Επίλυση ολοκληρωμάτων με μιγαδικές μεταβλητές. Ολοκλήρωση συναρτήσεων σύνθετης μεταβλητής

1. Βασικές έννοιες και δηλώσεις

Θεώρημα 5.1(επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ολοκληρώματος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής). Αφήνω μεγάλοείναι μια απλή ομαλή καμπύλη σε , φά(z)=u(Χ;y)+i×v(Χ;y) είναι συνεχής ενεργή μεγάλο. Τότε υπάρχει και ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

Θεώρημα 5.2.Αφήνω μεγάλοείναι μια απλή ομαλή καμπύλη, που δίνεται παραμετρικά: μεγάλο:z(t)=Χ(t)+i×y(t), ένα£ t£ σι, λειτουργία φά(z) είναι συνεχής ενεργή μεγάλο. Τότε ισχύει η ισότητα:

(όπου ). (5.2)

Θεώρημα 5.3.Αν ένα φά(z) αναλυτικό στον τομέα ρελειτουργία, λοιπόν - αναλυτική συνάρτηση και ΦΑ"(z)=φά(z), όπου το ολοκλήρωμα λαμβάνεται πάνω από οποιαδήποτε τμηματικά ομαλή καμπύλη που συνδέει τα σημεία z 0 και z.

- Τύπος Newton-Leibniz.

2. Μέθοδοι υπολογισμού του ολοκληρώματος

Πρώτος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων συνεχούς συνάρτησης με αναγωγή σε καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα συναρτήσεων πραγματικών μεταβλητών (εφαρμογή του τύπου (5.1)).

1. Βρείτε το Re φά=u, Im φά=v.

2. Γράψτε το ολοκλήρωμα φά(z)dzμε τη μορφή έργου ( u+iv)(dx+ειδυ)=udx-vdy+Εγώ(udy+vdx).

3. Υπολογίστε τα καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα της φόρμας σύμφωνα με τους κανόνες υπολογισμού καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους.

Παράδειγμα 5.1 . Υπολογίζω κατά μήκος μιας παραβολής y=x 2 από το σημείο z 1 = 0 στο σημείο z 2 =1+Εγώ.

■ Βρείτε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη του ολοκληρώματος. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε την έκφραση for φά(z) z=x+iy:

Επειδή y=x 2, λοιπόν dy= 2Χ, . Να γιατί

Ο δεύτερος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων από συνεχή συνάρτηση με αναγωγή σε καθορισμένο ολοκλήρωμα στην περίπτωση παραμετρικής προδιαγραφής της διαδρομής ολοκλήρωσης (με χρήση του τύπου (5.2)).

1. Γράψτε την παραμετρική εξίσωση της καμπύλης z=z(t) και καθορίστε τα όρια ολοκλήρωσης: t=aαντιστοιχεί στο σημείο εκκίνησης της διαδρομής ολοκλήρωσης, t=b- τελικό.

2. Βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης μιγαδικής τιμής z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Υποκατάστατο z(t) σε ολοκλήρωμα, μετατρέψτε το ολοκλήρωμα στη μορφή: .

4. Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα που προκύπτει.

Παράδειγμα 5.2 . Υπολογίστε πού ΑΠΟ- τόξο κύκλου, .

■ Παραμετρική εξίσωση αυτής της καμπύλης: , 0 £ ι£ Π. Επειτα . Παίρνουμε

Παράδειγμα 5.3 . Υπολογίστε πού ΑΠΟ- το άνω τόξο του κύκλου υπό την προϋπόθεση: α), β).

■ Η ρύθμιση των τιμών της συνάρτησης στον βρόχο ολοκλήρωσης σάς επιτρέπει να επιλέξετε κλάδους με μία τιμή της έκφρασης , k= 0,1. Αφού για έχουμε , k= 0.1, τότε στην πρώτη περίπτωση επιλέγουμε κλάδο με k= 0, και στο δεύτερο - με k= 1.

Το ολοκλήρωμα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης είναι συνεχές. Παραμετρική εξίσωση αυτής της καμπύλης: , 0£ ι£ Π. Επειτα .

α) Ο κλάδος καθορίζεται όταν k= 0, δηλαδή, από παίρνουμε .

β) Ο κλάδος καθορίζεται όταν κ=1, δηλαδή από παίρνουμε .

Ο τρίτος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων αναλυτικών συναρτήσεων σε απλά συνδεδεμένα πεδία (εφαρμογή του τύπου (5.3)).

Βρείτε ένα αντιπαράγωγο φά(z) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων, τα ολοκληρώματα του πίνακα και τις μεθόδους γνωστές από την πραγματική ανάλυση. Εφαρμόστε τον τύπο Newton-Leibniz: .

Παράδειγμα 5.4 . Υπολογίζω , όπου ΑΠΟ- ευθεία ΑΒ, z Α=1-Εγώ,z Β=2+i.

■ Από το ολοκλήρωμα - αναλυτικά σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο Newton-Leibniz

3. Βασικά θεωρήματα ολοκληρωτικού λογισμού

συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής

Θεώρημα 5.4 (Cauchy).Αν ένα φά(z σολλειτουργία, τότε πού μεγάλο- κάθε κλειστός βρόχος που βρίσκεται μέσα σολ.

Το θεώρημα του Cauchy ισχύει επίσης για έναν πολλαπλασιασμένο τομέα.

Θεώρημα 5.5.Αφήστε τη λειτουργία φά(z) είναι αναλυτικό σε έναν απλά συνδεδεμένο τομέα ρε, μεγάλο-ένα αυθαίρετο κλειστό τμηματικά-λείο περίγραμμα που βρίσκεται μέσα ρε. Μετά για οποιοδήποτε σημείο z 0 που βρίσκεται μέσα στο περίγραμμα μεγάλο, ισχύει ο τύπος:

, (5.4)

όπου μεγάλορέει προς θετική κατεύθυνση.

Ο τύπος (5.4) ονομάζεται αναπόσπαστο τύπο Cauchy . Εκφράζει τις τιμές μιας αναλυτικής συνάρτησης μέσα σε ένα περίγραμμα ως προς τις τιμές της στο περίγραμμα.

Θεώρημα 5.6.Οποιαδήποτε λειτουργία φά(z), αναλυτικό στον τομέα ρε, έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών σε αυτόν τον τομέα και για " z 0 Î ρεο σωστός τύπος είναι:

, (5.5)

όπου μεγάλοείναι ένα αυθαίρετο τμηματικά ομαλό κλειστό περίγραμμα που βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα ρεκαι περιέχει μια τελεία z 0 .

4. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε κλειστό βρόχο

από συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής

Θεωρήστε ολοκληρώματα της φόρμας , όπου η συνάρτηση ι(z) είναι αναλυτικό σε , και yΤο (z) είναι ένα πολυώνυμο που δεν έχει μηδενικά σε κλειστό περίγραμμα ΑΠΟ.

Κανόνας.Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων της μορφής, ανάλογα με την πολλαπλότητα των μηδενικών του πολυωνύμου y(z) και τη θέση τους σε σχέση με το περίγραμμα ΑΠΟΔιακρίνονται 4 περιπτώσεις.

1. Στην περιοχή ρεχωρίς πολυωνυμικά μηδενικά y(z). Τότε η συνάρτηση είναι αναλυτική και με το θεώρημα του Cauchy.

2. Στην περιοχή ρευπάρχει ένα απλό μηδέν z=z 0 πολυώνυμο y(z). Στη συνέχεια γράφουμε το κλάσμα ως , όπου φά(z) είναι μια αναλυτική συνάρτηση στην Εφαρμογή του ολοκληρωτικού τύπου Cauchy (5.4), λαμβάνουμε

. (5.6)

3. Στην περιοχή ρεβρίσκεται ένα πολλαπλάσιο του μηδενός z=z 0 πολυώνυμο y(z) (πολλαπλότητα n). Στη συνέχεια γράφουμε το κλάσμα ως , όπου φά(z) είναι μια αναλυτική συνάρτηση στον τύπο Εφαρμογής (5.5), λαμβάνουμε

4. Στο χωράφι ρευπάρχουν δύο μηδενικά του πολυωνύμου y(z) z=z 1 και z=z 2. Στη συνέχεια αντιπροσωπεύουμε το ολοκλήρωμα ως άθροισμα δύο κλασμάτων και το ολοκλήρωμα ως άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων, καθένα από τα οποία υπολογίζεται σύμφωνα με το στοιχείο 2 ή το στοιχείο 3.

Παράδειγμα 5.5 . Υπολογίστε πού ΑΠΟ- κύκλος.

■ Βρίσκουμε τα μηδενικά του παρονομαστή - τα ενικά σημεία του ολοκληρώματος . Αυτά είναι σημεία. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τη θέση των σημείων σε σχέση με το περίγραμμα ολοκλήρωσης: κανένα από τα σημεία δεν περιλαμβάνεται στην περιοχή που οριοθετείται από έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα 2 (δηλαδή, έχουμε την πρώτη περίπτωση). Αυτό μπορεί να επαληθευτεί σχεδιάζοντας ή προσδιορίζοντας την απόσταση από κάθε ένα από τα σημεία στο κέντρο του κύκλου και συγκρίνοντάς το με την ακτίνα. Για παράδειγμα, για , επομένως δεν ανήκει στον κύκλο.

Στη συνέχεια η συνάρτηση αναλυτική στον κύκλο και από το θεώρημα του Cauchy .

Σημειώστε ότι το δεδομένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν για οποιοδήποτε άλλο περίγραμμα που περιορίζει την περιοχή που δεν περιλαμβάνει κανένα από τα μηδενικά του παρονομαστή. ■

Παράδειγμα 5.6 . Υπολογίστε πού ΑΠΟ- κύκλος.

■ Υποστηρίζοντας όπως στο Παράδειγμα 5.5, βρίσκουμε ότι μόνο ένα από τα μηδενικά του παρονομαστή βρίσκεται στον κύκλο (η δεύτερη περίπτωση). Επομένως, γράφουμε το ολοκλήρωμα στη μορφή , τη συνάρτηση αναλυτικό σε κύκλο . Στη συνέχεια με τον τύπο (5.6)

.■

Παράδειγμα 5.7 . Υπολογίζω , όπου ΑΠΟ- κύκλος.

Θεωρητικό ελάχιστο

Συχνά υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με μεθόδους σύνθετης ανάλυσης είναι προτιμότερος από τις μεθόδους
ανάλυση υλικού. Οι λόγοι μπορεί να είναι πολύ διαφορετικοί. Οι μέθοδοι TFCT μπορούν, σε ορισμένες περιπτώσεις, να μειώσουν σημαντικά τους υπολογισμούς.
Μερικές φορές ο τύπος Newton-Leibniz δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, αφού το αόριστο ολοκλήρωμα δεν εκφράζεται σε στοιχειώδεις συναρτήσεις.
Οι μέθοδοι διαφοροποίησης και ολοκλήρωσης σε σχέση με μια παράμετρο απαιτούν πολύ προσεκτική αιτιολόγηση της εφαρμογής τους και η παράμετρος μερικές φορές
πρέπει να εισαχθούν τεχνητά.

