Να αποδείξετε ότι η ανισότητα είναι αληθινή. Απόδειξη και λύση ανισοτήτων

MOU Grishino - Γυμνάσιο Slobodskaya

Πρόγραμμα ενότητας

"Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων"

εντός του μαθήματος επιλογής

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

για μαθητές των τάξεων 10-11

Συντάχθηκε από:

καθηγητής μαθηματικών

Pankova E.Yu.

Επεξηγηματικό σημείωμα

«Τα μαθηματικά ονομάζονται ταυτολογική επιστήμη: με άλλα λόγια, οι μαθηματικοί λέγεται ότι αφιερώνουν χρόνο για να αποδείξουν ότι τα πράγματα είναι ίσα με τον εαυτό τους. Αυτή η δήλωση είναι πολύ ανακριβής για δύο λόγους. Πρώτον, τα μαθηματικά, παρά το χαρακτηριστικό τους επιστημονική γλώσσα, δεν είναι επιστήμη. μάλλον μπορεί να ονομαστεί τέχνη. κατα δευτεροντα βασικά αποτελέσματα των μαθηματικών εκφράζονται συχνότερα με ανισότητες παρά με ισότητες».

Οι ανισότητες χρησιμοποιούνται σε πρακτική δουλειάμαθηματικά όλη την ώρα. Χρησιμοποιούνται για να λάβουμε μια σειρά από ενδιαφέρουσες και σημαντικές ακραίες ιδιότητες «συμμετρικών» σχημάτων: τετράγωνο, κύβο, ισόπλευρο τρίγωνο, καθώς και για την απόδειξη της σύγκλισης επαναληπτικών διεργασιών και τον υπολογισμό ορισμένων ορίων. Ο ρόλος των ανισοτήτων είναι επίσης σημαντικός σε διάφορα ζητήματα της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας.

Τα προβλήματα για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι τα πιο δύσκολα και ενδιαφέροντα από τα παραδοσιακά. Η απόδειξη των ανισοτήτων απαιτεί πραγματική εφευρετικότητα, τη δημιουργικότητα που κάνει τα μαθηματικά το συναρπαστικό μάθημα που είναι.

Η τεκμηριωμένη διδασκαλία παίζει μεγάλο ρόλο στην ανάπτυξη της απαγωγικής-μαθηματικής σκέψης και της γενικής σκέψης των μαθητών. Πώς να διδάξετε τους μαθητές να πραγματοποιούν ανεξάρτητα αποδείξεις ανισοτήτων; Η απάντηση είναι: μόνο εξετάζοντας πολλές τεχνικές και μεθόδους απόδειξης και εφαρμόζοντάς τες τακτικά.

Οι ιδέες που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι σχεδόν τόσο διαφορετικές όσο και οι ίδιες οι ανισότητες. Σε συγκεκριμένες καταστάσεις, οι γενικές μέθοδοι συχνά οδηγούν σε άσχημες λύσεις. Όμως ο μη προφανής συνδυασμός πολλών «βασικών» ανισοτήτων είναι δυνατός μόνο για λίγους μαθητές. Και, εξάλλου, τίποτα δεν εμποδίζει τον μαθητή σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση να αναζητήσει μια καλύτερη λύση από αυτή που επιτυγχάνεται με τη γενική μέθοδο. Για το λόγο αυτό, η απόδειξη ανισοτήτων συχνά υποβιβάζεται στη σφαίρα της τέχνης. Και όπως όλη η τέχνη, υπάρχουν τεχνική, το σύνολο των οποίων είναι πολύ ευρύ και είναι πολύ δύσκολο να τα κατακτήσεις όλα, αλλά κάθε δάσκαλος πρέπει να προσπαθήσει να επεκτείνει το μαθηματικό εργαλείο που είναι διαθέσιμο στο απόθεμά του.

Αυτή η ενότητα συνιστάται για μαθητές των τάξεων 10-11. Δεν εξετάζονται εδώ όλες οι πιθανές μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων (η μέθοδος αλλαγής μιας μεταβλητής, η απόδειξη ανισοτήτων με χρήση παραγώγου, η μέθοδος έρευνας και γενίκευσης και η τεχνική ταξινόμησης δεν επηρεάζονται). Μπορείτε να προτείνετε να εξετάσετε άλλες μεθόδους στο δεύτερο στάδιο (για παράδειγμα, στην τάξη 11), εάν αυτή η ενότητα του μαθήματος προκαλεί ενδιαφέρον στους μαθητές, καθώς και να εστιάσετε στην επιτυχία της κατάκτησης του πρώτου μέρους του μαθήματος.


		Εξισώσεις και ανισώσεις με παράμετρο.
		Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων.
		Εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν το άγνωστο κάτω από το σύμβολο της ενότητας.
		Συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές.

Το περιεχόμενο του μαθήματος επιλογής

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

"Μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων"


		Εισαγωγή.
		Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.
		Μέθοδος μαθηματική επαγωγή.
		Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.
		Γραφική μέθοδος.
		Η αντίθετη μέθοδος.
		Μια τεχνική για την εξέταση των ανισοτήτων σε σχέση με μία από τις μεταβλητές.
		Ιδέα ενίσχυσης.
		Μάθημα – έλεγχος.

Μάθημα 1. Εισαγωγή.

Η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα συναρπαστικό και προκλητικό θέμα στα μαθηματικά της δημοτικής. Απουσία ενιαία προσέγγισηστο πρόβλημα της απόδειξης ανισοτήτων, οδηγεί στην αναζήτηση μιας σειράς τεχνικών κατάλληλων για την απόδειξη ανισοτήτων ορισμένοι τύποι. Αυτό το μάθημα επιλογής θα εξετάσει παρακάτω μεθόδουςαπόδειξη ανισοτήτων:

Επανάληψη:

Εκτελέστε αποδείξεις για ορισμένες ιδιότητες.

Κλασικές ανισότητες:

1)
(Η ανισότητα του Cauchy)

Αναφορά ιστορικού:

Η ανισότητα (1) πήρε το όνομά της Γάλλος μαθηματικός August Cauchy. Αριθμός
που ονομάζεται αριθμητικός μέσος όροςαριθμοί α και β.

αριθμός
που ονομάζεται γεωμετρικό μέσοαριθμοί α και β. Έτσι, η ανισότητα σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος δύο θετικών αριθμών δεν είναι μικρότερος από τον γεωμετρικό μέσο όρο τους.

Επιπροσθέτως:

Εξετάστε αρκετούς μαθηματικούς σοφισμούς με ανισότητες.

Μαθηματικός σοφισμός- μια καταπληκτική δήλωση, στην απόδειξη της οποίας κρύβονται ανεπαίσθητα, και μερικές φορές αρκετά ανεπαίσθητα λάθη.

Οι σοφισμοί είναι ψευδή αποτελέσματα που λαμβάνονται με τη βοήθεια συλλογισμού που φαίνεται μόνο να είναι σωστό, αλλά απαραίτητα περιέχει ένα ή άλλο λάθος.

Παράδειγμα:

τέσσερις πάνω από δώδεκα

Μάθημα 2. Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: προκειμένου να καθοριστεί η εγκυρότητα των ανισώσεων F(x,y,z)>S(x,y,z) να γίνει η διαφορά F(x,y,z)-S( x,y,z) και να αποδείξετε ότι είναι θετικό. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, κάποιος συχνά ξεχωρίζει ένα τετράγωνο, έναν κύβο ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς, ένα ημιτελές τετράγωνο ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς. Αυτό βοηθά στον προσδιορισμό του σημείου της διαφοράς.

Παράδειγμα. Να αποδείξετε την ανισότητα (x+y)(x+y+2cosx)+2 2 sin 2x

Απόδειξη:

Θεωρήστε τη διαφορά (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

4.
>2x-20

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Μάθημα 3. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής.

Κατά την απόδειξη ανισώσεων που περιλαμβάνουν φυσικούς αριθμούς, συχνά καταφεύγει κανείς στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Η μέθοδος είναι η εξής:

1) ελέγξτε την αλήθεια του θεωρήματος για n=1.

2) Υποθέτουμε ότι το θεώρημα είναι αληθές για κάποιο n=k, και με βάση αυτή την υπόθεση αποδεικνύουμε την αλήθεια του θεωρήματος για n=k+1.

3) Με βάση τα δύο πρώτα βήματα και την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, συμπεραίνουμε ότι το θεώρημα ισχύει για οποιοδήποτε n.

Παράδειγμα.

Αποδείξτε την ανισότητα

Απόδειξη:

1) για n=2 η ανισότητα είναι αληθής:

2) Έστω η ανισότητα αληθής για n=k δηλ.
(*)

Ας αποδείξουμε ότι η ανισότητα ισχύει για n=k+1, δηλ.
. Ας πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ανίσωσης (*) επί
παίρνουμε 3) Από το στοιχείο 1. και το στοιχείο 2 συμπεραίνουμε ότι η ανίσωση ισχύει για οποιοδήποτε n.

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι

Να αποδείξετε την ανισότητα:

6)
.

Μάθημα 4 Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: χρησιμοποιώντας μια σειρά μετασχηματισμών, η απαιτούμενη ανισότητα προκύπτει χρησιμοποιώντας ορισμένες κλασικές ανισότητες.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Ως ανισότητα αναφοράς, χρησιμοποιούμε .

Μειώνουμε αυτήν την ανισότητα σε επόμενο είδος:

, τότε

Αλλά =
, τότε

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(για απόδειξη χρησιμοποιούμε την ανισότητα
)

2)
(για τεκμηρίωση, χρησιμοποιείται η ανισότητα)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (η ανισότητα χρησιμοποιείται για απόδειξη)

4) (για την απόδειξη χρησιμοποιείται η ανισότητα).

Μάθημα 5 Γραφική μέθοδος.

Απόδειξη ανισοτήτων γραφική μέθοδοςέχει ως εξής: αν αποδείξουμε την ανίσωση f(x)>g(x)(f(x)

1) δόμηση γραφημάτων των συναρτήσεων y=f(x) και y=g(x);

2) αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) βρίσκεται πάνω (κάτω) από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=g(x), τότε η ανισότητα που αποδεικνύεται είναι αληθής.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

cosx
, x0

Απόδειξη:

Ας κατασκευάσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=cosx και

Από το γράφημα φαίνεται ότι στο x0 η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=cosx βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y= .

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

4)
.

Μάθημα 6

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: ας είναι απαραίτητο να αποδειχθεί η αλήθεια της ανισότητας F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Το αντίθετο υποτίθεται, δηλαδή, ότι η ανισότητα F(x,y,z) S(x,y,z) (2) ισχύει για τουλάχιστον ένα σύνολο μεταβλητών. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ανισώσεων πραγματοποιούνται μετασχηματισμοί της ανισότητας (2). Εάν ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών προκύπτει μια ψευδής ανισότητα, τότε αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση σχετικά με την εγκυρότητα της ανισότητας (2) είναι εσφαλμένη και επομένως η ανισότητα (1) είναι αληθής.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Υποθέστε το αντίθετο, δηλ.

Ας τετραγωνίσουμε και τα δύο μέρη της ανισότητας, παίρνουμε , από πού
και πέρα

. Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ανισότητα του Cauchy. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, δηλαδή, η ανισότητα Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι είναι αληθινή.

Μάθημα 9 Μάθημα – έλεγχος των γνώσεων των μαθητών.

