Βρείτε την επέκταση ενός διανύσματος από την άποψη της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής βάσης. Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Διανυσματική βάση

Βάση(αρχαία ελληνικά βασις, βάση) - ένα σύνολο τέτοιων διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο που κάθε διάνυσμα αυτού του χώρου μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων από αυτό το σύνολο - διανύσματα βάσης

Μια βάση στο χώρο R n είναι οποιοδήποτε σύστημα από n-γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Κάθε διάνυσμα από το Rn που δεν περιλαμβάνεται στη βάση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης, δηλ. επεκτείνεται στη βάση.
Έστω μια βάση του χώρου R n και . Τότε υπάρχουν αριθμοί λ 1 , λ 2 , …, λ n τέτοιοι ώστε .
Οι συντελεστές διαστολής λ 1 , λ 2 , ..., λ n , ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος στη βάση Β. Αν δοθεί η βάση, τότε οι συντελεστές του διανύσματος προσδιορίζονται μοναδικά.

Σχόλιο. Σε καθε n-διαστατικό διανυσματικό χώρο, μπορεί κανείς να επιλέξει αμέτρητοςδιάφορες βάσεις. Σε διαφορετικές βάσεις, το ίδιο διάνυσμα έχει διάφορες συντεταγμένες, αλλά μοναδικό στην επιλεγμένη βάση. Παράδειγμα.Αναπτύξτε το διάνυσμα ως προς το .
Λύση. . Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες όλων των διανυσμάτων και εκτελέστε ενέργειες σε αυτά:

Εξισώνοντας τις συντεταγμένες, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Ας το λύσουμε: .
Έτσι, παίρνουμε την επέκταση: .
Στη βάση, το διάνυσμα έχει συντεταγμένες .

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει σε:

Η έννοια του διανύσματος. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που έχει ορισμένο μήκος i e τμήμα ορισμένο μήκοςπου έχει ένα από τα όρια του.. το μήκος ενός διανύσματος λέγεται συντελεστής του και συμβολίζεται με το σύμβολο συντελεστή του διανύσματος.. το διάνυσμα λέγεται μηδέν συμβολίζεται αν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν.το διάνυσμα μηδέν δεν έχει ορισμένη ..

Αν χρειάζεσαι πρόσθετο υλικόγια αυτό το θέμα, ή δεν βρήκατε αυτό που ψάχνατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό αποδείχθηκε χρήσιμο για εσάς, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

Η βάση του χώρουκαλούμε ένα τέτοιο σύστημα διανυσμάτων στο οποίο όλα τα άλλα διανύσματα του χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.
Στην πράξη, όλα αυτά είναι αρκετά απλά. Η βάση, κατά κανόνα, ελέγχεται σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα και γι 'αυτό πρέπει να βρείτε την ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης, τρίτης τάξης, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων. Σχηματικά γραμμένο παρακάτω συνθήκες υπό τις οποίες τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Προς την επεκτείνετε το διάνυσμα b ως προς τα διανύσματα βάσης
e,e...,e[n] είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντελεστές x, ..., x[n] για τους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων e,e...,e[n] ισούται με το διάνυσμα σι:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = β.
Για να γίνει αυτό, η διανυσματική εξίσωση θα πρέπει να μετατραπεί στο σύστημα γραμμικές εξισώσειςκαι να βρεις λύσεις. Είναι επίσης αρκετά εύκολο να εφαρμοστεί.
Καλούνται οι συντελεστές x, ..., x[n] που βρέθηκαν συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση e,e...,e[n].
Ας περάσουμε στην πρακτική πλευρά του θέματος.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε διανύσματα βάσης

Εργασία 1. Ελέγξτε αν τα διανύσματα a1, a2 αποτελούν βάση στο επίπεδο

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Λύση: Να συνθέσετε την ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και να την υπολογίσετε

Η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν, Συνεπώς Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, πράγμα που σημαίνει ότι αποτελούν βάση.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Λύση: Υπολογίζουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα

Η ορίζουσα είναι ίση με 13 (όχι ίση με μηδέν) - από αυτό προκύπτει ότι τα διανύσματα a1, a2 είναι μια βάση στο επίπεδο.

---=================---

Σκεφτείτε τυπικά παραδείγματααπό το πρόγραμμα IAPM στον κλάδο «Ανώτατα Μαθηματικά».

Εργασία 2. Δείξτε ότι τα διανύσματα a1, a2, a3 αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικός χώρος, και επεκτείνετε το διάνυσμα b σε αυτή τη βάση (όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικές εξισώσειςχρησιμοποιήστε τη μέθοδο του Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Λύση: Αρχικά, εξετάστε το σύστημα των διανυσμάτων a1, a2, a3 και ελέγξτε την ορίζουσα του πίνακα A

χτισμένο σε διανύσματα άλλα από το μηδέν. Ο πίνακας περιέχει ένα μηδενικό στοιχείο, επομένως είναι πιο σκόπιμο να υπολογιστεί η ορίζουσα ως χρονοδιάγραμμα για την πρώτη στήλη ή την τρίτη σειρά.

Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, βρήκαμε ότι η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως Τα διανύσματα a1, a2, a3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Εξ ορισμού, τα διανύσματα αποτελούν τη βάση στο R3. Ας γράψουμε το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b ως προς τη βάση

Τα διανύσματα είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.
Επομένως, από τη διανυσματική εξίσωση παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Επίλυση SLAE Η μέθοδος του Cramer. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων στη μορφή

Η κύρια ορίζουσα του SLAE είναι πάντα ίση με την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα βάσης

Επομένως, στην πράξη δεν υπολογίζεται δύο φορές. Για να βρούμε βοηθητικούς ορίζοντες, βάζουμε μια στήλη με ελεύθερους όρους στη θέση κάθε στήλης της κύριας ορίζουσας. Οι ορίζουσες υπολογίζονται σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων

Αντικαταστήστε τις ευρεθείσες ορίζουσες στον τύπο του Cramer

Άρα, η επέκταση του διανύσματος b ως προς τη βάση έχει τη μορφή b=-4a1+3a2-a3 . Οι συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση a1, a2, a3 θα είναι (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Λύση: Ελέγχουμε τα διανύσματα για τη βάση - συνθέτουμε την ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και την υπολογίζουμε

Επομένως, η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν τα διανύσματα αποτελούν τη βάση στο χώρο. Μένει να βρούμε το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b ως προς τη δεδομένη βάση. Για να γίνει αυτό, γράφουμε τη διανυσματική εξίσωση

και να μετατραπεί σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Καταγράφουμε εξίσωση μήτρας

Στη συνέχεια, για τους τύπους Cramer, βρίσκουμε βοηθητικούς ορίζοντες

Εφαρμογή των τύπων Cramer

Άρα το δεδομένο διάνυσμα b έχει ένα χρονοδιάγραμμα μέσω δύο διανυσμάτων βάσης b=-2a1+5a3, και οι συντεταγμένες του στη βάση είναι ίσες με b(-2,0, 5).

Λ. 2-1 Βασικές έννοιες διανυσματικής άλγεβρας. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση.

Βασικές έννοιες της διανυσματικής άλγεβρας

Ένα διάνυσμα είναι το σύνολο όλων των κατευθυνόμενων τμημάτων που έχουν το ίδιο μήκοςκαι κατεύθυνση
.

Ιδιότητες:

Γραμμικές πράξειςπάνω από διανύσματα

Κανόνας παραλληλογράμμου:

ΑΠΟ ummahδύο διανύσματα και που ονομάζεται διάνυσμα , βγαίνοντας από την κοινή τους προέλευση και είναι η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου χτισμένου σε διανύσματα και όπως στα πλάγια.

Κανόνας πολυγώνου:

Για να κατασκευάσετε το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων, πρέπει να τοποθετήσετε την αρχή του 2ου διανύσματος στο τέλος του 1ου όρου, την αρχή του 3ου στο τέλος του 2ου και ούτω καθεξής. Το διάνυσμα που κλείνει το προκύπτον σπασμένη γραμμή, είναι το άθροισμα. Η αρχή του συμπίπτει με την αρχή του πρώτου, και το τέλος με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες:

Διανυσματικό προϊόν ανά αριθμό , ονομάζεται διάνυσμα που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:
.

Ιδιότητες:

διαφοράφορείς και διάνυσμα κλήσης ίσο με το άθροισμα του διανύσματος και ένα διάνυσμα αντίθετο από το διάνυσμα , δηλ.
.

- ο νόμος του αντίθετου στοιχείου (διάνυσμα).

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση

Το άθροισμα των διανυσμάτων προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο
(αλλά μόνο ). Η αντίστροφη πράξη, η αποσύνθεση ενός διανύσματος σε πολλά συστατικά, είναι διφορούμενη: Για να καταστεί σαφές, είναι απαραίτητο να υποδεικνύονται οι κατευθύνσεις στις οποίες συμβαίνει η επέκταση του εξεταζόμενου διανύσματος ή, όπως λένε, είναι απαραίτητο να υποδειχθεί βάση.

Κατά τον προσδιορισμό της βάσης, η απαίτηση της μη ομοεπίπεδης και μη συγγραμμικότητας των διανυσμάτων είναι απαραίτητη. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτής της απαίτησης, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την έννοια της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των διανυσμάτων.

Αυθαίρετη έκφραση της μορφής: , καλείται γραμμικός συνδυασμόςφορείς
.

Ένας γραμμικός συνδυασμός πολλών διανυσμάτων ονομάζεται ασήμαντοςαν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν.

Διανύσματα
που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με μηδέν:
(1), παρέχεται
. Αν η ισότητα (1) ισχύει μόνο για όλους
ταυτόχρονα ίσο με μηδέν και μετά μη μηδενικά διανύσματα
θα γραμμικά ανεξάρτητη.

Είναι εύκολο να αποδείξεις: οποιαδήποτε δύο συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ξεκινάμε την απόδειξη με τον πρώτο ισχυρισμό.

Αφήστε τα διανύσματα και συγγραμμική. Ας δείξουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Πράγματι, αν είναι συγγραμμικά, τότε διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά έναν αριθμητικό παράγοντα, δηλ.
, Συνεπώς
. Εφόσον ο γραμμικός συνδυασμός που προκύπτει είναι σαφώς μη τετριμμένος και ισούται με "0", τότε τα διανύσματα και γραμμικά εξαρτώμενη.

Ας εξετάσουμε τώρα δύο μη γραμμικά διανύσματα και . Ας αποδείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κατασκευάζουμε την απόδειξη με αντίφαση.

Υποθέτουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Τότε πρέπει να υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός
. Ας το προσποιηθούμε
, έπειτα
. Η προκύπτουσα ισότητα σημαίνει ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικές, σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση.

Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει: οποιαδήποτε τρία ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα και δύο μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Επιστρέφοντας στην έννοια της βάσης και στο πρόβλημα της επέκτασης ενός διανύσματος σε μια συγκεκριμένη βάση, μπορούμε να πούμε ότι η βάση στο επίπεδο και στο χώρο σχηματίζεται από ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων.Μια τέτοια έννοια βάσης είναι γενική, αφού εφαρμόζεται σε χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων.

Έκφραση όπως:
, ονομάζεται αποσύνθεση του διανύσματος κατά διανύσματα ,…,.

Αν θεωρήσουμε μια βάση στον τρισδιάστατο χώρο, τότε η αποσύνθεση του διανύσματος βάση
θα είναι
, όπου
-διανυσματικές συντεταγμένες.

Στο πρόβλημα της επέκτασης ενός αυθαίρετου διανύσματος σε κάποια βάση, η ακόλουθη δήλωση είναι πολύ σημαντική: οποιοδήποτε διάνυσμαμπορεί να αποσυντεθεί με μοναδικό τρόπο στη δεδομένη βάση
. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες
για οποιοδήποτε διάνυσμα σε σχέση με τη βάση
ορίζεται ξεκάθαρα.

Η εισαγωγή μιας βάσης στο χώρο και σε ένα επίπεδο καθιστά δυνατή την αντιστοίχιση σε κάθε διάνυσμα διέταξε τριπλό (ζεύγος) αριθμών - τις συντεταγμένες του. Αυτό το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα, που καθιστά δυνατή τη δημιουργία μιας σύνδεσης μεταξύ γεωμετρικών αντικειμένων και αριθμών, καθιστά δυνατή την αναλυτική περιγραφή και μελέτη της θέσης και της κίνησης των φυσικών αντικειμένων.

Ο συνδυασμός σημείου και βάσης ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων.

Εάν τα διανύσματα που αποτελούν τη βάση είναι μοναδιαία και κατά ζεύγη κάθετα, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιος,και η βάση ορθοκανονική.

L. 2-2 Προϊόν διανυσμάτων

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση

Σκεφτείτε το διάνυσμα
, δίνεται από τις συντεταγμένες του:
.

- διανυσματικά στοιχεία σε κατευθύνσεις διανυσμάτων βάσης
.

Έκφραση της φόρμας
ονομάζεται αποσύνθεση του διανύσματος βάση
.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να αποσυντεθεί βάση
διάνυσμα
:

Συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζονται από το θεωρούμενο διάνυσμα με διανύσματα βάσης
που ονομάζεται συνημίτονα κατεύθυνσης

;
;
.

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων και ονομάζεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων αυτών των διανυσμάτων με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας

Το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί ως το γινόμενο του συντελεστή ενός από αυτά τα διανύσματα και η ορθογώνια προβολή του άλλου διανύσματος στην κατεύθυνση του πρώτου
.

Ιδιότητες:

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι γνωστές
και
, στη συνέχεια, έχοντας επεκτείνει τα διανύσματα ως προς τη βάση
:
και
, εύρημα

, επειδή
,
, έπειτα

Συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων:
.

Προϋπόθεση συγγραμμικότητας για πρυτάνεις:
.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων

διανυσματική τέχνη ανά διάνυσμα ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται
, το οποίο πληροί τις προϋποθέσεις:

Ιδιότητες:

Οι θεωρούμενες αλγεβρικές ιδιότητες καθιστούν δυνατή την εύρεση μιας αναλυτικής έκφρασης για το διασταυρούμενο γινόμενο ως προς τις συντεταγμένες των συστατικών διανυσμάτων σε ορθοκανονική βάση.

Δεδομένος:
και
.

επειδή ,
,
,
,
,
,
, έπειτα

. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί πιο σύντομος, με τη μορφή μιας ορίζουσας τρίτης τάξης:

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων ,και ονομάζεται αριθμός ίσος με το διανυσματικό γινόμενο
, πολλαπλασιαζόμενο κλιμακωτά με το διάνυσμα .

Η ακόλουθη ισότητα ισχύει:
, άρα γράφεται το μικτό προϊόν
.

Όπως προκύπτει από τον ορισμό, το αποτέλεσμα ενός μικτού προϊόντα των τριώνδιανύσματα είναι ένας αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει μια σαφή γεωμετρική σημασία:

Μονάδα μικτού προϊόντος
ισούται με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίστηκε στο ανηγμένο σε κοινή αρχήφορείς ,και .

Μικτές ιδιότητες προϊόντος:

Αν οι φορείς ,,δίνονται στην ορθοκανονική βάση
τις συντεταγμένες τους, ο υπολογισμός του μικτού προϊόντος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

Πράγματι, αν
, έπειτα

;
;
, έπειτα
.

Αν οι φορείς ,,είναι ομοεπίπεδα, τότε το διανυσματικό γινόμενο
κάθετο στο διάνυσμα . Και το αντίστροφο, αν
, τότε ο όγκος του παραλληλεπίπεδου είναι μηδέν, και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα (γραμμικά εξαρτημένα).

Έτσι τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Στο διανυσματικό λογισμό και τις εφαρμογές του μεγάλης σημασίαςέχει ένα πρόβλημα αποσύνθεσης, το οποίο συνίσταται στην αναπαράσταση ενός δεδομένου διανύσματος ως άθροισμα πολλών διανυσμάτων, που ονομάζονται συνιστώσες ενός δεδομένου

διάνυσμα. Αυτό το καθήκον, που έχει γενική περίπτωσηένας άπειρος αριθμός λύσεων γίνεται αρκετά ορισμένος αν δοθούν κάποια στοιχεία των συστατικών διανυσμάτων.

2. Παραδείγματα αποσύνθεσης.

Ας εξετάσουμε αρκετές πολύ συνηθισμένες περιπτώσεις αποσύνθεσης.

1. Αποσυνθέστε το δεδομένο διάνυσμα c σε δύο συνιστώσες διανύσματα από τα οποία το ένα, για παράδειγμα a, δίνεται σε μέγεθος και κατεύθυνση.

Το πρόβλημα περιορίζεται στον προσδιορισμό της διαφοράς μεταξύ δύο διανυσμάτων. Πράγματι, αν τα διανύσματα είναι συστατικά του διανύσματος c, τότε η ισότητα

Από εδώ, προσδιορίζεται το δεύτερο συστατικό διάνυσμα

2. Αποσυνθέστε το δεδομένο διάνυσμα c σε δύο συνιστώσες, το ένα από τα οποία πρέπει να βρίσκεται μέσα δεδομένο αεροπλάνοκαι το δεύτερο πρέπει να βρίσκεται στη δεδομένη γραμμή α.

Για να προσδιορίσουμε τα συστατικά διανύσματα, μετακινούμε το διάνυσμα c έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το σημείο τομής της δεδομένης ευθείας με το επίπεδο (σημείο Ο - βλ. Εικ. 18). Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή από το τέλος του διανύσματος c (σημείο C) έως

τομή με το επίπεδο (Β είναι το σημείο τομής), και στη συνέχεια από το σημείο Γ σχεδιάζουμε μια ευθεία παράλληλη

Τα διανύσματα και θα αναζητηθούν, δηλαδή, φυσικά, η υποδεικνυόμενη αποσύνθεση είναι δυνατή εάν η ευθεία α και το επίπεδο δεν είναι παράλληλες.

3. Δίνονται τρία ομοεπίπεδα διανύσματα a, b και c και τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Απαιτείται η αποσύνθεση του διανύσματος c σε διανύσματα

Ας πάρουμε και τα τρία δεδομένων διανυσμάτωνσε ένα σημείο Ο. Στη συνέχεια, λόγω της ομοεπίπεδής τους, θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Στο δεδομένο διάνυσμαμε όπως στη διαγώνιο κατασκευάζουμε ένα παραλληλόγραμμο, οι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες με τις γραμμές δράσης των διανυσμάτων (Εικ. 19). Αυτή η κατασκευή είναι πάντα δυνατή (εκτός αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά) και μοναδική. Από το σχ. 19 δείχνει ότι