Στα μαθηματικά, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών (ή απλά ο μέσος όρος) είναι το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα δεδομένο σύνολο διαιρεμένο με τον αριθμό τους. Αυτή είναι η πιο γενικευμένη και διαδεδομένη έννοια της μέσης τιμής. Όπως καταλάβατε ήδη, για να βρείτε, πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς που σας δίνονται και να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των όρων.

Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Δίνονται οι αριθμοί: 6, 7, 11. Πρέπει να βρείτε τη μέση τιμή τους.

Απόφαση.

Αρχικά, ας βρούμε το άθροισμα όλων των δεδομένων αριθμών.

Τώρα διαιρούμε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων. Εφόσον έχουμε τρεις όρους, αντίστοιχα, θα διαιρέσουμε με τρεις.

Επομένως, ο μέσος όρος των 6, 7 και 11 είναι 8. Γιατί 8; Ναι, γιατί το άθροισμα των 6, 7 και 11 θα είναι ίδιο με τρία οκτώ. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στην εικόνα.

Η μέση τιμή θυμίζει κάπως την «ευθυγράμμιση» μιας σειράς αριθμών. Όπως μπορείτε να δείτε, οι σωροί από μολύβια έχουν γίνει ένα επίπεδο.

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα για να εδραιώσετε τη γνώση που αποκτήθηκε.

Παράδειγμα 2Δίνονται οι αριθμοί: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Πρέπει να βρείτε τον αριθμητικό τους μέσο όρο.

Απόφαση.

Βρίσκουμε το άθροισμα.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Διαιρέστε με τον αριθμό των όρων (στην περίπτωση αυτή, 15).

Επομένως, η μέση τιμή αυτής της σειράς αριθμών είναι 22.

Τώρα σκεφτείτε αρνητικούς αριθμούς. Ας θυμηθούμε πώς να τα συνοψίσουμε. Για παράδειγμα, έχετε δύο αριθμούς 1 και -4. Ας βρούμε το άθροισμά τους.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Γνωρίζοντας αυτό, εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3Βρείτε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών: 3, -7, 5, 13, -2.

Απόφαση.

Εύρεση του αθροίσματος των αριθμών.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Επειδή υπάρχουν 5 όροι, διαιρούμε το άθροισμα που προκύπτει με 5.

Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 3, -7, 5, 13, -2 είναι 2,4.

Στην εποχή της τεχνολογικής προόδου μας, είναι πολύ πιο βολικό να χρησιμοποιούμε προγράμματα υπολογιστών για να βρούμε τη μέση τιμή. Το Microsoft Office Excel είναι ένα από αυτά. Η εύρεση του μέσου όρου στο Excel είναι γρήγορη και εύκολη. Επιπλέον, αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνεται στο πακέτο λογισμικού από το Microsoft Office. Ας εξετάσουμε μια σύντομη οδηγία, αξία χρησιμοποιώντας αυτό το πρόγραμμα.

Για να υπολογίσετε τη μέση τιμή μιας σειράς αριθμών, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση AVERAGE. Η σύνταξη αυτής της συνάρτησης είναι:
=Μέσος όρος(όρισμα1, όρισμα2, ... επιχείρημα255)
όπου το όρισμα1, το όρισμα2, το ... το όρισμα255 είναι είτε αριθμοί είτε αναφορές κελιών (τα κελιά σημαίνουν εύρη και πίνακες).

Για να γίνει πιο σαφές, ας δοκιμάσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν.

1. Εισαγάγετε τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 16 στα κελιά C1 - C6.
2. Επιλέξτε το κελί C7 κάνοντας κλικ σε αυτό. Σε αυτό το κελί, θα εμφανίσουμε τη μέση τιμή.
3. Κάντε κλικ στην καρτέλα "Τύποι".
4. Επιλέξτε Περισσότερες λειτουργίες > Στατιστικά για να ανοίξετε
5. Επιλέξτε ΜΕΣΟΣ. Μετά από αυτό, θα πρέπει να ανοίξει ένα πλαίσιο διαλόγου.
6. Επιλέξτε και σύρετε τα κελιά C1-C6 εκεί για να ορίσετε την περιοχή στο πλαίσιο διαλόγου.
7. Επιβεβαιώστε τις ενέργειές σας με το κουμπί "OK".
8. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, στο κελί C7 θα πρέπει να έχετε την απάντηση - 13.7. Όταν κάνετε κλικ στο κελί C7, η συνάρτηση (=Average(C1:C6)) θα εμφανιστεί στη γραμμή τύπων.

