Επίλυση απλών λογαριθμικών εξισώσεων. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων

Εισαγωγή

Η αύξηση του νοητικού φορτίου στα μαθήματα των μαθηματικών μας κάνει να σκεφτόμαστε πώς να διατηρήσουμε το ενδιαφέρον των μαθητών για την ύλη που μελετάται, τη δραστηριότητά τους σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος. Από αυτή την άποψη, βρίσκονται σε εξέλιξη έρευνες για νέες αποτελεσματικές μεθόδους διδασκαλίας και τέτοιες μεθοδολογικές τεχνικές που θα ενεργοποιούσαν τη σκέψη των μαθητών, θα τους παρακινούσαν να αποκτήσουν ανεξάρτητα γνώση.

Η εμφάνιση ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά σε σημαντικό αριθμό μαθητών εξαρτάται σε μεγαλύτερο βαθμό από τη μεθοδολογία της διδασκαλίας τους, από το πόσο επιδέξια θα οικοδομηθεί το εκπαιδευτικό έργο. Έγκαιρη εφιστώντας την προσοχή των μαθητών στο τι σπουδάζουν τα μαθηματικά γενικές ιδιότητεςαντικείμενα και φαινόμενα του περιβάλλοντος κόσμου, δεν ασχολείται με αντικείμενα, αλλά με αφηρημένες έννοιες, είναι δυνατόν να κατανοήσουμε ότι τα μαθηματικά δεν διακόπτουν τη σύνδεση με την πραγματικότητα, αλλά, αντίθετα, καθιστούν δυνατή τη βαθύτερη μελέτη της, εξάγουν γενικευμένα θεωρητικά συμπεράσματα που χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη.

Συμμετοχή στο φεστιβάλ παιδαγωγικών ιδεών «Ανοιχτό Μάθημα» 2004-2005 σχολική χρονιά, παρουσίασα μάθημα-διάλεξη με θέμα «Λογαριθμική συνάρτηση» (αρ. διπλώματος 204044). Νομίζω ότι αυτή η μέθοδος είναι η πιο επιτυχημένη στη συγκεκριμένη περίπτωση. Ως αποτέλεσμα της μελέτης, οι μαθητές έχουν μια λεπτομερή περίληψη και μια σύντομη περιγραφή του θέματος, που θα τους διευκολύνει να προετοιμαστούν για τα επόμενα μαθήματα. Ειδικότερα, με θέμα «Απόφαση λογαριθμικές εξισώσειςπου στηρίζεται εξ ολοκλήρου στη μελέτη λογαριθμική συνάρτησηκαι τις ιδιότητες του.

Κατά τη διαμόρφωση θεμελιωδών μαθηματικών εννοιών, είναι σημαντικό να δημιουργηθεί μια ιδέα μεταξύ των μαθητών σχετικά με τη σκοπιμότητα εισαγωγής καθεμιάς από αυτές και τη δυνατότητα εφαρμογής τους. Για αυτό, είναι απαραίτητο κατά τη διατύπωση του ορισμού μιας έννοιας, εργαζομένων στη λογική δομή της, ερωτήματα σχετικά με την ιστορία της εμφάνισης αυτή η έννοια. Αυτή η προσέγγιση θα βοηθήσει τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι η νέα έννοια χρησιμεύει ως γενίκευση των γεγονότων της πραγματικότητας.

Η ιστορία της εμφάνισης των λογαρίθμων παρουσιάζεται αναλυτικά στην εργασία του τελευταίου έτους.

Λαμβάνοντας υπόψη τη σημασία της συνέχειας στη διδασκαλία των μαθηματικών σε ένα εξειδικευμένο εκπαιδευτικό ίδρυμα δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και σε ένα πανεπιστήμιο και την ανάγκη συμμόρφωσης με ενιαίες απαιτήσεις για τους μαθητές, θεωρώ σκόπιμο να χρησιμοποιήσω την ακόλουθη μέθοδο εξοικείωσης των μαθητών με τη λύση των λογαριθμικών εξισώσεων.

Οι εξισώσεις που περιέχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου (ιδίως στη βάση του λογαρίθμου) ονομάζονται λογαριθμική. Εξετάστε τις λογαριθμικές εξισώσεις της μορφής:

Η λύση αυτών των εξισώσεων βασίζεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1.Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(2)

Για να λυθεί η εξίσωση (1), αρκεί να λυθεί η εξίσωση

και οι λύσεις του αντικαθίστανται στο σύστημα των ανισοτήτων

ορίζοντας το πεδίο ορισμού της εξίσωσης (1).

Οι ρίζες της εξίσωσης (1) θα είναι μόνο εκείνες οι λύσεις της εξίσωσης (3) που ικανοποιούν το σύστημα (4), δηλ. ανήκουν στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης (1).

Κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, μπορεί να προκύψει επέκταση του πεδίου ορισμού (απόκτηση ξένες ρίζες) ή στένωση (απώλεια ριζών). Επομένως, αντικατάσταση των ριζών της εξίσωσης (3) στο σύστημα (4), δηλ. απαιτείται επαλήθευση της λύσης.

Παράδειγμα 1:λύσει την εξίσωση

Απόφαση:

Και οι δύο έννοιες Χπληρούν τις προϋποθέσεις του συστήματος.

