Ένα μήνυμα για το τι είναι οι αριθμοί. Ποια είναι τα είδη των αριθμών, των εννοιών και των πράξεων

Ακέραιοι

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση ονομάζονται φυσικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, $1,2,3$ κ.λπ. Οι φυσικοί αριθμοί σχηματίζουν το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με $N$. Αυτή η σημείωση προέρχεται από τη λατινική λέξη φυσικός-φυσικός.

Αντίθετοι αριθμοί

Ορισμός 1

Αν δύο αριθμοί διαφέρουν μόνο σε πρόσημα, ονομάζονται στα μαθηματικά αντίθετους αριθμούς.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί $5$ και $-5$ είναι αντίθετοι αριθμοί, επειδή διαφέρουν μόνο σε σημεία.

Παρατήρηση 1

Για κάθε αριθμό υπάρχει ένας αντίθετος αριθμός, και επιπλέον, μόνο ένας.

Παρατήρηση 2

Το μηδέν είναι το αντίθετο του εαυτού του.

Ολόκληροι αριθμοί

Ορισμός 2

ολόκληροςΟι φυσικοί αριθμοί, οι αντίθετοι αριθμοί τους και το μηδέν λέγονται αριθμοί.

Το σύνολο των ακεραίων περιλαμβάνει το σύνολο των φυσικών αριθμών και των αντιθέτων τους.

Δηλώστε ακέραιους αριθμούς $Z.$

Κλασματικοί αριθμοί

Οι αριθμοί της μορφής $\frac(m)(n)$ ονομάζονται κλάσματα ή κλασματικοί αριθμοί. Επίσης, οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να γραφτούν με δεκαδικό συμβολισμό, δηλ. με τη μορφή δεκαδικών.

Για παράδειγμα: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ κ.λπ.

Ακριβώς όπως οι ακέραιοι, οι κλασματικοί αριθμοί μπορεί να είναι είτε θετικοί είτε αρνητικοί.

Ρητοί αριθμοί

Ορισμός 3

Ρητοί αριθμοίείναι ένα σύνολο αριθμών που περιέχει ένα σύνολο ακεραίων και κλασματικών αριθμών.

Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός, είτε ακέραιος είτε κλασματικός, μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα $\frac(a)(b)$, όπου ο $a$ είναι ακέραιος και ο $b$ είναι φυσικός αριθμός.

Έτσι, ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί με διαφορετικούς τρόπους.

Για παράδειγμα,

Αυτό δείχνει ότι οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα ή ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα.

Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με $Q$.

Ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης οποιασδήποτε αριθμητικής πράξης σε ρητούς αριθμούς, η απάντηση που προκύπτει θα είναι ένας ρητός αριθμός. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα, λόγω του γεγονότος ότι κατά την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, προκύπτει ένα συνηθισμένο κλάσμα

Παράλογοι αριθμοί

Κατά τη διάρκεια της μελέτης ενός μαθήματος μαθηματικών, συναντά κανείς στην επίλυση αριθμών που δεν είναι ορθολογικοί.

Για παράδειγμα, για να επαληθεύσουμε την ύπαρξη ενός συνόλου μη ορθολογικών αριθμών, λύνουμε την εξίσωση $x^2=6$.Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί $\surd 6$ και -$\surd 6$. Αυτοί οι αριθμοί δεν θα είναι λογικοί.

Επίσης, όταν βρίσκουμε τη διαγώνιο ενός τετραγώνου με πλευρά $3$, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε ότι η διαγώνιος θα είναι ίση με $\surd 18$. Αυτός ο αριθμός επίσης δεν είναι λογικός.

Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογος.

Άρα, ένας άρρητος αριθμός ονομάζεται άπειρο δεκαδικό μη περιοδικό κλάσμα.

Ένας από τους πιο συνηθισμένους παράλογους αριθμούς είναι ο αριθμός $\pi $

Κατά την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων με άρρητους αριθμούς, το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να αποδειχθεί τόσο ρητός όσο και άρρητος αριθμός.

Αυτό θα το αποδείξουμε με το παράδειγμα εύρεσης του γινομένου των παράλογων αριθμών. Ας βρούμε:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Απόφαση

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι το αποτέλεσμα μπορεί να είναι είτε ρητός είτε παράλογος αριθμός.

