ΟΡΙΣΜΟΣ

Η αλγεβρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού είναι να γράψετε τον μιγαδικό αριθμό \(\ z \) ως \(\ z=x+i y \), όπου \(\ x \) και \(\ y \) είναι πραγματικοί αριθμοί, \ (\ i \ ) είναι μια φανταστική μονάδα που ικανοποιεί τη σχέση \(\ i^(2)=-1 \)

Ο αριθμός \(\ x \) ονομάζεται πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού \(\ z \) και συμβολίζεται \(\ x=\όνομα χειριστή(Re) z \)

Ο αριθμός \(\ y \) ονομάζεται φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού \(\ z \) και συμβολίζεται \(\ y=\όνομα χειριστή(Im) z \)

Για παράδειγμα:

Ο μιγαδικός αριθμός \(\ z=3-2 i \) και ο σχετικός αριθμός \(\ \overline(z)=3+2 i \) γράφονται σε αλγεβρική μορφή.

Η φανταστική τιμή \(\ z=5 i \) γράφεται σε αλγεβρική μορφή.

Επιπλέον, ανάλογα με το πρόβλημα που επιλύεται, μπορείτε να μετατρέψετε έναν μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρικό ή εκθετικό αριθμό.

Μια εργασία

Γράψτε τον αριθμό \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) σε αλγεβρική μορφή, βρείτε τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του, καθώς και τον συζυγή του αριθμό.

Λύση.

Εφαρμόζοντας τον όρο διαίρεση κλασμάτων και τον κανόνα πρόσθεσης κλασμάτων, παίρνουμε:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4) i \)

Επομένως, το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) είναι ο αριθμός \(\ x=\όνομα χειριστή(Re) z= \frac(59) (4) \) , το φανταστικό μέρος είναι ένας αριθμός \(\ y=\όνομα χειριστή(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Συζευγμένος αριθμός: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Απάντηση

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \όνομα χειριστή(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \όνομα χειριστή(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Δράσεις μιγαδικών αριθμών σε σύγκριση αλγεβρικών μορφών

Δύο μιγαδικοί αριθμοί \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) είναι ίσοι αν \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) δηλ. Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος τους είναι ίσα.

Μια εργασία

Προσδιορίστε για ποιους x και y δύο μιγαδικοί αριθμοί \(\ z_(1)=13+y i \) και \(\ z_(2)=x+5 i \) είναι ίσοι.

Λύση

Εξ ορισμού, δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι αν το πραγματικό και το φανταστικό μέρος τους είναι ίσα, δηλ. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Απάντηση \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

πρόσθεση

Η πρόσθεση μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) γίνεται με άμεση άθροιση των πραγματικών και φανταστικών μερών:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\αριστερά(x_(1)+x_(2)\δεξιά) +i\αριστερά(y_(1)+y_(2)\δεξιά)\)

Μια εργασία

Βρείτε το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Λύση.

Το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού \(\ z_(1)=-7+5 i \) είναι ο αριθμός \(\ x_(1)=\όνομα χειριστή(Re) z_(1)=-7 \) , ο φανταστικός μέρος είναι ο αριθμός \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του μιγαδικού αριθμού \(\ z_(2)=13-4 i \) είναι \(\ x_(2)=\όνομα χειριστή(Re) z_(2)=13 \) και \(\ y_ (2 )=\όνομα χειριστή(Im) z_(2)=-4 \) .

Επομένως, το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών είναι:

\(\ z_(1)+z_(2)=\αριστερά(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Απάντηση

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Διαβάστε περισσότερα σχετικά με την προσθήκη μιγαδικών αριθμών σε ξεχωριστό άρθρο: Προσθήκη μιγαδικών αριθμών.

Αφαίρεση

Η αφαίρεση των μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) και \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) γίνεται απευθείας αφαίρεση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\αριστερά(x_(2)+i y_(2)\δεξιά)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

Μια εργασία

βρείτε τη διαφορά των μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Λύση.