Απάντηση:

Εξετάστε τις εξισώσεις της μορφής:

Η επίλυσή τους βασίζεται στο παρακάτω θεώρημα

Θεώρημα 2:Η εξίσωση (5) είναι ισοδύναμη με το σύστημα

(6)

Οι ρίζες της εξίσωσης (5) θα είναι μόνο εκείνες οι ρίζες της εξίσωσης που

ανήκουν στο πεδίο ορισμού που δίνουν οι συνθήκες .

Μια λογαριθμική εξίσωση της μορφής (5) μπορεί να λυθεί με διάφορους τρόπους. Ας εξετάσουμε τα κύρια.

1. ΔΥΝΑΤΟΠΟΙΗΣΗ (εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου).

Παράδειγμα 2:λύσει την εξίσωση

Απόφαση:Δυνάμει του Θεωρήματος 2 δεδομένη εξίσωσηισοδυναμεί με το σύστημα:

Ας λύσουμε την εξίσωση:

Μόνο μία ρίζα ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του συστήματος. Απάντηση:

2. ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ .

Παράδειγμα 3:Να βρω Χ, αν

Απόφαση:

Εννοια Χ= 3 ανήκει στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης. Απάντηση Χ = 3

3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΤΕΤΑΡΧΙΑΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ.

Παράδειγμα 4:λύσει την εξίσωση

Και οι δύο έννοιες Χείναι οι ρίζες της εξίσωσης.

Απάντηση:

4. ΛΟΓΑΡΙΘ.

Παράδειγμα 5:λύσει την εξίσωση

Απόφαση:Παίρνουμε τον λογάριθμο και των δύο πλευρών της εξίσωσης στη βάση 10 και εφαρμόζουμε την ιδιότητα "λογάριθμος βαθμού".

Και οι δύο ρίζες ανήκουν στο εύρος των επιτρεπόμενων τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης.

Απάντηση: Χ = 0,1; Χ = 100

5. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΕ ΜΙΑ ΒΑΣΗ.

Παράδειγμα 6:λύσει την εξίσωση

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο και περάστε με όλους τους όρους στον λογάριθμο της βάσης 2:

Τότε αυτή η εξίσωση θα πάρει τη μορφή:

Αφού , τότε αυτή είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Απάντηση: Χ = 16

Όλοι γνωρίζουμε τις εξισώσεις. δημοτικό σχολείο. Ακόμα και εκεί μάθαμε να λύνουμε τα πιο απλά παραδείγματα, και πρέπει να ομολογήσουμε ότι βρίσκουν την εφαρμογή τους ακόμα και μέσα ανώτερα μαθηματικά. Όλα είναι απλά με τις εξισώσεις, συμπεριλαμβανομένων των τετραγώνων. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτό το θέμα, συνιστούμε ανεπιφύλακτα να το δοκιμάσετε ξανά.

Λογάριθμους μάλλον έχετε ήδη περάσει κι εσείς. Παρόλα αυτά, θεωρούμε σημαντικό να πούμε τι είναι για όσους δεν γνωρίζουν ακόμα. Ο λογάριθμος ισοδυναμεί με την ισχύ στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο αριθμός στα δεξιά του πρόσημου του λογαρίθμου. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα, βάσει του οποίου, όλα θα σας ξεκαθαρίσουν.

Αν αυξήσετε το 3 στην τέταρτη δύναμη, θα λάβετε 81. Τώρα αντικαταστήστε τους αριθμούς με αναλογία και τελικά θα καταλάβετε πώς λύνονται οι λογάριθμοι. Τώρα μένει μόνο να συνδυαστούν οι δύο εξεταζόμενες έννοιες. Αρχικά, η κατάσταση φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη, αλλά μετά από πιο προσεκτική εξέταση, το βάρος μπαίνει στη θέση του. Είμαστε σίγουροι ότι μετά από αυτό το σύντομο άρθρο δεν θα έχετε κανένα πρόβλημα σε αυτό το μέρος της εξέτασης.

Σήμερα, υπάρχουν πολλοί τρόποι επίλυσης τέτοιων δομών. Θα μιλήσουμε για τις πιο απλές, αποτελεσματικές και πιο εφαρμόσιμες στην περίπτωση των εργασιών USE. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να ξεκινήσει από την αρχή. ένα απλό παράδειγμα. Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις αποτελούνται από μια συνάρτηση και μια μεταβλητή σε αυτήν.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το x βρίσκεται μέσα στο όρισμα. Τα Α και β πρέπει να είναι αριθμοί. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε απλά να εκφράσετε τη συνάρτηση με όρους αριθμού σε δύναμη. Μοιάζει με αυτό.

Φυσικά, η επίλυση μιας λογαριθμικής εξίσωσης με αυτόν τον τρόπο θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση. Το πρόβλημα όμως της συντριπτικής πλειοψηφίας των μαθητών σε αυτή την περίπτωση είναι ότι δεν καταλαβαίνουν από τι και από πού προέρχεται. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να υπομένετε τα λάθη και να μην πάρετε τους επιθυμητούς βαθμούς. Το πιο προσβλητικό λάθος θα είναι αν ανακατεύετε τα γράμματα κατά τόπους. Για να λύσετε την εξίσωση με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να απομνημονεύσετε αυτόν τον τυπικό σχολικό τύπο, γιατί είναι δύσκολο να τον κατανοήσετε.