Συνήθως, οι μέθοδοι σύνθετης ανάλυσης υπολογίζουν ακατάλληλα ολοκληρώματα - σε ένα άπειρο διάστημα ή από απεριόριστα σε ένα τμήμα
ενσωμάτωση συναρτήσεων. Η γενική ιδέα είναι η εξής. Σχηματίζεται ένα ολοκλήρωμα περιγράμματος. Το ολοκλήρωμα σε ορισμένα τμήματα του περιγράμματος θα πρέπει
συμπίπτουν με το επιθυμητό οριστικό ολοκλήρωμα - τουλάχιστον μέχρι έναν σταθερό παράγοντα. Ολοκληρώματα στο υπόλοιπο περίγραμμα
θα πρέπει να υπολογιστεί. Στη συνέχεια εφαρμόζεται το θεώρημα του κύριου υπολείμματος, σύμφωνα με το οποίο
,
όπου είναι τα μοναδικά σημεία της συνάρτησης που βρίσκονται μέσα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης. Έτσι, το περίγραμμα είναι αναπόσπαστο με ένα
από την άλλη πλευρά, αποδεικνύεται ότι εκφράζεται μέσω του επιθυμητού ορισμένου ολοκληρώματος, και από την άλλη πλευρά, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας υπολείμματα (που συνήθως είναι
δεν δημιουργεί μεγάλα προβλήματα).

Η κύρια δυσκολία είναι η επιλογή του περιγράμματος ολοκλήρωσης. Προτείνεται, κατ' αρχήν, από το integrand. Ωστόσο, χωρίς επαρκή
πρακτική, είναι δύσκολο να κυριαρχήσει αυτή η μέθοδος, και ως εκ τούτου θα δοθούν αρκετά παραδείγματα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα περιγράμματα αποτελούνται από
στοιχεία πάνω στα οποία είναι βολικό να ενσωματωθούν (ευθείες γραμμές, τόξα κύκλων).

ολοκλήρωση στο μιγαδικό επίπεδο

Παράδειγμα 1 Ολοκληρώματα Fresnel.
Ας υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα , .
Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το πρώτο βήμα είναι η μετάβαση στην εκθετική μορφή, η οποία περιλαμβάνει την εξέταση του ολοκληρώματος.
Είναι απαραίτητο μόνο να επιλέξετε ένα περίγραμμα ολοκλήρωσης. Είναι σαφές ότι ο ημιάξονας πρέπει να εισέλθει στο περίγραμμα. Πραγματικό και
τα φανταστικά μέρη του ολοκληρώματος πάνω από αυτό το τμήμα του περιγράμματος είναι τα ολοκληρώματα Fresnel. Περαιτέρω, το υπολογισμένο ολοκλήρωμα περιγράμματος πάνω από τη δομή
το ολοκλήρωμα μοιάζει με το ολοκλήρωμα Euler-Poisson, η τιμή του οποίου είναι γνωστή. Αλλά για να αποκτήσουμε αυτό το ολοκλήρωμα, πρέπει να βάλουμε
, έπειτα . Και μια τέτοια αναπαράσταση μιας μεταβλητής είναι η ολοκλήρωση κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από ένα σημείο
υπό γωνία ως προς τον πραγματικό άξονα.
Άρα, υπάρχουν δύο στοιχεία περιγράμματος. Για να κλείσουμε το περίγραμμα, υποθέτουμε ότι τα δύο επιλεγμένα τμήματα του περιγράμματος έχουν πεπερασμένο μήκος και κλείνουμε
το περίγραμμα ενός τόξου κύκλου ακτίνας . Αργότερα θα αφήσουμε αυτή την ακτίνα να πάει στο άπειρο. Το αποτέλεσμα είναι αυτό που φαίνεται στο Σχ. 1 κύκλωμα.

(1)
Μέσα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης, το ολοκλήρωμα δεν έχει μοναδικά σημεία· επομένως, το ολοκλήρωμα σε ολόκληρο το περίγραμμα είναι ίσο με μηδέν.

.
Στο όριο, αυτό το ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν.
Στην πλοκή, μπορείτε να γράψετε, τότε
.
Αντικαθιστούμε τα ληφθέντα αποτελέσματα στο (1) και περνάμε στο όριο:

Διαχωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, βρίσκουμε, λαμβάνοντας υπόψη την τιμή του ολοκληρώματος Euler-Poisson
,
.

Παράδειγμα 2 Επιλογή ενός περιγράμματος ολοκλήρωσης που περιέχει μέσα ένα μοναδικό σημείο του ολοκληρώματος.
Ας υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα παρόμοιο με αυτό που εξετάστηκε στο πρώτο παράδειγμα: , όπου .
Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Θα επιλέξουμε ένα περίγραμμα παρόμοιο με αυτό που χρησιμοποιήθηκε στο πρώτο παράδειγμα. Μόνο που τώρα δεν υπάρχει σκοπός
ανάγουμε τον υπολογισμό στο ολοκλήρωμα Euler-Poisson. Εδώ σημειώνουμε ότι κατά την αντικατάσταση το integrand δεν θα αλλάξει.
Αυτή η θεώρηση μας ωθεί να επιλέξουμε την λοξή ευθεία του περιγράμματος ολοκλήρωσης έτσι ώστε να σχηματίζει μια γωνία με τον πραγματικό άξονα.

Όταν γράφετε το ολοκλήρωμα περιγράμματος
(2)
το ολοκλήρωμα πάνω από ένα κυκλικό τόξο τείνει στο μηδέν στο όριο. Στον ιστότοπο, μπορείτε να γράψετε :
.
Έτσι, από το (2), όταν περνάμε στο όριο, βρίσκουμε
.
Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι μέσα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης το ολοκλήρωμα έχει έναν απλό πόλο .

Από εδώ βρίσκουμε το επιθυμητό ολοκλήρωμα:
.

Παράδειγμα 3 Κλείστε το περίγραμμα ολοκλήρωσης μέσω του άνω ή του κάτω ημιεπιπέδου?
Χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχετικά απλό ολοκλήρωμα, δείχνουμε μια χαρακτηριστική λεπτομέρεια της επιλογής του περιγράμματος ολοκλήρωσης. Υπολογίζω
αναπόσπαστο .
Στην πραγματικότητα, το αναζητούμενο ολοκλήρωμα της συνάρτησης υπολογίζεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα, στον οποίο το ολοκλήρωμα δεν έχει
χαρακτηριστικά. Απομένει μόνο να κλείσει ο βρόχος ολοκλήρωσης. Αφού η συνάρτηση κάτω από το ολοκλήρωμα έχει μόνο δύο τελικά ενικά σημεία, τότε
μπορείτε να κλείσετε το περίγραμμα με ένα ημικύκλιο, η ακτίνα του οποίου πρέπει να τείνει στο άπειρο. Και εδώ τίθεται το ερώτημα πώς
πρέπει να επιλεγεί ένα ημικύκλιο: στο άνω ή στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. Εικ. 3 α, β). Για να το καταλάβουμε αυτό, γράφουμε το ολοκλήρωμα πάνω από το ημικύκλιο
και στις δύο περιπτώσεις:


ένα)
σι)
Όπως μπορείτε να δείτε, η συμπεριφορά του ολοκληρώματος στο όριο καθορίζεται από τον παράγοντα .
Στην περίπτωση του "a", και επομένως το όριο θα είναι πεπερασμένο υπό την προϋπόθεση .
Στην περίπτωση του "b" - αντίθετα - , και επομένως το όριο θα είναι πεπερασμένο υπό την συνθήκη .
Αυτό υποδηλώνει ότι ο τρόπος που κλείνει το περίγραμμα καθορίζεται από το πρόσημο της παραμέτρου. Αν είναι θετικό, τότε
το περίγραμμα κλείνει μέσω του άνω μισού επιπέδου, διαφορετικά - μέσω του κάτω. Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις ξεχωριστά.
ένα)
Το ημικύκλιο ολοκλήρωμα στο όριο, όπως είδαμε, εξαφανίζεται. Μέσα στο περίγραμμα (βλ. Εικ. 3α) βρίσκεται
ειδικό σημείο, λοιπόν

σι)
Ομοίως, βρίσκουμε τη χρήση ολοκλήρωσης πάνω από το περίγραμμα που φαίνεται στο Σχ. 3β,

Παρατήρηση. Μπορεί να φαίνεται περίεργο ότι το ολοκλήρωμα της μιγαδικής συνάρτησης αποδείχθηκε πραγματικό. Ωστόσο, αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό αν είναι στο πρωτότυπο
διαχωρίστε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του ολοκληρώματος. Στο φανταστικό μέρος, κάτω από το ολοκλήρωμα θα υπάρχει μια περιττή συνάρτηση και το ολοκλήρωμα υπολογίζεται συμμετρικά
όρια. Εκείνοι. το φανταστικό μέρος εξαφανίζεται, κάτι που συνέβη στον υπολογισμό μας.

Παράδειγμα 4 Παράκαμψη μοναδικών σημείων του ολοκληρώματος κατά την κατασκευή ενός περιγράμματος ολοκλήρωσης.
Στα εξεταζόμενα παραδείγματα, το ολοκλήρωμα είτε δεν είχε μοναδικά σημεία είτε βρίσκονταν εντός του περιγράμματος ολοκλήρωσης. Ωστόσο
μπορεί να είναι βολικό να επιλέξετε ένα περίγραμμα με τέτοιο τρόπο ώστε μοναδικά σημεία της συνάρτησης να πέφτουν πάνω του. Τέτοια σημεία πρέπει να παρακαμφθούν. Η παράκαμψη πραγματοποιείται
κατά μήκος ενός κύκλου μικρής ακτίνας, ο οποίος στο μέλλον απλώς ορμάει στο μηδέν. Για παράδειγμα, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα .
Μπορεί να φαίνεται ότι το ολοκλήρωμα δεν έχει πεπερασμένα ενικά σημεία, αφού το σημείο είναι αφαιρούμενη ιδιομορφία.
Αλλά για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, πρέπει να κάνετε ένα ολοκλήρωμα περιγράμματος μιας άλλης συνάρτησης (για να διασφαλίσετε ότι το ολοκλήρωμα εξαφανίζεται
κλείσιμο ημικύκλιο στο όριο της άπειρης ακτίνας): . Εδώ το ολοκλήρωμα έχει μια ιδιομορφία πόλων
στο σημείο.