Εάν λογικοί και παράλογοι αριθμοί εμπλέκονται σε αριθμητικές πράξεις ταυτόχρονα, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένας παράλογος αριθμός (εκτός φυσικά από τον πολλαπλασιασμό με $0$).

Πραγματικοί αριθμοί

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο που περιέχει το σύνολο των ρητών και των παράλογων αριθμών.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με $R$. Συμβολικά, το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να συμβολιστεί με $(-?;+?).$

Είπαμε προηγουμένως ότι ένα άπειρο δεκαδικό μη περιοδικό κλάσμα ονομάζεται άρρητος αριθμός και οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα ή ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα, οπότε κάθε πεπερασμένο και άπειρο δεκαδικό κλάσμα θα είναι πραγματικός αριθμός.

Κατά την εκτέλεση αλγεβρικών πράξεων, θα τηρούνται οι ακόλουθοι κανόνες

1. κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση θετικών αριθμών, ο αριθμός που προκύπτει θα είναι θετικός
2. κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αρνητικών αριθμών, ο αριθμός που προκύπτει θα είναι θετικός
3. κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση αρνητικών και θετικών αριθμών, ο αριθμός που προκύπτει θα είναι αρνητικός

Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν επίσης να συγκριθούν μεταξύ τους.

Η έννοια του πραγματικού αριθμού: πραγματικός αριθμός- (πραγματικός αριθμός), οποιοσδήποτε μη αρνητικός ή αρνητικός αριθμός ή μηδέν. Με τη βοήθεια πραγματικών αριθμών εκφράστε μετρήσεις κάθε φυσικής ποσότητας.

πραγματικός, ή πραγματικός αριθμόςπροέκυψε από την ανάγκη μέτρησης των γεωμετρικών και φυσικών μεγεθών του κόσμου. Επιπλέον, για τη διενέργεια πράξεων εξαγωγής της ρίζας, υπολογισμού του λογαρίθμου, επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων κ.λπ.

Οι φυσικοί αριθμοί σχηματίστηκαν με την ανάπτυξη της μέτρησης και οι ορθολογικοί αριθμοί με την ανάγκη διαχείρισης τμημάτων του συνόλου, στη συνέχεια οι πραγματικοί αριθμοί (πραγματικοί) χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση συνεχών μεγεθών. Έτσι, η διεύρυνση του αποθέματος των αριθμών που εξετάζονται οδήγησε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο, εκτός από ρητικούς αριθμούς, αποτελείται από άλλα στοιχεία που ονομάζονται παράλογους αριθμούς.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών(σημειώνεται R) είναι τα σύνολα των ρητών και των παράλογων αριθμών μαζί.

Οι πραγματικοί αριθμοί διαιρούνται μελογικόςκαι παράλογος.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται και συχνά καλείται πραγματικόςή αριθμός γραμμής. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από απλά αντικείμενα: ολόκληροςκαι ρητοί αριθμοί.

Ένας αριθμός που μπορεί να γραφτεί ως λόγος, όπουΜείναι ακέραιος και nείναι φυσικός αριθμόςρητός αριθμός.

Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί εύκολα να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο κλάσμα ή ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα,

Άπειρο δεκαδικό, είναι ένα δεκαδικό κλάσμα που έχει άπειρο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή.

Αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως έχουν παράλογους αριθμούς.

Παράδειγμα:

Κάθε παράλογος αριθμός είναι εύκολο να αναπαρασταθεί ως άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα,

Οι ορθολογικοί και οι παράλογοι αριθμοί δημιουργούν σύνολο πραγματικών αριθμών.Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί αντιστοιχούν σε ένα σημείο της γραμμής συντεταγμένων, το οποίο καλείται αριθμός γραμμής.

Για αριθμητικά σύνολα, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός:

• Ν- σύνολο φυσικών αριθμών.
• Ζ- σύνολο ακεραίων αριθμών.
• Q- σύνολο ρητών αριθμών.
• Rείναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Θεωρία άπειρων δεκαδικών κλασμάτων.