Για να το κάνετε πιο εύκολο, μπορείτε να καταφύγετε σε άλλη μέθοδο - την κανονική μορφή. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή. Δώστε ξανά προσοχή στην εργασία. Θυμηθείτε ότι το γράμμα a είναι αριθμός, όχι συνάρτηση ή μεταβλητή. Το Α δεν ισούται με ένα και Πάνω απο το μηδέν. Δεν υπάρχουν περιορισμοί στο β. Τώρα από όλους τους τύπους, θυμόμαστε έναν. Το Β μπορεί να εκφραστεί ως εξής.

Από αυτό προκύπτει ότι όλες οι αρχικές εξισώσεις με λογάριθμους μπορούν να παρασταθούν ως:

Τώρα μπορούμε να απορρίψουμε τους λογάριθμους. Το αποτέλεσμα είναι μια απλή κατασκευή, την οποία έχουμε ήδη δει νωρίτερα.

Η ευκολία αυτής της φόρμουλας έγκειται στο γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο μέγιστο διαφορετικές περιστάσειςκαι όχι μόνο για τα πιο απλά σχέδια.

Μην ανησυχείτε για το OOF!

Πολλοί έμπειροι μαθηματικοί θα παρατηρήσουν ότι δεν έχουμε δώσει προσοχή στον τομέα του ορισμού. Ο κανόνας συνοψίζεται στο γεγονός ότι το F(x) είναι απαραίτητα μεγαλύτερο από 0. Όχι, δεν έχουμε χάσει αυτό το σημείο. Τώρα μιλάμε για ένα άλλο σοβαρό πλεονέκτημα της κανονικής μορφής.

Δεν θα υπάρχουν επιπλέον ρίζες εδώ. Εάν η μεταβλητή εμφανίζεται μόνο σε ένα μέρος, τότε το πεδίο εφαρμογής δεν είναι απαραίτητο. Εκτελείται αυτόματα. Για να επαληθεύσετε αυτήν την κρίση, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε μερικά απλά παραδείγματα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις με διαφορετικές βάσεις

Αυτές είναι ήδη πολύπλοκες λογαριθμικές εξισώσεις και η προσέγγιση της επίλυσής τους θα πρέπει να είναι ειδική. Εδώ σπάνια είναι δυνατόν να περιοριστούμε στην περιβόητη κανονική μορφή. Ας ξεκινήσουμε το δικό μας αναλυτική ιστορία. Έχουμε την παρακάτω κατασκευή.

Παρατηρήστε το κλάσμα. Περιέχει τον λογάριθμο. Αν το δείτε αυτό στην εργασία, αξίζει να θυμηθείτε ένα ενδιαφέρον κόλπο.

Τι σημαίνει? Κάθε λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως πηλίκο δύο λογαρίθμων με μια βολική βάση. Και αυτή η φόρμουλα έχει ειδική περίπτωση, το οποίο ισχύει με αυτό το παράδειγμα (που σημαίνει αν c=b).

Αυτό ακριβώς βλέπουμε στο παράδειγμά μας. Ετσι.

Μάλιστα, γύρισαν το κλάσμα και πήραν μια πιο βολική έκφραση. Θυμηθείτε αυτόν τον αλγόριθμο!

Τώρα χρειαζόμαστε ότι η λογαριθμική εξίσωση δεν περιέχει διαφορετικές βάσεις. Ας παραστήσουμε τη βάση ως κλάσμα.

Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας κανόνας, βάσει του οποίου, μπορείτε να βγάλετε το πτυχίο από τη βάση. Αποδεικνύεται η ακόλουθη κατασκευή.

Φαίνεται ότι τώρα τι μας εμποδίζει να μετατρέψουμε την έκφρασή μας σε κανονική μορφήκαι στοιχειώδες να το λύσω; Όχι τόσο απλό. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα πριν από τον λογάριθμο. Ας φτιάξουμε αυτή την κατάσταση! Ένα κλάσμα επιτρέπεται να βγαίνει ως βαθμός.

Αντίστοιχα.

Εάν οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να αφαιρέσουμε τους λογάριθμους και να εξισώσουμε τις ίδιες τις εκφράσεις. Έτσι η κατάσταση θα γίνει πολλές φορές πιο εύκολη από ό,τι ήταν. θα παραμείνει στοιχειώδης εξίσωση, που ο καθένας μας ήξερε να λύνει στην 8η ή και στην 7η δημοτικού. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.

Πήραμε τη μόνη αληθινή ρίζα αυτής της λογαριθμικής εξίσωσης. Τα παραδείγματα επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης είναι αρκετά απλά, σωστά; Τώρα θα μπορείτε να αντιμετωπίσετε ανεξάρτητα ακόμη και τα περισσότερα απαιτητικές εργασίεςγια την προετοιμασία και την παράδοση της εξέτασης.

Ποιο είναι το αποτέλεσμα?

Στην περίπτωση οποιωνδήποτε λογαριθμικών εξισώσεων, ξεκινάμε από ένα πολύ σημαντικός κανόνας. Είναι απαραίτητο να ενεργήσετε με τέτοιο τρόπο ώστε να φέρετε την έκφραση στο μέγιστο κοινή θέα. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχετε περισσότερες πιθανότητες όχι μόνο να λύσετε σωστά το πρόβλημα, αλλά και να το κάνετε με τον πιο απλό και λογικό τρόπο. Έτσι δουλεύουν πάντα οι μαθηματικοί.