Έτσι, απαιτείται ένας άλλος βρόχος ολοκλήρωσης (βλ. Εικ. 4). Διαφέρει από το Σχ. 3α μόνο από το γεγονός ότι το ενικό σημείο περιστρέφεται σε ημικύκλιο,
του οποίου η ακτίνα υποτίθεται ότι θα τείνει στο μηδέν στο μέλλον.
. (3)
Σημειώνουμε αμέσως ότι το ολοκλήρωμα σε ένα μεγάλο ημικύκλιο τείνει στο μηδέν στο όριο της απείρως μεγάλης ακτίνας του και μέσα στο περίγραμμα
δεν υπάρχουν μοναδικά σημεία, άρα ολόκληρο το ολοκλήρωμα περιγράμματος είναι μηδέν. Στη συνέχεια, εξετάστε τον πρώτο και τον τρίτο όρο στο (3):

.
Τώρα γράφουμε το ολοκλήρωμα σε ένα μικρό ημικύκλιο, δεδομένου ότι σε αυτό. Θα λάβουμε επίσης αμέσως υπόψη τη μικρότητα της ακτίνας του ημικυκλίου:


Οι όροι που τείνουν στο μηδέν στο όριο δεν διαγράφονται.
Συλλέγουμε τους όρους στο (3) - εκτός από τον όρο που σχετίζεται με το μεγάλο ημικύκλιο.

Όπως φαίνεται, οι όροι που μετατρέπονται στο άπειρο στο έχουν ακυρώσει ο ένας τον άλλον. Αφήνοντας και , έχουμε
.
Παρατήρηση. Για παράδειγμα, το ολοκλήρωμα Dirichlet υπολογίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο (υπενθυμίζουμε ότι διαφέρει από αυτό που μόλις εξετάστηκε από την απουσία
τετράγωνα στον αριθμητή και στον παρονομαστή).

Παραδείγματα υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας το περίγραμμα
ενσωμάτωση στο μιγαδικό επίπεδο (συνέχεια)

Παράδειγμα 5 Το ολοκλήρωμα έχει άπειρο αριθμό μοναδικών σημείων.
Σε πολλές περιπτώσεις, η επιλογή του περιγράμματος περιπλέκεται από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα έχει άπειρο αριθμό μοναδικών σημείων. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί
αποδεικνύεται ότι το άθροισμα των υπολειμμάτων θα είναι στην πραγματικότητα μια σειρά, η σύγκλιση της οποίας θα πρέπει ακόμα να αποδειχθεί αν την αθροίσουμε
δεν λειτουργεί (και η άθροιση της σειράς είναι γενικά μια ξεχωριστή μάλλον περίπλοκη εργασία). Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα .
Είναι σαφές ότι μέρος του περιγράμματος είναι ο πραγματικός άξονας. Σε αυτό, η λειτουργία δεν έχει χαρακτηριστικά. Ας συζητήσουμε πώς να κλείσετε τον βρόχο. Δεν χρειάζεται να επιλέξετε ημικύκλιο.
Το θέμα είναι ότι το υπερβολικό συνημίτονο έχει μια οικογένεια απλών μηδενικών . Ως εκ τούτου, μέσα στο περίγραμμα κλειστό από το ημικύκλιο
στο όριο μιας απείρως μεγάλης ακτίνας, θα πέσουν άπειρα μοναδικά σημεία. Πώς αλλιώς μπορείτε να κλείσετε τον βρόχο; Σημειώσε ότι .
Από αυτό προκύπτει ότι μπορεί κανείς να προσπαθήσει να συμπεριλάβει ένα τμήμα παράλληλο προς τον πραγματικό άξονα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης. Ο βρόχος θα κλείσει με δύο
κατακόρυφα τμήματα, τα οποία στο όριο απέχουν απείρως από τον νοητό άξονα (βλ. Εικ. 5).


Στα κάθετα τμήματα του περιγράμματος . Το υπερβολικό συνημίτονο αυξάνεται εκθετικά με την αύξηση του ορίσματος (modulo), επομένως
στο όριο, τα ολοκληρώματα στα κατακόρυφα τμήματα τείνουν στο μηδέν.

Μέσα στα όρια λοιπόν
.
Από την άλλη πλευρά, μέσα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης υπάρχουν δύο μοναδικά σημεία του ολοκληρώματος. εκπτώσεις σε αυτά
,
.
Συνεπώς,
.

Παράδειγμα 6 Το ολοκλήρωμα του ορισμένου και του περιγράμματος ολοκληρώματος είναι διαφορετικό.
Υπάρχει μια πολύ σημαντική περίπτωση υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης περιγράμματος. Μέχρι στιγμής το integrand
η συνάρτηση ολοκληρωτικού περιγράμματος είτε απλώς συνέπεσε με το ολοκλήρωμα ενός ορισμένου ολοκληρώματος είτε πέρασε σε αυτό με διαχωρισμό
πραγματικό ή φανταστικό μέρος. Αλλά δεν είναι όλα πάντα τόσο απλά. Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα.
Όσον αφορά την επιλογή περιγράμματος, δεν υπάρχει ιδιαίτερο πρόβλημα. Αν και η συνάρτηση κάτω από το ολοκλήρωμα έχει άπειρους απλούς πόλους, γνωρίζουμε ήδη
από την εμπειρία του προηγούμενου παραδείγματος, ότι χρειάζεται ένα ορθογώνιο περίγραμμα, αφού . Η μόνη διαφορά από το Παράδειγμα 5 είναι ότι
ότι ο πόλος του ολοκληρώματος που πρέπει να παρακαμφθεί πέφτει στη γραμμή. Επομένως, επιλέγουμε αυτό που φαίνεται
στο σχ. 6 κύκλωμα.

Θεωρήστε το ολοκλήρωμα του περιγράμματος. Δεν θα το ζωγραφίσουμε σε κάθε τμήμα του περιγράμματος, περιοριζόμαστε σε οριζόντια
οικόπεδα. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος του πραγματικού άξονα στο όριο τείνει προς το επιθυμητό. Γράφουμε τα ολοκληρώματα στις υπόλοιπες ενότητες:
.
Στο όριο, και τα δύο πρώτα ολοκληρώματα θα δώσουν , τότε θα εισαγάγουν το ολοκλήρωμα περιγράμματος στο άθροισμα
με το επιθυμητό, ​​το οποίο διαφέρει σε πρόσημο. Ως αποτέλεσμα, το επιθυμητό οριστικό ολοκλήρωμα θα πέσει έξω από το ολοκλήρωμα περιγράμματος. Αυτό σημαίνει ότι
το ολοκλήρωμα επιλέχθηκε λανθασμένα. Εξετάστε ένα άλλο ολοκλήρωμα: . Αφήστε το περίγραμμα ίδιο.

Αρχικά, εξετάστε ξανά τα ολοκληρώματα σε οριζόντια τμήματα. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος του πραγματικού άξονα γίνεται .
Αυτό το ολοκλήρωμα εξαφανίζεται ως ολοκλήρωμα μιας περιττής συνάρτησης εντός συμμετρικών ορίων.

Στο όριο, οι δύο πρώτες αγκύλες εξαφανίζονται επίσης, σχηματίζοντας πάλι ολοκληρώματα περιττών συναρτήσεων
εντός συμμετρικών ορίων. Αλλά η τελευταία αγκύλη, μέχρι έναν παράγοντα, θα δώσει το επιθυμητό ολοκλήρωμα. Είναι λογικό να συνεχίσουμε τον υπολογισμό.
Ομοίως με το παράδειγμα 5, τα ολοκληρώματα στα κατακόρυφα τμήματα του περιγράμματος τείνουν να μηδενίζονται στο . Μένει να βρούμε το ολοκλήρωμα
σε ημικύκλιο όπου . Όπως στο παράδειγμα 4, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα, λαμβάνοντας υπόψη τη μικρότητα του :
.
Έτσι, έχουμε τα πάντα για να γράψουμε το ολοκλήρωμα περιγράμματος στο όριο:

Από την άλλη πλευρά, ο πόλος του ολοκληρώματος αποδείχθηκε ότι ήταν μέσα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης

Ας θεωρήσουμε μια ομαλή καμπύλη Γ στο μιγαδικό επίπεδο που δίνουν οι παραμετρικές εξισώσεις

(ο ορισμός της ομαλής καμπύλης δίνεται στην αρχή της §8). Όπως σημειώνεται στην § 8, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν σε συμπαγή μορφή:

Κατά την αλλαγή της παραμέτρου tαπό έναέως /3 αντίστοιχο σημείο z(t)θα κινηθεί κατά μήκος της καμπύλης Γ. Επομένως, οι εξισώσεις (15.1) και (15.2) όχι μόνο καθορίζουν τα σημεία της καμπύλης Γ, αλλά καθορίζουν και την κατεύθυνση περιστροφής αυτής της καμπύλης. Η καμπύλη Г με δεδομένη κατεύθυνση της παράκαμψης της ονομάζεται προσανατολισμένη καμπύλη.

Αφήστε στην περιοχή ρε C C συνεχής συνάρτηση f(r) = = u(x, y) + iv (x. y),και αφήστε την καμπύλη Γ να βρίσκεται μέσα ΡΕ.Εισαγωγή της έννοιας του ολοκληρώματος [f(z)dzαπό τη λειτουργία f(z)κατά μήκος της καμπύλης r, ορίζουμε το r

διαφορικός dzισότητα dz = dx + idy.Το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε μορφή

Έτσι, το ολοκλήρωμα της μιγαδικής συνάρτησης f(z)κατά μήκος της καμπύλης Γ είναι φυσικό να ορίζεται από την ισότητα

του οποίου η δεξιά πλευρά περιέχει δύο πραγματικά καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα του δεύτερου είδους πραγματικών συναρτήσεων καικαι και.Για να υπολογίσετε αυτά τα ολοκληρώματα, αντί για Χκαι στοσυναρτήσεις αντικατάστασης x(t)και t/(/), αλλά αντί για dxκαι δυ-διαφορές αυτών των συναρτήσεων dx = x"(t) dtκαι dy = y"(t)dt.Τότε τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά της (15.3) μειώνονται σε δύο ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής t

Τώρα είμαστε έτοιμοι να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ολοκληρωμένο κατά μήκος της καμπύληςσολ στη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής f(z)καλείται ο αριθμός J" f(z)dzκαι υπολογίζεται από

όπου z(t) = x(t) + iy(t), a ^ t ^ ft, -εξίσωση της καμπύλης Г, α z"(t) = = x" (τ) + iy"(t).

Παράδειγμα 15.1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(z) = (ζ - α) σελκατά μήκος ενός κύκλου ακτίνας r με κέντρο a, η φορά της παράκαμψης του οποίου είναι αριστερόστροφα.

