Εισαγωγή. Επεξεργασία αποτελεσμάτων μετρήσεων στη φυσική πρακτική Μετρήσεις και σφάλματα μέτρησης Ανάλυση αποτελεσμάτων άμεσης μέτρησης

Τα τυχαία σφάλματα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες.

Με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, σφάλματα του ίδιου μεγέθους αλλά αντίθετου πρόσημου συμβαίνουν εξίσου συχνά.

Τα μεγάλα σφάλματα είναι λιγότερο πιθανό να συμβούν από τα μικρά. Από τις σχέσεις (1), ξαναγράφοντάς τες στη μορφή

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

και αθροίζοντας σε μια στήλη, μπορείτε να προσδιορίσετε την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής ως εξής:

ή
.

(2)

εκείνοι. η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των αποτελεσμάτων της μέτρησης, αν υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτά. Με περιορισμένο, και ακόμη περισσότερο με μικρό αριθμό μετρήσεων, που συνήθως αντιμετωπίζουμε στην πράξη, η ισότητα (2) είναι κατά προσέγγιση.

Ας ληφθούν οι ακόλουθες τιμές της μετρούμενης ποσότητας X ως αποτέλεσμα πολλών μετρήσεων: 13,4; 13.2; 13.3; 13.4; 13.3; 13.2; 13.1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1. Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα της κατανομής αυτών των αποτελεσμάτων, σχεδιάζοντας τις μετρήσεις του οργάνου κατά μήκος του άξονα της τετμημένης σε αύξουσα σειρά. Οι αποστάσεις μεταξύ γειτονικών σημείων κατά μήκος του άξονα της τετμημένης είναι ίσες με το διπλάσιο του μέγιστου σφάλματος ανάγνωσης στο όργανο. Στην περίπτωσή μας, η αντίστροφη μέτρηση γίνεται μέχρι το 0,1. Αυτό ισούται με μία διαίρεση της κλίμακας που σημειώνεται στον άξονα x. Στον άξονα τεταγμένων, σχεδιάζουμε τιμές ανάλογες με τον σχετικό αριθμό των αποτελεσμάτων που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη ένδειξη της συσκευής. Ο σχετικός αριθμός, ή η σχετική συχνότητα των αποτελεσμάτων ίση με x k, θα συμβολίζεται με W(x k). Στην περίπτωσή μας

Αντιστοιχίζουμε κάθε x σε

(3)

όπου Α είναι ο συντελεστής αναλογικότητας.

Το διάγραμμα, το οποίο ονομάζεται ιστόγραμμα, διαφέρει από το συνηθισμένο γράφημα στο ότι τα σημεία δεν συνδέονται με μια ομαλή καμπύλη γραμμή, αλλά χαράσσονται βήματα μέσα από αυτά. Είναι προφανές ότι το εμβαδόν του βήματος πάνω από κάποια τιμή του x k είναι ανάλογο με τη σχετική συχνότητα εμφάνισης αυτού του αποτελέσματος. Επιλέγοντας τον συντελεστή αναλογικότητας στην έκφραση (3) με κατάλληλο τρόπο, αυτή η περιοχή μπορεί να ισούται με τη σχετική συχνότητα του αποτελέσματος x k. Στη συνέχεια το άθροισμα των εμβαδών όλων των βημάτων, ως το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων όλων αποτελέσματα, θα πρέπει να είναι ίσο με ένα

Από εδώ βρίσκουμε Α=10. Η συνθήκη (4) ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης για τη συνάρτηση (3).

Εάν κάνετε μια σειρά μετρήσεων με n μετρήσεις σε κάθε σειρά, τότε με ένα μικρό n οι σχετικές συχνότητες της ίδιας τιμής x k που βρέθηκαν από διαφορετικές σειρές μπορεί να διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους. Καθώς ο αριθμός των μετρήσεων στη σειρά αυξάνεται, οι διακυμάνσεις στις τιμές του W(x k) μειώνονται και αυτές οι τιμές πλησιάζουν έναν συγκεκριμένο σταθερό αριθμό, ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα του αποτελέσματος x k και συμβολίζεται με P (x k ).

Ας υποθέσουμε ότι, ενώ κάνουμε ένα πείραμα, δεν υπολογίζουμε το αποτέλεσμα σε ολόκληρες διαιρέσεις της κλίμακας ή των μεριδίων τους, αλλά μπορούμε να διορθώσουμε το σημείο όπου σταμάτησε το βέλος. Στη συνέχεια, για έναν απείρως μεγάλο αριθμό μετρήσεων, το βέλος θα επισκεφθεί κάθε σημείο της κλίμακας. Η κατανομή των αποτελεσμάτων της μέτρησης σε αυτή την περίπτωση αποκτά έναν συνεχή χαρακτήρα και περιγράφεται από μια συνεχή καμπύλη y=f(x) αντί για ένα κλιμακωτό ιστόγραμμα. Με βάση τις ιδιότητες των τυχαίων σφαλμάτων, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η καμπύλη πρέπει να είναι συμμετρική και, επομένως, το μέγιστο πέφτει στον αριθμητικό μέσο όρο των αποτελεσμάτων της μέτρησης, που είναι ίσος με την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Σε περίπτωση συνεχούς κατανομής των αποτελεσμάτων των μετρήσεων, δεν υπάρχει

