μικρό. Αφού με font-size:14.0pt">~ (βλ. ), τότε ~ .

Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, παίρνουμε:

οπότε η σειρά αποκλίνει.

Δ) μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt">,

ως εκ τούτου η σειρά αποκλίνει.

Κατάσταση είναι ένα απαραίτητη,αλλά όχι αρκετάΣυνθήκη σύγκλισης σειράς: υπάρχει ένα σύνολο σειρών για τις οποίες, αλλά που ωστόσο αποκλίνουν.

Παράδειγμα 3Εξερευνήστε τη σύγκλιση της σειράς font-size:14.0pt"> Απόφαση.σημειώσε ότι https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , δηλ. ικανοποιείται η απαραίτητη συνθήκη σύγκλισης. μερικό άθροισμα

αριστερά">

- μια φορά

so font-size:14.0pt"> που σημαίνει ότι η σειρά αποκλίνει εξ ορισμού.

Επαρκείς προϋποθέσεις για τη σύγκλιση θετικών σειρών

Ας είναι . Μετά η σειράμέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt"> Σήμα σύγκρισης

Ας είναι και είναι σειρές με θετικό πρόσημο. Εάν η ανισότητα ικανοποιείται για όλους, τότε η σύγκλιση της σειράς προκύπτει από τη σύγκλιση της σειράς και από την απόκλιση της σειράς

Αυτό το σύμβολο παραμένει έγκυρο εάν η ανισότητα https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, αλλά ξεκινά μόνο από κάποιον αριθμό. Μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: εάν η μεγαλύτερη σειρά συγκλίνει, τότε η μικρότερη σειρά συγκλίνει ακόμη περισσότερο· εάν η μικρότερη σειρά αποκλίνει, τότε αποκλίνει και η μεγαλύτερη.

Παράδειγμα 4Εξερευνήστε τη σύγκλιση σειρών 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Απόφαση.

Α) Σημειώστε ότι μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt"> για όλα . Σειρά με κοινό όρο

Β) Συγκρίνετε τη σειρά με τη σειρά ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> αποκλίνει, άρα και η σειρά αποκλίνει.

Παρά την απλότητα της διατύπωσης του κριτηρίου σύγκρισης, στην πράξη το παρακάτω θεώρημα, που είναι η συνέπειά του, είναι πιο βολικό.

Οριακό σημάδι σύγκρισης

Ας είναι https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – θετική σειρά. Εάν υπάρχει πεπερασμένοςκαι μη μηδενικό limit , μετά και οι δύο σειρές και

συγκλίνουν ταυτόχρονα ή αποκλίνουν την ίδια στιγμή.

Ως σειρά που χρησιμοποιείται για σύγκριση με δεδομένα, μια σειρά της φόρμας . Μια τέτοια σειρά ονομάζεται κοντά στο Dirichlet. Στα παραδείγματα 3 και 4, φάνηκε ότι η σειρά Dirichlet με και αποκλίνει. Μπορώ προς το παρόν-

πείτε ότι η σειρά είναι μέγεθος γραμματοσειράς:14.0pt"> .

Αν , τότε η σειρά που ονομάζεται αρμονικός. Η αρμονική σειρά αποκλίνει.

Παράδειγμα 5Διερεύνηση για σειρές σύγκλισηςχρησιμοποιώντας το κριτήριο σύγκρισης ορίων, αν

Απόφαση.α) Επειδή για αρκετά μεγάλα https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, και

~ , λοιπόν ~ font-size:14.0pt">σύγκριση με δεδομένες αρμονικές σειρές font-size:14.0pt">, δηλ.

font-size:14.0pt"> Εφόσον το όριο είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό και η αρμονική σειρά αποκλίνει, αυτή η σειρά επίσης αποκλίνει.

Β) Για αρκετά μεγάλα https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 Το src=">.gif" width="132" height="64 src="> είναι το κοινό μέλος της σειράς για σύγκριση με:

Font-size:14.0pt">Η σειρά συγκλίνει ( Σειρά Dirichlet με μέγεθος γραμματοσειράς: 16.0pt">), άρα συγκλίνει και αυτή η σειρά.

ΣΤΟ) , τόσο απειροελάχιστο font-size:14.0pt"> μπορείτε

να αντικατασταθεί από την τιμή που ισοδυναμεί με αυτό στο(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> με μέγεθος γραμματοσειράς: 20.0pt">). ;

;

;

Ζ)

;

.

Τέτοια ποσά ονομάζονται ατελείωτες σειρές, και οι όροι τους είναι όροι της σειράς. (Μια έλλειψη σημαίνει ότι ο αριθμός των όρων είναι άπειρος.) Οι λύσεις σε πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα σπάνια μπορούν να αναπαρασταθούν σε ακριβή μορφή χρησιμοποιώντας τύπους. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις αυτές οι λύσεις μπορούν να γραφτούν ως σειρές. Αφού βρεθεί μια τέτοια λύση, οι μέθοδοι της θεωρίας των σειρών μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε πόσοι όροι της σειράς πρέπει να ληφθούν για συγκεκριμένους υπολογισμούς ή πώς να γράψουμε την απάντηση στην πιο βολική μορφή. Μαζί με αριθμητικές σειρές, μπορούμε να θεωρήσουμε το λεγόμενο. λειτουργικές σειρές, των οποίων οι όροι είναι συναρτήσεις . Πολλές συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν χρησιμοποιώντας σειρές συναρτήσεων. Η μελέτη αριθμητικών και συναρτησιακών σειρών είναι ένα σημαντικό μέρος του λογισμού.

Στα παραδείγματα (1) και (2) είναι σχετικά εύκολο να μαντέψει κανείς με ποιο νόμο σχηματίζονται διαδοχικοί όροι. Ο νόμος του σχηματισμού των μελών μιας σειράς μπορεί να είναι πολύ λιγότερο προφανής. Για παράδειγμα, για τη σειρά (3) θα γίνει σαφές εάν αυτή η σειρά είναι γραμμένη με την ακόλουθη μορφή:

Συγκλίνουσες σειρές.

Δεδομένου ότι η προσθήκη ενός άπειρου αριθμού όρων μιας σειράς είναι φυσικά αδύνατη, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί τι ακριβώς πρέπει να γίνει κατανοητό από το άθροισμα μιας άπειρης σειράς. Μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτές οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης εκτελούνται διαδοχικά, η μία μετά την άλλη, για παράδειγμα, σε έναν υπολογιστή. Εάν τα προκύπτοντα αθροίσματα (μερικά αθροίσματα) πλησιάζουν όλο και περισσότερο σε έναν ορισμένο αριθμό, τότε είναι λογικό να ονομάζουμε αυτόν τον αριθμό άθροισμα μιας άπειρης σειράς. Έτσι, το άθροισμα μιας άπειρης σειράς μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας ακολουθίας μερικών αθροισμάτων. Επιπλέον, μια τέτοια σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα.

Η εύρεση του αθροίσματος της σειράς (3) δεν είναι δύσκολη αν παρατηρήσετε ότι η μετασχηματισμένη σειρά (4) μπορεί να γραφτεί ως

Τα διαδοχικά επιμέρους αθροίσματα της σειράς (5) είναι

και τα λοιπά.; μπορείτε να δείτε ότι τα επιμέρους αθροίσματα τείνουν στο 1. Έτσι, αυτή η σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της είναι 1.

Ως παράδειγμα άπειρων σειρών, θεωρήστε άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Έτσι, το 0,353535... είναι ένα άπειρο επαναλαμβανόμενο δεκαδικό κλάσμα, που είναι ένας συμπαγής τρόπος γραφής της σειράς

Ο νόμος σχηματισμού διαδοχικών μελών είναι σαφής εδώ. Ομοίως, 3,14159265... σημαίνει

αλλά ο νόμος σχηματισμού των επόμενων μελών της σειράς δεν είναι προφανής εδώ: τα ψηφία σχηματίζουν τη δεκαδική επέκταση του αριθμού Π, και είναι δύσκολο να πούμε αμέσως ποιο είναι, για παράδειγμα, το 100.000ο ψηφίο, αν και θεωρητικά αυτό το νούμερο μπορεί να υπολογιστεί.

Αποκλίνουσες σειρές.

Μια άπειρη σειρά που δεν συγκλίνει λέγεται ότι αποκλίνει (μια τέτοια σειρά ονομάζεται αποκλίνων). Για παράδειγμα, μια σειρά

αποκλίνει, αφού τα επιμέρους αθροίσματά του είναι 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,... Αυτά τα αθροίσματα δεν τείνουν σε κανέναν αριθμό ως όριο, αφού παίρνοντας αρκετούς όρους της σειράς, μπορούμε να κάνουμε ένα μερικό άθροισμα όσο μεγάλο κι αν είναι. Σειρά

αποκλίνει επίσης, αλλά για διαφορετικό λόγο: τα μερικά αθροίσματα αυτής της σειράς μετατρέπονται εναλλάξ στο 1, μετά στο 0 και δεν τείνουν στο όριο.

Αθροιση.