Συνιστούμε ανεπιφύλακτα να μην κάνετε αναζήτηση περίπλοκους τρόπους, ειδικά σε αυτή την περίπτωση. Θυμηθείτε μερικά απλούς κανόνες, που θα σας επιτρέψει να μεταμορφώσετε οποιαδήποτε έκφραση. Για παράδειγμα, φέρτε δύο ή τρεις λογάριθμους στην ίδια βάση ή πάρτε μια δύναμη από τη βάση και κερδίστε σε αυτήν.

Αξίζει επίσης να θυμάστε ότι κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων πρέπει να εκπαιδεύεστε συνεχώς. Σταδιακά, θα προχωρήσετε σε όλο και πιο περίπλοκες δομές και αυτό θα σας οδηγήσει να λύσετε με σιγουριά όλες τις επιλογές για εργασίες στις εξετάσεις. Προετοιμαστείτε για τις εξετάσεις σας από πριν και καλή τύχη!

Λογαριθμική εξίσωσηλέγεται μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος (x) και οι παραστάσεις μαζί του βρίσκονται κάτω από το πρόσημο μιας λογαριθμικής συνάρτησης. Η επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων προϋποθέτει ότι είστε ήδη εξοικειωμένοι με και .
Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Η απλούστερη εξίσωση είναι log a x = b, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί, το x είναι ένας άγνωστος.
Επίλυση της λογαριθμικής εξίσωσηςείναι x = a b παρέχεται: a > 0, a 1.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι εάν το x βρίσκεται κάπου έξω από τον λογάριθμο, για παράδειγμα log 2 x \u003d x-2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται ήδη μικτή και απαιτείται ειδική προσέγγιση για την επίλυσή της.

Η ιδανική περίπτωση είναι όταν συναντάτε μια εξίσωση στην οποία μόνο οι αριθμοί βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, για παράδειγμα x + 2 \u003d log 2 2. Εδώ αρκεί να γνωρίζετε τις ιδιότητες των λογαρίθμων για να το λύσετε. Αλλά αυτό το είδος τύχης δεν συμβαίνει συχνά, οπότε ετοιμαστείτε για πιο δύσκολα πράγματα.

Αλλά πρώτα, ας ξεκινήσουμε με απλές εξισώσεις. Για να τα λύσετε, είναι επιθυμητό να έχετε τα περισσότερα γενική ιδέασχετικά με τον λογάριθμο.

Επίλυση απλών λογαριθμικών εξισώσεων

Αυτές περιλαμβάνουν εξισώσεις όπως log 2 x \u003d log 2 16. Μπορεί να φανεί με γυμνό μάτι ότι παραλείποντας το πρόσημο του λογαρίθμου παίρνουμε x \u003d 16.

Για να λυθεί η πιο σύνθετη λογαριθμική εξίσωση, συνήθως οδηγείται στην επίλυση της συνήθους αλγεβρική εξίσωσηή στη λύση της απλούστερης λογαριθμικής εξίσωσης log a x = b. Στις απλούστερες εξισώσεις, αυτό συμβαίνει σε μία κίνηση, γι' αυτό και ονομάζονται απλούστερες.

Η παραπάνω μέθοδος απόρριψης λογαρίθμων είναι ένας από τους κύριους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Στα μαθηματικά, αυτή η λειτουργία ονομάζεται ενίσχυση. Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες ή περιορισμοί για αυτού του είδους τις λειτουργίες:

• Οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες αριθμητικές βάσεις
• Οι λογάριθμοι και στα δύο μέρη της εξίσωσης είναι ελεύθεροι, δηλ. χωρίς κανέναν συντελεστή και άλλα διαφορετικό είδοςεκφράσεις.

Ας πούμε στην εξίσωση log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), η ενίσχυση δεν ισχύει - ο συντελεστής 2 στα δεξιά δεν επιτρέπει. Στο ακόλουθο παράδειγμα, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) ένας από τους περιορισμούς δεν ικανοποιείται επίσης - υπάρχουν δύο λογάριθμοι στα αριστερά. Αυτό θα ήταν ένα - ένα εντελώς διαφορετικό θέμα!

Γενικά, μπορείτε να αφαιρέσετε λογάριθμους μόνο εάν η εξίσωση έχει τη μορφή:

log a(...) = log a(...)

Απολύτως οποιεσδήποτε εκφράσεις μπορούν να βρίσκονται σε αγκύλες, αυτό δεν επηρεάζει απολύτως τη λειτουργία ενίσχυσης. Και μετά την εξάλειψη των λογαρίθμων, θα παραμείνει μια απλούστερη εξίσωση - γραμμική, τετραγωνική, εκθετική κ.λπ., την οποία ήδη, ελπίζω, γνωρίζετε πώς να λύσετε.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Εφαρμόζοντας την ενίσχυση, παίρνουμε:

ημερολόγιο 3 (2x-1) = 2

Με βάση τον ορισμό του λογάριθμου, δηλαδή, ότι ο λογάριθμος είναι ο αριθμός στον οποίο πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί μια έκφραση που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου, δηλ. (4x-1), παίρνουμε:

Και πάλι, πήραμε μια ωραία απάντηση. Εδώ κάναμε χωρίς την εξάλειψη των λογαρίθμων, αλλά η ενίσχυση ισχύει και εδώ, επειδή ο λογάριθμος μπορεί να γίνει από οποιονδήποτε αριθμό, και ακριβώς από αυτόν που χρειαζόμαστε. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και ιδιαίτερα ανισώσεων.