Ένας πραγματικός αριθμός ορίζεται ως άπειρο δεκαδικό, δηλαδή:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n…

όπου ± είναι ένα από τα σύμβολα + ή −, το πρόσημο ενός αριθμού,

το 0 είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… είναι μια ακολουθία δεκαδικών ψηφίων, δηλ. στοιχεία ενός αριθμητικού συνόλου {0,1,…9}.

Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να εξηγηθεί ως ένας αριθμός που βρίσκεται στην αριθμητική γραμμή μεταξύ ορθολογικών σημείων όπως:

±a 0 ,a 1 a 2 …a nκαι ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n)για όλα n=0,1,2,…

Η σύγκριση των πραγματικών αριθμών ως άπειρων δεκαδικών κλασμάτων λαμβάνει χώρα κομμάτι προς bit. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι δίνονται 2 θετικοί αριθμοί:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n…

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n…

Αν ένα ένα 0 0,έπειτα α<β ; αν a0 >b0έπειτα α>β . Πότε a 0 = b 0Ας προχωρήσουμε στη σύγκριση επόμενου επιπέδου. Και τα λοιπά. Πότε α≠β , έτσι μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων θα συναντηθεί το πρώτο ψηφίο n, τέτοιο που a n ≠ b n. Αν ένα a n n, έπειτα α<β ; αν a n > b nέπειτα α>β .

Ταυτόχρονα όμως είναι κουραστικό να προσέχουμε ότι ο αριθμός a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n .Επομένως, εάν η εγγραφή ενός από τους συγκριθέντες αριθμούς, που ξεκινά από ένα συγκεκριμένο ψηφίο, είναι ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα, το οποίο έχει 9 στην περίοδο, τότε πρέπει να αντικατασταθεί με μια ισοδύναμη εγγραφή, με μηδέν στην περίοδο.

Οι αριθμητικές πράξεις με άπειρα δεκαδικά κλάσματα αποτελούν συνεχή συνέχεια των αντίστοιχων πράξεων με ρητούς αριθμούς. Για παράδειγμα, το άθροισμα των πραγματικών αριθμών α και β είναι πραγματικός αριθμός α+β , το οποίο πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

∀ α′,α′′,β,β′′∈ Ε(α'⩽ α ⩽ ένα'')∧ (σι'⩽ β ⩽ σι'')⇒ (α'+β'⩽ α + β ⩽ α"+β")

Ομοίως ορίζει τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού των άπειρων δεκαδικών κλασμάτων.

Τα ψηφία στη σημειογραφία των πολυψήφιων αριθμών χωρίζονται από δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία. Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις. Σε κάθε τάξη, οι αριθμοί από τα δεξιά προς τα αριστερά αντιπροσωπεύουν τις μονάδες, τις δεκάδες και τις εκατοντάδες αυτής της κατηγορίας:

Η πρώτη τάξη στα δεξιά ονομάζεται κατηγορία μονάδας, δεύτερο - χίλια, τρίτο - εκατομμύριο, τέταρτο - δισεκατομμύριοπέμπτο - τρισεκατομμύριο, έκτος - τετρακισεκατομμύριον, έβδομο - πεντακισεκατομμύριον, όγδοο - εξάξιλα.

Για τη διευκόλυνση της ανάγνωσης της καταχώρισης ενός πολυψήφιου αριθμού, αφήνεται ένα μικρό κενό μεταξύ των τάξεων. Για παράδειγμα, για να διαβάσουμε τον αριθμό 148951784296, επιλέγουμε τάξεις σε αυτόν:

και διαβάστε τον αριθμό των μονάδων κάθε τάξης από αριστερά προς τα δεξιά:

148 δισεκατομμύρια 951 εκατομμύρια 784 χιλιάδες 296.

Κατά την ανάγνωση μιας κατηγορίας ενοτήτων, η λέξη μονάδες συνήθως δεν προστίθεται στο τέλος.

Κάθε ψηφίο στην εγγραφή ενός πολυψήφιου αριθμού καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση - μια θέση. Καλείται η θέση (θέση) στην εγγραφή του αριθμού στον οποίο βρίσκεται το ψηφίο απαλλάσσω.