έχει νόημα να μιλάμε για την πιθανότητα κάποιας από τις τιμές τους, γιατί υπάρχουν τιμές αυθαίρετα κοντά σε αυτήν που εξετάζουμε. Τώρα θα πρέπει ήδη να θέσουμε το ζήτημα της πιθανότητας να συναντήσουμε κατά τις μετρήσεις το αποτέλεσμα σε ένα ορισμένο διάστημα γύρω από την τιμή του x k, ίσο με
,
. Ακριβώς όπως στο ιστόγραμμα η σχετική συχνότητα του αποτελέσματος x ισοδυναμούσε με το εμβαδόν του βήματος που χτίστηκε πάνω από αυτό το αποτέλεσμα, στο γράφημα για μια συνεχή κατανομή η πιθανότητα εύρεσης του αποτελέσματος στο διάστημα (
,
) είναι ίσο με το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που κατασκευάζεται σε αυτό το διάστημα και οριοθετείται από την καμπύλη f(x). Η μαθηματική σημειογραφία αυτού του αποτελέσματος είναι

αν
λίγο, δηλ. το εμβαδόν του εκκολαφθέντος καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς αντικαθίσταται από το κατά προσέγγιση εμβαδόν ενός ορθογωνίου με την ίδια βάση και ύψος ίσο με f(xk). Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται πυκνότητα πιθανότητας της κατανομής των αποτελεσμάτων της μέτρησης. Η πιθανότητα εύρεσης του x σε κάποιο διάστημα είναι ίση με την πυκνότητα πιθανότητας για το δεδομένο διάστημα πολλαπλασιαζόμενη με το μήκος του.

Η καμπύλη κατανομής των αποτελεσμάτων μέτρησης που λήφθηκαν πειραματικά για ένα συγκεκριμένο τμήμα της κλίμακας οργάνων, εάν συνεχιστεί, προσεγγίζοντας ασυμπτωτικά τον άξονα της τετμημένης από αριστερά και δεξιά, περιγράφεται αναλυτικά καλά από μια συνάρτηση της μορφής

(5)

Όπως το συνολικό εμβαδόν όλων των βημάτων στο ιστόγραμμα ήταν ίσο με ένα, ολόκληρη η περιοχή μεταξύ της καμπύλης f (x) και του άξονα της τετμημένης, που έχει την έννοια της πιθανότητας να συναντηθεί τουλάχιστον κάποια τιμή του x κατά τη διάρκεια μετρήσεις, είναι επίσης ίσο με ένα. Η κατανομή που περιγράφεται από αυτή τη συνάρτηση ονομάζεται κανονική κατανομή. Η κύρια παράμετρος της κανονικής κατανομής είναι η διακύμανση  2 . Η κατά προσέγγιση τιμή της διασποράς μπορεί να βρεθεί από τα αποτελέσματα των μετρήσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο

(6)

Αυτός ο τύπος δίνει μια διασπορά κοντά στην πραγματική τιμή μόνο για μεγάλο αριθμό μετρήσεων. Για παράδειγμα, το σ 2 που βρέθηκε από τα αποτελέσματα 100 μετρήσεων μπορεί να έχει απόκλιση από την πραγματική τιμή 15%, που βρέθηκε από 10 μετρήσεις ήδη 40%. Η διακύμανση καθορίζει το σχήμα της καμπύλης κανονικής κατανομής. Όταν τα τυχαία σφάλματα είναι μικρά, η διασπορά, όπως προκύπτει από το (6), είναι μικρή. Η καμπύλη f(x) σε αυτή την περίπτωση είναι στενότερη και πιο ευκρινής κοντά στην πραγματική τιμή του X και τείνει να μηδενίζεται ταχύτερα όταν απομακρύνεται από αυτήν παρά με μεγάλα σφάλματα. Το παρακάτω σχήμα θα δείξει πώς αλλάζει η μορφή της καμπύλης f(x) για μια κανονική κατανομή ανάλογα με το σ.

Στη θεωρία πιθανοτήτων, αποδεικνύεται ότι αν λάβουμε υπόψη όχι την κατανομή των αποτελεσμάτων των μετρήσεων, αλλά την κατανομή των μέσων αριθμητικών τιμών που βρέθηκαν από μια σειρά n μετρήσεων σε κάθε σειρά, τότε υπακούει επίσης στον κανονικό νόμο, αλλά με διασπορά δηλαδή n φορές μικρότερο.

Η πιθανότητα να βρεθεί το αποτέλεσμα της μέτρησης σε ένα ορισμένο διάστημα (
) κοντά στην πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής ισούται με το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς χτισμένου σε αυτό το διάστημα και οριοθετημένο από πάνω από την καμπύλη f(x). Τιμή διαστήματος
συνήθως μετριέται σε μονάδες ανάλογες με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης
Ανάλογα με την τιμή του k ανά διάστημα
υπάρχει καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές μεγαλύτερης ή μικρότερης επιφάνειας, δηλ.

