η επίλυση της ανισότητας με διάφορους τρόπους.

Οι δάσκαλοι μπορούν να χρησιμοποιήσουν το εγχειρίδιο ως διδακτικό υλικό για ανεξάρτητη εργασία ενώ εξετάζουν το θέμα «Παράλογες ανισότητες».

Τα προβλήματα επιλέχθηκαν από υλικά εισαγωγικών εξετάσεων σε ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα, μεθοδολογικές εφημερίδες και περιοδικά για τα μαθηματικά «Πρώτη Σεπτεμβρίου», «Μαθηματικά στο σχολείο», «Quantum», σχολικά βιβλία, μια λίστα των οποίων δίνεται στο τέλος του εγχειριδίου .

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι παράλογες ανισότητες είναι εκείνες στις οποίες οι μεταβλητές ή μια συνάρτηση μιας μεταβλητής μπαίνουν κάτω από το πρόσημο της ρίζας.

Η κύρια τυπική μέθοδος για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων είναι η διαδοχική αύξηση και των δύο πλευρών της ανισότητας σε μια ισχύ προκειμένου να απαλλαγούμε από τη ρίζα. Αλλά αυτή η επέμβαση συχνά οδηγεί στην εμφάνιση ξένων ριζών ή ακόμα και στην απώλεια ριζών, δηλ. οδηγεί σε ανισότητα που είναι άνιση με την αρχική. Επομένως, πρέπει να παρακολουθούμε πολύ προσεκτικά την ισοδυναμία των μετασχηματισμών και να εξετάζουμε μόνο εκείνες τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες έχει νόημα η ανισότητα:

αν η ρίζα είναι άρτιος βαθμός, τότε η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική και η τιμή της ρίζας πρέπει επίσης να είναι μη αρνητικός αριθμός.

αν η ρίζα του βαθμού είναι περιττός αριθμός, τότε η ριζική έκφραση μπορεί να πάρει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και το πρόσημο της ρίζας συμπίπτει με το πρόσημο της ριζικής έκφρασης.

ενσωματωθεί σε ακόμη και πτυχίοΚαι οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι δυνατές μόνο αφού πρώτα βεβαιωθείτε ότι δεν είναι αρνητικές.

Η αύξηση και των δύο πλευρών μιας ανισότητας στην ίδια περιττή ισχύ είναι πάντα ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός.

Κεφάλαιοεγώ. Παραδείγματα επίλυσης απλών παράλογων ανισοτήτων

Παραδείγματα 1- 6:

Διάλυμα:

1. α)
.

σι)
.

2. α)

σι)

3. α)
.

σι)
.

4. α)

σι)

5. α)
.

σι)

6. α)
.

σι)
.

8. α)
.

σι)

9. α)
.

σι)

11.

12. Βρείτε τον μικρότερο ακέραιο θετική αξία x ικανοποιώντας την ανισότητα

13. α) Να βρείτε το μέσο του διαστήματος λύσης προς την ανίσωση

β) Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των ακέραιων τιμών του x για τις οποίες η ανίσωση έχει λύση 4

14. Να βρείτε τη μικρότερη αρνητική λύση της ανίσωσης

15. α)
;

σι)

Ενότητα II. Ανισώσεις της μορφής >g(x), g(x),g(x)

Με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνουμε τα παραδείγματα 1-4, συλλογιζόμαστε όταν λύνουμε ανισότητες του υποδεικνυόμενου τύπου.

Παράδειγμα 7 : Λύστε την ανισότητα
> Χ + 1

Διάλυμα: Ανισότητα DZ: Χ-3.

Για τη δεξιά πλευρά υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις: Χ + 10 (ΕΝΑ)δεξιά πλευρά Χ + 1

μη αρνητικό) ή β) ΧΣκεφτείτε α) Αν Χ+10, δηλ. Χ + 3 >- 1, τότε και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές.+ 2ΧΤετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές: Χ Χ+ Χ – 2 + 1. Παίρνουμετετραγωνική ανισότητα

x Χ x - 1, παίρνουμε -1

Θεωρήστε β) Αν Χ+1 x x -3 Χ
.

