Να βρείτε τη γενική λύση ενός κανονικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Πώς να λύσετε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την επιχειρησιακή μέθοδο; Γενική μέθοδος επίλυσης σόδας με σταθερούς συντελεστές

Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε αυτήν την ενότητα στην επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων της απλούστερης μορφής d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , στα οποία a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί. Η πιο αποτελεσματική για την επίλυση τέτοιων συστημάτων εξισώσεων είναι η μέθοδος ολοκλήρωσης. Ας εξετάσουμε επίσης ένα παράδειγμα λύσης για το θέμα.

Η λύση στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων θα είναι ένα ζεύγος συναρτήσεων x (t) και y (t) , το οποίο μπορεί να μετατρέψει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος σε ταυτότητα.

Εξετάστε τη μέθοδο ολοκλήρωσης του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Εκφράζουμε x από τη 2η εξίσωση του συστήματος για να εξαιρέσουμε την άγνωστη συνάρτηση x (t) από την 1η εξίσωση:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Ας διαφοροποιήσουμε τη 2η εξίσωση ως προς tκαι λύστε την εξίσωσή της για d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Τώρα ας αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα των προηγούμενων υπολογισμών στην 1η εξίσωση του συστήματος:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d t 2 -y (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Έτσι, καταργήσαμε την άγνωστη συνάρτηση x (t) και λάβαμε μια γραμμική ανομοιογενή ΔΕ 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Ας βρούμε τη λύση αυτής της εξίσωσης y (t) και ας την αντικαταστήσουμε στη 2η εξίσωση του συστήματος. Ας βρούμε x(t). Υποθέτουμε ότι αυτό ολοκληρώνει τη λύση του συστήματος των εξισώσεων.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε τη λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Λύση

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση του συστήματος. Ας το λύσουμε ως προς το x:

x = d y d t - 2 y + 3

Τώρα ας εκτελέσουμε τη διαφοροποίηση της 2ης εξίσωσης του συστήματος, μετά την οποία τη λύνουμε ως προς το d x d t:

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε κατά τους υπολογισμούς στην 1η εξίσωση του συστήματος DE:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, έχουμε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Αν βρούμε τη γενική του λύση, τότε παίρνουμε τη συνάρτηση y(t).

Μπορούμε να βρούμε τη γενική λύση του αντίστοιχου LODE y 0 υπολογίζοντας τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης k 2 - 3 k + 2 = 0:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

Οι ρίζες που έχουμε λάβει είναι έγκυρες και διακριτές. Από αυτή την άποψη, η γενική λύση στο LODE θα έχει τη μορφή y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Τώρα ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση του γραμμικού ανομοιογενούς DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή y ~ = A , όπου το A είναι ένας αόριστος συντελεστής.

Μπορούμε να προσδιορίσουμε τον αόριστο συντελεστή από την ισότητα d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Έτσι, y ~ = 1 και y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Βρήκαμε μια άγνωστη συνάρτηση.

Τώρα αντικαθιστούμε τη συνάρτηση που βρέθηκε στη 2η εξίσωση του συστήματος ΔΕ και λύνουμε τη νέα εξίσωση ως προς x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Υπολογίσαμε λοιπόν τη δεύτερη άγνωστη συνάρτηση x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Απάντηση: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πολλά συστήματα διαφορικών εξισώσεων, τόσο ομοιογενών όσο και ανομοιογενών, μπορούν να αναχθούν σε μία εξίσωση σε σχέση με μία άγνωστη συνάρτηση. Ας δείξουμε τη μέθοδο με παραδείγματα.

Παράδειγμα 3.1.Λύστε το σύστημα

Λύση. 1) Διαφοροποίηση σε σχέση με tπρώτη εξίσωση και χρησιμοποιώντας τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση για αντικατάσταση και , βρίσκουμε

Η εξίσωση που προκύπτει είναι διαφορίσιμη σε σχέση με πάλι

1) Φτιάχνουμε ένα σύστημα

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος, εκφράζουμε τις μεταβλητές και διά μέσου
:

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν και στην τρίτη εξίσωση του συστήματος

Έτσι, για να βρείτε τη συνάρτηση
έλαβε μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης με σταθερούς συντελεστές

.

2) Ενσωματώνουμε την τελευταία εξίσωση με την τυπική μέθοδο: συνθέτουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση
, βρείτε τις ρίζες του
και να δημιουργήσετε μια γενική λύση με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού εκθετών, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητα μιας από τις ρίζες:.

3) Δίπλα για να βρείτε τα δύο υπόλοιπα χαρακτηριστικά
και
, διαφοροποιούμε τη διπλά ληφθείσα συνάρτηση

Χρησιμοποιώντας συνδέσεις (3.1) μεταξύ των λειτουργιών του συστήματος, ανακτούμε τα υπόλοιπα άγνωστα

.

Απάντηση. ,
,.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι όλες οι γνωστές συναρτήσεις εκτός από μία εξαιρούνται από το σύστημα τρίτης τάξης ακόμη και μετά από μία μόνο διαφοροποίηση. Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά της διαφορικής εξίσωσης για την εύρεση της θα είναι μικρότερη από τον αριθμό των άγνωστων συναρτήσεων στο αρχικό σύστημα.

