Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε βαθμό. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης

Απόδειξη και παραγωγή τύπων για την παράγωγο της εκθετικής (e στη δύναμη του x) και της εκθετικής συνάρτησης (a στη δύναμη του x). Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων των e^2x, e^3x και e^nx. Τύποι για παράγωγα υψηλότερων τάξεων.

Η παράγωγος του εκθέτη είναι ίση με τον ίδιο τον εκθέτη (η παράγωγος του e στη δύναμη του x είναι ίση με το e στη δύναμη του x):
(1) (e x )′ = e x.

Η παράγωγος μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού a είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση, πολλαπλασιαζόμενη με τον φυσικό λογάριθμο του a:
(2) .

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του εκθέτη, e στη δύναμη του x

Ο εκθέτης είναι μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση εκθέτη είναι ίση με τον αριθμό e, που είναι το ακόλουθο όριο:
.
Εδώ μπορεί να είναι είτε φυσικός είτε πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια, εξάγουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο του εκθέτη

Θεωρήστε τον εκθέτη, e στη δύναμη του x:
y = e x .
Αυτή η λειτουργία έχει οριστεί για όλους. Ας βρούμε την παράγωγό του ως προς το x . Εξ ορισμού, η παράγωγος είναι το ακόλουθο όριο:
(3) .

Ας μετατρέψουμε αυτήν την έκφραση για να την αναγάγουμε σε γνωστές μαθηματικές ιδιότητες και κανόνες. Για αυτό χρειαζόμαστε τα ακόλουθα γεγονότα:
ΑΛΛΑ)Ιδιότητα εκθέτη:
(4) ;
ΣΙ)Ιδιότητα λογάριθμου:
(5) ;
ΣΤΟ)Συνέχεια του λογάριθμου και ιδιότητα των ορίων για μια συνεχή συνάρτηση:
(6) .
Εδώ, είναι κάποια συνάρτηση που έχει ένα όριο και αυτό το όριο είναι θετικό.
ΣΟΛ)Η έννοια του δεύτερου υπέροχου ορίου:
(7) .

Εφαρμόζουμε αυτά τα δεδομένα στο όριο μας (3). Χρησιμοποιούμε την ιδιοκτησία (4):
;
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα ; .
Λόγω της συνέχειας του εκθέτη,
.
Επομένως, στο , . Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση. Επειτα . Στο , . Και έχουμε:
.

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του λογάριθμου (5):
. Επειτα
.

Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα (6). Εφόσον υπάρχει θετικό όριο και ο λογάριθμος είναι συνεχής, τότε:
.
Εδώ χρησιμοποιήσαμε και το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο (7). Επειτα
.

Έτσι, έχουμε τον τύπο (1) για την παράγωγο του εκθέτη.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα εξάγουμε τον τύπο (2) για την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης με βάση βαθμού α. Πιστεύουμε ότι και . Στη συνέχεια η εκθετική συνάρτηση
(8)
Καθορισμένο για όλους.

Ας μετατρέψουμε τον τύπο (8). Για αυτό χρησιμοποιούμε ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησηςκαι λογάριθμος.
;
.
Έτσι, μετασχηματίσαμε τον τύπο (8) στην ακόλουθη μορφή:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης του e στη δύναμη του x

Τώρα ας βρούμε παράγωγα υψηλότερων τάξεων. Ας δούμε πρώτα τον εκθέτη:
(14) .
(1) .

Βλέπουμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης (14) είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση (14). Διαφοροποιώντας (1), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος nης τάξης είναι επίσης ίση με την αρχική συνάρτηση:
.

Παράγωγοι ανώτερης τάξης της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα θεωρήστε μια εκθετική συνάρτηση με βάση το βαθμό α:
.
Βρήκαμε την παράγωγο πρώτης τάξης του:
(15) .

Διαφοροποιώντας (15), λαμβάνουμε παράγωγα δεύτερης και τρίτης τάξης:
;
.

Βλέπουμε ότι κάθε διαφοροποίηση οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της αρχικής συνάρτησης με . Επομένως, η nη παράγωγος έχει την ακόλουθη μορφή:
.