Αυτό το μάθημα μπορεί να γίνει σε ζευγάρια ή αν μεγάλοι αριθμοίτάξη σε ομάδες. Στο τέλος του μαθήματος, κάθε μαθητής θα πρέπει να αξιολογηθεί. Αυτό είναι το αντίγραφο αυτού του μαθήματος. Δεν συνιστάται η εκτέλεση εργασιών ελέγχου σε αυτό το θέμα. η απόδειξη ανισοτήτων, όπως ήδη αναφέρθηκε στο επεξηγηματικό σημείωμα, ανήκει στον τομέα της τέχνης. Στην αρχή, οι μαθητές καλούνται να προσδιορίσουν οι ίδιοι τη μέθοδο απόδειξης των προτεινόμενων ανισοτήτων. Εάν οι μαθητές έχουν δυσκολίες, τότε ο δάσκαλος τους λέει την ορθολογική μέθοδο, προειδοποιώντας την ομάδα ότι αυτό, φυσικά, θα επηρεάσει την αξιολόγησή τους.

Δουλέψτε σε ζευγάρια.

Παραδείγματα εργασιών.

________________________________________________________________

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1.
(μέθοδος μαθηματικής επαγωγής)

2.
(α-προτεραιότητα)

Ενότητα . Εξισώσεις και ανισότητεςμε παραμέτρους. ... ιδιότητες, διατύπωση και απόδειξηθεωρήματα, παραγωγή τύπων ... το απλούστερο ανισότητες. 7. Μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε μέθοδοςδιαστήματα...

Το πρόγραμμα της Ανοιχτής Ολυμπιάδας και οι προϋποθέσεις προετοιμασίας στα μαθηματικά για μαθητές της 9ης τάξης

Πρόγραμμα

έννοια μονάδα μέτρησηςπραγματικός αριθμός. Αριθμητική και γεωμετρικούς ορισμούς μονάδα μέτρησης. Αποκάλυψη ενότητες. ... ανισότητες. Απόδειξη ανισότητες. Λύση γραμμικών, τετραγώνων, κλασματικών-ορθολογικών ανισότητεςμε μία μεταβλητή. Απόφαση ανισότητες ...

Πρόγραμμα επιλογής στα μαθηματικά για την 8η τάξη

Πρόγραμμα

Επιδεικνύω μεθόδους απόδειξη τουλίγο πιο σύνθετο ανισότητεςμε αυτό το απλό ανισότητες? Σε αυτό το υπουργικό λοιπόν πρόγραμμα ...

αντίγραφο

1 FGBOU VO "ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ PETROZAVODSK" ΣΧΟΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τμήμα Γεωμετρίας και Τοπολογίας Khalzenen Elizaveta Sergeevna Τελική εργασία για το πτυχίο Bachelor Methods of proving. -Μ. Sciences, Platonov S.S. (υπογραφή του κεφαλιού) Petrozavodsk

2 Περιεχόμενα Εισαγωγή ... 3. Ανισότητα Jensen Ανισότητα μετάθεσης Ανισότητα Καραμάτα Επίλυση προβλημάτων για την απόδειξη ανισοτήτων ... 3 Αναφορές

3 Συντήρηση Μια μέθοδος είναι ένα σύνολο διαδοχικών ενεργειών που στοχεύουν στην επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου προβλήματος. Οι μέθοδοι απόδειξης των ανισοτήτων σε αυτή την εργασία στοχεύουν στην εύρεση προσαρμοσμένη λύσηανισότητες ορισμένης μορφής. Χρησιμοποιώντας τέτοιες μεθόδους, το διάλυμα μειώνεται κατά καιρούς. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, αλλά ο όγκος της εργασίας είναι μικρότερος. σκοπός τελική εργασίαήταν η μελέτη τριών ειδών ανισοτήτων με τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύονται εύκολα πολλές άλλες. Αυτά είναι η ανισότητα του Τζένσεν, η ανισότητα μετάθεσης, η ανισότητα του Καραμάτα. Όλες αυτές οι ανισότητες είναι μαθηματικά όμορφες, με τη βοήθεια αυτών των ανισοτήτων είναι δυνατό να λυθούν οι σχολικές ανισότητες. Αυτό το θέμαείναι ενημερωμένο. Κατά τη γνώμη μου, θα μπορούσε να είναι χρήσιμο για τους μαθητές, μεταξύ άλλων για την αύξηση του επιπέδου γνώσεων στον τομέα των μαθηματικών. Δεδομένου ότι οι μέθοδοι δεν είναι τυπικές, μου φαίνεται ότι για μαθητές με μαθηματική προκατάληψη, θα ήταν χρήσιμες και συναρπαστικές. Το καθήκον είναι η αναζήτηση και η επίλυση θεματικών ανισοτήτων από την προτεινόμενη βιβλιογραφία. Η εργασία αποτελείται από τέσσερις παραγράφους. Σε αυτή την ενότητα, περιγράφεται η ανισότητα του Jensen, δίνονται η απόδειξη και οι βοηθητικοί ορισμοί της. Στην παράγραφο 2, η ανισότητα μετάθεσης, οι ιδιαίτερες περιπτώσεις της και η γενική ανισότητα μετάθεσης. Στην Ενότητα 3, η ανισότητα του Καραμάτα είναι χωρίς απόδειξη. Η παράγραφος 4 είναι το κύριο έργο της τελικής εργασίας, δηλ. αποδείξεις ανισοτήτων χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Jensen, την ανισότητα μετάθεσης και την ανισότητα του Καραμάτα

4 . Ορισμός της ανισότητας του Jensen. Ένα υποσύνολο ενός επιπέδου ονομάζεται κυρτό εάν υπάρχουν δύο σημεία δεδομένο σύνολομπορεί να συνδεθεί με ένα τμήμα που θα βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε αυτό το σύνολο. Ορισμός 2. Έστω η f(x) ορίζεται σε κάποιο διάστημα. Το σύνολο όλων των σημείων (x,y) για τα οποία το y f(x) ονομάζεται επίγραμμα, όπου το x ανήκει στο δεδομένο διάστημα. Το σύνολο των σημείων (x,y) για τα οποία το y f(x) ονομάζεται υπογραφικό. Ορισμός 3. Θεωρήστε μια συνάρτηση σε κάποιο διάστημα. Μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή αν η επίγραμμή της είναι ένα κυρτό σύνολο σε αυτό το διάστημα. Μια συνάρτηση ονομάζεται κοίλη αν η υπογραφική της είναι ένα κυρτό σύνολο. Κριτήριο κυρτότητας (κοιλότητας) συνάρτησης. Για μια συνάρτηση y = f(x) συνεχώς διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (a, b) να είναι κυρτή (κοίλη) στο (a, b), είναι απαραίτητο και αρκετό η παράγωγός της f να αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα (a , β). Κριτήριο 2 της κυρτότητας (κοίλης) της συνάρτησης. Για να είναι μια συνάρτηση y = f(x) δύο φορές διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (a, b) να είναι κυρτή (κοίλη) στο (a, b), είναι απαραίτητο και αρκετό το f (x) 0(f (x) 0 ) σε όλα τα σημεία x (a, b) Ορισμός 4. Το κέντρο μάζας των σημείων A(x, y) και B(x 2, y 2) είναι το σημείο C(x, y) που ανήκει στο τμήμα ΑΒ , έτσι ώστε AC = m B, όπου m BC m B είναι η μάζα A του σημείου B και m A είναι η μάζα του σημείου A. Σε διανυσματική μορφή, το κέντρο μάζας βρίσκεται ως εξής: το διάνυσμα ακτίνας του κέντρου του μάζα: όπου r i είναι το διάνυσμα ακτίνας των σημείων Α και Β, i =,2. Σε συντεταγμένες: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 Έστω С AB το κέντρο μάζας των σημείων Α και Β. Αν το U είναι ένα κυρτό υποσύνολο του επιπέδου και τα σημεία Α και Β ανήκουν στο U, τότε το С AB ανήκει στο U, αφού το С AB ανήκει στο τμήμα AB. Έστω A, A 2 A αυθαίρετα σημεία στο επίπεδο με μάζες m, m 2, m. Το κέντρο μάζας C A,A 2 A του συστήματος των σημείων A, A 2 A προσδιορίζεται με επαγωγή στο:) Στο = 2 το κέντρο μάζας C A A 2 του συστήματος των σημείων A, A 2 έχει ήδη οριστεί. Θα υποθέσουμε ότι το σημείο C A A 2 έχει μάζα m + m 2 2) Έστω ότι για το σύστημα των σημείων A, A 2 A το κέντρο μάζας A, A 2 A είναι ήδη καθορισμένο. Ας συμβολίσουμε το κέντρο μάζας των σημείων A, A 2 A με το B και ας υποθέσουμε ότι η μάζα του σημείου B είναι ίση με m B = m + m m. Εξ ορισμού, ορίζουμε C A,A 2 A = C BA, δηλ. το κέντρο μάζας του συστήματος των σημείων A, A 2 A, A ισούται με το κέντρο μάζας δύο σημείων Β και Α. Θεωρούμε ότι η μάζα του σημείου C A,A 2 A είναι ίση με m B + m = m + m m. Από τον ορισμό του κέντρου μάζας προκύπτει ότι αν όλα τα σημεία A, A 2 A ανήκουν σε ένα κυρτό σύνολο U, τότε το κέντρο μάζας τους ανήκει επίσης στο U. Λήμμα. Έστω A, A 2 A σημεία στο επίπεδο με μάζες m, m 2, m και έστω r i το διάνυσμα ακτίνας του σημείου A i, i =,. Αν C είναι το κέντρο μάζας ενός συστήματος σημείων A, A 2 A, τότε το διάνυσμα ακτίνας r C του σημείου C μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο Απόδειξη. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) Θα αποδείξουμε τον τύπο (2) με επαγωγή στο. Για = 2, ο τύπος έχει ήδη αποδειχθεί (βλ. τύπο ()). Ας υποθέσουμε ότι ο τύπος (2) έχει ήδη αποδειχθεί για το (). Έστω Β το κέντρο μάζας του συστήματος των σημείων A, A 2 A. Τότε - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, η μάζα του σημείου Β είναι m B = m + m m. Εξ ορισμού, το κέντρο μάζας C ενός συστήματος σημείων A, A 2 A συμπίπτει με το κέντρο μάζας ενός ζεύγους σημείων B και A. Το διάνυσμα ακτίνας του σημείου C υπολογίζεται με τον τύπο () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m που αποδεικνύει τον τύπο (2) για σημεία. Στις συντεταγμένες, ο τύπος (2) έχει τη μορφή: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k Θεώρημα Jensen. Έστω y = f(x) μια κυρτή συνάρτηση σε κάποιο διάστημα, x, x 2, x - αριθμοί από αυτό το διάστημα· m, m 2, m - θετικούς αριθμούς, ικανοποιώντας τη συνθήκη m + m m =. Τότε ισχύει η ανισότητα Jensen: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι κοίλη σε κάποιο διάστημα, x, x 2, x - αριθμοί από αυτό το διάστημα. m, m 2, m -θετικοί αριθμοί που επίσης ικανοποιούν τη συνθήκη m + m m =. Τότε η ανισότητα του Jensen έχει τη μορφή: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)" Απόδειξη: Θεωρήστε μια συνάρτηση f(x) κυρτή στο διάστημα (a, β) . Θεωρήστε τα σημεία A, A 2, A στη γραφική του παράσταση και έστω A i = (x i, y i), y i = f(x i). Ας πάρουμε αυθαίρετες μάζες m, m 2, m για τα σημεία A, A 2, A, έτσι ώστε m + m m =. Από το γεγονός ότι η f(x) είναι κυρτή συνάρτηση προκύπτει ότι - 6 -

