Μια πολύ σύντομη ιστορία επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Τετραγωνικές εξισώσεις στο al-Khorezmi

Από την ιστορία της εμφάνισης των τετραγωνικών εξισώσεων

Η άλγεβρα προέκυψε σε σχέση με την επίλυση διαφόρων προβλημάτων χρησιμοποιώντας εξισώσεις. Συνήθως στα προβλήματα απαιτείται η εύρεση ενός ή πολλών αγνώστων, ενώ γνωρίζουμε τα αποτελέσματα κάποιων ενεργειών που εκτελούνται στις επιθυμητές και δεδομένες ποσότητες. Τέτοια προβλήματα περιορίζονται στην επίλυση μιας ή ενός συστήματος πολλών εξισώσεων, στην εύρεση των επιθυμητών με τη βοήθεια αλγεβρικών πράξεων σε δεδομένες ποσότητες. Στην άλγεβρα μελετώνται οι γενικές ιδιότητες των ενεργειών σε ποσότητες.

Ορισμένες αλγεβρικές τεχνικές για την επίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων ήταν γνωστές ήδη πριν από 4000 χρόνια στην Αρχαία Βαβυλώνα.

Τετραγωνικές Εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο του πρώτου, αλλά και του δεύτερου βαθμού στην αρχαιότητα προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση περιοχών γης και χωματουργικών εργασιών στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και την ανάπτυξη της αστρονομίας και της αστρονομίας και της ανάπτυξης. τα ίδια τα μαθηματικά. Οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν τετραγωνικές εξισώσεις γύρω στο 2000 π.Χ. Εφαρμόζοντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που αναφέρεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, συμπίπτει ουσιαστικά με τον σύγχρονο, αλλά δεν είναι γνωστό πώς έφτασαν οι Βαβυλώνιοι σε αυτόν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που βρέθηκαν μέχρι τώρα δίνουν μόνο προβλήματα με λύσεις που δηλώνονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν. Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Η Αριθμητική του Διόφαντου δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας, αλλά περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με τη διατύπωση εξισώσεων διαφόρων βαθμών.

Κατά τη σύνταξη εξισώσεων, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια αγνώστους για να απλοποιήσει τη λύση.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.

Εργασία 2. «Βρείτε δύο αριθμούς, γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96».

Ο Διόφαντος υποστηρίζει ως εξής: από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι οι επιθυμητοί αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους θα ήταν ίσο όχι με 96, αλλά με 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι μεγαλύτερος από το ήμισυ του αθροίσματος τους, δηλαδή .10 + x. Το άλλο είναι μικρότερο, δηλαδή 10 - x. Η διαφορά μεταξύ τους είναι 2x. Εξ ου και η εξίσωση:

(10+x)(10-x)=96,

Άρα x = 2. Ένας από τους επιθυμητούς αριθμούς είναι το 12, ο άλλος είναι το 8. Η λύση x = - 2 για τον Διόφαντο δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.

Εάν λύσουμε αυτό το πρόβλημα, επιλέγοντας έναν από τους άγνωστους αριθμούς ως άγνωστο, τότε μπορούμε να καταλήξουμε στη λύση της εξίσωσης:

Είναι σαφές ότι ο Διόφαντος απλοποιεί τη λύση επιλέγοντας τη μισή διαφορά των επιθυμητών αριθμών ως άγνωστο. καταφέρνει να αναγάγει το πρόβλημα στην επίλυση μιας ημιτελούς δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

Προβλήματα για τις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική πραγματεία Aryabhattam, που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Μπραμαγκούπτα (7ος αιώνας), περιέγραψε τον γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

ax2 + bx = c, a>

Στην εξίσωση (1) οι συντελεστές μπορεί να είναι αρνητικοί. Ο κανόνας του Brahmagupta ουσιαστικά συμπίπτει με τον δικό μας.

Στην Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Σε ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία, λέγεται το εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι και ένας μορφωμένος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα στις δημόσιες συναντήσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα καθήκοντα ήταν συχνά ντυμένα με ποιητική μορφή.

Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του XII αιώνα. Μπασκάρα.

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι ο συγγραφέας γνώριζε τη διπλή αξία των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων.

Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 3 είναι:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

και, για να συμπληρώσει την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης στο τετράγωνο, προσθέτει 322 και στις δύο πλευρές, παίρνοντας τότε:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Τετραγωνικές εξισώσεις του Al-Khwarizmi

Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khwarizmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας απαριθμεί 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με ρίζες», δηλαδή ax2 = bx.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό», δηλαδή ax2 = c.

3) "Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό", δηλαδή τσεκούρι \u003d γ.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλαδή bx + c == ax2.

Για τον Al-Khwarizmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσεις. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας περιγράφει τις μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους al-jabr και al-muqabala. Η απόφασή του βέβαια δεν συμπίπτει απόλυτα με τη δική μας. Για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι είναι καθαρά ρητορικό, πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου, ο Αλ-Χουαρίζμι, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη το μηδέν λύση, μάλλον γιατί σε συγκεκριμένες πρακτικές εργασίες, δεν έχει σημασία. Όταν λύνει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις, ο Al-Khwarizmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυσή τους χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα και στη συνέχεια τις γεωμετρικές τους αποδείξεις.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Πρόβλημα 4. «Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρείτε τη ρίζα ”(υποδηλώνεται η ρίζα της εξίσωσης x2 + 21 \u003d 10x).

Λύση: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε το 21 από το γινόμενο, 4 απομένουν. Πάρτε τη ρίζα του 4, παίρνετε 2. Αφαιρέστε 2 από το 5, θα πάρετε 3, αυτό θα είναι την επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, το οποίο θα δώσει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

Η πραγματεία του Αλ-Χουαρίζμι είναι το πρώτο βιβλίο που μας έφτασε, στο οποίο παρουσιάζεται συστηματικά η ταξινόμηση των τετραγωνικών εξισώσεων και δίνονται τύποι για την επίλυσή τους.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην ΕυρώπηXII- XVIIσε.

Οι μορφές για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στο μοντέλο του Al-Khwarizmi στην Ευρώπη περιγράφηκαν για πρώτη φορά στο "Βιβλίο του Άβακα", που γράφτηκε το 1202. Ο Ιταλός μαθηματικός Leonard Fibonacci. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών.