Ορισμός εκθετικής συνάρτησης. Παραγωγή τύπου για τον υπολογισμό της παραγώγου της. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων εκθετικών συναρτήσεων αναλύονται λεπτομερώς.

εκθετικη συναρτηση είναι μια συνάρτηση που έχει τη μορφή συνάρτησης ισχύος
y = u v ,
της οποίας η βάση u και ο εκθέτης v είναι μερικές συναρτήσεις της μεταβλητής x :
u = u (Χ); v=v (Χ).
Αυτή η λειτουργία ονομάζεται επίσης εκθετική-ισχύςή .

Σημειώστε ότι η εκθετική συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί σε εκθετική μορφή:
.
Ως εκ τούτου, ονομάζεται επίσης σύνθετη εκθετική συνάρτηση.

Υπολογισμός με χρήση της λογαριθμικής παραγώγου

Να βρείτε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης
(2) ,
όπου και είναι συναρτήσεις της μεταβλητής .
Για να γίνει αυτό, παίρνουμε τον λογάριθμο της εξίσωσης (2), χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του λογάριθμου:
.
Διαφοροποίηση ως προς το x:
(3) .
Ισχύουν κανόνες για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησηςκαι έργα:
;
.

Αντικαταστάτης στο (3):
.
Από εδώ
.

Έτσι, βρήκαμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης:
(1) .
Αν ο εκθέτης είναι σταθερός, τότε . Τότε η παράγωγος είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης σύνθετης ισχύος:
.
Αν η βάση του βαθμού είναι σταθερή, τότε . Τότε η παράγωγος είναι ίση με την παράγωγο της σύνθετης εκθετικής συνάρτησης:
.
Όταν και είναι συναρτήσεις του x, τότε η παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης ισούται με το άθροισμα των παραγώγων της σύνθετης ισχύος και των εκθετικών συναρτήσεων.

Υπολογισμός της παραγώγου με αναγωγή σε σύνθετη εκθετική συνάρτηση

Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης
(2) ,
που την αναπαριστά ως σύνθετη εκθετική συνάρτηση:
(4) .

Ας διαφοροποιήσουμε το προϊόν:
.
Εφαρμόζουμε τον κανόνα για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

.
Και πήραμε πάλι τον τύπο (1).

Παράδειγμα 1

Βρείτε την παράγωγο της παρακάτω συνάρτησης:
.

Λύση

Υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο. Παίρνουμε τον λογάριθμο της αρχικής συνάρτησης:
(P1.1) .

Από τον πίνακα των παραγώγων βρίσκουμε:
;
.
Σύμφωνα με τον τύπο για το παράγωγο ενός προϊόντος, έχουμε:
.
Διαφοροποιούμε (Α1.1):
.
Επειδή η
,
έπειτα
.

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης
.

Λύση

Παίρνουμε τον λογάριθμο της αρχικής συνάρτησης:
(P2.1) .

Η λειτουργία της εύρεσης μιας παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων ορίζοντας την παράγωγο ως το όριο του λόγου της αύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, εμφανίστηκε ένας πίνακας παραγώγων και επακριβώς καθορισμένοι κανόνες διαφοροποίησης . Οι Isaac Newton (1643-1727) και Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ήταν οι πρώτοι που εργάστηκαν στον τομέα της εύρεσης παραγώγων.

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρεθεί η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του προαναφερθέντος ορίου του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας των παραγώγων και τους κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση της παραγώγου.

Για να βρείτε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το σημάδι εγκεφαλικό επεισόδιο αναλύστε απλές συναρτήσειςκαι καθορίστε ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες σχετίζονται. Περαιτέρω, βρίσκουμε τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων στον πίνακα των παραγώγων και τους τύπους για τις παραγώγους του γινομένου, του αθροίσματος και του πηλίκου - στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο πίνακας των παραγώγων και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα των παραγώγων, διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος του "Χ" ισούται με ένα, και η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 2Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Διαφοροποιήστε ως παράγωγο του αθροίσματος, στο οποίο ο δεύτερος όρος με σταθερό παράγοντα, μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να υπάρχουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται κάτι, αυτές, κατά κανόνα, γίνονται σαφείς μετά την ανάγνωση του πίνακα των παραγώγων και των απλούστερων κανόνων διαφοροποίησης. Θα πάμε σε αυτούς τώρα.