Είναι πολύ χρήσιμο να χρησιμοποιείτε αυτήν τη λειτουργία για λογιστικά, τιμολόγια ή όταν χρειάζεται απλώς να βρείτε τον μέσο όρο ενός πολύ μεγάλου εύρους αριθμών. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται συχνά σε γραφεία και μεγάλες εταιρείες. Αυτό σας επιτρέπει να διατηρείτε τα αρχεία σε τάξη και καθιστά δυνατό να υπολογίσετε γρήγορα κάτι (για παράδειγμα, το μέσο εισόδημα ανά μήνα). Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το Excel για να βρείτε τη μέση τιμή μιας συνάρτησης.

Πώς να υπολογίσετε τον μέσο όρο των αριθμών στο Excel

Μπορείτε να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών στο Excel χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση.

Σύνταξη ΜΕΣΟΣ

=AVERAGE(αριθμός1,[αριθμός2],…) - Ρωσική έκδοση

Επιχειρήματα ΜΕΣΟΣ

• νούμερο 1- τον πρώτο αριθμό ή εύρος αριθμών, για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου.
• νούμερο 2(Προαιρετικό) – δεύτερος αριθμός ή εύρος αριθμών για τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου. Ο μέγιστος αριθμός ορισμάτων συνάρτησης είναι 255.

Για να υπολογίσετε, κάντε τα ακόλουθα βήματα:

• Επιλέξτε οποιοδήποτε κελί.
• Γράψτε έναν τύπο σε αυτό =ΜΕΣΟΣ(
• Επιλέξτε το εύρος των κελιών για τα οποία θέλετε να κάνετε έναν υπολογισμό.
• Πατήστε το πλήκτρο "Enter" στο πληκτρολόγιο

Η συνάρτηση θα υπολογίσει τη μέση τιμή στο καθορισμένο εύρος μεταξύ των κελιών που περιέχουν αριθμούς.

Πώς να βρείτε τη μέση τιμή δεδομένου κειμένου

Εάν υπάρχουν κενές γραμμές ή κείμενο στην περιοχή δεδομένων, τότε η συνάρτηση τις αντιμετωπίζει ως "μηδέν". Εάν υπάρχουν λογικές εκφράσεις FALSE ή TRUE μεταξύ των δεδομένων, τότε η συνάρτηση αντιλαμβάνεται FALSE ως "μηδέν" και TRUE ως "1".

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο ανά συνθήκη

Η συνάρτηση χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέσου όρου με βάση μια συνθήκη ή κριτήριο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε δεδομένα πωλήσεων προϊόντων:

Το καθήκον μας είναι να υπολογίσουμε τις μέσες πωλήσεις στυλό. Για να το κάνουμε αυτό, θα κάνουμε τα εξής βήματα:

• Σε ένα κελί Α13γράψτε το όνομα του προϊόντος "Πένα"·
• Σε ένα κελί Β13ας εισάγουμε τον τύπο:

=AVERAGEIF(A2:A10,A13,B2:B10)

Εύρος κυττάρων " Α2: Α10” δείχνει τη λίστα των προϊόντων στην οποία θα αναζητήσουμε τη λέξη “Πένα”. Διαφωνία Α13αυτός είναι ένας σύνδεσμος προς ένα κελί με κείμενο που θα αναζητήσουμε σε ολόκληρη τη λίστα προϊόντων. Εύρος κυττάρων " Β2:Β10” είναι ένα εύρος με δεδομένα πωλήσεων προϊόντων, μεταξύ των οποίων η συνάρτηση θα βρει το “Πένα” και θα υπολογίσει τη μέση τιμή.

Η μέση τιμή είναι ένας γενικευμένος δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο του φαινομένου. Εκφράζει την τιμή του χαρακτηριστικού, που σχετίζεται με τη μονάδα του πληθυσμού.

Η μέση τιμή είναι:

1) η πιο τυπική τιμή του χαρακτηριστικού για τον πληθυσμό.

2) ο όγκος του ζωδίου του πληθυσμού, που κατανέμεται ισόποσα μεταξύ των μονάδων του πληθυσμού.

Το χαρακτηριστικό για το οποίο υπολογίζεται η μέση τιμή ονομάζεται «μέσος όρος» στις στατιστικές.

