Έννοια της πρώτης παραγώγου. Παράγωγος συνάρτησης

Ακολουθεί ένας συνοπτικός πίνακας για ευκολία και σαφήνεια κατά τη μελέτη του θέματος.

Συνεχήςy=C Συνάρτηση ισχύος y = x p (x p)" = p x p - 1	Εκθετικη συναρτησηy = x (a x)" = a x ln a Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = e x (ε χ)" = ε χ
λογαριθμική συνάρτηση (log a x) " = 1 x ln a Ειδικότερα, ότανα = εέχουμε y = log x (ln x)" = 1 x	Τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2	Υπερβολικές συναρτήσεις (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Ας αναλύσουμε πώς προέκυψαν οι τύποι του υποδεικνυόμενου πίνακα ή, με άλλα λόγια, θα αποδείξουμε την παραγωγή τύπων για παραγώγους για κάθε τύπο συνάρτησης.

Παράγωγος σταθεράς

Απόδειξη 1

Για να εξάγουμε αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε ως βάση τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Χρησιμοποιούμε x 0 = x, όπου Χπαίρνει την τιμή οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ή, με άλλα λόγια, Χείναι οποιοσδήποτε αριθμός από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = C . Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος ως Δ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Σημειώστε ότι η παράσταση 0 ∆ x εμπίπτει στο οριακό πρόσημο. Δεν είναι η αβεβαιότητα του «μηδέν διαιρούμενο με το μηδέν», αφού ο αριθμητής δεν περιέχει μια απειροελάχιστη τιμή, αλλά το μηδέν. Με άλλα λόγια, η αύξηση μιας σταθερής συνάρτησης είναι πάντα μηδέν.

Άρα, η παράγωγος της σταθεράς συνάρτησης f (x) = C είναι ίση με μηδέν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Παράδειγμα 1

Δίνονται σταθερές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Λύση

Ας περιγράψουμε τις δεδομένες συνθήκες. Στην πρώτη συνάρτηση βλέπουμε την παράγωγο του φυσικού αριθμού 3 . Στο παρακάτω παράδειγμα, πρέπει να πάρετε την παράγωγο του ένα, όπου ένα- οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό. Το τρίτο παράδειγμα μας δίνει την παράγωγο του παράλογου αριθμού 4 . 13 7 22 , το τέταρτο - η παράγωγος του μηδενός (το μηδέν είναι ακέραιος). Τέλος, στην πέμπτη περίπτωση, έχουμε την παράγωγο του ρητού κλάσματος - 8 7 .

Απάντηση:οι παράγωγοι των δεδομένων συναρτήσεων είναι μηδέν για κάθε πραγματικό Χ(σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος

Ανατρέχουμε στη συνάρτηση ισχύος και στον τύπο για την παράγωγό της, που έχει τη μορφή: (x p) " = p x p - 1, όπου ο εκθέτης Πείναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.

Απόδειξη 2

Εδώ είναι η απόδειξη του τύπου όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός: p = 1 , 2 , 3 , …

Και πάλι, βασιζόμαστε στον ορισμό του παραγώγου. Ας γράψουμε το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης ισχύος προς την αύξηση του ορίσματος:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Για να απλοποιήσουμε την έκφραση στον αριθμητή, χρησιμοποιούμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Με αυτόν τον τρόπο:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι φυσικός αριθμός.

Απόδειξη 3

Για να δώσει αποδείξεις για την περίπτωση όταν Π-οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό εκτός από το μηδέν, χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο (εδώ θα πρέπει να κατανοήσουμε τη διαφορά από την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης). Για να έχουμε μια πληρέστερη κατανόηση, είναι επιθυμητό να μελετήσουμε την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης και επιπλέον να ασχοληθούμε με την παράγωγο μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης και την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Εξετάστε δύο περιπτώσεις: πότε Χθετικό και πότε Χείναι αρνητικές.

Άρα x > 0 . Τότε: x p > 0 . Παίρνουμε τον λογάριθμο της ισότητας y \u003d x p στη βάση e και εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Σε αυτό το στάδιο, έχει ληφθεί μια σιωπηρά καθορισμένη συνάρτηση. Ας ορίσουμε την παράγωγό του:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Τώρα εξετάζουμε την περίπτωση όταν Χ-ένας αρνητικός αριθμός.

Εάν ο δείκτης Πείναι ένας ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται επίσης για το x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Μετά xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Αν ένα Πείναι ένας περιττός αριθμός, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για το x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Η τελευταία μετάβαση είναι δυνατή γιατί αν Πείναι μονός αριθμός, λοιπόν σ - 1είτε ζυγός αριθμός είτε μηδέν (για p = 1), επομένως, για αρνητικό Χη ισότητα (- x) p - 1 = x p - 1 είναι αληθής.