Πίνακας παραγώγων απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγος σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να το θυμάστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγος της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "χ". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε
3. Παράγωγο πτυχίου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε ισχύ.
4. Παράγωγος μεταβλητής ισχύος -1
5. Παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας
6. Ημιτονοειδής παράγωγος
7. Παράγωγο συνημιτόνου
8. Εφαπτομένη παράγωγος
9. Παράγωγο συνεφαπτομένης
10. Παράγωγο του τόξου
11. Παράγωγο συνημιτόνου τόξου
12. Παράγωγος εφαπτομένης τόξου
13. Παράγωγος της αντίστροφης εφαπτομένης
14. Παράγωγος φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγος του εκθέτη
17. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο του αθροίσματος ή της διαφοράς
2. Παράγωγο προϊόντος
2α. Παράγωγο έκφρασης πολλαπλασιαζόμενο με σταθερό παράγοντα
3. Παράγωγος του πηλίκου
4. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης

Κανόνας 1Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμες σε κάποιο σημείο και μετά στο ίδιο σημείο οι συναρτήσεις

και

εκείνοι. η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε οι παράγωγοί τους είναι, δηλ.

Κανόνας 2Εάν λειτουργεί

είναι διαφοροποιήσιμα σε κάποιο σημείο, τότε το προϊόν τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο

και

εκείνοι. η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης.

Συνέπεια 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου:

Συνέπεια 2. Η παράγωγος του γινομένου πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της παραγώγου καθενός από τους παράγοντες και όλων των άλλων.

Για παράδειγμα, για τρεις πολλαπλασιαστές:

Κανόνας 3Εάν λειτουργεί

διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο και , τότε σε αυτό το σημείο το πηλίκο τους είναι και διαφοροποιήσιμο.u/v και

εκείνοι. η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή .

Πού να κοιτάξετε σε άλλες σελίδες

Όταν βρίσκουμε την παράγωγο του προϊόντος και το πηλίκο σε πραγματικά προβλήματα, είναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόζουμε πολλούς κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, επομένως περισσότερα παραδείγματα σχετικά με αυτές τις παραγώγους υπάρχουν στο άρθρο."Το παράγωγο ενός προϊόντος και ένα πηλίκο".

Σχόλιο.Δεν πρέπει να συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως όρο στο άθροισμα και ως σταθερό παράγοντα! Στην περίπτωση ενός όρου, η παράγωγός του ισούται με μηδέν και σε περίπτωση σταθερού παράγοντα, βγαίνει από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό είναι ένα τυπικό λάθος που συμβαίνει στο αρχικό στάδιο της μελέτης των παραγώγων, αλλά καθώς ο μέσος μαθητής λύνει πολλά παραδείγματα ενός ή δύο συστατικών, αυτό το λάθος δεν κάνει πλέον.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα προϊόν ή ένα πηλίκο, έχετε έναν όρο u"v, όπου u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε η παράγωγος αυτού του αριθμού θα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (μια τέτοια περίπτωση αναλύεται στο παράδειγμα 10) .

Ένα άλλο συνηθισμένο λάθος είναι η μηχανική λύση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παραγώγου μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιγαδικής συνάρτησηςαφιερωμένο σε ξεχωριστό άρθρο. Πρώτα όμως θα μάθουμε να βρίσκουμε παραγώγους απλών συναρτήσεων.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μετασχηματισμούς εκφράσεων. Για να το κάνετε αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε εγχειρίδια σε νέα παράθυρα Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςκαι Ενέργειες με κλάσματα .

Εάν αναζητάτε λύσεις σε παραγώγους με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , μετά ακολουθεί το μάθημα « Παράγωγος αθροίσματος κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες».

Εάν έχετε μια εργασία όπως , τότε βρίσκεστε στο μάθημα «Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων».