Τα ψηφία μετρώνται από τα δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, το πρώτο ψηφίο στα δεξιά στην καταχώρηση αριθμού ονομάζεται πρώτο ψηφίο, το δεύτερο ψηφίο στα δεξιά είναι το δεύτερο ψηφίο κ.λπ. Για παράδειγμα, στην πρώτη κατηγορία του αριθμού 148 951 784 296, ο αριθμός 6 είναι το πρώτο ψηφίο, 9 είναι το δεύτερο ψηφίο, 2 - ψηφίο του τρίτου ψηφίου:

Λέγονται και μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ μονάδες bit:
οι μονάδες ονομάζονται μονάδες της 1ης κατηγορίας (ή απλές μονάδες)
οι δεκάδες ονομάζονται μονάδες του 2ου ψηφίου
εκατοντάδες ονομάζονται μονάδες 3ης κατηγορίας κ.λπ.

Όλες οι μονάδες εκτός από τις απλές μονάδες καλούνται συστατικών μονάδων. Άρα, μια ντουζίνα, εκατό, χίλια κ.λπ. αποτελούν συνιστώσες μονάδες. Κάθε 10 μονάδες οποιασδήποτε κατάταξης είναι μία μονάδα της επόμενης (υψηλότερης) κατάταξης. Για παράδειγμα, το εκατό περιέχει 10 δεκάδες, μια ντουζίνα - 10 απλές μονάδες.

Οποιαδήποτε συστατική μονάδα σε σύγκριση με μια άλλη μονάδα μικρότερη από αυτήν ονομάζεται μονάδα της υψηλότερης κατηγορίας, και σε σύγκριση με μονάδα μεγαλύτερη από αυτή που ονομάζεται μονάδα χαμηλότερης κατάταξης. Για παράδειγμα, το εκατό είναι υψηλότερη μονάδα σε σχέση με το δέκα και μια χαμηλότερη μονάδα σε σχέση με το χίλια.

Για να μάθετε πόσες μονάδες οποιουδήποτε ψηφίου υπάρχουν σε έναν αριθμό, πρέπει να απορρίψετε όλα τα ψηφία που σημαίνουν τις μονάδες των κάτω ψηφίων και να διαβάσετε τον αριθμό που εκφράζεται από τα υπόλοιπα ψηφία.

Για παράδειγμα, θέλετε να μάθετε πόσες εκατοντάδες υπάρχουν στον αριθμό 6284, δηλαδή πόσες εκατοντάδες είναι σε χιλιάδες και εκατοντάδες από αυτόν τον αριθμό μαζί.

Στον αριθμό 6284, ο αριθμός 2 βρίσκεται στην τρίτη θέση στην κατηγορία των μονάδων, που σημαίνει ότι υπάρχουν δύο απλές εκατοντάδες στον αριθμό. Ο επόμενος αριθμός στα αριστερά είναι 6, που σημαίνει χιλιάδες. Δεδομένου ότι κάθε χίλια περιέχει 10 εκατοντάδες, υπάρχουν 60 από αυτές στις 6 χιλιάδες. Συνολικά, επομένως, αυτός ο αριθμός περιέχει 62 εκατοντάδες.

Ο αριθμός 0 σε οποιαδήποτε κατηγορία σημαίνει την απουσία μονάδων σε αυτήν την κατηγορία. Για παράδειγμα, ο αριθμός 0 στη θέση των δεκάδων σημαίνει την απουσία δεκάδων, στη θέση των εκατοντάδων - την απουσία εκατοντάδων κ.λπ. Στο σημείο όπου βρίσκεται το 0, δεν προφέρεται τίποτα κατά την ανάγνωση του αριθμού:

172 526 - εκατόν εβδομήντα δύο χιλιάδες πεντακόσια είκοσι έξι.
102026 - εκατόν δύο χιλιάδες είκοσι έξι.

