Αρχικά, θα αναλύσουμε τη θεωρία και, στη συνέχεια, θα λύσουμε μερικά παραδείγματα για να ενοποιήσουμε το υλικό σχετικά με την επέκταση μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης σε ένα άθροισμα απλών κλασμάτων. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά μέθοδος αβέβαιων συντελεστώνκαι μέθοδος μερικής αξίας, καθώς και οι συνδυασμοί τους.

Τα πιο απλά κλάσματα ονομάζονται συχνά στοιχειώδη κλάσματα.

Υπάρχουν τα εξής είδη απλών κλασμάτων:

όπου A , M , N , a , p , q είναι αριθμοί και η διάκριση του παρονομαστή στα κλάσματα 3) και 4) είναι μικρότερη από το μηδέν.

Ονομάζονται κλάσματα του πρώτου, δεύτερου, τρίτου και τέταρτου τύπου, αντίστοιχα.

Γιατί να χωρίσουμε τα κλάσματα σε απλά;

Ας δώσουμε μια μαθηματική αναλογία. Συχνά πρέπει να απλοποιήσετε τη μορφή μιας έκφρασης, ώστε να μπορείτε να πραγματοποιήσετε κάποιες ενέργειες με αυτήν. Άρα, η αναπαράσταση μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης ως άθροισμα απλών κλασμάτων είναι περίπου η ίδια. Χρησιμοποιείται για την επέκταση συναρτήσεων σε σειρές ισχύος, σειρές Laurent και, φυσικά, για εύρεση ολοκληρωμάτων.

Για παράδειγμα, απαιτεί να λάβει ολοκλήρωμα μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης. Μετά την αποσύνθεση του ολοκληρώματος σε απλά κλάσματα, όλα μειώνονται σε αρκετά απλά ολοκληρώματα

Αλλά για τα ολοκληρώματα σε άλλη ενότητα.

Παράδειγμα.

Αναλύστε ένα κλάσμα στο απλούστερό του.

Λύση.

Γενικά, ο λόγος των πολυωνύμων διασπάται σε απλά κλάσματα εάν ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή. Διαφορετικά, το πολυώνυμο του αριθμητή διαιρείται πρώτα με το πολυώνυμο του παρονομαστή και μόνο τότε αποσυντίθεται η σωστή κλασματικά ορθολογική συνάρτηση.

Ας εκτελέσουμε διαίρεση με στήλη (γωνία):

Επομένως, το αρχικό κλάσμα θα έχει τη μορφή:

Έτσι, θα αποσυντεθούμε σε απλά κλάσματα

Αλγόριθμος της μεθόδου των απροσδιόριστων συντελεστών.

Πρώτα, παραγοντοποιήστε τον παρονομαστή.

Στο παράδειγμά μας, όλα είναι απλά - βγάζουμε το x από αγκύλες.


κατα δευτερον, το κλάσμα που πρέπει να επεκταθεί αντιπροσωπεύεται ως το άθροισμα απλών κλασμάτων με αβέβαιους συντελεστές.

Εδώ αξίζει να εξετάσετε τους τύπους εκφράσεων που μπορείτε να έχετε στον παρονομαστή.

Αρκετή θεωρία, η πράξη είναι ακόμα πιο ξεκάθαρη.

Ήρθε η ώρα να επιστρέψουμε στο παράδειγμα. Το κλάσμα διασπάται στο άθροισμα των απλούστερων κλασμάτων του πρώτου και του τρίτου τύπου με αόριστους συντελεστές Α , Β και Γ .


Τρίτον, φέρνουμε το προκύπτον άθροισμα απλών κλασμάτων με αόριστους συντελεστές σε κοινό παρονομαστή και ομαδοποιούμε τους όρους στον αριθμητή με τις ίδιες δυνάμεις x.



Δηλαδή, καταλήγουμε στην εξίσωση:


Για x μη μηδέν, αυτή η ισότητα μειώνεται στην ισότητα δύο πολυωνύμων


Και δύο πολυώνυμα είναι ίσα αν και μόνο αν οι συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις είναι ίδιοι.

Τέταρτος, εξισώνουμε τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις του x.

Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με αόριστους συντελεστές ως άγνωστους:


Πέμπτος, λύνουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων με όποιον τρόπο (αν χρειαστεί, δείτε το άρθρο) που σας αρέσει, βρίσκουμε αόριστους συντελεστές.


Στην έκτη, γράψτε την απάντηση.

Παρακαλώ μην είστε τεμπέλης, ελέγξτε την απάντησή σας μειώνοντας την προκύπτουσα επέκταση σε έναν κοινό παρονομαστή.

Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστώνείναι μια καθολική μέθοδος για την αποσύνθεση των κλασμάτων σε απλά.

Είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο μερικής τιμής εάν ο παρονομαστής είναι γινόμενο γραμμικών παραγόντων, δηλαδή μοιάζει με

Ας δούμε ένα παράδειγμα για να δείξουμε τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου.

Παράδειγμα.

Αναπτύξτε ένα κλάσμα στο πιο απλό.

Λύση.

Δεδομένου ότι ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή, δεν χρειάζεται να διαιρέσουμε. Στρέφουμε στην αποσύνθεση του παρονομαστή σε παράγοντες.

Ας βγάλουμε πρώτα το x από τις αγκύλες.

Βρίσκουμε τις ρίζες ενός τετραγωνικού τριωνύμου (για παράδειγμα, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta):

Επομένως, το τετράγωνο τριώνυμο μπορεί να γραφτεί ως

Δηλαδή, ο παρονομαστής θα πάρει τη μορφή

Με δεδομένο παρονομαστή, το αρχικό κλάσμα αποσυντίθεται στο άθροισμα τριών απλών κλασμάτων του πρώτου τύπου με απροσδιόριστους συντελεστές:

Μειώνουμε το προκύπτον ποσό σε έναν κοινό παρονομαστή, αλλά στον αριθμητή δεν ανοίγουμε τις αγκύλες και δεν δίνουμε παρόμοιες για τα Α, Β και Γ (σε αυτό το στάδιο, είναι απλώς η διαφορά από τη μέθοδο των αβέβαιων συντελεστών):

Έτσι, καταλήξαμε στην ισότητα:

Και τώρα, για να βρούμε αόριστους συντελεστές, αρχίζουμε να αντικαθιστούμε στην προκύπτουσα ισότητα «ιδιωτικές αξίες», στις οποίες ο παρονομαστής εξαφανίζεται, δηλαδή x=0, x=2 και x=3 για το παράδειγμά μας.

Στο x=0 έχουμε:

Στο x=2 έχουμε:

Στο x=3 έχουμε:

Απάντηση:

Όπως μπορείτε να δείτε, η διαφορά μεταξύ της μεθόδου των αβέβαιων συντελεστών και της μεθόδου των μερικών τιμών είναι μόνο στον τρόπο εύρεσης αγνώστων. Αυτές οι μέθοδοι μπορούν να συνδυαστούν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς.

Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Αναπτύξτε μια κλασματικά ορθολογική έκφραση σε απλά κλάσματα.

Λύση.

Δεδομένου ότι ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή και ο παρονομαστής έχει ήδη παραγοντοποιηθεί, η αρχική έκφραση θα αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών κλασμάτων της ακόλουθης μορφής:

Φέρνουμε σε έναν κοινό παρονομαστή:

Ας συγκρίνουμε τους αριθμητές.

Προφανώς, τα μηδενικά του παρονομαστή είναι οι τιμές x=1, x=-1 και x=3. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των μερικών τιμών.

Στο x=1 έχουμε:

Στο x=-1 έχουμε:

Στο x=3 έχουμε:

Μένει να βρούμε το άγνωστο και

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν στην ισότητα των αριθμητών:

Αφού ανοίξουμε τις αγκύλες και μειώσουμε παρόμοιους όρους για τις ίδιες δυνάμεις του x, καταλήγουμε στην ισότητα δύο πολυωνύμων:

Εξισώνουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις, καταρτίζοντας έτσι ένα σύστημα εξισώσεων για την εύρεση των υπόλοιπων αγνώστων και . Παίρνουμε ένα σύστημα πέντε εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε αμέσως , από τη δεύτερη εξίσωση

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια επέκταση σε απλά κλάσματα:

Σημείωση.

Εάν αποφασίσαμε αμέσως να εφαρμόσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, τότε θα έπρεπε να λύσουμε ένα σύστημα πέντε γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με πέντε αγνώστους. Η χρήση της μεθόδου των μερικών τιμών διευκόλυνε την εύρεση των τιμών των τριών από τα πέντε άγνωστα, γεγονός που απλοποίησε σημαντικά την περαιτέρω λύση.

Χαιρετίσματα σε όλους, αγαπητοί φίλοι!

Λοιπόν, συγχαρητήρια! Φτάσαμε με ασφάλεια στο κύριο υλικό για την ενσωμάτωση ορθολογικών κλασμάτων - μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών. Μεγάλος και δυνατός.) Ποια είναι η μεγαλειότητα και η δύναμή του; Και έγκειται στην πολυχρηστικότητά του. Είναι λογικό να το ξέρεις, σωστά; Σας προειδοποιώ ότι θα υπάρξουν αρκετά μαθήματα για αυτό το θέμα. Γιατί το θέμα είναι πολύ μεγάλο και το υλικό είναι εξαιρετικά σημαντικό.)

Πρέπει να πω αμέσως ότι στο σημερινό μάθημα (αλλά και στα επόμενα) θα ασχοληθούμε όχι τόσο με την ενσωμάτωση όσο ... επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων!Ναι ναι! Όσοι λοιπόν έχουν προβλήματα με συστήματα, επαναλαμβάνουν πίνακες, ορίζοντες και τη μέθοδο του Cramer. Και για όσους συντρόφους έχουν πρόβλημα με τους πίνακες, προτρέπω, στη χειρότερη περίπτωση, να ανανεώσουν τη μνήμη τους τουλάχιστον «σχολικές» μεθόδους επίλυσης συστημάτων - τη μέθοδο αντικατάστασης και τη μέθοδο πρόσθεσης/αφαίρεσης όρου προς όρο.

Για να ξεκινήσουμε τη γνωριμία μας, επαναφέρουμε την ταινία λίγο πίσω. Ας επιστρέψουμε εν συντομία στα προηγούμενα μαθήματα και ας αναλύσουμε όλα εκείνα τα κλάσματα που έχουμε ενσωματώσει πριν. Απευθείας, χωρίς καμία μέθοδο απροσδιόριστων συντελεστών! Εδώ είναι, αυτά τα κλάσματα. Τα χώρισα σε τρεις ομάδες.

Ομάδα 1

Στον παρονομαστή - γραμμική συνάρτησηείτε από μόνη της είτε στο βαθμό. Με μια λέξη, ο παρονομαστής είναι το γινόμενο πανομοιότυποαγκύλες της φόρμας (Χα).

Για παράδειγμα:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Και ούτω καθεξής. Παρεμπιπτόντως, μην σε κοροϊδεύουν οι παρενθέσεις. (4x+5)ή (2x+5) 3με συντελεστή κμέσα. Είναι το ίδιο, στην ουσία, οι αγκύλες της φόρμας (Χα). Γιατί αυτό είναι το πιο καπό τέτοιες αγκύλες μπορεί πάντα να αφαιρεθεί.

Σαν αυτό:

Αυτό είναι όλο.) Και δεν έχει σημασία τι ακριβώς υπάρχει στον αριθμητή - απλώς dxή κάποιου είδους πολυωνύμου. Πάντα επεκτείναμε τον αριθμητή στις δυνάμεις των παρενθέσεων (x-a), μετέτρεψε ένα μεγάλο κλάσμα σε άθροισμα μικρών, έφερε (όπου χρειαζόταν) ένα βραχίονα κάτω από το διαφορικό και ενσωματώθηκε.

Ομάδα 2

Τι κοινό έχουν αυτά τα κλάσματα;

Και το κοινό είναι ότι σε όλους τους παρονομαστές είναι τετράγωνο τριώνυμοτσεκούρι 2 + bx+ ντο. Αλλά όχι μόνο, δηλαδή σε ένα μόνο αντίγραφο. Και εδώ δεν έχει σημασία αν η διάκριση είναι θετική ή αρνητική.

