Βρείτε έναν κόμβο και έναν κόμβο των τριών. Nod και nok αριθμών - ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης και το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών

Ας αρχίσουμε να μελετάμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο ή περισσότερων αριθμών. Στην ενότητα, θα δώσουμε έναν ορισμό του όρου, θα εξετάσουμε ένα θεώρημα που καθιερώνει μια σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη και θα δώσουμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.

Κοινά πολλαπλάσια - ορισμός, παραδείγματα

Σε αυτό το θέμα, θα μας ενδιαφέρουν μόνο κοινά πολλαπλάσια ακεραίων εκτός από το μηδέν.

Ορισμός 1

Κοινό πολλαπλάσιο ακεραίωνείναι ένας ακέραιος που είναι πολλαπλάσιο όλων των δεδομένων αριθμών. Στην πραγματικότητα, είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί με οποιονδήποτε από τους δεδομένους αριθμούς.

Ο ορισμός των κοινών πολλαπλασίων αναφέρεται σε δύο, τρεις ή περισσότερους ακέραιους αριθμούς.

Παράδειγμα 1

Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω για τον αριθμό 12, τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 3 και το 2. Επίσης ο αριθμός 12 θα είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 2 , 3 και 4 . Οι αριθμοί 12 και -12 είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Ταυτόχρονα, το κοινό πολλαπλάσιο για τους αριθμούς 2 και 3 θα είναι οι αριθμοί 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 και ολόκληρη γραμμήοποιοδήποτε άλλο.

Αν πάρουμε αριθμούς που διαιρούνται με τον πρώτο αριθμό ενός ζεύγους και δεν διαιρούνται με τον δεύτερο, τότε τέτοιοι αριθμοί δεν θα είναι κοινά πολλαπλάσια. Άρα, για τους αριθμούς 2 και 3, οι αριθμοί 16 , − 27 , 5009 , 27001 δεν θα είναι κοινά πολλαπλάσια.

Το 0 είναι κοινό πολλαπλάσιο οποιουδήποτε συνόλου ακεραίων μη μηδενικών.

Αν ανακαλέσουμε την ιδιότητα της διαιρετότητας ως προς αντίθετοι αριθμοί, τότε αποδεικνύεται ότι κάποιος ακέραιος k θα είναι κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών με τον ίδιο τρόπο όπως ο αριθμός - k . Αυτό σημαίνει ότι οι κοινοί διαιρέτες μπορεί να είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί.

Είναι δυνατόν να βρούμε ένα LCM για όλους τους αριθμούς;

Το κοινό πολλαπλάσιο μπορεί να βρεθεί για οποιονδήποτε ακέραιο.

Παράδειγμα 2

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνονται κακέραιοι αριθμοί a 1 , a 2 , … , a k. Ο αριθμός που παίρνουμε κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών a 1 a 2 … a kσύμφωνα με την ιδιότητα διαιρετότητας, θα διαιρεθεί με καθέναν από τους παράγοντες που συμπεριλήφθηκαν στο αρχικό γινόμενο. Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο των αριθμών a 1 , a 2 , … , a kείναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Πόσα κοινά πολλαπλάσια μπορούν να έχουν αυτοί οι ακέραιοι;

Μια ομάδα ακεραίων μπορεί να έχει ένας μεγάλος αριθμός απόκοινά πολλαπλάσια. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός τους είναι άπειρος.

Παράδειγμα 3

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιον αριθμό k . Τότε το γινόμενο των αριθμών k · z , όπου z είναι ακέραιος, θα είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών k και z . Δεδομένου ότι ο αριθμός των αριθμών είναι άπειρος, τότε ο αριθμός των κοινών πολλαπλασίων είναι άπειρος.

Least Common Multiple (LCM) - Ορισμός, σύμβολο και παραδείγματα

Ας θυμηθούμε την έννοια ο μικρότερος αριθμόςαπό δεδομένο σύνολοαριθμούς, τους οποίους συζητήσαμε στην ενότητα Σύγκριση ακεραίων. Με αυτή την έννοια κατά νου, διατυπώνουμε τον ορισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου, ο οποίος έχει τη μεγαλύτερη πρακτική σημασία μεταξύ όλων των κοινών πολλαπλασίων.