όπου F(k) είναι κάποια συνάρτηση του k. Οι υπολογισμοί δείχνουν ότι για

k=1,

k=2,

k=3,

Αυτό δείχνει ότι στο μεσοδιάστημα
αντιπροσωπεύει περίπου το 95% της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη f(x). Αυτό το γεγονός συμφωνεί πλήρως με τη δεύτερη ιδιότητα των τυχαίων σφαλμάτων, η οποία δηλώνει ότι τα μεγάλα σφάλματα είναι απίθανο. Σφάλματα μεγαλύτερα από
, εμφανίζεται με πιθανότητα μικρότερη από 5%. Η έκφραση (7) που ξαναγράφεται για την κατανομή του αριθμητικού μέσου όρου των n μετρήσεων παίρνει τη μορφή

(8)

αξία στα (7) και (8) μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τα αποτελέσματα των μετρήσεων μόνο κατά προσέγγιση από τον τύπο (6)

Αντικατάσταση αυτής της τιμής στην έκφραση (8), θα πάρουμε στα δεξιά όχι F (k), αλλά κάποια νέα συνάρτηση, ανάλογα όχι μόνο με το μέγεθος του εξεταζόμενου διαστήματος των τιμών X, αλλά και από τον αριθμό των μετρήσεων που έγιναν
Και

επειδή Μόνο για πολύ μεγάλο αριθμό μετρήσεων ο τύπος (6) γίνεται αρκετά ακριβής.

Έχοντας λύσει το σύστημα δύο ανισώσεων σε αγκύλες στην αριστερή πλευρά αυτής της παράστασης σε σχέση με την πραγματική τιμή του X, μπορούμε να το ξαναγράψουμε με τη μορφή

Η έκφραση (9) καθορίζει την πιθανότητα με την οποία η πραγματική τιμή του X βρίσκεται σε ένα ορισμένο διάστημα μήκους σχετικά με την αξία . Αυτή η πιθανότητα στη θεωρία των σφαλμάτων ονομάζεται αξιοπιστία και το διάστημα που αντιστοιχεί σε αυτήν για την πραγματική τιμή ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης. Λειτουργία
υπολογίζεται ανάλογα με τα t n και n και έχει καταρτιστεί αναλυτικός πίνακας για αυτό. Ο πίνακας έχει 2 εισόδους: pt n και n. Με τη βοήθειά του, για έναν δεδομένο αριθμό μετρήσεων n, είναι δυνατό να βρεθεί, δεδομένης μιας ορισμένης τιμής αξιοπιστίας Р, η τιμή του t n, που ονομάζεται συντελεστής Student.

Μια ανάλυση του πίνακα δείχνει ότι για έναν ορισμένο αριθμό μετρήσεων με την απαίτηση αυξανόμενης αξιοπιστίας, λαμβάνουμε αυξανόμενες τιμές t n, δηλ. αύξηση του διαστήματος εμπιστοσύνης. Μια αξιοπιστία ίση με ένα θα αντιστοιχούσε σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης ίσο με το άπειρο. Με δεδομένη κάποια αξιοπιστία, μπορούμε να κάνουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή πιο στενό αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων, καθώς το S n δεν αλλάζει πολύ και μειώνεται και μειώνοντας τον αριθμητή και αυξάνοντας τον παρονομαστή. Έχοντας κάνει επαρκή αριθμό πειραμάτων, είναι δυνατό να γίνει ένα διάστημα εμπιστοσύνης οποιασδήποτε μικρής τιμής. Αλλά για μεγάλα n, μια περαιτέρω αύξηση στον αριθμό των πειραμάτων μειώνει πολύ αργά το διάστημα εμπιστοσύνης και η ποσότητα της υπολογιστικής εργασίας αυξάνεται πολύ. Μερικές φορές στην πρακτική εργασία είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε έναν κατά προσέγγιση κανόνα: για να μειωθεί το διάστημα εμπιστοσύνης που βρέθηκε από έναν μικρό αριθμό μετρήσεων κατά πολλές φορές, είναι απαραίτητο να αυξηθεί ο αριθμός των μετρήσεων κατά τον ίδιο παράγοντα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΜΕΣΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Ας πάρουμε ως πειραματικά δεδομένα τα τρία πρώτα αποτελέσματα από τα 12, σύμφωνα με τα οποία κατασκευάστηκε το ιστόγραμμα Χ: 13,4; 13.2; 13.3.

Ας αναρωτηθούμε την αξιοπιστία, που συνήθως γίνεται αποδεκτή στο εκπαιδευτικό εργαστήριο, P = 95%. Από τον πίνακα για P = 0,95 και n = 3 βρίσκουμε t n = 4,3.

με 95% αξιοπιστία. Το τελευταίο αποτέλεσμα συνήθως γράφεται ως ισότητα

Εάν το διάστημα εμπιστοσύνης μιας τέτοιας τιμής δεν ταιριάζει (για παράδειγμα, στην περίπτωση που το σφάλμα οργάνου είναι 0,1) και θέλουμε να το μειώσουμε στο μισό, θα πρέπει να διπλασιάσουμε τον αριθμό των μετρήσεων.

Αν πάρουμε, για παράδειγμα, τις τελευταίες 6 τιμέςτων ίδιων 12 αποτελεσμάτων (για τα πρώτα έξι, προτείνεται να κάνετε τον υπολογισμό μόνοι σας)

Χ: 13,1; 13.3; 13.3; 13.2; 13.3; 13.1,

τότε

Η τιμή του συντελεστή t n βρίσκεται από τον πίνακα για Р = 0,95 και n = 6. tn = 2,6.

Σε αυτήν την περίπτωση
Ας σχεδιάσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική τιμή στην πρώτη και στη δεύτερη περίπτωση στον αριθμητικό άξονα.