Τέτοια κλάσματα ολοκληρώνονταν πάντα με έναν από τους δύο τρόπους - είτε επεκτείνοντας τον αριθμητή σε δυνάμεις του παρονομαστή, είτε παίρνοντας ένα πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή και στη συνέχεια αλλάζοντας τη μεταβλητή. Όλα εξαρτώνται από το συγκεκριμένο integrand.

Ομάδα 3

Αυτά ήταν τα χειρότερα κλάσματα για ενσωμάτωση. Ο παρονομαστής είναι ένα αδιάσπαστο τετράγωνο τριώνυμο, και μάλιστα στη μοίρα n. Αλλά, πάλι, σε ένα μόνο αντίγραφο. Διότι, εκτός από το τριώνυμο, δεν υπάρχουν άλλοι παράγοντες στον παρονομαστή. Τέτοια κλάσματα ενσωματώνονται πάνω από . Είτε απευθείας, είτε ανάγεται σε αυτό αφού επιλέξετε το πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή και στη συνέχεια αλλάξετε τη μεταβλητή.

Ωστόσο, δυστυχώς, όλη η πλούσια ποικιλία των ορθολογικών κλασμάτων δεν περιορίζεται μόνο σε αυτές τις τρεις εξεταζόμενες ομάδες.

Τι γίνεται όμως αν ο παρονομαστής είναι διάφοροςπαρενθέσεις; Για παράδειγμα, κάτι σαν:

(x-1)(x+1)(x+2)

Ή ταυτόχρονα βραχίονας (Χα)και ένα τετράγωνο τριώνυμο, κάτι σαν (x-10)(x 2 -2x+17)? Και σε άλλες παρόμοιες περιπτώσεις; Εδώ, είναι σε τέτοιες περιπτώσεις που έρχεται στη διάσωση. μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών!

Πρέπει να πω αμέσως: προς το παρόν, θα συνεργαστούμε μόνο με σωστόςκλάσματα. Εκείνα στα οποία ο βαθμός του αριθμητή είναι αυστηρά μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή. Ο τρόπος αντιμετώπισης των ακατάλληλων κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στα κλάσματα. Είναι απαραίτητο να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα (πολυώνυμο). Διαιρώντας τη γωνία του αριθμητή με τον παρονομαστή ή επεκτείνοντας τον αριθμητή - όπως θέλετε. Και ακόμη και το παράδειγμα αποσυναρμολογείται. Και με κάποιο τρόπο ενσωματώνεις το πολυώνυμο. Όχι μικρό ήδη πάει.) Αλλά θα λύσουμε και παραδείγματα για ακατάλληλα κλάσματα!

Τώρα ας γνωριστούμε. Σε αντίθεση με τα περισσότερα εγχειρίδια ανώτερων μαθηματικών, δεν θα ξεκινήσουμε τη γνωριμία μας με μια ξερή και βαριά θεωρία για το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το θεώρημα του Bezout, σχετικά με την επέκταση ενός λογικού κλάσματος στο άθροισμα των απλούστερων (περισσότερα για αυτά τα κλάσματα αργότερα) και άλλη κουραστική, αλλά θα ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα.

Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε το ακόλουθο αόριστο ολοκλήρωμα:

Πρώτα κοιτάξτε το integrand. Ο παρονομαστής είναι το γινόμενο τριών παρενθέσεων:

(x-1)(x+3)(x+5)

Και όλες οι αγκύλες διάφορος. Επομένως, η παλιά μας τεχνολογία με την επέκταση του αριθμητή σε δυνάμεις του παρονομαστή δεν λειτουργεί αυτή τη φορά: ποια αγκύλη πρέπει να τονιστεί στον αριθμητή; (x-1); (x+3); Δεν είναι σαφές ... Η επιλογή του πλήρους τετραγώνου στον παρονομαστή δεν είναι επίσης στην ταμειακή μηχανή: υπάρχει ένα πολυώνυμο τρίτοςβαθμός (αν πολλαπλασιάσετε όλες τις αγκύλες). Τι να κάνω?

Βλέποντας το κλάσμα μας, προκύπτει μια απολύτως φυσική επιθυμία ... Πραγματικά ακαταμάχητη! Από το μεγάλο μας κλάσμα, που άβολοςενσωματώστε, με κάποιο τρόπο φτιάξτε τρία μικρά. Τουλάχιστον έτσι:

Γιατί πρέπει να αναζητηθεί αυτός ο τύπος; Και όλα αυτά γιατί σε αυτή τη μορφή το αρχικό μας κλάσμα είναι ήδη άνετοςνα ενσωματωθούν! Προσθέστε τον παρονομαστή κάθε μικρού κλάσματος και προς τα εμπρός.)

Είναι ακόμη δυνατό να γίνει μια τέτοια αποσύνθεση; Τα νέα είναι καλά! Το αντίστοιχο θεώρημα των μαθηματικών λέει − ναι μπορείς! Μια τέτοια αποσύνθεση υπάρχει και είναι μοναδική.

Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα: οι συντελεστές ΑΛΛΑ, ΣΤΟκαι ΑΠΟεμείς αντίοδεν ξέρουμε. Και τώρα το κύριο καθήκον μας θα είναι το δίκαιο ορίστε τα. Μάθετε με τι ισούνται τα γράμματά μας ΑΛΛΑ, ΣΤΟκαι ΑΠΟ. Εξ ου και το όνομα, η μέθοδος αβέβαιοςσυντελεστές. Ας ξεκινήσουμε το υπέροχο ταξίδι μας!

Άρα, έχουμε ισότητα, από την οποία αρχίζουμε να χορεύουμε:

Ας φέρουμε και τα τρία κλάσματα δεξιά σε έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτουμε:

Τώρα μπορείτε να απορρίψετε με ασφάλεια τους παρονομαστές (επειδή είναι ίδιοι) και απλώς να εξισώσετε τους αριθμητές. Όλα είναι όπως συνήθως

επόμενο βήμα ανοίξτε όλες τις αγκύλες(συντελεστές ΑΛΛΑ, ΣΤΟκαι ΑΠΟ αντίοκαλύτερα να μείνεις έξω)

Και τώρα (σημαντικό!) χτίζουμε ολόκληρη τη δομή μας στα δεξιά κατά αρχαιότητα: πρώτα συλλέγουμε όλα τα μέλη με x 2 σε ένα σωρό, μετά - μόνο με x και, τέλος, συλλέγουμε δωρεάν μέλη. Στην πραγματικότητα, δίνουμε απλώς όμοιους και ομαδοποιούμε τους όρους σύμφωνα με τις δυνάμεις του x.

Σαν αυτό:

Και τώρα καταλαβαίνουμε το αποτέλεσμα. Στα αριστερά είναι το αρχικό μας πολυώνυμο. Δευτέρου βαθμού. Ο αριθμητής του ολοκληρωτή μας. Σωστά επίσης κάποιο πολυώνυμο δεύτερου βαθμού.Μύτη άγνωστοι συντελεστές.Αυτή η ισότητα πρέπει να ισχύει για όλες οι έγκυρες τιμές x. Τα κλάσματα αριστερά και δεξιά ήταν ίδια (σύμφωνα με την κατάστασή μας)! Αυτό σημαίνει ότι τους αριθμητήςκαι (δηλαδή τα πολυώνυμα μας) είναι επίσης τα ίδια. Οι συντελεστές λοιπόν με τις ίδιες δυνάμεις του xαυτά τα πολυώνυμα πρέπει να έχουν να είσαι ίσος!

Ξεκινάμε με τον υψηλότερο βαθμό. Από την πλατεία. Ας δούμε σε τι είδους συντελεστές έχουμε Χ 2 αριστερά και δεξιά. Στα δεξιά έχουμε το άθροισμα των συντελεστών Α+Β+Γ, και στα αριστερά - ένα δυάρι. Άρα έχουμε την πρώτη εξίσωση.

Καταγράφουμε:

A+B+C = 2

Υπάρχει. Η πρώτη εξίσωση γίνεται.)

Στη συνέχεια ακολουθούμε μια φθίνουσα τροχιά - κοιτάμε όρους με x στον πρώτο βαθμό. Στα δεξιά στο x έχουμε 8A+4B+2C. Καλός. Και τι έχουμε με το x στα αριστερά; Χμ... Αριστερά, δεν υπάρχει καθόλου όρος με Χ! Υπάρχουν μόνο 2x 2 - 3. Πώς να είσαι; Πολύ απλό! Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής στο x στα αριστερά έχουμε ισούται με μηδέν!Μπορούμε να γράψουμε την αριστερή μας πλευρά ως εξής:

Και τι? Έχουμε κάθε δικαίωμα.) Από εδώ, η δεύτερη εξίσωση μοιάζει με αυτό:

8 ΕΝΑ+4 σι+2 ντο = 0

Λοιπόν, πρακτικά, αυτό είναι όλο. Απομένει να εξισωθούν οι δωρεάν όροι:

15A-5B-3C = -3

Με μια λέξη, η εξίσωση των συντελεστών στις ίδιες δυνάμεις του x συμβαίνει σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

Και οι τρεις ισότητες μας πρέπει να ικανοποιηθούν ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ.Επομένως, συγκεντρώνουμε ένα σύστημα από τις γραπτές μας εξισώσεις:

Το σύστημα δεν είναι το πιο δύσκολο για έναν επιμελή μαθητή - τρεις εξισώσεις και τρεις άγνωστοι. Αποφασίστε όπως θέλετε. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Cramer μέσω πινάκων με ορίζουσες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss, μπορείτε ακόμη και να χρησιμοποιήσετε τη συνήθη σχολική αντικατάσταση.

Αρχικά, θα λύσω αυτό το σύστημα με τον τρόπο που συνήθως οι μαθητές πολιτισμού λύνουν τέτοια συστήματα. Δηλαδή, η μέθοδος Cramer.

Ξεκινάμε τη λύση με τη μεταγλώττιση του πίνακα συστήματος. Σας υπενθυμίζω ότι αυτός ο πίνακας είναι απλώς ένας πίνακας που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους.

Εκεί είναι:

Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε ορίζουσα μήτρας συστήματος.Ή, εν συντομία, αναγνωριστικό συστήματος.Συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Δ («δέλτα»):

Εξαιρετική, η ορίζουσα συστήματος δεν είναι μηδέν (-48≠0) . Από τη θεωρία των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, το γεγονός αυτό σημαίνει ότι το σύστημά μας είναι συνεπές και έχει μια μοναδική λύση.

Το επόμενο βήμα είναι ο υπολογισμός ορίζουσες αγνώστων ∆A, ∆B, ∆C. Υπενθυμίζω ότι καθεμία από αυτές τις τρεις ορίζουσες λαμβάνεται από την κύρια ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τις στήλες με συντελεστές για τους αντίστοιχους αγνώστους από μια στήλη ελεύθερων όρων.

Δημιουργούμε λοιπόν τις ορίζουσες και θεωρούμε:

Δεν θα εξηγήσω λεπτομερώς την τεχνική για τον υπολογισμό οριζόντων τρίτης τάξης εδώ. Και μη ρωτάς. Αυτό είναι ήδη μια αρκετά απόκλιση από το θέμα θα είναι.) Ποιος είναι στο θέμα, καταλαβαίνει περί τίνος πρόκειται. Και, ίσως, έχετε ήδη μαντέψει πώς ακριβώς υπολόγισα αυτούς τους τρεις ορίζοντες.)

Αυτό είναι όλο και έγινε.)

Έτσι αποφασίζουν συνήθως οι καλλιεργημένοι μαθητές για τα συστήματα. Αλλά ... Δεν είναι όλοι οι μαθητές φίλοι με ορίζουσες. Δυστυχώς. Για κάποιους, αυτές οι απλές έννοιες των ανώτερων μαθηματικών παραμένουν για πάντα ένα κινέζικο γράμμα και ένα μυστηριώδες τέρας στην ομίχλη...