Αυτό το βιβλίο συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλές εργασίες από αυτό το βιβλίο μεταφέρθηκαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 14ου-17ου αιώνα. Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή x2 + bx = c με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων και συντελεστών b, c, διατυπώθηκε στην Ευρώπη το 1544 από τον M. Stiefel.

Ο Vieta έχει μια γενική εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής, αλλά ο Vieta αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. λάβετε υπόψη, εκτός από τις θετικές, και τις αρνητικές ρίζες. Μόνο τον XVII αιώνα. χάρη στα έργα των Girard, Descartes, Newton και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων παίρνει μια σύγχρονη μορφή..

Οι απαρχές των αλγεβρικών μεθόδων για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων συνδέονται με την επιστήμη του αρχαίου κόσμου. Όπως είναι γνωστό από την ιστορία των μαθηματικών, ένα σημαντικό μέρος των προβλημάτων μαθηματικού χαρακτήρα, που επιλύθηκαν από Αιγύπτιους, Σουμερίους, Βαβυλώνιους γραφείς-υπολογιστές (XX-VI αιώνες π.Χ.), είχαν υπολογισμένο χαρακτήρα. Ωστόσο, ακόμη και τότε, κατά καιρούς, προέκυψαν προβλήματα στα οποία η επιθυμητή τιμή μιας ποσότητας προσδιοριζόταν από κάποιες έμμεσες συνθήκες που απαιτούσαν, από τη σύγχρονη σκοπιά μας, τη διατύπωση μιας εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Αρχικά, χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Αργότερα άρχισαν να σχηματίζονται οι απαρχές των αλγεβρικών παραστάσεων. Για παράδειγμα, οι Βαβυλωνιακές αριθμομηχανές μπόρεσαν να λύσουν προβλήματα που, από τη σκοπιά της σύγχρονης ταξινόμησης, ανάγονται σε εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Δημιουργήθηκε μια μέθοδος επίλυσης προβλημάτων κειμένου, η οποία αργότερα χρησίμευσε ως βάση για την ανάδειξη του αλγεβρικού στοιχείου και την ανεξάρτητη μελέτη του.

Αυτή η μελέτη διεξήχθη ήδη σε μια άλλη εποχή, πρώτα από Άραβες μαθηματικούς (VI-X αι. μ.Χ.), οι οποίοι ξεχώρισαν χαρακτηριστικές ενέργειες με τις οποίες οι εξισώσεις μειώνονταν σε μια τυπική μορφή, μείωση παρόμοιων όρων, μεταφορά όρων από ένα μέρος του εξίσωση σε άλλο με αλλαγή πρόσημου. Και στη συνέχεια από τους Ευρωπαίους μαθηματικούς της Αναγέννησης, ως αποτέλεσμα μακράς αναζήτησης, δημιούργησαν τη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, τη χρήση των γραμμάτων, την εισαγωγή συμβόλων για αριθμητικές πράξεις, αγκύλες κ.λπ. Στο γύρισμα του 16ου 17ος αιώνας. Η άλγεβρα ως συγκεκριμένο μέρος των μαθηματικών, που έχει το δικό της αντικείμενο, μέθοδο, τομείς εφαρμογής, έχει ήδη διαμορφωθεί. Η περαιτέρω ανάπτυξή του, μέχρι την εποχή μας, συνίστατο στη βελτίωση των μεθόδων, στη διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής, στην αποσαφήνιση των εννοιών και στη σύνδεσή τους με τις έννοιες άλλων κλάδων των μαθηματικών.

Λόγω λοιπόν της σημασίας και της απεραντοσύνης του υλικού που σχετίζεται με την έννοια της εξίσωσης, η μελέτη του στη σύγχρονη μεθοδολογία των μαθηματικών συνδέεται με τρεις κύριους τομείς εμφάνισης και λειτουργίας του.

Για να λύσετε οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση, πρέπει να γνωρίζετε:

ο τύπος για την εύρεση του διακριτικού

ο τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

· Αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων αυτού του τύπου.

να λύσει ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις.

να λύσει πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις.

να λύσει τις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.

να βρείτε λάθη στις λυμένες εξισώσεις και να τα διορθώσετε.

Κάντε έναν έλεγχο.

Η λύση κάθε εξίσωσης αποτελείται από δύο κύρια μέρη:

μετατροπή αυτής της εξίσωσης στις απλούστερες.

επίλυση εξισώσεων σύμφωνα με γνωστούς κανόνες, τύπους ή αλγόριθμους.

Η γενίκευση των μεθόδων δραστηριότητας των μαθητών στην επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων γίνεται σταδιακά. Τα ακόλουθα στάδια μπορούν να διακριθούν κατά τη μελέτη του θέματος "Τετραγωνικές Εξισώσεις":

Στάδιο Ι - «Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων».

Στάδιο ΙΙ - "Λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων."

Στάδιο III - "Λύση των ανηγμένων τετραγωνικών εξισώσεων."

Στο πρώτο στάδιο εξετάζονται ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αφού στην αρχή οι μαθηματικοί έμαθαν να λύνουν ημιτελείς δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αφού για αυτό δεν χρειαζόταν, όπως λένε, να εφεύρουν τίποτα. Αυτές είναι εξισώσεις της μορφής: ax2 = 0, ax2 + c = 0, όπου c≠ 0, ax2 + bx = 0, όπου b ≠ 0. Θεωρήστε τη λύση πολλών από αυτές τις εξισώσεις:

1. Αν ax2 = 0. Εξισώσεις αυτού του τύπου λύνονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

1) βρείτε το x2.

2) βρείτε το x.

Για παράδειγμα, 5x2 = 0 . Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 5, προκύπτει: x2 = 0, άρα x = 0.

2. Αν ax2 + c = 0, c≠ 0 Εξισώσεις αυτού του τύπου λύνονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

1) μετακινήστε τους όρους στη δεξιά πλευρά.

2) Να βρείτε όλους τους αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό c.

Για παράδειγμα, x2 - 5 = 0, Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x2 = 5. Επομένως, πρέπει να βρείτε όλους τους αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> και δεν έχει άλλες ρίζες.

3. Αν ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Εξισώσεις αυτού του είδους λύνονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο:

1) μετακινήστε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.

2) βρείτε τα x1, x2.