Ο μέσος όρος γενικεύει πάντα την ποσοτική διακύμανση του χαρακτηριστικού, δηλ. σε μέσες τιμές, ακυρώνονται μεμονωμένες διαφορές στις μονάδες του πληθυσμού λόγω τυχαίων περιστάσεων. Σε αντίθεση με τον μέσο όρο, η απόλυτη τιμή που χαρακτηρίζει το επίπεδο ενός χαρακτηριστικού μιας μεμονωμένης μονάδας του πληθυσμού δεν επιτρέπει τη σύγκριση των τιμών του χαρακτηριστικού για μονάδες που ανήκουν σε διαφορετικούς πληθυσμούς. Επομένως, εάν χρειάζεται να συγκρίνετε τα επίπεδα αμοιβής των εργαζομένων σε δύο επιχειρήσεις, τότε δεν μπορείτε να συγκρίνετε δύο υπαλλήλους διαφορετικών επιχειρήσεων σε αυτή τη βάση. Οι μισθοί των εργαζομένων που επιλέχθηκαν για σύγκριση μπορεί να μην είναι τυπικοί για αυτές τις επιχειρήσεις. Εάν συγκρίνουμε το μέγεθος των αμοιβαίων κεφαλαίων στις υπό εξέταση επιχειρήσεις, τότε ο αριθμός των εργαζομένων δεν λαμβάνεται υπόψη και, επομένως, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί πού είναι υψηλότερο το επίπεδο των μισθών. Τελικά, μόνο οι μέσοι όροι μπορούν να συγκριθούν, δηλ. Πόσο κερδίζει ένας εργαζόμενος κατά μέσο όρο σε κάθε εταιρεία; Επομένως, υπάρχει ανάγκη να υπολογιστεί η μέση τιμή ως γενικευτικό χαρακτηριστικό του πληθυσμού.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στη διαδικασία υπολογισμού του μέσου όρου, η συνολική τιμή των επιπέδων χαρακτηριστικών ή η τελική τους τιμή (στην περίπτωση υπολογισμού των μέσων επιπέδων σε μια χρονοσειρά) πρέπει να παραμείνει αμετάβλητη. Με άλλα λόγια, κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής, ο όγκος του υπό μελέτη χαρακτηριστικού δεν πρέπει να παραμορφώνεται και οι εκφράσεις που γίνονται κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου πρέπει απαραίτητα να έχουν νόημα.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αρνείται το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός τύχης και αναγκαιότητας. Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, η τυχαιότητα αλληλοεξουδετερώνεται, εξισορροπείται, ώστε να μπορείτε να αφαιρέσετε από τα ασήμαντα χαρακτηριστικά του φαινομένου, από τις ποσοτικές τιμές του χαρακτηριστικού σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Στην ικανότητα αφαίρεσης από την τυχαιότητα των επιμέρους τιμών, τις διακυμάνσεις, έγκειται η επιστημονική αξία των μέσων όρων ως γενικευτικών χαρακτηριστικών των αδρανών.

Προκειμένου ο μέσος όρος να είναι πραγματικά χαρακτηριστικός, πρέπει να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψη ορισμένες αρχές.

Ας σταθούμε σε μερικές γενικές αρχές για την εφαρμογή των μέσων όρων.

1. Ο μέσος όρος πρέπει να προσδιορίζεται για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες.

2. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για έναν πληθυσμό που αποτελείται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μονάδων.

3. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για τον πληθυσμό, οι μονάδες του οποίου βρίσκονται σε κανονική, φυσική κατάσταση.

4. Ο μέσος όρος θα πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη.

5.2. Τύποι μέσων όρων και μέθοδοι υπολογισμού τους

Ας εξετάσουμε τώρα τους τύπους των μέσων όρων, τα χαρακτηριστικά του υπολογισμού τους και τους τομείς εφαρμογής. Οι μέσες τιμές χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: μέσους όρους ισχύος, δομικούς μέσους όρους.

Οι μέσοι όροι του νόμου ισχύος περιλαμβάνουν τους πιο γνωστούς και ευρέως χρησιμοποιούμενους τύπους, όπως γεωμετρικό μέσο όρο, αριθμητικό μέσο όρο και μέσο τετράγωνο.

Ο τρόπος λειτουργίας και η διάμεσος θεωρούνται ως δομικοί μέσοι όροι.

Ας σταθούμε στους μέσους όρους ισχύος. Οι μέσοι όροι ισχύος, ανάλογα με την παρουσίαση των αρχικών δεδομένων, μπορεί να είναι απλοί και σταθμισμένοι. απλός μέσος όροςυπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει την ακόλουθη γενική μορφή:

,

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου χαρακτηριστικού.

n είναι ο αριθμός των επιλογών.

Σταθμισμένος μέσος όροςυπολογίζεται με ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει γενική μορφή

,

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου του χαρακτηριστικού ή η μεσαία τιμή του διαστήματος στο οποίο μετράται η παραλλαγή·

m είναι ο εκθέτης του μέσου όρου.

f i - συχνότητα που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή i-e του μέσου όρου του χαρακτηριστικού.

Εάν υπολογίσουμε όλους τους τύπους μέσων τιμών για τα ίδια αρχικά δεδομένα, τότε οι τιμές τους δεν θα είναι ίδιες. Εδώ ισχύει ο κανόνας της μείζονος σημασίας των μέσων όρων: με αύξηση του εκθέτη m, αυξάνεται και η αντίστοιχη μέση τιμή:

Στη στατιστική πρακτική, συχνότερα από άλλους τύπους σταθμισμένους μέσους όρους, χρησιμοποιούνται αριθμητικοί και αρμονικοί σταθμισμένοι μέσοι όροι.