Λοιπόν, ειδικά για τέτοιους ακαλλιέργητους μαθητές, προτείνω έναν πιο οικείο τρόπο επίλυσης - μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων.Στην πραγματικότητα, πρόκειται για μια εξελιγμένη «σχολική» μέθοδο υποκατάστασης. Μόνο που θα υπάρξουν περισσότερα βήματα.) Αλλά η ουσία είναι η ίδια. Πρώτα απ 'όλα, θα εξαιρέσω τη μεταβλητή ΑΠΟ. Για αυτό θα εκφράσω ΑΠΟαπό την πρώτη εξίσωση και αντικαταστήστε τη δεύτερη και την τρίτη:

Απλοποιούμε, δίνουμε παρόμοια και παίρνουμε νέο σύστημα, ήδη με δύοάγνωστος:

Τώρα, σε αυτό το νέο σύστημα, είναι επίσης δυνατό να εκφραστεί η μία από τις μεταβλητές ως προς την άλλη. Αλλά οι πιο προσεκτικοί μαθητές θα παρατηρήσουν πιθανώς ότι οι συντελεστές μπροστά από τη μεταβλητή σι – απεναντι απο. Δύο και μείον δύο. Επομένως, θα είναι πολύ βολικό να προσθέσετε και τις δύο εξισώσεις μαζί προκειμένου να εξαλειφθεί η μεταβλητή ΣΤΟκαι αφήστε μόνο το γράμμα ΑΛΛΑ.

Προσθέτουμε το αριστερό και το δεξί μέρος, μειώνουμε διανοητικά 2Βκαι -2Βκαι να λύσετε την εξίσωση μόνο σε σχέση με ΑΛΛΑ:

Υπάρχει. Βρέθηκε πρώτος συντελεστής: A = -1/24.

Προσδιορίστε τον δεύτερο συντελεστή ΣΤΟ. Για παράδειγμα, από την κορυφαία εξίσωση:

Από εδώ παίρνουμε:

Εξοχος. Βρίσκεται επίσης ο δεύτερος συντελεστής: σι = -15/8 . Απομένει ακόμη ένα γράμμα ΑΠΟ. Για να το προσδιορίσουμε, χρησιμοποιούμε την ανώτερη εξίσωση, όπου την έχουμε εκφρασμένη ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ:

Ετσι:

Εντάξει όλα τελείωσαν τώρα. Βρέθηκαν άγνωστες πιθανότητες! Δεν έχει σημασία αν είναι μέσω Cramer ή μέσω αντικατάστασης. Το κύριο πράγμα, σωστάβρέθηκαν.)

Έτσι, η επέκταση ενός μεγάλου κλάσματος σε ένα άθροισμα μικρών θα μοιάζει με αυτό:

Και μην μπερδεύεστε με τους ληφθέντες κλασματικούς συντελεστές: σε αυτή τη διαδικασία (η μέθοδος των αόριστων συντελεστών), αυτό είναι το πιο συνηθισμένο φαινόμενο. :)

Και τώρα είναι πολύ επιθυμητό να ελέγξουμε αν βρήκαμε σωστά τους συντελεστές μας ΕΝΑ, σικαι ΑΠΟ. Τώρα λοιπόν κάνουμε ένα προσχέδιο και θυμόμαστε την όγδοη τάξη - προσθέτουμε και τα τρία μικρά μας κλάσματα.

Αν πάρουμε το αρχικό μεγάλο κλάσμα, τότε όλα είναι καλά. Όχι, σημαίνει κέρδισέ με και ψάξε για λάθος.

Ο κοινός παρονομαστής θα είναι προφανώς 24(x-1)(x+3)(x+5).

Πηγαίνω:

Ναί!!! Λάβετε το αρχικό κλάσμα. Αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί. Ολα είναι καλά. Οπότε σε παρακαλώ μη με χτυπάς.)

Και τώρα επιστρέφουμε στο αρχικό μας ολοκλήρωμα. Δεν έγινε πιο εύκολο σε αυτό το διάστημα, ναι. Αλλά τώρα που το κλάσμα μας έχει αποσυντεθεί σε ένα άθροισμα μικρών, η ενσωμάτωσή του έχει γίνει πραγματική απόλαυση!

Κοιταξε και μονος σου! Εισάγουμε την επέκτασή μας στο αρχικό ολοκλήρωμα.

Παίρνουμε:

Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της γραμμικότητας και σπάμε το μεγάλο μας ολοκλήρωμα σε άθροισμα μικρών, βγάζουμε όλες τις σταθερές έξω από τα ζώδια του ολοκληρώματος.

Παίρνουμε:

Και τα τρία μικρά ολοκληρώματα που προκύπτουν λαμβάνονται ήδη εύκολα .

Συνεχίζουμε την ενσωμάτωση:

Αυτό είναι όλο.) Και μη με ρωτήσετε σε αυτό το μάθημα από πού προήλθαν οι λογάριθμοι στην απάντηση! Όποιος θυμάται, είναι μέσα στο θέμα και θα καταλάβει τα πάντα. Και ποιος δεν θυμάται - περπατάμε κατά μήκος των συνδέσμων. Δεν τα βάζω μόνο.

Τελική απάντηση:

Εδώ είναι μια τόσο όμορφη τριάδα: τρεις λογάριθμοι - ένας δειλός, ένας έμπειρος και ένας χόρτος. :) Και δοκιμάστε, μαντέψτε μια τόσο πονηρή απάντηση αμέσως! Μόνο η μέθοδος των αόριστων συντελεστών βοηθάει, ναι.) Στην πραγματικότητα, ερευνούμε για αυτόν τον σκοπό. Τι, πώς και πού.

Ως προπονητική άσκηση, σας προτείνω να εξασκηθείτε στη μέθοδο και να ενσωματώσετε το ακόλουθο κλάσμα:

Εξάσκηση, βρες το αναπόσπαστο, μην το παίρνεις για δουλειά! Θα πρέπει να λάβετε μια απάντηση όπως αυτή:

Η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών είναι ένα ισχυρό πράγμα. Εξοικονομεί ακόμη και στην πιο απελπιστική κατάσταση, όταν μετατρέπετε το κλάσμα ούτως ή άλλως, και ούτω καθεξής. Και εδώ, ορισμένοι προσεκτικοί και ενδιαφερόμενοι αναγνώστες μπορεί να έχουν μια σειρά από ερωτήσεις:

- Τι γίνεται αν το πολυώνυμο στον παρονομαστή δεν συνυπολογιστεί καθόλου;

- ΠΩΣ πρέπει να αναζητήσει κανείς την επέκταση οποιουδήποτε μεγάλου ορθολογικού κλάσματος σε άθροισμα μικρών; Σε οποιαδήποτε μορφή; Γιατί σε αυτό και όχι σε εκείνο;

- Τι γίνεται αν υπάρχουν πολλαπλοί παράγοντες στην επέκταση του παρονομαστή; Ή αγκύλες σε δυνάμεις όπως (x-1) 2 ; Σε ποια μορφή να αναζητήσετε αποσύνθεση;

- Τι γίνεται αν, εκτός από απλές αγκύλες της μορφής (x-a), ο παρονομαστής περιέχει ταυτόχρονα ένα αδιάσπαστο τετράγωνο τριώνυμο; Ας πούμε x 2 +4x+5 ? Σε ποια μορφή να αναζητήσετε αποσύνθεση;

Λοιπόν, ήρθε η ώρα να καταλάβουμε καλά από πού μεγαλώνουν τα πόδια. στο επόμενο μάθημα.)

Ολοκλήρωση κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης.
Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών

Συνεχίζουμε να εργαζόμαστε για την ολοκλήρωση κλασμάτων. Έχουμε ήδη εξετάσει ολοκληρώματα ορισμένων τύπων κλασμάτων στο μάθημα και αυτό το μάθημα κατά μία έννοια μπορεί να θεωρηθεί συνέχεια. Για να κατανοήσετε με επιτυχία το υλικό, απαιτούνται βασικές δεξιότητες ολοκλήρωσης, οπότε αν μόλις ξεκινήσατε να μελετάτε τα ολοκληρώματα, δηλαδή είστε τσαγιέρα, τότε πρέπει να ξεκινήσετε με το άρθρο Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Παραδόξως, τώρα δεν θα ασχοληθούμε τόσο με την εύρεση ολοκληρωμάτων όσο με την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Σε αυτή την σύνδεση δυνατάΣυνιστώ να επισκεφθείτε το μάθημα Δηλαδή, πρέπει να είστε καλά γνώστες των μεθόδων αντικατάστασης (η μέθοδος «σχολική» και η μέθοδος της πρόσθεσης (αφαίρεσης) των εξισώσεων συστήματος ανά όρο).

Τι είναι μια κλασματική ορθολογική συνάρτηση; Με απλά λόγια, κλασματική-ορθολογική συνάρτηση είναι ένα κλάσμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή του οποίου είναι πολυώνυμα ή γινόμενα πολυωνύμων. Ταυτόχρονα, τα κλάσματα είναι πιο εξελιγμένα από αυτά που συζητούνται στο άρθρο. Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

Ολοκλήρωση της σωστής κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης

Αμέσως ένα παράδειγμα και ένας τυπικός αλγόριθμος για την επίλυση του ολοκληρώματος μιας κλασματικής ορθολογικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Βήμα 1.Το πρώτο πράγμα που κάνουμε ΠΑΝΤΑ όταν λύνουμε ένα ολοκλήρωμα μιας ορθολογικής-κλασματικής συνάρτησης είναι να κάνουμε την εξής ερώτηση: είναι σωστό το κλάσμα;Αυτό το βήμα γίνεται προφορικά, και τώρα θα εξηγήσω πώς:

Πρώτα κοιτάξτε τον αριθμητή και μάθετε ανώτερο πτυχίοπολυώνυμος:

Η υψηλότερη ισχύς του αριθμητή είναι δύο.

Τώρα κοιτάξτε τον παρονομαστή και μάθετε ανώτερο πτυχίοπαρονομαστής. Ο προφανής τρόπος είναι να ανοίξετε τις αγκύλες και να φέρετε παρόμοιους όρους, αλλά μπορείτε να το κάνετε πιο εύκολα καθεπαρένθεση βρείτε τον υψηλότερο βαθμό

και πολλαπλασιάζουμε νοερά: - έτσι, ο υψηλότερος βαθμός του παρονομαστή είναι ίσος με τρία. Είναι προφανές ότι αν ανοίξουμε πραγματικά τις αγκύλες, τότε δεν θα πάρουμε βαθμό μεγαλύτερο από τρεις.

συμπέρασμα: Η υψηλότερη ισχύς του αριθμητή ΑΥΣΤΗΡΑμικρότερη από την υψηλότερη ισχύ του παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι σωστό.

Εάν σε αυτό το παράδειγμα ο αριθμητής περιείχε ένα πολυώνυμο 3, 4, 5, κ.λπ. βαθμό, τότε το κλάσμα θα ήταν λανθασμένος.

Τώρα θα εξετάσουμε μόνο τις κατάλληλες κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις. Την περίπτωση που ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του παρονομαστή, θα αναλύσουμε στο τέλος του μαθήματος.

Βήμα 2Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή. Ας δούμε τον παρονομαστή μας:

Σε γενικές γραμμές, εδώ είναι ήδη προϊόν παραγόντων, αλλά, ωστόσο, αναρωτιόμαστε: είναι δυνατόν να επεκτείνουμε κάτι άλλο; Το αντικείμενο των βασανιστηρίων, φυσικά, θα είναι το τετράγωνο τριώνυμο. Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση:

Η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι πράγματι παραγοντοποιημένο:

Γενικός κανόνας: ΟΛΑ όσα στον παρονομαστή ΜΠΟΡΟΥΝ να παραγοντοποιηθούν - παραγοντοποιήστε

Ας αρχίσουμε να παίρνουμε μια απόφαση:

Βήμα 3Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα απλών (στοιχειωδών) κλασμάτων. Τώρα θα είναι πιο ξεκάθαρο.

Ας δούμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

Και, ξέρετε, μια διαισθητική σκέψη διολισθαίνει κατά κάποιον τρόπο ότι θα ήταν ωραίο να μετατρέψουμε το μεγάλο μας κλάσμα σε πολλά μικρά. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Γεννιέται το ερώτημα, είναι ακόμη δυνατό να γίνει αυτό; Ας πάρουμε έναν αναστεναγμό ανακούφισης, αναφέρει το αντίστοιχο θεώρημα της μαθηματικής ανάλυσης - ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟ. Μια τέτοια αποσύνθεση υπάρχει και είναι μοναδική.

Υπάρχει μόνο ένα πιάσιμο, οι συντελεστές εμείς αντίοδεν ξέρουμε, εξ ου και το όνομα - η μέθοδος των αόριστων συντελεστών.

Το μαντέψατε, οι επόμενες χειρονομίες λοιπόν, μην γελάτε! θα έχει ως στόχο απλώς να τα ΜΑΘΗΣΕΙ - να ανακαλύψει με τι ισούνται.