Λύση: Εξίσωση κύκλου z - a= g θα z - a = geα, ή

Όταν αλλάζει t.από 0 έως 2 tg πόντους z(t.)κινείται σε κύκλο r αριστερόστροφα. Επειτα

Εφαρμόζοντας την ισότητα (15.5) και τον τύπο De Moivre (2.10), λαμβάνουμε

Λάβαμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα για περαιτέρω παρουσίαση:

Σημειώστε ότι η τιμή του ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από την ακτίνα σολκύκλους.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15.2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(z) = 1 αλλά ομαλή καμπύλη Γ με αρχή στο σημείο ένακαι τελειώνει σε ένα σημείο σι.

Λύση Έστω η καμπύλη Γ να δίνεται από την εξίσωση z(t.) = x(t) + + iy(t), και ^ t^ /3, και ένα= -r(a), σι = z((3).Χρησιμοποιώντας τον τύπο (15.5), καθώς και τον τύπο Newton-Leibniz για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πραγματικών συναρτήσεων, λαμβάνουμε

Βλέπουμε ότι το αναπόσπαστο φά 1 dzδεν εξαρτάται από τον τύπο της διαδρομής G, σύνδεση-

μεταξύ των σημείων α και 6, και εξαρτάται μόνο από τα τελικά σημεία.

Ας περιγράψουμε εν συντομία μια άλλη προσέγγιση για τον ορισμό του ολοκληρώματος της μιγαδικής συνάρτησης f(z)κατά μήκος μιας καμπύλης, παρόμοια με τον ορισμό ενός ολοκληρώματος μιας πραγματικής συνάρτησης σε ένα τμήμα.

Ας χωρίσουμε την καμπύλη Γ με αυθαίρετο τρόπο Ποικόπεδα σημεία zq = a, z 1, ..., zαπείρως μικρός z n = b,αριθμημένα στην κατεύθυνση της κίνησης από το σημείο εκκίνησης προς το τέλος (Εικ. 31). Σημαίνω z - zo ==Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -Zn- 1 = = Azn.(Αριθμός Αζκαντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσμα που προέρχεται από το σημείο zi L_i μέσα Zk-)Σε κάθε τοποθεσία (zk-i,Zk)επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο στην καμπύλη (q- και σχηματίζουμε το άθροισμα

Το ποσό αυτό ονομάζεται αναπόσπαστο άθροισμα.Ας συμβολίσουμε με L το μήκος του μεγαλύτερου από τα τμήματα στα οποία χωρίζεται η καμπύλη G. Θεωρήστε μια ακολουθία διαμερισμάτων για τα οποία A -? 0 (ενώ Π-* oo).

Π1> μονάδες ολοκληρωτικών αθροισμάτων, που υπολογίζονται υπό την προϋπόθεση ότι το μήκος του μεγαλύτερου από τα τμήματα του διαμερίσματος τείνει στο μηδέν, ονομάζονται αναπόσπαστο της συνάρτησης/(ΣΟΛ) κατά μήκος της καμπύλης G και συμβολίζεται με G f(z)dz:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ορισμός μας οδηγεί επίσης στον τύπο (15.3) και επομένως είναι ισοδύναμος με τον ορισμό (15.5) που δόθηκε παραπάνω.

Ας καθορίσουμε τις κύριες ιδιότητες του ολοκληρώματος / f(z)dz.

1°. Γραμμικότητα. Για τυχόν μιγαδικές σταθερές a και b

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει από την ισότητα (15.5) και τις αντίστοιχες ιδιότητες του ολοκληρώματος σε ένα τμήμα.

2°. Προσθετικότητα. Αν η καμπύλησολ χωρίζεται σε τμήματα Ti m G2, έπειτα

Απόδειξη. Έστω η καμπύλη Γ με άκρα a, σιχωρίζεται από ένα σημείο c σε δύο μέρη: μια καμπύλη Гi με άκρα a, Μεκαι η καμπύλη Gr με τελειώνει με, σι.Έστω Г από την εξίσωση z = z(t), ένα ^ t ^ σε.και ένα= 2 (α), σι = z(ft), c = 2(7). Τότε οι εξισώσεις των καμπυλών Г1 και Гг θα είναι z = z(t),όπου ένα ^ t^7 για Ti και 7^ t^/? για Gg. Εφαρμόζοντας τον ορισμό (15.5) και τις αντίστοιχες ιδιότητες του ολοκληρώματος σε ένα τμήμα, λαμβάνουμε

Q.E.D.

Η ιδιότητα 2° καθιστά δυνατό τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων όχι μόνο σε ομαλές καμπύλες, αλλά και τμηματικά λεία, δηλ. καμπύλες που μπορούν να χωριστούν σε πεπερασμένο αριθμό λείων τμημάτων.

3°. Όταν αλλάξει η κατεύθυνση της καμπύλης, το ολοκλήρωμα αλλάζει πρόσημο.

Αποδείξτε l με t σε περίπου. Αφήστε την καμπύλη Г να τελειώσει ένακαι σιδίνεται από την εξίσωση r = r(?), o ^ t ^ $. Μια καμπύλη που αποτελείται από τα ίδια σημεία με το Γ, αλλά διαφέρει από το Γ ως προς την κατεύθυνση της παράκαμψης (προσανατολισμός), θα συμβολίζεται με Γ. Τότε Г - δίνεται από την εξίσωση z= 2i(J)> όπου z(t)= 2(0 -I - fi - t),Πράγματι, εισάγουμε μια νέα μεταβλητή r = a + - t.Όταν αλλάζει tαπό ένα έως (ρεη μεταβλητή r αλλάζει από (5 σε α. Κατά συνέπεια, το σημείο r(m) θα διατρέχει την καμπύλη r.

Η ιδιότητα 3° αποδεικνύεται. (Σημειώστε ότι αυτή η ιδιότητα προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του ολοκληρώματος (15.8): όταν αλλάζει ο προσανατολισμός της καμπύλης, όλες οι προσαυξήσεις AZkαλλαγή πινακίδας.)

4°. Το μέτρο του ολοκληρώματος f f(z)dz δεν υπερβαίνει την τιμή της καμπυλότηταςσολ

γραμμικό ολοκλήρωμα του συντελεστή συνάρτησης κατά μήκος της καμπύλης s (καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα f(z) πρώτου είδους):

Είναι εύκολο να το δεις αυτό z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (15.5) και περνώντας στη μεταβλητή r, παίρνουμε

Απόδειξη. Ας χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για το ολοκλήρωμα σε ένα τμήμα

(αυτή η ανισότητα προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του ολοκληρώματος σε ένα τμήμα ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων). Από εδώ και από (15,5) έχουμε

1. Βασικές έννοιες

2. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής

3. Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής

4. Το κύριο θεώρημα Cauchy για ένα απλό περίγραμμα

5. Θεώρημα Cauchy για μιγαδικό περίγραμμα

6. Ολοκληρωμένος τύπος Cauchy

7. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε κλειστό βρόχο

8. Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων σε κλειστό περίγραμμα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

1. Η έννοια του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής εισάγεται (με τον ίδιο τρόπο όπως στην πραγματική περιοχή) ως το όριο μιας ακολουθίας ολοκληρωτικών αθροισμάτων. η συνάρτηση ορίζεται σε κάποια καμπύλη l , η καμπύλη θεωρείται ότι είναι ομαλή ή τμηματικά ομαλή:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

όπου x_k είναι ένα σημείο που επιλέγεται στο τόξο \Δέλτα l_k της διαίρεσης της καμπύλης. \Delta z_k - αύξηση του ορίσματος συνάρτησης σε αυτό το τμήμα του διαχωρισμού, \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- split step, |\Delta z_k| - το μήκος της χορδής που συνδέει τα άκρα του τόξου \Delta l_k ; η καμπύλη l χωρίζεται αυθαίρετα σε n μέρη \Δέλτα l_k,~ k=1,2,\ldots,n. Επιλέγεται μια κατεύθυνση στην καμπύλη, δηλ. καθορίζονται τα σημεία έναρξης και λήξης. Στην περίπτωση κλειστής καμπύλης \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right))η ολοκλήρωση συμβαίνει προς τη θετική κατεύθυνση, δηλ. σε μια κατεύθυνση που αφήνει την τελική περιοχή οριοθετημένη από το μονοπάτι προς τα αριστερά.

Ο τύπος (2.43) ορίζει καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής. Αν ξεχωρίσουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης f(z) , δηλ. γράψτε το στη φόρμα

F(z)=u+i\,v,\qquad u=\όνομα χειριστή(Re)f(z),\quad v=\όνομα χειριστή(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\τετράγωνο v=v(x,y),

τότε το ολοκληρωτικό άθροισμα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή δύο όρων, οι οποίοι θα είναι τα ολοκληρωτικά αθροίσματα καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους συναρτήσεων δύο πραγματικών μεταβλητών. Εάν η f(z) υποτεθεί ότι είναι συνεχής στο l, τότε το u(x, y), ~ v(x, y) θα είναι επίσης συνεχές στο l, και ως εκ τούτου θα υπάρχουν όρια στα αντίστοιχα ολοκληρωτικά αθροίσματα. Επομένως, εάν η συνάρτηση f(z) είναι συνεχής στο l , τότε το όριο στην ισότητα (2.43) υπάρχει, δηλ. υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(z) πάνω από την καμπύλη l και τον τύπο

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό ενός ολοκληρώματος ή τύπου (2.44) και τις ιδιότητες των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους, είναι εύκολο να επαληθευτεί η εγκυρότητα των ακόλουθων ιδιοτήτων ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής (ιδιότητες γνωστές από την πραγματική ανάλυση) .

\begin(aligned)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \αριστερά|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end (ευθυγραμμισμένο)

συγκεκριμένα, \textstyle(\αριστερά|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), αν η συνάρτηση οριοθετείται σε απόλυτη τιμή στην καμπύλη AB , δηλαδή |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ιδιότητα της εκτίμησης του συντελεστή του ολοκληρώματος.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

Ο τύπος (2.44) μπορεί να θεωρηθεί τόσο ως ορισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής, όσο και ως τύπος για τον υπολογισμό του μέσω καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους συναρτήσεων δύο πραγματικών μεταβλητών.

Για να χρησιμοποιήσουμε και να θυμηθούμε τον τύπο υπολογισμού, σημειώνουμε ότι η ισότητα (2.44) αντιστοιχεί στην τυπική εκτέλεση στην αριστερή πλευρά κάτω από το ακέραιο πρόσημο των πράξεων εξαγωγής των πραγματικών και φανταστικών μερών της συνάρτησης f(z) , πολλαπλασιαζόμενη με dz= dx+i\,dy και γράφοντας το γινόμενο που προκύπτει σε αλγεβρική μορφή:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,

Παράδειγμα 2.79.Υπολογίστε τα ολοκληρώματα και \int\limits_(OA)z\,dz, όπου η γραμμή ΟΑ

α) ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία z_1=0 και z_2=1+i ,
β) διακεκομμένη γραμμή ΟΒΑ , όπου O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ Λύση

1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz. Εδώ f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Γράφουμε το ολοκλήρωμα με όρους καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

που αντιστοιχεί στον τύπο (2.44). Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα:

α) η διαδρομή ολοκλήρωσης είναι επομένως ευθύγραμμο τμήμα \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

β) η διαδρομή ολοκλήρωσης είναι μια διακεκομμένη γραμμή, που αποτελείται από δύο τμήματα OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\)και BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Επομένως, χωρίζοντας το ολοκλήρωμα στα δύο και πραγματοποιώντας υπολογισμούς, λαμβάνουμε

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limits_(0)^(1)x\,dx+ \int\limits_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(z)=\overline(z) εξαρτάται από την επιλογή της διαδρομής ολοκλήρωσης που συνδέει τα σημεία O και A .

2. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz)εδώ f(z)=z=x+iy . Γράφουμε το ολοκλήρωμα με όρους καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Τα ολοκληρώματα των ληφθέντων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους είναι ολικά διαφορικά (βλ. συνθήκη (2.30)), επομένως αρκεί να εξετάσουμε μια περίπτωση διαδρομής ολοκλήρωσης. Άρα, στην περίπτωση «α», όπου η εξίσωση του τμήματος y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, παίρνουμε την απάντηση

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

Λόγω της ανεξαρτησίας του ολοκληρώματος από τη μορφή της διαδρομής ολοκλήρωσης, η εργασία σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να διατυπωθεί σε μια πιο γενική μορφή: υπολογισμός του ολοκληρώματος

\int\limits_(l)z\,dzαπό το σημείο z_1=0 έως το σημείο z_2=1+i .

Στην επόμενη υποενότητα, εξετάζουμε πιο αναλυτικά τέτοιες περιπτώσεις ένταξης.

2. Έστω το ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε κάποιο πεδίο ορισμού ανεξάρτητο από τη μορφή της καμπύλης που συνδέει δύο σημεία αυτού του τομέα. Ας διορθώσουμε το σημείο εκκίνησης, δηλώνοντας z_0 . το τελικό σημείο είναι μια μεταβλητή, ας τη συμβολίσουμε z . Τότε η τιμή του ολοκληρώματος θα εξαρτηθεί μόνο από το σημείο z, δηλαδή ορίζει κάποια συνάρτηση στην καθορισμένη περιοχή.

Παρακάτω, θα αιτιολογήσουμε τον ισχυρισμό ότι στην περίπτωση ενός απλά συνδεδεμένου τομέα, το ολοκλήρωμα ορίζει μια συνάρτηση μίας τιμής σε αυτόν τον τομέα. Εισάγουμε τη σημειογραφία

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

Η συνάρτηση F(z) είναι ένα ολοκλήρωμα με μεταβλητό άνω όριο.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας παραγώγου, δηλ. Θεωρώντας \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το F(z) έχει παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα ορισμού, και επομένως είναι αναλυτικό σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, για την παράγωγο παίρνουμε τον τύπο

F"(z)=f(z).

Η παράγωγος ενός ολοκληρώματος με μεταβλητό ανώτερο όριο είναι ίση με την τιμή του ολοκληρώματος στο ανώτερο όριο.

Από την ισότητα (2.46), ειδικότερα, προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα f(z) στο (2.45) είναι αναλυτική συνάρτηση, αφού η παράγωγος F"(z) της αναλυτικής συνάρτησης F(z) από την ιδιότητα τέτοιων συναρτήσεων ( βλ. Πρόταση 2.28) - αναλυτική συνάρτηση.

3. Η συνάρτηση F(z) για την οποία ισχύει η ισότητα (2.46) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f(z) σε ένα απλά συνδεδεμένο πεδίο, και η συλλογή αντιπαραγώγων \Phi(z)=F(z)+c , όπου c=\text( const) , - αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(z) .

Από τα σημεία 2 και 3 προκύπτει ο ακόλουθος ισχυρισμός.

Δήλωση 2.25

1. Ολοκληρωμένο με μεταβλητό άνω όριο \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi)Από μια ανάλυση συνάρτησης σε έναν απλά συνδεδεμένο τομέα υπάρχει μια ανάλυση συνάρτησης σε αυτόν τον τομέα. αυτή η συνάρτηση είναι αντιπαράγωγος για το ολοκλήρωμα.

2. Οποιαδήποτε συνάρτηση είναι αναλυτική σε ένα απλά συνδεδεμένο πεδίο έχει ένα αντιπαράγωγο (η ύπαρξη ενός αντιπαραγώγου).

Τα αντιπαράγωγα των αναλυτικών συναρτήσεων σε απλά συνδεδεμένα πεδία βρίσκονται, όπως στην περίπτωση της πραγματικής ανάλυσης: χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες των ολοκληρωμάτων, ο πίνακας των ολοκληρωμάτων και οι κανόνες ολοκλήρωσης.

Για παράδειγμα, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Μεταξύ του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος μιας αναλυτικής συνάρτησης και της αντιπαράγωγής της σε ένα απλά συνδεδεμένο πεδίο, υπάρχει ένας τύπος παρόμοιος με τον τύπο Newton-Leibniz από πραγματική ανάλυση:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Όπως στην πραγματική ανάλυση, στο μιγαδικό πεδίο, εκτός από τα ολοκληρώματα που περιέχουν μια παράμετρο εντός των ορίων ολοκλήρωσης (ο τύπος (2.45) δίνει το απλούστερο παράδειγμα τέτοιων ολοκληρωμάτων), θεωρούνται ολοκληρώματα που εξαρτώνται από την παράμετρο που περιέχεται στο ολοκλήρωμα : \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Μεταξύ αυτών των ολοκληρωμάτων, μια σημαντική θέση στη θεωρία και την πρακτική της σύνθετης ολοκλήρωσης και των εφαρμογών καταλαμβάνει ένα ολοκλήρωμα της μορφής \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Υποθέτοντας ότι η f(z) είναι συνεχής στην ευθεία l , παίρνουμε ότι για οποιοδήποτε σημείο z που δεν ανήκει στο l , το ολοκλήρωμα υπάρχει και καθορίζει, σε οποιαδήποτε περιοχή που δεν περιέχει l , κάποια συνάρτηση

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

Το ολοκλήρωμα (2.48) ονομάζεται ολοκλήρωμα τύπου Cauchy. Ο πολλαπλασιαστής \frac(1)(2\pi\,i) εισάγεται για την ευκολία χρήσης της κατασκευασμένης συνάρτησης.

Για αυτή τη συνάρτηση, καθώς και για τη συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα (2.45), αποδεικνύεται ότι είναι αναλυτική παντού στο πεδίο ορισμού. Επιπλέον, σε αντίθεση με το ολοκλήρωμα (2.45), δεν απαιτείται εδώ η συνάρτηση δημιουργίας f(z) να είναι αναλυτική, δηλ. Ο τύπος (2.48) χρησιμοποιείται για την κατασκευή μιας κλάσης αναλυτικών συναρτήσεων στην κατηγορία συνεχών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Η παράγωγος του ολοκληρώματος (2.48) προσδιορίζεται από τον τύπο

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Για να αποδειχθεί ο τύπος (2.49) και, κατά συνέπεια, να ισχυριστεί κανείς ότι ένα ολοκλήρωμα τύπου Cauchy είναι αναλυτικό, αρκεί, σύμφωνα με τον ορισμό μιας παραγώγου, να διαπιστωθεί η εγκυρότητα της ανισότητας

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

για οποιοδήποτε \varepsilon>0 και για οποιοδήποτε z από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(z) .

Η ίδια μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι υπάρχει παράγωγος της συνάρτησης που ορίζεται από την ισότητα (2.49), δηλ. F""(z) και ο τύπος

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί και μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά τον τύπο για την παράγωγο οποιασδήποτε τάξης της συνάρτησης F(z)\colon

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Αναλύοντας τους τύπους (2.48) και (2.49), είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η παράγωγος F(z) μπορεί να ληφθεί τυπικά διαφοροποιώντας σε σχέση με την παράμετρο κάτω από το ολοκλήρωμα στο (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\left(\frac(f (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Εφαρμόζοντας τυπικά τον κανόνα της διαφοροποίησης ενός ολοκληρώματος ανάλογα με μια παράμετρο n φορές, λαμβάνουμε τον τύπο (2.50).

Γράφουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε αυτή την ενότητα με τη μορφή ισχυρισμού.

Ισχυρισμός 2.26. Αναπόσπαστο \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xiαπό μια συνάρτηση f(z) , συνεχή στην καμπύλη l , υπάρχει μια συνάρτηση που είναι αναλυτική σε οποιοδήποτε πεδίο D που δεν περιέχει l . Οι παράγωγοι αυτής της συνάρτησης μπορούν να ληφθούν με διαφοροποίηση ως προς την παράμετρο κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος.

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων από συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής

Παραπάνω, λαμβάνονται τύποι για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής - τύποι (2.44) και (2.47).

Εάν η καμπύλη l στον τύπο (2.44) οριστεί παραμετρικά: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\betaή, που αντιστοιχεί στην πραγματική μορφή: \αρχή(περιπτώσεις) x=x(t),\\ y=y(t),\end(περιπτώσεις)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους στην περίπτωση μιας παραμετρικής προδιαγραφής μιας καμπύλης, μπορούμε να μετατρέψουμε τον τύπο (2.44) στη μορφή

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Το αποτέλεσμα που προέκυψε και τα αποτελέσματα που προέκυψαν στην προηγούμενη διάλεξη θα γραφτούν ως ακολουθία ενεργειών.

Μέθοδοι υπολογισμού ολοκληρωμάτων \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Πρώτος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz)από συνεχή συνάρτηση με αναγωγή σε καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα συναρτήσεων πραγματικών μεταβλητών - η εφαρμογή του τύπου (2.44).

1. Βρείτε \όνομα χειριστή(Re)f(z)=u,~ \όνομα χειριστή(Im)f(z)=v.

2. Γράψτε το ολοκλήρωμα f(z)dz ως γινόμενο (u+iv)(dx+i\,dy) ή πολλαπλασιάζοντας u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Υπολογίστε τα καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα της φόρμας \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), όπου P=P(x,y),~ Q=Q(x,y)σύμφωνα με τους κανόνες υπολογισμού καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους.

Ο δεύτερος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz)από συνεχή συνάρτηση με αναγωγή σε καθορισμένο ολοκλήρωμα στην περίπτωση παραμετρικής προδιαγραφής της διαδρομής ολοκλήρωσης - την εφαρμογή του τύπου (2.51).

1. Γράψτε την παραμετρική εξίσωση της καμπύλης z=z(t) και προσδιορίστε τα όρια ολοκλήρωσης από αυτήν: το t=\alpha αντιστοιχεί στο σημείο εκκίνησης της διαδρομής ολοκλήρωσης, το t=\beta - στο τελικό σημείο.

2. Βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης μιγαδικής τιμής z(t)\colon\, dz=z"(t)dt.
3. Αντικαταστήστε το z(t) στο ολοκλήρωμα, μετασχηματίστε το ολοκλήρωμα

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα από τη μιγαδική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής που λαμβάνεται στην Ενότητα 3.

Σημειώστε ότι η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης μιγαδικής αξίας μιας πραγματικής μεταβλητής δεν διαφέρει από την ολοκλήρωση μιας συνάρτησης με πραγματική τιμή. η μόνη διαφορά είναι η παρουσία στην πρώτη περίπτωση του παράγοντα i , ενέργειες με τις οποίες, φυσικά, θεωρούνται ως με σταθερά. Για παράδειγμα,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

Ο τρίτος τρόπος.Υπολογισμός ολοκληρωμάτων αναλυτικών συναρτήσεων σε απλά συνδεδεμένα πεδία - εφαρμογή τύπου (2.47).

1. Βρείτε την αντιπαράγωγο F(z) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων, των πίνακα ολοκληρωμάτων και τις μεθόδους γνωστές από την πραγματική ανάλυση.

2. Εφαρμόστε τον τύπο (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Παρατηρήσεις 2.10

1. Στην περίπτωση μιας πολλαπλά συνδεδεμένης περιοχής, γίνονται τομές έτσι ώστε να μπορεί να ληφθεί μια συνάρτηση με μία τιμή F(z).

2. Κατά την ολοκλήρωση κλάδων μιας τιμής συναρτήσεων πολλαπλών τιμών, ένας κλάδος διακρίνεται ορίζοντας την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο της καμπύλης ολοκλήρωσης. Εάν η καμπύλη είναι κλειστή, τότε το σημείο εκκίνησης της διαδρομής ολοκλήρωσης είναι το σημείο στο οποίο δίνεται η τιμή του ολοκληρώματος. Η τιμή του ολοκληρώματος μπορεί να εξαρτάται από την επιλογή αυτού του σημείου.

▼ Παραδείγματα 2.80-2.86 υπολογισμός ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής

Παράδειγμα 2.80.Υπολογίζω \int\limits_(l)\όνομα χειριστή(Re)z\,dz, όπου l είναι μια ευθεία που συνδέει το σημείο z_1=0 με το σημείο z_2=1+i\ άνω και κάτω τελεία

α) l - ευθεία γραμμή. β) l - διακεκομμένη γραμμή OBA , όπου O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ Λύση

α) Εφαρμόζουμε την πρώτη μέθοδο - (τύπος (2.44)).

1.2. Το ολοκλήρωμα έχει τη μορφή \όνομα χειριστή(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Να γιατί

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα για y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(η εξίσωση του τμήματος ΟΑ που συνδέει τα σημεία z_1 και z_2 ). Παίρνουμε

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

β) Εφόσον η διαδρομή ολοκλήρωσης αποτελείται από δύο τμήματα, γράφουμε το ολοκλήρωμα ως άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

\int\limits_(l)\operatorname(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\operatorname(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\operatorname(Re)z\,dz

και το καθένα υπολογίζεται όπως στην προηγούμενη παράγραφο. Επιπλέον, για το τμήμα OB έχουμε

\begin(cases)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end (περιπτώσεις)και για το τμήμα BA\colon \begin(cases)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end (περιπτώσεις)

Κάνουμε υπολογισμούς:

\int\limits_(l)\όνομα χειριστή(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Σημειώστε ότι το ολοκλήρωμα σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι αναλυτική συνάρτηση, επομένως τα ολοκληρώματα σε δύο διαφορετικές καμπύλες που συνδέουν δύο δεδομένα σημεία μπορούν να έχουν διαφορετικές τιμές, κάτι που φαίνεται σε αυτό το παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.81.Υπολογίζω \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, όπου l είναι το άνω ημικύκλιο |z|=1 , παρακάμπτοντας την καμπύλη l αριστερόστροφα.

▼ Λύση

Η καμπύλη έχει μια απλή παραμετρική εξίσωση z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, επομένως είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο (τύπος (2.51)). Το ολοκλήρωμα εδώ είναι μια συνεχής συνάρτηση, δεν είναι αναλυτική.

1.2. Για z=e^(it) βρίσκουμε \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Υποκατάστατο στο ολοκλήρωμα. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Παράδειγμα 2.82.Υπολογίστε ολοκληρώματα αναλυτικών συναρτήσεων:

ένα) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; σι) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), η διαδρομή ολοκλήρωσης δεν διέρχεται από το σημείο i.

▼ Λύση

α) Εφαρμόστε τον τύπο (2.47) (τρίτος κανόνας). βρίσκουμε το αντιπαράγωγο χρησιμοποιώντας μεθόδους ολοκλήρωσης πραγματικής ανάλυσης:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \αριστερά.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\όνομα χειριστή(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \όνομα χειριστή(sh)2).

β) Το ολοκλήρωμα είναι αναλυτικό παντού εκτός από το σημείο i . Σχεδιάζοντας ένα επίπεδο τομή κατά μήκος της ακτίνας από το σημείο i έως το \infty, λαμβάνουμε μια απλά συνδεδεμένη περιοχή στην οποία η συνάρτηση είναι αναλυτική και το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο (2.47). Επομένως, για οποιαδήποτε καμπύλη που δεν διέρχεται από το σημείο i, το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.47), ενώ για δύο δεδομένα σημεία θα έχει την ίδια τιμή.

Στο σχ. Το 2.44 δείχνει δύο περιπτώσεις περικοπών. Η κατεύθυνση παράκαμψης του ορίου των απλώς συνδεδεμένων περιοχών, όπου το ολοκλήρωμα είναι αναλυτικό, υποδεικνύεται με βέλη. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Παράδειγμα 2.83.Υπολογισμός Ολοκληρώματος \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Λύση

Το ολοκλήρωμα είναι αναλυτικό παντού στο \mathbb(C) . Εφαρμόζουμε την τρίτη μέθοδο, τον τύπο (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \αριστερά.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Αυτό το αποτέλεσμα λαμβάνεται στο παράδειγμα 2.78 σύμφωνα με την πρώτη μέθοδο.

Παράδειγμα 2.84.Υπολογισμός Ολοκληρώματος \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), όπου C είναι ένας κύκλος |z-a|=R .

▼ Λύση

Ας χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη μέθοδο.

1. Γράφουμε την εξίσωση κύκλου σε παραμετρική μορφή: z-a=R\,e^(it) , ή z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Εύρεση του διαφορικού dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Αντικαταστήστε τα z=a+R\,e^(it) και dz στο ολοκλήρωμα:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,

Υπολογίζουμε το οριστικό ολοκλήρωμα που προκύπτει. Για n\ne1 παίρνουμε

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \bigr).

Επειδή e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, να γιατί \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0για n\ne1 . Για n=1 παίρνουμε \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Γράφουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή τύπου:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

Συγκεκριμένα, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Σημειώστε ότι εάν ο κύκλος C\colon |z-a|=R παρακάμψει το σημείο k φορές, τότε το όρισμα (παράμετρος) αλλάζει από 0 σε 2\pi k ( k>0 , εάν ο κύκλος είναι στη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αριστερόστροφα, και κ<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Παράδειγμα 2.85.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

α) η διαδρομή ολοκλήρωσης δεν διέρχεται από το σημείο z=0 και δεν το παρακάμπτει, -\πι<\arg z \leqslant\pi ;

β) η διαδρομή ολοκλήρωσης δεν διέρχεται από το σημείο z=0 , αλλά περιστρέφεται γύρω από αυτό n φορές γύρω από τον κύκλο αριστερόστροφα.

▼ Λύση

α) Αυτό το ολοκλήρωμα - ένα ολοκλήρωμα με μεταβλητό ανώτερο όριο - ορίζει μια αναλυτική συνάρτηση μονής τιμής σε οποιοδήποτε απλά συνδεδεμένο τομέα (βλ. 2.45)). Ας βρούμε μια αναλυτική έκφραση για αυτή τη συνάρτηση - αντιπαράγωγο για f(z)=\frac(1)(z) . Διαχωρισμός του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του ολοκληρώματος \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.44)), είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι τα ολοκληρώματα του δεύτερου είδους είναι ολικά διαφορικά και, επομένως, το ολοκλήρωμα \frac(d\xi)(\xi) δεν εξαρτάται από τη μορφή του καμπύλη που συνδέει τα σημεία z_1=1 και z . Ας επιλέξουμε μια διαδρομή που αποτελείται από ένα τμήμα του άξονα Ox από το σημείο z_1=1 έως το σημείο z_2=r , όπου r=|z| , και τόξα l του κύκλου. συνδέοντας το z_2 με το z (Εικ. 2.45, α).

Γράφουμε το ολοκλήρωμα ως άθροισμα: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα σε ένα κυκλικό τόξο, χρησιμοποιούμε τον τύπο (2.51), ενώ το τόξο έχει την εξίσωση \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Παίρνουμε \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (αυτό))\,dt=i\arg z; σαν άποτέλεσμα

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\n r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Η δεξιά πλευρά της ισότητας ορίζει μια συνάρτηση μονής τιμής \ln z - την κύρια τιμή του λογαρίθμου. Την απάντηση την παίρνουμε στη φόρμα

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\n z\,.

Σημειώστε ότι η προκύπτουσα ισότητα μπορεί να ληφθεί ως ο ορισμός μιας συνάρτησης μονής τιμής \ln z σε έναν απλά συνδεδεμένο τομέα - ένα επίπεδο με τομή κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού ημιάξονα (-\infty;0] .

β) Το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), όπου c είναι ο κύκλος |z|=1 που διανύεται αριστερόστροφα n φορές, και l η καμπύλη που συνδέει τα σημεία z_1 και z και δεν περικλείει το σημείο z=0 (Εικ. 2.45,b).

Ο πρώτος όρος είναι ίσος με 2n\pi i (βλ. παράδειγμα 2.84), ο δεύτερος - \ln(z) - τύπος (2.53). Παίρνουμε το αποτέλεσμα \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\n z+2n\pi i.

Παράδειγμα 2.86.Υπολογισμός Ολοκληρώματος \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))κατά μήκος του άνω τόξου του κύκλου |z|=1 παρέχεται: a) \sqrt(1)=1 ; β) \sqrt(1)=-1 .