Η εύρεση του αθροίσματος μιας συγκλίνουσας σειράς (με δεδομένη ακρίβεια) αθροίζοντας διαδοχικά τους όρους της, αν και θεωρητικά δυνατό, είναι πρακτικά δύσκολο να εφαρμοστεί. Για παράδειγμα, μια σειρά

συγκλίνει και το άθροισμά του σε δέκα δεκαδικά ψηφία είναι 1,6449340668, αλλά για να υπολογιστεί με αυτή την ακρίβεια, θα ήταν απαραίτητο να ληφθούν περίπου. 20 δισεκατομμύρια μέλη. Τέτοιες σειρές συνήθως συνοψίζονται με τον πρώτο μετασχηματισμό τους χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούνται αλγεβρικές ή υπολογιστικές μέθοδοι. για παράδειγμα, μπορεί κανείς να δείξει ότι το άθροισμα της σειράς (8) είναι ίσο με Π 2 /6.

Σημειογραφία.

Όταν εργάζεστε με άπειρες σειρές, είναι χρήσιμο να έχετε βολική σημειογραφία. Για παράδειγμα, το τελικό άθροισμα της σειράς (8) μπορεί να γραφτεί ως

Αυτή η καταχώρηση υποδεικνύει ότι nορίζεται διαδοχικά σε 1, 2, 3, 4 και 5 και τα αποτελέσματα αθροίζονται:

Ομοίως, η σειρά (4) μπορεί να γραφτεί ως

όπου το σύμβολο Ґ υποδηλώνει ότι έχουμε να κάνουμε με μια άπειρη σειρά, και όχι με το πεπερασμένο μέρος της. Το σύμβολο S (σίγμα) ονομάζεται πρόσημο.

Άπειρη γεωμετρική πρόοδος.

Μπορέσαμε να αθροίσουμε τη σειρά (4) επειδή υπήρχε ένας απλός τύπος για τα επιμέρους αθροίσματά της. Ομοίως, μπορεί κανείς να βρει το άθροισμα της σειράς (2), ή γενικά,

αν rπαίρνει τιμές μεταξύ –1 και 1. Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα της σειράς (9) είναι ίσο με 1/(1 – r) για άλλες αξίες rΗ σειρά (9) αποκλίνει.

Μπορείτε να σκεφτείτε τα περιοδικά δεκαδικά ψηφία όπως το 0,353535... ως έναν άλλο τρόπο να γράψετε μια άπειρη γεωμετρική πρόοδο.

Αυτή η έκφραση μπορεί επίσης να γραφτεί ως

όπου η σειρά (9) με r= 0,01; Επομένως, το άθροισμα της σειράς (10) είναι ίσο με

Με τον ίδιο τρόπο, οποιοδήποτε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως κοινό κλάσμα.

Σημάδια σύγκλισης.

Στη γενική περίπτωση, δεν υπάρχει απλός τύπος για τα επιμέρους αθροίσματα μιας άπειρης σειράς, επομένως χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι για τον προσδιορισμό της σύγκλισης ή της απόκλισης της σειράς. Για παράδειγμα, εάν όλοι οι όροι μιας σειράς είναι θετικοί, τότε μπορεί να φανεί ότι η σειρά συγκλίνει εάν κάθε όρος της δεν υπερβαίνει τον αντίστοιχο όρο της άλλης σειράς, που είναι γνωστό ότι συγκλίνει. Στην αποδεκτή σημείωση, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: αν a n i 0 και συγκλίνει, τότε συγκλίνει αν 0 j b n Ј a n. Για παράδειγμα, αφού η σειρά (4) συγκλίνει και

τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η σειρά (8) συγκλίνει επίσης. Η σύγκριση είναι η κύρια μέθοδος για τον καθορισμό της σύγκλισης πολλών σειρών συγκρίνοντάς τες με τις απλούστερες συγκλίνουσες σειρές. Μερικές φορές χρησιμοποιούνται πιο ειδικά κριτήρια σύγκλισης (μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία για τη θεωρία σειρών.) Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα συγκλίνουσες σειρές με θετικούς όρους:

Η σύγκριση μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να διαπιστωθεί η απόκλιση μιας σειράς. Εάν η σειρά αποκλίνει, τότε η σειρά αποκλίνει επίσης εάν 0 J b n Ј a n.

Παραδείγματα αποκλίνουσες σειρές είναι οι σειρές

και, ειδικότερα, από τότε αρμονική σειρά

Η απόκλιση αυτής της σειράς μπορεί να επαληθευτεί μετρώντας τα ακόλουθα μερικά αθροίσματα:

και τα λοιπά. Έτσι, τα επιμέρους αθροίσματα που τελειώνουν στους όρους 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, j υπερβαίνουν τα επιμέρους αθροίσματα της αποκλίνουσας σειράς (6), και επομένως η σειρά (14) πρέπει να αποκλίνει.

Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση.

Για γραμμές όπως

η μέθοδος σύγκρισης δεν ισχύει, καθώς οι όροι αυτής της σειράς έχουν διαφορετικά πρόσημα. Εάν όλοι οι όροι της σειράς (15) ήταν θετικοί, τότε θα παίρναμε τη σειρά (3), η οποία είναι γνωστό ότι συγκλίνει. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτό συνεπάγεται επίσης τη σύγκλιση των σειρών (15). Όταν αλλάζοντας τα σημάδια των αρνητικών όρων της σειράς στα αντίθετα μπορεί να μετατραπεί σε συγκλίνουσα, λένε ότι η αρχική σειρά συγκλίνει απολύτως.

Η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά (1) δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα, αφού Η σειρά (14), που αποτελείται από τους ίδιους αλλά μόνο θετικούς όρους, δεν συγκλίνει. Ωστόσο, με τη βοήθεια ειδικών κριτηρίων σύγκλισης για εναλλασσόμενες σειρές, μπορεί κανείς να δείξει ότι η σειρά (1) πράγματι συγκλίνει. Μια συγκλίνουσα σειρά που δεν συγκλίνει απόλυτα ονομάζεται υπό όρους συγκλίνουσα.

Λειτουργίες με σειρές.

Με βάση τον ορισμό μιας συγκλίνουσας σειράς, είναι εύκολο να φανεί ότι η σύγκλιση της δεν παραβιάζεται με τη διαγραφή ή την ανάθεση πεπερασμένου αριθμού όρων σε αυτήν, καθώς και με τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση όλων των όρων της σειράς με τον ίδιο αριθμό ( φυσικά εξαιρείται η διαίρεση με το 0). Για οποιαδήποτε αναδιάταξη των όρων μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς, δεν παραβιάζεται η σύγκλιση και το άθροισμα δεν αλλάζει. Για παράδειγμα, εφόσον το άθροισμα της σειράς (2) είναι 1, το άθροισμα της σειράς

ισούται επίσης με 1, αφού αυτή η σειρά προκύπτει από τη σειρά (2) με την εναλλαγή γειτονικών όρων (ο 1ος όρος με τον 2ο κ.λπ.). Μπορείτε να αλλάξετε αυθαίρετα τη σειρά των μελών μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς, εφόσον όλα τα μέλη της αρχικής σειράς είναι παρόντα στη νέα σειρά. Από την άλλη πλευρά, η αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς μπορεί να αλλάξει το άθροισμά της και ακόμη και να την καταστήσει αποκλίνουσα. Επιπλέον, οι όροι μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς μπορούν πάντα να αναδιατάσσονται έτσι ώστε να συγκλίνει σε οποιοδήποτε προκαθορισμένο άθροισμα.

Δύο συγκλίνουσες σειρές S a nκαι Σ b nμπορεί να προστεθεί (ή να αφαιρεθεί) όρος προς όρο, έτσι ώστε το άθροισμα της νέας σειράς (η οποία επίσης συγκλίνει) να προστεθεί στα αθροίσματα της αρχικής σειράς, στη σημειογραφία μας

Υπό πρόσθετες συνθήκες, για παράδειγμα, εάν και οι δύο σειρές συγκλίνουν απόλυτα, μπορούν να πολλαπλασιαστούν η μία με την άλλη, όπως γίνεται για πεπερασμένα αθροίσματα, και η προκύπτουσα διπλή σειρά ( Δες παρακάτω) θα συγκλίνει στο γινόμενο των αθροισμάτων της αρχικής σειράς.

Αθροιστική ικανότητα.