Προσοχή, εξηγώ αναλυτικά μια φορά!

Λοιπόν, ας αρχίσουμε να χορεύουμε από:

Στην αριστερή πλευρά φέρνουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή:

Τώρα απαλλαγούμε με ασφάλεια από τους παρονομαστές (επειδή είναι οι ίδιοι):

Στην αριστερή πλευρά ανοίγουμε τις αγκύλες, ενώ δεν ακουμπάμε ακόμα τους άγνωστους συντελεστές:

Ταυτόχρονα επαναλαμβάνουμε τον σχολικό κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων. Όταν ήμουν δάσκαλος, έμαθα να λέω αυτόν τον κανόνα με ίσιο πρόσωπο: Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου.

Από την άποψη μιας ξεκάθαρης εξήγησης, είναι καλύτερο να βάλετε τους συντελεστές σε αγκύλες (αν και προσωπικά δεν το κάνω ποτέ για να εξοικονομήσω χρόνο):

Συνθέτουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Αρχικά, αναζητούμε ανώτερα πτυχία:

Και γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος:

Λοιπόν θυμηθείτε την ακόλουθη απόχρωση. Τι θα γινόταν αν δεν υπήρχε καθόλου η σωστή πλευρά; Ας πούμε, θα επιδεικνυόταν χωρίς κανένα τετράγωνο; Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση του συστήματος, θα ήταν απαραίτητο να βάλουμε μηδέν στα δεξιά: . Γιατί μηδέν; Και επειδή στη δεξιά πλευρά μπορείτε πάντα να αποδώσετε αυτό το τετράγωνο με μηδέν: Αν δεν υπάρχουν μεταβλητές ή (και) ελεύθερος όρος στη δεξιά πλευρά, τότε βάζουμε μηδενικά στις δεξιές πλευρές των αντίστοιχων εξισώσεων του συστήματος.

Γράφουμε τους αντίστοιχους συντελεστές στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος:

Και, τέλος, μεταλλικό νερό, επιλέγουμε δωρεάν μέλη.

Ε, ... αστειεύτηκα. Τα αστεία στην άκρη - τα μαθηματικά είναι μια σοβαρή επιστήμη. Στην ομάδα του ινστιτούτου μας, κανείς δεν γέλασε όταν η επίκουρη καθηγήτρια είπε ότι θα σκορπίσει τα μέλη σε μια αριθμητική γραμμή και θα διάλεγε το μεγαλύτερο από αυτά. Ας σοβαρευτούμε. Αν και ... όποιος ζει για να δει το τέλος αυτού του μαθήματος θα εξακολουθεί να χαμογελάει ήσυχα.

Έτοιμο το σύστημα:

Λύνουμε το σύστημα:

(1) Από την πρώτη εξίσωση, την εκφράζουμε και την αντικαθιστούμε στη 2η και 3η εξίσωση του συστήματος. Στην πραγματικότητα, ήταν δυνατό να εκφραστεί (ή άλλο γράμμα) από άλλη εξίσωση, αλλά σε αυτή την περίπτωση συμφέρει να εκφραστεί από την 1η εξίσωση, αφού υπάρχει τις μικρότερες πιθανότητες.

(2) Παρόμοιους όρους παρουσιάζουμε στη 2η και 3η εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη 2η και 3η εξίσωση όρο προς όρο, ενώ λαμβάνουμε την ισότητα , από την οποία προκύπτει ότι

(4) Αντικαθιστούμε στη δεύτερη (ή τρίτη) εξίσωση, από την οποία βρίσκουμε ότι

(5) Αντικαθιστούμε και στην πρώτη εξίσωση, παίρνοντας .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες με τις μεθόδους επίλυσης του συστήματος, επεξεργαστείτε τις στην τάξη. Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Μετά την επίλυση του συστήματος, είναι πάντα χρήσιμο να κάνετε έναν έλεγχο - να αντικαταστήσετε τις τιμές που βρέθηκαν σε κάθεεξίσωση του συστήματος, ως αποτέλεσμα, όλα θα πρέπει να «συγκλίνουν».

Σχεδόν έφτασε. Βρίσκονται οι συντελεστές, ενώ:

Μια καθαρή δουλειά πρέπει να μοιάζει κάπως έτσι:

Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία της εργασίας ήταν να συνθέσετε (σωστά!) και να λύσετε (σωστά!) ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Και στο τελικό στάδιο, όλα δεν είναι τόσο δύσκολα: χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος και ολοκληρώνουμε. Εφιστώ την προσοχή σας στο γεγονός ότι κάτω από καθένα από τα τρία ολοκληρώματα έχουμε μια "δωρεάν" σύνθετη συνάρτηση, μίλησα για τα χαρακτηριστικά της ενσωμάτωσής της στο μάθημα Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.

Έλεγχος: Διαφοροποιήστε την απάντηση:

Λήφθηκε το αρχικό ολοκλήρωμα, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα βρέθηκε σωστά.
Κατά την επαλήθευση, ήταν απαραίτητο να φέρουμε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή, και αυτό δεν είναι τυχαίο. Η μέθοδος των αόριστων συντελεστών και η μεταφορά της έκφρασης σε έναν κοινό παρονομαστή είναι αμοιβαία αντίστροφες ενέργειες.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας επιστρέψουμε στο κλάσμα από το πρώτο παράδειγμα: . Είναι εύκολο να δούμε ότι στον παρονομαστή όλοι οι παράγοντες είναι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ. Τίθεται το ερώτημα, τι να κάνετε εάν, για παράδειγμα, δοθεί ένα τέτοιο κλάσμα: ? Εδώ έχουμε βαθμούς στον παρονομαστή ή, με μαθηματικούς όρους, πολλαπλούς παράγοντες. Επιπλέον, υπάρχει ένα αδιάσπαστο τετράγωνο τριώνυμο (είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η διάκριση της εξίσωσης είναι αρνητικό, επομένως το τριώνυμο δεν μπορεί να συνυπολογιστεί με κανέναν τρόπο). Τι να κάνω? Η επέκταση σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων θα μοιάζει με άγνωστους συντελεστές στην κορυφή ή με κάποιο άλλο τρόπο;

Παράδειγμα 3

Υποβολή συνάρτησης

Βήμα 1.Ελέγχοντας αν έχουμε σωστό κλάσμα
Υψηλότερη ισχύς του αριθμητή: 2
Ανώτατος παρονομαστής: 8
, άρα το κλάσμα είναι σωστό.

Βήμα 2Μπορεί να συνυπολογιστεί κάτι στον παρονομαστή; Προφανώς όχι, όλα έχουν ήδη διαμορφωθεί. Το τετράγωνο τριώνυμο δεν επεκτείνεται σε προϊόν για τους παραπάνω λόγους. Καλός. Λιγότερη δουλειά.

Βήμα 3Ας αναπαραστήσουμε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων.
Στην περίπτωση αυτή, η αποσύνθεση έχει την ακόλουθη μορφή:

Ας δούμε τον παρονομαστή μας:
Κατά την αποσύνθεση μιας κλασματικής-ορθολογικής συνάρτησης σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων, μπορούν να διακριθούν τρία θεμελιώδη σημεία:

1) Αν ο παρονομαστής περιέχει έναν παράγοντα «μοναχικό» στον πρώτο βαθμό (στην περίπτωσή μας), τότε βάζουμε έναν αόριστο συντελεστή στην κορυφή (στην περίπτωσή μας). Τα παραδείγματα Νο. 1,2 αποτελούνταν μόνο από τέτοιους «μοναχικούς» παράγοντες.

2) Αν ο παρονομαστής περιέχει πολλαπλούςπολλαπλασιαστή, τότε πρέπει να αποσυντεθεί ως εξής:
- δηλαδή, ταξινομήστε διαδοχικά όλες τις μοίρες του "x" από τον πρώτο έως τον nο βαθμό. Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν δύο πολλαπλοί παράγοντες: και , ρίξτε μια άλλη ματιά στην αποσύνθεση που έδωσα και βεβαιωθείτε ότι αποσυντίθενται ακριβώς σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα.

3) Εάν ο παρονομαστής περιέχει ένα αδιάσπαστο πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού (στην περίπτωσή μας ), τότε κατά την επέκταση στον αριθμητή, πρέπει να γράψετε μια γραμμική συνάρτηση με αόριστους συντελεστές (στην περίπτωσή μας, με αόριστους συντελεστές και ).

Μάλιστα, υπάρχει και 4η περίπτωση, αλλά θα το σιωπήσω, αφού στην πράξη είναι εξαιρετικά σπάνιο.

Παράδειγμα 4

Υποβολή συνάρτησης ως άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων με άγνωστους συντελεστές.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Ακολουθήστε αυστηρά τον αλγόριθμο!

Εάν έχετε καταλάβει τις αρχές με τις οποίες πρέπει να αποσυνθέσετε μια κλασματική-ορθολογική συνάρτηση σε άθροισμα, τότε μπορείτε να σπάσετε σχεδόν οποιοδήποτε ολοκλήρωμα του υπό εξέταση τύπου.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Βήμα 1.Προφανώς, το κλάσμα είναι σωστό:

Βήμα 2Μπορεί να συνυπολογιστεί κάτι στον παρονομαστή; Μπορώ. Εδώ είναι το άθροισμα των κύβων . Παραγοντοποίηση του παρονομαστή χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού

Βήμα 3Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών, επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα σε ένα άθροισμα στοιχειωδών κλασμάτων:

Σημειώστε ότι το πολυώνυμο είναι αδιάσπαστο (ελέγξτε ότι η διάκριση είναι αρνητική), οπότε στο πάνω μέρος βάζουμε μια γραμμική συνάρτηση με άγνωστους συντελεστές, και όχι μόνο ένα γράμμα.

Φέρνουμε το κλάσμα σε κοινό παρονομαστή:

Ας δημιουργήσουμε και λύσουμε το σύστημα:

(1) Από την πρώτη εξίσωση, εκφράζουμε και αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος).

(2) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεύτερη εξίσωση.

(3) Προσθέτουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος όρο προς όρο.

Όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί, κατ' αρχήν, είναι προφορικοί, καθώς το σύστημα είναι απλό.

(1) Καταγράφουμε το άθροισμα των κλασμάτων σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν.

(2) Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος. Τι έγινε στο δεύτερο ολοκλήρωμα; Μπορείτε να βρείτε αυτήν τη μέθοδο στην τελευταία παράγραφο του μαθήματος. Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων.

(3) Για άλλη μια φορά χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της γραμμικότητας. Στο τρίτο ολοκλήρωμα, αρχίζουμε να επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο (η προτελευταία παράγραφος του μαθήματος Ολοκλήρωση κάποιων κλασμάτων).

(4) Παίρνουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα, στο τρίτο επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο.

(5) Παίρνουμε το τρίτο ολοκλήρωμα. Ετοιμος.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΟΥ BASHKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

καθηγητής μαθηματικών Μπασκίρ

Κολλέγιο Αρχιτεκτόνων και Πολιτικών Μηχανικών

UFA

2014

Εισαγωγή _________________________________________________3

Κεφάλαιο ΕΓΩ. Θεωρητικές όψεις της χρήσης της μεθόδου των απροσδιόριστων συντελεστών ________________________________________________4

Κεφάλαιο II. Αναζήτηση λύσεων σε προβλήματα με πολυώνυμα με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών _________________________________7

2.1 Παραγοντοποίηση πολυωνύμου ______________________ 7

2.2. Εργασίες με παραμέτρους_________________________________ 10

2.3. Επίλυση Εξισώσεων _________________________________________________14

2.4. Συναρτησιακές Εξισώσεις _________________________________19

Συμπέρασμα________________________________________________23

Κατάλογος αναφορών ________________________________24

Εφαρμογή ________________________________________________25

Εισαγωγή.

Η παρούσα εργασία είναι αφιερωμένη στις θεωρητικές και πρακτικές πτυχές της εισαγωγής της μεθόδου των αόριστων συντελεστών στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών. Η συνάφεια αυτού του θέματος καθορίζεται από τις ακόλουθες συνθήκες.