Για παράδειγμα, x2 - 3x \u003d 0. Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση x2 - 3x \u003d 0 με τη μορφή x (x - 3) \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει προφανώς ρίζες x1 \u003d 0, x2 \u003d 3. δεν έχει άλλες ρίζες, γιατί αν σε αντικατάσταση οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν και το 3 αντί του x, τότε στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης x (x - 3) \u003d 0 παίρνετε έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν.

Έτσι, αυτά τα παραδείγματα δείχνουν πώς λύνονται ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις:

1) αν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 = 0, τότε έχει μία ρίζα x = 0.

2) εάν η εξίσωση έχει τη μορφή ax2 + bx = 0, τότε χρησιμοποιείται η μέθοδος παραγοντοποίησης: x (ax + b) = 0; οπότε είτε x = 0 είτε ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> Σε περίπτωση -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, δηλ. - = m, όπου m>0, η εξίσωση x2 = m έχει δύο ρίζες

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (σε αυτή την περίπτωση, επιτρέπεται μια συντομότερη σημειογραφία =.

Άρα μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει δύο ρίζες, μία ρίζα, χωρίς ρίζες.

Στο δεύτερο στάδιο πραγματοποιείται η μετάβαση στη λύση της πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης. Πρόκειται για εξισώσεις της μορφής ax2 + bx + c = 0, όπου a, b, c δίνονται αριθμοί, a ≠ 0, x είναι ο άγνωστος.

Οποιαδήποτε πλήρης τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί στη φόρμα , προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αριθμό των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και να βρούμε αυτές τις ρίζες. Εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων: Δ< 0, D = 0, D > 0.

1. Εάν ο Δ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Για παράδειγμα, 2x2 + 4x + 7 = 0. Λύση: εδώ a = 2, b = 4, c = 7.

D \u003d b2 - 4ac \u003d 42 - 4 * 2 * 7 \u003d 16 - 56 \u003d - 40.

Αφού ο Δ< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Εάν D \u003d 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c \u003d 0 έχει μία ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο.

Για παράδειγμα, 4x - 20x + 25 = 0. Λύση: a = 4, b = - 20, c = 25.

D \u003d b2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4 * 4 * 25 \u003d 400 - 400 \u003d 0.

Εφόσον D = 0, αυτή η εξίσωση έχει μία ρίζα. Αυτή η ρίζα βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Καταρτίζεται αλγόριθμος για την επίλυση εξίσωσης της μορφής ax2 + bx + c = 0.

1. Υπολογίστε τη διάκριση D χρησιμοποιώντας τον τύπο D = b2 - 4ac.

2. Εάν ο Δ< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Αν D = 0, τότε η τετραγωνική εξίσωση έχει μία ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο

4..gif" width="101" height="45">.

Αυτός ο αλγόριθμος είναι καθολικός, μπορεί να εφαρμοστεί τόσο σε ημιτελείς όσο και σε πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις. Ωστόσο, οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις συνήθως δεν λύνονται με αυτόν τον αλγόριθμο.

Οι μαθηματικοί είναι πρακτικοί, οικονομικοί άνθρωποι, γι' αυτό χρησιμοποιούν τον τύπο: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src="> έχει το ίδιο πρόσημο με το D..gif" width="89" height="49"> τότε η εξίσωση (3) έχει δύο ρίζες ;

2) αν τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες που συμπίπτουν.

3) αν τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ένα σημαντικό σημείο στη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων είναι η εξέταση του θεωρήματος Vieta, το οποίο δηλώνει την ύπαρξη σχέσης μεταξύ των ριζών και των συντελεστών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης.

Το θεώρημα του Βιέτα. Το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Με άλλα λόγια, αν x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + px + q = 0, τότε

Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι Vieta προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού F. Vieta (), ο οποίος εισήγαγε ένα σύστημα αλγεβρικών συμβόλων, ανέπτυξε τα θεμέλια της στοιχειώδους άλγεβρας. Ήταν ένας από τους πρώτους που άρχισε να ορίζει αριθμούς με γράμματα, γεγονός που ανέπτυξε σημαντικά τη θεωρία των εξισώσεων.

Για παράδειγμα, η παραπάνω εξίσωση x2 - 7x +10 \u003d 0 έχει ρίζες 2 και 5. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο είναι 10. Μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή , που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα αντίστροφο με το θεώρημα του Vieta.

Αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Βιέτα. Εάν οι τύποι (5) ισχύουν για τους αριθμούς x1, x2, p, q, τότε x1 και x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + px + q = 0.

Το θεώρημα του Vieta και το αντίστροφό του χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων.

Για παράδειγμα. Ας γράψουμε τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί 1 και -3.

Σύμφωνα με τους τύπους του Βιέτα

– p = x1 + x2 = - 2,

Επομένως, η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή x2 + 2x - 3 = 0.

Η πολυπλοκότητα της κατάκτησης του θεωρήματος Vieta συνδέεται με διάφορες περιστάσεις. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η διαφορά μεταξύ άμεσων και αντίστροφων θεωρημάτων. Στο άμεσο θεώρημα του Vieta δίνονται μια τετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες της. στο αντίστροφο υπάρχουν μόνο δύο αριθμοί, και η τετραγωνική εξίσωση εμφανίζεται στο συμπέρασμα του θεωρήματος. Οι μαθητές συχνά κάνουν το λάθος να τεκμηριώνουν τη συλλογιστική τους με μια εσφαλμένη αναφορά στο άμεσο ή αντίστροφο θεώρημα Vieta.

Για παράδειγμα, όταν βρίσκετε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με επιλογή, πρέπει να αναφερθείτε στο αντίστροφο θεώρημα Vieta και όχι στο άμεσο, όπως κάνουν συχνά οι μαθητές. Προκειμένου να επεκτείνουμε τα θεωρήματα του Vieta στην περίπτωση του μηδενικού διαχωριστή, πρέπει να συμφωνήσουμε ότι στην περίπτωση αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίσες ρίζες. Η ευκολία μιας τέτοιας συμφωνίας εκδηλώνεται με την παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου.

Δεν υπάρχει ακόμα έκδοση HTML της εργασίας.

Παρόμοια Έγγραφα

Η ιστορία της ανάπτυξης τύπων για τις ρίζες των τετραγωνικών εξισώσεων. Τετραγωνικές Εξισώσεις στην Αρχαία Βαβυλώνα. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων από τον Διόφαντο. Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία, τη Χορεζμία και την Ευρώπη τον 13ο - 17ο αιώνα. Θεώρημα Vieta, σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία.