▼ Λύση

Η ρύθμιση των τιμών της συνάρτησης \sqrt(z) στο σημείο του περιγράμματος ολοκλήρωσης σάς επιτρέπει να επιλέξετε κλάδους με μία τιμή της έκφρασης \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(βλ. παράδειγμα 2.6). Η τομή μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κατά μήκος του φανταστικού αρνητικού ημιάξονα. Αφού για z=1 έχουμε \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, τότε στην πρώτη περίπτωση επιλέγεται κλάδος με k=0, στη δεύτερη - με k=1 . Το ολοκλήρωμα στο περίγραμμα ολοκλήρωσης είναι συνεχές. Για να λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο (2.51), η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

α) Ο κλάδος ορίζεται όταν k=0 , δηλ. από z=e^(it) για το ολοκλήρωμα που λαμβάνουμε \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

β) Ο κλάδος προσδιορίζεται όταν k=1, δηλ. από z=e^(it) για το ολοκλήρωμα που έχουμε \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

Στη θεωρία και την πράξη, σε εφαρμογές του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής, κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς συναρτήσεων σε οριοθετημένες περιοχές ή κοντά σε μεμονωμένα σημεία, τα ολοκληρώματα θεωρούνται κατά μήκος κλειστών καμπυλών - τα όρια των περιοχών, ειδικότερα γειτονιές σημείων. Θα εξετάσουμε τα ολοκληρώματα \oint\limits_(C)f(z)dz, όπου το f(z) είναι αναλυτικό σε κάποια περιοχή με εξαίρεση μεμονωμένα σημεία, το C είναι το όριο της περιοχής ή το εσωτερικό περίγραμμα σε αυτήν την περιοχή.

Βασικό θεώρημα Cauchy για ένα απλό περίγραμμα

Θεώρημα 2.1 (θεώρημα Cauchy για ένα απλό περίγραμμα). Εάν το f(z) είναι αναλυτικό σε έναν απλώς συνδεδεμένο τομέα, τότε για οποιοδήποτε περίγραμμα C που ανήκει σε αυτόν τον τομέα, η ισότητα

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

Η απόδειξη του θεωρήματος είναι εύκολο να επιτευχθεί, με βάση την ιδιότητα των αναλυτικών συναρτήσεων, σύμφωνα με την οποία μια αναλυτική συνάρτηση έχει παραγώγους οποιασδήποτε τάξης (βλ. Πρόταση 2.28). Αυτή η ιδιότητα εξασφαλίζει τη συνέχεια των μερικών παραγώγων του \όνομα χειριστή(Re)f(z)και \όνομα χειριστή(Im)f(z), επομένως, εάν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (2.44), τότε είναι εύκολο να δούμε ότι για καθένα από τα ολοκληρώματα σε καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα του δεύτερου είδους, ικανοποιούνται οι πλήρεις διαφορικές συνθήκες, όπως οι συνθήκες Cauchy-Riemann των αναλυτικών συναρτήσεων. Και τα ολοκληρώματα πάνω από κλειστές καμπύλες των συνολικών διαφορών είναι ίσα με μηδέν.

Σημειώστε ότι όλες οι θεωρητικές προτάσεις που παρουσιάζονται παρακάτω βασίζονται τελικά σε αυτό το σημαντικό θεώρημα, συμπεριλαμβανομένης της ιδιότητας των αναλυτικών συναρτήσεων που αναφέρθηκαν παραπάνω. Για να μην υπάρχει αμφιβολία για την ορθότητα της παρουσίασης, σημειώνουμε ότι το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς αναφορά στην ύπαρξη των παραγώγων του μόνο με βάση τον ορισμό μιας αναλυτικής συνάρτησης.

Συμπεράσματα από το Θεώρημα 2.1

1. Το θεώρημα ισχύει επίσης αν C είναι το όριο του πεδίου ορισμού D και η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο πεδίο ορισμού και στο όριο, δηλ. στο \overline(D) , αφού, σύμφωνα με τον ορισμό, η αναλυτικότητα στο \overline(D) υποδηλώνει αναλυτικότητα μιας συνάρτησης σε κάποια περιοχή Β που περιέχει D~(B\upset\overline(D)), ενώ το C θα είναι ένα εσωτερικό περίγραμμα στο B .

2. Ολοκληρώματα σε διάφορες καμπύλες που βρίσκονται σε μια απλά συνδεδεμένη περιοχή αναλυτικότητας συνάρτησης και συνδέουν δύο σημεία αυτής της περιοχής είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, όπου l_1 και l_2 είναι αυθαίρετες καμπύλες που συνδέουν τα σημεία z_1 και z_2 (Εικ. 2.46).

Για να το αποδείξουμε, αρκεί να εξετάσουμε το περίγραμμα C , που αποτελείται από την καμπύλη l_1 (από το σημείο z_1 έως το σημείο z_2 ) και την καμπύλη l_2 (από το σημείο z_2 έως το σημείο z_1 ). Το ακίνητο μπορεί να διαμορφωθεί ως εξής. Το ολοκλήρωμα μιας αναλυτικής συνάρτησης δεν εξαρτάται από τη μορφή της καμπύλης ολοκλήρωσης που συνδέει δύο σημεία της περιοχής αναλυτικότητας της συνάρτησης και δεν αφήνει αυτήν την περιοχή.

Αυτό δικαιολογεί τη δήλωση 2.25 που δόθηκε παραπάνω σχετικά με τις ιδιότητες του ολοκληρώματος \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xiκαι για την ύπαρξη αντιπαραγώγου αναλυτικής συνάρτησης.

Το θεώρημα του Cauchy για ένα σύνθετο περίγραμμα

Θεώρημα 2.2 (θεώρημα Cauchy για μιγαδικό περίγραμμα). Εάν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε μια πολλαπλά συνδεδεμένη περιοχή που οριοθετείται από ένα μιγαδικό περίγραμμα, και σε αυτό το περίγραμμα, τότε το ολοκλήρωμα πάνω από το όριο της περιοχής της συνάρτησης είναι ίσο με μηδέν, δηλ. εάν το C είναι μιγαδικό περίγραμμα - το όριο της περιοχής και μετά ο τύπος (2.54 ).

Σύνθετο περίγραμμα C για (n+1) - συνδεδεμένη περιοχή αποτελείται από εξωτερικό περίγραμμα \Gamma και εσωτερικό - C_i,~i=1,2,\ldots,n; τα περιγράμματα δεν τέμνονται ανά ζεύγη, η παράκαμψη του ορίου είναι θετική (στο Σχ. 2.47, n=3).

Για να αποδειχθεί το Θεώρημα 2.2, αρκεί να σχεδιάσουμε τομές στον τομέα (διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 2.47) έτσι ώστε να ληφθούν δύο απλά συνδεδεμένα πεδία και να χρησιμοποιηθεί το Θεώρημα 2.1.

Συνέπειες από το Θεώρημα 2.2

1. Υπό τις συνθήκες του Θεωρήματος 2.2, το ολοκλήρωμα πάνω από το εξωτερικό περίγραμμα είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω από τα εσωτερικά. παράκαμψη σε όλα τα περιγράμματα προς μία κατεύθυνση (στο Σχ. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Αν η f(z) είναι αναλυτική σε μια απλά συνδεδεμένη περιοχή D και στο όριο της περιοχής, με πιθανή εξαίρεση το σημείο α αυτής της περιοχής, τότε τα ολοκληρώματα σε διάφορες κλειστές καμπύλες που βρίσκονται στην περιοχή D και δεσμεύονται οι περιοχές που περιέχουν το σημείο α είναι ίσες μεταξύ τους (Εικ. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

Η απόδειξη είναι προφανής, αφού κάθε τέτοιο περίγραμμα μπορεί να θεωρηθεί ως το εσωτερικό όριο ενός διπλά συνδεδεμένου τομέα του οποίου το εξωτερικό όριο είναι το όριο του τομέα D . Σύμφωνα με τον τύπο (2.55), για n=1 οποιοδήποτε τέτοιο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το ολοκλήρωμα πάνω από το όριο D .

Η σύγκριση των διατυπώσεων του Θεωρήματος 2.2 και του Συμπεράσματος 1 από το Θεώρημα 2.1 μας επιτρέπει να κάνουμε μια γενίκευση, την οποία γράφουμε με τη μορφή του παρακάτω ισχυρισμού.

Ισχυρισμός 2.27. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο D , τότε , όπου C είναι το όριο του τομέα D (απλό ή σύνθετο περίγραμμα).

Αναπόσπαστος τύπος Cauchy

Στο επόμενο θεώρημα, σε αντίθεση με τα δύο προηγούμενα, εξετάζεται το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης, η οποία, επειδή δεν είναι αναλυτική στην περιοχή που οριοθετείται από το περίγραμμα ολοκλήρωσης, έχει ειδική μορφή.

Θεώρημα 2.3. Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο πεδίο ορισμού D και στο όριο της C , τότε για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο a του πεδίου (a\in D) η ισότητα

F(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

Η περιοχή D μπορεί απλά να συνδεθεί ή να πολλαπλασιαστεί και το όριο της περιοχής μπορεί να είναι ένα απλό ή σύνθετο περίγραμμα.

Η απόδειξη για την περίπτωση ενός απλώς συνδεδεμένου τομέα βασίζεται στο αποτέλεσμα του Θεωρήματος 2.1 και για έναν πολλαπλασιαζόμενο τομέα, ανάγεται στην περίπτωση απλά συνδεδεμένων τομέων (όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος 2.2) κάνοντας περικοπές που κάνουν να μην περάσει από το σημείο α .

Πρέπει να σημειωθεί ότι το σημείο α δεν ανήκει στο όριο της περιοχής και επομένως το ολοκλήρωμα είναι συνεχές στο C και το ολοκλήρωμα υπάρχει.

Το θεώρημα έχει μεγάλο εφαρμοσμένο ενδιαφέρον, δηλαδή, ο τύπος (2.57) λύνει το λεγόμενο πρόβλημα οριακής τιμής της θεωρίας συναρτήσεων: οι τιμές μιας συνάρτησης στο όριο του τομέα χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της τιμής της σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο.

Παρατήρηση 2.11.Υπό τις συνθήκες του θεωρήματος, το ολοκλήρωμα \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xiορίζει μια αναλυτική συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο z που δεν ανήκει στο περίγραμμα C , και στα σημεία της πεπερασμένης περιοχής D , που οριοθετείται από το περίγραμμα, ισούται με f(z) (σύμφωνα με τον τύπο (2.57)), και εκτός \overline(D) ισούται με μηδέν λόγω των θεωρημάτων του Cauchy. Αυτό το ολοκλήρωμα, που ονομάζεται ολοκλήρωμα Cauchy, είναι μια ειδική περίπτωση του ολοκληρώματος τύπου Cauchy (2.48). Εδώ το περίγραμμα είναι κλειστό, σε αντίθεση με το αυθαίρετο στο (2.48), και η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική, σε αντίθεση με τη συνεχή στο l στο (2.48). Για το ολοκλήρωμα Cauchy, επομένως, ισχύει ο ισχυρισμός 2.26, που διατυπώθηκε για ένα ολοκλήρωμα τύπου Cauchy, σχετικά με την ύπαρξη παραγώγων. Με βάση αυτό, μπορεί να διατυπωθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός.