Η διαισθητική ιδέα του αριθμού είναι προφανώς τόσο παλιά όσο και η ίδια η ανθρωπότητα, αν και είναι καταρχήν αδύνατο να εντοπιστούν όλα τα πρώτα στάδια της ανάπτυξής του με βεβαιότητα. Πριν ένα άτομο μάθει να μετράει ή να εφεύρει λέξεις για αριθμούς, είχε αναμφίβολα μια οπτική, διαισθητική ιδέα του αριθμού, η οποία του επέτρεπε να διακρίνει μεταξύ ενός ατόμου και δύο ατόμων ή δύο και πολλών ανθρώπων. Το ότι οι πρωτόγονοι στην αρχή γνώριζαν μόνο «ένα», «δύο» και «πολλά» επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι σε ορισμένες γλώσσες, για παράδειγμα, στα ελληνικά, υπάρχουν τρεις γραμματικοί τύποι: ενικός, δυϊκός και πληθυντικός. Αργότερα, ο άνθρωπος έμαθε να διακρίνει μεταξύ δύο και τριών δέντρων και μεταξύ τριών και τεσσάρων ανθρώπων. Η μέτρηση αρχικά συνδέθηκε με ένα πολύ συγκεκριμένο σύνολο αντικειμένων και τα πρώτα ονόματα των αριθμών ήταν επίθετα. Για παράδειγμα, η λέξη "τρία" χρησιμοποιήθηκε μόνο στους συνδυασμούς "τρία δέντρα" ή "τρία άτομα". η ιδέα ότι αυτά τα σύνολα έχουν κάτι κοινό - την έννοια της τριάδας - απαιτεί υψηλό βαθμό αφαίρεσης. Το ότι η μέτρηση προηγήθηκε αυτού του επιπέδου αφαίρεσης αποδεικνύεται από το γεγονός ότι οι λέξεις «ένα» και «πρώτος», καθώς και «δύο» και «δεύτερη», δεν έχουν τίποτα κοινό σε πολλές γλώσσες, ενώ «ένα», «δύο» , «πολλά», οι λέξεις «τρεις» και «τρίτος», «τέσσερα» και «τέταρτο», που βρίσκονται εκτός του αρχέγονου αριθμού, υποδεικνύουν ξεκάθαρα τη σχέση μεταξύ των βασικών και των τακτικών αριθμών.

Τα ονόματα των αριθμών, που εκφράζουν πολύ αφηρημένες ιδέες, εμφανίστηκαν αναμφίβολα αργότερα από τα πρώτα ακατέργαστα σύμβολα για να δηλώσουν τον αριθμό των αντικειμένων σε έναν συγκεκριμένο πληθυσμό. Στην αρχαιότητα, οι πρωτόγονες αριθμητικές εγγραφές γίνονταν με τη μορφή εγκοπών σε ένα ραβδί, κόμβων σε ένα σχοινί, απλωμένα σε μια σειρά από βότσαλα και ήταν κατανοητό ότι υπήρχε μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων του σύνολο που καταμετράται και τα σύμβολα της αριθμητικής εγγραφής. Αλλά για την ανάγνωση τέτοιων αριθμητικών εγγραφών, τα ονόματα των αριθμών δεν χρησιμοποιήθηκαν άμεσα. Τώρα αναγνωρίζουμε με μια ματιά σύνολα δύο, τριών και τεσσάρων στοιχείων. σετ που αποτελούνται από πέντε, έξι ή επτά στοιχεία είναι κάπως πιο δύσκολο να αναγνωριστούν με μια ματιά. Και πέρα ​​από αυτό το όριο, είναι σχεδόν αδύνατο να εξακριβωθεί ο αριθμός τους με το μάτι και χρειάζεται ανάλυση είτε με τη μορφή λογαριασμού είτε με μια ορισμένη δόμηση στοιχείων. Η καταμέτρηση ετικετών φαίνεται να ήταν η πρώτη τεχνική που χρησιμοποιήθηκε σε τέτοιες περιπτώσεις: οι εγκοπές στις ετικέτες ήταν διατεταγμένες σε ορισμένες ομάδες, όπως κατά την καταμέτρηση των ψηφοδελτίων συχνά ομαδοποιούνται σε πακέτα των πέντε ή δέκα. Η μέτρηση με τα δάχτυλα ήταν πολύ διαδεδομένη και είναι πολύ πιθανό τα ονόματα ορισμένων αριθμών να προέρχονται ακριβώς από αυτή τη μέθοδο μέτρησης.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του λογαριασμού είναι η σύνδεση των ονομάτων των αριθμών με ένα συγκεκριμένο σχήμα μέτρησης. Για παράδειγμα, η λέξη «είκοσι τρία» δεν είναι απλώς ένας όρος που σημαίνει μια καλά καθορισμένη (από τον αριθμό των στοιχείων) ομάδα αντικειμένων. είναι ένας σύνθετος όρος που σημαίνει «δύο φορές δέκα και τρεις». Εδώ είναι ξεκάθαρα ορατός ο ρόλος του αριθμού δέκα ως συλλογική μονάδα ή θεμέλιο. και πράγματι, πολλοί άνθρωποι μετρούν κατά δεκάδες, γιατί, όπως σημείωσε ο Αριστοτέλης, έχουμε δέκα δάχτυλα στα χέρια και στα πόδια μας. Για τον ίδιο λόγο χρησιμοποιήθηκαν βάσεις πέντε ή είκοσι. Σε πολύ πρώιμα στάδια της εξέλιξης της ανθρώπινης ιστορίας, οι αριθμοί 2, 3 ή 4 ελήφθησαν ως οι βάσεις του συστήματος αριθμών. Μερικές φορές χρησιμοποιήθηκαν οι βάσεις 12 και 60 για ορισμένες μετρήσεις ή υπολογισμούς.