Έτσι, αποδείξαμε τον τύπο για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος για κάθε πραγματικό p.

Παράδειγμα 2

Δεδομένες λειτουργίες:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Προσδιορίστε τα παράγωγά τους.

Λύση

Μετατρέπουμε μέρος των δεδομένων συναρτήσεων σε μορφή πίνακα y = x p , με βάση τις ιδιότητες του βαθμού, και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Απόδειξη 4

Εξάγουμε τον τύπο για την παράγωγο, με βάση τον ορισμό:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Έχουμε αβεβαιότητα. Για να το επεκτείνουμε, γράφουμε μια νέα μεταβλητή z = a ∆ x - 1 (z → 0 ως ∆ x → 0). Στην περίπτωση αυτή a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Για την τελευταία μετάβαση, χρησιμοποιείται ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στο αρχικό όριο:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Θυμηθείτε το δεύτερο υπέροχο όριο και μετά παίρνουμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Παράδειγμα 3

Δίνονται οι εκθετικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Πρέπει να βρούμε τα παράγωγά τους.

Λύση

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης και τις ιδιότητες του λογάριθμου:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Απόδειξη 5

Παρουσιάζουμε την απόδειξη του τύπου για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης για οποιαδήποτε Χστον τομέα ορισμού και τυχόν έγκυρες τιμές της βάσης α του λογαρίθμου. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, παίρνουμε:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Μπορεί να φανεί από την καθορισμένη αλυσίδα ισοτήτων ότι οι μετασχηματισμοί χτίστηκαν με βάση την ιδιότητα του λογάριθμου. Το όριο ισότητας ∆ x → 0 1 + ∆ x x ∆ x = e είναι αληθές σύµφωνα µε το δεύτερο αξιόλογο όριο.

Παράδειγμα 4

Δίνονται λογαριθμικές συναρτήσεις:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των παραγώγων τους.

Λύση

Ας εφαρμόσουμε τον παραγόμενο τύπο:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Άρα η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου διαιρείται με Χ.

Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Απόδειξη 6

Χρησιμοποιούμε μερικούς τριγωνομετρικούς τύπους και το πρώτο υπέροχο όριο για να βγάλουμε τον τύπο για την παράγωγο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Σύμφωνα με τον ορισμό της παραγώγου της συνάρτησης ημιτόνου, παίρνουμε:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Ο τύπος για τη διαφορά των ημιτόνων θα μας επιτρέψει να εκτελέσουμε τις ακόλουθες ενέργειες:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Τέλος, χρησιμοποιούμε το πρώτο υπέροχο όριο:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Άρα η παράγωγος της συνάρτησης αμαρτία xθα είναι cos x.

Θα αποδείξουμε επίσης τον τύπο για την παράγωγο συνημιτόνου με τον ίδιο τρόπο:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Εκείνοι. η παράγωγος της συνάρτησης cos x θα είναι – αμαρτία x.

Εξάγουμε τους τύπους για τις παραγώγους της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης με βάση τους κανόνες διαφοροποίησης:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Παράγωγοι αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η ενότητα για την παράγωγο των αντίστροφων συναρτήσεων παρέχει εκτενείς πληροφορίες σχετικά με την απόδειξη των τύπων για τις παραγώγους του τόξου, της αρκοσίνης, της τοξοεφαπτομένης και της τοξοεφαπτομένης, επομένως δεν θα αντιγράψουμε το υλικό εδώ.

Παράγωγοι υπερβολικών συναρτήσεων

Απόδειξη 7

Μπορούμε να εξαγάγουμε τύπους για τις παραγώγους του υπερβολικού ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης χρησιμοποιώντας τον κανόνα διαφοροποίησης και τον τύπο για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μπορεί να αφαιρεθεί από την πινακίδα παράγωγο:

(af(x)"=af" (x).

Για παράδειγμα:

Παράγωγο αλγεβρικού αθροίσματοςαρκετές συναρτήσεις (που λαμβάνονται σε σταθερό αριθμό) ισούται με το αλγεβρικό άθροισμά τους παράγωγα:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Για παράδειγμα:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( παράγωγοτελευταίος όροςη εξίσωση είναι μηδέν).

Αν ένα παράγωγο συνάρτησηςΤο g είναι μη μηδενικό, τότε έχει και ο λόγος f/g τελικό παράγωγο. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να γραφτεί ως:

.

Αφήνω λειτουργίες y = f(x) και y = g(x) έχουν πεπερασμένες παράγωγοιστο σημείο x 0 . Επειτα λειτουργίες f ± g και f g έχουν επίσης τελικά παράγωγα σεΑυτό σημείο. Τότε παίρνουμε:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

Αφήνω λειτουργία y = f(x) έχει τελική παράγωγος σε ένα σημείο x 0 , η συνάρτηση z = s(y) έχει πεπερασμένη παράγωγο στο σημείο y 0 = f(x 0).