Τύποι μέσων ισχύος

Τύπος ισχύος Μέσης	Δείκτης μοίρες (m)	Τύπος υπολογισμού
		Απλός	σταθμισμένη
αρμονικός
Γεωμετρικός
Αριθμητική
τετραγωνικός
κυβικός

Ο αρμονικός μέσος όρος έχει πιο σύνθετη δομή από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για υπολογισμούς όταν τα βάρη δεν είναι οι μονάδες του πληθυσμού - οι φορείς του χαρακτηριστικού, αλλά τα γινόμενα αυτών των μονάδων και οι τιμές του χαρακτηριστικού (δηλαδή m = Xf). Ο μέσος χρόνος διακοπής της αρμονικής θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις προσδιορισμού, για παράδειγμα, του μέσου κόστους εργασίας, χρόνου, υλικών ανά μονάδα παραγωγής, ανά μέρος για δύο (τρεις, τέσσερις κ.λπ.) επιχειρήσεις, εργαζομένους που ασχολούνται με την κατασκευή του ίδιο είδος προϊόντος, ίδιο ανταλλακτικό, προϊόν.

Η κύρια απαίτηση για τον τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής είναι όλα τα στάδια του υπολογισμού να έχουν μια πραγματική ουσιαστική αιτιολόγηση. η προκύπτουσα μέση τιμή θα πρέπει να αντικαταστήσει τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού για κάθε αντικείμενο χωρίς να σπάσει τη σύνδεση μεταξύ μεμονωμένων και συνοπτικών δεικτών. Με άλλα λόγια, η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε όταν κάθε μεμονωμένη τιμή του μέσου όρου δείκτη αντικαθίσταται από τη μέση τιμή του, κάποιος τελικός συνοπτικός δείκτης που συνδέεται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο με τον μέσο όρο δείκτη παραμένει αμετάβλητος. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται καθοριστικόαφού η φύση της σχέσης του με μεμονωμένες τιμές καθορίζει τον συγκεκριμένο τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής. Ας δείξουμε αυτόν τον κανόνα στο παράδειγμα του γεωμετρικού μέσου όρου.

Γεωμετρικός μέσος τύπος

χρησιμοποιείται συχνότερα κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής των επιμέρους σχετικών τιμών της δυναμικής.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται εάν δοθεί μια ακολουθία σχετικών τιμών δυναμικής αλυσίδας, που υποδεικνύει, για παράδειγμα, αύξηση της παραγωγής σε σύγκριση με το επίπεδο του προηγούμενου έτους: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Προφανώς, ο όγκος της παραγωγής το τελευταίο έτος καθορίζεται από το αρχικό της επίπεδο (q 0) και την επακόλουθη ανάπτυξη με την πάροδο των ετών:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Λαμβάνοντας το q n ως καθοριστικό δείκτη και αντικαθιστώντας τις επιμέρους τιμές των δεικτών δυναμικής με μέσες, καταλήγουμε στη σχέση

Από εδώ

Ένας ειδικός τύπος μέσων τιμών - δομικοί μέσοι όροι - χρησιμοποιείται για τη μελέτη της εσωτερικής δομής της σειράς κατανομής τιμών χαρακτηριστικών, καθώς και για την εκτίμηση της μέσης τιμής (τύπος ισχύος), εάν, σύμφωνα με τα διαθέσιμα στατιστικά δεδομένα, ο υπολογισμός του δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί (για παράδειγμα, εάν δεν υπήρχαν δεδομένα στο εξεταζόμενο παράδειγμα) και για τον όγκο της παραγωγής και για το ποσό του κόστους ανά ομάδες επιχειρήσεων).

Οι δείκτες χρησιμοποιούνται συχνότερα ως δομικοί μέσοι όροι. μόδα -η πιο συχνά επαναλαμβανόμενη τιμή χαρακτηριστικού - και διάμεσος -την τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τη διατεταγμένη ακολουθία των τιμών του σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό. Ως αποτέλεσμα, στο ένα ήμισυ των μονάδων πληθυσμού, η τιμή του χαρακτηριστικού δεν υπερβαίνει το διάμεσο επίπεδο και στο άλλο μισό δεν είναι μικρότερη από αυτό.

Εάν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό έχει διακριτές τιμές, τότε δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής. Εάν τα δεδομένα σχετικά με τις τιμές του χαρακτηριστικού X παρουσιάζονται με τη μορφή διατεταγμένων διαστημάτων μεταβολής του (σειρές διαστημάτων), ο υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής γίνεται κάπως πιο περίπλοκος. Εφόσον η διάμεση τιμή διαιρεί ολόκληρο τον πληθυσμό σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό, καταλήγει σε ένα από τα διαστήματα του χαρακτηριστικού X. Χρησιμοποιώντας την παρεμβολή, η διάμεση τιμή βρίσκεται σε αυτό το διάμεσο διάστημα:

,

όπου X Me είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.

h Εγώ είναι η αξία του.