Το διάστημα που υπολογίζεται από 6 μετρήσεις είναι, όπως αναμένεται, εντός του διαστήματος που βρέθηκε από τρεις μετρήσεις.

Το όργανο σφάλμα εισάγει ένα συστηματικό σφάλμα στα αποτελέσματα, το οποίο διευρύνει τα διαστήματα εμπιστοσύνης που απεικονίζονται στον άξονα κατά 0,1. Επομένως, τα αποτελέσματα που γράφτηκαν λαμβάνοντας υπόψη το σφάλμα οργάνου έχουν τη μορφή

1)
2)

Στη γενική περίπτωση, η διαδικασία επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων έχει ως εξής (υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα).

Περίπτωση 1Ο αριθμός των μετρήσεων είναι μικρότερος από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα Χ, ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων όλων των μετρήσεων, δηλ.

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), υπολογίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (14), προσδιορίζεται το μέσο απόλυτο σφάλμα

4) Σύμφωνα με τον τύπο (15), υπολογίζεται το μέσο σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης

5) Καταγράψτε το τελικό αποτέλεσμα στην ακόλουθη μορφή:

, στο
.

Περίπτωση 2. Ο αριθμός των μετρήσεων είναι πάνω από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), προσδιορίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (7), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μόνο μέτρησης

4) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση για τη μέση τιμή της μετρούμενης τιμής με τον τύπο (9).

5) Το τελικό αποτέλεσμα καταγράφεται στην παρακάτω φόρμα

Μερικές φορές τα τυχαία σφάλματα μέτρησης μπορεί να είναι μικρότερα από την τιμή που μπορεί να καταχωρήσει η συσκευή μέτρησης (όργανο). Σε αυτή την περίπτωση, για οποιονδήποτε αριθμό μετρήσεων, προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ως το μέσο απόλυτο σφάλμα
πάρτε τη μισή διαίρεση της κλίμακας του οργάνου (εργαλείου). Αυτή η τιμή μερικές φορές ονομάζεται περιοριστικό ή όργανο σφάλμα και υποδηλώνεται
(για όργανα βερνιέρου και χρονόμετρο
ίση με την ακρίβεια του οργάνου).

Εκτίμηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων

Σε κάθε πείραμα, ο αριθμός των μετρήσεων μιας φυσικής ποσότητας είναι πάντα περιορισμένος για τον ένα ή τον άλλο λόγο. Λόγω μεΑυτό μπορεί να είναι το καθήκον της αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος. Με άλλα λόγια, προσδιορίστε με ποια πιθανότητα μπορεί να υποστηριχθεί ότι το σφάλμα που έγινε σε αυτή την περίπτωση δεν υπερβαίνει την προκαθορισμένη τιμή ε. Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης. Ας το χαρακτηρίσουμε με ένα γράμμα.

Μπορεί επίσης να τεθεί ένα αντίστροφο πρόβλημα: να καθοριστούν τα όρια του διαστήματος
ώστε με δεδομένη πιθανότητα θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι η πραγματική τιμή των μετρήσεων της ποσότητας δεν θα υπερβαίνει το καθορισμένο, λεγόμενο διάστημα εμπιστοσύνης.

Το διάστημα εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την ακρίβεια του ληφθέντος αποτελέσματος και το διάστημα εμπιστοσύνης την αξιοπιστία του. Μέθοδοι για την επίλυση αυτών των δύο ομάδων προβλημάτων είναι διαθέσιμες και έχουν αναπτυχθεί με ιδιαίτερη λεπτομέρεια για την περίπτωση που τα σφάλματα μέτρησης κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο. Η θεωρία πιθανοτήτων παρέχει επίσης μεθόδους για τον προσδιορισμό του αριθμού των πειραμάτων (επαναλαμβανόμενες μετρήσεις) που παρέχουν μια δεδομένη ακρίβεια και αξιοπιστία του αναμενόμενου αποτελέσματος. Σε αυτήν την εργασία, αυτές οι μέθοδοι δεν λαμβάνονται υπόψη (θα περιοριστούμε να τις αναφέρουμε), καθώς τέτοιες εργασίες συνήθως δεν τίθενται κατά την εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει η περίπτωση αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος μετρήσεων φυσικών μεγεθών με πολύ μικρό αριθμό επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Για παράδειγμα,
. Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που συναντάμε συχνά στην εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών στη φυσική. Κατά την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων, συνιστάται η χρήση της μεθόδου που βασίζεται στην κατανομή του μαθητή (νόμος).

Για τη διευκόλυνση της πρακτικής εφαρμογής της υπό εξέταση μεθόδου, υπάρχουν πίνακες με τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης
που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης ή να λύσει το αντίστροφο πρόβλημα.

Ακολουθούν εκείνα τα μέρη των αναφερόμενων πινάκων που μπορεί να απαιτούνται κατά την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων σε εργαστηριακές τάξεις.

Ας, για παράδειγμα, παράγονται ίσες (υπό τις ίδιες συνθήκες) μετρήσεις κάποιου φυσικού μεγέθους και υπολόγισε τη μέση τιμή του . Απαιτείται να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί στο δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης . Το πρόβλημα γενικά λύνεται με τον ακόλουθο τρόπο.