Συνδυασμός λύσεων στην περίπτωση α) -1 και β)

-3, ας γράψουμε την απάντηση:
.

Είναι βολικό να γράψετε όλα τα ορίσματα κατά την επίλυση του Παραδείγματος 7 ως εξής:

Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο συστημάτων ανισοτήτων .

Αιτιολογία για την επίλυση ανισώσεων της μορφής

1.> σολ(+ 1. Παίρνουμε); 2. σολ(+ 1. Παίρνουμε); 3. σολ(+ 1. Παίρνουμε); 4. σολ(+ 1. Παίρνουμε) μπορεί να γραφτεί εν συντομία με τη μορφή των ακόλουθων διαγραμμάτων:

ΕΓΩ. > σολ(+ 1. Παίρνουμε)

2. σολ(+ 1. Παίρνουμε)

3. σολ(+ 1. Παίρνουμε)

4. σολ(+ 1. Παίρνουμε)
.

Παράδειγμα 8 :
Χ.

Διάλυμα: Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με το σύστημα

x>0

Η αρχική ανισότητα είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο συστημάτων ανισοτήτων Χ
.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

σι)

σι)
.

σι)

20. α)
x

σι)

21. α)

ΣΕ αυτό το μάθημαθα εξετάσουμε τη λύση των παράλογων ανισοτήτων, θα δώσουμε διάφορα παραδείγματα.

Θέμα: Εξισώσεις και ανισώσεις. Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων

Μάθημα:Παράλογες ανισότητες

Κατά την επίλυση παράλογων ανισοτήτων, είναι αρκετά συχνά απαραίτητο να αυξάνονται και οι δύο πλευρές της ανισότητας σε κάποιο βαθμό, αυτή είναι μια μάλλον υπεύθυνη λειτουργία. Ας θυμηθούμε τα χαρακτηριστικά.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τετραγωνιστούν αν και οι δύο είναι μη αρνητικές, μόνο τότε παίρνουμε από αληθινή ανισότητασωστή ανισότητα.

Και οι δύο πλευρές της ανισότητας μπορούν να τεμαχιστούν σε κύβους σε κάθε περίπτωση, εάν η αρχική ανισότητα ήταν αληθής, τότε όταν γίνει κύβος θα πάρουμε την αληθινή ανισότητα.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Η ριζική έκφραση πρέπει να είναι μη αρνητική. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές πρέπει να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις.

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ είναι μια θετική έκφραση ( τετραγωνική ρίζα) είναι μεγαλύτερη από μια αρνητική έκφραση, που σημαίνει ότι η ανισότητα ικανοποιείται πάντα.

Έτσι, έχουμε το ακόλουθο σχήμα λύσεων:

Στο πρώτο σύστημα, δεν προστατεύουμε χωριστά τη ριζική έκφραση, αφού όταν ικανοποιηθεί η δεύτερη ανισότητα του συστήματος, η ριζική έκφραση πρέπει αυτόματα να είναι θετική.

Παράδειγμα 1 - επίλυση ανισότητας:

Σύμφωνα με το διάγραμμα, προχωράμε σε ένα ισοδύναμο σύνολο δύο συστημάτων ανισοτήτων:

Ας δείξουμε:

Ρύζι. 1 - απεικόνιση της λύσης στο παράδειγμα 1

Όπως βλέπουμε, όταν απαλλαγούμε από τον παραλογισμό, για παράδειγμα, όταν κάνουμε τετραγωνισμό, παίρνουμε ένα σύνολο συστημάτων. Μερικές φορές αυτός ο πολύπλοκος σχεδιασμός μπορεί να απλοποιηθεί. Στο σύνολο που προκύπτει, έχουμε το δικαίωμα να απλοποιήσουμε το πρώτο σύστημα και να αποκτήσουμε ένα ισοδύναμο σύνολο:

Ως ανεξάρτητη άσκησηείναι απαραίτητο να αποδειχθεί η ισοδυναμία αυτών των συνόλων.