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Καθορίζουμε τα μέρη της έκφρασης της συνάρτησης: ολόκληρη η παράσταση αντιπροσωπεύει το γινόμενο και οι συντελεστές της είναι αθροίσματα, στο δεύτερο από τα οποία ένας από τους όρους περιέχει έναν σταθερό παράγοντα. Εφαρμόζουμε τον κανόνα διαφοροποίησης γινομένων: η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων καθεμιάς από αυτές τις συναρτήσεις και την παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης του αθροίσματος: η παράγωγος του αλγεβρικού αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα, ο δεύτερος όρος με αρνητικό πρόσημο. Σε κάθε άθροισμα, βλέπουμε τόσο μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγος είναι ίση με ένα, όσο και μια σταθερά (αριθμός), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με μηδέν. Έτσι, το "x" μετατρέπεται σε ένα και μείον 5 - σε μηδέν. Στη δεύτερη παράσταση, το "x" πολλαπλασιάζεται επί 2, άρα πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με την παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές παραγώγων:

Αντικαθιστούμε τις παραγώγους που βρέθηκαν στο άθροισμα των γινομένων και λαμβάνουμε την παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την συνθήκη του προβλήματος:

Παράδειγμα 4Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου: η παράγωγος ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και της παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Ας μην ξεχνάμε επίσης ότι το γινόμενο, που είναι ο δεύτερος παράγοντας στον αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα, λαμβάνεται με πρόσημο μείον:

Αν ψάχνετε για λύσεις σε τέτοια προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός από ρίζες και μοίρες, όπως, για παράδειγμα, τότε καλώς ήρθατε στην τάξη "Η παράγωγος του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν πρέπει να μάθετε περισσότερα σχετικά με τις παραγώγους των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει με , τότε έχετε ένα μάθημα "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε ένα γινόμενο, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, με την παράγωγο της οποίας εξοικειωθήκαμε στον πίνακα των παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του γινομένου και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Παράδειγμα 6Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε το πηλίκο, το μέρισμα του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου, τον οποίο επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την τιμή του πίνακα της παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με .

Στην οποία αναλύσαμε τις απλούστερες παραγώγους, και επίσης γνωρίσαμε τους κανόνες διαφοροποίησης και μερικές τεχνικές εύρεσης παραγώγων. Έτσι, εάν δεν είστε πολύ καλοί με τις παραγώγους συναρτήσεων ή κάποια σημεία αυτού του άρθρου δεν είναι απολύτως ξεκάθαρα, τότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μάθημα. Συντονιστείτε σε μια σοβαρή διάθεση - το υλικό δεν είναι εύκολο, αλλά θα προσπαθήσω να το παρουσιάσω απλά και καθαρά.

Στην πράξη, πρέπει να ασχολείσαι με την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης πολύ συχνά, θα έλεγα μάλιστα σχεδόν πάντα, όταν σου ανατίθενται εργασίες να βρεις παραγώγους.

Εξετάζουμε στον πίνακα τον κανόνα (Νο. 5) για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Καταλαβαίνουμε. Πρώτα απ 'όλα, ας ρίξουμε μια ματιά στη σημειογραφία. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις - και , και η συνάρτηση, μεταφορικά μιλώντας, είναι ένθετη στη συνάρτηση . Μια συνάρτηση αυτού του είδους (όταν μια συνάρτηση είναι ένθετη μέσα σε μια άλλη) ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.

Θα καλέσω τη συνάρτηση εξωτερική λειτουργίακαι τη συνάρτηση – εσωτερική (ή ένθετη) λειτουργία.

! Αυτοί οι ορισμοί δεν είναι θεωρητικοί και δεν πρέπει να εμφανίζονται στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών. Χρησιμοποιώ τις άτυπες εκφράσεις "εξωτερική λειτουργία", "εσωτερική" λειτουργία μόνο για να σας διευκολύνω να κατανοήσετε το υλικό.

Για να διευκρινίσετε την κατάσταση, σκεφτείτε:

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κάτω από το ημίτονο, δεν έχουμε μόνο το γράμμα "x", αλλά ολόκληρη την έκφραση, οπότε η εύρεση της παραγώγου αμέσως από τον πίνακα δεν θα λειτουργήσει. Παρατηρούμε επίσης ότι είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι τέσσερις πρώτοι κανόνες εδώ, φαίνεται να υπάρχει διαφορά, αλλά το γεγονός είναι ότι είναι αδύνατο να "σκίσει" το ημίτονο:

Σε αυτό το παράδειγμα, ήδη από τις εξηγήσεις μου, είναι διαισθητικά σαφές ότι η συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το πολυώνυμο είναι μια εσωτερική συνάρτηση (ενσωμάτωση) και μια εξωτερική συνάρτηση.