Σύμφωνα με τον τύπο, λαμβάνοντας υπόψη το (7), υπολογίστε

Στη συνέχεια για δεδομένες τιμές nκαι βρείτε σύμφωνα με τον πίνακα (Πίνακας 2) την τιμή . Η τιμή που αναζητάτε υπολογίζεται με βάση τον τύπο

(16)

Κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος, η παράμετρος υπολογίζεται πρώτα χρησιμοποιώντας τον τύπο (16). Η επιθυμητή τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης λαμβάνεται από τον πίνακα (Πίνακας 3) για έναν δεδομένο αριθμό και υπολογισμένη παράμετρος .

Πίνακας 2.Τιμή παραμέτρου για δεδομένο αριθμό πειραμάτων

και επίπεδο εμπιστοσύνης

Πίνακας 3Η τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης για έναν δεδομένο αριθμό πειραμάτων nκαι παράμετρος ε

Οι κύριες διατάξεις των μεθόδων επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των άμεσων μετρήσεων με πολλαπλές παρατηρήσεις ορίζονται στο GOST 8.207-76.

Λάβετε ως αποτέλεσμα της μέτρησης μέση τιμή δεδομένα nπαρατηρήσεις, από τις οποίες εξαιρούνται τα συστηματικά σφάλματα. Υποτίθεται ότι τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων μετά τον αποκλεισμό συστηματικών σφαλμάτων από αυτά ανήκουν στην κανονική κατανομή. Για τον υπολογισμό του αποτελέσματος της μέτρησης, είναι απαραίτητο να εξαιρεθεί το συστηματικό σφάλμα από κάθε παρατήρηση και, ως αποτέλεσμα, να ληφθεί το διορθωμένο αποτέλεσμα Εγώ-η παρατήρηση. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των διορθωμένων αποτελεσμάτων στη συνέχεια υπολογίζεται και λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μέτρησης. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια συνεπής, αμερόληπτη και αποτελεσματική εκτίμηση του δείκτη μέτρησης υπό μια κανονική κατανομή δεδομένων παρατήρησης.

Πρέπει να σημειωθεί ότι μερικές φορές στη βιβλιογραφία, αντί του όρου αποτέλεσμα παρατήρησηςο όρος χρησιμοποιείται μερικές φορές αποτέλεσμα μίας μέτρησης, από το οποίο εξαιρούνται τα συστηματικά λάθη. Ταυτόχρονα, η αριθμητική μέση τιμή νοείται ως το αποτέλεσμα της μέτρησης σε αυτή τη σειρά πολλών μετρήσεων. Αυτό δεν αλλάζει την ουσία των διαδικασιών επεξεργασίας αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται παρακάτω.

Κατά την στατιστική επεξεργασία ομάδων αποτελεσμάτων παρατήρησης, θα πρέπει να εκτελούνται τα ακόλουθα: επιχειρήσεις :

1. Εξαλείψτε το γνωστό συστηματικό σφάλμα από κάθε παρατήρηση και λάβετε το διορθωμένο αποτέλεσμα της μεμονωμένης παρατήρησης Χ.

2. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο όρο των διορθωμένων αποτελεσμάτων παρατήρησης, που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της μέτρησης:

3. Υπολογίστε την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης

ομάδες παρατήρησης:

Ελέγξτε διαθεσιμότητα χονδροειδή λάθη – υπάρχουν τιμές που υπερβαίνουν το ±3 μικρό. Με έναν κανονικό νόμο κατανομής με πιθανότητα πρακτικά ίση με 1 (0,997), καμία από τις τιμές αυτής της διαφοράς δεν πρέπει να υπερβαίνει τα καθορισμένα όρια. Εάν είναι, τότε οι αντίστοιχες τιμές θα πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση και οι υπολογισμοί και η αξιολόγηση θα πρέπει να επαναληφθούν ξανά. ΜΙΚΡΟ.

4. Υπολογίστε την εκτίμηση RMS του αποτελέσματος της μέτρησης (μέσος όρος

αριθμητική)

5. Ελέγξτε την υπόθεση για την κανονική κατανομή των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων.

Υπάρχουν διάφορες κατά προσέγγιση μέθοδοι για τον έλεγχο της κανονικότητας της κατανομής των αποτελεσμάτων παρατήρησης. Μερικά από αυτά δίνονται στο GOST 8.207-76. Εάν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρότερος από 15, σύμφωνα με την παρούσα GOST, δεν ελέγχεται η ανήκότητά τους στην κανονική κατανομή. Τα όρια εμπιστοσύνης του τυχαίου σφάλματος καθορίζονται μόνο εάν είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων ανήκουν σε αυτή την κατανομή. Κατά προσέγγιση, η φύση της κατανομής μπορεί να κριθεί με την κατασκευή ενός ιστογράμματος των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων. Οι μαθηματικές μέθοδοι για τον έλεγχο της κανονικότητας μιας κατανομής συζητούνται στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία.

6. Υπολογίστε τα όρια εμπιστοσύνης e του τυχαίου σφάλματος (τυχαία συνιστώσα του σφάλματος) του αποτελέσματος της μέτρησης

που t q- Συντελεστής μαθητή, ανάλογα με τον αριθμό των παρατηρήσεων και το επίπεδο εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα, όταν n= 14, Π= 0,95 t q= 2,16. Οι τιμές αυτού του συντελεστή δίνονται στο προσάρτημα του καθορισμένου προτύπου.