Παρά το γεγονός ότι ο ορισμός μας για τη σύγκλιση μιας άπειρης σειράς φαίνεται φυσικός, δεν είναι ο μόνος δυνατός. Το άθροισμα μιας άπειρης σειράς μπορεί να προσδιοριστεί με άλλους τρόπους. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη σειρά (7), η οποία μπορεί να γραφτεί συμπαγή ως

Όπως έχουμε ήδη πει, τα επιμέρους αθροίσματά του παίρνουν τις τιμές 1 και 0 εναλλάξ, και επομένως η σειρά δεν συγκλίνει. Αν όμως σχηματίσουμε εναλλάξ κατά ζεύγη μέσους όρους των μερικών αθροισμάτων του (τρέχων μέσος όρος), δηλ. Αν υπολογίσουμε πρώτα τον μέσο όρο του πρώτου και του δεύτερου μερικού αθροίσματος, μετά τον μέσο όρο του δεύτερου και του τρίτου, του τρίτου και του τέταρτου κ.λπ., τότε κάθε τέτοιος μέσος όρος θα είναι ίσος με 1/2, και επομένως το όριο των μέσων ζευγαριών θα να είναι επίσης ίσο με 1/2. Σε αυτή την περίπτωση, η σειρά λέγεται ότι μπορεί να αθροιστεί με την καθορισμένη μέθοδο και το άθροισμά της είναι ίσο με 1/2. Έχουν προταθεί πολλές μέθοδοι άθροισης, οι οποίες καθιστούν δυνατό να αποδοθούν αθροίσματα σε αρκετά μεγάλες κατηγορίες αποκλίνουσες σειρές και έτσι να χρησιμοποιηθούν κάποιες αποκλίνουσες σειρές στους υπολογισμούς. Για τους περισσότερους σκοπούς, η μέθοδος άθροισης είναι χρήσιμη, ωστόσο, μόνο εάν, όταν εφαρμόζεται σε μια συγκλίνουσα σειρά, δίνει το τελικό της άθροισμα.

Σειρά με σύνθετους όρους.

Μέχρι στιγμής, υποθέσαμε σιωπηρά ότι έχουμε να κάνουμε μόνο με πραγματικούς αριθμούς, αλλά όλοι οι ορισμοί και τα θεωρήματα ισχύουν για σειρές με μιγαδικούς αριθμούς (εκτός από το ότι τα αθροίσματα που μπορούν να ληφθούν με την αναδιάταξη των όρων των υπό όρους συγκλίνουσας σειράς δεν μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές).

λειτουργικές σειρές.

Όπως έχουμε ήδη σημειώσει, τα μέλη μιας άπειρης σειράς μπορεί να είναι όχι μόνο αριθμοί, αλλά και συναρτήσεις, για παράδειγμα,

Το άθροισμα μιας τέτοιας σειράς είναι επίσης μια συνάρτηση της οποίας η τιμή σε κάθε σημείο λαμβάνεται ως το όριο των μερικών αθροισμάτων που υπολογίζονται σε αυτό το σημείο. Στο σχ. Το 1 δείχνει γραφήματα πολλών μερικών αθροισμάτων και το άθροισμα μιας σειράς (με Χ, που ποικίλλει από 0 έως 1); s n(Χ) σημαίνει το άθροισμα του πρώτου nμέλη. Το άθροισμα της σειράς είναι μια συνάρτηση ίση με 1 σε 0 J Χ x = 1. Η συναρτησιακή σειρά μπορεί να συγκλίνει για τις ίδιες τιμές Χκαι διαφωνώ με τους άλλους. στο παράδειγμά μας, η σειρά συγκλίνει στο –1J ΧΧ.

Το άθροισμα μιας συναρτησιακής σειράς μπορεί να γίνει κατανοητό με διαφορετικούς τρόπους. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι πιο σημαντικό να γνωρίζουμε ότι τα μερικά αθροίσματα είναι κοντά (με τη μία ή την άλλη έννοια) σε κάποια συνάρτηση σε ολόκληρο το διάστημα ( ένα, σι) παρά να αποδείξουμε τη σύγκλιση ή την απόκλιση της σειράς σε μεμονωμένα σημεία. Για παράδειγμα, δηλώνοντας ένα μερικό άθροισμα n-η παραγγελία μέσω s n(Χ), λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στο μέσο τετράγωνο στο άθροισμα μικρό(Χ), αν

Μια σειρά μπορεί να συγκλίνει στο μέσο τετράγωνο ακόμα κι αν δεν συγκλίνει σε κανένα σημείο. Υπάρχουν επίσης και άλλοι ορισμοί της σύγκλισης μιας συναρτησιακής σειράς.

Ορισμένες λειτουργικές σειρές ονομάζονται από τις συναρτήσεις που περιλαμβάνουν. Ως παράδειγμα, μπορούμε να δώσουμε σειρές ισχύος και τα αθροίσματά τους:

Η πρώτη από αυτές τις σειρές συγκλίνει για όλους Χ. Η δεύτερη σειρά συγκλίνει για | Χ| r x r x| Ј 1 αν r> 0 (εκτός όταν rείναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. στην τελευταία περίπτωση, η σειρά τερματίζεται μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό όρων). Ο τύπος (17) ονομάζεται διωνυμική επέκταση για έναν αυθαίρετο βαθμό.

Σειρά Dirichlet.

Οι σειρές Dirichlet είναι λειτουργικές σειρές της μορφής S (1/ a n x), όπου οι αριθμοί a nΑυξάνονται επ' αόριστον· Ένα παράδειγμα μιας σειράς Dirichlet είναι η συνάρτηση ζήτα Riemann

Οι σειρές Dirichlet χρησιμοποιούνται συχνά στη θεωρία αριθμών.

τριγωνομετρική σειρά.

Αυτό είναι το όνομα της συναρτησιακής σειράς που περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι τριγωνομετρικές σειρές ειδικού είδους που χρησιμοποιούνται στην αρμονική ανάλυση ονομάζονται σειρές Fourier. Ένα παράδειγμα μιας σειράς Fourier είναι η σειρά

ΦΑ( Χ), η οποία έχει την ακόλουθη ιδιότητα: αν πάρουμε ένα συγκεκριμένο μερικό άθροισμα της σειράς (18), για παράδειγμα, το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της, τότε η διαφορά μεταξύ φά(Χ) και αυτό το μερικό άθροισμα υπολογίζεται για κάποια τιμή Χ, θα είναι μικρό για όλες τις τιμές Χκοντά στο 0. Με άλλα λόγια, αν και δεν μπορούμε να πετύχουμε καλή προσέγγιση της συνάρτησης φά(Χ) σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο σημείο Χ, μακριά από το μηδέν, λαμβάνοντας ακόμη και πάρα πολλούς όρους της σειράς, αλλά για Χκοντά στο 0, μόνο μερικοί από τους όρους του δίνουν πολύ καλή προσέγγιση. Τέτοιες σειρές ονομάζονται ασυμπτωτικός. Στους αριθμητικούς υπολογισμούς, οι ασυμπτωτικές σειρές είναι συνήθως πιο χρήσιμες από τις συγκλίνουσες σειρές, καθώς παρέχουν μια αρκετά καλή προσέγγιση με τη βοήθεια ενός μικρού αριθμού όρων. Οι ασυμπτωτικές σειρές χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική φυσική.

Διπλές σειρές.

Μερικές φορές πρέπει να αθροίσετε δισδιάστατους πίνακες αριθμών

Μπορούμε να αθροίσουμε σειρά προς σειρά και μετά να προσθέσουμε τα αθροίσματα σειρών. Σε γενικές γραμμές, δεν έχουμε ιδιαίτερο λόγο να προτιμάμε τις γραμμές έναντι των στηλών, αλλά αν η άθροιση γίνει πρώτα πάνω από στήλες, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι διαφορετικό. Για παράδειγμα, εξετάστε τη διπλή σειρά

Εδώ, κάθε γραμμή συγκλίνει σε ένα άθροισμα ίσο με 0, και το άθροισμα των αθροισμάτων σειρών είναι επομένως επίσης ίσο με μηδέν. Από την άλλη πλευρά, το άθροισμα των μελών της πρώτης στήλης είναι 1 και όλων των άλλων στηλών είναι 0, άρα το άθροισμα των αθροισμάτων στις στήλες είναι 1. Οι μόνες "βολικές" συγκλίνουσες διπλές σειρές είναι οι απολύτως συγκλίνουσες διπλές σειρές : μπορούν να αθροιστούν με γραμμές ή στήλες, καθώς και με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, και το ποσό είναι πάντα το ίδιο. Δεν υπάρχει φυσικός ορισμός της υπό όρους σύγκλισης διπλών σειρών.

Βασικοί ορισμοί.

Ορισμός. Το άθροισμα των όρων μιας άπειρης αριθμητικής ακολουθίας ονομάζεται αριθμητική σειρά.

Ταυτόχρονα οι αριθμοί
θα ονομάζονται τα μέλη της σειράς, και u nείναι κοινό μέλος της σειράς.

Ορισμός. Ποσά
,n = 1, 2, … που ονομάζεται ιδιωτικά (μερικά) ποσάσειρά.

Έτσι, είναι δυνατό να ληφθούν υπόψη ακολουθίες μερικών αθροισμάτων της σειράς μικρό 1 , μικρό 2 , …, μικρό n , …

Ορισμός. Σειρά
που ονομάζεται συγκλίνουσααν η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων συγκλίνει. Το άθροισμα της συγκλίνουσας σειράςείναι το όριο της ακολουθίας των μερικών του αθροισμάτων.

Ορισμός. Αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς αποκλίνει, δηλ. δεν έχει όριο, ή έχει άπειρο όριο, τότε καλείται η σειρά αποκλίνωνκαι δεν του αναλογεί κανένα ποσό.

ιδιότητες σειράς.

1) Η σύγκλιση ή η απόκλιση της σειράς δεν θα παραβιαστεί εάν αλλάξετε, απορρίψετε ή προσθέσετε έναν πεπερασμένο αριθμό όρων στη σειρά.