7 ότι το επίγραμμα της συνάρτησης είναι ένα κυρτό σύνολο. Επομένως, το κέντρο μάζας των σημείων A, A 2, A ανήκει στην επιγραφή. Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x ) Αφού το Γ ανήκει στην επιγραφή, τότε παίρνουμε π.τ.δ. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) (a + a) a a 2 a Παίρνουμε τον λογάριθμο της ανισότητας (3), παίρνουμε την ισοδύναμη ανίσωση (3) l (a + a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, ξαναγράφουμε την ανισότητα (4) με τη μορφή : l (a +a 2 + +a ) l a + l a l a (5) Η προκύπτουσα ανισότητα είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση της ανισότητας του Jensen για την περίπτωση που f(x) = l(x), m = m 2 = = m =. Σημειώστε ότι η συνάρτηση y = l(x) είναι κοίλη στο διάστημα (0, +), αφού y =< 0, поэтому неравенство (5) есть ειδική περίπτωσηανισότητες x2-7 -

8 Jensen για μια κοίλη συνάρτηση f(x) = l(x). Εφόσον ισχύει η ανισότητα (5), ισχύει και η ισοδύναμη ανισότητα (3) 2. Ανισότητα μετάθεσης Ορισμός. Μια αντιστοιχία ενός προς ένα ενός συνόλου αριθμών (,2,3, ) στον εαυτό του ονομάζεται μετάθεση στοιχείων. Ας συμβολίσουμε τη μετάθεση με σ έτσι ώστε τα σ(), σ(2), σ(3) σ() να είναι αριθμοί,2,3, με διαφορετική σειρά. Θεωρήστε δύο σύνολα αριθμών a, a 2, a και b, b 2, b. Τα σύνολα a, a 2, a και b, b 2, b ονομάζονται πανομοιότυπα διατεταγμένα εάν για οποιουσδήποτε αριθμούς i και j από το γεγονός ότι a i a j σημαίνει ότι b i b j. Συγκεκριμένα, ο μεγαλύτερος αριθμόςαπό το σύνολο a, a 2, το a αντιστοιχεί στον μεγαλύτερο αριθμό από το σύνολο b, b 2, b, για τον δεύτερο μεγαλύτερο αριθμό από το πρώτο σύνολο, υπάρχει ο δεύτερος μεγαλύτερος αριθμός από το δεύτερο σύνολο, και ούτω καθεξής. Τα σύνολα a, a 2, a και b, b 2, b λέγονται αντίστροφα αν, για οποιουσδήποτε αριθμούς i και j, το γεγονός ότι a i a j συνεπάγεται ότι b i b j. Από αυτό προκύπτει ότι ο μεγαλύτερος αριθμός από το σύνολο a, a 2, a αντιστοιχεί μικρότερος αριθμόςαπό το σύνολο b, b 2, b, ο δεύτερος μεγαλύτερος αριθμός από το σύνολο a, a 2, a αντιστοιχεί στον δεύτερο μικρότερο αριθμό από το τέλος του συνόλου b, b 2, b κ.ο.κ. Παράδειγμα.) Έστω δύο συλλογές, έτσι ώστε a a 2 a και b b 2 b, τότε σύμφωνα με τους ορισμούς που δώσαμε, αυτές οι συλλογές ταξινομούνται εξίσου. 2) Έστω δύο σύνολα, έτσι ώστε a a 2 a και b b 2 b, στην περίπτωση αυτή τα σύνολα των αριθμών a, a 2, a και b, b 2, b θα είναι με αντίστροφη σειρά Παντού κάτω από το a, a 2 , a και b, b 2 , b - θετικοί πραγματικοί αριθμοί «Θεώρημα. (Ανισότητα μετάθεσης) Έστω δύο σύνολα αριθμών a, a 2, a και b, b 2, b. Εξετάστε το σύνολο των πιθανών μεταθέσεων τους. Τότε η τιμή της έκφρασης είναι 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () θα είναι μεγαλύτερο όταν τα σύνολα a, a 2, a και b, b 2, b είναι ίσα διατεταγμένα και μικρότερο όταν a, a 2, a και b , b 2, b έχουν αντίστροφη σειρά. Για όλες τις άλλες μεταθέσεις, το άθροισμα S θα είναι μεταξύ της μικρότερης και της μεγαλύτερης τιμής. Παράδειγμα. Σύμφωνα με το θεώρημα a b + b c + c a 3, αφού το σύνολο a, b, c και a, b, c είναι σε αντίστροφη σειρά και η τιμή a a + b b + c c = 3 θα είναι η μικρότερη. Απόδειξη του θεωρήματος. Θεωρήστε δύο σύνολα αριθμών: το πρώτο είναι a, a 2, a και το δεύτερο είναι b, b 2, b. Ας υποθέσουμε ότι αυτά τα σετ δεν ταξινομούνται με τον ίδιο τρόπο, αυτά. Υπάρχουν δείκτες i και k τέτοιοι ώστε a i > a k και b k > b i. Ας ανταλλάξουμε τους αριθμούς b k και b i στο δεύτερο σύνολο (ένας τέτοιος μετασχηματισμός ονομάζεται "ταξινόμηση"). Τότε στο άθροισμα S οι όροι a i b i και a k b k θα αντικατασταθούν από a i b k και a k b i, και όλοι οι άλλοι όροι θα παραμείνουν αμετάβλητοι. Σημειώστε ότι a i b i + a k b k< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть υψηλότερη τιμή. Η μικρότερη τιμή λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο που ταξινομούμε μέχρι τα σύνολα να έχουν αντίστροφη σειρά. Ως αποτέλεσμα, θα φτάσουμε στη μικρότερη τιμή. «Θεώρημα 2. Θεωρήστε δύο θετικά σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b και όλες τις πιθανές μεταθέσεις του. Τότε η τιμή του γινομένου (a i + b σ(i)) θα είναι μεγαλύτερη όταν τα σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b είναι εξίσου διατεταγμένα και μικρότερη όταν είναι αντίστροφα

10 Θεώρημα 3. Θεωρήστε δύο σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b τα στοιχεία αυτού του συνόλου είναι θετικά. Τότε η τιμή του () a i + b σ(i) θα είναι μεγαλύτερη όταν τα σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b είναι εξίσου διατεταγμένα και μικρότερη όταν είναι αντίστροφα. Τα θεωρήματα 2,3 είναι ειδικές περιπτώσεις περισσότερων γενικό θεώρημα, το οποίο συζητείται παρακάτω. Γενική ανισότητα μετάθεσης «Θεώρημα 4 (General permutation inequality). Έστω η συνάρτηση f συνεχής και κυρτή σε κάποιο διάστημα στο R. Τότε για οποιαδήποτε σύνολα αριθμών a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b από το διάστημα, η τιμή της παράστασης f (a + b σ()) + f ( a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) θα είναι μεγαλύτερο όταν τα σύνολα είναι στην ίδια σειρά και μικρότερο όταν τα σύνολα είναι σε αντίστροφη σειρά. Θεώρημα 5. Έστω η συνάρτηση f συνεχής και κοίλη σε κάποιο διάστημα στο R Τότε: η τιμή της παράστασης f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b Το σ()) θα είναι μεγαλύτερο όταν οι αριθμοί είναι σε αντίστροφη σειρά και μικρότερο όταν τα σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b είναι ίσα διατεταγμένα. Απόδειξη.") Θεωρήστε την περίπτωση = 2. Έστω η συνάρτηση f κυρτή και υπάρχουν δύο σύνολα a > a 2 και b > b 2. Πρέπει να αποδείξουμε ότι Έστω f(a + b) + f(a 2 + b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a a 2, m = b b 2. Τότε - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, άρα η ανισότητα (2) παίρνει τη μορφή f(x + k + m) + f(x + k ) f(x + k) + f(x + m) (3) Για να αποδείξουμε την ανισότητα, χρησιμοποιούμε το σχήμα Το σχήμα δείχνει μια γραφική παράσταση μιας κυρτής συνάρτησης y = f(x) τα σημεία A(x, f( x)), C(x + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f(x + k + m)). και on Η κυρτότητα της συνάρτησης f υποδηλώνει ότι η συγχορδία CD βρίσκεται κάτω από τη χορδή ΑΒ. Έστω K το μέσο του CD, M3 το μέσο του AB. Σημειώστε ότι τα τετμημένα των σημείων Κ και Μ είναι τα ίδια, αφού x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k + m) ) = (2x + k + m) 2 Επομένως, τα σημεία K και M βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία, πράγμα που σημαίνει ότι y m y k. ---

12 Αφού y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 Αυτό συνεπάγεται ανισώσεις (3) και (2). Q.E.D. 2) Έστω > 2. Έστω ότι τα σύνολα a, a 2, a 3 a και b, b 2, b 3 b δεν είναι διατεταγμένα με τον ίδιο τρόπο, δηλ. υπάρχουν δείκτες i και k τέτοιοι ώστε a i > a k και b i< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 Αν x, x 2, x είναι θετικοί αριθμοί, i= x i =, τότε (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) «Θεώρημα (Ανισότητα Καραμάτα) Έστω f: (a , β ) R, f είναι μια κυρτή συνάρτηση x, x 2, x, y, y 2, y (a, b) και (x, x 2, x) (y, y 2, y), μετά f(x ) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y). Αν η f είναι μια κοίλη συνάρτηση, τότε f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y)." Δείτε την απόδειξη στο . 4. Επίλυση προβλημάτων για την απόδειξη ανισοτήτων. Σε αυτήν την ενότητα, εξετάζουμε διάφορα προβλήματα απόδειξης ανισότητας που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Jensen, τις ανισότητες μετάθεσης ή την ανισότητα του Καραμάτα. Ασκηση. Να αποδείξετε την ανίσωση όπου x, x 2, x > 0 Έστω x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x ) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x Τότε η ανισότητα του Jensen συνεπάγεται ότι - 3 -

14 Ας αποδείξουμε ότι i= + x i + x x 2 x + x + x 2 + +x Αυτό ισχύει αν και μόνο αν + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x Και η τελευταία ανισότητα συμπίπτει με η ανισότητα Cauchy. Εργασία 2. Να αποδείξετε ότι για κάθε a, b > 0 η ανίσωση είναι αληθής: 2 a + b ab Εργασία 3. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε a, a 2, a > 0 η ανίσωση είναι αληθής: a a 2 a a a 2 a Η ανίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως: - 4 -

15 () (a a a 2 a 2 a) αυτή είναι η ανισότητα του Cauchy. Εργασία 4. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε a, a 2, a > 0 η ανίσωση είναι αληθής: Θεωρήστε την ανισότητα για =3. a + a a + a a 2 a 3 a a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 -true Δηλώστε x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a, Τότε x x 2 x =. Τότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή: x + x x Αυτή η ανισότητα προκύπτει από την ανισότητα του Cauchy: q.t.d. Εργασία 5. Να αποδείξετε ότι (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x, όπου 0 x i π - 5 -