Επειτα σύνθετη λειτουργία z = s (f(x)) έχει επίσης πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο. Αυτό μπορεί να γραφτεί με τη μορφή:

.

Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης.

Έστω η συνάρτηση y = f(x). αντίστροφη συνάρτηση x = g(y) σε μερικά διάστημα(α, β) και υπάρχει ένα μη μηδενικό τελικό παράγωγοαυτή η συνάρτηση στο σημείο x 0 , που ανήκει τομείς, δηλ. x 0 ∈ (a, b).

Επειτα αντίστροφη συνάρτησηΕχει παράγωγοστο σημείο y 0 = f(x 0):

.

Παράγωγο άρρητης συνάρτησης.

Αν ένα λειτουργία y = η f(x) ορίζεται σιωπηρά εξίσωση F(x, y(x)) = 0, τότε είναι παράγωγοβρίσκεται από την συνθήκη:

.

Λένε ότι λειτουργία y = f(x) που σιωπηρά, Αν αυτή πανομοιότυπαικανοποιεί τη σχέση:

όπου F(x, y) είναι κάποια συνάρτηση δύο ορισμάτων.

Παράγωγος συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά.

Αν ένα λειτουργία y = f(x) δίνεται παραμετρικά χρησιμοποιώντας το εξεταζόμενο

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα από τα πιο δύσκολα θέματα στο σχολικό πρόγραμμα. Δεν θα απαντήσει κάθε πτυχιούχος στην ερώτηση τι είναι παράγωγο.

Αυτό το άρθρο εξηγεί απλά και ξεκάθαρα τι είναι παράγωγο και γιατί χρειάζεται.. Δεν θα προσπαθήσουμε τώρα για μαθηματική αυστηρότητα παρουσίασης. Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε το νόημα.

Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

Η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει γραφήματα τριών συναρτήσεων. Ποιο πιστεύετε ότι μεγαλώνει πιο γρήγορα;

Η απάντηση είναι προφανής - η τρίτη. Έχει τον υψηλότερο ρυθμό μεταβολής, δηλαδή τη μεγαλύτερη παράγωγο.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.

Ο Kostya, ο Grisha και ο Matvey έπιασαν δουλειά ταυτόχρονα. Ας δούμε πώς άλλαξαν τα εισοδήματά τους κατά τη διάρκεια του έτους:

Μπορείτε να δείτε τα πάντα στο γράφημα αμέσως, σωστά; Το εισόδημα του Kostya έχει υπερδιπλασιαστεί σε έξι μήνες. Και το εισόδημα του Γκρίσα αυξήθηκε επίσης, αλλά λίγο. Και το εισόδημα του Ματθαίου μειώθηκε στο μηδέν. Οι συνθήκες εκκίνησης είναι ίδιες, αλλά ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης, δηλ. παράγωγο, - διαφορετικό. Όσο για τον Matvey, το παράγωγο του εισοδήματός του είναι γενικά αρνητικό.

Διαισθητικά, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης. Πώς όμως το κάνουμε;

Αυτό που πραγματικά κοιτάμε είναι πόσο απότομα ανεβαίνει (ή κάτω) το γράφημα της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει το y με το x. Προφανώς, η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική τιμή της παραγώγου - δηλαδή μπορεί να αλλάζει πιο γρήγορα ή πιο αργά.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης συμβολίζεται με .

Ας δείξουμε πώς μπορείτε να βρείτε χρησιμοποιώντας το γράφημα.

Σχεδιάζεται ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πάρτε ένα σημείο πάνω του με μια τετμημένη. Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Θέλουμε να αξιολογήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα της συνάρτησης. Μια βολική αξία για αυτό είναι εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Παρακαλώ σημειώστε - ως γωνία κλίσης της εφαπτομένης, παίρνουμε τη γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Μερικές φορές οι μαθητές ρωτούν ποια είναι η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που έχει το μόνο κοινό σημείο με το γράφημα αυτής της ενότητας, επιπλέον, όπως φαίνεται στο σχήμα μας. Μοιάζει με εφαπτομένη σε κύκλο.

Ας βρούμε . Θυμόμαστε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Από τρίγωνο:

Βρήκαμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας το γράφημα χωρίς καν να γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης. Τέτοιες εργασίες βρίσκονται συχνά στις εξετάσεις στα μαθηματικά κάτω από τον αριθμό.

Υπάρχει μια άλλη σημαντική συσχέτιση. Θυμηθείτε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωση

Η ποσότητα σε αυτή την εξίσωση ονομάζεται κλίση ευθείας γραμμής. Είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.

.

Το καταλαβαίνουμε

Ας θυμηθούμε αυτόν τον τύπο. Εκφράζει τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης που σχεδιάζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Με άλλα λόγια, η παράγωγος είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης.