2) Θεωρήστε δύο σειρές
και
, όπου C είναι ένας σταθερός αριθμός.

Θεώρημα. Αν η σειρά
συγκλίνει και το άθροισμά του είναιμικρό, μετά η σειρά
συγκλίνει επίσης και το άθροισμά του είναι Cμικρό. (ντο  0)

3) Θεωρήστε δύο σειρές
και
.άθροισμαή διαφοράαυτές οι σειρές θα ονομάζονται σειρά
, όπου τα στοιχεία προκύπτουν ως αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης) των αρχικών στοιχείων με τους ίδιους αριθμούς.

Θεώρημα. Αν οι σειρές
και
συγκλίνουν και τα αθροίσματά τους είναι ίσα, αντίστοιχα.μικρόκαι , μετά η σειρά
επίσης συγκλίνει και το άθροισμά του ισούται μεμικρό +  .

Η διαφορά δύο συγκλίνουσων σειρών θα είναι επίσης συγκλίνουσα σειρά.

Το άθροισμα μιας συγκλίνουσας και μιας αποκλίνουσας σειράς θα είναι μια αποκλίνουσα σειρά.

Είναι αδύνατο να κάνουμε μια γενική δήλωση σχετικά με το άθροισμα δύο αποκλίνουσες σειρές.

Κατά τη μελέτη σειρών, λύνονται κυρίως δύο προβλήματα: η μελέτη της σύγκλισης και η εύρεση του αθροίσματος της σειράς.

Κριτήριο Cauchy.

(απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της σειράς)

Προκειμένου για τη σειρά
ήταν συγκλίνουσα, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι για οποιαδήποτε
υπήρχε ένας αριθμόςΝ, που στοn > Νκαι οποιαδήποτεΠ> 0, όπου p είναι ακέραιος, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

.

Απόδειξη. (χρειάζομαι)

Ας είναι
, τότε για οποιονδήποτε αριθμό
υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε η ανισότητα

εκτελείται για n>N. Για n>N και οποιονδήποτε ακέραιο p>0, ισχύει επίσης η ανισότητα
. Λαμβάνοντας υπόψη και τις δύο ανισότητες, παίρνουμε:

Η ανάγκη έχει αποδειχθεί. Δεν θα εξετάσουμε την απόδειξη επάρκειας.

Ας διατυπώσουμε το κριτήριο Cauchy για τη σειρά.

Για έναν αριθμό
ήταν συγκλίνουσα αναγκαία και επαρκής ότι για οποιαδήποτε
υπήρχε ένας αριθμόςΝτέτοια ώστε στοn> Νκαι οποιαδήποτεΠ>0 θα ικανοποιούσε την ανισότητα

.

Ωστόσο, στην πράξη, δεν είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε απευθείας το κριτήριο Cauchy. Επομένως, κατά κανόνα, χρησιμοποιούνται απλούστερα κριτήρια σύγκλισης:

1) Αν η σειρά
συγκλίνει, είναι απαραίτητο ο κοινός όρος u nέλκεται προς το μηδέν. Ωστόσο, αυτή η προϋπόθεση δεν είναι επαρκής. Μπορούμε μόνο να πούμε ότι εάν ο κοινός όρος δεν τείνει στο μηδέν, τότε η σειρά αποκλίνει ακριβώς. Για παράδειγμα, η λεγόμενη αρμονική σειρά είναι αποκλίνουσα, αν και ο κοινός όρος του τείνει στο μηδέν.

Παράδειγμα.Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς

Ας βρούμε
- το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης δεν ικανοποιείται, επομένως η σειρά αποκλίνει.

2) Αν η σειρά συγκλίνει, τότε η ακολουθία των μερικών της αθροισμάτων είναι περιορισμένη.

Ωστόσο, αυτό το χαρακτηριστικό δεν είναι επίσης αρκετό.

Για παράδειγμα, η σειρά 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… αποκλίνει επειδή η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων αποκλίνει λόγω του γεγονότος ότι

Ωστόσο, στην περίπτωση αυτή η αλληλουχία των μερικών αθροισμάτων είναι περιορισμένη, γιατί
για κάθε n.

Σειρά με μη αρνητικά μέλη.

Όταν μελετάμε σειρές με σταθερό πρόσημο, περιοριζόμαστε στο να εξετάζουμε σειρές με μη αρνητικούς όρους, αφού όταν πολλαπλασιάζονται απλά με -1, αυτές οι σειρές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ληφθούν σειρές με αρνητικούς όρους.

Θεώρημα. Για τη σύγκλιση της σειράς
με μη αρνητικούς όρους είναι απαραίτητο και αρκετό τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς να είναι περιορισμένα.

Σημάδι σύγκρισης σειράς με μη αρνητικά μέλη.

Αφήστε να υπάρχουν δύο σειρές
και
στο u n , v n  0 .

Θεώρημα. Αν ένα u n  v nγια κάθε n, τότε από τη σύγκλιση της σειράς
ακολουθεί τη σύγκλιση της σειράς
, και από την απόκλιση της σειράς
ακολουθεί την απόκλιση της σειράς
.

Απόδειξη. Σημειώστε με μικρό n και  nμερικά αθροίσματα σειρών
και
. Επειδή σύμφωνα με το θεώρημα, η σειρά
συγκλίνει, τότε τα επιμέρους αθροίσματά του οριοθετούνται, δηλ. για όλα n n  M, όπου M είναι κάποιος αριθμός. Αλλά από τότε u n  v n, τότε μικρό n   nτότε τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς
είναι επίσης οριοθετημένες και αυτό αρκεί για τη σύγκλιση.

Παράδειγμα.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης

Επειδή
, και η αρμονική σειρά αποκλίνει, τότε η σειρά αποκλίνει
.

Παράδειγμα.

Επειδή
και η σειρά
συγκλίνει (ως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος), μετά η σειρά
συγκλίνει επίσης.

Χρησιμοποιείται επίσης το ακόλουθο κριτήριο σύγκλισης:

Θεώρημα. Αν ένα
και υπάρχει ένα όριο
, πουηείναι ένας αριθμός μη μηδενικός, τότε η σειρά
και
συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο ως προς τη σύγκλιση.

Σημάδι του d'Alembert.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - Γάλλος μαθηματικός)

Αν για μια σειρά
με θετικούς όρους, υπάρχει ένας αριθμόςq<1, что для всех достаточно больших nτην ανισότητα

μετά η σειρά
συγκλίνει αν για όλα είναι αρκετά μεγάλοnο όρος

μετά η σειρά
αποκλίνει.

Περιοριστικό σημάδι του d'Alembert.

Το περιοριστικό τεστ d'Alembert είναι συνέπεια του παραπάνω τεστ d'Alembert.

Αν υπάρχει όριο
, μετά στο < 1 ряд сходится, а при  > 1 - αποκλίνει. Αν ένα = 1, τότε το ερώτημα της σύγκλισης δεν μπορεί να απαντηθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση μιας σειράς .

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση μιας σειράς

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Σήμα Cauchy. (ριζοσπαστικό σημάδι)

Αν για μια σειρά
με μη αρνητικούς όρους, υπάρχει ένας αριθμόςq<1, что для всех достаточно больших nτην ανισότητα

,

μετά η σειρά
συγκλίνει αν για όλα είναι αρκετά μεγάλοnτην ανισότητα

μετά η σειρά
αποκλίνει.

Συνέπεια. Αν υπάρχει όριο
, μετά στο <1 ряд сходится, а при >1 σειρά αποκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση μιας σειράς
.

Συμπέρασμα: η σειρά συγκλίνει.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη σύγκλιση μιας σειράς
.

Εκείνοι. Το κριτήριο του Cauchy δεν απαντά στο ερώτημα για τη σύγκλιση της σειράς. Ας ελέγξουμε εάν πληρούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις σύγκλισης. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, εάν η σειρά συγκλίνει, τότε ο κοινός όρος της σειράς τείνει στο μηδέν.

,

Επομένως, δεν ικανοποιείται η απαραίτητη προϋπόθεση για σύγκλιση, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά αποκλίνει.

Ολοκληρωμένο τεστ Cauchy.

Αν ένα Το (x) είναι μια συνεχής θετική συνάρτηση που μειώνεται στο διάστημακαι
τότε τα ολοκληρώματα
και
συμπεριφέρονται το ίδιο ως προς τη σύγκλιση.

Μεταβλητές σειρές.

Εναλλασσόμενες σειρές.

Μια εναλλασσόμενη σειρά μπορεί να γραφτεί ως:

που

Σημάδι Leibniz.

Αν μια εναλλασσόμενη σειρά απόλυτες τιμέςu Εγώ μείωση
και ο κοινός όρος τείνει στο μηδέν
, τότε η σειρά συγκλίνει.

Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση σειρών.

Εξετάστε μερικές εναλλασσόμενες σειρές (με όρους αυθαίρετων σημείων).

(1)

και μια σειρά που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της σειράς (1):

(2)

Θεώρημα. Η σύγκλιση της σειράς (2) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (1).