Ορισμός 2

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δεδομένων ακεραίωνείναι το λιγότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο υπάρχει για οποιονδήποτε αριθμό δεδομένων αριθμών. Η συντομογραφία NOK είναι η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη για τον προσδιορισμό μιας έννοιας στη βιβλιογραφία αναφοράς. Σύντομη καταχώρησηελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για αριθμούς a 1 , a 2 , … , a kθα μοιάζει με LCM (α 1 , α 2 , ... , α κ).

Παράδειγμα 4

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 6 και του 7 είναι το 42. Εκείνοι. LCM(6, 7) = 42. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τεσσάρων αριθμών - 2, 12, 15 και 3 θα είναι ίσο με 60. Η συντομογραφία θα είναι LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) = 60 .

Όχι για όλες τις ομάδες δεδομένων αριθμών, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι προφανές. Συχνά πρέπει να υπολογιστεί.

Σχέση μεταξύ NOC και NOD

Λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο και μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςδιασυνδεδεμένες. Η σχέση μεταξύ των εννοιών καθορίζεται από το θεώρημα.

Θεώρημα 1

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων a και b είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών a και b διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών a και b , δηλαδή LCM (a , b) = a b: GCD (a , β) .

Απόδειξη 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιον αριθμό M που είναι πολλαπλάσιο των αριθμών a και b. Αν ο αριθμός M διαιρείται με a , υπάρχει και κάποιος ακέραιος z , υπό την οποία η ισότητα M = a k. Σύμφωνα με τον ορισμό της διαιρετότητας, αν το Μ διαιρείται επίσης με σι, οπότε τότε ένα κδιαιρείται με σι.

Αν εισάγουμε μια νέα σημείωση για το gcd (a , b) as ρε, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ισότητες a = a 1 dκαι b = b 1 · d . Σε αυτήν την περίπτωση, και οι δύο ισότητες θα είναι συμπρώτοι αριθμοί.

Έχουμε ήδη διαπιστώσει παραπάνω ένα κδιαιρείται με σι. Τώρα αυτή η συνθήκη μπορεί να γραφτεί ως εξής:
ένα 1 d kδιαιρείται με β 1 δ, που ισοδυναμεί με την συνθήκη ένα 1 kδιαιρείται με β 1σύμφωνα με τις ιδιότητες της διαιρετότητας.

Σύμφωνα με το ακίνητο αμοιβαίο πρώτοι αριθμοί, αν Α'1και β 1είναι αμοιβαία πρώτοι αριθμοί, Α'1δεν διαιρείται με β 1παρά το γεγονός ότι ένα 1 kδιαιρείται με β 1, τότε β 1πρέπει να μοιραστούν κ.

Σε αυτή την περίπτωση, θα ήταν σκόπιμο να υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός t, για το οποίο k = b 1 t, και από τότε b1=b:d, τότε k = b: d t.

Τώρα αντί για κτεθεί σε ισότητα M = a kέκφραση της μορφής β: δ τ. Αυτό μας επιτρέπει να φτάσουμε στην ισότητα M = a b: d t. Στο t=1μπορούμε να πάρουμε το λιγότερο θετικό κοινό πολλαπλάσιο των a και b , ίσος α β: δ, με την προϋπόθεση ότι οι αριθμοί α και β θετικός.

Άρα αποδείξαμε ότι LCM (a , b) = a b: GCD (α, β).

Η δημιουργία μιας σύνδεσης μεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη δύο ή περισσότερων δεδομένων αριθμών.