Κανείς δεν θα διαφωνήσει με το γεγονός ότι τα μαθηματικά ως επιστήμη δεν στέκονται σε ένα μέρος, αναπτύσσονται συνεχώς, εμφανίζονται νέα καθήκοντα αυξημένης πολυπλοκότητας, τα οποία συχνά προκαλούν ορισμένες δυσκολίες, καθώς αυτά τα καθήκοντα συνδέονται συνήθως με την έρευνα. Τα τελευταία χρόνια, τέτοια προβλήματα έχουν προταθεί σε σχολικές, περιφερειακές και δημοκρατικές μαθηματικές Ολυμπιάδες, είναι διαθέσιμα και στις εκδόσεις USE. Ως εκ τούτου, απαιτήθηκε μια ειδική μέθοδος που θα επέτρεπε την επίλυση τουλάχιστον μερικών από αυτές πιο γρήγορα, αποτελεσματικά και οικονομικά. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται με προσιτό τρόπο το περιεχόμενο της μεθόδου των αόριστων συντελεστών, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως σε μια μεγάλη ποικιλία τομέων των μαθηματικών, από ερωτήσεις που περιλαμβάνονται στο μάθημα ενός σχολείου γενικής εκπαίδευσης μέχρι τα πιο προχωρημένα μέρη του. Ειδικότερα, οι εφαρμογές της μεθόδου των αόριστων συντελεστών στην επίλυση προβλημάτων με παραμέτρους, κλασματικές ορθολογικές και συναρτησιακές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες και αποτελεσματικές. μπορούν εύκολα να ενδιαφέρουν όποιον ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. Ο κύριος σκοπός της προτεινόμενης εργασίας και της επιλογής προβλημάτων είναι να παράσχει άφθονες ευκαιρίες για λείανση και ανάπτυξη της ικανότητας εύρεσης σύντομων και μη τυπικών λύσεων.

Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο κεφάλαια. Το πρώτο ασχολείται με τις θεωρητικές πτυχές της χρήσης

μέθοδος αβέβαιων συντελεστών, στη δεύτερη - πρακτικές και μεθοδολογικές πτυχές μιας τέτοιας χρήσης.

Το παράρτημα της εργασίας περιέχει τις προϋποθέσεις συγκεκριμένων εργασιών για ανεξάρτητη λύση.

Κεφάλαιο Εγώ . Θεωρητικές πτυχές χρήσηςμέθοδος αβέβαιων συντελεστών

«Ο άνθρωπος… γεννήθηκε για να γίνει κύριος,

κύριος, βασιλιάς της φύσης, αλλά σοφία,

με το οποίο θα έπρεπε να κυβερνήσει δεν του δίνεται

από τη γέννηση: αποκτάται με τη μάθηση»

Ν.Ι. Λομπατσέφσκι

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι και μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων, αλλά ένας από τους πιο βολικούς, πιο αποτελεσματικούς, πρωτότυπους, κομψούς και ταυτόχρονα πολύ απλούς και κατανοητούς σε όλους είναι η μέθοδος των αόριστων συντελεστών. Η μέθοδος των αόριστων συντελεστών είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για την εύρεση των συντελεστών των παραστάσεων, η μορφή των οποίων είναι γνωστή εκ των προτέρων.

Πριν εξετάσουμε την εφαρμογή της μεθόδου των απροσδιόριστων συντελεστών στην επίλυση διαφόρων ειδών προβλημάτων, παρουσιάζουμε μια σειρά από θεωρητικές πληροφορίες.

Ας δοθούν

ΕΝΑ n (Χ) = ένα 0 Χ n + ένα 1 Χ n-1 + ένα 2 Χ n-2 + ··· + ένα n-1 Χ + ένα n

σι Μ (Χ ) = σι 0 Χ Μ + σι 1 Χ Μ -1 + σι 2 Χ Μ -2 + ··· + σι m-1 Χ + σι Μ ,

πολυώνυμα σε σχέση με Χμε οποιαδήποτε αναλογία.

Θεώρημα. Δύο πολυώνυμα ανάλογα με το ένα και του ίδιου ορίσματος είναι πανομοιότυπα ίσες αν και μόνο ανn = Μ και οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναιένα 0 = σι 0 , ένα 1 = σι 1 , ένα 2 = σι 2 ,··· , ένα n -1 = σι Μ -1 , ένα n = σι Μ και t. ρε.

Προφανώς, ίσα πολυώνυμα παίρνουν όλες τις τιμές Χτις ίδιες αξίες. Αντίθετα, αν οι τιμές δύο πολυωνύμων είναι ίσες για όλες τις τιμές Χ, μετά τα πολυώνυμα είναι ίσοι, δηλαδή οι συντελεστές τους στις ίδιες δυνάμειςΧαγώνας.

Επομένως, η ιδέα της εφαρμογής της μεθόδου των αόριστων συντελεστών για την επίλυση προβλημάτων είναι η εξής.

Ας γνωρίζουμε ότι ως αποτέλεσμα ορισμένων μετασχηματισμών, προκύπτει μια έκφραση μιας συγκεκριμένης μορφής και μόνο οι συντελεστές αυτής της παράστασης είναι άγνωστοι. Τότε αυτοί οι συντελεστές συμβολίζονται με γράμματα και θεωρούνται άγνωστοι. Στη συνέχεια, συντάσσεται ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό αυτών των αγνώστων.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση πολυωνύμων, αυτές οι εξισώσεις αποτελούνται από την προϋπόθεση της ισότητας των συντελεστών στις ίδιες δυνάμεις Χγια δύο ίσα πολυώνυμα.

Θα δείξουμε τα παραπάνω με τα παρακάτω συγκεκριμένα παραδείγματα και θα ξεκινήσουμε με τα πιο απλά.

Έτσι, για παράδειγμα, με βάση θεωρητικές εκτιμήσεις, το κλάσμα

μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα

, όπου ένα , σι και ντο - συντελεστές που θα καθοριστούν. Για να τα βρούμε, εξισώνουμε τη δεύτερη έκφραση με την πρώτη:

=

και να απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και να μαζέψουμε στα αριστερά τους όρους με τις ίδιες δυνάμεις Χ, παίρνουμε:

(ένα + σι + ντο )Χ 2 + ( σι - ντο )x - a = 2Χ 2 – 5 Χ– 1

Δεδομένου ότι η τελευταία ισότητα πρέπει να ισχύει για όλες τις αξίες Χ, τότε οι συντελεστές στις ίδιες δυνάμειςΧδεξιά και αριστερά πρέπει να είναι ίδια. Έτσι, λαμβάνονται τρεις εξισώσεις για τον προσδιορισμό των τριών άγνωστων συντελεστών:

α+β+γ = 2

σι - ντο = - 5

ένα= 1, από όπου ένα = 1 , σι = - 2 , ντο = 3

Συνεπώς,

=
,

η εγκυρότητα αυτής της ισότητας είναι εύκολο να επαληθευτεί άμεσα.

Ας φανταστούμε και ένα κλάσμα

όπως και ένα + σι
+ ντο
+ ρε
, όπου ένα , σι , ντο και ρε- άγνωστοι ορθολογικοί συντελεστές. Εξισώστε τη δεύτερη έκφραση με την πρώτη:

ένα + σι
+ ντο
+ ρε
=
ή, απαλλαγούμε από τον παρονομαστή, αφαιρώντας, όπου είναι δυνατόν, λογικούς παράγοντες κάτω από τα σημάδια των ριζών και φέρνοντας παρόμοιους όρους στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε:

(ένα- 2 σι + 3 ντο ) + (- α+β +3 ρε )
+ (α+γ - 2 ρε )
+

+ (προ ΧΡΙΣΤΟΥ + ρε )
= 1 +
-
.

Αλλά μια τέτοια ισότητα είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που οι ορθολογικοί όροι και των δύο μερών και οι συντελεστές στις ίδιες ρίζες είναι ίσοι. Έτσι, λαμβάνονται τέσσερις εξισώσεις για την εύρεση άγνωστων συντελεστών ένα , σι , ντο και ρε :

ένα- 2β + 3ντο = 1

- α+β +3 ρε = 1

α+γ - 2 ρε = - 1

σι - ντο + ρε= 0, από όπου ένα = 0 ; σι = - ; ντο = 0 ; ρε= , δηλαδή
= -
+
.

Κεφάλαιο II. Αναζήτηση λύσεων σε προβλήματα με πολυώνυμα μέθοδος αβέβαιων συντελεστών.

«Τίποτα δεν συμβάλλει στην αφομοίωση του θέματος

πώς να συμπεριφέρεσαι μαζί του σε διαφορετικές καταστάσεις»

Ακαδημαϊκός B.V. Gnedenko

2. 1. Αποσύνθεση πολυωνύμου σε συντελεστές.

Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμων:

1) αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων, 2) μέθοδο ομαδοποίησης. 3) εφαρμογή βασικών τύπων πολλαπλασιασμού. 4) εισαγωγή βοηθητικών όρων 5) προκαταρκτικός μετασχηματισμός ενός δεδομένου πολυωνύμου με τη βοήθεια διαφόρων τύπων. 6) επέκταση με την εύρεση των ριζών ενός δεδομένου πολυωνύμου. 7) μέθοδος εισαγωγής παραμέτρων. 8) μέθοδος αβέβαιων συντελεστών.

Πρόβλημα 1. Διασπάστε το πολυώνυμο σε πραγματικούς συντελεστές Χ 4 + Χ 2 + 1 .

Λύση. Δεν υπάρχουν ρίζες μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου αυτού του πολυωνύμου. Δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου με άλλα στοιχειώδη μέσα. Επομένως, δεν είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί η απαιτούμενη επέκταση βρίσκοντας πρώτα τις ρίζες αυτού του πολυωνύμου. Μένει να αναζητήσουμε λύση στο πρόβλημα είτε με την εισαγωγή βοηθητικών όρων είτε με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών. Είναι προφανές ότι Χ 4 + Χ 2 + 1 = Χ 4 + Χ 3 + Χ 2 - Χ 3 - Χ 2 - Χ + Χ 2 + Χ + 1 =

= Χ 2 (Χ 2 + Χ + 1) - Χ (Χ 2 + Χ + 1) + Χ 2 + Χ + 1 =

= (Χ 2 + Χ + 1)(Χ 2 - Χ + 1).

Τα τετράγωνα τριώνυμα που προκύπτουν δεν έχουν ρίζες και επομένως δεν μπορούν να αποσυντεθούν σε πραγματικούς γραμμικούς παράγοντες.

Η περιγραφόμενη μέθοδος είναι τεχνικά απλή, αλλά δύσκολη λόγω της τεχνητότητάς της. Πράγματι, είναι πολύ δύσκολο να καταλήξουμε στους απαιτούμενους βοηθητικούς όρους. Μόνο μια εικασία μας βοήθησε να βρούμε αυτή την αποσύνθεση. Αλλά

Υπάρχουν πιο αξιόπιστοι τρόποι επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

Θα μπορούσε κανείς να προχωρήσει ως εξής: ας υποθέσουμε ότι το δεδομένο πολυώνυμο διαστέλλεται σε γινόμενο

(Χ 2 + ένα Χ + σι )(Χ 2 + ντο Χ + ρε )

δύο τετράγωνα τριώνυμα με ακέραιους συντελεστές.

Έτσι, θα το έχουμε

Χ 4 + Χ 2 + 1 = (Χ 2 + ένα Χ + σι )(Χ 2 + ντο Χ + ρε )

Μένει να καθοριστούν οι συντελεστέςένα , σι , ντο και ρε .

Πολλαπλασιάζοντας τα πολυώνυμα στη δεξιά πλευρά της τελευταίας ισότητας, παίρνουμε:Χ 4 + Χ 2 + 1 = Χ 4 +

+ (α + γ ) Χ 3 + (σι + ένα ντο + ρε ) Χ 2 + (Ενα δ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) x + βδ .

Αλλά επειδή χρειαζόμαστε τη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας να μετατραπεί στο ίδιο πολυώνυμο που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά, απαιτούμε να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

α + γ = 0

σι + ένα ντο + ρε = 1

Ενα δ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ = 0

βδ = 1 .

Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστουςένα , σι , ντο και ρε . Είναι εύκολο να βρείτε συντελεστές από αυτό το σύστημαένα = 1 , σι = 1 , ντο = -1 και ρε = 1.

Τώρα το πρόβλημα έχει λυθεί πλήρως. Πήραμε:

Χ 4 + Χ 2 + 1 = (Χ 2 + Χ + 1)(Χ 2 - Χ + 1).