Απόδειξη. Η σειρά (2) βρίσκεται δίπλα σε μη αρνητικούς όρους. Εάν η σειρά (2) συγκλίνει, τότε με το κριτήριο Cauchy για οποιοδήποτε >0 υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε για n>N και οποιονδήποτε ακέραιο p>0 ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

Σύμφωνα με την ιδιότητα των απόλυτων τιμών:

Δηλαδή, σύμφωνα με το κριτήριο Cauchy, η σύγκλιση της σειράς (2) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (1).

Ορισμός. Σειρά
που ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσααν η σειρά συγκλίνει
.

Προφανώς, για σειρές σταθερού πρόσημου, οι έννοιες της σύγκλισης και της απόλυτης σύγκλισης συμπίπτουν.

Ορισμός. Σειρά
που ονομάζεται υπό όρους συγκλίνουσα, αν συγκλίνει, και η σειρά
αποκλίνει.

Οι δοκιμές του d'Alembert και του Cauchy για εναλλασσόμενες σειρές.

Ας είναι
- εναλλασσόμενες σειρές.

Σημάδι του d'Alembert. Αν υπάρχει όριο
, μετά στο <1 ряд
θα είναι απολύτως συγκλίνουσα, και όταν >

Σήμα Cauchy. Αν υπάρχει όριο
, μετά στο <1 ряд
θα είναι απολύτως συγκλίνουσα και όταν >1 η σειρά θα είναι αποκλίνουσα. Όταν =1, το πρόσημο δεν δίνει απάντηση για τη σύγκλιση της σειράς.

Ιδιότητες απολύτως συγκλίνουσες σειρές.

1) Θεώρημα. Για την απόλυτη σύγκλιση της σειράς
είναι απαραίτητο και επαρκές να μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο συγκλίνων σειρών με μη αρνητικούς όρους.

Συνέπεια. Μια υπό όρους συγκλίνουσα σειρά είναι η διαφορά δύο αποκλίνων σειρών με μη αρνητικούς όρους που τείνουν στο μηδέν.

2) Σε μια συγκλίνουσα σειρά, οποιαδήποτε ομαδοποίηση των όρων της σειράς που δεν αλλάζει τη σειρά τους διατηρεί τη σύγκλιση και το μέγεθος της σειράς.

3) Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε η σειρά που προκύπτει από αυτήν με οποιαδήποτε μετάθεση όρων συγκλίνει επίσης απόλυτα και έχει το ίδιο άθροισμα.

Με την αναδιάταξη των όρων μιας υπό όρους συγκλίνουσας σειράς, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια υπό όρους συγκλίνουσα σειρά με οποιοδήποτε προκαθορισμένο άθροισμα, ακόμη και μια αποκλίνουσα σειρά.

4) Θεώρημα. Με οποιαδήποτε ομαδοποίηση μελών μιας απολύτως συγκλίνουσας σειράς (σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των ομάδων μπορεί να είναι και πεπερασμένος και άπειρος και ο αριθμός των μελών σε μια ομάδα μπορεί να είναι είτε πεπερασμένος είτε άπειρος), προκύπτει μια συγκλίνουσα σειρά, το άθροισμα του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα της αρχικής σειράς.

5) Αν οι σειρές και συγκλίνουν απόλυτα και τα αθροίσματά τους είναι αντίστοιχα. μικρό και , τότε μια σειρά που αποτελείται από όλα τα προϊόντα της μορφής
ληφθεί με οποιαδήποτε σειρά, συγκλίνει επίσης απόλυτα και το άθροισμά του είναι ίσο με μικρό - το γινόμενο των αθροισμάτων της πολλαπλασιασμένης σειράς.

Εάν, ωστόσο, πολλαπλασιαστούν οι υπό όρους συγκλίνουσες σειρές, τότε το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια αποκλίνουσα σειρά.

Λειτουργικές ακολουθίες.

Ορισμός. Αν τα μέλη της σειράς δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις από Χ, τότε η σειρά ονομάζεται λειτουργικός.

Η μελέτη της σύγκλισης των συναρτησιακών σειρών είναι πιο δύσκολη από τη μελέτη των αριθμητικών σειρών. Η ίδια λειτουργική σειρά μπορεί, για τις ίδιες τιμές της μεταβλητής Χσυγκλίνουν, και σε άλλα - αποκλίνουν. Επομένως, το ζήτημα της σύγκλισης των συναρτησιακών σειρών περιορίζεται στον προσδιορισμό αυτών των τιμών της μεταβλητής Χγια την οποία η σειρά συγκλίνει.

Το σύνολο τέτοιων τιμών ονομάζεται περιοχή σύγκλισης.

Εφόσον το όριο κάθε συνάρτησης που περιλαμβάνεται στην περιοχή σύγκλισης της σειράς είναι ένας ορισμένος αριθμός, τότε το όριο της συναρτησιακής ακολουθίας θα είναι μια συγκεκριμένη συνάρτηση:

Ορισμός. Ακολουθία ( φά n (Χ) } συγκλίνειγια να λειτουργήσει φά(Χ) στο τμήμα , εάν για οποιονδήποτε αριθμό >0 και οποιοδήποτε σημείο Χαπό το υπό εξέταση τμήμα υπάρχει ένας αριθμός N = N(, x) τέτοιος ώστε η ανισότητα

εκτελείται για n>N.

Με την επιλεγμένη τιμή >0, κάθε σημείο του τμήματος αντιστοιχεί στον δικό του αριθμό και, επομένως, θα υπάρχει ένας άπειρος αριθμός αριθμών που θα αντιστοιχεί σε όλα τα σημεία του τμήματος. Εάν επιλέξετε τον μεγαλύτερο από όλους αυτούς τους αριθμούς, τότε αυτός ο αριθμός θα είναι κατάλληλος για όλα τα σημεία του τμήματος, δηλ. θα είναι κοινό σε όλα τα σημεία.

Ορισμός. Ακολουθία ( φά n (Χ) } συγκλίνει ομοιόμορφαγια να λειτουργήσει φά(Χ) στο διάστημα αν για οποιονδήποτε αριθμό >0 υπάρχει αριθμός N = N() τέτοιος ώστε η ανίσωση

εκτελείται για n>N για όλα τα σημεία του τμήματος .

Παράδειγμα.Σκεφτείτε τη σειρά

Αυτή η ακολουθία συγκλίνει σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα προς τη συνάρτηση φά(Χ)=0 , επειδή

Ας σχεδιάσουμε αυτή τη σειρά:

sinx

Όπως φαίνεται, όσο αυξάνεται ο αριθμός nτο γράφημα ακολουθίας πλησιάζει τον άξονα Χ.

λειτουργικές σειρές.

Ορισμός. Ιδιωτικά (μερικά) ποσάλειτουργικό εύρος
καλούνται συναρτήσεις

Ορισμός. Λειτουργικό εύρος
που ονομάζεται συγκλίνουσαστο σημείο ( x=x 0 ) αν η ακολουθία των μερικών του αθροισμάτων συγκλίνει σε αυτό το σημείο. Όριο ακολουθίας
που ονομάζεται άθροισμασειρά
στο σημείο Χ 0 .

Ορισμός. Το σύνολο όλων των τιμών Χ, για το οποίο η σειρά συγκλίνει
που ονομάζεται περιοχή σύγκλισηςσειρά.

Ορισμός. Σειρά
που ονομάζεται ομοιόμορφα συγκλίνοντεςσε ένα τμήμα εάν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων αυτής της σειράς συγκλίνει ομοιόμορφα σε αυτό το τμήμα.

Θεώρημα. (Κριτήριο Cauchy για ομοιόμορφη σύγκλιση μιας σειράς)

Για ομοιόμορφη σύγκλιση της σειράς
απαραίτητο και επαρκές ότι για οποιοδήποτε αριθμό >0 υπήρχε τέτοιος αριθμόςΝ( ), το οποίο στοn> Νκαι οποιοδήποτε σύνολοΠ>0 ανισότητα

θα ισχύει για όλα τα x στο διάστημα [ένα, σι].

Θεώρημα. (Δοκιμή ομοιόμορφης σύγκλισης Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Γερμανός μαθηματικός)

Σειρά
συγκλίνει ομοιόμορφα και απόλυτα στο τμήμα [ένα, σι], εάν οι μονάδες των μελών της στο ίδιο τμήμα δεν υπερβαίνουν τα αντίστοιχα μέλη της συγκλίνουσας αριθμητικής σειράς με θετικά μέλη:

εκείνοι. υπάρχει μια ανισότητα:

.

Λένε επίσης ότι σε αυτή την περίπτωση η λειτουργική σειρά
μείζωναριθμητική σειρά
.

Παράδειγμα.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης
.

Οπως και
πάντα, είναι προφανές ότι
.

Είναι γνωστό ότι η γενική αρμονική σειρά συγκλίνει όταν =3>1, τότε, σύμφωνα με το τεστ Weierstrass, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα και, επιπλέον, σε οποιοδήποτε διάστημα.

Παράδειγμα.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης .

Στο τμήμα [-1,1] η ανισότητα
εκείνοι. Σύμφωνα με τη δοκιμή Weierstrass, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει σε αυτό το τμήμα και αποκλίνει στα διαστήματα (-, -1)  (1, ).