(Άθροισμα m) / 2 - το ήμισυ του συνολικού αριθμού παρατηρήσεων ή το ήμισυ του όγκου του δείκτη που χρησιμοποιείται ως στάθμιση στους τύπους για τον υπολογισμό της μέσης τιμής (σε απόλυτες ή σχετικές τιμές).

S Me-1 είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων (ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης) που έχει συσσωρευτεί πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος.

m Me είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο διάμεσο διάστημα (επίσης σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).

Κατά τον υπολογισμό της τροπικής τιμής ενός χαρακτηριστικού σύμφωνα με τα δεδομένα της σειράς διαστημάτων, είναι απαραίτητο να προσέχετε το γεγονός ότι τα διαστήματα είναι τα ίδια, καθώς ο δείκτης της συχνότητας των τιμών χαρακτηριστικών X εξαρτάται από αυτό. μια σειρά διαστημάτων με ίσα διαστήματα, η τιμή του τρόπου λειτουργίας καθορίζεται ως

,

όπου X Mo είναι η χαμηλότερη τιμή του διαστήματος των τρόπων.

m Mo είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο τροπικό διάστημα (σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).

m Mo-1 - το ίδιο για το διάστημα που προηγείται του modal.

m Mo+1 - το ίδιο για το διάστημα που ακολουθεί το modal.

h είναι η τιμή του διαστήματος μεταβολής του χαρακτηριστικού σε ομάδες.

ΕΡΓΑΣΙΑ 1

Τα ακόλουθα στοιχεία είναι διαθέσιμα για την ομάδα των βιομηχανικών επιχειρήσεων για το έτος αναφοράς

№ επιχειρήσεις	Όγκος παραγωγής, εκατομμύρια ρούβλια		Μέσος αριθμός εργαζομένων, ανά άτομο.	Κέρδος, χιλιάδες ρούβλια
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Απαιτείται η πραγματοποίηση ομαδοποίησης επιχειρήσεων για την ανταλλαγή προϊόντων, λαμβάνοντας τα ακόλουθα διαστήματα:

έως 200 εκατομμύρια ρούβλια


από 200 έως 400 εκατομμύρια ρούβλια


1. από 400 έως 600 εκατομμύρια ρούβλια
   

   Για κάθε ομάδα και για όλα μαζί, προσδιορίστε τον αριθμό των επιχειρήσεων, τον όγκο της παραγωγής, τον μέσο αριθμό εργαζομένων, τη μέση παραγωγή ανά εργαζόμενο. Τα αποτελέσματα της ομαδοποίησης πρέπει να παρουσιάζονται με τη μορφή στατιστικού πίνακα. Διατυπώστε ένα συμπέρασμα.
   

   ΑΠΟΦΑΣΗ
   

   Ας κάνουμε μια ομαδοποίηση επιχειρήσεων για την ανταλλαγή προϊόντων, τον υπολογισμό του αριθμού των επιχειρήσεων, του όγκου παραγωγής, του μέσου αριθμού εργαζομένων σύμφωνα με τον τύπο ενός απλού μέσου όρου. Τα αποτελέσματα της ομαδοποίησης και των υπολογισμών συνοψίζονται σε έναν πίνακα.
   

   Ομάδες ανά όγκο παραγωγής	№ επιχειρήσεις	Όγκος παραγωγής, εκατομμύρια ρούβλια	Μέσο ετήσιο κόστος παγίων στοιχείων ενεργητικού, εκατομμύρια ρούβλια	μέσος ύπνος ζουμερός αριθμός εργαζομένων, pers.	Κέρδος, χιλιάδες ρούβλια	Μέση παραγωγή ανά εργαζόμενο
   1 ομάδα έως 200 εκατομμύρια ρούβλια	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Μεσαίο επίπεδο		198,3			24,9
   2 ομάδα από 200 έως 400 εκατομμύρια ρούβλια	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Μεσαίο επίπεδο		282,3	37,6	1530	64,0
   3 ομάδα από 400 έως 600 εκατ	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Μεσαίο επίπεδο		512,9	34,4	1421	120,9
   Σύνολο συγκεντρωτικά		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Συνολικός μέσος όρος		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Συμπέρασμα. Έτσι, στο υπό εξέταση σύνολο, ο μεγαλύτερος αριθμός επιχειρήσεων ως προς την παραγωγή εμπίπτει στην τρίτη ομάδα - επτά ή οι μισές επιχειρήσεις. Η αξία της μέσης ετήσιας αξίας των παγίων περιουσιακών στοιχείων είναι επίσης σε αυτήν την ομάδα, καθώς και η μεγάλη αξία του μέσου αριθμού εργαζομένων - 9974 άτομα, οι επιχειρήσεις της πρώτης ομάδας είναι οι λιγότερο κερδοφόρες.
   