Θεωρήστε μια ανισότητα της μορφής:

Παρόμοια με την προηγούμενη ανισότητα, εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Στην πρώτη περίπτωση, και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι μη αρνητικές, έχουμε το δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Στη δεύτερη περίπτωση, η δεξιά πλευρά είναι αρνητική και δεν έχουμε δικαίωμα να την τετραγωνίσουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να δούμε την έννοια της ανισότητας: εδώ η θετική έκφραση (τετραγωνική ρίζα) είναι μικρότερη από την αρνητική έκφραση, πράγμα που σημαίνει ότι η ανισότητα είναι αντιφατική. Δεν χρειάζεται να εξετάσουμε το δεύτερο σύστημα.

Έχουμε ένα αντίστοιχο σύστημα:

Μερικές φορές οι παράλογες ανισότητες μπορούν να λυθούν γραφική μέθοδος. Αυτή η μέθοδοςισχύει όταν τα αντίστοιχα γραφήματα μπορούν να κατασκευαστούν αρκετά εύκολα και μπορούν να βρεθούν τα σημεία τομής τους.

Παράδειγμα 2 - επίλυση ανισώσεων γραφικά:

Για τη δεξιά πλευρά υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:

σι)

Έχουμε ήδη λύσει την πρώτη ανισότητα και γνωρίζουμε την απάντηση.

Για να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις, πρέπει να κατασκευάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά και ένα γράφημα της συνάρτησης στη δεξιά πλευρά.

Ρύζι. 2. Γραφήματα συναρτήσεων και

Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε την παραβολή σε παραβολή (να την αντικατοπτρίσουμε σε σχέση με τον άξονα y) και να μετατοπίσουμε την καμπύλη που προκύπτει 7 μονάδες προς τα δεξιά. Το γράφημα το επιβεβαιώνει αυτή τη λειτουργίαμειώνεται μονότονα στο πεδίο ορισμού του.

Το γράφημα μιας συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή και είναι εύκολο να κατασκευαστεί. Το σημείο τομής με τον άξονα y είναι (0;-1).

Η πρώτη συνάρτηση μειώνεται μονοτονικά, η δεύτερη αυξάνεται μονοτονικά. Αν η εξίσωση έχει ρίζα, τότε είναι η μόνη που είναι εύκολο να τη μαντέψει κανείς από το γράφημα: .

Όταν η τιμή του ορίσματος λιγότερη ρίζα, η παραβολή είναι πάνω από την ευθεία. Όταν η τιμή του ορίσματος είναι μεταξύ τριών και επτά, η ευθεία γραμμή περνά πάνω από την παραβολή.

Έχουμε την απάντηση:

Αποτελεσματική μέθοδοςΗ μέθοδος των διαστημάτων χρησιμοποιείται για την επίλυση παράλογων ανισοτήτων.

Παράδειγμα 3 - επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος:

Για τη δεξιά πλευρά υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:

σι)

Σύμφωνα με τη μέθοδο του διαστήματος, είναι απαραίτητο να απομακρυνθούμε προσωρινά από την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, μετακινήστε τα πάντα στη δεδομένη ανισότητα προς την αριστερή πλευρά (πάρτε μηδέν στα δεξιά) και εισαγάγετε μια συνάρτηση ίση με την αριστερή πλευρά:

Τώρα πρέπει να μελετήσουμε τη συνάρτηση που προκύπτει.

ODZ:

Έχουμε ήδη λύσει αυτή την εξίσωση γραφικά, οπότε δεν μένουμε στον προσδιορισμό της ρίζας.

Τώρα είναι απαραίτητο να επιλέξετε διαστήματα σταθερού πρόσημου και να καθορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 3. Διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου για παράδειγμα 3

Ας θυμηθούμε ότι για να προσδιορίσουμε τα σημάδια σε ένα διάστημα, είναι απαραίτητο να πάρουμε ένα δοκιμαστικό σημείο και να το αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση που θα διατηρήσει το προκύπτον πρόσημο σε όλο το διάστημα.