16 Η ανισότητα προκύπτει από την ανισότητα του Jensen για τη συνάρτηση y = si x. Η συνάρτηση y = si x είναι κοίλη στο διάστημα (0, π), αφού y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 η ανισότητα είναι αληθής: (a + a 2+ +a)(a + a a) 2 Η ανισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: αυτή είναι ισοδύναμη με (a + a a) a + a a 2 a +a 2 + +a a + a 2+ +a Θεωρούμε τη συνάρτηση του Jensen f(x) = x και λαμβάνουμε αυτή την ισότητα. και χρησιμοποιώντας την ανισότητα Εργασία 7. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε x, y, z > 0 ισχύει η ανίσωση x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 Ας εφαρμόσουμε την ανισότητα μετάθεσης. Αφήστε το πρώτο σετ να μοιάζει με Δεύτερο x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 η τιμή της παράστασης στην αριστερή πλευρά του x 5 + y 5 + z 5 αποτελείται από πανομοιότυπα διατεταγμένα σύνολα αριθμών. Από αυτό προκύπτει ότι η τιμή που λήφθηκε - 6 -

17 για όλες τις άλλες μεταθέσεις μεγαλύτερη αξίαπου λαμβάνεται με την "πιο σωστή" διάταξη των μεταβλητών. Εργασία 8. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε x, y, z > 0 η ανίσωση είναι αληθής: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι x y z. Έστω a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 Σύνολα a, a 2, a 3 και b, b 2, b 3 διατάσσονται αντίθετα, επομένως, από την ανισότητα μετάθεσης, το άθροισμα a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 είναι το μικρότερο μεταξύ των αθροισμάτων Ειδικότερα, το οποίο ισοδυναμεί με a b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3. a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. Εργασία 9. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε a, a 2, a > 0 η ανίσωση είναι αληθής: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a)(+ a 2 ) (+ α) Πολλαπλασιάζουμε με a a 2 a, παίρνουμε (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a + a 2) - 7 -

18 Ας πάρουμε τον λογάριθμο της ανισότητας και πάρουμε μια ισοδύναμη ανισότητα. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) Εμείς χρησιμοποιήστε τη γενική ανισότητα μετάθεσης για την κοίλη συνάρτηση y = l x. Έστω a i = a i, b i = a i 2. Τότε τα σύνολα b, b 2, b και a, a 2, a ταξινομούνται πανομοιότυπα, άρα l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l( b + a ) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), που αποδεικνύει την ανισότητα (9.). Εργασία 0. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) Έστω a b c.. Αφού τα σύνολα (a, b, c) και (a, b , γ) είναι πανομοιότυπα διατεταγμένα, αλλά τα σύνολα (a, b, c) και (b, c, a) δεν είναι πανομοιότυπα διατεταγμένα, τότε η ανισότητα (0.) προκύπτει από την ανισότητα μετάθεσης. Ασκηση. Να αποδείξετε ότι αν xy + yz + zx =, τότε η ανισότητα (.) ακολουθεί από το Πρόβλημα 0. Εργασία 2. Να αποδείξετε ότι αν a, b, c > 0, τότε x 2 + y 2 + z 2 (.). (a + c)(b + d) ab + cd Επειδή η τετραγωνική ρίζα είναι μεγαλύτερη ή ίση με μηδέν, μπορούμε να τετραγωνίσουμε τη δεξιά και την αριστερή πλευρά. Παίρνουμε: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -Σωστή Εργασία 3, 4. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε a, a 2, a > 0 το ισχύει η ακόλουθη ανίσωση: 3) a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 4) a 2 + a a 2 (3.) (4.) όπου a + a 2 + a = Ανισότητα (4.) προκύπτει από ( 3.) για a + a 2 + a =. Θα αποδείξουμε την ανισότητα (3.). Μπορεί να μετατραπεί σε Or a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a a) Ας χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα του Jensen για μια κυρτή συνάρτηση f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), Όπου 0 q i, q + q 2 + q =. Αν πάρουμε f(x) = x 2, q i =, i =,2, τότε λαμβάνουμε την ανισότητα (3.) κ.λπ. Εργασία 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό και για κάθε p, q, η ανίσωση () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 Ας μετατρέψουμε την ανισότητα (5.) στην ισοδύναμη μορφή: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 )[ ()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 πάντα από -φυσικό Ας αποδείξουμε ότι Σημειώστε ότι 0 (5.2) p + q pq = p(q ) (q) = (p)(q) Αφού p, q, τότε p 0, q 0, άρα ισχύει η ανισότητα (5.2). Εργασία 6. Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς x, y, z, η ανίσωση είναι αληθής: Έστω x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.)) Αν y + z x< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. Τότε η ανισότητα (6.) είναι ισοδύναμη με l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) Έστω f(x) = l x. Αφού f(x)`` = x 2< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (επειδή y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z Αφού η συνάρτηση f(x) = l x είναι κοίλη , τότε από την ανίσωση Καραμάτα προκύπτει ότι l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, που αποδεικνύει την ανισότητα (6.). Εργασία 7. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε a, b και c > 0 η ανίσωση είναι αληθής: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Αυτό ισοδυναμεί με Έστω α β γ. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) Πρέπει να αποδείξουμε ότι το (7.) μεγαλώνει (7.2). Ας χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της μειοψηφίας :) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-σωστό 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 και (c a) 0, στη συνέχεια (c b) (c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Σωστό. Έτσι, το σύνολο των αριθμών (7.) μεγαλοποιεί το σύνολο των αριθμών (7.2). Εφαρμόζοντας την ανισότητα Καραμάτα για μια κυρτή συνάρτηση f(x) = x, προκύπτει η σωστή αρχική ανισότητα. Εργασία 8. Για a, b, c, d > 0 να αποδείξετε ότι η ανίσωση a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 Έστω a b c d y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+ 2w Θεωρήστε δύο σύνολα αριθμών: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) και (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) σετ: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) και (8.) Το δεύτερο παραμένει αμετάβλητο: ( 2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) Ας αποδείξουμε ότι το (8.) μείζονα (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y είναι σωστό 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z, y z είναι σωστό 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w ότι 2x + 2w 2 + 2z x + w y + z, τότε η περίπτωση 3) είναι δυνατή μόνο για x + w = y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w Παρόμοια με την προηγούμενη περίπτωση, αυτή η ανισότητα ισχύει για x + w = y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 2z + 2y + 2w z w είναι σωστό 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w , το σύνολο (8.) μεγεθύνει το σύνολο των αριθμών (8.2). Χρησιμοποιώντας την ανίσωση Καραμάτα για τη συνάρτηση f(x) = e x, προκύπτει η σωστή ανίσωση. Εργασία 9. Για a, b, c > 0, να αποδείξετε ότι η ανίσωση a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) είναι αληθής

24 Έστω a b c Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με το 3, παίρνουμε 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) Κάνουμε την αλλαγή : Και γράφουμε την ανίσωση (9.) με τη μορφή: x = l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x +y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z +x + e x+ 2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x + y + z, x + y + z, x + y + z) και ( 9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, x + 2y, x + 2y, y + 2z, y + 2z, ‎z + 2x , z + 2x) (9.3) z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) και (9.2) Παραγγείλετε το δεύτερο σύνολο: 2x + y z + 2x y z true y + 2z 2z + x y x αληθές Έτσι, παίρνουμε το σετ: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, ι + 2z) (9.3) να αποδείξετε ότι το σύνολο των αριθμών (9.2) μεγαλώνει το σύνολο των αριθμών (9.3)) 3 x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x · + 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, για x = y παίρνουμε y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 Για x = y παίρνουμε y z 7) 9x + 9y + x + y + z , παίρνουμε y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, · x + y + 3z 0 + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y, 5y z 2) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z μείζονα το σύνολο των αριθμών (9.3) και με την ανισότητα Καραμάτα για τη συνάρτηση f(x) = e x παίρνουμε τη σωστή ανισότητα.

26 Αναφορές) Yu.P. Soloviev. Ανισότητες. Μ.: Εκδοτικός Οίκος του Κέντρου Συνεχούς Μαθηματικής Εκπαίδευσης της Μόσχας 2005. 6s. 2) Ι.Χ. Σιβασίνσκι. Ανισότητες σε εργασίες Μ.: Nauka, σελ. 3) A. I. Khrabrov. Γύρω από τη μογγολική ανισότητα, Ματ. φώτιση, ser. 3, 7, MTsNMO, Μ., 2003, σελ. 4) L. V. Radzivilovskii, Generalization of permutation inequality and the Mongolian inequality, Mat. φώτιση, ser. 3, 0, MCNMO Publishing House, M., 2006, p. 5) V.A.ch Krechmar. Βιβλίο Άλγεβρας. Πέμπτη έκδοση Μ., επιστήμη, σελ. 6) Η ανισότητα του Δ. Nomirovsky Karamata /Δ. Nomirovsky // (Quantum)-S

Κυρτά σύνολα και συναρτήσεις R n σύνολο συνόλων n πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, αυτό το σύνολο θα ονομάζεται κενό, τα στοιχεία του θα ονομάζονται σημεία, το σημείο με συντεταγμένες (x 1,..., x n) θα συμβολίζεται

Προϋποθέσεις εργασίας 1 δημοτική σκηνή 8η τάξη 1. Δύο αριθμοί είναι γραμμένοι στον μαυροπίνακα. Το ένα από αυτά αυξήθηκε κατά 6 φορές και το άλλο μειώθηκε έως το 2015, ενώ το άθροισμα των αριθμών δεν άλλαξε. Βρείτε τουλάχιστον ένα ζευγάρι

Κεφάλαιο IX. Ευκλείδειοι και ενιαίοι χώροι 35. Scalar προϊόνστον διανυσματικό χώρο Ural ομοσπονδιακό πανεπιστήμιο, Ινστιτούτο Μαθηματικών και επιστήμη των υπολογιστών, Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών

Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ural, Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών, Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών

Λύση των προβλημάτων του γύρου πλήρους απασχόλησης της ένατης Ολυμπιάδας Euler 1. Εξετάζονται όλες οι λύσεις του συστήματος x yz 1, x y z x, x y z. Βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει το x. Απάντηση: 1; ένας; 1. Λύση 1. Αφού x y

Διάλεξη 4 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διανυσματικό κατευθυνόμενο τμήμα. Ίσα διανύσματα: έχω ίδια μήκηκαι συμπίπτουσες κατευθύνσεις (παράλληλες και στραμμένες προς την ίδια κατεύθυνση) Αντίθετα διανύσματα: έχουν το ίδιο μήκος

Θέμα 1-8: Μιγαδικοί αριθμοί A. Ya. Ovsyannikov Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ουραλίου Ινστιτούτο Μαθηματικών και Επιστήμης Υπολογιστών Τμήμα Άλγεβρας και Διακριτών Μαθηματικών Άλγεβρα και Γεωμετρία για τη Μηχανική (1 εξάμηνο)

Πένζα Κρατικό ΠανεπιστήμιοΦυσικομαθηματικη Σχολη "Μερικής φοίτησης Φυσικομαθηματικό Σχολείο" ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μετασχηματισμοί ταυτότητας. Λύση εξισώσεων. Τρίγωνα Εργασία 1 για

Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας λογαριθμικές εξισώσειςκαι ανισότητες, η μέθοδος ενίσχυσης και λογάριθμος στην επίλυση προβλημάτων. Εργαλειοθήκηστην προετοιμασία για τις Ολυμπιάδες.