Ιδιότητες ομοιόμορφα συγκλίνουσες σειρές.

1) Το θεώρημα για τη συνέχεια του αθροίσματος μιας σειράς.

Αν τα μέλη της σειράς
- συνεχής στο διάστημα [ένα, σι] συνάρτηση και η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα, τότε το άθροισμά τηςμικρό(Χ) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο τμήμα [ένα, σι].

2) Το θεώρημα για την ολοκλήρωση μιας σειράς κατά όρο.

Ομοιόμορφα σύγκλιση στο τμήμα [ένα, σι] σειρές με συνεχείς όρους μπορούν να ενσωματωθούν κάθε φορά σε αυτό το τμήμα, π.χ. μια σειρά που αποτελείται από ολοκληρώματα των όρων της στο διάστημα [ένα, σι] , συγκλίνει στο ολοκλήρωμα του αθροίσματος της σειράς σε αυτό το τμήμα.

3) Το θεώρημα για τη διαφοροποίηση μιας σειράς κατά όρο.

Αν τα μέλη της σειράς
συγκλίνοντας στο τμήμα [ένα, σι] είναι συνεχείς συναρτήσεις με συνεχείς παραγώγους και η σειρά που αποτελείται από αυτές τις παραγώγους
συγκλίνει ομοιόμορφα σε αυτό το διάστημα, τότε η δεδομένη σειρά συγκλίνει επίσης ομοιόμορφα και μπορεί να διαφοροποιηθεί ανά όρο.

Με βάση το γεγονός ότι το άθροισμα της σειράς είναι κάποια συνάρτηση της μεταβλητής Χ, μπορείτε να εκτελέσετε τη λειτουργία αναπαράστασης μιας συνάρτησης ως σειρά (επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως στην ολοκλήρωση, τη διαφοροποίηση και άλλες λειτουργίες με συναρτήσεις.

Στην πράξη, χρησιμοποιείται συχνά η επέκταση των λειτουργιών σε μια σειρά ισχύος.

Power σειρά.

Ορισμός. δύναμη στη συνέχειαονομάζεται σειρά

.

Για τη μελέτη της σύγκλισης των σειρών ισχύος, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δοκιμή d'Alembert.

Παράδειγμα.Διερεύνηση για σειρές σύγκλισης

Εφαρμόζουμε το σύμβολο d'Alembert:

.

Διαπιστώνουμε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει στο
και αποκλίνει στο
.

Τώρα ας ορίσουμε τη σύγκλιση στα οριακά σημεία 1 και –1.

Για x = 1:
Η σειρά συγκλίνει σύμφωνα με τη δοκιμή Leibniz (βλ. Σημάδι Leibniz.).

Για x = -1:
η σειρά αποκλίνει (αρμονική σειρά).

Θεωρήματα του Άβελ.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - Νορβηγός μαθηματικός)

Θεώρημα. Εάν η σειρά ισχύος
συγκλίνει στοΧ = Χ 1 , τότε συγκλίνει και, επιπλέον, απολύτως για όλους
.

Απόδειξη. Με την προϋπόθεση του θεωρήματος, αφού οι όροι της σειράς είναι περιορισμένοι, τότε

που κείναι κάποιος σταθερός αριθμός. Η ακόλουθη ανισότητα είναι αληθής:

Από αυτή την ανισότητα φαίνεται ότι Χ< Χ 1 οι αριθμητικές τιμές των μελών της σειράς μας θα είναι μικρότερες (σε κάθε περίπτωση, όχι περισσότερες) από τα αντίστοιχα μέλη της σειράς στη δεξιά πλευρά της ανισότητας που γράφτηκε παραπάνω, τα οποία σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο. Ο παρονομαστής αυτής της προόδου από τη συνθήκη του θεωρήματος είναι μικρότερη από μία, επομένως, αυτή η πρόοδος είναι μια συγκλίνουσα σειρά.

Επομένως, με βάση το συγκριτικό τεστ, συμπεραίνουμε ότι η σειρά
συγκλίνει, που σημαίνει τη σειρά
συγκλίνει απολύτως.

Έτσι, εάν η σειρά ισχύος
συγκλίνει σε ένα σημείο Χ 1 , τότε συγκλίνει απολύτως σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος μήκους 2 με κέντρο σε ένα σημείο Χ = 0.

Συνέπεια. Αν στο x = x 1 Η σειρά αποκλίνει, μετά αποκλίνει για όλους
.

Έτσι, για κάθε σειρά ισχύος υπάρχει ένας θετικός αριθμός R τέτοιος ώστε, για όλες Χτέτοια που
Η σειρά συγκλίνει απόλυτα και για όλους
η σειρά αποκλίνει. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός R ακτίνα σύγκλισης. Το διάστημα (-R, R) ονομάζεται διάστημα σύγκλισης.

Σημειώστε ότι αυτό το διάστημα μπορεί να είναι κλειστό σε μία ή δύο πλευρές και όχι κλειστό.

Η ακτίνα σύγκλισης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Παράδειγμα.Βρείτε την περιοχή σύγκλισης μιας σειράς

Εύρεση της ακτίνας σύγκλισης
.

Επομένως, αυτή η σειρά συγκλίνει για οποιαδήποτε τιμή Χ. Ο κοινός όρος αυτής της σειράς τείνει στο μηδέν.

Θεώρημα. Εάν η σειρά ισχύος
συγκλίνει για θετική τιμή x=x 1 , τότε συγκλίνει ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε διάστημα μέσα
.

Δράσεις με σειρές ισχύος.

Σειρές για τσαγιέρες. Παραδείγματα λύσεων

Όλοι οι επιζώντες καλωσορίζουμε στο δεύτερο έτος! Σε αυτό το μάθημα, ή καλύτερα, σε μια σειρά μαθημάτων, θα μάθουμε πώς να διαχειριζόμαστε σειρές. Το θέμα δεν είναι πολύ δύσκολο, αλλά για να το κατακτήσετε θα χρειαστείτε γνώσεις από το πρώτο μάθημα, ειδικότερα, πρέπει να καταλάβετε ποιο είναι το όριο, και μπορείτε να βρείτε τα πιο απλά όρια. Ωστόσο, δεν πειράζει, στην πορεία των επεξηγήσεων θα δώσω τους κατάλληλους συνδέσμους για τα απαραίτητα μαθήματα. Για ορισμένους αναγνώστες, το θέμα των μαθηματικών σειρών, των μεθόδων επίλυσης, των σημείων, των θεωρημάτων μπορεί να φαίνεται περίεργο, ακόμη και προσχηματικό, παράλογο. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται να «φορτώνετε» πολύ, δεχόμαστε τα γεγονότα ως έχουν και απλώς μαθαίνουμε να επιλύουμε τυπικές, κοινές εργασίες.

1) Σειρές για τσαγιέρες, και για σαμοβάρ αμέσως περιεχόμενο :)

Για εξαιρετικά γρήγορη προετοιμασία σε ένα θέμαυπάρχει ένα μάθημα express σε μορφή pdf, με τη βοήθεια του οποίου είναι πραγματικά δυνατό να "ανεβάσεις" την πρακτική σε μόλις μια μέρα.

Η έννοια μιας σειράς αριθμών

Γενικά σειρά αριθμώνμπορεί να γραφτεί ως εξής:
Εδώ:
- μαθηματικό εικονίδιο του αθροίσματος.
– κοινός όρος της σειράς(θυμηθείτε αυτόν τον απλό όρο).
- μεταβλητή - "μετρητής". Η εγγραφή σημαίνει ότι η άθροιση πραγματοποιείται από το 1 στο "συν άπειρο", δηλαδή, πρώτα έχουμε , μετά , μετά , και ούτω καθεξής - στο άπειρο. Μια μεταβλητή ή χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί για μια μεταβλητή. Η άθροιση δεν ξεκινά απαραίτητα από το ένα, σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να ξεκινήσει από το μηδέν, από δύο ή από οποιοδήποτε φυσικός αριθμός.

Σύμφωνα με τη μεταβλητή "counter", οποιαδήποτε σειρά μπορεί να ζωγραφιστεί λεπτομερώς:
– και ούτω καθεξής επ’ άπειρον.

Οροι - Αυτό ΑΡΙΘΜΟΙ, που ονομάζονται μέλησειρά. Αν είναι όλα μη αρνητικά (μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν), τότε μια τέτοια σειρά ονομάζεται θετική αριθμητική γραμμή.

Παράδειγμα 1

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ήδη ένα έργο "μάχης" - στην πράξη, αρκετά συχνά απαιτείται η εγγραφή πολλών μελών της σειράς.

Πρώτα, λοιπόν:
Τότε, τότε:
Τότε, τότε:

Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον, αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση, χρειάστηκε να γραφτούν οι τρεις πρώτοι όροι της σειράς, οπότε γράφουμε την απάντηση:

Σημειώστε τη θεμελιώδη διαφορά από σειρά αριθμών,
στην οποία οι όροι δεν συνοψίζονται, αλλά αντιμετωπίζονται ως τέτοιοι.