Βρείτε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :

\(\ x_(1)=\όνομα χειριστή(Re) z_(1)=17, x_(2)=\όνομα χειριστή(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\όνομα χειριστή(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\όνομα χειριστή(Im) z_(2)=5 \)

Άρα η διαφορά των μιγαδικών αριθμών είναι:

\(\ z_(1)-z_(2)=\αριστερά(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)

Απάντηση

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) και \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) εκτελείται απευθείας με δημιουργώντας αριθμούς σε αλγεβρική μορφή, λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα της φανταστικής μονάδας \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\δεξιά)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\δεξιά) \)

Μια εργασία

Βρείτε το γινόμενο μιγαδικών αριθμών \(\ z_(1)=1-5 i \)

Λύση.

Σύμπλεγμα μιγαδικών αριθμών:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Απάντηση

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) διαχωρισμός

Ο συντελεστής μιγαδικού αριθμού \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) και \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) προσδιορίζεται πολλαπλασιάζοντας το αριθμητής και παρονομαστής στον συζευγμένο αριθμό με παρονομαστή:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\αριστερά (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\αριστερά (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2)+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Μια εργασία

Για να διαιρέσουμε τον αριθμό 1 με τον μιγαδικό αριθμό \(\ z=1+2 i \).

Λύση.

Εφόσον το φανταστικό μέρος του πραγματικού αριθμού 1 είναι μηδέν, ο παράγοντας είναι:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Απάντηση

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών, που συνήθως συμβολίζονται με . Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως επίσημο άθροισμα, όπου και είναι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια φανταστική μονάδα.

Η γραφή ενός μιγαδικού αριθμού με τη μορφή , , ονομάζεται αλγεβρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού.

Ιδιότητες μιγαδικών αριθμών. Γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικού αριθμού.

Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς που δίνονται σε αλγεβρική μορφή:

Εξετάστε τους κανόνες με τους οποίους εκτελούνται αριθμητικές πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.

Αν δίνονται δύο μιγαδικοί αριθμοί α = a + bi και β = c + di, τότε

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (έντεκα)

Αυτό προκύπτει από τον ορισμό των πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης δύο διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών (βλ. τύπους (1) και (3)). Λάβαμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση μιγαδικών αριθμών: για να προσθέσετε δύο μιγαδικούς αριθμούς, πρέπει να προσθέσετε χωριστά τα πραγματικά τους μέρη και, κατά συνέπεια, τα φανταστικά μέρη. για να αφαιρέσουμε έναν άλλο από έναν μιγαδικό αριθμό, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη τους αντίστοιχα.

Ο αριθμός - α \u003d - a - bi ονομάζεται αντίθετος του αριθμού α \u003d a + bi. Το άθροισμα αυτών των δύο αριθμών είναι μηδέν: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Για να λάβουμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού για μιγαδικούς αριθμούς, χρησιμοποιούμε τον τύπο (6), δηλαδή το γεγονός ότι i2 = -1. Λαμβάνοντας υπόψη αυτόν τον λόγο, βρίσκουμε (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, δηλ.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Αυτός ο τύπος αντιστοιχεί στον τύπο (2), ο οποίος καθόρισε τον πολλαπλασιασμό των διατεταγμένων ζευγών πραγματικών αριθμών.

Σημειώστε ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο μιγαδικών συζυγών αριθμών είναι πραγματικοί αριθμοί. Πράγματι, αν α = a + bi, = a – bi, τότε α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, δηλ.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Κατά τη διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών σε αλγεβρική μορφή, θα πρέπει να περιμένει κανείς ότι το πηλίκο εκφράζεται και με έναν αριθμό του ίδιου τύπου, δηλ. α/β = u + vi, όπου u, v R. Ας εξαγάγουμε έναν κανόνα για τη διαίρεση μιγαδικών αριθμοί. Έστω οι αριθμοί α = a + bi, β = c + di και β ≠ 0, δηλ. c2 + d2 ≠ 0. Η τελευταία ανίσωση σημαίνει ότι c και d δεν εξαφανίζονται ταυτόχρονα (η περίπτωση που c = 0, d = 0). Εφαρμόζοντας τον τύπο (12) και τον δεύτερο των ισοτήτων (13), βρίσκουμε:

Επομένως, το πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών δίνεται από:

τον αντίστοιχο τύπο (4).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που προκύπτει για τον αριθμό β = c + di, μπορείτε να βρείτε το αντίστροφο του β-1 = 1/β. Υποθέτοντας στον τύπο (14) a = 1, b = 0, λαμβάνουμε

Αυτός ο τύπος καθορίζει το αντίστροφο ενός δεδομένου μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού. αυτός ο αριθμός είναι επίσης σύνθετος.