δοκιμή, προστέθηκε στις 27/11/2010

A History of Quadratic Equations: Equations in Ancient Babylon and India. Τύποι για άρτιο συντελεστή στο x. Τετραγωνικές εξισώσεις συγκεκριμένης φύσης. Το θεώρημα του Vieta για πολυώνυμα υψηλότερων βαθμών. Μελέτη διτετραγωνικών εξισώσεων. Η ουσία της φόρμουλας του Cordano.

περίληψη, προστέθηκε 05/09/2009

Παραγωγή του τύπου επίλυσης τετραγωνικής εξίσωσης στην ιστορία των μαθηματικών. Συγκριτική ανάλυση τεχνολογιών διαφόρων μεθόδων επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού, παραδείγματα εφαρμογής τους. Μια σύντομη θεωρία επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων, σύνταξη βιβλίου προβλημάτων.

περίληψη, προστέθηκε 18/12/2012

Η σημασία των μαθηματικών στη ζωή μας. Το ιστορικό του λογαριασμού. Η ανάπτυξη μεθόδων υπολογιστικών μαθηματικών στην παρούσα εποχή. Η χρήση των μαθηματικών σε άλλες επιστήμες, ο ρόλος της μαθηματικής μοντελοποίησης. Η κατάσταση της μαθηματικής εκπαίδευσης στη Ρωσία.

άρθρο, προστέθηκε 01/05/2010

Ελληνικά μαθηματικά. Μεσαίωνας και Αναγέννηση. Οι απαρχές των σύγχρονων μαθηματικών. Σύγχρονα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δεν βασίζονται στη λογική, αλλά στην υγιή διαίσθηση. Τα προβλήματα των θεμελίων των μαθηματικών είναι φιλοσοφικά.

περίληψη, προστέθηκε 09/06/2006

Η ιστορία της ανάπτυξης της μαθηματικής επιστήμης στην Ευρώπη τον 6ο-14ο αιώνα, οι εκπρόσωποι και τα επιτεύγματά της. Η ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αναγέννηση. Δημιουργία κυριολεκτικού λογισμού, δραστηριότητα Φρανσουά Βιέτα. Βελτιώσεις στους υπολογιστές στα τέλη του 16ου - αρχές του 16ου αιώνα

παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015

Ανασκόπηση της ανάπτυξης των ευρωπαϊκών μαθηματικών στους αιώνες XVII-XVIII. Ανώμαλη ανάπτυξη της ευρωπαϊκής επιστήμης. Αναλυτική γεωμετρία. Δημιουργία μαθηματικής ανάλυσης. Επιστημονική σχολή Leibniz. Γενικά χαρακτηριστικά της επιστήμης τον XVIII αιώνα. Κατευθύνσεις ανάπτυξης των μαθηματικών.

παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015

Η περίοδος της γέννησης των μαθηματικών (μέχρι τον 7ο-5ο αι. π.Χ.). Χρόνος μαθηματικών σταθερών (7ος-5ος αι. π.Χ. - XVII αιώνας μ.Χ.). Μαθηματικά μεταβλητών (XVII-XIX αιώνες). Σύγχρονη περίοδος ανάπτυξης των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά των μαθηματικών υπολογιστών.

παρουσίαση, προστέθηκε 20/09/2015

Τα επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών που έζησαν μεταξύ του 6ου αιώνα π.Χ. και τον 5ο αιώνα μ.Χ. Χαρακτηριστικά της αρχικής περιόδου ανάπτυξης των μαθηματικών. Ο ρόλος της Πυθαγόρειας σχολής στην ανάπτυξη των μαθηματικών: Πλάτωνας, Εύδοξος, Ζήνων, Δημόκριτος, Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Απολλώνιος.

δοκιμή, προστέθηκε στις 17/09/2010

Η ιστορία της διαμόρφωσης των μαθηματικών ως επιστήμης. Περίοδος δημοτικών μαθηματικών. Η περίοδος δημιουργίας των μαθηματικών των μεταβλητών. Δημιουργία αναλυτικής γεωμετρίας, διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Η ανάπτυξη των μαθηματικών στη Ρωσία στους αιώνες XVIII-XIX.

Ερευνητικό έργο

Σχετικά με το θέμα

"Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων"

Εκτελέστηκε:
ομάδα 8 «Ζ» τάξη

Υπεύθυνος εργασίας:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Στόχοι και στόχοι του έργου.

1. Δείξτε ότι τα μαθηματικά, όπως και κάθε άλλη επιστήμη, έχουν αρκετά από τα άλυτα μυστήρια τους.
2. Τονίστε ότι οι μαθηματικοί διακρίνονται από μη τυπική σκέψη. Και μερικές φορές η ευρηματικότητα και η διαίσθηση ενός καλού μαθηματικού είναι απλά αξιοθαύμαστη!
3. Δείξτε ότι η ίδια η προσπάθεια επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων συνέβαλε στην ανάπτυξη νέων εννοιών και ιδεών στα μαθηματικά.
4. Μάθετε να εργάζεστε με διάφορες πηγές πληροφοριών.
5. Συνέχιση της ερευνητικής εργασίας στα μαθηματικά

Ερευνητικά στάδια

1. Η ιστορία της εμφάνισης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων.

2. Ορισμός δευτεροβάθμιας εξίσωσης και οι τύποι της.

3. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο διάκρισης.

4. Ο Francois Viet και το θεώρημά του.

5. Ιδιότητες συντελεστών για γρήγορη εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

6. Πρακτικός προσανατολισμός.

Μέσα από εξισώσεις, θεωρήματα

Έχω λύσει πολλά προβλήματα.

(Chaucer, Άγγλος ποιητής, Μεσαίωνας.)

στάδιο. Η ιστορία της εμφάνισης των τετραγωνικών εξισώσεων.

Η ανάγκη επίλυσης εξισώσεων όχι μόνο πρώτου, αλλά και δεύτερου βαθμού, ακόμη και στην αρχαιότητα, προκλήθηκε από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση των περιοχών γης και χωματουργικών εργασιών στρατιωτικού χαρακτήρα, καθώς και με την ανάπτυξη της ίδιας της αστρονομίας και των μαθηματικών.

Οι Βαβυλώνιοι μπόρεσαν να λύσουν τετραγωνικές εξισώσεις γύρω στο 2000 π.Χ. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, που αναφέρεται στα βαβυλωνιακά κείμενα, ουσιαστικά συμπίπτει με τα σύγχρονα, αλλά δεν είναι γνωστό πώς οι Βαβυλώνιοι βρήκαν τον κανόνα. Σχεδόν όλα τα σφηνοειδή κείμενα που βρέθηκαν μέχρι τώρα δίνουν μόνο προβλήματα με λύσεις που δηλώνονται με τη μορφή συνταγών, χωρίς καμία ένδειξη για το πώς βρέθηκαν.

Παρά το υψηλό επίπεδο ανάπτυξης της άλγεβρας στη Βαβυλώνα, τα σφηνοειδή κείμενα στερούνται την έννοια του αρνητικού αριθμού και τις γενικές μεθόδους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Η Αριθμητική του Διόφαντου περιέχει μια συστηματική σειρά προβλημάτων, που συνοδεύονται από επεξηγήσεις και λύνονται με τη διατύπωση εξισώσεων διαφόρων βαθμών, αλλά δεν περιέχει συστηματική παρουσίαση της άλγεβρας.

Προβλήματα για τις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στις αστρονομικές πραγματείες "Aryabhattiam", που συγκεντρώθηκαν το 499. Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Μπραμαγκούπτα (7ος αιώνας), περιέγραψε τον γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khorezmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας έχει 6 τύπους εξισώσεων. Για τον al-Khwarizmi, ο οποίος δεν γνώριζε αρνητικούς αριθμούς, οι όροι κάθε εξίσωσης είναι προσθέσεις και όχι αφαιρέσεις. Ταυτόχρονα, οι εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη· όταν λύνει μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση, ο al-Khwarizmi, όπως όλοι οι επιστήμονες πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση.

Η πραγματεία του al-Khwarizmi είναι το πρώτο βιβλίο που μας έχει φτάσει, στο οποίο παρουσιάζεται συστηματικά η ταξινόμηση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων και οι τύποι για την επίλυσή τους.

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στο μοντέλο του αλ-Χουαρίζμι στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο Βιβλίο του Άβακα, που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο διακρίνεται για την πληρότητα και τη σαφήνεια παρουσίασής του. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικές νέες αλγεβρικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά προβλήματα από το Βιβλίο του Άβακα πέρασαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 16ου-17ου και εν μέρει του 18ου αιώνα.

Γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων ανάγονται σε μια ενιαία κανονική μορφή με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων των συντελεστών b,c διατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Ο Vieta έχει μια γενική εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής, αλλά ο Vieta αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα που έλαβαν υπόψη τους όχι μόνο θετικές, αλλά και αρνητικές ρίζες. Μόνο τον 17ο αιώνα, χάρη στα έργα του Girrard, του Descartes, του Newton και άλλων επιστημόνων, η μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων πήρε σύγχρονη μορφή.

ΚΑΤΑΛΗΓΕΙ:

Προβλήματα στις τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στο 499.

Στην αρχαία Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι - ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ .

©2015-2019 ιστότοπος
Όλα τα δικαιώματα ανήκουν στους δημιουργούς τους. Αυτός ο ιστότοπος δεν διεκδικεί την πνευματική ιδιοκτησία, αλλά παρέχει δωρεάν χρήση.
Ημερομηνία δημιουργίας σελίδας: 2016-04-11

Αγροτικό γυμνάσιο Kopyevskaya

10 τρόποι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων

Επικεφαλής: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

καθηγητής μαθηματικών

s.Kopyevo, 2007

1. Ιστορία ανάπτυξης δευτεροβάθμιων εξισώσεων

1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην αρχαία Βαβυλώνα

1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέταξε και έλυνε δευτεροβάθμιες εξισώσεις

1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις στο al-Khwarizmi

1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII αιώνες

1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta

2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

1. Ιστορία ανάπτυξης τετραγωνικών εξισώσεων

1.1 Τετραγωνικές εξισώσεις στην αρχαία Βαβυλώνα

Εφαρμόζοντας τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία, μπορούμε να πούμε ότι στα σφηνοειδή κείμενά τους υπάρχουν, εκτός από τα ημιτελή, όπως, για παράδειγμα, πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις:

Χ 2 + Χ = ¾; Χ 2 - Χ = 14,5

1.2 Πώς ο Διόφαντος συνέταξε και έλυνε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Κατά τη σύνταξη εξισώσεων, ο Διόφαντος επιλέγει επιδέξια αγνώστους για να απλοποιήσει τη λύση.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένα από τα καθήκοντά του.

Εργασία 11."Βρείτε δύο αριθμούς γνωρίζοντας ότι το άθροισμά τους είναι 20 και το γινόμενο τους είναι 96"

Ο Διόφαντος υποστηρίζει ως εξής: από την συνθήκη του προβλήματος προκύπτει ότι οι επιθυμητοί αριθμοί δεν είναι ίσοι, αφού αν ήταν ίσοι, τότε το γινόμενο τους δεν θα ήταν 96, αλλά 100. Έτσι, ένας από αυτούς θα είναι περισσότερο από το μισό του άθροισμα, δηλ. 10+x, το άλλο είναι μικρότερο, δηλ. δεκαετία του 10. Η διαφορά μεταξύ τους 2x .

Εξ ου και η εξίσωση:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Από εδώ x = 2. Ένας από τους επιθυμητούς αριθμούς είναι 12 , άλλα 8 . Λύση x = -2γιατί ο Διόφαντος δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζαν μόνο θετικούς αριθμούς.

Εάν λύσουμε αυτό το πρόβλημα επιλέγοντας έναν από τους επιθυμητούς αριθμούς ως άγνωστο, τότε θα καταλήξουμε στη λύση της εξίσωσης

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία

Προβλήματα για τετραγωνικές εξισώσεις βρίσκονται ήδη στην αστρονομική οδό "Aryabhattam", που συντάχθηκε το 499 από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Aryabhatta. Ένας άλλος Ινδός επιστήμονας, ο Μπραμαγκούπτα (7ος αιώνας), περιέγραψε τον γενικό κανόνα για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

αχ 2+ σι x = c, a > 0. (1)

Στην εξίσωση (1), οι συντελεστές, εκτός από ένα, μπορεί επίσης να είναι αρνητικό. Ο κανόνας του Brahmagupta ουσιαστικά συμπίπτει με τον δικό μας.

Στην αρχαία Ινδία, οι δημόσιοι διαγωνισμοί για την επίλυση δύσκολων προβλημάτων ήταν συνηθισμένοι. Σε ένα από τα παλιά ινδικά βιβλία, λέγεται το εξής για τέτοιους διαγωνισμούς: «Όπως ο ήλιος ξεπερνά τα αστέρια με τη λάμψη του, έτσι ένας μορφωμένος άνθρωπος θα ξεπεράσει τη δόξα του άλλου στις δημόσιες συναντήσεις, προτείνοντας και λύνοντας αλγεβρικά προβλήματα». Τα καθήκοντα ήταν συχνά ντυμένα με ποιητική μορφή.

Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα του διάσημου Ινδού μαθηματικού του XII αιώνα. Μπασκάρα.

Εργασία 13.

«Ένα ζωηρό κοπάδι από μαϊμούδες και δώδεκα σε κλήματα…

Έχοντας φάει δύναμη, διασκέδασε. Άρχισαν να πηδούν, κρέμονται ...

Μέρος όγδοο από αυτά σε ένα τετράγωνο Πόσοι πίθηκοι ήταν εκεί,

Διασκεδάζοντας στο λιβάδι. Θα μου πεις, σε αυτό το κοπάδι;

Η λύση του Bhaskara δείχνει ότι γνώριζε για τη διπλή αξία των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων (Εικ. 3).

Η εξίσωση που αντιστοιχεί στο πρόβλημα 13 είναι:

( Χ /8) 2 + 12 = Χ

Ο Bhaskara γράφει υπό το πρόσχημα του:

x 2 - 64x = -768

και, για να συμπληρώσει την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης σε τετράγωνο, προσθέτει και στις δύο πλευρές 32 2 , παίρνοντας τότε:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Τετραγωνικές εξισώσεις στο al-Khorezmi

Η αλγεβρική πραγματεία του Al-Khorezmi δίνει μια ταξινόμηση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Ο συγγραφέας απαριθμεί 6 τύπους εξισώσεων, εκφράζοντας τους ως εξής:

1) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.

2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό», δηλ. τσεκούρι 2 = s.

3) «Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό», δηλ. αχ = s.

4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλ. τσεκούρι 2 + γ = σι Χ.

5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες ισούνται με τον αριθμό», δηλ. αχ 2+ bx = s.

6) «Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα», δηλ. bx + c \u003d τσεκούρι 2.

Για τον al-Khwarizmi, ο οποίος απέφυγε τη χρήση αρνητικών αριθμών, οι όροι καθεμιάς από αυτές τις εξισώσεις είναι προσθέσεις, όχι αφαιρέσεις. Στην περίπτωση αυτή προφανώς δεν λαμβάνονται υπόψη εξισώσεις που δεν έχουν θετικές λύσεις. Ο συγγραφέας περιγράφει τις μεθόδους για την επίλυση αυτών των εξισώσεων, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους al-jabr και al-muqabala. Οι αποφάσεις του, φυσικά, δεν συμπίπτουν απόλυτα με τις δικές μας. Για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι είναι καθαρά ρητορικό, θα πρέπει να σημειωθεί, για παράδειγμα, ότι όταν λύνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση πρώτου τύπου

Ο al-Khorezmi, όπως όλοι οι μαθηματικοί πριν από τον 17ο αιώνα, δεν λαμβάνει υπόψη τη μηδενική λύση, πιθανώς επειδή δεν έχει σημασία σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα. Κατά την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, ο al-Khorezmi καθορίζει τους κανόνες για την επίλυση, και στη συνέχεια τις γεωμετρικές αποδείξεις, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά παραδείγματα.

Εργασία 14.«Το τετράγωνο και ο αριθμός 21 είναι ίσοι με 10 ρίζες. Βρες τη ρίζα" (υποθέτοντας τη ρίζα της εξίσωσης x 2 + 21 = 10x).

Η λύση του συγγραφέα έχει κάπως έτσι: διαιρέστε τον αριθμό των ριζών στο μισό, παίρνετε 5, πολλαπλασιάζετε 5 με τον εαυτό του, αφαιρείτε 21 από το γινόμενο, 4 απομένουν. Πάρτε τη ρίζα του 4, παίρνετε 2. Αφαιρέστε 2 από 5, μπορείτε πάρτε 3, αυτή θα είναι η επιθυμητή ρίζα. Ή προσθέστε το 2 στο 5, το οποίο θα δώσει 7, αυτό είναι επίσης μια ρίζα.

Η πραγματεία al-Khorezmi είναι το πρώτο βιβλίο που μας έχει φτάσει, στο οποίο δηλώνεται συστηματικά η ταξινόμηση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων και δίνονται τύποι για την επίλυσή τους.

1.5 Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη XIII - XVII αιώνες

Οι τύποι για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στο μοντέλο του al-Khorezmi στην Ευρώπη παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά στο «Βιβλίο του Άβακα», που γράφτηκε το 1202 από τον Ιταλό μαθηματικό Λεονάρντο Φιμπονάτσι. Αυτό το ογκώδες έργο, που αντικατοπτρίζει την επίδραση των μαθηματικών, τόσο των χωρών του Ισλάμ όσο και της Αρχαίας Ελλάδας, διακρίνεται τόσο από πληρότητα όσο και από σαφήνεια παρουσίασης. Ο συγγραφέας ανέπτυξε ανεξάρτητα μερικά νέα αλγεβρικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων και ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που προσέγγισε την εισαγωγή αρνητικών αριθμών. Το βιβλίο του συνέβαλε στη διάδοση της αλγεβρικής γνώσης όχι μόνο στην Ιταλία, αλλά και στη Γερμανία, τη Γαλλία και άλλες ευρωπαϊκές χώρες. Πολλά καθήκοντα από το «Βιβλίο του Άβακα» πέρασαν σε όλα σχεδόν τα ευρωπαϊκά σχολικά βιβλία του 16ου - 17ου αιώνα. και εν μέρει XVIII.

Ο γενικός κανόνας για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων που ανάγεται σε μια ενιαία κανονική μορφή:

x 2+ bx = με,

για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων των συντελεστών σι , Μεδιατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Ο Vieta έχει μια γενική εξαγωγή του τύπου για την επίλυση μιας εξίσωσης τετραγωνικής, αλλά ο Vieta αναγνώρισε μόνο θετικές ρίζες. Οι Ιταλοί μαθηματικοί Tartaglia, Cardano, Bombelli ήταν από τους πρώτους τον 16ο αιώνα. Λάβετε υπόψη, εκτός από τις θετικές, και τις αρνητικές ρίζες. Μόνο τον XVII αιώνα. Χάρη στο έργο του Girard, του Descartes, του Newton και άλλων επιστημόνων, ο τρόπος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων αποκτά μια σύγχρονη ματιά.

1.6 Σχετικά με το θεώρημα του Vieta

Το θεώρημα που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης και των ριζών της, που φέρει το όνομα Vieta, διατυπώθηκε από τον ίδιο για πρώτη φορά το 1591 ως εξής: «Αν σι + ρεπολλαπλασιάζεται επί ΕΝΑ - ΕΝΑ 2 , ίσον BD, έπειτα ΕΝΑισοδυναμεί ΣΤΟκαι ίσοι ρε ».

Για να καταλάβει κανείς τον Βιέτα, πρέπει να το θυμάται αυτό ΑΛΛΑ, όπως κάθε φωνήεν, σήμαινε για αυτόν το άγνωστο (μας Χ), τα φωνήεντα ΣΤΟ, ρε- συντελεστές για το άγνωστο. Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση του Vieta σημαίνει: αν

(α + σι )x - x 2 = αβ ,

x 2 - (a + σι )x + α σι = 0,

x 1 = a, x 2 = σι .

Εκφράζοντας τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών των εξισώσεων με γενικούς τύπους που γράφτηκαν χρησιμοποιώντας σύμβολα, ο Viet καθιέρωσε ομοιομορφία στις μεθόδους επίλυσης εξισώσεων. Ωστόσο, ο συμβολισμός του Vieta απέχει ακόμα πολύ από τη σύγχρονη μορφή του. Δεν αναγνώριζε αρνητικούς αριθμούς, και ως εκ τούτου, κατά την επίλυση εξισώσεων, έλαβε υπόψη μόνο περιπτώσεις όπου όλες οι ρίζες είναι θετικές.

2. Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων

Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο στηρίζεται το μεγαλειώδες οικοδόμημα της άλγεβρας. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση τριγωνομετρικών, εκθετικών, λογαριθμικών, παράλογων και υπερβατικών εξισώσεων και ανισώσεων. Όλοι γνωρίζουμε πώς να λύνουμε δευτεροβάθμιες εξισώσεις από το σχολείο (τάξη 8) μέχρι την αποφοίτηση.

Πώς ο Διόφαντος συνέταξε και έλυνε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Εξ ου και η εξίσωση: (10 + x) (10 - x) \u003d 96 ή: 100 - x2 \u003d 96 x2 - 4 \u003d 0 (1) Η λύση x \u003d -2 για τον Διόφαντο δεν υπάρχει, αφού τα ελληνικά μαθηματικά γνώριζε μόνο θετικούς αριθμούς.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="(!LANG: Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ινδία. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Τετραγωνικές εξισώσεις στο al-Khorezmi. 1) "Τα τετράγωνα είναι ίσα με τις ρίζες", δηλαδή ax2 + c \u003d bx. 2) «Τα τετράγωνα είναι ίσα με τον αριθμό», δηλαδή ax2 = c. 3) "Οι ρίζες είναι ίσες με τον αριθμό", δηλ. ah \u003d γ. 4) «Τα τετράγωνα και οι αριθμοί είναι ίσοι με τις ρίζες», δηλαδή ax2 + c = bx. 5) «Τα τετράγωνα και οι ρίζες είναι ίσες με έναν αριθμό», δηλαδή ax2 + bx = c. 6) "Οι ρίζες και οι αριθμοί είναι ίσοι με τετράγωνα", δηλαδή bx + c \u003d ax2.

Τετραγωνικές εξισώσεις στην Ευρώπη τον 13ο-17ο αιώνα. x2 + bx = c, με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς προσώπων των συντελεστών b, το c διατυπώθηκε στην Ευρώπη μόλις το 1544 από τον M. Stiefel.

Στο θεώρημα του Βιέτα. "Αν το B + D επί το A - A 2 ισούται με BD, τότε το A ισούται με το B και το D." Στη γλώσσα της σύγχρονης άλγεβρας, η παραπάνω διατύπωση του Vieta σημαίνει: αν (a + b)x - x2 = ab, δηλ. x2 - (a + b)x + ab = 0, τότε x1 = a, x2 = b.

Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. 1. ΜΕΘΟΔΟΣ: Αποσύνθεση της αριστερής πλευράς της εξίσωσης σε παράγοντες. Λύστε την εξίσωση x2 + 10 x - 24 = 0. Παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Επομένως, η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: (x + 12) (x - 2) = 0 Εφόσον το γινόμενο είναι μηδέν, τότε τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές του είναι μηδέν. Επομένως, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης εξαφανίζεται στο x = 2, και επίσης στο x = - 12. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 και - 12 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 + 10 x - 24 = 0.

2. ΜΕΘΟΔΟΣ: Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου. Ας λύσουμε την εξίσωση x2 + 6 x - 7 = 0. Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο στην αριστερή πλευρά. Για να γίνει αυτό, γράφουμε την παράσταση x2 + 6 x με την ακόλουθη μορφή: x2 + 6 x \u003d x2 + 2 x 3. Στην παράσταση που προκύπτει, ο πρώτος όρος είναι το τετράγωνο του αριθμού x και ο δεύτερος είναι ο διπλό γινόμενο του x επί 3. Επομένως, για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο, πρέπει να προσθέσετε 32, επειδή x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Τώρα μετασχηματίζουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης x2 + 6 x - 7 \u003d 0, προσθέτοντας σε αυτήν και αφαιρώντας 32. Έχουμε: x2 + 6 x - 7 \u003d x2 + 2 x 3 + 32 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16. Έτσι, αυτή η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως εξής: (x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16 Επομένως, x + 3 - 4 \u003d 0, x1 = 1 ή x + 3 = -4, x2 = -7.

3. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με τύπο. Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 με 4 a και διαδοχικά έχουμε: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax) 2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b) 2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac ,

4. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Όπως γνωρίζετε, η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x2 + px + c \u003d 0. (1) Οι ρίζες της ικανοποιούν το θεώρημα Vieta, το οποίο για ένα \u003d 1 έχει τη μορφή x 1 x 2 \u003d q, x 1 + x 2 \u003d - p α) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 και x 2 = 1, αφού q = 2 > 0 και p = - 3 0 και p = 8 > 0. β) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 \u003d - 5 και x 2 \u003d 1, αφού q \u003d - 5 0; x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 \u003d 9 και x 2 \u003d - 1, αφού q \u003d - 9

5. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο «μεταφοράς». Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c \u003d 0, όπου a ≠ 0. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της με a, προκύπτει η εξίσωση a 2 x2 + abx + ac \u003d 0. Έστω ax \u003d y, από όπου x \ u003d y / a; τότε καταλήγουμε στην εξίσωση y2 + κατά + ac = 0, η οποία είναι ισοδύναμη με τη δεδομένη. Βρίσκουμε τις ρίζες του y1 και y2 χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Τέλος, λαμβάνουμε x1 = y1/a και x1 = y2/a.

Παράδειγμα. Ας λύσουμε την εξίσωση 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Λύση. «Ρίξτε» τον συντελεστή 2 στον ελεύθερο όρο, ως αποτέλεσμα παίρνουμε την εξίσωση y2 - 11 y + 30 = 0. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Απάντηση : 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. ΜΕΘΟΔΟΣ: Ιδιότητες των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Α. Έστω μια τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c \u003d 0, όπου a ≠ 0. 1) Εάν, a + b + c \u003d 0 (δηλαδή, το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν), τότε x1 \u003d 1, x2 \u003d c / a. Απόδειξη. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με a ≠ 0, παίρνουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση x 2 + b / a x + c / a \u003d 0. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta x 1 + x 2 \u003d - b / a, x 1 x 2 \u003d 1 c / a. Με συνθήκη a - b + c = 0, από όπου b = a + c. Έτσι, x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a, x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), δηλαδή x1 \u003d -1 και x2 \u003d c / α, που επρόκειτο να αποδειχτεί.

Β. Εάν ο δεύτερος συντελεστής b \u003d 2 k είναι ζυγός αριθμός, τότε ο ριζικός τύπος C. Η παραπάνω εξίσωση x2 + px + q \u003d 0 συμπίπτει με τη γενική εξίσωση, στην οποία a \u003d 1, b \u003d p και c \u003d q. Επομένως, για την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση, ο τύπος για τις ρίζες

7. ΜΕΘΟΔΟΣ: Γραφική λύση τετραγωνικής εξίσωσης. Αν στην εξίσωση x2 + px + q = 0 μεταφέρουμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο στη δεξιά πλευρά, τότε παίρνουμε x2 = - px - q. Ας δημιουργήσουμε γραφήματα εξάρτησης y \u003d x2 και y \u003d - px - q.

Παράδειγμα 1) Ας λύσουμε γραφικά την εξίσωση x2 - 3 x - 4 = 0 (Εικ. 2). Λύση. Γράφουμε την εξίσωση με τη μορφή x2 \u003d 3 x + 4. Κατασκευάζουμε μια παραβολή y \u003d x2 και μια ευθεία γραμμή y \u003d 3 x + 4. Μια ευθεία γραμμή y \u003d 3 x + 4 μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας δύο σημεία Μ (0; 4) και Ν (3; 13). Απάντηση: x1 = - 1; x2 = 4

8. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με πυξίδα και χάρακα. βρίσκοντας τις ρίζες μιας τετράγωνης πυξίδας και ενός χάρακα (Εικ. 5). Εξισώσεις Στη συνέχεια, με το θεώρημα της διαδοχής, έχουμε OB OD = OA OC, από όπου OC = OB OD/ OA= x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 με

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="(!LANG:1) Ακτίνα κύκλου μεγαλύτερη από την κεντρική τεταγμένη (AS > SK, ή R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.!}

9. ΜΕΘΟΔΟΣ: Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με χρήση νομογράμματος. z 2 + pz + q = 0. Η καμπυλόγραμμη κλίμακα του νομογράμματος είναι κατασκευασμένη σύμφωνα με τους τύπους (Εικ. 11): Υποθέτοντας OS = p, ED = q, OE = a (όλα σε cm), Από την ομοιότητα τριγώνων SAN και CDF λαμβάνουμε την αναλογία

Παραδείγματα. 1) Για την εξίσωση z 2 - 9 z + 8 = 0, το νομόγραμμα δίνει τις ρίζες z 1 = 8, 0 και z 2 = 1, 0 (Εικ. 12). 2) Χρησιμοποιώντας το νομόγραμμα, λύνουμε την εξίσωση 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Διαιρούμε τους συντελεστές αυτής της εξίσωσης με 2, παίρνουμε την εξίσωση z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Το νομόγραμμα δίνει το ρίζες z 1 = 4 και z 2 = 0, 5. 3) Για την εξίσωση z 2 - 25 z + 66 \u003d 0, οι συντελεστές p και q είναι εκτός κλίμακας, εκτελούμε την αντικατάσταση z \u003d 5 t, κάνουμε πάρτε την εξίσωση t 2 - 5 t + 2, 64 \u003d 0, την οποία λύνουμε με νομογράμματα και παίρνουμε t 1 = 0,6 και t 2 = 4,4, από όπου z 1 = 5 t 1 = 3,0 και z 2 = 5 t 2 = 22.0.

10. ΜΕΘΟΔΟΣ: Γεωμετρικός τρόπος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα. 1) Ας λύσουμε την εξίσωση x2 + 10 x = 39. Στο πρωτότυπο, το πρόβλημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: «Το τετράγωνο και οι δέκα ρίζες είναι ίσες με 39» (Εικ. 15). Για την επιθυμητή πλευρά x του αρχικού τετραγώνου, παίρνουμε

y2 + 6 y - 16 = 0. Η λύση φαίνεται στο σχ. 16, όπου y2 + 6 y = 16, ή y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Λύση. Οι εκφράσεις y2 + 6 y + 9 και 16 + 9 είναι γεωμετρικά το ίδιο τετράγωνο και η αρχική εξίσωση y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 είναι η ίδια εξίσωση. Από όπου παίρνουμε ότι y + 3 = ± 5, ή y1 = 2, y2 = - 8 (Εικ. 16).