Ας λύσουμε τη λογαριθμική μας εξίσωση log 3 (2x-1) = 2 χρησιμοποιώντας την ενίσχυση:

Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό 2 ως λογάριθμο, για παράδειγμα, ένα τέτοιο log 3 9, επειδή 3 2 =9.

Τότε log 3 (2x-1) = log 3 9 και πάλι παίρνουμε την ίδια εξίσωση 2x-1 = 9. Ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα.

Εξετάσαμε λοιπόν πώς να λύσουμε τις απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις, οι οποίες είναι στην πραγματικότητα πολύ σημαντικές, γιατί επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων, ακόμα και τα πιο τρομερά και στρεβλά, στο τέλος καταλήγουν πάντα στην επίλυση των πιο απλών εξισώσεων.

Σε όλα όσα κάναμε παραπάνω, έχουμε παραβλέψει ένα πολύ σημαντικό σημείο, που θα έχει στη συνέχεια ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΟΣ ΡΟΛΟΣ. Γεγονός είναι ότι η λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης, ακόμη και της πιο στοιχειώδους, αποτελείται από δύο ισοδύναμα μέρη. Το πρώτο είναι η λύση της ίδιας της εξίσωσης, το δεύτερο είναι η εργασία με την περιοχή επιτρεπόμενες τιμές(ΟΔΖ). Αυτό είναι μόνο το πρώτο μέρος που έχουμε κατακτήσει. Στα παραπάνω παραδείγματα, το ODD δεν επηρεάζει την απάντηση με κανέναν τρόπο, επομένως δεν το λάβαμε υπόψη.

Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Εξωτερικά, αυτή η εξίσωση δεν διαφέρει από τη στοιχειώδη, η οποία λύνεται με μεγάλη επιτυχία. Δεν είναι όμως έτσι. Όχι, φυσικά θα το λύσουμε, αλλά πιθανότατα θα είναι λάθος, γιατί υπάρχει μια μικρή ενέδρα μέσα, στην οποία πέφτουν αμέσως και οι μαθητές της Γ΄ και οι τιμητές. Ας το ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης ή το άθροισμα των ριζών, αν υπάρχουν πολλές:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Εφαρμόζουμε ενίσχυση, εδώ είναι επιτρεπτό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση.

Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης:

Υπάρχουν δύο ρίζες.

Απάντηση: 3 και -1

Με την πρώτη ματιά, όλα είναι σωστά. Αλλά ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα και ας το αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση.

Ας ξεκινήσουμε με x 1 = 3:

ημερολόγιο 3 6 = ημερολόγιο 3 6

Ο έλεγχος ήταν επιτυχής, τώρα η ουρά x 2 = -1:

ημερολόγιο 3 (-2) = ημερολόγιο 3 (-2)

Ναι, σταματήστε! Εξωτερικά όλα είναι τέλεια. Μια στιγμή - δεν υπάρχουν λογάριθμοι από αρνητικούς αριθμούς! Και αυτό σημαίνει ότι η ρίζα x \u003d -1 δεν είναι κατάλληλη για να λύσουμε την εξίσωσή μας. Και επομένως η σωστή απάντηση θα είναι 3, όχι 2, όπως γράψαμε.

Εδώ ήταν που η ΟΔΖ έπαιξε τον μοιραίο της ρόλο, τον οποίο ξεχάσαμε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι στην περιοχή των αποδεκτών τιμών, γίνονται αποδεκτές τέτοιες τιμές του x που επιτρέπονται ή έχουν νόημα για το αρχικό παράδειγμα.

Χωρίς ODZ, οποιαδήποτε λύση, έστω και απολύτως σωστή, οποιασδήποτε εξίσωσης μετατρέπεται σε λαχειοφόρο αγορά - 50/50.

Πώς θα μπορούσαμε να παγιδευτούμε στην απόφαση, φαίνεται, στοιχειώδες παράδειγμα? Και εδώ είναι τη στιγμή της ενίσχυσης. Οι λογάριθμοι έχουν φύγει, και μαζί τους όλοι οι περιορισμοί.

Τι να κάνετε σε μια τέτοια περίπτωση; Αρνηθείτε να εξαλείψετε τους λογάριθμους; Και να εγκαταλείψουμε εντελώς τη λύση αυτής της εξίσωσης;

Όχι, απλά, σαν πραγματικοί ήρωες από ένα διάσημο τραγούδι, θα κυκλοφορούμε!

Πριν προχωρήσουμε στη λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης, θα γράψουμε το ODZ. Αλλά μετά από αυτό, μπορείτε να κάνετε ό,τι θέλει η καρδιά σας με την εξίσωσή μας. Έχοντας λάβει την απάντηση, απλώς πετάμε εκείνες τις ρίζες που δεν περιλαμβάνονται στο ODZ μας και γράφουμε την τελική έκδοση.

Τώρα ας αποφασίσουμε πώς να γράψουμε το ODZ. Για να γίνει αυτό, εξετάζουμε προσεκτικά την αρχική εξίσωση και αναζητούμε ύποπτες θέσεις σε αυτήν, όπως η διαίρεση με το x, τη ρίζα ακόμη και πτυχίοκαι τα λοιπά. Μέχρι να λύσουμε την εξίσωση, δεν ξέρουμε με τι ισούται με το x, αλλά γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι ένα τέτοιο x, το οποίο, όταν αντικαταστήσει, θα δώσει διαίρεση με το 0 ή την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας του αρνητικός αριθμός, προφανώς στην απάντηση δεν είναι κατάλληλες. Επομένως, τέτοια x είναι απαράδεκτα, ενώ τα υπόλοιπα θα αποτελούν το ODZ.

Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά την ίδια εξίσωση:

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει διαίρεση με το 0, τετραγωνικές ρίζεςεπίσης όχι, αλλά υπάρχουν εκφράσεις με x στο σώμα του λογάριθμου. Θυμόμαστε αμέσως ότι η έκφραση μέσα στον λογάριθμο πρέπει πάντα να είναι > 0. Αυτή η συνθήκη γράφεται με τη μορφή ODZ:

Εκείνοι. δεν έχουμε λύσει τίποτα ακόμα, αλλά έχουμε ήδη καταγράψει μια υποχρεωτική συνθήκη για ολόκληρη την υπολογαριθμική έκφραση. Ο σγουρός νάρθηκας σημαίνει ότι αυτές οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα.

Το ODZ καταγράφεται, αλλά είναι επίσης απαραίτητο να λύσουμε το προκύπτον σύστημα ανισοτήτων, το οποίο θα κάνουμε. Παίρνουμε την απάντηση x > v3. Τώρα ξέρουμε σίγουρα ποιο x δεν θα μας ταιριάζει. Και μετά αρχίζουμε να λύνουμε την ίδια τη λογαριθμική εξίσωση, την οποία κάναμε παραπάνω.

Έχοντας λάβει τις απαντήσεις x 1 \u003d 3 και x 2 \u003d -1, είναι εύκολο να δούμε ότι μόνο το x1 \u003d 3 είναι κατάλληλο για εμάς και το γράφουμε ως τελική απάντηση.

Για το μέλλον, είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε τα εξής: λύνουμε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση σε 2 στάδια. Το πρώτο - λύνουμε την ίδια την εξίσωση, το δεύτερο - λύνουμε την συνθήκη του ODZ. Και τα δύο στάδια εκτελούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και συγκρίνονται μόνο κατά τη σύνταξη της απάντησης, δηλ. πετάμε όλα τα περιττά και γράφουμε τη σωστή απάντηση.

Για να ενοποιήσετε το υλικό, συνιστούμε ανεπιφύλακτα να παρακολουθήσετε το βίντεο:

Στο βίντεο, άλλα παραδείγματα επίλυσης του ημερολογίου. εξισώσεις και επεξεργασία της μεθόδου των διαστημάτων στην πράξη.

Για αυτό επί του θέματος, πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσειςμέχρι τα πάντα. Αν κάτι σύμφωνα με την απόφαση του ημερολογίου. Οι εξισώσεις παρέμειναν ασαφείς ή ακατανόητες, γράψτε τις ερωτήσεις σας στα σχόλια.

Σημείωση: Η Ακαδημία Κοινωνικής Αγωγής (KSUE) είναι έτοιμη να δεχθεί νέους φοιτητές.

Λογαριθμικές εξισώσεις. Από απλό σε σύνθετο.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά σε Ειδικό άρθρο 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι είναι η λογαριθμική εξίσωση;

Αυτή είναι μια εξίσωση με λογάριθμους. Έμεινα έκπληκτος, σωστά;) Τότε θα διευκρινίσω. Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις με αυτούς μέσα σε λογάριθμους.Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Να μερικά παραδείγματα λογαριθμικές εξισώσεις:

ημερολόγιο 3 x = ημερολόγιο 3 9

ημερολόγιο 3 (x 2 -3) = ημερολόγιο 3 (2x)

ημερολόγιο x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Λοιπόν, καταλαβαίνεις την ιδέα... )

Σημείωση! Εντοπίζονται οι πιο διαφορετικές εκφράσεις με x αποκλειστικά εντός λογαρίθμων.Αν, ξαφνικά, βρεθεί ένα x στην εξίσωση κάπου εξω απο, Για παράδειγμα:

ημερολόγιο 2 x = 3+x,

αυτή θα είναι η εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες επίλυσης. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Παρεμπιπτόντως, υπάρχουν εξισώσεις όπου μέσα στους λογάριθμους μόνο αριθμοί. Για παράδειγμα:

Τι μπορώ να πω? Είστε τυχεροί αν το συναντήσετε! Ο λογάριθμος με αριθμούς είναι κάποιο νούμερο.Και αυτό είναι όλο. αρκετά να ξέρεις ιδιότητες των λογαρίθμων,για να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση. Η γνώση ειδικούς κανόνες, τεχνικές προσαρμοσμένες ειδικά για επίλυση λογαριθμικές εξισώσεις,δεν απαιτείται εδώ.

Ετσι, τι είναι η λογαριθμική εξίσωση- το κατάλαβα.

Πώς να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις;

Απόφαση λογαριθμικές εξισώσεις- ένα πράγμα, γενικά, δεν είναι πολύ απλό. Έτσι, η ενότητα που έχουμε είναι για τέσσερις ... Απαιτείται μια αξιοπρεπής παροχή γνώσεων για κάθε είδους συναφή θέματα. Επιπλέον, υπάρχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό σε αυτές τις εξισώσεις. Και αυτό το χαρακτηριστικό είναι τόσο σημαντικό που μπορεί να κληθεί με ασφάλεια κύριο πρόβλημα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων.Θα ασχοληθούμε με αυτό το πρόβλημα λεπτομερώς στο επόμενο μάθημα.