Είπαμε ήδη ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να έχει διαφορετικές παραγώγους σε διαφορετικά σημεία. Ας δούμε πώς σχετίζεται η παράγωγος με τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα κάποιας συνάρτησης. Αφήστε αυτή τη συνάρτηση να αυξηθεί σε ορισμένες περιοχές και να μειωθεί σε άλλες και με διαφορετικούς ρυθμούς. Και αφήστε αυτή τη συνάρτηση να έχει μέγιστους και ελάχιστους πόντους.

Σε ένα σημείο, η συνάρτηση αυξάνεται. Η εφαπτομένη στο γράφημα, που σχεδιάζεται στο σημείο, σχηματίζει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα. Άρα η παράγωγος είναι θετική στο σημείο.

Στο σημείο η λειτουργία μας μειώνεται. Η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα. Εφόσον η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητική, η παράγωγος στο σημείο είναι αρνητική.

Να τι συμβαίνει:

Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται, η παράγωγός της είναι θετική.

Αν μειωθεί, η παράγωγός του είναι αρνητική.

Και τι θα γίνει στα μέγιστα και ελάχιστα σημεία; Βλέπουμε ότι στο (μέγιστο σημείο) και (ελάχιστο σημείο) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Επομένως, η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν και η παράγωγος είναι επίσης μηδέν.

Το σημείο είναι το μέγιστο σημείο. Σε αυτό το σημείο, η αύξηση της συνάρτησης αντικαθίσταται από μείωση. Κατά συνέπεια, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει στο σημείο από «συν» σε «πλην».

Στο σημείο - το ελάχιστο σημείο - η παράγωγος είναι επίσης ίση με μηδέν, αλλά το πρόσημά της αλλάζει από "μείον" σε "συν".

Συμπέρασμα: με τη βοήθεια της παραγώγου, μπορείτε να μάθετε όλα όσα μας ενδιαφέρουν για τη συμπεριφορά της συνάρτησης.

Εάν η παράγωγος είναι θετική, τότε η συνάρτηση αυξάνεται.

Εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα.

Στο μέγιστο σημείο, η παράγωγος είναι μηδέν και αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον.

Στο ελάχιστο σημείο, η παράγωγος είναι επίσης μηδέν και αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν.

Γράφουμε αυτά τα ευρήματα με τη μορφή πίνακα:

	αυξάνει	μέγιστο σημείο	μειώνεται	ελάχιστο σημείο	αυξάνει
+	0	-	0	+

Ας κάνουμε δύο μικρές διευκρινίσεις. Θα χρειαστείτε ένα από αυτά όταν λύνετε προβλήματα εξετάσεων. Ένα άλλο - το πρώτο έτος, με μια πιο σοβαρή μελέτη συναρτήσεων και παραγώγων.

Μια περίπτωση είναι δυνατή όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο είναι ίση με μηδέν, αλλά η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό το σημείο. Αυτό το λεγόμενο :

Σε ένα σημείο, η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση είναι οριζόντια και η παράγωγος είναι μηδέν. Ωστόσο, πριν από το σημείο η συνάρτηση αυξήθηκε - και μετά το σημείο συνεχίζει να αυξάνεται. Το πρόσημο του παραγώγου δεν αλλάζει - έχει παραμείνει θετικό όπως ήταν.

Συμβαίνει επίσης στο σημείο μέγιστου ή ελάχιστου να μην υπάρχει η παράγωγος. Στο γράφημα, αυτό αντιστοιχεί σε μια απότομη διακοπή, όταν είναι αδύνατο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο.

Αλλά πώς να βρείτε την παράγωγο εάν η συνάρτηση δεν δίνεται από ένα γράφημα, αλλά από έναν τύπο; Σε αυτή την περίπτωση ισχύει

Είναι απολύτως αδύνατο να λυθούν φυσικά προβλήματα ή παραδείγματα στα μαθηματικά χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , δίνεται σε κάποιο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή επιχειρημάτων - διαφορά των τιμών του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Η αλλαγή ή η αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Ποιο όμως:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.

Η φυσική σημασία του παραγώγου: η χρονική παράγωγος της διαδρομής είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια, όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι ένα ιδιωτικό μονοπάτι. x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης κάθε φορά t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: βγάλτε τη σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Επιπλέον, πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, λάβετε κατά κανόνα - αν μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση, φροντίστε να απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Τρίτος κανόνας: η παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Εδώ είναι σημαντικό να πούμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα, συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, εξετάζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας Τέταρτος: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Για οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με τη φοιτητική υπηρεσία. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε τον πιο δύσκολο έλεγχο και να αντιμετωπίσετε εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε ασχοληθεί ποτέ με τον υπολογισμό των παραγώγων στο παρελθόν.