Το πρώτο βήμα, που πρέπει να εκτελεστεί κατά την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι να να κατανοήσουν ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική.

Στην περίπτωση απλών παραδειγμάτων, φαίνεται ξεκάθαρο ότι ένα πολυώνυμο είναι φωλιασμένο κάτω από το ημίτονο. Τι γίνεται όμως αν δεν είναι προφανές; Πώς να προσδιορίσετε ακριβώς ποια συνάρτηση είναι εξωτερική και ποια εσωτερική; Για να γίνει αυτό, προτείνω να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί διανοητικά ή σε σχέδιο.

Ας φανταστούμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης με μια αριθμομηχανή (αντί για ένα, μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός).

Τι υπολογίζουμε πρώτα; Πρωτα απο ολαθα χρειαστεί να εκτελέσετε την ακόλουθη ενέργεια: , οπότε το πολυώνυμο θα είναι μια εσωτερική συνάρτηση:

κατα δευτερονθα χρειαστεί να βρείτε, οπότε το ημίτονο - θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Μετά εμείς ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΟΥΝμε εσωτερικές και εξωτερικές συναρτήσεις, ήρθε η ώρα να εφαρμόσουμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετων συναρτήσεων .

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε. Από το μάθημα Πώς να βρείτε το παράγωγο;θυμόμαστε ότι η σχεδίαση της λύσης οποιασδήποτε παραγώγου ξεκινά πάντα έτσι - περικλείουμε την έκφραση σε αγκύλες και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:

Πρώταβρίσκουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (ημιτονοειδές), κοιτάμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και παρατηρούμε ότι . Όλοι οι τύποι πινάκων είναι εφαρμόσιμοι ακόμη και αν το "x" αντικατασταθεί από μια σύνθετη έκφραση, σε αυτήν την περίπτωση:

Σημειώστε ότι η εσωτερική λειτουργία δεν έχει αλλάξει, δεν το αγγίζουμε.

Λοιπόν, είναι προφανές ότι

Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου καθαρό μοιάζει με αυτό:

Ο σταθερός παράγοντας τοποθετείται συνήθως στην αρχή της έκφρασης:

Εάν υπάρχει κάποια παρεξήγηση, γράψτε την απόφαση σε χαρτί και διαβάστε ξανά τις εξηγήσεις.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως πάντα γράφουμε:

Καταλαβαίνουμε πού έχουμε μια εξωτερική λειτουργία και πού μια εσωτερική. Για να γίνει αυτό, προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης για . Τι πρέπει να γίνει πρώτα; Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να υπολογίσετε με τι ισούται η βάση:, που σημαίνει ότι το πολυώνυμο είναι η εσωτερική συνάρτηση:

Και, μόνο τότε εκτελείται η εκθετικότητα, επομένως, η συνάρτηση ισχύος είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Σύμφωνα με τον τύπο , πρώτα πρέπει να βρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, σε αυτήν την περίπτωση, τον βαθμό. Αναζητούμε τον επιθυμητό τύπο στον πίνακα:. Επαναλαμβάνουμε ξανά: οποιοσδήποτε τύπος πίνακα ισχύει όχι μόνο για το "x", αλλά και για μια σύνθετη έκφραση. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο:

Τονίζω ξανά ότι όταν παίρνουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, η εσωτερική συνάρτηση δεν αλλάζει:

Τώρα μένει να βρούμε μια πολύ απλή παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και να "χτενίσουμε" λίγο το αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για να εμπεδώσω την κατανόηση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, θα δώσω ένα παράδειγμα χωρίς σχόλια, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας, λόγο, πού είναι η εξωτερική και πού η εσωτερική συνάρτηση, γιατί οι εργασίες λύνονται με αυτόν τον τρόπο;