Πρόβλημα 2. Διασπάστε το πολυώνυμο σε πραγματικούς συντελεστές Χ 3 – 6 Χ 2 + 14 Χ – 15 .

Λύση. Αντιπροσωπεύουμε αυτό το πολυώνυμο με τη μορφή

Χ 3 – 6 Χ 2 + 14 Χ – 15 = (Χ + ένα )(Χ 2 + bx + ντο) , όπου ένα , σι και Με - δεν έχουν καθοριστεί ακόμη συντελεστές. Αφού δύο πολυώνυμα είναι πανομοιότυπα ίσα αν και μόνο αν οι συντελεστές έχουν τις ίδιες δυνάμειςΧ είναι ίσα, λοιπόν, εξισώνοντας τους συντελεστές, αντίστοιχα, στοΧ 2 , Χ και ελεύθεροι όροι, παίρνουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

α+β= - 6

αβ+γ = 14

μετα Χριστον = - 15 .

Η λύση αυτού του συστήματος θα απλοποιηθεί πολύ αν λάβουμε υπόψη ότι ο αριθμός 3 (ο διαιρέτης του ελεύθερου όρου) είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης και, επομένως,ένα = - 3 ,

σι = - 3 και Με = 5 .

Επειτα Χ 3 – 6 Χ 2 + 14 Χ – 15 = (Χ – 3)(Χ 2 – 3 Χ + 5).

Η εφαρμοζόμενη μέθοδος των αόριστων συντελεστών, σε σύγκριση με την παραπάνω μέθοδο εισαγωγής βοηθητικών όρων, δεν περιέχει τίποτα τεχνητό, αλλά από την άλλη απαιτεί την εφαρμογή πολλών θεωρητικών διατάξεων και συνοδεύεται από αρκετά μεγάλους υπολογισμούς. Για πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού, αυτή η μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών οδηγεί σε δυσκίνητα συστήματα εξισώσεων.

2.2 Καθήκοντα και με παραμέτρους.

Τα τελευταία χρόνια, εργασίες με παραμέτρους έχουν προταθεί στις παραλλαγές USE. Η επίλυσή τους συχνά προκαλεί ορισμένες δυσκολίες. Κατά την επίλυση προβλημάτων με παραμέτρους, μαζί με άλλες μεθόδους, είναι δυνατή η αποτελεσματική εφαρμογή της μεθόδου των αόριστων συντελεστών. Αυτή η μέθοδος είναι που διευκολύνει πολύ την επίλυσή τους και τη γρήγορη λήψη απάντησης.

Εργασία 3. Προσδιορίστε σε ποιες τιμές της παραμέτρου έναεξίσωση 2 Χ 3 – 3 Χ 2 – 36 Χ + ένα – 3 = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες.

Λύση. 1 τρόπος. Με τη βοήθεια ενός παραγώγου.

Αντιπροσωπεύουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή δύο συναρτήσεων

2 x 3 – 3 Χ 2 – 36 Χ – 3 = – ένα .

φά (Χ) = 2x 3 - 3 Χ 2 – 36 Χ– 3 και φ( Χ ) = – ένα .

Εξερεύνηση της συνάρτησηςφά (Χ) = 2x 3 - 3 Χ 2 – 36 Χ - 3 με τη βοήθεια μιας παραγώγου και να κατασκευάσετε σχηματικά τη γραφική παράσταση της (Εικ. 1.).

φά( – Χ )φά (Χ ) , φά (– Χ ) – φά (Χ ). Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

3. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης, τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της, ακρότατα. φά / (Χ ) = 6 Χ 2 – 6 Χ – 36. ρε (φά / ) = R , άρα βρίσκουμε όλα τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης λύνοντας την εξίσωση φά / (Χ ) = 0 .

6(Χ 2 – Χ– 6) = 0 ,

Χ 2 – Χ– 6 = 0 ,

Χ 1 = 3 , Χ 2 = – 2 από το θεώρημα αντιστρέφονται με το θεώρημα Vieta.

φά / (Χ ) = 6(Χ – 3)(Χ + 2).

+ Μέγιστη - ελάχ +

2 3 Χ

φά / (Χ) > 0 για όλα Χ< – 2 και Χ > 3 και η συνάρτηση είναι συνεχής στα σημείαx =– 2 και Χ = 3, επομένως, αυξάνεται σε κάθε ένα από τα διαστήματα (- ; - 2] και [ 3 ; ).

φά / (Χ ) < 0 σε - 2 < Χ< 3 , επομένως, μειώνεται στο διάστημα [- 2; 3 ].

Χ = - 2 μέγιστος βαθμός, επειδή σε αυτό το σημείο, το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από"+" σε "-".

φά (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = Το 3 είναι το ελάχιστο σημείο, αφού σε αυτό το σημείο αλλάζει το πρόσημο της παραγώγου"-" σε "+".

φά (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Γράφημα της συνάρτησης φ(Χ ) = – ένα είναι μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x και που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες (0; – ένα ). Τα γραφήματα έχουν δύο κοινά σημεία στο −ένα= 41, δηλ. α =- 41 και - ένα= - 84, δηλ. ένα = 84 .

στο

41 φ( Χ)

2 3 Χ

3 φά ( Χ ) = 2 x 3 – 3 Χ 2 – 36 Χ – 3

2 τρόπος. Μέθοδος αβέβαιων συντελεστών.

Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, αυτή η εξίσωση πρέπει να έχει μόνο δύο ρίζες, η εκπλήρωση της ισότητας είναι προφανής:

2Χ 3 – 3 Χ 2 – 36 Χ + ένα – 3 = (x + σι ) 2 (2 Χ + ντο ) ,

2Χ 3 – 3 Χ 2 – 36 Χ + ένα – 3 = 2 Χ 3 + (4 σι + ντο ) Χ 2 + (2 σι 2 + +2 προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) Χ + σι 2 ντο ,

Τώρα εξισώνοντας τους συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις Χ, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

4 β + γ = - 3

2σι 2 + 2bc=- 36

σι 2 ντο = ένα – 3 .

Από τις δύο πρώτες εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμεσι 2 + σι – 6 = 0, εξ ου και σι 1 = - 3 ή σι 2 = 2. Αντίστοιχες αξίεςΜε 1 και Με 2 είναι εύκολο να βρεθεί από την πρώτη εξίσωση του συστήματος:Με 1 = 9 ή Με 2 = - 11 . Τέλος, η επιθυμητή τιμή της παραμέτρου μπορεί να προσδιοριστεί από την τελευταία εξίσωση του συστήματος:

ένα = σι 2 ντο + 3 , ένα 1 = - 41 ή ένα 2 = 84.

Απάντηση: αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς δύο διαφορετικές

ρίζα σε ένα= - 41 και ένα= 84 .

Εργασία 4. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της παραμέτρουένα , για την οποία η εξίσωσηΧ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = 0

με ακέραιους συντελεστές έχει τρεις διαφορετικές ρίζες, η μία από τις οποίες είναι - 2 .

Λύση. 1 τρόπος. Αντικατάσταση Χ= - 2 στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε

8 + 20 – 2 ένα + σι= 0, που σημαίνει σι = 2 ένα – 12 .

Δεδομένου ότι ο αριθμός - 2 είναι η ρίζα, μπορείτε να αφαιρέσετε τον κοινό παράγοντα Χ + 2:

Χ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = Χ 3 + 2 Χ 2 + 3 Χ 2 + Ω + (2 ένα – 12) =

= Χ 2 (Χ + 2) + 3 Χ (Χ + 2) – 6 Χ + Ω + (2 ένα – 12) =

= Χ 2 (Χ + 2) + 3 Χ (Χ + 2) + (ένα – 6)(Χ +2) - 2(ένα – 6)+ (2 ένα - 12) =

= (Χ + 2)(Χ 2 + 3 Χ + (ένα – 6) ) .

Με την προϋπόθεση, υπάρχουν δύο ακόμη ρίζες της εξίσωσης. Ως εκ τούτου, η διάκριση του δεύτερου παράγοντα είναι θετική.

ρε =3 2 - 4 (ένα – 6) = 33 – 4 ένα > 0, δηλαδή ένα < 8,25 .

Φαίνεται ότι η απάντηση θα ήταν α =οκτώ. Αλλά όταν αντικαθιστούμε τον αριθμό 8 στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε:

Χ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = Χ 3 + 5 Χ 2 + 8 Χ + 4 = (Χ + 2)(Χ 2 + 3 Χ + 2 ) =

= (Χ + 1) (Χ + 2) 2 ,

δηλαδή η εξίσωση έχει μόνο δύο διακριτές ρίζες. Αλλά στο α =Το 7 παίρνει πραγματικά τρεις διαφορετικές ρίζες.

2 τρόπος. Μέθοδος αόριστων συντελεστών.

Αν η εξίσωση Χ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = 0 έχει ρίζα Χ = - 2, τότε μπορείτε πάντα να σηκώνετε αριθμούςντο και ρε έτσι για όλουςΧ η ισότητα ήταν αληθινή

Χ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = (Χ + 2)(Χ 2 + Με Χ + ρε ).

Για την εύρεση αριθμώνντο και ρε ανοίξτε τις αγκύλες στη δεξιά πλευρά, δώστε παρόμοιους όρους και λάβετε

Χ 3 + 5 Χ 2 + Ω + σι = Χ 3 + (2 + Με ) Χ 2 +(2 με + ρε ) Χ + 2 ρε

Εξίσωση των συντελεστών στις αντίστοιχες δυνάμεις Χέχουμε σύστημα

2 + Με = 5

2 Με + ρε = ένα

2 ρε = σι , όπου γ = 3 .

Συνεπώς, Χ 2 + 3 Χ + ρε = 0 , ρε = 9 – 4 ρε > 0 ή

ρε < 2.25, άρα ρε (- ; 2 ].

Η συνθήκη του προβλήματος ικανοποιείται από την τιμή ρε = ένας . Η τελική επιθυμητή τιμή της παραμέτρουένα = 7.

A n e t: πότε α = 7 αυτή η εξίσωση έχει τρεις διαφορετικές ρίζες.

2.3. Λύση εξισώσεων.

«Να θυμάστε ότι όταν λύνετε μικρά προβλήματα, εσείς

προετοιμάστε τον εαυτό σας για επίλυση μεγάλων και δύσκολων

καθήκοντα."

Ακαδημαϊκός S.L.Sobolev

Κατά την επίλυση ορισμένων εξισώσεων, είναι δυνατό και απαραίτητο να δείξουμε επινοητικότητα και εξυπνάδα, να εφαρμόσουμε ειδικές τεχνικές. Η κατοχή διαφόρων μεθόδων μετασχηματισμών και η ικανότητα διεξαγωγής λογικού συλλογισμού έχει μεγάλη σημασία στα μαθηματικά. Ένα από αυτά τα κόλπα είναι να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κάποια καλά επιλεγμένη έκφραση ή αριθμό. Το ίδιο το δηλωμένο γεγονός, φυσικά, είναι πολύ γνωστό σε όλους - η κύρια δυσκολία είναι να δούμε σε μια συγκεκριμένη διαμόρφωση εκείνους τους μετασχηματισμούς των εξισώσεων στις οποίες είναι βολικό και σκόπιμο να το εφαρμόσουμε.

Σε μια απλή αλγεβρική εξίσωση, παρουσιάζουμε μια μη τυπική μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων.

Πρόβλημα 5. Λύστε την εξίσωση

=
.

Λύση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 5 και ξαναγράψτε ως εξής

= 0 ; Χ 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 ή
= 0

Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών

Χ 4 - Χ 3 –7 Χ – 3 = (Χ 2 + αχ + σι )(Χ 2 + cx + ρε ) = 0

Χ 4 - Χ 3 –7 Χ – 3 = Χ 4 + (α + γ ) Χ 3 + (σι + ένα ντο + ρε ) Χ 2 + (Ενα δ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ ) x++ βδ

Εξίσωση των συντελεστών στο Χ 3 , Χ 2 , Χκαι δωρεάν όρους, παίρνουμε το σύστημα

α + γ = -1

σι + ένα ντο + ρε = 0

Ενα δ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ = -7

βδ = -3 , από όπου βρίσκουμε:ένα = -2 ; σι = - 1 ;

Με = 1 ; ρε = 3 .