Ας ελέγξουμε την τιμή στο οριακό σημείο:

Η απάντηση είναι προφανής:

Εξετάστε τον ακόλουθο τύπο ανισοτήτων:

Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ:

Οι ρίζες υπάρχουν, είναι μη αρνητικές, μπορούμε να τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές. Παίρνουμε:

Έχουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

Το προκύπτον σύστημα μπορεί να απλοποιηθεί. Όταν η δεύτερη και η τρίτη ανισότητα ικανοποιούνται, η πρώτη ισχύει αυτόματα. Έχουμε::

Παράδειγμα 4 - επίλυση ανισότητας:

Ενεργούμε σύμφωνα με το σχήμα - λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα.

Κάθε ανισότητα που περιλαμβάνει μια συνάρτηση κάτω από τη ρίζα ονομάζεται παράλογος. Υπάρχουν δύο τύποι τέτοιων ανισοτήτων:

Στην πρώτη περίπτωση, η ρίζα λιγότερη λειτουργία g (x), στο δεύτερο - περισσότερα. Αν g(x) - συνεχής, η ανισότητα απλοποιείται πολύ. Παρακαλώ σημειώστε: εξωτερικά αυτές οι ανισότητες είναι πολύ παρόμοιες, αλλά τα σχήματα επίλυσής τους είναι θεμελιωδώς διαφορετικά.

Σήμερα θα μάθουμε πώς να λύνουμε παράλογες ανισότητες του πρώτου τύπου - είναι οι απλούστερες και πιο κατανοητές. Το σύμβολο της ανισότητας μπορεί να είναι αυστηρό ή μη. Η ακόλουθη δήλωση ισχύει για αυτούς:

Θεώρημα. Κάθε παράλογη ανισότητα της μορφής

Ισοδυναμεί με το σύστημα των ανισοτήτων:

Δεν είναι αδύναμο; Ας δούμε από πού προέρχεται αυτό το σύστημα:

f (x) ≤ g 2 (x) - όλα είναι ξεκάθαρα εδώ. Αυτή είναι η αρχική ανισότητα στο τετράγωνο.
f (x) ≥ 0 είναι το ODZ της ρίζας. Να σας θυμίσω: η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικόαριθμοί?
g(x) ≥ 0 είναι το εύρος της ρίζας. Τετραγωνίζοντας την ανισότητα, καίμε τα αρνητικά. Ως αποτέλεσμα, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Η ανισότητα g(x) ≥ 0 τα κόβει.

Πολλοί μαθητές «κλείνουν» την πρώτη ανισότητα του συστήματος: f (x) ≤ g 2 (x) - και ξεχνάνε εντελώς τις άλλες δύο. Το αποτέλεσμα είναι προβλέψιμο: λάθος απόφαση, χαμένοι βαθμοί.

Αφού αρκούν οι παράλογες ανισότητες σύνθετο θέμα, ας δούμε 4 παραδείγματα ταυτόχρονα. Από βασικό έως πραγματικά πολύπλοκο. Όλα τα προβλήματα λαμβάνονται από τις εισαγωγικές εξετάσεις του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. M. V. Lomonosov.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Μπροστά μας είναι ένα κλασικό παράλογη ανισότητα: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - σταθερά. Έχουμε:

Από τις τρεις ανισότητες, μόνο δύο παρέμειναν στο τέλος της λύσης. Επειδή η ανίσωση 2 ≥ 0 ισχύει πάντα. Ας διασχίσουμε τις υπόλοιπες ανισότητες:

Άρα, x ∈ [−1,5; 0,5]. Όλα τα σημεία είναι σκιασμένα γιατί οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

Εφαρμόζουμε το θεώρημα:

Ας λύσουμε την πρώτη ανισότητα. Για να γίνει αυτό, θα αποκαλύψουμε το τετράγωνο της διαφοράς. Έχουμε:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα. Κι εκεί τετραγωνικό τριώνυμο:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)