   ΕΡΓΑΣΙΑ 2
   

   Έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία για τις επιχειρήσεις της εταιρείας
   

   Αριθμός της επιχείρησης που ανήκει στην εταιρεία	εγώ τέταρτο		ΙΙ τρίμηνο
   	Έξοδος, χιλιάδες ρούβλια		Εργάστηκε με εργάσιμες ανθρωποημέρες	Μέση απόδοση ανά εργαζόμενο ανά ημέρα, τρίψιμο.
   	59390,13

Θέμα 5. Οι μέσοι όροι ως στατιστικοί δείκτες

Η έννοια του μέσου όρου. Πεδίο εφαρμογής των μέσων τιμών σε μια στατιστική μελέτη

Οι μέσες τιμές χρησιμοποιούνται στο στάδιο της επεξεργασίας και της σύνοψης των ληφθέντων πρωτογενών στατιστικών δεδομένων. Η ανάγκη προσδιορισμού των μέσων τιμών οφείλεται στο γεγονός ότι για διαφορετικές μονάδες των πληθυσμών που μελετήθηκαν, οι μεμονωμένες τιμές του ίδιου χαρακτηριστικού, κατά κανόνα, δεν είναι ίδιες.

Μέση αξίακαλούμε έναν δείκτη που χαρακτηρίζει τη γενικευμένη τιμή ενός χαρακτηριστικού ή μιας ομάδας χαρακτηριστικών στον πληθυσμό της μελέτης.

Εάν μελετάται ένας πληθυσμός με ποιοτικά ομοιογενή χαρακτηριστικά, τότε η μέση τιμή εμφανίζεται εδώ ως τυπικός μέσος όρος. Για παράδειγμα, για ομάδες εργαζομένων σε έναν συγκεκριμένο κλάδο με σταθερό επίπεδο εισοδήματος, προσδιορίζεται μια τυπική μέση δαπάνη για είδη πρώτης ανάγκης, δηλ. ο τυπικός μέσος όρος γενικεύει τις ποιοτικά ομοιογενείς τιμές του χαρακτηριστικού στον δεδομένο πληθυσμό, που είναι το μερίδιο των δαπανών των εργαζομένων αυτής της ομάδας για βασικά αγαθά.

Στη μελέτη ενός πληθυσμού με ποιοτικά ετερογενή χαρακτηριστικά, οι άτυποι μέσοι δείκτες μπορεί να έρθουν στο προσκήνιο. Τέτοιοι, για παράδειγμα, είναι οι μέσοι δείκτες του παραγόμενου εθνικού εισοδήματος κατά κεφαλήν (διαφορετικές ηλικιακές ομάδες), οι μέσες αποδόσεις των καλλιεργειών σιτηρών σε ολόκληρη τη Ρωσία (περιοχές διαφορετικών κλιματικών ζωνών και διαφορετικές καλλιέργειες σιτηρών), τα μέσα ποσοστά γεννήσεων του πληθυσμού σε όλες οι περιοχές της χώρας, η μέση θερμοκρασία για μια συγκεκριμένη περίοδο κ.λπ. Εδώ, οι μέσες τιμές γενικεύουν ποιοτικά ετερογενείς τιμές χαρακτηριστικών ή συστημικών χωρικών μεγεθών (διεθνής κοινότητα, ήπειρος, πολιτεία, περιοχή, περιοχή, κ.λπ.) ή δυναμικά συγκεντρωτικά στοιχεία που εκτείνονται σε χρόνο (αιώνας, δεκαετία, έτος, εποχή κ.λπ.). ) . Αυτοί οι μέσοι όροι ονομάζονται μέσους όρους συστήματος.

Έτσι, η έννοια των μέσων τιμών συνίσταται στη γενίκευσή τους. Η μέση τιμή αντικαθιστά έναν μεγάλο αριθμό μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού, αποκαλύπτοντας κοινές ιδιότητες που είναι εγγενείς σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Αυτό, με τη σειρά του, καθιστά δυνατή την αποφυγή τυχαίων αιτιών και τον εντοπισμό κοινών προτύπων λόγω κοινών αιτιών.

Τύποι μέσων τιμών και μέθοδοι υπολογισμού τους

Στο στάδιο της στατιστικής επεξεργασίας, μπορούν να τεθούν ποικίλες ερευνητικές εργασίες, για τη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να επιλεγεί ο κατάλληλος μέσος όρος. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να καθοδηγείται από τον ακόλουθο κανόνα: οι τιμές που αντιπροσωπεύουν τον αριθμητή και τον παρονομαστή του μέσου όρου πρέπει να σχετίζονται λογικά μεταξύ τους.