Για παράδειγμα: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς σε αλγεβρική μορφή.

55. Επιχείρημα μιγαδικού αριθμού. Τριγωνομετρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού (έξοδος).

Arg.comm.number. – μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του πραγματικού άξονα Χ από το διάνυσμα που αντιπροσωπεύει τον δεδομένο αριθμό.

φόρμουλα τρίγωνου. Αριθμοί: ,

Μιγαδικοί αριθμοί

Φανταστικο και μιγαδικοί αριθμοί. τετμημένη και τεταγμένη

μιγαδικός αριθμός. Σύζευξη μιγαδικών αριθμών.

Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς. Γεωμετρικός

αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών. σύνθετο επίπεδο.

Συντελεστής και όρισμα μιγαδικού αριθμού. τριγωνομετρική

μορφή μιγαδικού αριθμού. Λειτουργίες με σύνθετο

αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή. Φόρμουλα Moivre.

Βασικές πληροφορίες για φανταστικο και μιγαδικοί αριθμοί δίνονται στην ενότητα «Φανταστικοί και μιγαδικοί αριθμοί». Η ανάγκη για αυτούς τους αριθμούς νέου τύπου εμφανίστηκε κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων για την περίπτωσηρε< 0 (здесь ρεείναι η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης). Για πολύ καιρό αυτοί οι αριθμοί δεν έβρισκαν φυσική χρήση, γι' αυτό και ονομάζονταν «φανταστικοί» αριθμοί. Ωστόσο, τώρα χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως σε διάφορους τομείς της φυσικής.

και τεχνολογία: ηλεκτρολογία, υδρο- και αεροδυναμική, η θεωρία της ελαστικότητας κ.λπ.

Μιγαδικοί αριθμοί γράφονται ως:α+δι. Εδώ ένακαι σι – πραγματικούς αριθμούς , ένα Εγώ – φανταστική μονάδα.μι. Εγώ 2 = –1. Αριθμός έναπου ονομάζεται τετμημένη, ένα β - τεταγμένημιγαδικός αριθμόςα + β .Δύο μιγαδικοί αριθμοία+δικαι α-μπι που ονομάζεται κλίνωμιγαδικοί αριθμοί.

Βασικές συμφωνίες:

1. Πραγματικός αριθμόςέναμπορεί επίσης να γραφτεί στη φόρμαμιγαδικός αριθμός:ένα + 0 Εγώή ένα - 0 Εγώ. Για παράδειγμα, καταχωρήσεις 5 + 0Εγώκαι 5-0 Εγώσημαίνει τον ίδιο αριθμό 5 .

2. Μιγαδικός αριθμός 0 + διςπου ονομάζεται καθαρά φανταστικό αριθμός. Εγγραφήδιςσημαίνει το ίδιο με το 0 + δις.

3. Δύο μιγαδικοί αριθμοία+δι καιγ + διθεωρούνται ίσα ανα = γκαι b = d. Σε διαφορετική περίπτωση οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι ίσοι.

Πρόσθεση. Το άθροισμα των μιγαδικών αριθμώνα+δικαι γ + διονομάζεται μιγαδικός αριθμός (α+γ ) + (β+δ ) Εγώ .Με αυτόν τον τρόπο, όταν προστίθεται οι μιγαδικοί αριθμοί, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους προστίθενται χωριστά.

Αυτός ο ορισμός ακολουθεί τους κανόνες για την αντιμετώπιση συνηθισμένων πολυωνύμων.

Αφαίρεση. Η διαφορά μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμώνα+δι(μειωμένο) και γ + δι(αφαιρείται) ονομάζεται μιγαδικός αριθμός (μετα Χριστον ) + (β-δ ) Εγώ .

Με αυτόν τον τρόπο, κατά την αφαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους αφαιρούνται χωριστά.

Πολλαπλασιασμός. Το γινόμενο μιγαδικών αριθμώνα+δικαι γ + δι ονομάζεται μιγαδικός αριθμός.