Τώρα, μην ανησυχείς. Θα πάμε στον σωστό δρόμο από απλό σε σύνθετο.Στο συγκεκριμένα παραδείγματα. Το κυριότερο είναι να εμβαθύνεις σε απλά πράγματα και να μην τεμπελιάζεις να ακολουθείς τους συνδέσμους, τα έβαλα για κάποιο λόγο... Και θα τα καταφέρεις. Αναγκαίως.

Ας ξεκινήσουμε με τις πιο στοιχειώδεις, απλούστερες εξισώσεις. Για την επίλυσή τους, είναι επιθυμητό να έχουμε μια ιδέα για τον λογάριθμο, αλλά τίποτα περισσότερο. Απλά καμία ιδέα λογάριθμοςπαρε μια αποφαση λογαριθμικήεξισώσεις - κατά κάποιο τρόπο ακόμη και ντροπιαστικό ... Πολύ τολμηρό, θα έλεγα).

Οι απλούστερες λογαριθμικές εξισώσεις.

Αυτές είναι οι εξισώσεις της μορφής:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. κούτσουρο 7 (50x-1) = 2

Διαδικασία λύσης οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωσησυνίσταται στη μετάβαση από μια εξίσωση με λογάριθμους σε μια εξίσωση χωρίς αυτούς. Στις απλούστερες εξισώσεις, αυτή η μετάβαση πραγματοποιείται σε ένα βήμα. Γι' αυτό είναι απλό.)

Και τέτοιες λογαριθμικές εξισώσεις λύνονται εκπληκτικά απλά. Κοιταξε και μονος σου.

Ας λύσουμε το πρώτο παράδειγμα:

ημερολόγιο 3 x = ημερολόγιο 3 9

Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, δεν χρειάζεται να γνωρίζετε σχεδόν τίποτα, ναι ... Καθαρή διαίσθηση!) Τι κάνουμε ειδικάδεν σου αρέσει αυτό το παράδειγμα; Κάτι... Δεν μου αρέσουν οι λογάριθμοι! Σωστά. Εδώ τα γλυτώνουμε. Εξετάζουμε προσεκτικά το παράδειγμα, και το έχουμε φυσική επιθυμία... Εντελώς ακαταμάχητο! Πάρε και πετάξτε λογάριθμους γενικά. Και αυτό που ευχαριστεί είναι μπορώκάνω! Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Οι λογάριθμοι εξαφανίζονταιη απάντηση είναι:

Είναι υπέροχο, σωστά; Αυτό μπορεί (και πρέπει) να γίνεται πάντα. Η εξάλειψη των λογαρίθμων με αυτόν τον τρόπο είναι ένας από τους κύριους τρόπους επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Στα μαθηματικά, αυτή η πράξη ονομάζεται ενίσχυση.Υπάρχουν βέβαια και οι δικοί τους κανόνες για μια τέτοια εκκαθάριση, αλλά είναι λίγοι. Θυμάμαι:

Μπορείτε να εξαλείψετε τους λογάριθμους χωρίς κανένα φόβο εάν έχουν:

α) τις ίδιες αριθμητικές βάσεις

γ) οι λογάριθμοι αριστερά-δεξιά είναι καθαροί (χωρίς συντελεστές) και βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση.

Επιτρέψτε μου να εξηγήσω το τελευταίο σημείο. Στην εξίσωση, ας πούμε

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

οι λογάριθμοι δεν μπορούν να αφαιρεθούν. Το δίδυμο στα δεξιά δεν επιτρέπει. Συντελεστής, ξέρετε ... Στο παράδειγμα

ημερολόγιο 3 x + ημερολόγιο 3 (x + 1) = ημερολόγιο 3 (3 + x)

ούτε η εξίσωση μπορεί να ενισχυθεί. Δεν υπάρχει μόνος λογάριθμος στην αριστερή πλευρά. Υπάρχουν δύο από αυτούς.

Εν ολίγοις, μπορείτε να αφαιρέσετε λογάριθμους εάν η εξίσωση μοιάζει με αυτό και μόνο αυτό:

log a (.....) = log a (.....)

Σε παρένθεση, όπου μπορεί να είναι η έλλειψη κάθε είδους έκφραση.Απλό, σούπερ σύνθετο, οτιδήποτε. Ο, τι να 'ναι. Το σημαντικό είναι ότι μετά την εξάλειψη των λογαρίθμων, μας μένει μια απλούστερη εξίσωση.Υποτίθεται βέβαια ότι γραμμικός, τετράγωνο, κλασματικός, επίδειξηκαι άλλες εξισώσεις χωρίς λογάριθμους που ήδη γνωρίζετε.)

Τώρα μπορείτε εύκολα να λύσετε το δεύτερο παράδειγμα:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Στην πραγματικότητα, είναι στο μυαλό. Δυναμώνουμε, παίρνουμε:

Λοιπόν, είναι πολύ δύσκολο;) Όπως μπορείτε να δείτε, λογαριθμικήμέρος της λύσης της εξίσωσης είναι μόνο στην εξάλειψη των λογαρίθμων...Και μετά έρχεται η λύση της υπόλοιπης εξίσωσης ήδη χωρίς αυτά. Επιχείρηση απορριμμάτων.