μέσους όρους ισχύος;

διαρθρωτικούς μέσους όρους.

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Τις τιμές για τις οποίες υπολογίζεται ο μέσος όρος.

Μέσος όρος, όπου η παραπάνω γραμμή δείχνει ότι λαμβάνει χώρα ο μέσος όρος των μεμονωμένων τιμών.

Συχνότητα (επαναληψιμότητα των τιμών μεμονωμένων χαρακτηριστικών).

Διάφορα μέσα προέρχονται από τον γενικό τύπο μέσης ισχύος:

(5.1)

για k = 1 - αριθμητικός μέσος όρος. k = -1 - αρμονικός μέσος όρος. k = 0 - γεωμετρικός μέσος όρος. k = -2 - ρίζα μέσο τετράγωνο.

Οι μέσοι όροι είναι είτε απλοί είτε σταθμισμένοι. σταθμισμένους μέσους όρουςονομάζονται ποσότητες που λαμβάνουν υπόψη ότι ορισμένες παραλλαγές των τιμών του χαρακτηριστικού μπορεί να έχουν διαφορετικούς αριθμούς και επομένως κάθε παραλλαγή πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό. Με άλλα λόγια, τα «βαρίδια» είναι οι αριθμοί των πληθυσμιακών μονάδων σε διαφορετικές ομάδες, δηλ. κάθε επιλογή «σταθμίζεται» με τη συχνότητά της. Η συχνότητα f ονομάζεται στατιστικό βάροςή μέσο βάρος.

Αριθμητικός μέσος όρος- ο πιο κοινός τύπος μέσου. Χρησιμοποιείται όταν ο υπολογισμός πραγματοποιείται σε μη ομαδοποιημένα στατιστικά δεδομένα, όπου θέλετε να λάβετε τη μέση άθροιση. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τέτοια μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού, κατά τη λήψη του οποίου ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού στον πληθυσμό παραμένει αμετάβλητος.

Ο αριθμητικός μέσος τύπος (απλή) έχει τη μορφή

όπου n είναι το μέγεθος του πληθυσμού.

Για παράδειγμα, ο μέσος μισθός των εργαζομένων μιας επιχείρησης υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος:

Οι καθοριστικοί δείκτες εδώ είναι οι μισθοί κάθε εργαζόμενου και ο αριθμός των εργαζομένων της επιχείρησης. Κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου, το συνολικό ποσό των μισθών παρέμεινε το ίδιο, αλλά κατανεμήθηκε, όπως ήταν, ισότιμα ​​μεταξύ όλων των εργαζομένων. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο μέσος μισθός των εργαζομένων μιας μικρής εταιρείας όπου απασχολούνται 8 άτομα:

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, οι μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται κατά μέσο όρο μπορούν να επαναληφθούν, επομένως ο μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ομαδοποιημένα δεδομένα. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για χρήση αριθμητικός μέσος σταθμισμένος, που μοιάζει με

(5.3)

Επομένως, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση τιμή της μετοχής μιας μετοχικής εταιρείας στο χρηματιστήριο. Είναι γνωστό ότι οι συναλλαγές πραγματοποιήθηκαν εντός 5 ημερών (5 συναλλαγές), ο αριθμός των μετοχών που πωλήθηκαν με την τιμή πώλησης κατανεμήθηκε ως εξής:

1 - 800 ac. - 1010 ρούβλια

2 - 650 ακ. - 990 τρίψτε.

3 - 700 ακ. - 1015 ρούβλια.

4 - 550 ακ. - 900 τρίψτε.

5 - 850 ακ. - 1150 ρούβλια.

Η αρχική αναλογία για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής της μετοχής είναι η αναλογία του συνολικού ποσού των συναλλαγών (TCA) προς τον αριθμό των μετοχών που πωλήθηκαν (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

Στην περίπτωση αυτή, η μέση τιμή της μετοχής ήταν ίση με

Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου, ο οποίος είναι πολύ σημαντικός τόσο για τη χρήση του όσο και για τον υπολογισμό του. Υπάρχουν τρεις κύριες ιδιότητες που κυρίως οδήγησαν στην ευρεία χρήση του αριθμητικού μέσου όρου σε στατιστικούς και οικονομικούς υπολογισμούς.

Ιδιότητα ένα (μηδέν): το άθροισμα των θετικών αποκλίσεων των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή του είναι ίσο με το άθροισμα των αρνητικών αποκλίσεων. Αυτή είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα, καθώς δείχνει ότι τυχόν αποκλίσεις (τόσο με + όσο και με -) λόγω τυχαίων αιτιών θα ακυρωθούν αμοιβαία.