(ac-bd ) + (ad+bc ) Εγώ .Αυτός ο ορισμός προκύπτει από δύο απαιτήσεις:

1) αριθμοί α+δικαι γ + διπρέπει να πολλαπλασιάζονται σαν αλγεβρικάδιώνυμα,

2) αριθμός Εγώέχει την κύρια ιδιοκτησία:Εγώ 2 = – 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( α + δι )(α-μπι) = α 2 +β 2 . Συνεπώς, δουλειά

δύο συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι με τον πραγματικό

θετικός αριθμός.

Διαίρεση. Διαιρέστε έναν μιγαδικό αριθμόα+δι (διαιρετέο) σε άλλογ + δι(διαιρών) - σημαίνει να βρεις τον τρίτο αριθμόe + fi(συνομιλία), η οποία, όταν πολλαπλασιάζεται με διαιρέτηγ + δι, που έχει ως αποτέλεσμα το μέρισμαα + β .

Εάν ο διαιρέτης δεν είναι μηδέν, η διαίρεση είναι πάντα δυνατή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εύρεση (8+Εγώ ) : (2 – 3 Εγώ) .

Λύση. Ας ξαναγράψουμε αυτόν τον λόγο ως κλάσμα:

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με 2 + 3Εγώ

Και Αφού εκτελέσουμε όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία στην αριθμητική γραμμή:

Εδώ είναι η ουσία ΕΝΑσημαίνει αριθμός -3, τελείασιείναι ο αριθμός 2, και Ο- μηδέν. Αντίθετα, οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Για αυτό, επιλέγουμε ορθογώνιες (καρτεσιανές) συντεταγμένες με τις ίδιες κλίμακες και στους δύο άξονες. Στη συνέχεια ο μιγαδικός αριθμόςα+δι θα παριστάνεται με μια τελεία Π με τετμημένη α και τεταγμένη β (βλ. εικ.). Αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται σύνθετο επίπεδο .

μονάδα μέτρησης μιγαδικός αριθμός ονομάζεται μήκος του διανύσματοςΕΠ, που απεικονίζει έναν μιγαδικό αριθμό στη συντεταγμένη ( περιεκτικός) αεροπλάνο. Συντελεστής μιγαδικού αριθμούα+δισυμβολίζεται με | α+δι| ή επιστολή r

Θεωρήστε μια τετραγωνική εξίσωση.

Ας ορίσουμε τις ρίζες του.

Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι -1. Αν όμως ο τύπος ορίζει τον τελεστή Εγώως φανταστική μονάδα, τότε η λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή . Εν και - μιγαδικοί αριθμοί, στους οποίους -1 είναι το πραγματικό μέρος, 2 ή στη δεύτερη περίπτωση -2 είναι το φανταστικό μέρος. Το φανταστικό μέρος είναι επίσης πραγματικός (πραγματικός) αριθμός. Το φανταστικό μέρος πολλαπλασιασμένο με τη φανταστική μονάδα σημαίνει ήδη φανταστικός αριθμός.

Γενικά, ένας μιγαδικός αριθμός έχει τη μορφή

z = Χ + iy ,

όπου x, yείναι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια φανταστική μονάδα. Σε έναν αριθμό εφαρμοσμένων επιστημών, για παράδειγμα, στην ηλεκτρική μηχανική, την ηλεκτρονική, τη θεωρία σημάτων, η φανταστική μονάδα συμβολίζεται με ι. Πραγματικοί αριθμοί x = Re(z)και y=είμαι(z)που ονομάζεται πραγματικά και φανταστικά μέρηαριθμοί z.Η έκφραση ονομάζεται αλγεβρική μορφήσημειογραφία ενός μιγαδικού αριθμού.

Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός είναι μια ειδική περίπτωση ενός μιγαδικού αριθμού στη μορφή . Ένας φανταστικός αριθμός είναι επίσης μια ειδική περίπτωση ενός μιγαδικού αριθμού. .

Ορισμός του συνόλου των μιγαδικών αριθμών Γ

Αυτή η έκφραση έχει ως εξής: set ΑΠΟ, που αποτελείται από στοιχεία τέτοια ώστε Χκαι yανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Rκαι είναι η φανταστική μονάδα. Σημειώστε ότι κ.λπ.

Δύο μιγαδικοί αριθμοί και είναι ίσα αν και μόνο αν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη τους είναι ίσα, δηλ. και .