Παράδειγμα 5

α) Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ έχουμε μια ρίζα, και για να διαφοροποιηθεί η ρίζα, πρέπει να αναπαρασταθεί ως βαθμός. Έτσι, φέρνουμε πρώτα τη συνάρτηση στην κατάλληλη μορφή για διαφοροποίηση:

Αναλύοντας τη συνάρτηση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα τριών όρων είναι εσωτερική συνάρτηση και η εκθετικότητα είναι εξωτερική συνάρτηση. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης :

Ο βαθμός αναπαρίσταται και πάλι ως ρίζα (ρίζα) και για την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης, εφαρμόζουμε έναν απλό κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ετοιμος. Μπορείτε επίσης να φέρετε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή σε αγκύλες και να γράψετε τα πάντα ως ένα κλάσμα. Είναι όμορφο, φυσικά, αλλά όταν λαμβάνονται δυσκίνητα μακροχρόνια παράγωγα, είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό (είναι εύκολο να μπερδευτείτε, να κάνετε ένα περιττό λάθος και θα είναι άβολο για τον δάσκαλο να ελέγξει).

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μερικές φορές, αντί για τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου , αλλά μια τέτοια λύση θα μοιάζει με ασυνήθιστη διαστροφή. Ιδού ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , αλλά είναι πολύ πιο κερδοφόρο να βρεθεί η παράγωγος μέσω του κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Προετοιμάζουμε τη συνάρτηση για διαφοροποίηση - βγάζουμε το σύμβολο μείον της παραγώγου και ανεβάζουμε το συνημίτονο στον αριθμητή:

Το συνημίτονο είναι μια εσωτερική συνάρτηση, η εκθετικότητα είναι μια εξωτερική συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας :

Βρίσκουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης, επαναφέρουμε το συνημίτονο προς τα κάτω:

Ετοιμος. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Παρεμπιπτόντως, προσπαθήστε να το λύσετε με τον κανόνα , οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει περιπτώσεις όπου είχαμε μόνο μία φωλιά σε σύνθετη λειτουργία. Σε πρακτικές εργασίες, μπορείτε συχνά να βρείτε παράγωγα, όπου, όπως οι κούκλες που φωλιάζουν, η μία μέσα στην άλλη, 3 ή ακόμα και 4-5 συναρτήσεις είναι φωλιασμένες ταυτόχρονα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κατανοούμε τα συνημμένα αυτής της συνάρτησης. Προσπαθούμε να αξιολογήσουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή . Πώς θα υπολογίζαμε σε μια αριθμομηχανή;

Πρώτα πρέπει να βρείτε, που σημαίνει ότι το τόξο είναι η βαθύτερη φωλιά:

Αυτό το τόξο της ενότητας θα πρέπει στη συνέχεια να τετραγωνιστεί:

Και τέλος, ανεβάζουμε τους επτά στην ισχύ:

Δηλαδή, σε αυτό το παράδειγμα έχουμε τρεις διαφορετικές συναρτήσεις και δύο φωλιές, ενώ η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο και η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση.

Αρχίζουμε να αποφασίζουμε

Σύμφωνα με τον κανόνα πρώτα πρέπει να πάρετε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης. Κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης: Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για "x" έχουμε μια σύνθετη έκφραση, η οποία δεν αναιρεί την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Άρα, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο συνάρτησης ισχύος (x στη δύναμη του α). Θεωρούνται παράγωγα ριζών από το x. Ο τύπος για την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος υψηλότερης τάξης. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων.

Η παράγωγος του x στη δύναμη του a είναι επί x στη δύναμη ενός μείον ένα:
(1) .

Η παράγωγος της νης ρίζας του x στη mth δύναμη είναι:
(2) .

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο συνάρτησης ισχύος

Περίπτωση x > 0

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος της μεταβλητής x με εκθέτη a:
(3) .
Εδώ το a είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ας εξετάσουμε πρώτα την υπόθεση.

Για να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης (3), χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος και τη μετατρέπουμε στην ακόλουθη μορφή:
.

Τώρα βρίσκουμε την παράγωγο εφαρμόζοντας:
;
.
Εδώ .

Ο τύπος (1) αποδεικνύεται.

Παραγωγή του τύπου για την παράγωγο της ρίζας του βαθμού n του x στον βαθμό m

Τώρα θεωρήστε μια συνάρτηση που είναι η ρίζα της παρακάτω φόρμας:
(4) .

Για να βρούμε την παράγωγο, μετατρέπουμε τη ρίζα σε συνάρτηση ισχύος:
.
Συγκρίνοντας με τον τύπο (3), βλέπουμε ότι
.
Επειτα
.

Με τον τύπο (1) βρίσκουμε την παράγωγο:
(1) ;
;
(2) .

Στην πράξη, δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τον τύπο (2). Είναι πολύ πιο βολικό να μετατρέψετε πρώτα τις ρίζες σε συναρτήσεις ισχύος και μετά να βρείτε τα παράγωγά τους χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) (δείτε παραδείγματα στο τέλος της σελίδας).

Περίπτωση x = 0

Αν , τότε η εκθετική συνάρτηση ορίζεται και για την τιμή της μεταβλητής x = 0 . Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης (3) για x = 0 . Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τον ορισμό μιας παραγώγου:
.

Αντικαταστήστε x = 0 :
.
Στην περίπτωση αυτή, ως παράγωγο εννοούμε το δεξιό όριο για το οποίο .

Βρήκαμε λοιπόν:
.
Από αυτό μπορεί να φανεί ότι στο , .
Στο , .
Στο , .
Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει επίσης από τον τύπο (1):
(1) .
Επομένως, ο τύπος (1) ισχύει και για x = 0 .

περίπτωση x< 0

Εξετάστε ξανά τη συνάρτηση (3):
(3) .
Για ορισμένες τιμές της σταθεράς a , ορίζεται και για αρνητικές τιμές της μεταβλητής x . Δηλαδή, έστω a είναι ένας ρητός αριθμός. Τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως μη αναγώγιμο κλάσμα:
,
όπου m και n είναι ακέραιοι χωρίς κοινό διαιρέτη.

Εάν το n είναι περιττό, τότε η εκθετική συνάρτηση ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές της μεταβλητής x. Για παράδειγμα, για n = 3 και m = 1 έχουμε την κυβική ρίζα του x:
.
Ορίζεται επίσης για αρνητικές τιμές του x.

Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης ισχύος (3) για και για ορθολογικές τιμές της σταθεράς a , για την οποία ορίζεται. Για να γίνει αυτό, αντιπροσωπεύουμε το x στην ακόλουθη μορφή:
.
Επειτα ,
.
Βρίσκουμε την παράγωγο βγάζοντας τη σταθερά από το πρόσημο της παραγώγου και εφαρμόζοντας τον κανόνα διαφοροποίησης μιας μιγαδικής συνάρτησης:

.
Εδώ . Αλλά
.
Γιατί, λοιπόν
.
Επειτα
.
Δηλαδή, ο τύπος (1) ισχύει και για:
(1) .

Παράγωγα υψηλότερων τάξεων

Τώρα βρίσκουμε τις παραγώγους ανώτερης τάξης της συνάρτησης ισχύος
(3) .
Έχουμε ήδη βρει την παράγωγο πρώτης τάξης:
.

Βγάζοντας τη σταθερά a από το πρόσημο της παραγώγου, βρίσκουμε την παράγωγο δεύτερης τάξης:
.
Ομοίως, βρίσκουμε παράγωγα τρίτης και τέταρτης τάξης:
;

.

Από εδώ είναι ξεκάθαρο ότι παράγωγο αυθαίρετης νης τάξηςέχει την εξής μορφή:
.

σημειώσε ότι αν ο α είναι φυσικός αριθμός, , τότε η ντη παράγωγος είναι σταθερή:
.
Τότε όλες οι επόμενες παράγωγοι είναι ίσες με μηδέν:
,
στο .

Παραδείγματα παραγώγων

Παράδειγμα

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:
.

Λύση

Ας μετατρέψουμε τις ρίζες σε δυνάμεις:
;
.
Τότε η αρχική συνάρτηση παίρνει τη μορφή:
.

Βρίσκουμε παραγώγους βαθμών:
;
.
Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν:
.