Παράδειγμα 3.2.Ενσωματώστε το σύστημα

(3.2)

Λύση. 1) Διαφοροποίηση σε σχέση με πρώτη εξίσωση, βρίσκουμε

Εξαιρούνται οι μεταβλητές και από τις εξισώσεις

θα έχουμε εξίσωση δεύτερης τάξης ως προς

(3.3)

2) Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος (3.2) έχουμε

(3.4)

Αντικαθιστώντας στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (3.2) τις παραστάσεις (3.3) και (3.4) που βρέθηκαν για και , λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης για να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση

Ενσωματώνοντας αυτή την ανομοιογενή εξίσωση με σταθερούς συντελεστές πρώτης τάξης, βρίσκουμε
Χρησιμοποιώντας το (3.4), βρίσκουμε τη συνάρτηση

Απάντηση.
,,
.

Εργασία 3.1. Να λύσετε ομογενή συστήματα με αναγωγή σε μία διαφορική εξίσωση.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Επίλυση συστημάτων γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές με την εύρεση ενός θεμελιώδους συστήματος λύσεων

Η γενική λύση ενός συστήματος γραμμικών ομοιογενών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να βρεθεί ως γραμμικός συνδυασμός των θεμελιωδών λύσεων του συστήματος. Στην περίπτωση συστημάτων με σταθερούς συντελεστές, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι γραμμικής άλγεβρας για την εύρεση θεμελιωδών λύσεων.

Παράδειγμα 3.3.Λύστε το σύστημα

(3.5)

Λύση. 1) Ξαναγράψτε το σύστημα σε μορφή μήτρας

. (3.6)

2) Θα αναζητήσουμε μια θεμελιώδη λύση του συστήματος με τη μορφή διανύσματος
. Λειτουργίες αντικατάστασης
στο (3.6) και μειώνοντας κατά , παίρνουμε

, (3.7)

αυτός είναι ο αριθμός πρέπει να είναι μια ιδιοτιμή του πίνακα
, και το διάνυσμα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα.

3) Από την πορεία της γραμμικής άλγεβρας, είναι γνωστό ότι το σύστημα (3.7) έχει μια μη τετριμμένη λύση εάν η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν

,

αυτό είναι . Από εδώ βρίσκουμε τις ιδιοτιμές
.

4) Να βρείτε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Αντικατάσταση σε (3.7) της πρώτης τιμής
, λαμβάνουμε ένα σύστημα για την εύρεση του πρώτου ιδιοδιανύσματος

Από εδώ παίρνουμε τη σύνδεση μεταξύ των αγνώστων
. Αρκεί να επιλέξουμε μια μη τετριμμένη λύση. Υποθέτοντας
, έπειτα
, δηλαδή το διάνυσμα είναι ιδιοτιμή για ιδιοτιμή
και το διάνυσμα συνάρτησης
θεμελιώδης λύση του δεδομένου συστήματος διαφορικών εξισώσεων (3.5). Ομοίως, κατά την αντικατάσταση της δεύτερης ρίζας
στην (3.7) έχουμε την εξίσωση πίνακα για το δεύτερο ιδιοδιάνυσμα
. Πού βρίσκουμε τη σύνδεση μεταξύ των συστατικών του
. Έτσι, έχουμε τη δεύτερη θεμελιώδη λύση

.

5) Η γενική λύση του συστήματος (3.5) κατασκευάζεται ως γραμμικός συνδυασμός δύο θεμελιωδών λύσεων που λαμβάνονται

ή σε συντεταγμένη μορφή

.

Απάντηση.

.

Εργασία 3.2. Λύστε συστήματα βρίσκοντας το θεμελιώδες σύστημα λύσεων.

Σημείωση πίνακα για ένα σύστημα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (SODE) με σταθερούς συντελεστές

Γραμμικό ομοιογενές SODE με σταθερούς συντελεστές $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

όπου $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \αριστερά(x\δεξιά),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- επιθυμητές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής $x$, συντελεστές $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- αντιπροσωπεύουμε τους δεδομένους πραγματικούς αριθμούς σε συμβολισμό πίνακα:

1. μήτρα των επιθυμητών συναρτήσεων $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. παράγωγος πίνακας απόφασης $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. Πίνακας συντελεστών SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Τώρα, με βάση τον κανόνα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, αυτό το SODE μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση πίνακα $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Γενική Μέθοδος Επίλυσης ΣΟΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές

Έστω ότι υπάρχει ένας πίνακας ορισμένων αριθμών $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

Η λύση SODE βρίσκεται στην ακόλουθη μορφή: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Σε μορφή μήτρας: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

Από εδώ παίρνουμε:

Τώρα στην εξίσωση πίνακα αυτού του SODE μπορεί να δοθεί η μορφή:

Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Η τελευταία ισότητα δείχνει ότι το διάνυσμα $\alpha $ μετατρέπεται με τη βοήθεια του πίνακα $A$ στο διάνυσμα $k\cdot \alpha $ παράλληλο με αυτό. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα $\alpha $ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα $A$ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $k$.

Ο αριθμός $k$ μπορεί να προσδιοριστεί από την εξίσωση $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται χαρακτηριστική.

Έστω όλες οι ρίζες $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Για κάθε τιμή $k_(i)$ από $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ ένας πίνακας τιμών μπορεί να οριστεί $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Μία από τις τιμές σε αυτόν τον πίνακα επιλέγεται αυθαίρετα.

Τέλος, η λύση αυτού του συστήματος σε μορφή πίνακα γράφεται ως εξής:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\lddots ) & (\ldots ) & (\lddots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

όπου $C_(i) $ είναι αυθαίρετες σταθερές.

Μια εργασία

Λύστε το σύστημα $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Γράψτε τον πίνακα συστήματος: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Σε μορφή πίνακα, αυτό το SODE γράφεται ως εξής: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Παίρνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, δηλαδή $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Συνθέτουμε ένα σύστημα για τον υπολογισμό του $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ δεξιά))) \end(πίνακας)\δεξιά)$ για $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (πίνακας)\δεξιά)=0,\]

δηλαδή $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$.

Βάζοντας $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, παίρνουμε $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Συνθέτουμε ένα σύστημα για τον υπολογισμό του $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ δεξιά))) \end(πίνακας)\δεξιά)$ για $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (πίνακας)\δεξιά)=0, \]

δηλαδή $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$.

Βάζοντας $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, παίρνουμε $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Λαμβάνουμε το διάλυμα SODE σε μορφή μήτρας:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

Στη συνήθη μορφή, η λύση SODE είναι: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (πίνακας )\right.$.

Εξισώσεις.

Εισαγωγή.

Σε πολλά προβλήματα των μαθηματικών, της φυσικής και της τεχνολογίας, απαιτείται να οριστούν πολλές συναρτήσεις που συνδέονται μεταξύ τους με πολλές διαφορικές εξισώσεις.

Για αυτό, είναι απαραίτητο να έχουμε, γενικά, τον ίδιο αριθμό εξισώσεων. Αν καθεμία από αυτές τις εξισώσεις είναι διαφορική, δηλαδή έχει τη μορφή μιας σχέσης που συνδέει άγνωστες συναρτήσεις και τις παράγωγές τους, τότε λένε για το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων.

1. Κανονικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Πρόβλημα Cauchy.

Ορισμός.Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο εξισώσεων που περιέχει πολλές άγνωστες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους, και κάθε μία από τις εξισώσεις περιλαμβάνει τουλάχιστον μία παράγωγο.

Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται γραμμικό εάν οι άγνωστες συναρτήσεις και οι παράγωγοί τους εισέρχονται σε καθεμία από τις εξισώσεις μόνο στον πρώτο βαθμό.

Το γραμμικό σύστημα ονομάζεται κανονικός, εάν επιτρέπεται σε σχέση με όλα τα παράγωγα

Σε ένα κανονικό σύστημα, οι δεξιές πλευρές των εξισώσεων δεν περιέχουν παραγώγους των επιθυμητών συναρτήσεων.

Απόφασησύστημα διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται ένα σύνολο συναρτήσεων https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261" height="24 src="> ονομάζονται αρχικές συνθήκες για ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων.

Συχνά οι αρχικές συνθήκες γράφονται στη φόρμα

Η γενική λύση (ολοκληρωμένη ) σύστημα διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται σύνολο « n» συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Χκαι « n» αυθαίρετες σταθερές ντο1 , ντο2 , …, Cn:

..……………………..

που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις αυτού του συστήματος.

Για να λάβετε μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες https://pandia.ru/text/78/145/images/image008_18.gif" width="44" height="24"> θα έπαιρναν τις δεδομένες τιμές .

Το πρόβλημα Cauchy για ένα κανονικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων γράφεται ως εξής

Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη λύση του προβλήματος Cauchy.

Για ένα κανονικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων (1), το θεώρημα Cauchy για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας λύσης διατυπώνεται ως εξής:

Θεώρημα.Έστω τα σωστά μέρη των εξισώσεων του συστήματος (1), δηλαδή οι συναρτήσεις , (Εγώ=1,2,…, n) είναι συνεχείς σε όλες τις μεταβλητές σε κάποιο τομέα ρεκαι έχει σε αυτό συνεχή επιμέρους παράγωγα https://pandia.ru/text/78/145/images/image003_45.gif" width="261 height=24" height="24"> που ανήκουν στην περιοχή ρε, υπάρχει μόνο μία λύση συστήματος (1) https://pandia.ru/text/78/145/images/image013_11.gif" width="284" height="24 src=">.

2. Λύση του κανονικού συστήματος με τη μέθοδο εξάλειψης.

Για την επίλυση ενός κανονικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιείται η μέθοδος εξάλειψης αγνώστων ή η μέθοδος Cauchy.

Ας δοθεί ένα κανονικό σύστημα

Διαφοροποιήστε σε σχέση με Χτην πρώτη εξίσωση του συστήματος

https://pandia.ru/text/78/145/images/image015_5.gif" width="123" height="43 src="> τις εκφράσεις τους από το σύστημα των εξισώσεων (1), θα έχουμε

Διαφοροποιούμε την εξίσωση που προκύπτει και προχωρώντας παρόμοια με την προηγούμενη, βρίσκουμε

Έτσι πήραμε το σύστημα

(2)

Από την πρώτη n-1εξισώσεις που ορίζουμε y2 , y3 , … , yn , εκφράζοντας τα μέσα από

Και

(3)

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην τελευταία των εξισώσεων (2), λαμβάνουμε τις εξισώσεις απείρως μικρόςπροκειμένου να καθοριστεί y1 :

https://pandia.ru/text/78/145/images/image005_27.gif" width="167" height="24"> (5)

Διαφοροποίηση της τελευταίας έκφρασης n-1χρόνο, βρείτε τα παράγωγα

ως συνάρτηση του . Αντικαθιστώντας αυτές τις συναρτήσεις με τις εξισώσεις (4), ορίζουμε y2 , y3 , … , yn .

Έτσι, πήραμε τη γενική λύση του συστήματος (1)

(6)

Να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα (1) που να ικανοποιεί τις αρχικές προϋποθέσεις για

είναι απαραίτητο να βρούμε από την εξίσωση (6) τις αντίστοιχες τιμές των αυθαίρετων σταθερών С1 , С2 , … , Сn .

Παράδειγμα.

Να βρείτε τη γενική λύση του συστήματος των εξισώσεων:

https://pandia.ru/text/78/145/images/image029_2.gif" width="96" height="21">

για νέα άγνωστα χαρακτηριστικά.

Συμπέρασμα.

Συστήματα διαφορικών εξισώσεων συναντώνται στη μελέτη διεργασιών για τις οποίες μια συνάρτηση δεν αρκεί για να περιγραφεί. Για παράδειγμα, η εύρεση διανυσματικών γραμμών πεδίου απαιτεί την επίλυση ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Η επίλυση των προβλημάτων της δυναμικής της καμπυλόγραμμης κίνησης οδηγεί σε ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων, στο οποίο οι άγνωστες συναρτήσεις είναι οι προβολές του κινούμενου σημείου στους άξονες των συντεταγμένων και η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος. Αργότερα θα μάθετε ότι η επίλυση προβλημάτων ηλεκτρικής μηχανικής για δύο ηλεκτρικά κυκλώματα σε ηλεκτρομαγνητική σύζευξη θα απαιτήσει την επίλυση ενός συστήματος δύο διαφορικών εξισώσεων. Ο αριθμός τέτοιων παραδειγμάτων μπορεί εύκολα να αυξηθεί.

Βασικές έννοιες και ορισμοί Το απλούστερο πρόβλημα της δυναμικής των σημείων οδηγεί σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων: δίνονται οι δυνάμεις που δρουν σε ένα υλικό σημείο. βρείτε το νόμο της κίνησης, δηλ. βρείτε τις συναρτήσεις x = x(t), y = y(t), z = z(t), εκφράζοντας την εξάρτηση των συντεταγμένων του κινούμενου σημείου από το χρόνο. Το σύστημα που προκύπτει σε αυτή την περίπτωση, στη γενική περίπτωση, έχει τη μορφή Εδώ x, y, z είναι οι συντεταγμένες του κινούμενου σημείου, t είναι ο χρόνος, f, g, h είναι γνωστές συναρτήσεις των ορισμάτων τους. Ένα σύστημα της μορφής (1) ονομάζεται κανονικό. Περνώντας στη γενική περίπτωση ενός συστήματος m διαφορικών εξισώσεων με m άγνωστες συναρτήσεις του ορίσματος t, ονομάζουμε κανονικό ένα σύστημα της μορφής που επιλύεται σε σχέση με ανώτερες παραγώγους. Το σύστημα των εξισώσεων πρώτης τάξης που επιλύονται ως προς τις παραγώγους των επιθυμητών συναρτήσεων ονομάζεται κανονικό. Εάν ληφθούν ως νέες βοηθητικές συναρτήσεις, τότε το γενικό κανονικό σύστημα (2) μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ισοδύναμο κανονικό σύστημα που αποτελείται από εξισώσεις. Επομένως, αρκεί να εξετάσουμε μόνο τα κανονικά συστήματα. Για παράδειγμα, μια εξίσωση είναι μια ειδική περίπτωση του κανονικού συστήματος. Θέτοντας ^ = y, δυνάμει της αρχικής εξίσωσης θα έχουμε Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα κανονικό σύστημα εξισώσεων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέθοδοι ολοκλήρωσης Μέθοδοι εξάλειψης Μέθοδοι ολοκληρωμένων συνδυασμών Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Θεμελιώδης πίνακας Μέθοδος μεταβολής σταθερών Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Μέθοδος μήτρας ισοδύναμη με την αρχική εξίσωση. Ορισμός 1. Η λύση του κανονικού συστήματος (3) στο διάστημα (a, b) της αλλαγής στο όρισμα t είναι οποιοδήποτε σύστημα n συναρτήσεων "διαφοροποιήσιμο στο διάστημα που μετατρέπει τις εξισώσεις του συστήματος (3) σε ταυτότητες με ως προς το t στο διάστημα (a, b) Το πρόβλημα Cauchy για του συστήματος (3) διατυπώνεται ως εξής: βρείτε μια λύση (4) του συστήματος που να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες για t = στο διαστατικό πεδίο D των αλλαγών στο οι μεταβλητές t, X\, x 2, ..., xn Εάν υπάρχει μια γειτονιά ft fine στην οποία οι συναρτήσεις ft είναι συνεχείς στο σύνολο των ορισμάτων και έχουν περιορισμένες μερικές παραγώγους σε σχέση με τις μεταβλητές X1, x2, . .., xn, τότε υπάρχει ένα διάστημα έως - L0 μεταβολής του t στο οποίο υπάρχει μια μοναδική λύση του κανονικού συστήματος (3) που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες Ορισμός 2. Ένα σύστημα n συναρτήσεων αυθαίρετων σταθερών ανάλογα με tun ονομάζεται γενική λύση του κανονικού σύστημα (3) σε κάποιο πεδίο Π της ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του προβλήματος Cauchy, εάν 1) για τυχόν αποδεκτές τιμές, το σύστημα συναρτήσεων (6) μετατρέπει τις εξισώσεις (3) σε ταυτότητες, 2) στον τομέα Π Οι συναρτήσεις (6) λύνουν οποιοδήποτε πρόβλημα Cauchy. Οι λύσεις που λαμβάνονται από τη γενική για συγκεκριμένες τιμές των σταθερών ονομάζονται ειδικές λύσεις. Για λόγους σαφήνειας, ας στραφούμε στο κανονικό σύστημα δύο εξισώσεων.Θα θεωρήσουμε το σύστημα τιμών t> X\, x2 ως ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου σε τρισδιάστατο χώρο που αναφέρεται στο σύστημα συντεταγμένων Otx\x2. Η λύση του συστήματος (7), που παίρνει τιμές στο t - to, καθορίζει στο χώρο μια συγκεκριμένη γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο) - Αυτή η γραμμή ονομάζεται ολοκληρωτική καμπύλη του κανονικού συστήματος (7). Το πρόβλημα Ko-shi για το σύστημα (7) λαμβάνει την ακόλουθη γεωμετρική διατύπωση: στο διάστημα των μεταβλητών t > X\, x2, βρείτε την ολοκληρωτική καμπύλη που διέρχεται από το δεδομένο σημείο Mo(to,x1,x2) (Εικ. 1) . Το θεώρημα 1 καθιερώνει την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας τέτοιας καμπύλης. Στο κανονικό σύστημα (7) και στη λύση του μπορεί επίσης να δοθεί η ακόλουθη ερμηνεία: θα θεωρήσουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή t ως παράμετρο και τη λύση του συστήματος ως παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης στο επίπεδο x\Ox2. Αυτό το επίπεδο των μεταβλητών X\X2 ονομάζεται επίπεδο φάσης. Στο επίπεδο φάσης, η λύση (0 του συστήματος (7), που σε t = t0 παίρνει τις αρχικές τιμές x°(, x2, αντιπροσωπεύεται από την καμπύλη AB που διέρχεται από το σημείο). Αυτή η καμπύλη ονομάζεται τροχιά του συστήματος (τροχιά φάσης) Η τροχιά του συστήματος (7) είναι η προβολή 2. Μέθοδοι ολοκλήρωσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων 2.1 Μέθοδος εξάλειψης Μία από τις μεθόδους ολοκλήρωσης είναι η μέθοδος εξάλειψης. επιλύεται σε σχέση με την υψηλότερη παράγωγο, Εισαγωγή της νέας εξίσωσης συναρτήσεων με το ακόλουθο κανονικό σύστημα n εξισώσεων: αντικαθιστούμε αυτή τη μία εξίσωση της ντης τάξης είναι ισοδύναμη με το κανονικό σύστημα (1) Αυτή είναι η βάση της μεθόδου εξάλειψης για την ολοκλήρωση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων . Γίνεται έτσι. Έστω ότι έχουμε ένα κανονικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων Ας διαφοροποιήσουμε την πρώτη από τις εξισώσεις (2) ως προς το t. Έχουμε Αντικατάσταση στη δεξιά πλευρά του προϊόντος ή, εν συντομία, η εξίσωση (3) είναι και πάλι διαφοροποιήσιμη σε σχέση με το t. Λαμβάνοντας υπόψη το σύστημα (2), λαμβάνουμε ή Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, βρίσκουμε Ας υποθέσουμε ότι η ορίζουσα (η Jacobian του συστήματος των συναρτήσεων είναι μη μηδενική για τις εξεταζόμενες τιμές Τότε το σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από την πρώτη εξίσωση του συστήματος ( 2) και οι εξισώσεις θα είναι επιλύσιμες ως προς τους αγνώστους θα εκφραστούν μέσω Εισάγοντας τις εκφράσεις που βρέθηκαν στην εξίσωση παίρνουμε μια εξίσωση νης τάξης Από την ίδια τη μέθοδο κατασκευής της προκύπτει ότι αν) υπάρχουν λύσεις στο σύστημα (2), τότε η συνάρτηση X\(t) θα είναι λύση στην εξίσωση (5). Αντίστροφα, έστω η λύση της εξίσωσης (5). Διαφοροποιώντας αυτή τη λύση ως προς το t, υπολογίζουμε και αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν ως γνωστές συναρτήσεις. Με την υπόθεση, αυτό το σύστημα μπορεί να λυθεί ως προς το xn ως συνάρτηση του t. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το σύστημα συναρτήσεων που κατασκευάζεται με αυτόν τον τρόπο αποτελεί λύση στο σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2). Παράδειγμα. Απαιτείται η ολοκλήρωση του συστήματος Διαφοροποιώντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος, έχουμε από πού, χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, λαμβάνουμε - μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές με μια άγνωστη συνάρτηση. Η γενική του λύση έχει τη μορφή Δυνάμει της πρώτης εξίσωσης του συστήματος, βρίσκουμε τη συνάρτηση. Οι συναρτήσεις που βρέθηκαν x(t), y(t), όπως είναι εύκολο να ελεγχθούν, για τυχόν τιμές του С| και C2 ικανοποιούν το δεδομένο σύστημα. Οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή από την οποία φαίνεται ότι οι ολοκληρωτικές καμπύλες του συστήματος (6) είναι ελικοειδείς γραμμές με βήμα με κοινό άξονα x = y = 0, που είναι επίσης μια ολοκληρωμένη καμπύλη (Εικ. 3) . Καταργώντας την παράμετρο στους τύπους (7), λαμβάνουμε μια εξίσωση έτσι ώστε οι τροχιές φάσης ενός δεδομένου συστήματος να είναι κύκλοι με κέντρο στην αρχή - προβολές ελικοειδών γραμμών σε ένα επίπεδο. Στο A = 0, η τροχιά φάσης αποτελείται από ένα σημείο, ονομάζεται το σημείο ανάπαυσης του συστήματος. ". Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις δεν μπορούν να εκφραστούν με όρους Τότε οι εξισώσεις της νης τάξης, που ισοδυναμούν με το αρχικό σύστημα, δεν θα πάρουμε. Εδώ είναι ένα απλό παράδειγμα. Το σύστημα των εξισώσεων δεν μπορεί να αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη εξίσωση δεύτερης τάξης για το x\ ή το x2. Αυτό το σύστημα αποτελείται από ένα ζεύγος εξισώσεων 1ης τάξης, καθεμία από τις οποίες είναι ανεξάρτητα ενσωματωμένη, η οποία δίνει τη Μέθοδο των ολοκληρωμένων συνδυασμών. Ένας ολοκληρωμένος συνδυασμός είναι μια διαφορική εξίσωση που είναι συνέπεια της Εξ. (8), αλλά είναι ήδη εύκολα ενσωματώσιμη. Παράδειγμα. Ολοκληρώστε το σύστημα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέθοδοι ολοκλήρωσης Μέθοδος εξάλειψης Μέθοδος ολοκληρωμένων συνδυασμών Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Θεμελιώδης πίνακας Μέθοδος μεταβολής σταθερών Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. ολοκληρωμένος συνδυασμός: δεύτερος ολοκληρωμένος συνδυασμός: από όπου βρήκαμε δύο πεπερασμένες εξισώσεις από τις οποίες προσδιορίζεται εύκολα η γενική λύση του συστήματος: Ένας ολοκληρωμένος συνδυασμός καθιστά δυνατή τη λήψη μιας εξίσωσης που σχετίζεται με την ανεξάρτητη μεταβλητή t και τις άγνωστες συναρτήσεις. Μια τέτοια πεπερασμένη εξίσωση ονομάζεται πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος (8). Με άλλα λόγια: το πρώτο ολοκλήρωμα ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων (8) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση που δεν είναι πανομοιότυπα σταθερή, αλλά διατηρεί μια σταθερή τιμή σε οποιαδήποτε ολοκληρωτική καμπύλη αυτού του συστήματος. Αν βρεθούν n πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος (8) και είναι όλα ανεξάρτητα, δηλ. το Jacobian του συστήματος των συναρτήσεων είναι μη μηδενικό: Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων ονομάζεται γραμμικό αν είναι γραμμικό ως προς τις άγνωστες συναρτήσεις και τις παραγώγους τους περιλαμβάνονται στην εξίσωση. Ένα σύστημα n γραμμικών εξισώσεων πρώτης τάξης, γραμμένες σε κανονική μορφή, έχει τη μορφή ή, σε μορφή πίνακα, το Θεώρημα 2. Εάν όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς σε ένα διάστημα, τότε σε μια αρκετά μικρή γειτονιά κάθε σημείου, xn), όπου), ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και η μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος Cauchii· επομένως, μια μοναδική ολοκληρωτική καμπύλη του συστήματος (1) διέρχεται από κάθε τέτοιο σημείο. Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση, οι δεξιές πλευρές του συστήματος (1) είναι συνεχείς στο σύνολο των ορισμάτων t)x\,x2)..., xn, και οι μερικές παράγωγοί τους ως προς, οριοθετούνται, αφού αυτές οι παράγωγοι είναι ίσοι με συντελεστές συνεχείς στο διάστημα Εισάγουμε έναν γραμμικό τελεστή Τότε το σύστημα (2) γράφεται με τη μορφή Αν ο πίνακας F είναι μηδέν, στο διάστημα (a, 6), τότε το σύστημα (2) ονομάζεται γραμμικό ομοιογενές και έχει τη μορφή Ας παρουσιάσουμε μερικά θεωρήματα που θεμελιώνουν τις ιδιότητες λύσεων γραμμικών συστημάτων. Θεώρημα 3. Αν το X(t) είναι λύση σε ένα γραμμικό ομοιογενές σύστημα όπου c είναι αυθαίρετη σταθερά, είναι λύση στο ίδιο σύστημα. Θεώρημα 4. Το άθροισμα δύο λύσεων ενός ομοιογενούς γραμμικού συστήματος εξισώσεων είναι λύση στο ίδιο σύστημα. Συνέπεια. Ένας γραμμικός συνδυασμός, με αυθαίρετους σταθερούς συντελεστές c, λύσεων σε ένα γραμμικό ομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι λύση στο ίδιο σύστημα. Θεώρημα 5. Εάν το X(t) είναι μια λύση σε ένα γραμμικό ανομοιογενές σύστημα - μια λύση στο αντίστοιχο ομοιογενές σύστημα, τότε το άθροισμα θα είναι μια λύση στο ανομοιογενές σύστημα. παίρνουμε Αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα είναι μια λύση στο ανομοιογενές σύστημα εξισώσεων Ορισμός. Τα διανύσματα που ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενα από ένα διάστημα εάν υπάρχουν σταθεροί αριθμοί τέτοιοι ώστε για , και τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς a να μην είναι ίσος με μηδέν. Εάν η ταυτότητα (5) ισχύει μόνο για τότε τα διανύσματα λέγονται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα στα (a, b). Σημειώστε ότι μια ταυτότητα διανύσματος (5) είναι ισοδύναμη με n ταυτότητες: . Η ορίζουσα ονομάζεται ορίζουσα Wronsky του συστήματος των διανυσμάτων. Ορισμός. Έστω ότι έχουμε ένα γραμμικό ομοιογενές σύστημα όπου είναι ένας πίνακας με στοιχεία Το σύστημα των n λύσεων ενός γραμμικού ομογενούς συστήματος (6), γραμμικά ανεξάρτητο στο διάστημα, ονομάζεται θεμελιώδες. Θεώρημα 6. Η ορίζουσα Wronsky W(t) ενός συστήματος λύσεων θεμελιωδών στο διάστημα ενός γραμμικού ομογενούς συστήματος (6) με συντελεστές a-ij(t) συνεχείς στο τμήμα a b είναι μη μηδενικό σε όλα τα σημεία του διαστήματος (a , 6). Θεώρημα 7 (για τη δομή της γενικής λύσης ενός γραμμικού ομογενούς συστήματος). Μια γενική λύση στο πεδίο ορισμού ενός γραμμικού ομοιογενούς συστήματος με συντελεστές συνεχείς στο διάστημα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός n λύσεων του συστήματος (6) γραμμικά ανεξάρτητων στο διάστημα a: αυθαίρετοι σταθεροί αριθμοί. Παράδειγμα. Το σύστημα έχει, όπως είναι εύκολο να ελεγχθεί, οι λύσεις των λύσεων Esh είναι γραμμικά ανεξάρτητες, αφού η ορίζουσα Wronsky είναι διαφορετική από το μηδέν: "Η γενική λύση του συστήματος έχει τη μορφή ή είναι αυθαίρετες σταθερές). 3.1 Θεμελιώδης πίνακας Ένας τετράγωνος πίνακας του οποίου οι στήλες είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος (6), είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι ο θεμελιώδης πίνακας ικανοποιεί την εξίσωση του πίνακα Αν X(t) είναι ο θεμελιώδης πίνακας του συστήματος (6), τότε η γενική λύση του συστήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας σταθερός πίνακας στήλης με αυθαίρετα στοιχεία. , Ο πίνακας ονομάζεται πίνακας Cauchy. Με τη βοήθειά του, η λύση του συστήματος (6) μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: Θεώρημα 8 (για τη δομή της γενικής λύσης ενός γραμμικού ανομοιογενούς συστήματος διαφορικών εξισώσεων). αντίστοιχο ομοιογενές σύστημα και κάποιο συγκεκριμένο διάλυμα X(t) του ανομοιογενούς συστήματος (2): 3.2. Μέθοδος παραλλαγής σταθερών Εάν είναι γνωστή η γενική λύση ενός γραμμικού ομογενούς συστήματος (6), τότε μια συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών (μέθοδος Lagrange). Έστω μια γενική λύση του ομογενούς συστήματος (6), τότε dXk και οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση ενός ανομοιογενούς συστήματος όπου είναι άγνωστες συναρτήσεις του t. Διαφοροποιώντας, έχουμε Αντικατάσταση, παίρνουμε Εφόσον, για τον ορισμό, λαμβάνουμε ένα σύστημα ή, σε διευρυμένη μορφή, το Σύστημα (10) είναι ένα γραμμικό αλγεβρικό σύστημα σε σχέση με το 4(0 > του οποίου ορίζουσα είναι η ορίζουσα Wronsky W(t) του θεμελιώδους συστήματος λύσεων.Αυτή η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν παντού στο διάστημα έτσι ώστε το σύστημα) έχει μια μοναδική λύση όπου MO είναι γνωστές συνεχείς συναρτήσεις. Ενσωματώνοντας τις τελευταίες σχέσεις, βρίσκουμε Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση του συστήματος (2): Συνολικά, ένα τέτοιο σύστημα ολοκληρώνεται με την αναγωγή του σε μια ενιαία εξίσωση υψηλότερης τάξης και αυτή η εξίσωση θα είναι επίσης γραμμική με σταθεροί συντελεστές. Μια άλλη αποτελεσματική μέθοδος για την ολοκλήρωση συστημάτων με σταθερούς συντελεστές είναι η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace. Θα εξετάσουμε επίσης τη μέθοδο Euler για την ολοκλήρωση γραμμικών ομοιογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Συνίσταται στα εξής: Σύστημα μεθόδου Euler (3) γραμμικό ομοιογενές x αλγεβρικές εξισώσεις με n αγνώστους an έχει μια μη τετριμμένη λύση, είναι απαραίτητο και αρκεί η ορίζοντή της να είναι ίση με μηδέν: Η εξίσωση (4) ονομάζεται χαρακτηριστική. Στην αριστερή του πλευρά υπάρχει ένα πολυώνυμο ως προς το Α του βαθμού n. Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζονται οι τιμές του Α για το ποιο σύστημα (3) έχει μη τετριμμένες λύσεις a\. Αν όλες οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (4) είναι διαφορετικά, τότε, αντικαθιστώντας τα με τη σειρά τους στο σύστημα (3), βρίσκουμε τις μη τετριμμένες λύσεις που αντιστοιχούν σε αυτές, αυτού του συστήματος και, επομένως, βρίσκουμε n λύσεις του αρχικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων (1 ) με τη μορφή όπου ο δεύτερος δείκτης υποδεικνύει τον αριθμό της λύσης και ο πρώτος δείκτης τον αριθμό της άγνωστης συνάρτησης. Οι n επιμέρους λύσεις του γραμμικού ομογενούς συστήματος (1) που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο σχηματίζουν, όπως μπορεί να επαληθευτεί, το θεμελιώδες σύστημα λύσεων αυτού του συστήματος. Κατά συνέπεια, η γενική λύση του ομογενούς συστήματος διαφορικών εξισώσεων (1) έχει τη μορφή - αυθαίρετες σταθερές. Η περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει πολλαπλές ρίζες δεν θα ληφθεί υπόψη. M Αναζητούμε μια λύση με τη μορφή Χαρακτηριστική εξίσωση Σύστημα (3) για τον προσδιορισμό του 01.02 μοιάζει με αυτό: Αντικαθιστώντας παίρνουμε από Ως εκ τούτου, Υποθέτοντας ότι βρίσκουμε επομένως Η γενική λύση αυτού του συστήματος: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέθοδοι ολοκλήρωσης Μέθοδος εξάλειψης Ολοκληρωμένοι συνδυασμοί μέθοδος Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Θεμελιώδης πίνακας Σταθερές μεθόδου παραλλαγής Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Μέθοδος μήτρας Ας περιγράψουμε επίσης τη μέθοδο μήτρας για την ολοκλήρωση ενός ομοιογενούς συστήματος (1). Γράφουμε το σύστημα (1) ως πίνακα με σταθερά πραγματικά στοιχεία a,j. Ας θυμηθούμε μερικές έννοιες από τη γραμμική άλγεβρα. Το διάνυσμα g F O ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A, αν ο αριθμός A ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα A, που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα g, και είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας. Θα υποθέσουμε ότι όλες οι ιδιοτιμές An του πίνακα A είναι διακριτές. Στην περίπτωση αυτή, τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και υπάρχει ένας n x n-μήτρα T που ανάγει τον πίνακα A σε διαγώνια μορφή, δηλαδή, έτσι ώστε οι στήλες του πίνακα T να είναι οι συντεταγμένες των ιδιοδιανυσμάτων. Εισάγουμε επίσης τα εξής έννοιες. Έστω B(t) ένας n x n-μήτρας, τα στοιχεία 6,;(0 του οποίου είναι συναρτήσεις του ορίσματος t, που ορίζονται στο σύνολο. Ο πίνακας B(f) ονομάζεται συνεχής στο Π εάν όλα τα στοιχεία του 6, j(f) είναι συνεχείς στο Q Ένας πίνακας B(*) ονομάζεται διαφοροποιήσιμος στο Π εάν όλα τα στοιχεία αυτού του πίνακα είναι διαφοροποιήσιμα στο Q. Στην περίπτωση αυτή, η παράγωγος του πίνακα ^p-πίνακα B(*) είναι ο πίνακας του οποίου στοιχεία είναι τα παράγωγα των -αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα Β(*) στήλη-διάνυσμα Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες της άλγεβρας πινάκων, με άμεσο έλεγχο επαληθεύουμε την εγκυρότητα του τύπου έχει τη μορφή όπου είναι τα ιδιοδιανύσματα-στήλες του Ας εισάγουμε ένα νέο άγνωστο διάνυσμα στήλης με τον τύπο όπου το T είναι ένας πίνακας που ανάγει τον πίνακα Α σε διαγώνια μορφή. ότι T 1 AT \u003d A, φτάνουμε στο σύστημα Έχουμε αποκτήσει ένα σύστημα n ανεξάρτητων εξισώσεων, οι οποίες μπορούν εύκολα να ενσωματωθούν: (12) Εδώ είναι αυθαίρετοι σταθεροί αριθμοί. Εισάγοντας διανύσματα στήλης μοναδιαίας n-διάστασης, η λύση μπορεί να αναπαρασταθεί ως Δεδομένου ότι οι στήλες του πίνακα T είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα, το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A. Επομένως, αντικαθιστώντας το (13) στο (11), λαμβάνουμε τον τύπο ( 10): Έτσι, εάν ο πίνακας A σύστημα διαφορικών εξισώσεων (7) έχει διαφορετικές ιδιοτιμές, για να λάβουμε μια γενική λύση αυτού του συστήματος: 1) βρίσκουμε τις ιδιοτιμές " του πίνακα ως ρίζες της αλγεβρικής εξίσωσης 2) βρίσκουμε όλα τα ιδιοδιανύσματα 3) γράφουμε τη γενική λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων (7) με τον τύπο (10 ). Παράδειγμα 2. Λύστε το σύστημα Μέθοδος μήτρας 4 Ο πίνακας Α του συστήματος έχει τη μορφή 1) Να συνθέσετε τη χαρακτηριστική εξίσωση Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. 2) Βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα Για A = 4 παίρνουμε το σύστημα από όπου = 0|2, έτσι ώστε Ομοίως για A = 1 βρίσκουμε I 3) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (10), παίρνουμε τη γενική λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης μπορεί να είναι πραγματικές και σύνθετες. Εφόσον με την υπόθεση οι συντελεστές ay του συστήματος (7) είναι πραγματικοί, η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει πραγματικούς συντελεστές. Επομένως, μαζί με τη μιγαδική ρίζα A, θα έχει επίσης μια ρίζα \*, μιγαδική συζυγή με το A. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν το g είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή A, τότε το A* είναι επίσης μια ιδιοτιμή, η οποία αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα g*, σύμπλοκο συζευγμένο με g. Για το σύμπλοκο Α, η λύση του συστήματος (7) taioKe θα είναι σύνθετη. Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αυτής της λύσης είναι οι λύσεις του συστήματος (7). Η ιδιοτιμή A* θα αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος πραγματικών λύσεων. το ίδιο ζεύγος με την ιδιοτιμή A. Έτσι, το ζεύγος A, A* μιγαδικών συζυγών ιδιοτιμών αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος πραγματικών λύσεων στο σύστημα (7) διαφορικών εξισώσεων. Έστω πραγματικές ιδιοτιμές, σύνθετες ιδιοτιμές. Τότε οποιαδήποτε πραγματική λύση του συστήματος (7) έχει τη μορφή όπου c, είναι αυθαίρετες σταθερές. Παράδειγμα 3. Λύστε το σύστημα -4 Πίνακας του συστήματος 1) Χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος Οι ρίζες του Ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3) Λύση του συστήματος όπου υπάρχουν αυθαίρετες μιγαδικές σταθερές. Ας βρούμε πραγματικές λύσεις του συστήματος. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler, λαμβάνουμε Επομένως, οποιαδήποτε πραγματική λύση του συστήματος έχει τη μορφή αυθαίρετων πραγματικών αριθμών. Ασκήσεις Ενσωμάτωση συστημάτων με μέθοδο εξάλειψης: Ολοκλήρωση συστημάτων με μέθοδο intefeable συνδυασμών: Ενσωμάτωση συστημάτων με μέθοδο μήτρας: Απαντήσεις