Δήλωση 2.28

1. Μια αναλυτική συνάρτηση σε οποιοδήποτε σημείο αναλυτικότητας μπορεί να γραφτεί ως ολοκλήρωμα

F(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Μια αναλυτική συνάρτηση έχει παραγώγους οποιασδήποτε τάξης για την οποία ο τύπος

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Ο τύπος (2.59) δίνει μια ολοκληρωμένη αναπαράσταση των παραγώγων μιας αναλυτικής συνάρτησης.

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε κλειστό βρόχο

Θα εξετάσουμε ολοκληρώματα της φόρμας \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, όπου η συνάρτηση \varphi(z) είναι αναλυτική στο D , και \psi(z) είναι ένα πολυώνυμο που δεν έχει μηδενικά στο περίγραμμα C . Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιούνται τα θεωρήματα της προηγούμενης διάλεξης και τα συμπεράσματά τους.

Κανόνας 2.6. Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων της φόρμας \oint\limits_(C)f(z)\,dzτέσσερις περιπτώσεις μπορούν να διακριθούν ανάλογα με τη φύση (πολλαπλασιασμό) των μηδενικών του πολυωνύμου \psi(z) και τη θέση τους σε σχέση με το περίγραμμα C.

1. Δεν υπάρχουν μηδενικά του πολυωνύμου \psi(z) στην περιοχή D. Επειτα f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z))η συνάρτηση είναι αναλυτική και, εφαρμόζοντας το κύριο θεώρημα Cauchy, έχουμε το αποτέλεσμα \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. Στην περιοχή D υπάρχει ένα απλό μηδέν z=a του πολυωνύμου \psi(z) . Στη συνέχεια γράφουμε το κλάσμα ως \frac(f(z))(z-a) , όπου η f(z) είναι μια αναλυτική συνάρτηση στο \overline(D) . Εφαρμόζοντας τον ολοκληρωμένο τύπο, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cdot f(a).

3. Στην περιοχή D υπάρχει ένα πολλαπλάσιο μηδέν z=a του πολυωνύμου \psi(z) (πολλαπλασιασμού n ). Στη συνέχεια γράφουμε το κλάσμα στη μορφή \frac(f(z))((z-a)^n), όπου η f(z) είναι μια αναλυτική συνάρτηση στο \overline(D) . Εφαρμόζοντας τον τύπο (2.59), παίρνουμε το αποτέλεσμα

\oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Στην περιοχή Δ υπάρχουν δύο μηδενικά του πολυωνύμου \psi(z)\colon\,z_1=aκαι z_2=b . Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το συμπέρασμα 1 από το Θεώρημα 2.2, γράφουμε το ολοκλήρωμα ως \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a) , όπου C είναι ένα αυθαίρετο περίγραμμα που οριοθετεί την περιοχή που περιέχει το σημείο a .

▼ Λύση

Θεωρήστε μια διπλά συνδεδεμένη περιοχή, το ένα όριο της οποίας είναι το περίγραμμα C , το άλλο είναι ο κύκλος |z-a|=R . Με το συμπέρασμα 2 του Θεωρήματος 2.2 (βλ. (2.56)) έχουμε

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα της επίλυσης του Παραδείγματος 2.84 (τύπος (2.52)), λαμβάνουμε την απάντηση \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Σημειώστε ότι η λύση μπορεί να ληφθεί εφαρμόζοντας τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy με f(z)=1 . Συγκεκριμένα, παίρνουμε \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, αφού το περίγραμμα C περιστρέφεται γύρω από το σημείο z=0 μία φορά. Εάν το περίγραμμα C περιστρέφεται γύρω από το σημείο z=0 k φορές στη θετική (k>0) ή αρνητική κατεύθυνση (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Παράδειγμα 2.88.Υπολογίζω \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), όπου l είναι μια καμπύλη που συνδέει τα σημεία 1 και z , που περιστρέφεται γύρω από την αρχή μία φορά.

▼ Λύση

Το ολοκλήρωμα είναι συνεχές στην καμπύλη - το ολοκλήρωμα υπάρχει. Για τον υπολογισμό, χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα του προηγούμενου παραδείγματος και του παραδείγματος 2.85. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε έναν κλειστό βρόχο, που συνδέει, για παράδειγμα, το σημείο Α με το σημείο 1 (Εικ. 2.50). Η διαδρομή ολοκλήρωσης από το σημείο 1 στο σημείο z μέσω του σημείου Α μπορεί τώρα να αναπαρασταθεί ως αποτελούμενη από δύο καμπύλες - ένα κλειστό περίγραμμα C (καμπύλη BDEFAB ) και μια καμπύλη l_0 που συνδέει τα σημεία 1 και z μέσω του σημείου A\ άνω τελεία

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των Παραδειγμάτων 2.85 και 2.87, παίρνουμε την απάντηση:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Χωρίς να αλλάξουμε τη γεωμετρική εικόνα, μπορούμε να εξετάσουμε την περίπτωση που η καμπύλη περιστρέφεται γύρω από την αρχή n φορές. Λάβετε το αποτέλεσμα

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

Η παράσταση που προκύπτει ορίζει μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών \όνομα χειριστή(Ln)z= \int\limits_(1)^(z)\frac(dz)(z), η διαδρομή ολοκλήρωσης δεν περνά από την αρχή. Η επιλογή ενός κλάδου μιας έκφρασης πολλαπλών τιμών καθορίζεται ορίζοντας την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο.

Παράδειγμα 2.89.Εύρημα \ln2i= \int\limits_(1)^(2i)\frac(1)(z), εάν \ln1=4\pi i .

▼ Λύση

Βρίσκουμε τα μηδενικά του παρονομαστή - τα ενικά σημεία του ολοκληρώματος. Αυτές είναι οι τελείες z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Στη συνέχεια, πρέπει να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων σε σχέση με το περίγραμμα ολοκλήρωσης. Και στις δύο περιπτώσεις, κανένα από τα σημεία δεν περιλαμβάνεται στην περιοχή που οριοθετείται από το περίγραμμα. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας το σχέδιο. Και τα δύο περιγράμματα είναι κύκλοι, το κέντρο του πρώτου είναι z_0=2+i και η ακτίνα είναι R=2 . κέντρο του δεύτερου z_0=-2i και R=1 . Είναι δυνατό να προσδιοριστεί εάν ένα σημείο ανήκει σε μια περιοχή με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή να προσδιορίσετε την απόστασή του από το κέντρο του κύκλου και να το συγκρίνετε με την τιμή της ακτίνας. Για παράδειγμα, για το σημείο z_2=4i αυτή η απόσταση είναι ίση με |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), που είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα (\sqrt(13)>2) , άρα z_2=4i δεν ανήκει στον κύκλο |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Παράδειγμα 2.91.Υπολογίστε στις ακόλουθες περιπτώσεις ρύθμισης του περιγράμματος C\colon a) |z|=2 ; β) |z+1+i|=2 .

▼ Λύση

Με το επιχείρημα όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, διαπιστώνουμε ότι και στις δύο περιπτώσεις μόνο ένα από τα μοναδικά σημεία z_1=0 βρίσκεται μέσα στους κύκλους. Επομένως, εφαρμόζοντας την ρήτρα 2 του κανόνα 2.6 (ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy), γράφουμε το ολοκλήρωμα ως κλάσμα \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16), όπου ο αριθμητής f(z)= \frac(\sin z)(z^2+16)είναι μια συνάρτηση που είναι αναλυτική στους καθορισμένους κύκλους. Η απάντηση και στις δύο περιπτώσεις είναι η ίδια:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z(z^2+16))\,dz= \αριστερά.(2\pi i \cdot \frac(\sin z)(z^2+ 16))\δεξιά|_(z=0)=0.

Παράδειγμα 2.92.Υπολογίζω \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dzστις ακόλουθες περιπτώσεις ρύθμισης του περιγράμματος C\colon a) |z+4i|=2 ; β) |z-1+3i|=2 .

▼ Λύση

Τα περιγράμματα της ολοκλήρωσης είναι κύκλοι, όπως παραπάνω, και στην περίπτωση του "a" το κέντρο βρίσκεται στο σημείο z_0=-4i,~R=2 , στην περίπτωση του "b" - στο σημείο z_0=1-3i ,~R=2 .nΚαι στις δύο περιπτώσεις, ένα σημείο z_0=-4i μπαίνει μέσα στους αντίστοιχους κύκλους. Εφαρμόζοντας την ρήτρα 2 των κανόνων 2.6, γράφουμε το ολοκλήρωμα στη φόρμα \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), όπου ο αριθμητής f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i))είναι μια αναλυτική συνάρτηση στους υπό εξέταση τομείς. Εφαρμόζοντας τον ολοκληρωτικό τύπο, παίρνουμε την απάντηση:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \αριστερά.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \όνομα χειριστή(sh)1)(16)= -\frac(\pi \όνομα χειριστή(sh)1)(16)\,.

Παράδειγμα 2.93.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα στις ακόλουθες περιπτώσεις εκχώρησης περιγράμματος: α) |z+i|=1 ; β) |z+2+i|=2 .

▼ Λύση

Να βρείτε μοναδικά σημεία του ολοκληρώματος - μηδενικά του παρονομαστή z_1=i,~z_2=-2 . Καθορίζουμε την αναγωγή των σημείων στις αντίστοιχες περιοχές. Στην περίπτωση "a" στον κύκλο |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

Στην περίπτωση "b" στον κύκλο |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2), όπου f(z)=\frac(e^z)((z-i)^2)- αναλυτική συνάρτηση στον κύκλο |z+2+i|<2 . Вычисляем интеграл:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)= \frac(2\pi)(25)e^(-2)(4+3i).

Παράδειγμα 2.94.Υπολογισμός Ολοκληρώματος \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))στις ακόλουθες περιπτώσεις ανάθεσης περιγράμματος: α) |z-i|=2 ; β) |z+2-i|=3 .

▼ Λύση

α) Στον κύκλο |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2)και εφαρμόστε την ρήτρα 3 των κανόνων 2.6 για m=2 και a=i . Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \αριστερά.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\δεξιά)")\δεξιά|_(z=i)= \αριστερά.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\δεξιά|_(z=i)= \αριστερά.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\δεξιά|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))(2+i)^2)\,e^(i).

β) Στον κύκλο |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.

όπου καθένα από τα περιγράμματα C_1 και C_2 καλύπτει μόνο ένα από τα σημεία. Συγκεκριμένα, ως περίγραμμα C_1, μπορείτε να πάρετε τον κύκλο από την προηγούμενη περίπτωση "a". C_2 - κύκλος από το παράδειγμα 2.93 σελ. "β", δηλ. μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα. Γράψε την απάντηση:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= 2\pi i\cdot \frac(e^(-2))((2+ i)^2)+ 2\pi i\cdot \frac(1+i)((2+i)^2)\,e^(i)= \frac(2\pi i)((2+i) ^2)\bigl(e^(-2)+e^(i)(1+i)\bigl).

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς!