Πώς να υπολογίσετε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος. Διανύσματα για ανδρείκελα

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές στροφές έρχονται αμέσως στο μυαλό: «γραφική μέθοδος λύσης» και «αναλυτική μέθοδος λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου σχέδια χωρίς σχέδια, εξάλλου για την καλύτερη κατανόηση του υλικού θα προσπαθήσω να τα φέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, οι συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Οι συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να ξεφύγουν από το οπτικό μου πεδίο και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.

Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδοΜε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.

!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Ενώ το πρώτο γράμμα αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα .

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.

Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,

Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για ποιον πώς) λίγο αργότερα.

Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Αν είναι πολύ απλό - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Διότι κατά την επίλυση προβλημάτων μπορείτε να «προσαρτήσετε» το ένα ή το άλλο «σχολικό» διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα κατευθυνόμενο τμήμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Εξάλλου, δεν είναι απλώς μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι σχεδόν σωστά - ένα κατευθυνόμενο τμήμα μπορεί επίσης να επισυναφθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- αυτό είναι πολλά πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υποδηλώνει ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι προσαρτημένο σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά εσφαλμένη και το σημείο εφαρμογής έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εξετάζονται διάφορες ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα . Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, συνιστάται να βάλετε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Εάν τα βέλη κοιτάζουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα:

Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Με αυτόν τον τρόπο: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας είναι αντίθετο με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Σχεδιάστε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και αφήστε το στην άκρη από την αρχή μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότητακαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .

Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, πιο λεπτομερείς πληροφορίες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, όπου - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμεριστούν από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα κατευθύνεται από κοινού με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι που, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: . Ακολουθήστε το σχέδιο για να δείτε πόσο καλά λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις περιπτώσεις.

Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με σύμβολο ίσον:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή:

Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».

Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στα ανδρείκελα να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν ξανά αυτές τις πληροφορίες. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφέρεται στο βασικό μάθημα κατά καιρούς για καλύτερη αφομοίωση της ύλης. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο γεωμετρίας, αφού κρυπτογραφώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, αφού άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να ξοδεύετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:

Οι αισθητιστές θα αποφασίσουν ως εξής:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης:

Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, εάν το επιθυμούμε ή είναι απαραίτητο, μπορούμε εύκολα να το αναβάλουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.

Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για μια ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα παραμελήσετε, θα αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:

δώσε προσοχή στο σημαντικό τεχνικό κόλπο – βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά ένας αρκετά μεγάλος αριθμός λαμβάνεται κάτω από τη ρίζα, για παράδειγμα. Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Με αυτόν τον τρόπο: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, και τα λοιπά.

Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθήστε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα:

Οι κανόνες για ενέργειες με πτυχία σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.

Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Στην τετμημένη και τεταγμένη ονομάζονται άξονες συντεταγμένες διάνυσμα. Οι συντεταγμένες του διανύσματος συνήθως υποδεικνύονται στη φόρμα (x, y), και το ίδιο το διάνυσμα ως: = (x, y).

Ο τύπος για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος για δισδιάστατα προβλήματα.

Στην περίπτωση ενός δισδιάστατου προβλήματος, ένα διάνυσμα με γνωστά σημειακές συντεταγμένες A(x 1; y 1)και ΣΙ(Χ 2 ; y 2 ) μπορεί να υπολογιστεί:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Ο τύπος για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος για χωρικά προβλήματα.

Στην περίπτωση χωρικού προβλήματος, ένα διάνυσμα με γνωστό σημειακές συντεταγμένεςΕΝΑ (x 1; y 1;z 1 ) και Β (Χ 2 ; y 2 ; z 2 ) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

= (Χ 2 - Χ 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Οι συντεταγμένες δίνουν μια περιεκτική περιγραφή του διανύσματος, αφού είναι δυνατό να κατασκευαστεί το ίδιο το διάνυσμα από τις συντεταγμένες. Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες, είναι εύκολο να υπολογιστούν και διανυσματικό μήκος. (Ακίνητο 3 παρακάτω).

Διανυσματικές ιδιότητες συντεταγμένων.

1. Οποιοδήποτε ίσα διανύσματασε ένα ενιαίο σύστημα συντεταγμένων έχουν ίσες συντεταγμένες.

2. Συντεταγμένες συγγραμμικά διανύσματααναλογικά. Με την προϋπόθεση ότι κανένα από τα διανύσματα δεν είναι ίσο με μηδέν.

3. Το τετράγωνο του μήκους οποιουδήποτε διανύσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων του συντεταγμένες.

4.Όταν η επέμβαση διανυσματικοί πολλαπλασιασμοίστο πραγματικός αριθμόςκαθεμία από τις συντεταγμένες της πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον αριθμό.

5. Κατά την πράξη της διανυσματικής πρόσθεσης υπολογίζουμε το άθροισμα των αντίστοιχων διανυσματικές συντεταγμένες.

6. Scalar προϊόνδύο διανυσμάτων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των αντίστοιχων συντεταγμένων τους.

Η εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος είναι μια αρκετά κοινή συνθήκη για πολλά προβλήματα στα μαθηματικά. Η δυνατότητα εύρεσης των συντεταγμένων ενός διανύσματος θα σας βοηθήσει σε άλλα, πιο σύνθετα προβλήματα με παρόμοια θέματα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τον τύπο για την εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος και αρκετές εργασίες.

Εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο

Τι είναι ένα αεροπλάνο; Ένα επίπεδο είναι ένας δισδιάστατος χώρος, ένας χώρος με δύο διαστάσεις (διάσταση x και διάσταση y). Για παράδειγμα, το χαρτί είναι επίπεδο. Η επιφάνεια του τραπεζιού είναι επίπεδη. Κάθε μη ογκομετρικό σχήμα (τετράγωνο, τρίγωνο, τραπέζιο) είναι επίσης επίπεδο. Έτσι, εάν στην συνθήκη του προβλήματος είναι απαραίτητο να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος που βρίσκεται σε ένα επίπεδο, ανακαλούμε αμέσως τα x και y. Μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες ενός τέτοιου διανύσματος ως εξής: Συντεταγμένες ΑΒ του διανύσματος = (xB - xA; yB - xA). Μπορεί να φανεί από τον τύπο ότι οι συντεταγμένες του σημείου εκκίνησης πρέπει να αφαιρεθούν από τις συντεταγμένες του σημείου τέλους.

Παράδειγμα:

• Το διάνυσμα CD έχει συντεταγμένες έναρξης (5; 6) και τέλους (7; 8).
• Βρείτε τις συντεταγμένες του ίδιου του διανύσματος.
• Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Έτσι, οι συντεταγμένες του διανύσματος CD = (2; 2).
• Κατά συνέπεια, η συντεταγμένη x είναι ίση με δύο, η συντεταγμένη y είναι επίσης δύο.

Εύρεση των συντεταγμένων ενός διανύσματος στο χώρο

Τι είναι ο χώρος; Ο χώρος είναι ήδη μια τρισδιάστατη διάσταση, όπου δίνονται 3 συντεταγμένες: x, y, z. Εάν πρέπει να βρείτε ένα διάνυσμα που βρίσκεται στο διάστημα, ο τύπος ουσιαστικά δεν αλλάζει. Προστίθεται μόνο μία συντεταγμένη. Για να βρείτε το διάνυσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τις συντεταγμένες έναρξης από τις συντεταγμένες τέλους. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Παράδειγμα:

• Το διάνυσμα DF έχει αρχικό (2; 3; 1) και τελικό (1; 5; 2).
• Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε: Συντεταγμένες του διανύσματος DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Θυμηθείτε, η τιμή των συντεταγμένων μπορεί να είναι αρνητική, δεν υπάρχει πρόβλημα με αυτό.

Πώς να βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες στο διαδίκτυο;

Εάν για κάποιο λόγο δεν θέλετε να βρείτε μόνοι σας τις συντεταγμένες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Αρχικά, επιλέξτε τη διάσταση του διανύσματος. Η διάσταση ενός διανύσματος είναι υπεύθυνη για τις διαστάσεις του. Η διάσταση 3 σημαίνει ότι το διάνυσμα βρίσκεται στο χώρο, η διάσταση 2 σημαίνει ότι βρίσκεται στο επίπεδο. Στη συνέχεια, εισάγετε τις συντεταγμένες των σημείων στα κατάλληλα πεδία και το πρόγραμμα θα καθορίσει τις συντεταγμένες του ίδιου του διανύσματος. Όλα είναι πολύ απλά.

Κάνοντας κλικ στο κουμπί, η σελίδα θα μετακινηθεί αυτόματα προς τα κάτω και θα σας δώσει τη σωστή απάντηση μαζί με τα βήματα λύσης.

Συνιστάται να μελετήσετε καλά αυτό το θέμα, επειδή η έννοια του διανύσματος βρίσκεται όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φυσική. Οι φοιτητές της Σχολής Πληροφορικής μελετούν επίσης το θέμα των διανυσμάτων, αλλά σε πιο σύνθετο επίπεδο.

Αναλυτική γεωμετρία

		Εβδομάδα	Βαθμολογία για την ενότητα σε βαθμούς
		έλεγχος μονάδας
			Το μέγιστο		Ελάχιστο
Εξάμηνο 1
DZ №1, μέρος 1
DZ №1, μέρος 2
Χειριστήριο Modulo No. 1
Πόντοι επιβράβευσης
Έλεγχος δομοστοιχείου Νο. 2
Πόντοι επιβράβευσης

Δραστηριότητες ελέγχου και χρόνος εφαρμογής τους Ενότητα 1

1. DZ No. 1 part 1 "Vector Algebra" Προθεσμία έκδοσης 2 εβδομάδες, προθεσμία - 7 εβδομάδες

2. DZ Νο. 1 μέρος 2 "Γραμμές και αεροπλάνα"

Περίοδος παράδοσης 1 εβδομάδα, περίοδος παράδοσης - 9 εβδομάδες

3. Στοιχείο ελέγχου Νο. 1 (RK No. 1) "Διανυσματική άλγεβρα, γραμμές και επίπεδα." Προθεσμία - 10 εβδομάδες

1. ΔΖ Νο 2 «Καμπύλες και επιφάνειες 2η παραγγελία «Περίοδος έκδοσης 6 εβδομάδες, περίοδος παράδοσης - 13 εβδομάδες

5. Δοκιμή «Καμπύλες και επιφάνειες 2η τάξη. Προθεσμία - 14 εβδομάδες

6. Έλεγχος μονάδων No. 2 (RK No. 2) "Πίνακες και συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων"

Προθεσμία - 16 εβδομάδες

Τυπικές εργασίες που χρησιμοποιούνται για το σχηματισμό επιλογών τρέχοντος ελέγχου

1. Εργασία για το σπίτι αριθμός 1. "Διανυσματική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία"

Δίνονται: σημεία A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			Α(1;2;0) ; αριθμοί 30,				b1; γωνία
1. Να βρείτε το μήκος του διανύσματος |		n | , αν			p aq,	n bp q	και τα p, q είναι μονάδα

διανύσματα, η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση.

2. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ που διαιρεί το διάνυσμα ΑΒ ως προς το a :1 .

3. Ελέγξτε εάν είναι δυνατό σε διανύσματαΟι ΑΒ και ΑΔ κατασκευάζουν ένα παραλληλόγραμμο. Αν ναι, τότε βρείτε τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου.

4. Να βρείτε τις γωνίες μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

5. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD.

6. Βεβαιωθείτε ότι τα διανύσματα AB , AD , AA 1 μπορείτε να κατασκευάσετε ένα παραλληλεπίπεδο. Βρείτε τον όγκο αυτού του παραλληλεπίπεδου και το μήκος του ύψους του.

7. Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες AH, που κατευθύνεται κατά μήκος του παραλληλεπίπεδου ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , σχεδιασμένο από το σημείο A στο επίπεδο βάσης A 1 B 1 C 1 D 1 ,

οι συντεταγμένες του σημείου Η και οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος που συμπίπτουν κατά διεύθυνση με το διάνυσμα ΑΗ .

8. Να βρείτε την αποσύνθεση του διανύσματος AH από διανύσματα AB , AD , AA 1 .

9. Βρείτε την προβολή ενός διανύσματος AH στο διάνυσμα AA 1 .

10. Να γράψετε τις εξισώσεις των επιπέδων: α) P που διέρχεται από τα σημεία A, B, D;

β) P1 που διέρχεται από το σημείο Α και την ευθεία A1 B1 ;

γ) P2 που διέρχεται από το σημείο Α1 παράλληλο προς το επίπεδο P. δ) P3 που περιέχουν γραμμές AD και AA1.

ε) P4 που διέρχεται από τα σημεία A και C1 κάθετα στο επίπεδο P.

11. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των γραμμών στις οποίες βρίσκονται οι άκρες AB και CCένας ; να γράψετε τις κανονικές και παραμετρικές εξισώσεις της κοινής κάθετου σε αυτές.

12. Βρείτε το σημείο Α 2, συμμετρικό στο σημείο Α1 ως προς το επίπεδο της βάσης

13. Βρείτε τη γωνία μεταξύ της ευθείας στην οποία βρίσκεται η διαγώνιος Α 1 C και επίπεδο βάσης ABCD.

14. Βρείτε την οξεία γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC 1 D (επίπεδο P) και ABB1 A1 (επίπεδο P1 ).

2. Εργασία για το σπίτι #2. "Καμπύλες και επιφάνειες δεύτερης τάξης"

Στα προβλήματα 1–2, η δεδομένη εξίσωση της γραμμής δεύτερης τάξης ανάγεται σε κανονική μορφή και η καμπύλη κατασκευάζεται στο σύστημα συντεταγμένων OXY.

ΣΤΟ εργασία 3, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που δίνονται, βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στο σύστημα συντεταγμένων OXY. Για εργασίες 1–3 υποδεικνύουν:

1) κανονική μορφή της εξίσωσης γραμμής.

2) μετασχηματισμός παράλληλης μεταφοράς που οδηγεί σε κανονική μορφή.

3) στην περίπτωση έλλειψης: ημιάξονες, εκκεντρότητα, κέντρο, κορυφές, εστίες, αποστάσεις από το σημείο C έως τις εστίες. στην περίπτωση υπερβολής: ημιάξονες, εκκεντρότητα, κέντρο, κορυφές, εστίες, αποστάσεις από το σημείο C έως τις εστίες, ασυμπτωτικές εξισώσεις. στην περίπτωση παραβολής: παράμετρος, κορυφή, εστίαση, εξίσωση κατευθύνσεως, αποστάσεις από το σημείο C έως την εστία και τον προσανατολισμό.

4) για το σημείο Γ, ελέγξτε την ιδιότητα που χαρακτηρίζει τον συγκεκριμένο τύπο καμπυλών ως τον τόπο των σημείων.

ΣΤΟ Στο πρόβλημα 4, υποδείξτε τον μετασχηματισμό παράλληλης μετάφρασης που μειώνει τη δεδομένη εξίσωση επιφάνειας στην κανονική μορφή, την κανονική μορφή της εξίσωσης επιφάνειας και τον τύπο της επιφάνειας. Κατασκευάστε μια επιφάνεια στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4, C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία y 1 0 , έχει εστία							; 1 ,
	διασχίζει τον άξονα OX στο σημείο Γ				; 0 , και τα κλαδιά του βρίσκονται στο ημιεπίπεδο	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

1 «Διανυσματική άλγεβρα. Αναλυτική γεωμετρία"

1. Δεξιά και αριστερά τριάδες διανυσμάτων. Ορισμός του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων. Διατυπώστε τις ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων. Να εξάγετε έναν τύπο για τον υπολογισμό του διασταυρούμενου γινόμενου δύο διανυσμάτων που δίνονται από τις συντεταγμένες τους σε ορθοκανονική βάση.

φορείς

ένα μ ,

m n ,

1, m, n

Μπορεί,

διάνυσμα αποσύνθεσης

c 3 i

12j6k

φορείς

3 j 2 k και b 2 i 3 j 4 k .

Γράψτε μια εξίσωση για το επίπεδο

περνώντας από τα σημεία M 1 5, 1, 4 ,

Μ 2 2, 3.1 και

κάθετο στο επίπεδο

6x 5y 4z 1 0. Ρυθμίστε κανονικές εξισώσεις

ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο M 0 0, 2,1 και είναι ορθογώνια προς το επίπεδο που βρέθηκε.