Απόδειξη:

Η δεύτερη ιδιότητα (ελάχιστο): το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο είναι μικρότερο από οποιονδήποτε άλλο αριθμό (a), δηλ. είναι ο ελάχιστος αριθμός.

Απόδειξη.

Να συνθέσετε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από τη μεταβλητή α:

(5.4)

Για να βρείτε το άκρο αυτής της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να εξισώσετε την παράγωγό της ως προς το α προς το μηδέν:

Από εδώ παίρνουμε:

(5.5)

Επομένως, το άκρο του αθροίσματος των τετραγωνικών αποκλίσεων επιτυγχάνεται στο . Αυτό το άκρο είναι το ελάχιστο, αφού η συνάρτηση δεν μπορεί να έχει μέγιστο.

Τρίτη ιδιότητα: ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σταθεράς ισούται με αυτή τη σταθερά: στο a = const.

Εκτός από αυτές τις τρεις πιο σημαντικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου, υπάρχουν τα λεγόμενα ιδιότητες σχεδιασμού, που σταδιακά χάνουν τη σημασία τους λόγω της χρήσης ηλεκτρονικών υπολογιστών:

εάν η μεμονωμένη τιμή του χαρακτηριστικού κάθε μονάδας πολλαπλασιαστεί ή διαιρεθεί με έναν σταθερό αριθμό, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί κατά το ίδιο ποσό.

ο αριθμητικός μέσος όρος δεν θα αλλάξει εάν το βάρος (συχνότητα) κάθε τιμής χαρακτηριστικού διαιρείται με έναν σταθερό αριθμό.

εάν οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού κάθε μονάδας μειωθούν ή αυξηθούν κατά το ίδιο ποσό, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό.

Μέση αρμονική. Αυτός ο μέσος όρος ονομάζεται αμοιβαίος αριθμητικός μέσος όρος, καθώς αυτή η τιμή χρησιμοποιείται όταν k = -1.

Απλή αρμονική μέσηχρησιμοποιείται όταν τα βάρη των χαρακτηριστικών τιμών είναι τα ίδια. Ο τύπος του μπορεί να προκύψει από τον βασικό τύπο αντικαθιστώντας k = -1:

Για παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα δύο αυτοκινήτων που έχουν διανύσει την ίδια διαδρομή, αλλά με διαφορετικές ταχύτητες: το πρώτο με 100 km/h, το δεύτερο με 90 km/h. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αρμονικού μέσου όρου, υπολογίζουμε τη μέση ταχύτητα:

Στη στατιστική πρακτική, η αρμονική στάθμιση χρησιμοποιείται συχνότερα, ο τύπος της οποίας έχει τη μορφή

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου τα βάρη (ή οι όγκοι των φαινομένων) για κάθε χαρακτηριστικό δεν είναι ίσα. Στην αρχική αναλογία, ο αριθμητής είναι γνωστός για τον υπολογισμό του μέσου όρου, αλλά ο παρονομαστής είναι άγνωστος.

Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του συνολικού όγκου ενός δεδομένου χαρακτηριστικού αδρανήΤα δεδομένα κατανέμονται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή παραγωγής ανά εργαζόμενο είναι μια τέτοια τιμή του όγκου της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται από τον τύπο:

απλός αριθμητικός μέσος όρος- Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1. Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ένας σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι προσδιορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και η τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Το αντιπροσωπεύουμε με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος- ισούται με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής του χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν εμφανίζονται οι παραλλαγές του πληθυσμού που μελετήθηκε άνισος αριθμός φορών.

Παράδειγμα 2. Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων στα καταστήματα ανά μήνα

Μισθός ενός εργάτη χιλιάδες ρούβλια. Χ	Αριθμός εργαζομένων F

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με τον συνολικό αριθμό των εργαζομένων:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για μια σειρά διαστημάτων

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά απόκλισης διαστήματος, ο μέσος όρος για κάθε διάστημα προσδιορίζεται πρώτα ως το μισό άθροισμα των άνω και κάτω ορίων και στη συνέχεια ο μέσος όρος ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από την τιμή των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των μαθητών στο απογευματινό τμήμα.

Ηλικία σε χρόνια!!x??	Αριθμός μαθητών	Μέσο διάστημα	Το γινόμενο του μέσου του διαστήματος (ηλικία) και του αριθμού των μαθητών
		(18 + 20) / 2 =19 18 σε αυτήν την περίπτωση, το όριο του κατώτερου διαστήματος. Υπολογίστηκε ως 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ή περισσότερα		(30 + 34) / 2 = 32

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από τον βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων μέσα στο διάστημα προσεγγίζει ομοιόμορφα.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη.