Διαφορικός λογισμός. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός

Δημιουργείται ένας κύκλος, οι πιο επιφανείς εκπρόσωποι του οποίου ήταν τα αδέρφια Bernoulli (Jacob και Johann) και Lopital. Στο , χρησιμοποιώντας τις διαλέξεις του I. Bernoulli, ο L'Hopital έγραψε το πρώτο εγχειρίδιο που περιγράφει τη νέα μέθοδο που εφαρμόζεται στη θεωρία των επίπεδων καμπυλών. Τον πήρε τηλέφωνο Ανάλυση απειροελάχιστων, δίνοντας έτσι ένα από τα ονόματα στον νέο κλάδο των μαθηματικών. Η παρουσίαση βασίζεται στην έννοια των μεταβλητών, μεταξύ των οποίων υπάρχει κάποια σύνδεση, λόγω της οποίας μια αλλαγή στη μία συνεπάγεται αλλαγή στην άλλη. Στο Lopital, αυτή η σύνδεση δίνεται με τη βοήθεια επίπεδων καμπυλών: αν M (\displaystyle M)είναι ένα κινούμενο σημείο μιας επίπεδης καμπύλης, τότε οι καρτεσιανές συντεταγμένες της x (\displaystyle x)και y (\displaystyle y), που ονομάζεται τετμημένη και τεταγμένη της καμπύλης, είναι μεταβλητές και η αλλαγή x (\displaystyle x)συνεπάγεται αλλαγή y (\displaystyle y). Η έννοια της συνάρτησης απουσιάζει: θέλοντας να πει ότι η εξάρτηση των μεταβλητών είναι δεδομένη, ο Lopital λέει ότι "η φύση της καμπύλης είναι γνωστή". Η έννοια του διαφορικού εισάγεται ως εξής:

Ένα απειροελάχιστο μέρος, με το οποίο μια μεταβλητή αυξάνεται ή μειώνεται συνεχώς, ονομάζεται διαφορικό του ... Για να δηλώσουμε το διαφορικό μιας μεταβλητής, η οποία εκφράζεται με ένα γράμμα, θα χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο ή το σύμβολο d (\displaystyle d). ... Ένα απειροελάχιστο μέρος, με το οποίο το διαφορικό μιας μεταβλητής τιμής αυξάνεται ή μειώνεται συνεχώς, ονομάζεται ... δεύτερο διαφορικό.

Αυτοί οι ορισμοί επεξηγούνται γεωμετρικά, με το Σχ. οι απειροελάχιστες προσαυξήσεις απεικονίζονται ως πεπερασμένες. Η εξέταση βασίζεται σε δύο απαιτήσεις (αξιώματα). Πρώτα:

Απαιτείται δύο ποσότητες, που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά ένα απειροελάχιστο ποσό, να μπορούν να ληφθούν [κατά την απλοποίηση των εκφράσεων;] αδιάφορα το ένα αντί για το άλλο.

Εξ ου και αποδεικνύεται x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), Περαιτέρω

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Η δεύτερη απαίτηση είναι:

Απαιτείται να μπορεί κανείς να θεωρήσει μια καμπύλη γραμμή ως μια συλλογή από ένα άπειρο σύνολο απείρως μικρών ευθειών.

Η συνέχεια κάθε τέτοιας γραμμής ονομάζεται εφαπτομένη της καμπύλης. Εξερεύνηση μιας εφαπτομένης μέσω ενός σημείου M = (x , y) (\displaystyle M=(x,y)), η L'Hopital δίνει μεγάλη σημασία στην ποσότητα

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

φτάνοντας σε ακραίες τιμές στα σημεία καμπής της καμπύλης, ενώ ο λόγος d y (\displaystyle dy)προς την d x (\displaystyle dx)δεν αποδίδεται ιδιαίτερη σημασία.

Η εύρεση ακραίων σημείων είναι αξιοσημείωτη. Αν με συνεχή αύξηση της τετμημένης x (\displaystyle x)τεταγμένη y (\displaystyle y)πρώτα αυξάνεται και μετά μειώνεται, μετά το διαφορικό d y (\displaystyle dy)αρχικά θετική σε σύγκριση με d x (\displaystyle dx)και μετά αρνητικό.

Αλλά οποιαδήποτε συνεχώς αυξανόμενη ή φθίνουσα ποσότητα δεν μπορεί να μετατραπεί από θετική σε αρνητική χωρίς να περάσει από το άπειρο ή το μηδέν... Συνεπάγεται ότι το διαφορικό του μεγαλύτερου και του μικρότερου μεγέθους πρέπει να ισούται με μηδέν ή άπειρο.

Αυτή η διατύπωση μάλλον δεν είναι άψογη, αν θυμηθούμε την πρώτη απαίτηση: ας πούμε, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), τότε δυνάμει της πρώτης απαίτησης

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

στο μηδέν, η δεξιά πλευρά είναι μηδέν, αλλά η αριστερή πλευρά δεν είναι. Προφανώς έπρεπε να ειπωθεί αυτό d y (\displaystyle dy)μπορεί να μετατραπεί σύμφωνα με την πρώτη απαίτηση έτσι ώστε στο μέγιστο σημείο d y = 0 (\displaystyle dy=0). . Στα παραδείγματα όλα είναι αυτονόητα και μόνο στη θεωρία των σημείων καμπής γράφει ο Lopital ότι d y (\displaystyle dy)ισούται με μηδέν στο μέγιστο σημείο, όταν διαιρείται με d x (\displaystyle dx) .

Περαιτέρω, με τη βοήθεια μόνο των διαφορικών, διατυπώνονται οι συνθήκες για ένα άκρο και εξετάζεται ένας μεγάλος αριθμός πολύπλοκων προβλημάτων, που σχετίζονται κυρίως με τη διαφορική γεωμετρία στο επίπεδο. Στο τέλος του βιβλίου, στο κεφ. 10, δηλώνεται αυτό που τώρα ονομάζεται κανόνας του L'Hopital, αν και σε μια όχι αρκετά συνηθισμένη μορφή. Αφήστε την τιμή της τεταγμένης y (\displaystyle y)Η καμπύλη εκφράζεται ως κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής εξαφανίζονται στο . Στη συνέχεια το σημείο της καμπύλης με x = a (\displaystyle x=a)έχει τεταγμένη y (\displaystyle y), ίσο με τον λόγο της διαφορικής αριθμητή προς τη διαφορική του παρονομαστή, που λαμβάνεται στο x = a (\displaystyle x=a).

Σύμφωνα με την ιδέα του L'Hopital, αυτό που έγραψε ήταν το πρώτο μέρος της Ανάλυσης, ενώ το δεύτερο υποτίθεται ότι περιέχει ολοκληρωτικό λογισμό, δηλαδή μια μέθοδο εύρεσης της σύνδεσης μεταβλητών με τη γνωστή σύνδεση των διαφορικών τους. Η πρώτη του έκθεση δίνεται από τον Johann Bernoulli στο δικό του Μαθηματικές διαλέξεις για την ολοκληρωτική μέθοδο. Εδώ δίνεται ένας τρόπος λήψης των περισσότερων στοιχειωδών ολοκληρωμάτων και υποδεικνύονται μέθοδοι για την επίλυση πολλών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Υποδεικνύοντας την πρακτική χρησιμότητα και την απλότητα της νέας μεθόδου, ο Leibniz έγραψε:

Αυτό που ένας άνθρωπος έμπειρος σε αυτόν τον λογισμό μπορεί να βρει σωστά σε τρεις γραμμές, άλλοι πιο μορφωμένοι άνθρωποι αναγκάστηκαν να αναζητήσουν, ακολουθώντας περίπλοκες παρακάμψεις.

Euler

Λέοναρντ Όιλερ

Οι αλλαγές που έγιναν τον επόμενο μισό αιώνα αντικατοπτρίζονται στην εκτενή πραγματεία του Euler. Με την παρουσίαση της ανάλυσης ανοίγει ο δίτομος «Εισαγωγή», που περιέχει έρευνα για διάφορες αναπαραστάσεις στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο όρος "λειτουργία" εμφανίζεται για πρώτη φορά μόνο στο Leibniz, αλλά ήταν ο Euler που τον έβαλε στους πρώτους ρόλους. Η αρχική ερμηνεία της έννοιας της συνάρτησης ήταν ότι μια συνάρτηση είναι μια έκφραση για μέτρηση (γερμανικά Rechnungsausdrϋck) ή αναλυτική έκφραση.

Η συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση που αποτελείται κατά κάποιο τρόπο από αυτήν τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες.

Τονίζοντας ότι «η κύρια διαφορά μεταξύ των συναρτήσεων έγκειται στον τρόπο με τον οποίο αποτελούνται από μεταβλητές και σταθερές», ο Euler απαριθμεί τις ενέργειες «με τις οποίες οι ποσότητες μπορούν να συνδυαστούν και να αναμειχθούν μεταξύ τους. Αυτές οι ενέργειες είναι: πρόσθεση και αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, εκτίμηση και εξαγωγή ριζών. Εδώ θα πρέπει να συμπεριληφθεί και η λύση των [αλγεβρικών] εξισώσεων. Εκτός από αυτές τις πράξεις, που ονομάζονται αλγεβρικές, υπάρχουν πολλές άλλες, υπερβατικές, όπως: εκθετικές, λογαριθμικές και αναρίθμητες άλλες, που παραδίδονται με ολοκληρωτικό λογισμό. Μια τέτοια ερμηνεία κατέστησε δυνατή την εύκολη αντιμετώπιση συναρτήσεων πολλαπλών τιμών και δεν απαιτούσε επεξήγηση για το ποιο πεδίο θεωρείται ότι έχει τελειώσει η συνάρτηση: η έκφραση μέτρησης ορίζεται για σύνθετες τιμές μεταβλητών, ακόμη και όταν αυτό δεν είναι απαραίτητο για το πρόβλημα. υπό εξέταση.

Οι πράξεις στην έκφραση επιτρέπονταν μόνο σε έναν πεπερασμένο αριθμό και το υπερβατικό διείσδυσε με τη βοήθεια ενός απείρως μεγάλου αριθμού ∞ (\displaystyle \infty). Στις εκφράσεις, αυτός ο αριθμός χρησιμοποιείται μαζί με φυσικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, μια τέτοια έκφραση για τον εκθέτη θεωρείται έγκυρη

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\left(1+(\frac (x)(\infty ))\right)^(\infty )),

στην οποία μόνο μεταγενέστεροι συγγραφείς είδαν τη μετάβαση στο όριο. Έγιναν διάφοροι μετασχηματισμοί με αναλυτικές εκφράσεις, οι οποίες επέτρεψαν στον Euler να βρει αναπαραστάσεις για στοιχειώδεις συναρτήσεις με τη μορφή σειρών, άπειρων γινομένων κ.λπ. υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο για καθένα από γραπτούς τύπους.

Σε αντίθεση με το L'Hôpital, ο Euler εξετάζει λεπτομερώς τις υπερβατικές συναρτήσεις, και συγκεκριμένα τις δύο πιο μελετημένες κατηγορίες τους - την εκθετική και την τριγωνομετρική. Ανακαλύπτει ότι όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αριθμητικές πράξεις και δύο πράξεις - λαμβάνοντας τον λογάριθμο και τον εκθέτη.

Η ίδια η πορεία της απόδειξης καταδεικνύει τέλεια την τεχνική της χρήσης του απείρως μεγάλου. Έχοντας προσδιορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο Euler συνάγει τα ακόλουθα από τους τύπους πρόσθεσης:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Υποθέτοντας n = ∞ (\displaystyle n=\infty)και z = n x (\displaystyle z=nx), αυτός παίρνει

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\right)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \δεξιά)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

απορρίπτοντας απειροελάχιστες τιμές υψηλότερης τάξης. Χρησιμοποιώντας αυτή και μια παρόμοια έκφραση, ο Euler αποκτά επίσης τη διάσημη φόρμουλα του

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Έχοντας υποδείξει διάφορες εκφράσεις για συναρτήσεις που τώρα ονομάζονται στοιχειώδεις, ο Euler εξετάζει τις καμπύλες στο επίπεδο, που σχεδιάζονται με ελεύθερη κίνηση του χεριού. Κατά τη γνώμη του, δεν είναι δυνατό να βρεθεί μια ενιαία αναλυτική έκφραση για κάθε τέτοια καμπύλη (βλ. επίσης τη Διαμάχη χορδών). Τον 19ο αιώνα, μετά από πρόταση του Casorati, αυτή η δήλωση θεωρήθηκε λανθασμένη: σύμφωνα με το θεώρημα Weierstrass, οποιαδήποτε συνεχής καμπύλη με τη σύγχρονη έννοια μπορεί να περιγραφεί κατά προσέγγιση με πολυώνυμα. Στην πραγματικότητα, ο Euler δύσκολα πείστηκε με αυτό, γιατί πρέπει ακόμα να ξαναγράψουμε το πέρασμα στο όριο χρησιμοποιώντας το σύμβολο ∞ (\displaystyle \infty).

Η παρουσίαση του διαφορικού λογισμού από τον Euler ξεκινά με τη θεωρία των πεπερασμένων διαφορών, ακολουθούμενη στο τρίτο κεφάλαιο από μια φιλοσοφική εξήγηση ότι «ένα απειροελάχιστο μέγεθος είναι ακριβώς μηδέν», κάτι που κυρίως δεν ταίριαζε στους συγχρόνους του Euler. Στη συνέχεια, σχηματίζονται διαφορικά από πεπερασμένες διαφορές με απειροελάχιστη προσαύξηση και από τον τύπο παρεμβολής του Νεύτωνα, τον τύπο του Taylor. Αυτή η μέθοδος ουσιαστικά πηγαίνει πίσω στο έργο του Taylor (1715). Σε αυτή την περίπτωση, ο Euler έχει μια σταθερή σχέση d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), που όμως θεωρείται ως ο λόγος δύο απειροελάχιστων. Τα τελευταία κεφάλαια είναι αφιερωμένα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό με χρήση σειρών.

Στον ολοκληρωτικό λογισμό τριών τόμων, ο Euler εισάγει την έννοια του ολοκληρώματος ως εξής:

Η συνάρτηση της οποίας το διαφορικό = X d x (\displaystyle =Xdx), ονομάζεται ολοκλήρωμά του και συμβολίζεται με το πρόσημο S (\displaystyle S)τοποθετημένο μπροστά.

Συνολικά, αυτό το μέρος της πραγματείας του Euler είναι αφιερωμένο στο γενικότερο πρόβλημα της ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων από μια σύγχρονη σκοπιά. Με αυτόν τον τρόπο, ο Euler βρίσκει έναν αριθμό ολοκληρωμάτων και διαφορικών εξισώσεων που οδηγούν σε νέες συναρτήσεις, για παράδειγμα, Γ (\displaystyle \Gamma)-συναρτήσεις, ελλειπτικές συναρτήσεις κ.λπ. Μια αυστηρή απόδειξη της μη στοιχειότητάς τους δόθηκε στη δεκαετία του 1830 από τον Jacobi για τις ελλειπτικές συναρτήσεις και από τον Liouville (βλ. στοιχειώδεις συναρτήσεις).

Lagrange

Το επόμενο σημαντικό έργο που έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της έννοιας της ανάλυσης ήταν Θεωρία αναλυτικών συναρτήσεων Lagrange και μια εκτενής αφήγηση του έργου του Lagrange, που έγινε από τον Lacroix με κάπως εκλεκτικό τρόπο.