Έτσι Χ 4 - Χ 3 –7Χ– 3 = (Χ 2 – 2 Χ – 1)(Χ 2 + Χ + 3) = 0 ,

Χ 2 – 2 Χ– 1 = 0 ή Χ 2 + Χ + 3 = 0

Χ 1,2 =
χωρίς ρίζες.

Παρομοίως, έχουμε

Χ 4 – 12Χ – 5 = (Χ 2 – 2 Χ – 1)(Χ 2 + 2Χ + 5) = 0 ,

όπου Χ 2 + 2 Χ + 5 = 0 , ρε = - 16 < 0 , нет корней.

Απάντηση: Χ 1,2 =

Πρόβλημα 6. Λύστε την εξίσωση

= 10.

Λύση. Για να λυθεί αυτή η εξίσωση, είναι απαραίτητο να επιλέξετε τους αριθμούςένακαι σι ώστε οι αριθμητές και των δύο κλασμάτων να είναι ίδιοι. Επομένως, έχουμε ένα σύστημα:

= 0 , Χ 0; -1 ; -

= - 10

Έτσι, το καθήκον είναι να μαζέψετε τους αριθμούςένακαι σι , για την οποία η ισότητα

(ένα + 6) Χ 2 + αχ- 5 = Χ 2 + (5 + 2 σι ) Χ + σι

Τώρα, σύμφωνα με το θεώρημα για την ισότητα των πολυωνύμων, είναι απαραίτητο η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας να μετατραπεί στο ίδιο πολυώνυμο που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά.

Με άλλα λόγια, οι σχέσεις πρέπει να κρατήσουν

ένα + 6 = 1

ένα = 5 + 2 σι

– 5 = σι , από το οποίο βρίσκουμε τις τιμέςένα = - 5 ;

σι = - 5 .

Με αυτές τις αξίεςένακαι σι ισότητα ένα + σι = - 10 ισχύει επίσης.

= 0 , Χ 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(Χ 2 – 5Χ– 5)(Χ 2 + 3Χ + 1) = 0 ,

Χ 2 – 5Χ– 5 = 0 ή Χ 2 + 3Χ + 1 = 0 ,

Χ 1,2 =
, Χ 3,4 =

Απάντηση: Χ 1,2 =
, Χ 3,4 =

Πρόβλημα 7. Λύστε την εξίσωση

= 4

Λύση. Αυτή η εξίσωση είναι πιο περίπλοκη από τις προηγούμενες και επομένως την ομαδοποιούμε με τέτοιο τρόπο ώστε Χ 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Από την συνθήκη ισότητας δύο πολυωνύμων

Ω 2 + (ένα + 6) Χ + 12 = Χ 2 + (σι + 11) Χ – 3 σι ,

παίρνουμε και λύνουμε το σύστημα εξισώσεων για άγνωστους συντελεστέςένακαι σι :

ένα = 1

ένα + 6 = σι + 11

12 = – 3 σι , όπου α = 1 , σι = - 4 .

Πολυώνυμα - 3 - 6Χ + cx 2 + 8 cxκαι Χ 2 + 21 + 12 ρε – dx είναι πανομοιότυπα μεταξύ τους μόνο όταν

Με = 1

8 Με - 6 = - ρε

3 = 21 + 12 ρε , Με = 1 , ρε = - 2 .

Για αξίεςα = 1 , σι = - 4 , Με = 1 , ρε = - 2

ισότητα
= - 4 είναι δίκαιο.

Ως αποτέλεσμα, αυτή η εξίσωση έχει την ακόλουθη μορφή:

= 0 ή
= 0 ή
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Από τα εξεταζόμενα παραδείγματα είναι σαφές πώς η επιδέξια χρήση της μεθόδου των αβέβαιων συντελεστών,

βοηθά στην απλοποίηση της λύσης μιας μάλλον περίπλοκης, ασυνήθιστης εξίσωσης.

2.4. Λειτουργικές εξισώσεις.

«Ο υψηλότερος σκοπός των μαθηματικών… συνίσταται

για να βρείτε την κρυφή σειρά

χάος που μας περιβάλλει

Ν. Wiener

Οι συναρτησιακές εξισώσεις είναι μια πολύ γενική κατηγορία εξισώσεων στην οποία κάποια συνάρτηση είναι η επιθυμητή. Μια συναρτησιακή εξίσωση με τη στενή έννοια της λέξης νοείται ως εξισώσεις στις οποίες οι επιθυμητές συναρτήσεις συνδέονται με γνωστές συναρτήσεις μιας ή περισσότερων μεταβλητών χρησιμοποιώντας τη λειτουργία σχηματισμού μιγαδικής συνάρτησης. Μια συναρτησιακή εξίσωση μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως έκφραση μιας ιδιότητας που χαρακτηρίζει μια συγκεκριμένη κατηγορία συναρτήσεων

[ για παράδειγμα, η συναρτησιακή εξίσωση φά ( Χ ) = φά (- Χ ) χαρακτηρίζει την κλάση των άρτιων συναρτήσεων, τη συναρτησιακή εξίσωσηφά (Χ + 1) = φά (Χ ) είναι η κλάση των συναρτήσεων με περίοδο 1 κ.λπ.].

Μία από τις απλούστερες συναρτησιακές εξισώσεις είναι η εξίσωσηφά (Χ + y ) = φά (Χ ) + φά (y ). Οι συνεχείς λύσεις αυτής της συναρτησιακής εξίσωσης έχουν τη μορφή

φά (Χ ) = ντοΧ . Ωστόσο, στην κατηγορία των ασυνεχών συναρτήσεων, αυτή η συναρτησιακή εξίσωση έχει και άλλες λύσεις. Η εξεταζόμενη συναρτησιακή εξίσωση συνδέεται

φά (Χ + y ) = φά (Χ ) · φά (y ), φά (Χ y ) = φά (Χ ) + φά (y ), φά (Χ y ) = φά (Χ )· φά (y ),

συνεχείς λύσεις, που αντίστοιχα έχουν τη μορφή

μι cx , ΑΠΟlnΧ , Χ α (Χ > 0).

Έτσι, αυτές οι συναρτησιακές εξισώσεις μπορούν να χρησιμεύσουν για τον ορισμό εκθετικών, λογαριθμικών και συναρτήσεων ισχύος.

Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες είναι οι εξισώσεις στις σύνθετες συναρτήσεις των οποίων οι επιθυμητές είναι εξωτερικές συναρτήσεις. Θεωρητικές και πρακτικές εφαρμογές

ήταν ακριβώς τέτοιες εξισώσεις που ώθησαν διαπρεπείς μαθηματικούς να τις μελετήσουν.

Για παράδειγμα, στοευθυγραμμία

φά 2 (Χ) = φά (Χ - y)· φά (Χ + y)

Ν.Ι. Λομπατσέφσκιχρησιμοποιείται κατά τον προσδιορισμό της γωνίας παραλληλισμού στη γεωμετρία του.

Τα τελευταία χρόνια, προβλήματα που σχετίζονται με τη λύση συναρτησιακών εξισώσεων προσφέρονται αρκετά συχνά σε μαθηματικές Ολυμπιάδες. Η επίλυσή τους δεν απαιτεί γνώσεις που ξεπερνούν τα όρια του προγράμματος σπουδών των μαθηματικών των σχολείων γενικής εκπαίδευσης. Ωστόσο, η επίλυση συναρτησιακών εξισώσεων συχνά προκαλεί ορισμένες δυσκολίες.

Ένας από τους τρόπους εύρεσης λύσεων σε συναρτησιακές εξισώσεις είναι η μέθοδος των αόριστων συντελεστών. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν η εμφάνιση της εξίσωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της γενικής μορφής της επιθυμητής συνάρτησης. Αυτό ισχύει, πρώτα απ 'όλα, για εκείνες τις περιπτώσεις όπου θα πρέπει να αναζητηθούν λύσεις εξισώσεων μεταξύ ολόκληρων ή κλασματικών-ορθολογικών συναρτήσεων.

Ας εξηγήσουμε την ουσία αυτής της τεχνικής λύνοντας τα παρακάτω προβλήματα.

Εργασία 8. Λειτουργίαφά (Χ ) ορίζεται για όλα τα πραγματικά x και ικανοποιεί για όλαΧ R κατάσταση

3 φά(Χ) - 2 φά(1- Χ) = Χ 2 .

Εύρημαφά (Χ ).

Λύση. Αφού στην αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης πάνω από την ανεξάρτητη μεταβλητή x και τις τιμές της συνάρτησηςφά εκτελούνται μόνο γραμμικές πράξεις και η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι μια τετραγωνική συνάρτηση, είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι η επιθυμητή συνάρτηση είναι επίσης τετραγωνική:

φά (Χ) = τσεκούρι 2 + bx + ντο , όπουένα, σι, ντο – συντελεστές που θα καθοριστούν, δηλαδή απροσδιόριστοι συντελεστές.

Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση στην εξίσωση, καταλήγουμε στην ταυτότητα:

3(τσεκούρι 2 + bx+γ) – 2(ένα(1 – Χ) 2 + σι(1 – Χ) + ντο) = Χ 2 .

τσεκούρι 2 + (5 σι + 4 ένα) Χ + (ντο – 2 ένα – 2 σι) = Χ 2 .

Δύο πολυώνυμα θα είναι πανομοιότυπα ίσα αν είναι ίσα

συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις της μεταβλητής:

ένα = 1

5σι + 4ένα = 0

ντο– 2 ένα – 2 σι = 0.

Από αυτό το σύστημα βρίσκουμε τους συντελεστές

ένα = 1 , σι = - , γ = , επίσηςικανοποιείισότητα

3 φά (Χ ) - 2 φά (1- Χ ) = Χ 2 στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Ταυτόχρονα, υπάρχειΧ 0 Εργασία 9. Λειτουργίαy=φά(Χ) για όλα το x ορίζεται, συνεχές και ικανοποιεί την συνθήκηφά (φά (Χ)) – φά(Χ) = 1 + 2 Χ . Βρείτε δύο τέτοιες συναρτήσεις.

Λύση. Εκτελούνται δύο ενέργειες στην επιθυμητή συνάρτηση - η λειτουργία της μεταγλώττισης μιας σύνθετης συνάρτησης και

αφαίρεση. Δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι μια γραμμική συνάρτηση, είναι φυσικό να υποθέσουμε ότι η επιθυμητή συνάρτηση είναι επίσης γραμμική:φά(Χ) = τσεκούρι +σι , όπουένα καισι είναι απροσδιόριστοι συντελεστές. Αντικατάσταση αυτής της συνάρτησης σεφά (φά ( (Χ ) = - Χ - 1 ;

φά 2 (Χ ) = 2 Χ+ , που είναι λύσεις της συναρτησιακής εξίσωσηςφά (φά (Χ)) – φά(Χ) = 1 + 2 Χ .

Συμπέρασμα.

Συμπερασματικά, θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εργασία σίγουρα θα συμβάλει στην περαιτέρω μελέτη μιας πρωτότυπης και αποτελεσματικής μεθόδου επίλυσης διαφόρων μαθηματικών προβλημάτων, τα οποία είναι προβλήματα αυξημένης δυσκολίας και απαιτούν βαθιά γνώση του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών και υψηλή λογική κουλτούρα. Όλοι όσοι θέλουν να εμβαθύνουν μόνοι τους τις γνώσεις τους στα μαθηματικά θα βρουν επίσης σε αυτή την εργασία υλικό για προβληματισμό και ενδιαφέρουσες εργασίες, η λύση των οποίων θα φέρει οφέλη και ικανοποίηση.

Στην εργασία, στα πλαίσια του υπάρχοντος σχολικού προγράμματος και σε μορφή προσβάσιμη για αποτελεσματική αντίληψη, παρουσιάζεται η μέθοδος των αόριστων συντελεστών, η οποία συμβάλλει στην εμβάθυνση του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών.

Φυσικά, όλες οι δυνατότητες της μεθόδου των απροσδιόριστων συντελεστών δεν μπορούν να φανούν σε ένα έργο. Στην πραγματικότητα, η μέθοδος απαιτεί ακόμη περαιτέρω μελέτη και έρευνα.

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας.

Glazer G.I. Ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο.-M.: Εκπαίδευση, 1983.

Gomonov S.A. Λειτουργικές εξισώσεις στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών // Τα μαθηματικά στο σχολείο. - 2000 . -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Εγχειρίδιο μαθηματικών.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebraic Equations of Arbitrary Degrees.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Στοιχειώδης εισαγωγή στις συναρτησιακές εξισώσεις. - Αγία Πετρούπολη. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G. Επεξηγηματικό λεξικό μαθηματικών όρων.-Μ.: Διαφωτισμός, 1971

Εγχειρίδιο μαθηματικών Modenov V.P. Κεφ.1.-Μ.: Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, 1977.

Modenov V.P. Προβλήματα με παραμέτρους.-M.: Εξέταση, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Άλγεβρα και ανάλυση στοιχειωδών συναρτήσεων.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Είναι δυνατό να λυθεί ευκολότερα // Μαθηματικά στο σχολείο. – 2003 . - №8 .

Χαλιούλιν.

4. Αναπτύξτε το πολυώνυμο 2Χ 4 – 5Χ 3 + 9Χ 2 – 5Χ+ 3 για πολλαπλασιαστές με ακέραιους συντελεστές.

5. Σε ποια τιμή ένα Χ 3 + 6Χ 2 + Ω+ 12 στις Χ+ 4 ?

6. Σε ποια τιμή της παραμέτρουένα την εξίσωσηΧ 3 +5 Χ 2 + + Ω + σι = 0 με ακέραιους συντελεστές έχει δύο διαφορετικές ρίζες εκ των οποίων η μία είναι ίση με 1 ?

7. Ανάμεσα στις ρίζες ενός πολυωνύμου Χ 4 + Χ 3 – 18Χ 2 + Ω + σι με ακέραιους συντελεστές υπάρχουν τρεις ίσοι ακέραιοι αριθμοί. Βρείτε την τιμή σι .

8. Βρείτε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή της παραμέτρου ένα,κάτω από την οποία η εξίσωση Χ 3 – 8Χ 2 + αχ +σι = 0 με ακέραιους συντελεστές έχει τρεις διαφορετικές ρίζες εκ των οποίων η μία είναι ίση με 2.

9. Σε ποιες τιμές ένακαι σι διαίρεση χωρίς υπόλοιπο Χ 4 + 3Χ 3 – 2Χ 2 + Ω + σι στο Χ 2 – 3Χ + 2 ?

10. Παραγοντοποιήστε τα πολυώνυμα:

ένα)Χ 4 + 2 Χ 2 – Χ + 2 σε)Χ 4 – 4Χ 3 +9Χ 2 –8Χ + 5 μι)Χ 4 + 12Χ – 5

σι)Χ 4 + 3Χ 2 + 2Χ + 3 ΣΟΛ)Χ 4 – 3Χ –2 μι)Χ 4 – 7Χ 2 + 1 .

11. Λύστε τις εξισώσεις:

ένα)
= 2 = 2 φά (1 – Χ ) = Χ 2 .

Εύρημα φά (Χ) .

13. Λειτουργία στο= φά (Χ) για όλα Χείναι καθορισμένη, συνεχής και ικανοποιεί την προϋπόθεση φά ( φά (Χ)) = φά (Χ) + Χ.Βρείτε δύο τέτοιες συναρτήσεις.

Η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη για την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων λογικής άλγεβρας οποιουδήποτε αριθμού μεταβλητών.

Εξετάστε την περίπτωση τριών μεταβλητών. Μια Boolean συνάρτηση σε ένα DNF μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή όλων των πιθανών συνδετικών μελών που μπορούν να συμπεριληφθούν σε ένα DNF:

όπου kн(0,1) είναι συντελεστές. Η μέθοδος συνίσταται στην επιλογή των συντελεστών με τέτοιο τρόπο ώστε το DNF που προκύπτει να είναι ελάχιστο.

Εάν τώρα ορίσουμε όλες τις πιθανές τιμές των μεταβλητών από το 000 έως το 111, τότε λαμβάνουμε 2 n (2 3 = 8) εξισώσεις για τον προσδιορισμό των συντελεστών κ:

Λαμβάνοντας υπόψη τα σύνολα στα οποία η συνάρτηση παίρνει μηδενική τιμή, προσδιορίστε τους συντελεστές που είναι ίσοι με 0 και διαγράψτε τους από τις εξισώσεις, στη δεξιά πλευρά των οποίων είναι 1. Από τους υπόλοιπους συντελεστές σε κάθε εξίσωση, ένας συντελεστής ισοδυναμεί με ένα, το οποίο καθορίζει τον σύνδεσμο της μικρότερης κατάταξης. Οι υπόλοιποι συντελεστές ισοδυναμούν με 0. Άρα, συντελεστές μονάδας κκαθορίσει την αντίστοιχη ελάχιστη φόρμα.

Παράδειγμα. Ελαχιστοποιήστε μια δεδομένη συνάρτηση

εάν οι τιμές είναι γνωστές:
;
;
;
;
;
;
;
.

Λύση.

Αφού διαγράψουμε μηδενικούς συντελεστές, παίρνουμε:

=1;

=1;

=1;

=1.

Ισοδυναμεί με τη μονάδα ο συντελεστής , που αντιστοιχεί στον σύνδεσμο της μικρότερης κατάταξης και μετατρέποντας τις τελευταίες τέσσερις εξισώσεις σε 1, και στην πρώτη εξίσωση είναι σκόπιμο να εξισωθεί ο συντελεστής με 1 . Οι υπόλοιποι συντελεστές ορίζονται στο 0.

Απάντηση: είδος ελαχιστοποιημένης συνάρτησης .

Πρέπει να σημειωθεί ότι η μέθοδος των αβέβαιων συντελεστών είναι αποτελεσματική όταν ο αριθμός των μεταβλητών είναι μικρός και δεν ξεπερνά τις 5-6.

Πολυδιάστατος κύβος

Εξετάστε μια γραφική αναπαράσταση μιας συνάρτησης με τη μορφή πολυδιάστατου κύβου. Κάθε κορυφή n-Ο διαστατικός κύβος μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία με το συστατικό μονάδας.

Το υποσύνολο των επισημασμένων κορυφών είναι μια αντιστοίχιση n-διαστατικός κύβος της συνάρτησης Boolean από nμεταβλητές στο SDNF.

Για να εμφανίσετε τη λειτουργία από nμεταβλητές που παρουσιάζονται σε οποιοδήποτε DNF, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ των ελαχίστων και των στοιχείων του n-διαστατικός κύβος.

Ελάχιστος όρος (n-1)-th rank
μπορεί να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα της κόλλησης δύο μινιθερμίων n-η βαθμίδα, δηλ.

=

Στο n-διάστατος κύβος, αυτό αντιστοιχεί στην αντικατάσταση δύο κορυφών που διαφέρουν μόνο σε τιμές συντεταγμένων Χ Εγώσυνδέοντας αυτές τις κορυφές με μια ακμή (η άκρη λέγεται ότι καλύπτει τις κορυφές που προσπίπτουν σε αυτήν).

Έτσι, ελάχιστα ( n-1)-η σειρά αντιστοιχεί στις άκρες του n-διάστατου κύβου.

Ομοίως, η αντιστοιχία των ελάχιστων όρων ( n-2)-η σειρά πρόσωπα n-διαστατικός κύβος, καθένας από τους οποίους καλύπτει τέσσερις κορυφές (και τέσσερις άκρες).

Στοιχεία n-διαστατικό κύβο, που χαρακτηρίζεται από μικρόονομάζονται μετρήσεις μικρό-κύβους.

Άρα οι κορυφές είναι 0-κύβοι, οι ακμές είναι 1-κύβοι, οι όψεις είναι 2-κύβοι, και ούτω καθεξής.

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι η ελάχιστη ( n-S) κατάταξη στο DNF για τη συνάρτηση nεμφανίζονται μεταβλητές μικρό-κύβος και το καθένα μικρό-ο κύβος καλύπτει όλους εκείνους τους κύβους χαμηλότερης διάστασης που συνδέονται μόνο με τις κορυφές του.

Παράδειγμα. Στο σχ. δεδομένης χαρτογράφησης

Εδώ μινιτερμ
και
αντιστοιχούν σε 1-κύβους ( μικρό=3-2=1) και ελάχιστη Χ 3 χαρτογραφημένο σε 2 κύβους ( μικρό=3-1=2).

Έτσι, οποιοδήποτε DNF αντιστοιχεί σε n-σετ κύβου διαστάσεων μικρό-κύβους που καλύπτουν όλες τις κορυφές που αντιστοιχούν στα συστατικά των μονάδων (0-κύβος).

Στοιχεία. Για μεταβλητές Χ 1 ,Χ 2 ,…Χ nέκφραση
ονομάζεται συστατικό της μονάδας, και
- το συστατικό του μηδέν ( σημαίνει είτε , ή ).

Αυτό το συστατικό της ενότητας (μηδέν) μετατρέπεται σε μονάδα (μηδέν) μόνο με ένα σύνολο μεταβλητών τιμών που αντιστοιχεί σε αυτό, το οποίο προκύπτει εάν όλες οι μεταβλητές ληφθούν ίσες με ένα (μηδέν) και οι αρνήσεις τους - στο μηδέν (ένα) .

Για παράδειγμα: συστατική μονάδα
αντιστοιχεί στο σύνολο (1011) και στο μηδενικό συστατικό
- σετ (1001).

Δεδομένου ότι το SD(K)NF είναι ένας διαχωρισμός (σύνδεσμος) των συστατικών της ενότητας (μηδέν), μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συνάρτηση Boole που αντιπροσωπεύει φά(Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ n) γίνεται ένα (μηδέν) μόνο για σύνολα τιμών μεταβλητών Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ nπου αντιστοιχεί σε αυτά τα αντίγραφα. Σε άλλα σύνολα, αυτή η λειτουργία γίνεται 0 (ένα).

Αληθεύει και ο αντίστροφος ισχυρισμός, επί του οποίου το τρόπο αναπαράστασης ως τύπος οποιουδήποτεμια δυαδική συνάρτηση που ορίζεται από έναν πίνακα.

Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να γραφτούν οι διασυνδέσεις (συνδεσμοί) των συστατικών του ενός (μηδέν) που αντιστοιχούν στα σύνολα μεταβλητών τιμών στα οποία η συνάρτηση παίρνει την τιμή ίση με ένα (μηδέν).

Για παράδειγμα, η συνάρτηση που δίνεται από τον πίνακα

ανταποκρίνομαι

Οι παραστάσεις που προκύπτουν μπορούν να μετατραπούν σε άλλη μορφή με βάση τις ιδιότητες της άλγεβρας της λογικής.

Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής: αν κάποια οριστεί μικρό-Οι κύβοι καλύπτει το σύνολο όλων των κορυφών που αντιστοιχούν σε μοναδιαίες τιμές της συνάρτησης και στη συνέχεια τον διαχωρισμό που αντιστοιχεί σε αυτές μικρό-κύβους ελαχίστων είναι η έκφραση της δεδομένης συνάρτησης στο DNF.

Λέγεται ότι ένα τέτοιο σύνολο μικρό-Οι κύβοι (ή τα ελάχιστα που τους αντιστοιχούν) σχηματίζει ένα κάλυμμα της συνάρτησης. Η επιθυμία για μια μινιμαλιστική φόρμα νοείται διαισθητικά ως αναζήτηση μιας τέτοιας κάλυψης, του αριθμού μικρό-Οι κύβοι των οποίων θα ήταν μικρότεροι και η διάστασή τους μικρό- περισσότερο. Το κάλυμμα που αντιστοιχεί στο ελάχιστο σχήμα ονομάζεται ελάχιστο κάλυμμα.

Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση στο=
Η κάλυψη αντιστοιχεί στη μη ελάχιστη μορφή:

ρύζι α) στο=,

μια επικάλυψη στο σχ. β) στο=
, ρύζι γ) στο=
ελάχιστος.

Ρύζι. Κάλυψη λειτουργιών στο=:

α) μη ελάχιστη· β), γ) ελάχιστο.

Η αντιστοίχιση συναρτήσεων ενεργοποιείται n-διαστάσεις καθαρά και απλά με n3. Ένας τετραδιάστατος κύβος μπορεί να απεικονιστεί όπως φαίνεται στο σχήμα, ο οποίος εμφανίζει τις συναρτήσεις τεσσάρων μεταβλητών και την ελάχιστη κάλυψή του που αντιστοιχεί στην έκφραση στο=

Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο για nΤο >4 απαιτεί τόσο σύνθετες κατασκευές που χάνει όλα τα πλεονεκτήματά του.