Ορισμός 3

Το θεώρημα έχει δύο σημαντικές συνέπειες:

Τα πολλαπλάσια του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου δύο αριθμών είναι ίδια με τα κοινά πολλαπλάσια αυτών των δύο αριθμών.
το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των συμπρώτων θετικών αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Δεν είναι δύσκολο να τεκμηριωθούν αυτά τα δύο γεγονότα. Οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο των M αριθμών a και b ορίζεται από την ισότητα M = LCM (a, b) t για κάποια ακέραια τιμή t. Εφόσον τα a και b είναι συμπρωτεύοντα, τότε gcd (a, b) = 1, επομένως, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών, πρέπει να βρείτε διαδοχικά το LCM δύο αριθμών.

Θεώρημα 2

Ας το προσποιηθούμε a 1 , a 2 , … , a kείναι κάποιοι ακέραιοι αριθμοί θετικούς αριθμούς. Για να υπολογίσετε το LCM m kαυτούς τους αριθμούς, πρέπει να υπολογίσουμε διαδοχικά m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Απόδειξη 2

Η πρώτη συνέπεια του πρώτου θεωρήματος που συζητήθηκε σε αυτό το θέμα θα μας βοηθήσει να αποδείξουμε την ορθότητα του δεύτερου θεωρήματος. Η συλλογιστική χτίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

κοινά πολλαπλάσια αριθμών Α'1και Α2συμπίπτουν με πολλαπλάσια του LCM τους, στην πραγματικότητα, συμπίπτουν με πολλαπλάσια του αριθμού m2;
κοινά πολλαπλάσια αριθμών Α'1, Α2και α 3 m2και α 3 m 3;
κοινά πολλαπλάσια αριθμών a 1 , a 2 , … , a kσυμπίπτουν με κοινά πολλαπλάσια αριθμών m k - 1και ένα κ, επομένως, συμπίπτουν με πολλαπλάσια του αριθμού m k;
λόγω του γεγονότος ότι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του αριθμού m kείναι ο ίδιος ο αριθμός m k, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a 1 , a 2 , … , a kείναι ένα m k.

Αποδείξαμε λοιπόν το θεώρημα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM) και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (GCD) των φυσικών αριθμών.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Καταγράφουμε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση του πρώτου από αυτούς τους αριθμούς και προσθέτουμε σε αυτούς τον παράγοντα 5 που λείπει από την επέκταση του δεύτερου αριθμού. Παίρνουμε: 2*2*3*5*5=300. Βρέθηκε NOC, δηλ. αυτό το άθροισμα = 300. Μην ξεχνάτε τη διάσταση και γράψτε την απάντηση:
Απάντηση: Η μαμά δίνει 300 ρούβλια το καθένα.

Ορισμός του GCD:Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)φυσικούς αριθμούς ένακαι σεονομάστε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό ντο, στο οποίο και ένα, και σιδιαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Εκείνοι. ντοείναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός για τον οποίο και ένακαι σιείναι πολλαπλάσια.

Υπενθύμιση:Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον ορισμό των φυσικών αριθμών

αριθμοί που χρησιμοποιούνται σε: απαρίθμηση (αρίθμηση) στοιχείων (πρώτο, δεύτερο, τρίτο, ...)· - στα σχολεία συνήθως.
υποδεικνύοντας τον αριθμό των αντικειμένων (χωρίς πόκεμον - μηδέν, ένα πόκεμον, δύο πόκεμον, ...).

Οι αρνητικοί και μη ακέραιοι (ορθολογικοί, πραγματικοί, ...) αριθμοί δεν είναι φυσικοί. Μερικοί συγγραφείς περιλαμβάνουν το μηδέν στο σύνολο των φυσικών αριθμών, άλλοι όχι. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο Ν

Υπενθύμιση:Διαιρέτης φυσικού αριθμού ένακαλέστε τον αριθμό σι,στην οποία έναδιαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Πολλαπλάσιο φυσικού αριθμού σιονομάζεται φυσικός αριθμός ένα, το οποίο διαιρείται με σιχωρίς ίχνος. Εάν αριθμός σι- διαιρέτης αριθμού ένα, τότε έναπολλαπλάσιο του σι. Παράδειγμα: Το 2 είναι διαιρέτης του 4 και το 4 είναι πολλαπλάσιο του 2. Το 3 είναι διαιρέτης του 12 και το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3.
Υπενθύμιση:Οι φυσικοί αριθμοί λέγονται πρώτοι αν διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο μόνο με τον εαυτό τους και με το 1. Συμπρώτοι είναι οι αριθμοί που έχουν μόνο έναν κοινό διαιρέτη ίσο με 1.