Θέλοντας να απαλλαγεί εντελώς από το απειροελάχιστο, ο Lagrange αντέστρεψε τη σύνδεση μεταξύ των παραγώγων και της σειράς Taylor. Κάτω από την αναλυτική συνάρτηση, ο Lagrange κατανοούσε μια αυθαίρετη συνάρτηση που διερευνήθηκε από τις μεθόδους ανάλυσης. Ονόμασε την ίδια τη συνάρτηση ως , δίνοντας έναν γραφικό τρόπο γραφής της εξάρτησης - νωρίτερα, ο Euler διαχειριζόταν μόνο με μεταβλητές. Για την εφαρμογή των μεθόδων ανάλυσης, σύμφωνα με τον Lagrange, είναι απαραίτητο η συνάρτηση να επεκταθεί σε μια σειρά

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\style display f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots ),

των οποίων οι συντελεστές θα είναι νέες συναρτήσεις x (\displaystyle x). Μένει να κατονομάσουμε p (\displaystyle p)παράγωγος (διαφορικός συντελεστής) και να τον χαρακτηρίσετε ως f ′ (x) (\displaystyle f"(x)). Έτσι, η έννοια του παραγώγου εισάγεται στη δεύτερη σελίδα της πραγματείας και χωρίς τη βοήθεια απειροελάχιστων. Μένει να σημειωθεί ότι

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

άρα ο συντελεστής q (\displaystyle q)είναι η διπλή παράγωγος της παραγώγου f (x) (\displaystyle f(x)), δηλ

q = 1 2 ! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2}f""(x)} !}και τα λοιπά.

Αυτή η προσέγγιση στην ερμηνεία της έννοιας της παραγώγου χρησιμοποιείται στη σύγχρονη άλγεβρα και χρησίμευσε ως βάση για τη δημιουργία της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων Weierstrass.

Ο Lagrange λειτούργησε σε τέτοιες σειρές ως τυπικές και απέκτησε μια σειρά από αξιοσημείωτα θεωρήματα. Συγκεκριμένα, για πρώτη φορά και αρκετά αυστηρά απέδειξε τη δυνατότητα επίλυσης του αρχικού προβλήματος για συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις σε τυπικές σειρές ισχύος.

Το ζήτημα της εκτίμησης της ακρίβειας των προσεγγίσεων που παραδίδονται από μερικά αθροίσματα της σειράς Taylor τέθηκε για πρώτη φορά από τον Lagrange: στο τέλος Θεωρίες αναλυτικών συναρτήσεωνέβγαλε αυτό που τώρα ονομάζεται τύπος υπολοίπου Lagrange του Taylor. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους σύγχρονους συγγραφείς, ο Lagrange δεν είδε την ανάγκη να χρησιμοποιήσει αυτό το αποτέλεσμα για να δικαιολογήσει τη σύγκλιση της σειράς Taylor.

Το ερώτημα εάν οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση μπορούν πραγματικά να επεκταθούν σε μια σειρά ισχύος έγινε στη συνέχεια αντικείμενο συζήτησης. Φυσικά, ο Lagrange γνώριζε ότι σε ορισμένα σημεία οι στοιχειώδεις λειτουργίες μπορεί να μην επεκτείνονται σε μια σειρά ισχύος, αλλά σε αυτά τα σημεία δεν είναι σε καμία περίπτωση διαφοροποιήσιμες. Ο Koshy στο δικό του Αλγεβρική ανάλυσηέδωσε τη συνάρτηση ως αντιπαράδειγμα

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

επεκτείνεται κατά μηδέν στο μηδέν. Αυτή η συνάρτηση είναι παντού ομαλή στον πραγματικό άξονα και έχει μηδενική σειρά Maclaurin στο μηδέν, η οποία, επομένως, δεν συγκλίνει στην τιμή f (x) (\displaystyle f(x)). Σε αυτό το παράδειγμα, ο Poisson αντιτάχθηκε ότι ο Lagrange όρισε μια συνάρτηση ως μια ενιαία αναλυτική έκφραση, ενώ στο παράδειγμα του Cauchy η συνάρτηση δίνεται διαφορετικά στο μηδέν και όταν x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Μόλις στα τέλη του 19ου αιώνα ο Πρίνγκσχαϊμ απέδειξε ότι υπάρχει μια απείρως διαφοροποιήσιμη συνάρτηση που δίνεται από μια μοναδική έκφραση για την οποία η σειρά Maclaurin αποκλίνει. Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η έκφραση

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

Περαιτέρω ανάπτυξη

Διαφορικός λογισμός

Ο διαφορικός λογισμός μελετά τον ορισμό, τις ιδιότητες και τις εφαρμογές των παραγώγων συναρτήσεων. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση. Δεδομένης μιας συνάρτησης και ενός σημείου στο πεδίο ορισμού της, η παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι ένας τρόπος κωδικοποίησης της συμπεριφοράς λεπτής κλίμακας αυτής της συνάρτησης κοντά σε αυτό το σημείο. Βρίσκοντας την παράγωγο μιας συνάρτησης σε κάθε σημείο του τομέα, μπορεί κανείς να ορίσει μια νέα συνάρτηση που ονομάζεται παράγωγη συνάρτησηή απλά παράγωγοαπό την αρχική λειτουργία. Στη μαθηματική γλώσσα, μια παράγωγος είναι μια γραμμική αντιστοίχιση που έχει μια συνάρτηση ως είσοδο και μια άλλη ως έξοδο. Αυτή η έννοια είναι πιο αφηρημένη από τις περισσότερες διαδικασίες που μελετώνται στη στοιχειώδη άλγεβρα, όπου οι συναρτήσεις έχουν συνήθως έναν αριθμό ως είσοδο και έναν άλλο ως έξοδο. Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση διπλασιασμού έχει είσοδο τριών, η έξοδος θα είναι έξι. Εάν η είσοδος σε μια τετραγωνική συνάρτηση είναι τρεις, η έξοδος θα είναι εννέα. Η παράγωγος μπορεί επίσης να έχει μια τετραγωνική συνάρτηση ως είσοδο. Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος παίρνει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τη συνάρτηση τετραγωνισμού, δηλαδή: όταν εισάγεται δύο, δίνει τέσσερα ως έξοδο, μετατρέπει τρία σε εννέα, τέσσερα σε δεκαέξι και ούτω καθεξής, και χρησιμοποιεί αυτές τις πληροφορίες για να αποκτήσει μια άλλη συνάρτηση . (Η παράγωγος μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι απλώς η συνάρτηση διπλασιασμού.)

Το πιο συνηθισμένο σύμβολο για τη δήλωση ενός παραγώγου είναι ένα σημάδι που μοιάζει με απόστροφο που ονομάζεται πρώτος. Άρα η παράγωγος της συνάρτησης φάυπάρχει φά', προφέρεται "f stroke". Για παράδειγμα, εάν φά(Χ) = ΧΤο 2 είναι συνάρτηση τετραγωνισμού, λοιπόν φά'(Χ) = 2Χείναι η παράγωγός του, αυτή είναι η συνάρτηση διπλασιασμού.

Εάν η είσοδος της συνάρτησης είναι χρόνος, τότε η παράγωγος είναι η μεταβολή ως προς το χρόνο. Για παράδειγμα, εάν φάείναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από το χρόνο, και δίνει την έξοδο της θέσης της μπάλας στο χρόνο, μετά την παράγωγο φάκαθορίζει την αλλαγή στη θέση της μπάλας με την πάροδο του χρόνου, δηλαδή την ταχύτητα της μπάλας.

Αόριστο ολοκλήρωμαείναι ένα πρωτόγονος, δηλαδή η πράξη αντίστροφη προς την παράγωγο. φάείναι αόριστο ολοκλήρωμα του φάστην περίπτωση που φάείναι παράγωγο του φά. (Αυτή η χρήση κεφαλαίων και πεζών γραμμάτων για μια συνάρτηση και το αόριστο ολοκλήρωσό της είναι κοινή στον λογισμό.)

Ορισμένο ολοκλήρωμαΟι τιμές συνάρτησης εισόδου και εξόδου είναι ένας αριθμός που είναι ίσος με το εμβαδόν της επιφάνειας που οριοθετείται από το γράφημα συνάρτησης, τον άξονα x και δύο ευθύγραμμα τμήματα από το γράφημα συνάρτησης στον άξονα x στα σημεία τις τιμές εξόδου. Σε τεχνικούς όρους, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των ορθογωνίων, που ονομάζεται άθροισμα Riemann.

Ένα παράδειγμα από τη φυσική είναι ο υπολογισμός της απόστασης που διανύθηκε περπατώντας σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή.

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (Απόσταση) =\mathrm (Ταχύτητα) \cdot \mathrm (Χρόνος) )

Εάν η ταχύτητα είναι σταθερή, η λειτουργία πολλαπλασιασμού είναι επαρκής, αλλά εάν η ταχύτητα ποικίλλει, τότε πρέπει να εφαρμόσουμε μια πιο ισχυρή μέθοδο υπολογισμού της απόστασης. Μία από αυτές τις μεθόδους είναι ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός με διάσπαση του χρόνου σε ξεχωριστές σύντομες περιόδους. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας το χρόνο σε κάθε διάστημα με οποιαδήποτε από τις ταχύτητες σε αυτό το διάστημα και στη συνέχεια αθροίζοντας όλες τις κατά προσέγγιση αποστάσεις (άθροισμα Riemann) που διανύθηκαν σε κάθε διάστημα, παίρνουμε τη συνολική απόσταση που διανύθηκε. Η βασική ιδέα είναι ότι εάν χρησιμοποιείτε πολύ μικρά διαστήματα, τότε η ταχύτητα σε καθένα από αυτά θα παραμείνει λίγο-πολύ σταθερή. Ωστόσο, το άθροισμα Riemann δίνει μόνο μια κατά προσέγγιση απόσταση. Για να βρούμε την ακριβή απόσταση, πρέπει να βρούμε το όριο όλων αυτών των ποσών Riemann.

Αν ένα f(x)στο διάγραμμα στα αριστερά αντιπροσωπεύει την αλλαγή της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου και μετά την απόσταση που διανύθηκε (μεταξύ των στιγμών ένακαι σι) είναι η περιοχή της σκιασμένης περιοχής μικρό.

Για μια κατά προσέγγιση εκτίμηση αυτής της περιοχής, είναι δυνατή μια διαισθητική μέθοδος, η οποία συνίσταται στη διαίρεση της απόστασης μεταξύ ένακαι σισε έναν ορισμένο αριθμό ίσων τμημάτων (τμημάτων) μήκους Δx. Για κάθε τμήμα, μπορούμε να επιλέξουμε μία τιμή συνάρτησης φά(Χ). Ας ονομάσουμε αυτή την τιμή η. Στη συνέχεια η περιοχή του ορθογωνίου με βάση Δxκαι ύψος ηδίνει απόσταση (χρόνος Δxπολλαπλασιάζεται με την ταχύτητα η) πέρασε σε αυτό το τμήμα. Κάθε τμήμα σχετίζεται με τη μέση τιμή της συνάρτησης σε αυτό f(x)=η. Το άθροισμα όλων αυτών των ορθογωνίων δίνει μια προσέγγιση της περιοχής κάτω από την καμπύλη, η οποία είναι μια εκτίμηση της συνολικής απόστασης που διανύθηκε. Μείωση Δxθα δώσει περισσότερα ορθογώνια και στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι καλύτερη προσέγγιση, αλλά για να λάβουμε μια ακριβή απάντηση πρέπει να υπολογίσουμε το όριο στο Δxτείνει στο μηδέν.