Παράδειγμα 2

Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της σειράς

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως, η απάντηση βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Ακόμη και για μια φαινομενικά πολύπλοκη σειρά, δεν είναι δύσκολο να την περιγράψεις σε διευρυμένη μορφή:

Παράδειγμα 3

Γράψτε τους τρεις πρώτους όρους της σειράς

Στην πραγματικότητα, η εργασία εκτελείται προφορικά: διανοητικά υποκατάστατο στον κοινό όρο της σειράςπρώτα , μετά και . Τελικά:

Αφήστε την απάντηση έτσι είναι προτιμότερο να μην απλοποιηθούν οι όροι της σειράς, δηλ δεν συμμορφώνονταιΕνέργειες: , , . Γιατί; Απαντήστε στη φόρμα πολύ πιο εύκολο και πιο βολικό για τον δάσκαλο να ελέγξει.

Μερικές φορές υπάρχει και το αντίστροφο

Παράδειγμα 4

Δεν υπάρχει σαφής αλγόριθμος λύσης εδώ. αρκεί να δεις το μοτίβο.
Σε αυτήν την περίπτωση:

Για επαλήθευση, η προκύπτουσα σειρά μπορεί να "ζωγραφιστεί πίσω" σε εκτεταμένη μορφή.

Αλλά το παράδειγμα είναι λίγο πιο δύσκολο για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Γράψτε το άθροισμα σε σύμπτυξη με έναν κοινό όρο της σειράς

Ελέγξτε ξανά γράφοντας τη σειρά σε διευρυμένη μορφή

Σύγκλιση σειρών αριθμών

Ένας από τους βασικούς στόχους του θέματος είναι εξέταση μιας σειράς για σύγκλιση. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατές δύο περιπτώσεις:

1) Σειράαποκλίνει. Αυτό σημαίνει ότι ένα άπειρο άθροισμα είναι ίσο με το άπειρο: είτε αθροίζει γενικά δεν υπάρχει, όπως, για παράδειγμα, στη σειρά
(παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα παράδειγμα μιας σειράς με αρνητικούς όρους). Ένα καλό παράδειγμα μιας σειράς διαφορετικών αριθμών συναντήθηκε στην αρχή του μαθήματος: . Εδώ είναι προφανές ότι κάθε επόμενος όρος της σειράς είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο, επομένως και ως εκ τούτου η σειρά αποκλίνει. Ένα ακόμη πιο ασήμαντο παράδειγμα: .

2) Σειράσυγκλίνει. Αυτό σημαίνει ότι ένα άπειρο άθροισμα είναι ίσο με κάποιο τελικός αριθμός: . Παρακαλώ: Αυτή η σειρά συγκλίνει και το άθροισμά της είναι μηδέν. Ένα πιο ουσιαστικό παράδειγμα είναι απείρως μειώνεταιγεωμετρική πρόοδος, γνωστή σε εμάς από το σχολείο: . Το άθροισμα των μελών μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο: , όπου είναι το πρώτο μέλος της προόδου και είναι η βάση της, η οποία, κατά κανόνα, γράφεται ως σωστόςκλάσματα. Σε αυτήν την περίπτωση: , . Ετσι: Λαμβάνεται ένας πεπερασμένος αριθμός, που σημαίνει ότι η σειρά συγκλίνει, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ωστόσο, στη συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων βρείτε το άθροισμα της σειράςδεν είναι τόσο απλό, και ως εκ τούτου, στην πράξη, για τη μελέτη της σύγκλισης της σειράς, χρησιμοποιούνται ειδικά σημάδια, τα οποία έχουν αποδειχθεί θεωρητικά.

Υπάρχουν πολλά σημάδια σύγκλισης μιας σειράς: απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση μιας σειράς, κριτήρια σύγκρισης, κριτήριο d'Alembert, κριτήρια Cauchy, σημάδι του Leibnizκαι κάποια άλλα σημάδια. Πότε να εφαρμόσετε ποιο σημάδι;Εξαρτάται από τον κοινό όρο της σειράς, μεταφορικά μιλώντας - από το «γέμισμα» της σειράς. Και πολύ σύντομα θα τα βάλουμε όλα στα ράφια.

! Για περαιτέρω μάθηση, χρειάζεστε καταλαβαίνω καλά, ποιο είναι το όριο και καλό είναι να μπορούμε να αποκαλύψουμε την αβεβαιότητα της μορφής. Για επανάληψη ή μελέτη του υλικού, ανατρέξτε στο άρθρο Όρια. Παραδείγματα λύσεων.

Απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση μιας σειράς

Εάν η σειρά συγκλίνει, τότε ο κοινός όρος της τείνει στο μηδέν: .

Το αντίστροφο δεν ισχύει στη γενική περίπτωση, δηλαδή εάν , τότε η σειρά μπορεί και να συγκλίνει και να αποκλίνει. Και έτσι αυτό το σημάδι χρησιμοποιείται για να δικαιολογήσει απόκλισησειρά:

Αν ο κοινός όρος της σειράς δεν πάει στο μηδέν, τότε η σειρά αποκλίνει

Ή εν συντομία: αν , τότε η σειρά αποκλίνει. Ειδικότερα, μια κατάσταση είναι δυνατή όταν το όριο δεν υπάρχει καθόλου, όπως, για παράδειγμα, όριο. Εδώ τεκμηρίωσαν αμέσως την απόκλιση μιας σειράς :)

Πολύ πιο συχνά όμως το όριο της αποκλίνουσας σειράς ισούται με το άπειρο, ενώ αντί για «x» λειτουργεί ως «δυναμική» μεταβλητή. Ας ανανεώσουμε τις γνώσεις μας: τα όρια με "x" ονομάζονται όρια συναρτήσεων και τα όρια με μια μεταβλητή "en" - όρια αριθμητικών ακολουθιών. Η προφανής διαφορά είναι ότι η μεταβλητή "en" παίρνει διακριτές (ασυνεχείς) φυσικές τιμές: 1, 2, 3, κ.λπ. Αλλά αυτό το γεγονός έχει μικρή επίδραση στις μεθόδους για την επίλυση των ορίων και τις μεθόδους για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων.

Ας αποδείξουμε ότι η σειρά από το πρώτο παράδειγμα διαφέρει.
Κοινό μέλος της σειράς:

συμπέρασμα: σειρά αποκλίνει

Το απαραίτητο χαρακτηριστικό χρησιμοποιείται συχνά σε πραγματικές πρακτικές εργασίες:

Παράδειγμα 6

Έχουμε πολυώνυμα στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Αυτός που διάβασε προσεκτικά και κατάλαβε τη μέθοδο αποκάλυψης της αβεβαιότητας στο άρθρο Όρια. Παραδείγματα λύσεων, σίγουρα το έπιασε όταν οι υψηλότερες δυνάμεις του αριθμητή και του παρονομαστή ίσος, τότε το όριο είναι τελικός αριθμός .

Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με

Σειρά Μελέτης αποκλίνει, αφού δεν ικανοποιείται το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.

Παράδειγμα 7

Εξετάστε τη σειρά για σύγκλιση

Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου". Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος

Έτσι, όταν μας δίνεται ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ σειρά αριθμών, πρωτίστωςελέγχουμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο): τείνει ο κοινός όρος του στο μηδέν; Εάν δεν επιδιώκει, συντάσσουμε μια λύση ακολουθώντας το παράδειγμα των παραδειγμάτων Νο. 6, 7 και δίνουμε την απάντηση ότι η σειρά αποκλίνει.

Ποιους τύπους φαινομενικά αποκλίνουσες σειρές έχουμε εξετάσει; Είναι αμέσως σαφές ότι οι σειρές αρέσουν ή αποκλίνουν. Οι σειρές από τα παραδείγματα Νο. 6, 7 διαφέρουν επίσης: όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν πολυώνυμα και ο υψηλότερος βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον υψηλότερο βαθμό του παρονομαστή. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, κατά την επίλυση και το σχεδιασμό παραδειγμάτων, χρησιμοποιούμε το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.

Γιατί ονομάζεται η πινακίδα απαραίτητη? Κατανοήστε με τον πιο φυσικό τρόπο: για να συγκλίνει η σειρά, απαραίτητηώστε ο κοινός όρος του να τείνει στο μηδέν. Και όλα θα ήταν καλά, αλλά αυτό όχι αρκετά. Με άλλα λόγια, αν ο κοινός όρος της σειράς τείνει στο μηδέν, ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι η σειρά συγκλίνει- μπορεί και να συγκλίνει και να αποκλίνει!

Συναντώ:

Αυτή η σειρά ονομάζεται αρμονική σειρά. Παρακαλώ θυμηθείτε! Ανάμεσα στις αριθμητικές σειρές, είναι και πρίμα μπαλαρίνα. Πιο συγκεκριμένα, μπαλαρίνα =)

Είναι εύκολο να το δεις αυτό , ΑΛΛΑ. Στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης, αποδεικνύεται ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει.