Οι μιγαδικοί αριθμοί και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην επιστήμη και την τεχνολογία, ιδίως στη μηχανική, την ανάλυση και τον υπολογισμό κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος, την αναλογική ηλεκτρονική, τη θεωρία και επεξεργασία σημάτων, τη θεωρία αυτόματου ελέγχου και άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες.

1. Αριθμητική μιγαδικών αριθμών

Η πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών συνίσταται στην πρόσθεση των πραγματικών και φανταστικών μερών τους, δηλ.

Αντίστοιχα, η διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών

Μιγαδικός αριθμός που ονομάζεται συγκρότημα κλίνωαριθμός z=x +i.y.

Οι μιγαδικοί συζυγείς αριθμοί z και z * διαφέρουν ως προς τα πρόσημα του φανταστικού μέρους. Είναι προφανές ότι

.

Οποιαδήποτε ισότητα μεταξύ σύνθετων εκφράσεων παραμένει έγκυρη αν σε αυτήν την ισότητα παντού Εγώαντικαταστάθηκε από - Εγώ, δηλ. πηγαίνετε στην ισότητα των συζευγμένων αριθμών. Αριθμοί Εγώκαι – Εγώείναι αλγεβρικά δυσδιάκριτα γιατί .

Το γινόμενο (πολλαπλασιασμός) δύο μιγαδικών αριθμών μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών:

Παράδειγμα:

1. Σύνθετο αεροπλάνο

Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Ας ορίσουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο (x, y).

στον άξονα Βόδιθα τακτοποιήσουμε τα πραγματικά μέρη Χ, ονομάζεται πραγματικός (πραγματικός) άξονας, στον άξονα Oy– φανταστικά μέρη yμιγαδικοί αριθμοί. Φέρει το όνομα φανταστικός άξονας. Επιπλέον, κάθε μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου και ένα τέτοιο επίπεδο ονομάζεται σύνθετο επίπεδο. σημείο ΑΛΛΑτο μιγαδικό επίπεδο θα αντιστοιχεί στο διάνυσμα ΟΑ.

Αριθμός Χπου ονομάζεται τετμημένημιγαδικός αριθμός, αριθμός y – τεταγμένη.

Ένα ζεύγος μιγαδικών συζευγμένων αριθμών εμφανίζεται ως κουκκίδες που βρίσκονται συμμετρικά γύρω από τον πραγματικό άξονα.

Αν στο αεροπλάνο σετ πολικό σύστημα συντεταγμένων, τότε κάθε μιγαδικός αριθμός zκαθορίζεται από πολικές συντεταγμένες. Εν μονάδα μέτρησηςαριθμοί είναι η πολική ακτίνα του σημείου και η γωνία - το όρισμα της πολικής του γωνίας ή μιγαδικού αριθμού z.

Συντελεστής μιγαδικού αριθμού πάντα μη αρνητικό. Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μοναδικά. Η κύρια τιμή του επιχειρήματος πρέπει να ικανοποιεί την προϋπόθεση . Κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου αντιστοιχεί επίσης στη συνολική τιμή του ορίσματος. Ορίσματα που διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 2π θεωρούνται ίσα. Το αριθμητικό όρισμα μηδέν δεν ορίζεται.

Η κύρια τιμή του επιχειρήματος καθορίζεται από τις εκφράσεις:

Είναι προφανές ότι

Εν
, .

Αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών zόπως και

που ονομάζεται τριγωνομετρική μορφήμιγαδικός αριθμός.

Παράδειγμα.

1. Η εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών

Αποσύνθεση σε Σειρά Maclaurinγια συναρτήσεις πραγματικού ορίσματος μοιάζει με:

Για την εκθετική συνάρτηση ενός μιγαδικού ορίσματος zη αποσύνθεση είναι παρόμοια

.

Η επέκταση της σειράς Maclaurin για την εκθετική συνάρτηση του φανταστικού ορίσματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Η ταυτότητα που προκύπτει ονομάζεται Φόρμουλα Euler.

Για ένα αρνητικό επιχείρημα, μοιάζει

Συνδυάζοντας αυτές τις εκφράσεις, μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για το ημίτονο και το συνημίτονο

.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler, από την τριγωνομετρική μορφή της παράστασης μιγαδικών αριθμών

διαθέσιμος εκδηλωτικός(εκθετική, πολική) μορφή μιγαδικού αριθμού, δηλ. την αναπαράστασή του στη μορφή

,

όπου - πολικές συντεταγμένες ενός σημείου με ορθογώνιες συντεταγμένες ( Χ,y).

Το συζυγές ενός μιγαδικού αριθμού γράφεται σε εκθετική μορφή ως εξής.

Για την εκθετική μορφή, είναι εύκολο να οριστούν οι ακόλουθοι τύποι πολλαπλασιασμού και διαίρεσης μιγαδικών αριθμών

Δηλαδή, σε εκθετική μορφή, το γινόμενο και η διαίρεση των μιγαδικών αριθμών είναι ευκολότερη από την αλγεβρική μορφή. Κατά τον πολλαπλασιασμό, οι ενότητες των παραγόντων πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται. Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων. Ειδικότερα, κατά τον πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού αριθμού zστο Εγώδιάνυσμα zπεριστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90

Στη διαίρεση, ο συντελεστής του αριθμητή διαιρείται με τον συντελεστή του παρονομαστή και το όρισμα του παρονομαστή αφαιρείται από το όρισμα του αριθμητή.

Χρησιμοποιώντας την εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών, μπορεί κανείς να λάβει εκφράσεις για γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Για παράδειγμα, από την ταυτότητα

χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler, μπορούμε να γράψουμε

Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος σε αυτήν την παράσταση, λαμβάνουμε εκφράσεις για το συνημίτονο και το ημίτονο του αθροίσματος των γωνιών

1. Δυνάμεις, ρίζες και λογάριθμοι μιγαδικών αριθμών

Αύξηση μιγαδικού αριθμού σε φυσική δύναμη nπαράγεται σύμφωνα με τον τύπο

Παράδειγμα. Υπολογίζω .

Φανταστείτε έναν αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή

’

Εφαρμόζοντας τον τύπο εκθέσεως, παίρνουμε

Βάζοντας την τιμή στην έκφραση r= 1, παίρνουμε το λεγόμενο Η φόρμουλα του De Moivre, με το οποίο μπορείτε να προσδιορίσετε τις εκφράσεις για τα ημίτονο και συνημίτονο πολλαπλών γωνιών.

Ρίζα nη δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού zΕχει nδιαφορετικές τιμές που καθορίζονται από την έκφραση

Παράδειγμα. Ας βρούμε .

Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε τον μιγαδικό αριθμό () στην τριγωνομετρική μορφή

.

Σύμφωνα με τον τύπο για τον υπολογισμό της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού, παίρνουμε

Λογάριθμος μιγαδικού αριθμού zείναι ένας αριθμός w, για το οποίο . Ο φυσικός λογάριθμος ενός μιγαδικού αριθμού έχει άπειρο αριθμό τιμών και υπολογίζεται από τον τύπο

Αποτελείται από πραγματικά (συνημίτονο) και φανταστικό (ημιτονοειδές) μέρη. Μια τέτοια τάση μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα μήκους U m, αρχική φάση (γωνία), περιστρεφόμενη με γωνιακή ταχύτητα ω .

Επιπλέον, αν προστεθούν σύνθετες συναρτήσεις, τότε προστίθενται τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη τους. Εάν μια σύνθετη συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά ή μια πραγματική συνάρτηση, τότε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο παράγοντα. Η διαφοροποίηση/ολοκλήρωση μιας τέτοιας πολύπλοκης συνάρτησης ανάγεται σε διαφοροποίηση/ολοκλήρωση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους.

Για παράδειγμα, η διαφοροποίηση της έκφρασης σύνθετου στρες

είναι να το πολλαπλασιάσουμε επί Το iω είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης f(z), και είναι το φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Παραδείγματα: .

Εννοια zαντιπροσωπεύεται από ένα σημείο στο μιγαδικό z επίπεδο και την αντίστοιχη τιμή w- ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο w. Όταν εμφανίζεται w = f(z)γραμμές αεροπλάνων zπερνούν στις γραμμές του αεροπλάνου w, τα σχήματα ενός επιπέδου σε σχήματα ενός άλλου, αλλά τα σχήματα των γραμμών ή των σχημάτων μπορεί να αλλάξουν σημαντικά.