Λύνουμε το τρίτο παράδειγμα:

ημερολόγιο 7 (50x-1) = 2

Βλέπουμε ότι ο λογάριθμος είναι στα αριστερά:

Υπενθυμίζουμε ότι αυτός ο λογάριθμος είναι κάποιος αριθμός στον οποίο πρέπει να αυξηθεί η βάση (δηλαδή το επτά) για να ληφθεί μια υπολογαριθμική έκφραση, δηλ. (50x-1).

Αλλά αυτός ο αριθμός είναι δύο! Σύμφωνα με την εξίσωση. Αυτό είναι:

Αυτό, στην ουσία, είναι όλο. Λογάριθμος εξαφανίστηκεη αβλαβής εξίσωση παραμένει:

Έχουμε λύσει αυτή τη λογαριθμική εξίσωση με βάση μόνο τη σημασία του λογαρίθμου. Είναι πιο εύκολο να εξαλειφθούν οι λογάριθμοι;) Συμφωνώ. Παρεμπιπτόντως, εάν κάνετε έναν λογάριθμο από δύο, μπορείτε να λύσετε αυτό το παράδειγμα μέσω εκκαθάρισης. Μπορείτε να πάρετε έναν λογάριθμο από οποιονδήποτε αριθμό. Και όπως ακριβώς το χρειαζόμαστε. Υψηλά χρήσιμη τεχνικήστην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων και (ειδικά!) ανισώσεων.

Ξέρετε πώς να φτιάξετε έναν λογάριθμο από έναν αριθμό!; Είναι εντάξει. ΣΤΟ άρθρο 555αυτή η τεχνική περιγράφεται λεπτομερώς. Μπορείτε να το κατακτήσετε και να το εφαρμόσετε στο έπακρο! Μειώνει σημαντικά τον αριθμό των σφαλμάτων.

Η τέταρτη εξίσωση λύνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (εξ ορισμού):

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό.

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα. Εξετάσαμε τη λύση των απλούστερων λογαριθμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Είναι πολύ σημαντικό. Και όχι μόνο επειδή τέτοιες εξισώσεις είναι σε έλεγχο-εξετάσεις. Γεγονός είναι ότι ακόμη και οι πιο κακές και μπερδεμένες εξισώσεις αναγκαστικά ανάγονται στις πιο απλές!

Στην πραγματικότητα, οι απλούστερες εξισώσεις είναι το τελικό μέρος της λύσης όποιοςεξισώσεις. Και αυτό το τελειωτικό κομμάτι πρέπει να γίνει κατανοητό ειρωνικά! Και επιπλέον. Φροντίστε να διαβάσετε αυτή τη σελίδα μέχρι το τέλος. Υπάρχει μια έκπληξη...

Ας αποφασίσουμε μόνοι μας. Γεμίζουμε το χέρι, ας πούμε ...)

Βρείτε τη ρίζα (ή το άθροισμα των ριζών, αν υπάρχουν πολλές) των εξισώσεων:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

ημερολόγιο 2 (x 2 +32) = ημερολόγιο 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

ημερολόγιο 2 (14x) = ημερολόγιο 2 7 + 2

Απαντήσεις (σε αταξία, φυσικά): 42; 12; εννέα; 25; 7; 1,5; 2; δεκαέξι.

Τι δεν βγαίνει; Συμβαίνει. Μη στεναχωριέσαι! ΣΤΟ άρθρο 555η λύση όλων αυτών των παραδειγμάτων είναι ζωγραφισμένη καθαρά και λεπτομερώς. Σίγουρα θα το ανακαλύψετε εκεί. Και επίσης χρήσιμο πρακτικές τεχνικέςκύριος.

Όλα λειτούργησαν!? Όλα τα παραδείγματα του "ένας έφυγε";) Συγχαρητήρια!

Ήρθε η ώρα να σας αποκαλύψουμε την πικρή αλήθεια. Επιτυχημένη ΛύσηΑυτά τα παραδείγματα δεν εγγυώνται καθόλου επιτυχία στην επίλυση όλων των άλλων λογαριθμικών εξισώσεων. Ακόμα και απλά σαν κι αυτά. Αλίμονο.

Το θέμα είναι ότι η λύση οποιασδήποτε λογαριθμικής εξίσωσης (ακόμη και της πιο στοιχειώδους!) αποτελείται από δύο ίσα μέρη.Λύση της εξίσωσης και εργασία με ODZ. Ένα μέρος - τη λύση της ίδιας της εξίσωσης - έχουμε κατακτήσει. Δεν είναι τόσο δύσκολοσωστά?

Για αυτό το μάθημα, επέλεξα ειδικά τέτοια παραδείγματα στα οποία το ODZ δεν επηρεάζει την απάντηση με κανέναν τρόπο. Αλλά δεν είναι όλοι τόσο ευγενικοί όσο εγώ, σωστά;...)

Επομένως, είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε και στο άλλο μέρος. ODZ. Αυτό είναι το κύριο πρόβλημα στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων.Και όχι επειδή είναι δύσκολο - αυτό το κομμάτι είναι ακόμα πιο εύκολο από το πρώτο. Αλλά επειδή απλά ξεχνούν την ODZ. Ή δεν ξέρουν. Ή και τα δύο). Και πέφτουν στραβά...

Στο επόμενο μάθημα, θα ασχοληθούμε με αυτό το πρόβλημα. Τότε θα είναι δυνατό να αποφασίσετε με σιγουριά όποιοςαπλές λογαριθμικές εξισώσεις και πλησιάζετε σε αρκετά στέρεες εργασίες.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.