Δοκιμή "Καμπύλες και επιφάνειες δεύτερης τάξης"

1. Ορισμός έλλειψης ως τόπου σημείων. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης μιας έλλειψης σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Οι κύριες παράμετροι της καμπύλης.

2. Εξίσωση επιφάνειας x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 οδηγεί στην κανονική

μυαλό. Κάντε ένα σχέδιο στο κανονικό σύστημα συντεταγμένων. Καθορίστε το όνομα αυτής της επιφάνειας.

3. Να γράψετε μια εξίσωση για μια ισάξονη υπερβολή αν το κέντρο της O 1 1, 1 και μια από τις εστίες της F 1 3, 1 είναι γνωστά. Κάντε ένα σχέδιο.

Modulo control No. 2 «Καμπύλες και επιφάνειες δεύτερης τάξης. Πίνακες και συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων»

1. Ομογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Μορφές γραφής ομοιογενούς SLAE. Απόδειξη Κριτηρίου Ύπαρξης Μη μηδενικών λύσεων ομοιογενούς SLAE.

2. Λύστε την εξίσωση πίνακα AX B ,

Κάντε έναν έλεγχο.

3. α) Λύστε το SLAE. β) Βρείτε ένα κανονικό θεμελιώδες σύστημα λύσεων του αντίστοιχου ομοιογενούς συστήματος, μια συγκεκριμένη λύση του ανομοιογενούς συστήματος. γράψτε μέσα από αυτά τη γενική λύση αυτού του ανομοιογενούς συστήματος:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Ερωτήσεις για προετοιμασία για ελέγχους ενότητας, δοκιμές, δοκιμές και εξετάσεις

1. Γεωμετρικά διανύσματα. Δωρεάν διανύσματα. Ορισμός συγγραμμικών και συνεπίπεδων διανυσμάτων. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα και τις ιδιότητές τους.

2. Ορισμός γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας διανυσμάτων. Στοιχεία για τις συνθήκες γραμμικής εξάρτησης 2 και 3 διανύσματα.

3. Ορισμός βάσης σε χώρους διανυσμάτων V1, V2, V3. Απόδειξη του θεωρήματος για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της επέκτασης ενός διανύσματος ως προς τη βάση. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα που δίνονται από τις συντεταγμένες τους στη βάση.

4. Ορισμός του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων, η σύνδεσή του με την ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα. Ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος, η απόδειξή τους. Παραγωγή του τύπου για τον υπολογισμό του βαθμωτού γινομένου των διανυσμάτων σε ορθοκανονική βάση.

5. Ορισμός ορθοκανονικής βάσης. Σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός διανύσματος σε ορθοκανονική βάση και των ορθογώνιων προβολών του στα διανύσματα αυτής της βάσης. Παραγωγή τύπων για τον υπολογισμό του μήκους ενός διανύσματος, των συνημιτόνων κατεύθυνσής του, της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων σε ορθοκανονική βάση.

6. Δεξιά και αριστερά τριάδες διανυσμάτων. Ορισμός του διασταυρούμενου γινόμενου διανυσμάτων, η μηχανική και γεωμετρική σημασία του. Ιδιότητες πολλαπλών προϊόντων (χωρίς doc-va). Εξαγωγή του τύπου για τον υπολογισμό του διασταυρούμενου γινομένου σε ορθοκανονική βάση.

7. Ορισμός του μικτού γινομένου των διανυσμάτων. Ο όγκος του παραλληλεπίπεδου και ο όγκος της πυραμίδας, χτισμένοι σε μη ομοεπίπεδα διανύσματα. Συνθήκη συμβατότητας για τρία διανύσματα. Ιδιότητες μικτού προϊόντος. Εξαγωγή του τύπου για τον υπολογισμό του μικτού προϊόντος σε ορθοκανονική βάση.

8. Ορισμός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Επίλυση των απλούστερων προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

9. Διάφοροι τύποι εξίσωσης ευθείας σε επίπεδο: διανυσματική, παραμετρική, κανονική. Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ.

10. Παραγωγή της εξίσωσης μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

11. Απόδειξη του θεωρήματος ότι σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, μια εξίσωση πρώτου βαθμού ορίζει μια ευθεία γραμμή. Ορισμός του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής.

12. Εξίσωση με συντελεστή κλίσης, εξίσωση ευθείας γραμμής «σε τμήματα». Η γεωμετρική σημασία των παραμέτρων που περιλαμβάνονται στις εξισώσεις. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών που δίνονται από τις γενικές ή κανονικές εξισώσεις τους.

13. Παραγωγή του τύπου για την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία σε ένα επίπεδο.

14. Απόδειξη του θεωρήματος ότι σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο χώρο, μια εξίσωση πρώτου βαθμού ορίζει ένα επίπεδο. Γενική εξίσωση του αεροπλάνου. Ορισμός του κανονικού διανύσματος του επιπέδου. Παραγωγή της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία. Εξίσωση του επιπέδου «σε τμήματα».

15. Γωνία μεταξύ των επιπέδων. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο επιπέδων.

16. Παραγωγή του τύπου για την απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο.

17. Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο. Παραγωγή διανυσματικών, κανονικών και παραμετρικών εξισώσεων ευθείας στο χώρο.

18. Γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο χώρο, συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών. Προϋποθέσεις για να ανήκουν δύο γραμμές στο ίδιο επίπεδο.

19. Γωνία ευθείας και επιπέδου, συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθείας και επιπέδου. Η συνθήκη του να ανήκεις σε μια ευθεία ενός δεδομένου επιπέδου.

20. Το πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης μεταξύ τεμνόμενων ή παράλληλων ευθειών.

21. Ορισμός έλλειψης ως τόπου σημείων. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης της έλλειψης.

22. Ορισμός υπερβολής ως τόπος σημείων. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης υπερβολής.

23. Ορισμός παραβολής ως τόπος σημείων. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης παραβολής.

24. Ορισμός κυλινδρικής επιφάνειας. Κανονικές εξισώσεις κυλινδρικών επιφανειών 2η τάξη.

25. Η έννοια της επιφάνειας της επανάστασης. Κανονικές εξισώσεις επιφανειών που σχηματίζονται από την περιστροφή μιας έλλειψης, υπερβολής και παραβολής.

26. Κανονικές εξισώσεις ελλειψοειδούς και κώνου. Διερεύνηση του σχήματος των επιφανειών αυτών με τη μέθοδο της διατομής.

27. Κανονικές εξισώσεις υπερβολοειδών. Διερεύνηση του σχήματος των υπερβολοειδών με τη μέθοδο των τομών.

28. Κανονικές εξισώσεις παραβολοειδών. Διερεύνηση του σχήματος των παραβολοειδών με τη μέθοδο των τομών.

29. Η έννοια της μήτρας. Τύποι πινάκων. Ισότητα μήτρας. Γραμμικές πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους. Μεταφορά μήτρας.

30. Πολλαπλασιασμός πίνακα. Ιδιότητες της πράξης πολλαπλασιασμού πινάκων.

31. Ορισμός αντίστροφου πίνακα. Απόδειξη της μοναδικότητας του αντίστροφου πίνακα. Απόδειξη του θεωρήματος του αντίστροφου πίνακα για το γινόμενο δύο αντιστρέψιμων πινάκων.

32. Κριτήριο ύπαρξης αντίστροφου πίνακα. Η έννοια του συσχετιζόμενου πίνακα, η σύνδεσή του με τον αντίστροφο πίνακα.

33. Παραγωγή των τύπων του Cramer για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με μη εκφυλισμένο τετραγωνικό πίνακα.

34. Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία σειρών (στήλων) ενός πίνακα. Απόδειξη του κριτηρίου γραμμικής εξάρτησης σειρών (στηλών).

35. Ορισμός ελάσσονος πίνακα. Βασικό δευτερεύον. Θεώρημα ελάσσονος βάσης (χωρίς doqua). Απόδειξη του συμπεράσματός της για τετράγωνους πίνακες.

36. Μέθοδος Fringing minors για την εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα.

37. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί σειρών (στήλων) ενός πίνακα. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών.

38. Θεώρημα αναλλοίωτης κατάταξης πίνακα κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Εύρεση της κατάταξης ενός πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών.

39. Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Διάφορες μορφές γραφής SLAE. Από κοινού και μη SLAE. Απόδειξη του κριτηρίου Kronecker-Kapeli συμβατότητας SLAE.

40. Ομογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Ιδιότητες των λύσεών τους.

41. Ορισμός θεμελιώδους συστήματος λύσεων (FSR) ομοιογενούς συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Θεώρημα για τη δομή της γενικής λύσης ομοιογενούς SLAE. Κατασκευή του FSR.

42. Ανομοιογενή συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Απόδειξη του θεωρήματος για τη δομή της γενικής λύσης ενός ανομοιογενούς SLAE.

Συμβάν ελέγχου	Αριθμός εργασιών	Πόντοι για την εργασία
DZ №1, μέρος 1
Σημειώθηκαν πόντοι
Συμβάν ελέγχου	Αριθμός εργασιών	Πόντοι για την εργασία
DZ №1, μέρος 2
Σημειώθηκαν πόντοι

Συμβάν ελέγχου				Αριθμός εργασιών			Πόντοι για την εργασία
Χειριστήριο Modulo No. 1				1 θεωρία και 3 προβλήματα			θεωρία - 0; 3; 6
							εργασίες - 0; ένας; 2
			Σημειώθηκαν πόντοι
Συμβάν ελέγχου				Αριθμός εργασιών			Πόντοι για την εργασία
	Σημειώθηκαν πόντοι
Συμβάν ελέγχου				Αριθμός εργασιών			Πόντοι για την εργασία
				1 θεωρία και 3 προβλήματα			θεωρία - 0; 3; 6
							εργασίες - 0; ένας; 2
			Σημειώθηκαν πόντοι
						01 θεωρία και 3 εργασίες			θεωρία - 0; 3; 6
		εργασίες - 0; ένας; 2
			Σημειώθηκαν πόντοι

Κανόνες βαθμολογίας περιοδικών

1. Πόντοι για DZ. Οι πόντοι για το DZ ορίζονται την επόμενη εβδομάδα μετά την ημερομηνία λήξης, σύμφωνα με τον αντίστοιχο πίνακα. Ο μαθητής έχει το δικαίωμα να υποβάλει ατομικές εργασίες για επαλήθευση πριν από τη λήξη της προθεσμίας και να διορθώσει τα λάθη που σημειώνει ο καθηγητής, λαμβάνοντας παράλληλα τις απαραίτητες συμβουλές. Εάν μέχρι την προθεσμία υποβολής του DZ ο μαθητής φέρει τη λύση του προβλήματος στη σωστή επιλογή, τότε του δίνεται η μέγιστη βαθμολογία για αυτήν την εργασία. Μετά τη λήξη της προθεσμίας υποβολής του DZ, ένας μαθητής που δεν έχει σημειώσει την ελάχιστη βαθμολογία για το DZ μπορεί να συνεχίσει να εργάζεται στην εργασία. Παράλληλα, σε περίπτωση επιτυχούς εργασίας, απονέμεται στον μαθητή η ελάχιστη βαθμολογία για το Δ.Ζ.

2. Πόντοι για CR. Εάν ένας φοιτητής δεν φτάσει εγκαίρως την ελάχιστη βαθμολογία για το CR, τότε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου μπορεί να ξαναγράψει αυτή την εργασία δύο φορές. Με ένα θετικό αποτέλεσμα (ένα σύνολο πόντων όχι λιγότερο από το καθορισμένο ελάχιστο), δίνεται στον μαθητή η ελάχιστη βαθμολογία για το KR.

3. Σημεία "modulo control".Ως «modulo control» προτείνεται μια γραπτή εργασία που αποτελείται από θεωρητικά και πρακτικά μέρη. Κάθε τμήμα της μονάδας ελέγχου αξιολογείται ξεχωριστά. Μαθητής που έχει λάβει βαθμολογία όχι χαμηλότερη από την ελάχιστη σε ένα από τα μέρη του ελέγχου θεωρείται ότι έχει περάσει αυτό το μέρος και αποκλείεται από την εφαρμογή του στο μέλλον. Κατά την κρίση του καθηγητή, μπορεί να πραγματοποιηθεί συνέντευξη για το θεωρητικό μέρος της εργασίας. Εάν ένας μαθητής δεν σκοράρει την ελάχιστη βαθμολογία για κάθε μέρος της εργασίας, τότε κατά τη διάρκεια του εξαμήνου έχει δύο προσπάθειες για κάθε μέρος για να διορθώσει την κατάσταση. Με ένα θετικό

Ως αποτέλεσμα (ένα σύνολο πόντων όχι λιγότερο από το καθορισμένο ελάχιστο), δίνεται στον μαθητή η ελάχιστη βαθμολογία για τον "έλεγχο της ενότητας".

4. Βαθμός ανά ενότητα.Εάν ο μαθητής έχει ολοκληρώσει όλες τις τρέχουσες δραστηριότητες ελέγχου της ενότητας (σημείωσε τουλάχιστον την καθορισμένη ελάχιστη βαθμολογία),

τότε η αξιολόγηση για την ενότητα είναι το άθροισμα των βαθμών για όλες τις δραστηριότητες ελέγχου της ενότητας (στην περίπτωση αυτή, ο μαθητής βαθμολογεί αυτόματα τουλάχιστον το ελάχιστο όριο). Τα τελικά σημεία για την ενότητα καταχωρούνται στο ημερολόγιο μετά την ολοκλήρωση όλων των δραστηριοτήτων ελέγχου.

5. Συνολική βαθμολογία. Άθροισμα βαθμών για δύο ενότητες.

6. Αξιολόγηση. Η τελική πιστοποίηση (εξέταση, διαφοροποιημένο τεστ, τεστ) πραγματοποιείται με βάση τα αποτελέσματα της εργασίας στο εξάμηνο αφού ο φοιτητής ολοκληρώσει τον προγραμματισμένο όγκο μελέτης και λάβει αξιολόγηση για κάθε ενότητα που δεν είναι χαμηλότερη από την ελάχιστη καθορισμένη. Η μέγιστη βαθμολογία για όλες τις ενότητες, συμπεριλαμβανομένων των βαθμολογιών για την επιμέλεια, είναι 100, η ​​ελάχιστη είναι 60. Το άθροισμα των βαθμολογιών για όλες τις ενότητες αποτελεί μια βαθμολογία αξιολόγησης για τον κλάδο για το εξάμηνο. Ένας φοιτητής που έχει επιτύχει όλα τα μέτρα ελέγχου λαμβάνει τελικό βαθμό στο γνωστικό αντικείμενο για το εξάμηνο σύμφωνα με την κλίμακα:

		Βαθμός εξετάσεων,	Εκτίμηση επί αντιστάθμισης
		διαφοροποιημένη βαθμολογία
		σε ικανοποιητικό βαθμό
		μη ικανοποιητικός

Μπορείτε να αυξήσετε τη βαθμολογία σας και, ως εκ τούτου, τον βαθμό εξέτασης στην τελική εξέταση (η γραπτή εργασία για το υλικό του κλάδου στο σύνολό του πραγματοποιείται κατά τη διάρκεια της συνεδρίας εξέτασης), η μέγιστη βαθμολογία είναι 30, η ελάχιστη είναι 16. Αυτά τα σημεία συνοψίζονται με τους βαθμούς που αποκτήθηκαν για όλες τις ενότητες του κλάδου. Ταυτόχρονα, για να αυξηθεί ο βαθμός σε «καλό» για τις εξετάσεις, ο μαθητής πρέπει να συγκεντρώσει τουλάχιστον 21 βαθμούς, σε «άριστα» ─ τουλάχιστον 26 βαθμούς. Για τις ειδικότητες όπου η πίστωση προβλέπεται από πειθαρχία, η βαθμολογία δεν αυξάνεται. Οι μαθητές που έχουν βαθμολογία στο εύρος 0-59 μέχρι την έναρξη της συνεδρίας εξέτασης αποκτούν τον ελάχιστο απαιτούμενο βαθμό για να αποκτήσουν θετικό βαθμό στον κλάδο, επαναλαμβάνοντας γεγονότα ελέγχου που δεν είχαν πιστωθεί νωρίτερα για μεμονωμένες ενότητες. Ταυτόχρονα, οι μαθητές που δεν έχουν βάσιμο λόγο μπορούν τελικά (μέχρι το τέλος της εξεταστικής περιόδου) να λάβουν βαθμό όχι υψηλότερο του «ικανοποιητικού».