7. Υπολογίστε τα όρια του συνολικού μη εξαιρούμενου συστηματικού σφάλματος (TSE) του αποτελέσματος μέτρησης Q (σύμφωνα με τους τύπους της Ενότητας 4.6).

8. Αναλύστε την αναλογία Q και :

Εάν , τότε το NSP παραμελείται σε σύγκριση με τα τυχαία σφάλματα και το όριο σφάλματος του αποτελέσματος D=e..Εάν > 8, τότε το τυχαίο σφάλμα μπορεί να αγνοηθεί και το όριο σφάλματος του αποτελέσματος D=Θ . Εάν και οι δύο ανισότητες δεν ικανοποιούνται, τότε το περιθώριο σφάλματος του αποτελέσματος βρίσκεται κατασκευάζοντας μια σύνθεση κατανομών τυχαίων σφαλμάτων και NSP σύμφωνα με τον τύπο: , όπου Προς την– συντελεστής ανάλογα με την αναλογία τυχαίου σφάλματος και NSP. S e- εκτίμηση της συνολικής τυπικής απόκλισης του αποτελέσματος της μέτρησης. Η εκτίμηση της συνολικής τυπικής απόκλισης υπολογίζεται από τον τύπο:

Ο συντελεστής Κ υπολογίζεται με τον εμπειρικό τύπο:

Το επίπεδο εμπιστοσύνης για τον υπολογισμό και πρέπει να είναι το ίδιο.

Το σφάλμα από την εφαρμογή του τελευταίου τύπου για τη σύνθεση ομοιόμορφων (για NSP) και κανονικών (για τυχαίο σφάλμα) κατανομών φτάνει το 12% σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,99.

9. Καταγράψτε το αποτέλεσμα της μέτρησης. Υπάρχουν δύο επιλογές για τη σύνταξη του αποτελέσματος της μέτρησης, καθώς είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ μετρήσεων, όταν η απόκτηση της τιμής της μετρούμενης ποσότητας είναι ο τελικός στόχος, και μετρήσεων, τα αποτελέσματα των οποίων θα χρησιμοποιηθούν για περαιτέρω υπολογισμούς ή ανάλυση.

Στην πρώτη περίπτωση, αρκεί να γνωρίζουμε το συνολικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης και με ένα συμμετρικό σφάλμα εμπιστοσύνης, τα αποτελέσματα της μέτρησης παρουσιάζονται με τη μορφή: , όπου

πού είναι το αποτέλεσμα της μέτρησης.

Στη δεύτερη περίπτωση, τα χαρακτηριστικά των στοιχείων του σφάλματος μέτρησης θα πρέπει να είναι γνωστά - η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης του αποτελέσματος της μέτρησης, τα όρια του NSP, ο αριθμός των παρατηρήσεων που έγιναν. Ελλείψει δεδομένων σχετικά με τη μορφή συναρτήσεων κατανομής των συνιστωσών σφάλματος του αποτελέσματος και την ανάγκη περαιτέρω επεξεργασίας των αποτελεσμάτων ή ανάλυσης σφαλμάτων, τα αποτελέσματα των μετρήσεων παρουσιάζονται με τη μορφή:

Εάν τα όρια του NSP υπολογίζονται σύμφωνα με την ενότητα 4.6, τότε υποδεικνύεται επιπλέον η πιθανότητα εμπιστοσύνης P.

Οι εκτιμήσεις και οι παράγωγοι της τιμής τους μπορούν να εκφραστούν τόσο σε απόλυτη μορφή, δηλαδή σε μονάδες της μετρούμενης ποσότητας, όσο και σε σχετική, δηλαδή, ως ο λόγος της απόλυτης τιμής μιας δεδομένης ποσότητας προς το αποτέλεσμα της μέτρησης. Στην περίπτωση αυτή, οι υπολογισμοί σύμφωνα με τους τύπους αυτής της ενότητας θα πρέπει να πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας ποσότητες που εκφράζονται μόνο σε απόλυτη ή σχετική μορφή.

Η φυσική είναι μια πειραματική επιστήμη, που σημαίνει ότι οι φυσικοί νόμοι θεσπίζονται και ελέγχονται με τη συσσώρευση και τη σύγκριση πειραματικών δεδομένων. Στόχος του φυσικού εργαστηρίου είναι οι μαθητές να γνωρίσουν τα βασικά φυσικά φαινόμενα, να μάθουν πώς να μετρούν σωστά τις αριθμητικές τιμές των φυσικών μεγεθών και να τις συγκρίνουν με θεωρητικούς τύπους.

Όλες οι μετρήσεις μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους - ευθείακαι έμμεσος.

Στο απευθείαςΣτις μετρήσεις, η τιμή της επιθυμητής ποσότητας λαμβάνεται απευθείας από τις μετρήσεις του οργάνου μέτρησης. Έτσι, για παράδειγμα, το μήκος μετριέται με χάρακα, ο χρόνος με το ρολόι κ.λπ.

Εάν η επιθυμητή φυσική ποσότητα δεν μπορεί να μετρηθεί απευθείας από τη συσκευή, αλλά εκφράζεται μέσω του τύπου μέσω των μετρούμενων μεγεθών, τότε οι μετρήσεις αυτές ονομάζονται έμμεσος.

Η μέτρηση οποιασδήποτε ποσότητας δεν δίνει μια απολύτως ακριβή τιμή αυτής της ποσότητας. Κάθε μέτρηση περιέχει πάντα κάποιο σφάλμα (σφάλμα). Το σφάλμα είναι η διαφορά μεταξύ της μετρούμενης τιμής και της πραγματικής τιμής.

Τα λάθη χωρίζονται σε συστηματικόςκαι τυχαίος.

Συστηματικόςονομάζεται το σφάλμα που παραμένει σταθερό σε όλη τη σειρά των μετρήσεων. Τέτοια σφάλματα οφείλονται στην ατέλεια του εργαλείου μέτρησης (για παράδειγμα, μηδενική μετατόπιση της συσκευής) ή στη μέθοδο μέτρησης και μπορούν, καταρχήν, να εξαιρεθούν από το τελικό αποτέλεσμα με την εισαγωγή κατάλληλης διόρθωσης.

Στα συστηματικά σφάλματα περιλαμβάνεται και το σφάλμα των οργάνων μέτρησης. Η ακρίβεια οποιασδήποτε συσκευής είναι περιορισμένη και χαρακτηρίζεται από την κατηγορία ακρίβειάς της, η οποία συνήθως υποδεικνύεται στην κλίμακα μέτρησης.

Τυχαίοςονομάζεται σφάλμα, το οποίο ποικίλλει σε διαφορετικά πειράματα και μπορεί να είναι θετικό και αρνητικό. Τα τυχαία σφάλματα οφείλονται σε αιτίες που εξαρτώνται τόσο από τη συσκευή μέτρησης (τριβή, κενά κ.λπ.) όσο και από εξωτερικές συνθήκες (δονήσεις, διακυμάνσεις τάσης στο δίκτυο κ.λπ.).

Τα τυχαία σφάλματα δεν μπορούν να αποκλειστούν εμπειρικά, αλλά η επιρροή τους στο αποτέλεσμα μπορεί να μειωθεί με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις.

Υπολογισμός του σφάλματος στις άμεσες μετρήσεις, η μέση τιμή και το μέσο απόλυτο σφάλμα.

Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε μια σειρά μετρήσεων του Χ. Λόγω της παρουσίας τυχαίων σφαλμάτων, λαμβάνουμε nδιαφορετικές έννοιες:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Ως αποτέλεσμα της μέτρησης, συνήθως λαμβάνεται η μέση τιμή

Διαφορά μεταξύ μέσου όρου και αποτελέσματος Εγώ-Η μέτρηση ονομάζεται απόλυτο σφάλμα αυτής της μέτρησης

Ως μέτρο του σφάλματος της μέσης τιμής, μπορεί κανείς να λάβει τη μέση τιμή του απόλυτου σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης

(2)

αξία
ονομάζεται αριθμητικός μέσος (ή μέσος απόλυτος) σφάλμα.

Στη συνέχεια, το αποτέλεσμα της μέτρησης πρέπει να γραφτεί στη φόρμα

(3)

Για τον χαρακτηρισμό της ακρίβειας των μετρήσεων χρησιμοποιείται το σχετικό σφάλμα, το οποίο συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό

(4)

Περίπτωση 1Ο αριθμός των μετρήσεων είναι μικρότερος από πέντε.

Χ, ορίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος των αποτελεσμάτων όλων των μετρήσεων, δηλ.

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), υπολογίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (14), προσδιορίζεται το μέσο απόλυτο σφάλμα

4) Σύμφωνα με τον τύπο (15), υπολογίζεται το μέσο σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης

5) Καταγράψτε το τελικό αποτέλεσμα στην ακόλουθη μορφή:

Περίπτωση 2. Ο αριθμός των μετρήσεων είναι πάνω από πέντε.

1) Σύμφωνα με τον τύπο (6), βρίσκεται το μέσο αποτέλεσμα

2) Σύμφωνα με τον τύπο (12), προσδιορίζονται τα απόλυτα σφάλματα των επιμέρους μετρήσεων

3) Σύμφωνα με τον τύπο (7), υπολογίζεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μόνο μέτρησης

4) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση για τη μέση τιμή της μετρούμενης τιμής με τον τύπο (9).

5) Το τελικό αποτέλεσμα καταγράφεται στην παρακάτω φόρμα

Μερικές φορές τα τυχαία σφάλματα μέτρησης μπορεί να είναι μικρότερα από την τιμή που μπορεί να καταχωρήσει η συσκευή μέτρησης (όργανο). Σε αυτή την περίπτωση, για οποιονδήποτε αριθμό μετρήσεων, προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μισή διαίρεση της κλίμακας του οργάνου (όργανο) λαμβάνεται ως μέσο απόλυτο σφάλμα. Αυτή η τιμή μερικές φορές ονομάζεται περιοριστικό ή οργανικό σφάλμα και υποδηλώνεται (για όργανα βερνιέρου και χρονόμετρο, ισούται με την ακρίβεια του οργάνου).

Εκτίμηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων των μετρήσεων

Σε κάθε πείραμα, ο αριθμός των μετρήσεων μιας φυσικής ποσότητας είναι πάντα περιορισμένος για τον ένα ή τον άλλο λόγο. Από αυτή την άποψη, μπορεί να τεθεί το καθήκον για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας του αποτελέσματος. Με άλλα λόγια, προσδιορίστε με ποια πιθανότητα μπορεί να υποστηριχθεί ότι το σφάλμα που έγινε σε αυτή την περίπτωση δεν υπερβαίνει την προκαθορισμένη τιμή ε. Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης. Ας το χαρακτηρίσουμε με ένα γράμμα.

Μπορεί επίσης να τεθεί ένα αντίστροφο πρόβλημα: να προσδιοριστούν τα όρια του διαστήματος , έτσι ώστε με δεδομένη πιθανότητα να μπορεί να υποστηριχθεί ότι η πραγματική τιμή των μετρήσεων της ποσότητας δεν θα υπερβαίνει το καθορισμένο, το λεγόμενο διάστημα εμπιστοσύνης.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όμως παρουσιάζει η περίπτωση αξιολόγησης της αξιοπιστίας του αποτελέσματος μετρήσεων φυσικών μεγεθών με πολύ μικρό αριθμό επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Για παράδειγμα, . Αυτή ακριβώς είναι η περίπτωση που συναντάμε συχνά στην εκτέλεση εργαστηριακών εργασιών στη φυσική. Κατά την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων, συνιστάται η χρήση της μεθόδου που βασίζεται στην κατανομή του μαθητή (νόμος).

Για τη διευκόλυνση της πρακτικής εφαρμογής της υπό εξέταση μεθόδου, υπάρχουν πίνακες με τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε το διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης ή να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα.

Ας γίνουν, για παράδειγμα, ίσες ακριβείς (υπό τις ίδιες συνθήκες) μετρήσεις ενός συγκεκριμένου φυσικού μεγέθους και ας υπολογιστεί η μέση τιμή του. Απαιτείται να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Το πρόβλημα γενικά λύνεται με τον ακόλουθο τρόπο.

Σύμφωνα με τον τύπο, λαμβάνοντας υπόψη το (7), υπολογίστε

Στη συνέχεια για δεδομένες τιμές nκαι βρείτε την τιμή σύμφωνα με τον πίνακα (Πίνακας 2). Η τιμή που αναζητάτε υπολογίζεται με βάση τον τύπο

Κατά την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος, η παράμετρος υπολογίζεται πρώτα χρησιμοποιώντας τον τύπο (16). Η επιθυμητή τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης λαμβάνεται από τον πίνακα (Πίνακας 3) για τον δεδομένο αριθμό και την υπολογισμένη παράμετρο .

Πίνακας 2.Τιμή παραμέτρου για δεδομένο αριθμό πειραμάτων

και επίπεδο εμπιστοσύνης

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Πίνακας 3Η τιμή της πιθανότητας εμπιστοσύνης για έναν δεδομένο αριθμό πειραμάτων nκαι παράμετρος ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
σι	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Επεξεργασία των αποτελεσμάτων έμμεσων μετρήσεων

Πολύ σπάνια, το περιεχόμενο μιας εργαστηριακής εργασίας ή ενός επιστημονικού πειράματος περιορίζεται στην απόκτηση του αποτελέσματος μιας άμεσης μέτρησης. Ως επί το πλείστον, η επιθυμητή ποσότητα είναι συνάρτηση πολλών άλλων ποσοτήτων.

Το καθήκον της επεξεργασίας πειραμάτων με έμμεσες μετρήσεις είναι ο υπολογισμός της πιο πιθανής τιμής της επιθυμητής τιμής και η εκτίμηση του σφάλματος των έμμεσων μετρήσεων με βάση τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων ορισμένων ποσοτήτων (επιχειρήματα) που σχετίζονται με την επιθυμητή τιμή από μια συγκεκριμένη λειτουργική εξάρτηση.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι χειρισμού έμμεσων μετρήσεων. Εξετάστε τις ακόλουθες δύο μεθόδους.

Ας προσδιοριστεί κάποιο φυσικό μέγεθος με τη μέθοδο των έμμεσων μετρήσεων.

Τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων των ορισμάτων του x, y, z δίνονται στον Πίνακα. 4.

Πίνακας 4

Αριθμός εμπειρίας	Χ	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Ο πρώτος τρόπος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων είναι ο εξής. Χρησιμοποιώντας τον υπολογισμένο τύπο (17), υπολογίζεται η επιθυμητή τιμή με βάση τα αποτελέσματα κάθε πειράματος

(17)

Η περιγραφόμενη μέθοδος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων ισχύει, καταρχήν, σε όλες τις περιπτώσεις έμμεσων μετρήσεων χωρίς εξαίρεση. Ωστόσο, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιείται όταν ο αριθμός των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων των ορισμάτων είναι μικρός και ο τύπος υπολογισμού για την έμμεσα μετρούμενη τιμή είναι σχετικά απλός.

Στη δεύτερη μέθοδο επεξεργασίας των αποτελεσμάτων των πειραμάτων, πρώτα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των άμεσων μετρήσεων (Πίνακας 4), υπολογίζονται πρώτα οι αριθμητικές μέσες τιμές καθενός από τα επιχειρήματα, καθώς και τα σφάλματα της μέτρησής τους. Αντικατάσταση , , ,... στον τύπο υπολογισμού (17), προσδιορίστε την πιο πιθανή τιμή της μετρούμενης ποσότητας

(17*)