Ένα άτομο άρχισε να μετράει πολύ πριν μάθει να γράφει, επομένως δεν έχουν σωθεί γραπτά έγγραφα που να μαρτυρούν τις λέξεις που δήλωναν αριθμούς στην αρχαιότητα. Οι νομαδικές φυλές χαρακτηρίζονται από προφορικά ονόματα αριθμών, αλλά όσον αφορά τα γραπτά, η ανάγκη για αυτά εμφανίστηκε μόνο με τη μετάβαση σε έναν εγκατεστημένο τρόπο ζωής, το σχηματισμό γεωργικών κοινοτήτων. Υπήρχε επίσης ανάγκη για ένα σύστημα καταγραφής αριθμών και τότε ήταν που τέθηκαν τα θεμέλια για την ανάπτυξη των μαθηματικών.

Βασικοί τύποι αριθμών

Σε αντίθεση με τις οκτάβες, καθίζηση μικρόδεν έχουν την ιδιότητα της εναλλακτικότητας, αλλά διατηρούν την ιδιότητα της συνειρμότητας εξουσίας.

Για να αναπαρασταθεί ένας θετικός ακέραιος x στη μνήμη του υπολογιστή, μετατρέπεται στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Ο δυαδικός αριθμός x 2 που προκύπτει είναι η σημείωση μηχανής του αντίστοιχου δεκαδικού αριθμού x 10 . Για να γράψετε αρνητικούς αριθμούς, τα λεγόμενα. ένας πρόσθετος κωδικός ενός αριθμού, ο οποίος προκύπτει προσθέτοντας ένα στην ανεστραμμένη αναπαράσταση του συντελεστή ενός δεδομένου αρνητικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Η αναπαράσταση πραγματικών αριθμών στη μνήμη του υπολογιστή (στην τεχνολογία των υπολογιστών, ο όρος αριθμός κινητής υποδιαστολής χρησιμοποιείται για να τους δηλώσει) έχει ορισμένους περιορισμούς που σχετίζονται με το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται, καθώς και την περιορισμένη ποσότητα μνήμης που διατίθεται για αριθμούς. Έτσι, μόνο ορισμένοι από τους πραγματικούς αριθμούς μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια στη μνήμη του υπολογιστή χωρίς απώλεια. Στο πιο συνηθισμένο σχήμα, ένας αριθμός κινητής υποδιαστολής γράφεται ως μπλοκ από bit, μερικά από τα οποία είναι η μάντισσα του αριθμού, μερικά είναι ο βαθμός και ένα bit εκχωρείται για να αναπαραστήσει το πρόσημο του αριθμού (εάν είναι απαραίτητο, το bit πρόσημο μπορεί να απουσιάζει).

Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο με τη δεδομένη τετμημένη. Συντεταγμένες. Ιδιότητα συντεταγμένων σημείων. Το κέντρο του κύκλου των αριθμών. Από κύκλο σε τριγωνόμετρο. Βρείτε σημεία στον αριθμητικό κύκλο. Κουκκίδες με τετμημένη. Τριγωνόμετρο. Επιλέξτε ένα σημείο στον κύκλο αριθμών. Αριθμητικός κύκλος στο επίπεδο συντεταγμένων. Αριθμητικός κύκλος. Τελεία με τεταγμένη. Ονομάστε τη συντεταγμένη του σημείου. Ονομάστε την ευθεία και τις συντεταγμένες του σημείου.

""Παράγωγα" Άλγεβρα Βαθμού 10" - Η χρήση της παραγώγου για τη μελέτη συναρτήσεων. Η παράγωγος είναι μηδέν. Βρείτε σημεία. Συνοψίζουμε τις πληροφορίες. Η φύση της μονοτονίας της συνάρτησης. Εφαρμογή της παραγώγου στη μελέτη συναρτήσεων. Θεωρητική προπόνηση. Συμπληρώστε τις δηλώσεις. Επιλέξτε τη σωστή δήλωση. Θεώρημα. Συγκρίνω. Το παράγωγο είναι θετικό. Συγκρίνετε τις προτάσεις των θεωρημάτων. Η συνάρτηση αυξάνεται. Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ.

""Τριγωνομετρικές Εξισώσεις" Βαθμός 10" - Τιμές από το διάστημα. X \u003d tg x. Προσδιορίστε τις ρίζες. Είναι σωστή η ισότητα; σειρά ριζών. Εξίσωση ctg t = a. Ορισμός. Cos 4x. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης. Εξίσωση tg t = a. Sin x. Έχει νόημα η έκφραση; Sinx=1. Ποτέ μην κάνεις αυτό που δεν ξέρεις. Συνέχισε την πρόταση. Ας ρίξουμε μια ματιά στις ρίζες. Λύστε την εξίσωση. Ctg x = 1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις. Η εξίσωση.

"Άλγεβρα" Παράγωγα "" - Εξίσωση εφαπτομένης. Προέλευση όρων. Για να λύσετε την εργασία. Παράγωγο. Υλικό σημείο. Τύποι διαφοροποίησης. Η μηχανική σημασία του παραγώγου. Κριτήρια αξιολόγησης. Παράγωγη συνάρτηση. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Ορισμός παραγώγου. Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου. Ένα παράδειγμα εύρεσης παραγώγου. Η δομή της μελέτης του θέματος. Το σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή.

"Το συντομότερο μονοπάτι" - Το μονοπάτι στο δίγραμμα. Ένα παράδειγμα δύο διαφορετικών γραφημάτων. Προσανατολισμένα γραφήματα. Παραδείγματα κατευθυνόμενων γραφημάτων. Προσβασιμότητα. Η συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο Α στον κόμβο Δ. Περιγραφή του αλγορίθμου. Οφέλη από μια ιεραρχική λίστα. Σταθμισμένα γραφήματα. Η διαδρομή στο γράφημα. Πρόγραμμα προγράμματος. Παρακείμενες κορυφές και ακμές. Βαθμός κορυφής. Πίνακας γειτνίασης. Μήκος διαδρομής σε σταθμισμένο γράφημα. Ένα παράδειγμα μήτρας γειτνίασης. Βρίσκοντας το συντομότερο μονοπάτι.

"Ιστορία της Τριγωνομετρίας" - Jacob Bernoulli. Τεχνική λειτουργίας με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Το δόγμα της μέτρησης των πολυεδρών. Λέοναρντ Όιλερ. Η εξέλιξη της τριγωνομετρίας από τον 16ο αιώνα έως σήμερα. Ο μαθητής πρέπει να συναντήσει την τριγωνομετρία τρεις φορές. Μέχρι στιγμής έχει διαμορφωθεί και αναπτυχθεί η τριγωνομετρία. Κατασκευή ενός γενικού συστήματος τριγωνομετρικών και συναφών γνώσεων. Ο χρόνος περνά και η τριγωνομετρία επιστρέφει στους μαθητές.