Θα πρέπει επίσης να θυμάστε την έννοια μιας γενικευμένης αρμονικής σειράς:

1) Αυτή η σειρά αποκλίνειστο . Για παράδειγμα, οι σειρές αποκλίνουν, , .
2) Αυτή η σειρά συγκλίνειστο . Για παράδειγμα, η σειρά , , . Τονίζω για άλλη μια φορά ότι σχεδόν σε όλες τις πρακτικές εργασίες δεν μας ενδιαφέρει καθόλου ποιο είναι το άθροισμα, για παράδειγμα, της σειράς, το ίδιο το γεγονός της σύγκλισης είναι σημαντικό.

Αυτά είναι στοιχειώδη στοιχεία από τη θεωρία των σειρών που έχουν ήδη αποδειχθεί και όταν λύνει κανείς κάποιο πρακτικό παράδειγμα, μπορεί να αναφερθεί με ασφάλεια, για παράδειγμα, στην απόκλιση της σειράς ή στη σύγκλιση της σειράς.

Γενικά, το υπό εξέταση υλικό είναι πολύ παρόμοιο με μελέτη ακατάλληλων ολοκληρωμάτων, και όσοι έχουν μελετήσει αυτό το θέμα θα το βρουν πιο εύκολα. Λοιπόν, για όσους δεν έχουν σπουδάσει, είναι διπλά πιο εύκολο :)

Λοιπόν, τι να κάνετε εάν ο κοινός όρος της σειράς ΜΗΝΙΣΕΙ;Σε τέτοιες περιπτώσεις, για να λύσετε παραδείγματα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε άλλα, επαρκής σημάδια σύγκλισης / απόκλισης:

Κριτήρια σύγκρισης για θετικές σειρές αριθμών

Εφιστώ την προσοχή σαςότι εδώ μιλάμε μόνο για θετικές αριθμητικές σειρές (με μη αρνητικά μέλη).

Υπάρχουν δύο σημεία σύγκρισης, ένα από αυτά θα καλέσω απλά σημάδι σύγκρισης, αλλο - περιοριστικό σημάδι σύγκρισης.

Πρώτα σκεφτείτε σημάδι σύγκρισης, ή μάλλον, το πρώτο μέρος του:

Θεωρήστε δύο θετικές αριθμητικές σειρές και . Αν είναι γνωστό, ότι η σειρά είναι συγκλίνει, και, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό , ισχύει η ανισότητα και μετά η σειρά συγκλίνει επίσης.

Με άλλα λόγια: Η σύγκλιση μιας σειράς με μεγαλύτερους όρους συνεπάγεται τη σύγκλιση μιας σειράς με μικρότερους όρους. Στην πράξη, η ανισότητα συχνά ικανοποιείται γενικά για όλες τις τιμές των:

Παράδειγμα 8

Εξετάστε τη σειρά για σύγκλιση

Αρχικά, ελέγχουμε(διανοητικά ή σε προσχέδιο) εκτέλεση:
, που σημαίνει ότι δεν ήταν δυνατό να «κατέβει με λίγο αίμα».

Εξετάζουμε το «πακέτο» της γενικευμένης αρμονικής σειράς και, εστιάζοντας στον υψηλότερο βαθμό, βρίσκουμε μια παρόμοια σειρά: Είναι γνωστό από τη θεωρία ότι συγκλίνει.

Για όλους τους φυσικούς αριθμούς ισχύει η προφανής ανισότητα:

και οι μεγαλύτεροι παρονομαστές αντιστοιχούν σε μικρότερα κλάσματα:
, που σημαίνει ότι, σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .

Εάν έχετε αμφιβολίες, τότε η ανισότητα μπορεί πάντα να ζωγραφιστεί λεπτομερώς!Ας γράψουμε την κατασκευασμένη ανισότητα για πολλούς αριθμούς "en":
Αν τότε
Αν τότε
Αν τότε
Αν τότε
….
και τώρα είναι αρκετά σαφές ότι η ανισότητα ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς "en".

Ας αναλύσουμε το κριτήριο σύγκρισης και το λυμένο παράδειγμα από μια άτυπη σκοπιά. Ωστόσο, γιατί η σειρά συγκλίνει; Να γιατί. Αν η σειρά συγκλίνει, τότε έχει κάποια τελικόςποσό: . Και αφού όλα τα μέλη της σειράς μικρότεροςαντίστοιχα μέλη της σειράς, τότε το κούτσουρο είναι σαφές ότι το άθροισμα της σειράς δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό, και ακόμη περισσότερο, δεν μπορεί να είναι ίσο με το άπειρο!

Ομοίως, μπορούμε να αποδείξουμε τη σύγκλιση "παρόμοιων" σειρών: , , και τα λοιπά.

! Σημείωσηότι σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε «συν» στους παρονομαστές. Η παρουσία τουλάχιστον ενός μείον μπορεί να περιπλέξει σοβαρά τη χρήση του εξεταζόμενου δυνατότητα σύγκρισης. Για παράδειγμα, εάν η σειρά συγκριθεί με τον ίδιο τρόπο με μια συγκλίνουσα σειρά (γράψτε αρκετές ανισότητες για τους πρώτους όρους), τότε η συνθήκη δεν θα εκπληρωθεί καθόλου! Εδώ μπορείτε να αποφύγετε και να επιλέξετε για σύγκριση μια άλλη συγκλίνουσα σειρά, για παράδειγμα, , αλλά αυτό θα συνεπάγεται περιττές κρατήσεις και άλλες περιττές δυσκολίες. Επομένως, για να αποδειχθεί η σύγκλιση μιας σειράς, είναι πολύ πιο εύκολο να χρησιμοποιηθεί κριτήριο οριακής σύγκρισης(βλ. επόμενη παράγραφο).

Παράδειγμα 9

Εξετάστε τη σειρά για σύγκλιση

Και σε αυτό το παράδειγμα, σας προτείνω να σκεφτείτε μόνοι σας το δεύτερο μέρος της δυνατότητας σύγκρισης:

Αν είναι γνωστό, ότι η σειρά είναι αποκλίνει, και ξεκινώντας από κάποιο αριθμό (συχνά από την πρώτη κιόλας)ισχύει η ανισότητα, τότε η σειρά επίσης αποκλίνει.

Με άλλα λόγια: Η απόκλιση της σειράς με μικρότερους όρους συνεπάγεται την απόκλιση της σειράς με μεγαλύτερους όρους.

Τι πρέπει να γίνει?
Είναι απαραίτητο να συγκριθεί η υπό μελέτη σειρά με μια αποκλίνουσα αρμονική σειρά. Για καλύτερη κατανόηση, κατασκευάστε ορισμένες συγκεκριμένες ανισότητες και βεβαιωθείτε ότι η ανισότητα είναι αληθής.

Σχέδιο λύσης και δείγματος στο τέλος του μαθήματος.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, στην πράξη το χαρακτηριστικό σύγκρισης που μόλις εξετάστηκε χρησιμοποιείται σπάνια. Το πραγματικό «άλογο εργασίας» της σειράς αριθμών είναι κριτήριο οριακής σύγκρισης, και μόνο ως προς τη συχνότητα χρήσης σημάδι του d'Alembert.

Οριακό πρόσημο σύγκρισης αριθμητικών θετικών σειρών

Θεωρήστε δύο θετικές αριθμητικές σειρές και . Αν το όριο του λόγου των κοινών μελών αυτών των σειρών είναι ίσο με πεπερασμένος μη μηδενικός αριθμός: , τότε και οι δύο σειρές συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα.

Πότε χρησιμοποιείται το κριτήριο σύγκρισης ορίων;Το οριακό πρόσημο σύγκρισης χρησιμοποιείται όταν η «γέμιση» της σειράς είναι πολυώνυμα. Είτε ένα πολυώνυμο στον παρονομαστή, είτε πολυώνυμα και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Προαιρετικά, τα πολυώνυμα μπορούν να είναι κάτω από τις ρίζες.

Ας ασχοληθούμε με τη σειρά για την οποία το προηγούμενο σημάδι σύγκρισης σταμάτησε.

Παράδειγμα 10

Εξετάστε τη σειρά για σύγκλιση

Συγκρίνετε αυτή τη σειρά με τη συγκλίνουσα σειρά. Χρησιμοποιούμε το οριακό τεστ σύγκρισης. Είναι γνωστό ότι η σειρά συγκλίνει. Αν μπορούμε να δείξουμε ότι είναι τελικό μη μηδενικόνούμερο, θα αποδειχθεί ότι και η σειρά συγκλίνει.

Λαμβάνεται ένας πεπερασμένος, μη μηδενικός αριθμός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .

Γιατί επιλέχθηκε η σειρά για σύγκριση; Αν είχαμε επιλέξει κάποια άλλη σειρά από το «κλιπ» της γενικευμένης αρμονικής σειράς, τότε δεν θα είχαμε πετύχει το όριο τελικό μη μηδενικόαριθμοί (μπορείτε να πειραματιστείτε).

Σημείωση: όταν χρησιμοποιούμε τη δυνατότητα οριακής σύγκρισης, άσχετος, με ποια σειρά να συντεθεί η σχέση των κοινών μελών, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, η σχέση θα μπορούσε να σχεδιαστεί αντίστροφα: - αυτό δεν θα άλλαζε την ουσία του θέματος.