98 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Λύσεις εξισώσεων με βάση τις ιδιότητες μιας κυρτής συνάρτησης Lipatov SV Kaluga MBOU "Λύκειο 9 με το όνομα KE Tsiolkovsky" 0 "A" τάξης Επόπτης:

Αλγεβρική μορφή μιγαδικού αριθμού. Εκπαιδευτική παρουσίαση A. V. Likhatsky Επικεφαλής: E. A. Maksimenko Southern Federal University 14 Απριλίου 2008 A. V. Likhatsky (SFedU) Algebr. σύνολο φόρμας αριθμοί

Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας Πολυτεχνείοονομάστηκε από τη Ν.Ε. Σχολή Μπάουμαν" Βασικές επιστήμες" Καρέκλα " Μαθηματική μοντελοποίηση» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 Κεφάλαιο 2 Πολυώνυμα Παραδείγματα και σχόλια Αλγόριθμοι A-01 Γράψτε ένα πολυώνυμο σε τυποποιημένη μορφή A-02 Πράξεις σε πολυώνυμα A-03 Προφορικοί μετασχηματισμοί A-04 Τύποι μειωμένου πολλαπλασιασμού A-05 Διώνυμο Newton

Λύσεις προβλημάτων του γύρου αντιστοιχίας της 6ης Ολυμπιάδας Euler I Μαθηματικό μπλοκ Μάθετε για ποιες τιμές της παραμέτρου υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί x και y που ικανοποιούν την εξίσωση xy + x + y + 7 Απάντηση: 89 Λύση

Διάλεξη 8 Κεφάλαιο Διάνυσμα άλγεβραΔιανύσματα Ποσότητες που προσδιορίζονται μόνο από τους αριθμητική αξία, ονομάζονται βαθμωτά Παραδείγματα σκαλοπάτια: μήκος, εμβαδόν, όγκος, θερμοκρασία, εργασία, μάζα

Διαπεριφερειακή Ολυμπιάδαμαθητές» Υψηλότερο Πρότυπο”, 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, στάδιο 2, σελ. 1/10 Λύσεις και κριτήρια αξιολόγησης των εργασιών της Ολυμπιάδας 10-1 Σε μια παρέα 6 ατόμων, κάποιες εταιρείες πήγαν κατά τρεις

7. Ακραία συναρτήσεων πολλών μεταβλητών 7.. Τοπικά άκραΑς οριστεί η συνάρτηση f(x,..., x n) σε κάποιο ανοιχτό σύνολο D R n. Το σημείο M D ονομάζεται σημείο τοπικό μέγιστο(τοπικός

Όγδοη Ολυμπιάδα Euler για Καθηγητές Μαθηματικών Λύσεις προβλημάτων αντιστοιχίας γύρο Λύστε την εξίσωση a b c b a c c a b a b c, όπου τα a, b και c είναι θετικοί αριθμοί Λύση Είναι σαφές ότι a b c λύσεις δεδομένη εξίσωση

Φυσικά, καθήκον. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση Riemann, αν είναι 0, m m R(), εάν, m, m 0, και το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο, 0, εάν είναι παράλογο, είναι ασυνεχής σε κάθε λογικό σημείοκαι είναι συνεχής σε κάθε παράλογο. Απόφαση.

Ολυμπιάδα Πόλης στα Μαθηματικά, Khabarovsk, 1997 Πρόβλημα 1. Βρείτε λύσεις στην εξίσωση 9 ΤΑΞΗ (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Λύση. Μετά την αλλαγή της μεταβλητής x = y 1, η εξίσωση (1) μπορεί να γραφτεί ως

Θέμα 2-14: Ευκλείδειοι και ενιαίοι χώροι A. Ya. Ovsyannikov Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ural Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for

Η Ένατη Ολυμπιάδα Euler για Καθηγητές Μαθηματικών Λύσεις Αντιστοιχίας Στρογγυλά Προβλήματα 1. Λύστε την εξίσωση x(x ab) a b για το x. Απόφαση. Είναι σαφές ότι το x a b είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης. Διαίρεση του πολυωνύμου x abx

1. Γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές Στην πρώτη εργασία, εξετάσαμε γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 είναι γραμμικές εξισώσειςμε μεταβλητή

Κεφάλαιο 6 Διανυσματική Άλγεβρα 6.1. Διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα γεωμετρικό διάνυσμα, ή απλά ένα διάνυσμα, ονομάζεται κατευθυνόμενο τμήμα, δηλ. ένα τμήμα στο οποίο ονομάζεται ένα από τα οριακά σημεία

Εργασίες της Ανοιχτής Ολυμπιάδας για μαθητές στα μαθηματικά (54 της Λίστας Ολυμπιάδων για μαθητές, ακαδημαϊκό έτος 2015/2016) Πίνακας περιεχομένων I. Εργασίες τελικό στάδιοΟλυμπιάδες για την 11η τάξη... 2 II. Εργασίες του 1ου γύρου των προκριματικών

3. Μέθοδοι λύσης ορθολογικές ανισότητες 3..1. Αριθμητικές ανισώσεις Αρχικά, ας ορίσουμε τι εννοούμε με την πρόταση a > b. Ορισμός 3..1. Αριθμός α περισσότερος αριθμόςβ αν η διαφορά μεταξύ τους είναι θετική.

Διάλεξη 13. Κυρτές συναρτήσεις και τύπος Taylor 1 Κυρτό και κοίλο C - ομαλά χαρακτηριστικά. Ορισμός 1 Μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή (κοίλη) εάν η επίγραμμή της (υπογράφημα) είναι μια κυρτή περιοχή. Παράδειγμα 1x

Εργαστήριο: «Διαφορικότητα και διαφορικό μιας συνάρτησης» Εάν η συνάρτηση y f () έχει πεπερασμένη παράγωγο σε ένα σημείο, τότε η αύξηση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο μπορεί να αναπαρασταθεί ως: y (,) f () () () στην περίπτωση κατά την

Διάλεξη 2 Διανύσματα Ορίζοντες δεύτερης και τρίτης τάξης 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Κατευθυνόμενο τμήμα του διανύσματος Ίσα διανύσματα: έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση (παράλληλα και κατευθυνόμενα προς την ίδια κατεύθυνση)

Επίλυση προβλημάτων της αντιστοιχίας γύρος 0 I Μαθηματικό μπλοκ Πρόβλημα Βρείτε τον αριθμό των φυσικών ριζών της εξίσωσης Απάντηση: 00 0 λύσεις Λύση του προβλήματος Ας παραστήσουμε τον αριθμό με τη μορφή Τότε η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι ίση με

Περίληψη διάλεξης 11 Ευκλείδειοι χώροι 0. Περίγραμμα διάλεξης 1. Γίνεται τελεία. 1.1. Ορισμός του βαθμωτού προϊόντος. 1.2. Ισοδύναμη σημειογραφία ως προς τις προβολές. 1.3. Απόδειξη γραμμικότητας σε

Ολυμπιάδα «Μελλοντικοί ερευνητές το μέλλον της επιστήμης» Μαθηματικά. Γύρος επιλογής 4.0.0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ 8 9 τάξη 8-9.. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος: 0 0 0 0 ή 0 0 0 0; Απάντηση. Ο πρώτος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο. Απόφαση. Σημαίνω

Βαθμός 0 Πρώτος γύρος (0 λεπτά, κάθε πρόβλημα 6 βαθμοί)... Είναι γνωστό ότι tg + tg = p, ctg + ctg = q. Βρείτε το tg(+). pq Απάντηση: tg. q p Από τη συνθήκη p tg q tg tg tg tg p και την ισότητα ctg ctg q, λαμβάνουμε

Μαθηματική ανάλυση 2.5 Διάλεξη: Ακρότατα μιας συνάρτησης αρκετών μεταβλητών Vladimir Feliksovich Zalmezh, Αναπληρωτής Καθηγητής του Τμήματος VMMF Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση w = f (x) που ορίζεται στον τομέα D R n. Καλείται το σημείο x 0 D

Θέμα 1-4: Αλγεβρικές πράξεις A. Ya. Ovsyannikov Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ural Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for Mechanics (1

Περιεχόμενα I. V. Yakovlev Υλικά για τα μαθηματικά Συστήματα MathUs.ru αλγεβρικές εξισώσειςΔιπλή αντικατάσταση ..........................................Συμμετρικά συστήματα ...... ..................................

ομοσπονδιακή υπηρεσίααπό την εκπαίδευση Ομοσπονδιακή πολιτεία εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευσηΝΟΤΙΟ Ομοσπονδιακό ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya

Διάλεξη 10 1 Ευκλείδειος χώρος 11 Ορισμός Έστω το V (R) LP στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Το βαθμωτό γινόμενο στο V είναι αυθαίρετη λειτουργία V V R που συσχετίζει ένα διατεταγμένο ζεύγος διανυσμάτων

1 Σύνθετες λειτουργίες 1.1 Μιγαδικοί αριθμοί Θυμηθείτε ότι μιγαδικοί αριθμοίμπορεί να οριστεί ως το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, όπου i είναι η φανταστική μονάδα (i

Κεφάλαιο 4 Βασικά θεωρήματα διαφορικός λογισμόςΑποκάλυψη αβεβαιοτήτων Βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού Θεώρημα Fermat (Pierre Fermat (6-665) Γάλλος μαθηματικός) Αν η συνάρτηση y f

Περίληψη διάλεξης 10 συγγενικά κενά 0. Περίγραμμα διάλεξης Διάλεξη Συγγενικοί χώροι. 1. Βάση αφινικής. 2. Σύνδεση συντεταγμένωνσημεία. 3. Διανυσματική εξίσωση ευθείας γραμμής. 4. Διανυσματική εξίσωση του επιπέδου. 5.

8 ΤΑΞΗ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n μπορεί κανείς να επιλέξει έναν φυσικό αριθμό a τέτοιο ώστε ο αριθμός a(n + 1) (+ n+1) να διαιρείται ομοιόμορφα με. 2. Δύο

Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Ural, Institute of Mathematics and Computer Science, Department of Algebra and Discrete Mathematics Εισαγωγικές παρατηρήσεις Σε αυτή τη διάλεξη, μελετάμε μια άλλη καμπύλη δεύτερης τάξης, την υπερβολή.

Εργασία για το σπίτιστην άλγεβρα για τον βαθμό 0 στο σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης βαθμός 0" Alimov Sh.A. και άλλοι, -Μ .: «Διαφωτισμός», 00γρ. www.balls.ru Περιεχόμενα Κεφάλαιο I. Πραγματικοί αριθμοί Κεφάλαιο II. Εξουσία

Διάνυσμα άλγεβρα Έννοια του διανυσματικού χώρου. Γραμμική εξάρτησηφορείς. Ιδιότητες. Η έννοια της βάσης. Διανυσματικές συντεταγμένες. Γραμμικοί μετασχηματισμοίδιανυσματικοί χώροι. Ιδιοτιμέςκαι δική

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Τμήμα Συστημάτων Ελέγχου και Ραδιοηλεκτρονικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Tomsk ανώτερα μαθηματικά(VM) Prikhodovsky M.A. ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Πρακτικές

Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky. Μεθοδολογικός οδηγός προετοιμασίας για τις Ολυμπιάδες. Συντάχθηκε από: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 014 Θεωρητικό υλικό. Σε αυτή τη δουλειά

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 1 ΣΕΤ. ΟΘΟΝΕΣ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΛΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω X ένα σύνολο και έστω (x) κάποια ιδιότητα

Σεμινάριο 2. Κωνικά στο προβολικό επίπεδο 1. Ορισμός κωνικού στο Π 2. Πρώτες ιδιότητες κωνικών. Όπως και πριν, εργαζόμαστε σε k = R ή C. Ορισμός κωνικού στο P 2. Θεωρήστε μια προβολική απεικόνιση f: l

5 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης 5.1 Γραμμικοί, κανονικοί και Banach χώροι 5.1.1 Ορισμός διαστημάτων Ένα μη κενό σύνολο X στοιχείων x, y, z,... ονομάζεται γραμμικός (διανυσματικός) χώρος,

LD Lappo, AV Morozov Άλγεβρα εργασία για το βαθμό 0 στο σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα και η αρχή της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης 0-cl / SHA Alimov και άλλα εκδ. Μ: Εκπαίδευση, 00" Κεφάλαιο I Έγκυρο

Κεφάλαιο 8 Γραμμές και επίπεδα 8.1. Εξισώσεις γραμμών και επιφανειών 8.1.1. Γραμμές στο επίπεδο Ας υποθέσουμε ότι το επίπεδο είναι δεδομένο συγγενικό σύστημασυντεταγμένες. Έστω l μια καμπύλη στο επίπεδο και f(x, y) μερικά

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών Ρωσική ΟμοσπονδίαΟμοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Penza State University Rudenko AK, Rudenko MN, Semerich YUS ΣΥΛΛΟΓΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ

Εξισώσεις Στην άλγεβρα θεωρούνται δύο τύποι ισοτήτων - οι ταυτότητες και οι εξισώσεις. Η ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει για όλες τις έγκυρες) τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Για τις ταυτότητες, χρησιμοποιούνται σημάδια

Εργασίες της περιήγησης αλληλογραφίας στα μαθηματικά για την τάξη 9 2014/2015 ακ. έτος, πρώτο επίπεδο δυσκολίας Εργασία 1 Λύστε την εξίσωση: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Απάντηση: -1 Εργασία 2 Άθροισμα

Σχολική κατασκήνωση 57 Ιουλίου 06 Ανισότητες (σύνθεση) Dmitrieva A, Ionov K Μάθημα πρώτο Απλές ανισότητεςΜέσες ανισώσεις Πρόβλημα Αποδείξτε την ανισότητα x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx Λύση: x + 4y + 9z

Υπουργείο Παιδείας του Κρατικού Προϋπολογισμού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης της Περιφέρειας Μόσχας " Διεθνές Πανεπιστήμιοφύση, κοινωνία και

Διαπεριφερειακή Ολυμπιάδα για μαθητές «Vysshaya Proba», 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, στάδιο 2 σελ. 1/11 Λύσεις και κριτήρια αξιολόγησης εργασιών της Ολυμπιάδας 8-1

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας της Μόσχας (Κρατικό Πανεπιστήμιο) Αλληλογραφία Σχολή Φυσικής και Τεχνολογίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Μετασχηματισμοί ταυτότητας. Απόφαση

Διάλεξη 7 Κεφάλαιο. Συστήματα γραμμικές ανισότητες.. Βασικές έννοιες Συστήματα γραμμικών ανισώσεων χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφόρων μαθηματικά προβλήματα. Ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων από με αγνώστους

MOU Grishino - Γυμνάσιο Slobodskaya

Πρόγραμμα ενότητας

"Μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων"

εντός του μαθήματος επιλογής

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

για μαθητές των τάξεων 10-11

Συντάχθηκε από:

καθηγητής μαθηματικών

Pankova E.Yu.

Επεξηγηματικό σημείωμα

«Τα μαθηματικά ονομάζονται ταυτολογική επιστήμη: με άλλα λόγια, οι μαθηματικοί λέγεται ότι αφιερώνουν χρόνο για να αποδείξουν ότι τα πράγματα είναι ίσα με τον εαυτό τους. Αυτή η δήλωση είναι πολύ ανακριβής για δύο λόγους. Πρώτον, τα μαθηματικά, παρά την επιστημονική τους γλώσσα, δεν είναι επιστήμη. μάλλον μπορεί να ονομαστεί τέχνη. Δεύτερον, τα κύρια αποτελέσματα των μαθηματικών εκφράζονται συχνότερα με ανισότητες παρά με ισότητες».

Οι ανισότητες χρησιμοποιούνται στην πρακτική εργασία ενός μαθηματικού συνεχώς. Χρησιμοποιούνται για την απόκτηση μιας σειράς από ενδιαφέρουσες και σημαντικές ακραίες ιδιότητες "συμμετρικών" σχημάτων: ένα τετράγωνο, ένας κύβος, ισόπλευρο τρίγωνο, καθώς και να αποδείξει τη σύγκλιση επαναληπτικών διεργασιών και να υπολογίσει κάποια όρια. Ο ρόλος των ανισοτήτων είναι επίσης σημαντικός σε διάφορα ζητήματα της φυσικής επιστήμης και της τεχνολογίας.

Οι ιδέες που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη των ανισοτήτων είναι σχεδόν τόσο διαφορετικές όσο και οι ίδιες οι ανισότητες. Σε συγκεκριμένες καταστάσεις, οι γενικές μέθοδοι συχνά οδηγούν σε άσχημες λύσεις. Όμως ο μη προφανής συνδυασμός πολλών «βασικών» ανισοτήτων είναι δυνατός μόνο για λίγους μαθητές. Και, εξάλλου, τίποτα δεν εμποδίζει τον μαθητή σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση να αναζητήσει μια καλύτερη λύση από αυτή που επιτυγχάνεται με τη γενική μέθοδο. Για το λόγο αυτό, η απόδειξη ανισοτήτων συχνά υποβιβάζεται στη σφαίρα της τέχνης. Και όπως σε κάθε τέχνη, έχει τις δικές της τεχνικές τεχνικές, το σύνολο των οποίων είναι πολύ ευρύ και είναι πολύ δύσκολο να τις κατακτήσεις όλες, αλλά κάθε δάσκαλος πρέπει να προσπαθήσει να επεκτείνει το μαθηματικό εργαλείο που είναι διαθέσιμο στο απόθεμά του.


		Εξισώσεις και ανισώσεις με παράμετρο.
		Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων.
		Εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν το άγνωστο κάτω από το σύμβολο της ενότητας.
		Συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές.

"Πίσω από τις σελίδες ενός σχολικού βιβλίου μαθηματικών"

"Μέθοδοι για την απόδειξη ανισοτήτων"


		Εισαγωγή.
		Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.
		Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής.
		Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.
		Γραφική μέθοδος.
		Η αντίθετη μέθοδος.
		Μια τεχνική για την εξέταση των ανισοτήτων σε σχέση με μία από τις μεταβλητές.
		Ιδέα ενίσχυσης.
		Μάθημα – έλεγχος.

Μάθημα 1. Εισαγωγή.

Η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα συναρπαστικό και προκλητικό θέμα στα μαθηματικά της δημοτικής. Η έλλειψη ενιαίας προσέγγισης στο πρόβλημα της απόδειξης ανισοτήτων οδηγεί στην αναζήτηση μιας σειράς τεχνικών κατάλληλων για την απόδειξη ορισμένων τύπων ανισοτήτων. Σε αυτό το μάθημα επιλογής θα εξεταστούν οι ακόλουθες μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων:

Επανάληψη:

Εκτελέστε αποδείξεις για ορισμένες ιδιότητες.

Κλασικές ανισότητες:

1)
(Η ανισότητα του Cauchy)

Αναφορά ιστορικού:

Η ανισότητα (1) πήρε το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό Auguste Cauchy. Αριθμός
που ονομάζεται αριθμητικός μέσος όροςαριθμοί α και β.

Επιπροσθέτως:

Εξετάστε αρκετούς μαθηματικούς σοφισμούς με ανισότητες.

Μαθηματικός σοφισμός- μια καταπληκτική δήλωση, στην απόδειξη της οποίας κρύβονται ανεπαίσθητα και μερικές φορές αρκετά ανεπαίσθητα λάθη.

Παράδειγμα:

τέσσερις πάνω από δώδεκα

Μάθημα 2. Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: προκειμένου να καθοριστεί η εγκυρότητα των ανισώσεων F(x,y,z)>S(x,y,z) να γίνει η διαφορά F(x,y,z)-S( x,y,z) και να αποδείξετε ότι είναι θετικό. Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, κάποιος συχνά ξεχωρίζει το τετράγωνο, τον κύβο του αθροίσματος ή της διαφοράς, όχι πλήρες τετράγωνοποσά ή διαφορές. Αυτό βοηθά στον προσδιορισμό του σημείου της διαφοράς.

Παράδειγμα. Να αποδείξετε την ανισότητα (x+y)(x+y+2cosx)+2 2 sin 2x

Απόδειξη:

Θεωρήστε τη διαφορά (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

4.
>2x-20

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Μάθημα 3. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής.

1) ελέγξτε την αλήθεια του θεωρήματος για n=1.

Παράδειγμα.

Αποδείξτε την ανισότητα

Απόδειξη:

1) για n=2 η ανισότητα είναι αληθής:

2) Έστω η ανισότητα αληθής για n=k δηλ.
(*)

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι

Να αποδείξετε την ανισότητα:

6)
.

Μάθημα 4 Εφαρμογή κλασικών ανισοτήτων.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Ως ανισότητα αναφοράς χρησιμοποιούμε
.

Φέρνουμε αυτήν την ανισότητα στην ακόλουθη μορφή:

, τότε

Αλλά =
, τότε

Να αποδείξετε την ανισότητα:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(για απόδειξη χρησιμοποιούμε την ανισότητα
)

2)
(για τεκμηρίωση, χρησιμοποιείται η ανισότητα)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (η ανισότητα χρησιμοποιείται για απόδειξη)

4)
(για doc-va χρησιμοποιείται η ανισότητα).

Μάθημα 5 Γραφική μέθοδος.

Η απόδειξη των ανισώσεων με τη γραφική μέθοδο είναι η εξής: αν αποδείξουμε την ανισότητα f(x)>g(x)(f(x)

1) δόμηση γραφημάτων των συναρτήσεων y=f(x) και y=g(x);

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

cosx
, x0

Απόδειξη:

Ας κατασκευάσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=cosx και

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

3)ln(1+x) 0

4)
.

Μάθημα 6

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Υποθέστε το αντίθετο, δηλ.

Ας τετραγωνίσουμε και τα δύο μέρη της ανισότητας, παίρνουμε , από πού
και πέρα

. Αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ανισότητα του Cauchy. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, δηλ. η ανισότητα είναι αληθινή

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Μάθημα 7 Μια τεχνική για την εξέταση των ανισοτήτων σε σχέση με μία από τις μεταβλητές.

Η ουσία της μεθόδου είναι να εξετάσουμε την ανισότητα και τη λύση της σε σχέση με μία μεταβλητή.

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Παράδειγμα.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Απόδειξη:

Εργασίες για εργασία στην τάξη και στο σπίτι.

Να αποδείξετε την ανισότητα:

Μάθημα 9 Μάθημα – έλεγχος των γνώσεων των μαθητών.

Η εργασία σε αυτό το μάθημα μπορεί να οργανωθεί σε ζευγάρια ή εάν υπάρχει μεγάλο μέγεθος τάξης σε ομάδες. Στο τέλος του μαθήματος, κάθε μαθητής θα πρέπει να αξιολογηθεί. Αυτό είναι το αντίγραφο αυτού του μαθήματος. Δεν συνιστάται η εκτέλεση εργασιών ελέγχου σε αυτό το θέμα. η απόδειξη ανισοτήτων, όπως ήδη αναφέρθηκε στο επεξηγηματικό σημείωμα, ανήκει στον τομέα της τέχνης. Στην αρχή, οι μαθητές καλούνται να προσδιορίσουν οι ίδιοι τη μέθοδο απόδειξης των προτεινόμενων ανισοτήτων. Εάν οι μαθητές έχουν δυσκολίες, τότε ο δάσκαλος τους λέει την ορθολογική μέθοδο, προειδοποιώντας την ομάδα ότι αυτό, φυσικά, θα επηρεάσει την αξιολόγησή τους.

μεθόδους απόδειξηανισότητες. Αυτό είναι μέθοδοςαπόδειξη τουανισότητεςμε την εισαγωγή βοηθητικών λειτουργιών...

Μάθημα επιλογής Μαθηματικά Μέθοδοι Απόδειξης Ανισότητας

μάθημα επιλογής

άγνωστος, διαφορετικός μεθόδουςαπόδειξη τουανισότητες, καθώς και την εφαρμογή ανισότητες ανισότητεςμέσω μέθοδος μέθοδοςΓια απόδειξη τουανισότητεςγια την επίλυση προβλημάτων...

Μάθημα επιλογής στα μαθηματικά Ανισότητες Αποδεικτικές μέθοδοι Επεξηγηματικό σημείωμα

μάθημα επιλογής

άγνωστος, διαφορετικός μεθόδουςαπόδειξη τουανισότητες, καθώς και την εφαρμογή ανισότητεςκατά την επίλυση προβλημάτων διαφόρων ... Να είναι σε θέση να: αξιολογεί ανισότητεςμέσω μέθοδοςΣτουρμ, η αίτηση λαμβάνεται υπόψη μέθοδοςΓια απόδειξη τουανισότητεςγια την επίλυση προβλημάτων...

Μάθημα επιλογής στα μαθηματικά Ανισότητες Αποδεικτικές μέθοδοι Επεξηγηματική σημείωση (1)

μάθημα επιλογής

Μια σπάνια Ολυμπιάδα κάνει χωρίς προβλήματα στην οποία απαιτείται να αποδείξει κάποια ανισότητα. Οι αλγεβρικές ανισώσεις αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας διάφορες μεθόδους, οι οποίες βασίζονται σε ισοδύναμους μετασχηματισμούς και ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων:

1) αν a – b > 0, τότε a > b; αν α - β

2) αν a > b, τότε b a;

3) αν α

4) εάν α

5) αν είναι 0, τότε ac

6) εάν ένα π.Χ. a / c > b / c;

7) εάν ένα 1

8) αν 0

Ας θυμηθούμε μερικές βασικές ανισότητες που χρησιμοποιούνται συχνά για να αποδείξουν άλλες ανισότητες:

1) a 2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, με a > 0, b 2 - 4ac

3) x + 1 / x > 2, για x > 0, και x + 1 / x –2, για x

4) |a + b| |α| + |b|, |a – b| > |α| – |b|;

5) αν a > b > 0, τότε 1 / a

6) αν a > b > 0 και x > 0, τότε a x > b x, ειδικότερα, για φυσικό n > 2

a 2 > b 2 και n √ a > n √ σι;

7) αν a > b > 0 και x

8) αν x > 0, τότε αμαρτίαΧ

Πολλά προβλήματα του επιπέδου της Ολυμπιάδας, και αυτά δεν είναι μόνο ανισότητες, επιλύονται αποτελεσματικά με τη βοήθεια κάποιων ειδικών ανισοτήτων, με τις οποίες οι μαθητές συχνά δεν είναι εξοικειωμένοι. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να περιλαμβάνουν:

ανισότητα μεταξύ του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου όρου των θετικών αριθμών (ανισότητα του Cauchy):

Η ανισότητα του Bernoulli:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, όπου α > -1, n είναι φυσικός αριθμός.

Ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 )

Οι πιο «δημοφιλείς» μέθοδοι απόδειξης των ανισοτήτων περιλαμβάνουν:

απόδειξη ανισοτήτων με βάση τον ορισμό·
μέθοδος επιλογής τετραγώνου.
μέθοδος διαδοχικών αξιολογήσεων·
μέθοδος μαθηματικής επαγωγής·
χρήση ειδικών και κλασικών ανισοτήτων.
χρήση στοιχείων μαθηματικής ανάλυσης.
χρήση γεωμετρικών εκτιμήσεων·
η ιδέα της ενίσχυσης κ.λπ.

Προβλήματα με λύσεις

1. Να αποδείξετε την ανισότητα:

α) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

β) α 2 + β 2 + 1 > ab + a + b;

γ) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 για x > 0, y > 0.

α) Έχουμε

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 - 2a - 2b - 2c = (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 > 0,

που είναι προφανές.

β) Η προς απόδειξη ανισότητα, αφού πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη επί 2, παίρνει τη μορφή

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

(a 2 - 2ab + b 2) + (a 2 - 2a + 1) + (b 2 - 2b + 1) > 0,

(α – β) 2 + (α – 1) 2 + (β – 1) 2 > 0,

που είναι προφανές. Η ισότητα λαμβάνει χώρα μόνο όταν a = b = 1.

γ) Έχουμε

x 5 + y 5 - x 4 y - x 4 y = x 5 - x 4 y - (x 4 y - y 5) = x 4 (x - y) - y 4 (x - y) =

\u003d (x - y) (x 4 - y 4) \u003d (x - y) (x - y) (x + y) (x 2 + y 2) \u003d (x - y) 2 (x + y ) (x 2 + y 2) > 0.

2. Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα)	ένα	+	σι		>	2 για a > 0, b > 0;
	σι		ένα

σι)	R	+	R	+	R		> 9, όπου a, b, c είναι οι πλευρές και P είναι η περίμετρος του τριγώνου.
	ένα		σι		ντο

γ) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, όπου a > 0, b > 0, c > 0.

α) Έχουμε:

ένα	+	σι	– 2 =	α 2 + β 2 - 2αβ	=	(α – β) 2		> 0.
σι		ένα		αβ		αβ

σι ) Η απόδειξη αυτής της ανισότητας προκύπτει βασικά από την ακόλουθη εκτίμηση:

β+γ	+	α+γ	+	α+β	=
ένα		σι		ντο

σι

ντο

ένα

ντο

ένα

σι

ένα

σι

ντο

= (

σι

ένα

) + (

ντο

ένα

) + (

ντο

σι

) > 6,

ένα

σι

ένα

ντο

σι

ντο

Η ισότητα επιτυγχάνεται για ισόπλευρο τρίγωνο.

γ) Έχουμε:

ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) =

= abc (

ένα

σι

– 2 +

σι

ντο

– 2 +

ένα

ντο

– 2 ) =

ντο

ένα

σι

= abc ((

ένα

σι

– 2) + (

ένα

ντο

– 2) + (

σι

ντο

– 2) ) > 0,

σι

ένα

ντο

ένα

ντο

σι

επειδή το άθροισμα δύο θετικών αντίστροφων αριθμών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 2.

3. Να αποδείξετε ότι αν a + b = 1, τότε ισχύει η ανίσωση a 8 + b 8 > 1 / 128.

Από την προϋπόθεση ότι a + b = 1, προκύπτει ότι

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

Ας προσθέσουμε αυτή την ισότητα με την προφανή ανισότητα

a 2 - 2ab + b 2 > 0.

Παίρνουμε:

2a 2 + 2b 2 > 1, ή 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

παίρνουμε:

8α 4 + 8β 4 > 1, από όπου 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Προσθέτοντας αυτή την ανισότητα στην προφανή ανισότητα

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

παίρνουμε:

128a8 + 128b8 > 1 ή a 8 + b 8 > 1/128 .

4. Τι περισσότερο e e π πή μι 2 π?

Εξετάστε τη συνάρτηση f(x) = x – π log x . Στο βαθμό που f'(x) = 1 – π / x , και στα αριστερά της τελείας Χ = π f'(x) 0 , και στα δεξιά - f'(x) > 0, τότε f(x)Εχει μικρότερη τιμήστο σημείο Χ = π . Ετσι f(e) > f(π), δηλ

e – π ln e = e – π > π – π ln π

μι + π log π > 2π .

Ως εκ τούτου το καταλαβαίνουμε

μι e+ π log π > μι 2 π,

αυτήν· μι π log π > μι 2 π ,

e e π π > μι 2 π.

5. Αποδείξτε το

log(n + 1) >	lg 1 + lg 2 + . . . + log n	.
	n

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι εύκολο να μειωθεί αυτή η ανισότητα σε μια ισοδύναμη ανισότητα:

(n + 1) n > n!,

όπου ν! = 1 2 3 . . . · n (n-παραγοντικό). Επιπλέον, υπάρχει ένα σύστημα προφανών ανισοτήτων:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n

μετά τον πολλαπλασιασμό του οποίου κατά όρο, παίρνουμε αμέσως ότι (n + 1) n > n!.

6. Αποδείξτε ότι 2013 2015 2015 2013

Εχουμε:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013

Προφανώς, μπορεί κανείς να λάβει και μια γενική δήλωση: για κάθε φυσικό n, η ανισότητα

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ισχύει η ακόλουθη ανίσωση:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n - 1	.
1!		2!		3!		n!		n

Ας υπολογίσουμε την αριστερή πλευρά της ανισότητας:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3 . . . n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(n – 1) n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n - 1		n		n

Q.E.D.

8. Έστω ένα 1 2 , ένα 2 2 , ένα 3 2 , . . . , και n 2 είναι τα τετράγωνα του n διαφορετικού φυσικούς αριθμούς. Αποδείξτε το

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	α 1 2			α 2 2			α 3 2			α ν 2		2

Έστω ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς ίσος με m. Τότε

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	α 1 2			α 2 2			α 3 2			α ν 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m2

αφού στη δεξιά πλευρά προστίθενται παράγοντες μικρότεροι του 1.Υπολογίζουμε τη δεξιά πλευρά συνυπολογίζοντας κάθε παρένθεση:

2 3 2 4 2 . . . (m - 1) 2 (m + 1)

m + 1

2 2 3 2 4 2 . . . m2

Ανοίγοντας τις αγκύλες στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε το άθροισμα

1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2 . . . a n .

Το άθροισμα των αριθμών στη δεύτερη αγκύλη δεν υπερβαίνει το (a 1 + . . . . . . + a n) 2, το άθροισμα στην τρίτη αγκύλη δεν υπερβαίνει το (a 1 + . . . . . + a n) 3 κ.ο.κ. Ως εκ τούτου, ολόκληρο το προϊόν δεν υπερβαίνει

1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1/2n = 2 – 1/2n

Μέθοδος 2.

Ας αποδείξουμε με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι για όλους τους φυσικούς αριθμούς n ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

(1 + a1) . . . (1 + an)

Για n = 1 έχουμε: 1 + a 1 1 .

Έστω για n = k έχουμε:(1 + α 1 ) . . . (1 + a k ) 1 + . . . + a k ).

Θεωρήστε την περίπτωση n = k +1:(1 + α 1 ) . . . (1 + a k )(1 + a k +1 )

(1 + 2(a 1 + . . . + a k ) )(1 + α k+1 ) ≤ 1 + 2(α 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) =

1 + 2(a 1 + . . . + a k + a k +1 ).

Δυνάμει της αρχής της μαθηματικής επαγωγής αποδεικνύεται η ανισότητα.

10. Να αποδείξετε την ανισότητα Bernoulli:

(1 + α) n ≥ 1 + nα,

όπου α > -1, n είναι φυσικός αριθμός.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Για n = 1 παίρνουμε την αληθινή ανισότητα:

1 + α ≥ 1 + α.

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

(1 + α) n ≥ 1 + nα.

Ας το δείξουμε τότε το έχουμε

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

Πράγματι, αφού α > –1 σημαίνει α + 1 > 0, τότε πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ανισότητας

(1 + α) n ≥ 1 + nα

στο (a + 1), παίρνουμε

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα) (1 + α)

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

Επειδή nα 2 ≥ 0, επομένως,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

Έτσι, σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής, η ανισότητα του Bernoulli είναι αληθής.

Προβλήματα χωρίς λύσεις

1. Να αποδείξετε την ανισότητα για θετικές αξίεςμεταβλητές

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. Να αποδείξετε ότι για κάθε α η ανισότητα

3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 .

3. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Χ 12 – Χ 9 + Χ 4 – ΧΤο + 1 είναι θετικό για όλες τις τιμές του x.

4. Για 0 e να αποδείξετε την ανισότητα

(μι+ x) μι– x > ( μι- Χ) μι+ x .

5. Έστω a, b, c θετικοί αριθμοί. Αποδείξτε το

α+β

β+γ

α+γ

≤

Ο στόχος σας:να γνωρίζουν τις μεθόδους απόδειξης των ανισοτήτων και να μπορούν να τις εφαρμόζουν.

Πρακτικό μέρος

Η έννοια της απόδειξης της ανισότητας . Κάποιες ανισότητες μετατρέπονται σε αληθινές αριθμητική ανισότηταγια όλα επιτρεπόμενες τιμέςμεταβλητές ή σε κάποιο δεδομένο σύνολο τιμών μεταβλητών. Για παράδειγμα, οι ανισότητες ένα 2 ³0, ( ένα–σι) 2 ³ 0 , ένα 2 +β 2 +γ 2 " Το ³ 0 ισχύει για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών και η ανισότητα ³ 0 – για τυχόν πραγματικές μη αρνητικές τιμές ένα.Μερικές φορές προκύπτει το πρόβλημα της απόδειξης μιας ανισότητας.

Η απόδειξη μιας ανισότητας σημαίνει ότι μια δεδομένη ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα για όλες τις αποδεκτές τιμές των μεταβλητών ή σε ένα δεδομένο σύνολο τιμών αυτών των μεταβλητών.

Μέθοδοι απόδειξης ανισοτήτων.σημειώσε ότι γενική μέθοδοςδεν υπάρχει απόδειξη ανισότητας. Ωστόσο, ορισμένα από αυτά μπορούν να προσδιοριστούν.

1. Μια μέθοδος για την εκτίμηση του πρόσημου της διαφοράς μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους μιας ανισότητας.Η διαφορά μεταξύ του αριστερού και του σωστά μέρηανισότητες και διαπιστώνεται εάν αυτή η διαφορά είναι θετική ή αρνητική για τις εξεταζόμενες τιμές των μεταβλητών (για τις μη αυστηρές ανισότητες, είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί εάν αυτή η διαφορά είναι μη αρνητική ή μη θετική).

Παράδειγμα 1. Για οποιαδήποτε πραγματικούς αριθμούς ένακαι σιυπάρχει μια ανισότητα

ένα 2 +β 2³2 αβ. (1)

Απόδειξη. Να συνθέσετε τη διαφορά μεταξύ του αριστερού και του δεξιού μέρους της ανισότητας:

ένα 2 +β 2 – 2αβ = α 2 – 2αβ+β 2 = (α-β) 2 .

Εφόσον το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, τότε ( α-β) 2 ³ 0, που σημαίνει ότι ένα 2 +β 2³2 αβγια τυχόν πραγματικούς αριθμούς ένακαι σι.Η ισότητα στο (1) ισχύει αν και μόνο αν α = β.

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι αν ένα³ 0 και σι³ 0, μετά ³, δηλ. αριθμητικός μέσος όρος μη αρνητικών πραγματικών αριθμών ένακαι σιλιγότερο από το γεωμετρικό τους μέσο.

Απόδειξη. Αν ένα ένα³ 0 και σι³ 0, λοιπόν

³ 0. Επομένως, ³ .

2. απαγωγική μέθοδοςαπόδειξη ανισοτήτων.Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι η εξής: χρησιμοποιώντας μια σειρά μετασχηματισμών, η απαιτούμενη ανισότητα προκύπτει από κάποιες γνωστές (αναφορές) ανισότητες. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες ανισότητες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως αναφορά: ένα 2 ³ 0 για οποιοδήποτε έναÎ R ; (α-β) 2 ³ 0 για οποιοδήποτε ένακαι σιÎ R ; (ένα 2 + σι 2) ³ 2 αβγια κάθε α, βÎ R ; ³ στο ένα ³ 0, σι ³ 0.

Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι για τυχόν πραγματικούς αριθμούς ένακαι σιυπάρχει μια ανισότητα

ένα 2 + σι 2 + με 2³ ab + bc + ac.

Απόδειξη. Από τις σωστές ανισότητες ( α-β) 2 ³ 0, ( σι – ντο) 2 ³ 0 και ( ντο – ένα) 2 ³ 0 προκύπτει ότι ένα 2 + σι 2³2 αβ, σι 2 + ντο 2³2 προ ΧΡΙΣΤΟΥ, ντο 2 + ένα 2³2 μετα Χριστον.Προσθέτοντας και τις τρεις ανισώσεις ανά όρο και διαιρώντας και τα δύο μέρη της νέας με 2, προκύπτει η απαιτούμενη ανισότητα.

Η αρχική ανισότητα μπορεί επίσης να αποδειχθεί με την πρώτη μέθοδο. Πράγματι, ένα 2 + σι 2 + με 2 –ab-bc-ac= 0,5(2ένα 2 + 2σι 2 + 2με 2 – 2αβ- 2προ ΧΡΙΣΤΟΥ- 2μετα Χριστον) = = 0,5((α-β) 2 + (μετα Χριστον) 2 + (προ ΧΡΙΣΤΟΥ) 2)³ 0.

διαφορά μεταξύ ένα 2 + σι 2 + με 2 και ab + bc + acμεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, που σημαίνει ότι ένα 2 + σι 2 + με 2³ ab + bc + ac(η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α = β = γ).

3. Μέθοδος εκτιμήσεων στην απόδειξη ανισοτήτων.

Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε την ανισότητα

+ + + … + >

Απόδειξη. Είναι εύκολο να δούμε ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας περιέχει 100 όρους, καθένας από τους οποίους δεν είναι μικρότερος από. Σε αυτήν την περίπτωση, λέμε ότι η αριστερή πλευρά της ανισότητας μπορεί να εκτιμηθεί από κάτω ως εξής:

+ + + … + > = 100 = .

4. Μέθοδος πλήρους επαγωγής.Η ουσία της μεθόδου είναι να ληφθούν υπόψη όλες οι ειδικές περιπτώσεις που καλύπτουν την κατάσταση του προβλήματος συνολικά.

Παράδειγμα 5. Να αποδείξετε ότι αν x > ï στοï , τότε x > y.

Απόδειξη. Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

ένα) στο³ 0 ; τότε εγώ στοï = y,και κατά συνθήκη x >ï στοï . Που σημαίνει, x > y;

σι) στο< 0; τότε εγώ στοï > yκαι κατά συνθήκη x >ï στοεννοω x > y.

Πρακτικό μέρος

Εργασία 0. Παίρνω Κενό φύλλοχαρτί και πάνω του γράψτε τις απαντήσεις σε όλες τις παρακάτω προφορικές ασκήσεις. Στη συνέχεια, ελέγξτε τις απαντήσεις σας σε σχέση με τις απαντήσεις ή τις σύντομες οδηγίες στο τέλος αυτού μαθησιακό στοιχείουπό τον τίτλο «Ο βοηθός σας».

προφορικές ασκήσεις

1. Συγκρίνετε το άθροισμα των τετραγώνων δύο ανίσων αριθμών και με το διπλό γινόμενο τους.

2. Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα) ;

σι) ;

σε) ;

3. Είναι γνωστό ότι . Αποδείξτε το.

4. Είναι γνωστό ότι . Αποδείξτε το.

Ασκηση 1.Οτι περισσότερα:

α) 2 + 11 ή 9; δ) + ή;

β) ή + ; ε) - ή;

γ) + ή 2; ε) + 2 ή + ;

Εργασία 2.Να το αποδείξετε πραγματικά Χυπάρχει μια ανισότητα:

α) 3( Χ+ 1) + Χ– 4(2 + Χ) < 0; г) 4Χ 2 + 1 ³ 4 Χ;

β) ( Χ+ 2)(Χ+ 4) > (Χ+ 1)(Χ+ 5); ε) ³ 2 Χ;

σε) ( Χ– 2) 2 > Χ(Χ- 4); στ) l + 2 Χ 4 > Χ 2 + 2Χ 3 .

Εργασία 3.Αποδείξτε ότι:

ένα) Χ 3+1³ Χ 2 + Χ,αν Χ³ –1;

σι) Χ 3 + 1 £ Χ 2 + Χ,αν Χ£ -1 .

Εργασία 4.Αποδείξτε ότι αν ένα ³ 0, σι³ 0, με³ 0, ρε³ 0, λοιπόν

(ένα 2 + σι 2)(ντο 2 + ρε 2) ³ ( μετα Χριστον + βδ) 2 .

Εργασία 5.Να αποδείξετε την ανισότητα επιλέγοντας πλήρες τετράγωνο:

ένα) Χ 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

σι) Χ 2 +y 2 + 2³2( x+y);

στις 10 η ώρα Χ 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

ΣΟΛ) Χ 2 – xy + y 2³0 ;

μι) Χ 2 +y 2 +z 2 + 3³ 2( x + y + z);

μι)( x +μεγάλο)( Χ- 2y +ιβ) + y 2³0 .

Εργασία 6.Αποδείξτε ότι:

ένα) Χ 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

σι) Χ 2 +y 2 – 2xy + 2Χ – 2στο + 1 > 0;

σε 3 Χ 2 +y 2 + 8x + 4y- 2xy + 22 ³ 0;

ΣΟΛ) Χ 2 + 2xy+ 3y 2 + 2Χ + 6y + 3 > 0.

Εργασία 7.Αποδείξτε ότι αν n³ κ³ 1, λοιπόν κ(n–k+ 1) ³ n.

Εργασία 8.Αποδείξτε ότι αν 4 ένα + 2σι= 1, λοιπόν ένα 2 + σι 2³ .

Προσδιορίστε τις τιμές ένακαι σι,κάτω από την οποία συντελείται η ισότητα.

Εργασία 9.Να αποδείξετε την ανισότητα:

ένα) Χ 3 + στο 3³ Χ 2 στο + hu 2 στο Χ³ 0 και y ³ 0;

σι) Χ 4 + στο 4³ Χ 3 στο + hu 3 για οποιοδήποτε Χκαι στο;

σε) Χ 5 + στο 5³ Χ 4 στο + hu 4 στο Χ³ 0 και y ³ 0;

ΣΟΛ) x n + στο ν ³ x n-1 y + xy n-1 στο Χ³ 0 και y ³ 0.