Καθορισμός του τρόπου εύρεσης του GCD σε γενική περίπτωση: Για να βρείτε το GCD (Greatest Common Divisor)Απαιτούνται αρκετοί φυσικοί αριθμοί:
1) Χωρίστε τα σε πρωταρχικούς παράγοντες. (Το γράφημα των πρώτων αριθμών μπορεί να είναι πολύ χρήσιμο για αυτό.)
2) Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από αυτούς.
3) Διαγράψτε όσα δεν περιλαμβάνονται στην επέκταση των υπόλοιπων αριθμών.
4) Πολλαπλασιάστε τους συντελεστές που λαμβάνονται στην παράγραφο 3).

Εργασία 2 σε (NOK):Μέχρι το νέο έτος, ο Kolya Puzatov αγόρασε 48 χάμστερ και 36 καφετιέρες στην πόλη. Η Fekla Dormidontova, ως το πιο τίμιο κορίτσι της τάξης, έλαβε το καθήκον να χωρίσει αυτό το ακίνητο στον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό σετ δώρων για δασκάλους. Ποιος είναι ο αριθμός των σετ; Ποια είναι η σύνθεση των σετ;

Παράδειγμα 2.1. επίλυση του προβλήματος της εύρεσης GCD. Εύρεση GCD με επιλογή.
Απόφαση:Κάθε ένας από τους αριθμούς 48 και 36 πρέπει να διαιρείται με τον αριθμό των δώρων.
1) Γράψτε τους διαιρέτες 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Γράψτε τους διαιρέτες 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Επιλέξτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη. Οπ-λα-λα! Βρέθηκε, αυτός είναι ο αριθμός των σετ των 12 τεμαχίων.
3) Διαιρούμε το 48 με το 12, παίρνουμε 4, διαιρούμε το 36 με το 12, έχουμε 3. Μην ξεχνάτε τη διάσταση και γράψτε την απάντηση:
Απάντηση: Θα λάβετε 12 σετ από 4 χάμστερ και 3 καφετιέρες σε κάθε σετ.

Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο κάτω από την επικεφαλίδα LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σχέση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), και Ιδιαίτερη προσοχήΑς ρίξουμε μια ματιά στα παραδείγματα. Ας δείξουμε πρώτα πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών ως προς το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, εξετάστε το ενδεχόμενο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντοποιώντας τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM των τριών και περισσότεροαριθμούς και επίσης δώστε προσοχή στον υπολογισμό του LCM αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω gcd

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Η υπάρχουσα σχέση μεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω του γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος έχει τη μορφή LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Εξετάστε παραδείγματα εύρεσης του LCM σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών 126 και 70 .

Απόφαση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σχέση μεταξύ LCM και GCD που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών σύμφωνα με τον γραπτό τύπο.

Βρείτε το gcd(126, 70) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , άρα gcd(126, 70)=14 .

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Τι είναι το LCM(68, 34) ;

Απόφαση.

Οπως και Το 68 διαιρείται ομοιόμορφα με το 34, τότε το gcd(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68 .

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει στον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν κάνουμε ένα γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων αυτών των αριθμών, μετά από το οποίο εξαιρέσουμε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Ο ανακοινωμένος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετέχουν στις επεκτάσεις των αριθμών a και b. Με τη σειρά του, gcd(a, b) είναι ίσο με το γινόμενοόλους τους πρώτους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (που περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση GCD χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες).

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Να συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων αυτών των επεκτάσεων: 2 3 3 5 5 5 7 . Τώρα αποκλείουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (αυτοί οι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2 3 5 5 7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 210, δηλαδή LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Παράδειγμα.

Αφού συνυπολογίσετε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες, βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Απόφαση.

Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3 3 7 7 και 700=2 2 5 5 7 .

Ας κάνουμε τώρα ένα γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Ετσι, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Απάντηση:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Αν προσθέσουμε τους συντελεστές που λείπουν από τη διεύρυνση του αριθμού b στους συντελεστές από την αποσύνθεση του αριθμού a, τότε η τιμή του προϊόντος που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b..

Για παράδειγμα, ας πάρουμε όλους τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την επέκταση του αριθμού 75, προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2 3 5 5 7 , η τιμή του οποίου είναι LCM(75 , 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απόφαση.

Λαμβάνουμε πρώτα την αποσύνθεση των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2 2 3 7 και 648=2 2 2 3 3 3 3 . Στους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 από την επέκταση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 , 3 , 3 και 3 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 648 , παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7 , που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 84 και 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4 536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Θυμηθείτε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται στον διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Εξετάστε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στο παράδειγμα της εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM των τεσσάρων αριθμών 140 , 9 , 54 και 250 .

Απόφαση.

Σε αυτό το παράδειγμα a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Πρώτα βρίσκουμε m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον ευκλείδειο αλγόριθμο, προσδιορίζουμε gcd(140, 9) , έχουμε 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , επομένως, gcd( 140, 9)=1, από όπου LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Δηλαδή m 2 =1 260 .

Τώρα βρίσκουμε m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του gcd(1 260, 54) , το οποίο προσδιορίζεται επίσης από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Τότε gcd(1 260, 54)=18 , από όπου LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Δηλαδή, m 3 \u003d 3 780.

Έμεινε για να βρεις m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3 780, 250) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Ευκλείδη: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Επομένως, gcd(3 780, 250)=10, από όπου gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Δηλαδή, m 4 \u003d 94 500.

Άρα το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών βρίσκεται εύκολα με χρήση πρώτων παραγοντοποιήσεων δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ακολουθηθεί ο ακόλουθος κανόνας. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους λαμβανόμενους παράγοντες κ.ο.κ.

Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης του λιγότερου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Απόφαση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 πρώτους παράγοντες) και 143=11 13 .

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2 , 2 , 3 και 7 ) πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6 . Η επέκταση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 υπάρχουν ήδη στην επέκταση του πρώτου αριθμού 84 . Πέρα από τους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την αποσύνθεση του τρίτου αριθμού 48 , παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 . Δεν χρειάζεται να προσθέσετε παράγοντες σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143 . Παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 2 3 7 11 13 , το οποίο ισούται με 48 048 .

Εξετάστε τρεις τρόπους για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Εύρεση μέσω Factoring

Ο πρώτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντώντας τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το LCM των αριθμών: 99, 30 και 28. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:

Για να διαιρεθεί ο επιθυμητός αριθμός με το 99, το 30 και το 28, είναι απαραίτητο και αρκετό να περιλαμβάνει όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των διαιρετών. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των αριθμών στην υψηλότερη ισχύ και να τους πολλαπλασιάσουμε μαζί:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Άρα LCM (99, 30, 28) = 13.860. Κανένας άλλος αριθμός μικρότερος από το 13.860 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 99, το 30 ή το 28.

Για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο δεδομένων αριθμών, πρέπει να τους συνυπολογίσετε σε πρώτους παράγοντες, στη συνέχεια να πάρετε κάθε πρώτο παράγοντα με τον μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται και να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους παράγοντες μαζί.

Εφόσον οι συμπρώτοι αριθμοί δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, τρεις αριθμοί: 20, 49 και 33 είναι συμπρώτοι. Έτσι

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Το ίδιο πρέπει να κάνουμε όταν αναζητούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο διαφόρων πρώτων. Για παράδειγμα, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Εύρεση με επιλογή

Ο δεύτερος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο με προσαρμογή.

Παράδειγμα 1. Όταν ο μεγαλύτερος από τους δεδομένους αριθμούς διαιρείται ομοιόμορφα με άλλους δεδομένους αριθμούς, τότε το LCM αυτών των αριθμών είναι ίσο με τον μεγαλύτερο από αυτούς. Για παράδειγμα, δίνονται τέσσερις αριθμοί: 60, 30, 10 και 6. Καθένας από αυτούς διαιρείται με το 60, επομένως:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Σε άλλες περιπτώσεις, για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους δεδομένους αριθμούς.
Στη συνέχεια, βρείτε αριθμούς που είναι πολλαπλοί ο μεγαλύτερος αριθμός, πολλαπλασιάζοντάς το επί ακέραιοι αριθμοίμε αύξουσα σειρά και έλεγχος αν οι υπόλοιποι αριθμοί που δίνονται διαιρούνται με το γινόμενο που προκύπτει.

Παράδειγμα 2. Δίνονται τρεις αριθμοί 24, 3 και 18. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο από αυτούς - αυτός είναι ο αριθμός 24. Στη συνέχεια, βρείτε τα πολλαπλάσια του 24, ελέγχοντας αν καθένας από αυτούς διαιρείται με το 18 και με το 3:

24 1 = 24 διαιρείται με το 3 αλλά δεν διαιρείται με το 18.

24 2 = 48 - διαιρείται με το 3 αλλά δεν διαιρείται με το 18.

24 3 \u003d 72 - διαιρείται με το 3 και το 18.

Άρα LCM(24, 3, 18) = 72.

Εύρεση με διαδοχική εύρεση LCM

Ο τρίτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βρίσκοντας διαδοχικά το LCM.

Το LCM δύο δεδομένων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το LCM δύο δεδομένων αριθμών: 12 και 8. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: GCD (12, 8) = 4. Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8) = 24.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

Αρχικά, βρίσκεται το LCM οποιωνδήποτε δύο από τους δεδομένους αριθμούς.
Στη συνέχεια, το LCM του ελάχιστου κοινού πολλαπλού που βρέθηκε και το τρίτο δεδομένου αριθμού.
Στη συνέχεια, το LCM του προκύπτοντος ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του τέταρτου αριθμού, και ούτω καθεξής.
Έτσι η αναζήτηση LCM συνεχίζεται όσο υπάρχουν αριθμοί.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το LCM τρία δεδομένααριθμοί: 12, 8 και 9. Το LCM των αριθμών 12 και 8 έχουμε ήδη βρει στο προηγούμενο παράδειγμα (αυτός είναι ο αριθμός 24). Απομένει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 24 και τον τρίτο δεδομένο αριθμό - 9. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: gcd (24, 9) = 3. Πολλαπλασιάστε το LCM με τον αριθμό 9:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8, 9) = 72.

Ο GCD είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης.

Για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη πολλών αριθμών:

Προσδιορίστε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς.
βρείτε το γινόμενο κοινών παραγόντων.

Ένα παράδειγμα εύρεσης GCD:

Βρείτε το GCD των αριθμών 315 και 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Γράψτε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς:

3. Βρείτε το γινόμενο κοινών παραγόντων:

gcd(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Απάντηση: GCD(315; 245) = 35.

Εύρεση του NOC

Το LCM είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών:

Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς.
προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού.
βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν.

Ένα παράδειγμα εύρεσης του NOC:

Βρείτε το LCM των αριθμών 236 και 328:

1. Αποσυνθέτουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς και προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν:

LCM(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Απάντηση: LCM(236; 328) = 19352.

Για να βρείτε τον GCD (ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης) δύο αριθμών, χρειάζεστε:

2. Βρείτε (υπογραμμίστε) όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες στις λαμβανόμενες επεκτάσεις.

3. Βρείτε το γινόμενο κοινών πρώτων παραγόντων.

Για να βρείτε το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) δύο αριθμών, χρειάζεστε:

1. Διασπάστε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

2. Να συμπληρώσετε την επέκταση ενός από αυτούς με εκείνους τους συντελεστές της επέκτασης του άλλου αριθμού, που δεν βρίσκονται στην επέκταση του πρώτου.

3. Να υπολογίσετε το γινόμενο των παραγόντων που προέκυψαν.