Το σύμβολο ολοκλήρωσης είναι ∫ (\displaystyle \int ), μια εκτεταμένη επιστολή μικρό(Το S σημαίνει "άθροισμα"). Το οριστικό ολοκλήρωμα γράφεται ως:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

και διαβάζει: «το ολοκλήρωμα του έναπριν σιλειτουργίες φάαπό Χεπί Χ". Η προτεινόμενη σημειογραφία του Leibniz dxπροορίζεται να διαιρέσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη σε άπειρο αριθμό ορθογωνίων έτσι ώστε το πλάτος τους Δxείναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος dx. Στη διατύπωση του λογισμού με βάση όρια, η σημειογραφία

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\lddots \,dx)

θα πρέπει να νοείται ως ένας τελεστής που παίρνει μια συνάρτηση ως είσοδο και εξάγει έναν αριθμό ίσο με την περιοχή. dxδεν είναι αριθμός και δεν μπορεί να πολλαπλασιαστεί με f(x).

Το αόριστο ολοκλήρωμα, ή αντιπαράγωγο, γράφεται ως:

∫ f (x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Οι συναρτήσεις που διαφέρουν κατά μια σταθερά έχουν τις ίδιες παραγώγους, και επομένως η αντιπαράγωγος μιας δεδομένης συνάρτησης είναι στην πραγματικότητα μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μόνο κατά μια σταθερά. Δεδομένου ότι η παράγωγος της συνάρτησης y = Χ² + ντο, που ντο- οποιαδήποτε σταθερά, ίση με εσυ = 2Χ, τότε το αντιπαράγωγο του τελευταίου προσδιορίζεται από τον τύπο:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Απροσδιόριστη σταθερά τύπου ντοστο αντιπαράγωγο είναι γνωστή ως σταθερά ολοκλήρωσης.

Θεώρημα Newton-Leibniz

Θεώρημα Newton - Leibniz, το οποίο λέγεται επίσης κύριο θεώρημα ανάλυσηςδηλώνει ότι η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι αμοιβαία αντίστροφες πράξεις. Πιο συγκεκριμένα, αφορά την αξία των αντιπαραγώγων για ορισμένα ολοκληρώματα. Δεδομένου ότι είναι γενικά πιο εύκολο να υπολογιστεί η αντιπαράγωγος παρά να εφαρμοστεί ο ορισμένος ολοκληρωτικός τύπος, το θεώρημα παρέχει έναν πρακτικό τρόπο υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων. Μπορεί επίσης να ερμηνευτεί ως ακριβής δήλωση ότι η διαφοροποίηση είναι το αντίστροφο της ολοκλήρωσης.

Το θεώρημα λέει: αν η συνάρτηση φάσυνεχής στο τμήμα [ ένα, σι] κι αν φάυπάρχει μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με φάστο μεσοδιάστημα ( ένα, σι), τότε:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Επιπλέον, για οποιαδήποτε Χαπό το διάστημα ( ένα, σι)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Αυτή η εικόνα, που έγινε τόσο από τον Newton όσο και από τον Leibniz, οι οποίοι βασίστηκαν στα προηγούμενα γραπτά του Isaac Barrow, ήταν το κλειδί για την ταχεία διάδοση των αναλυτικών αποτελεσμάτων αφού έγινε γνωστή η εργασία τους. Το θεμελιώδες θεώρημα δίνει μια αλγεβρική μέθοδο για τον υπολογισμό πολλών ορισμένων ολοκληρωμάτων χωρίς περιοριστικές διεργασίες, με την εύρεση του αντιπαραγώγου τύπου. Επιπλέον, προέκυψε ένα πρωτότυπο για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Οι διαφορικές εξισώσεις συνδέουν άγνωστες συναρτήσεις με τις παραγώγους τους, χρησιμοποιούνται παντού σε πολλές επιστήμες.

Εφαρμογές

Η μαθηματική ανάλυση χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών, τη στατιστική, τη μηχανική, τα οικονομικά, τις επιχειρήσεις, τα οικονομικά, την ιατρική, τη δημογραφία και άλλους τομείς στους οποίους μπορεί να κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο για την επίλυση ενός προβλήματος και είναι απαραίτητο να βρεθεί η βέλτιστη λύση του.

Συγκεκριμένα, σχεδόν όλες οι έννοιες της κλασικής μηχανικής και του ηλεκτρομαγνητισμού συνδέονται άρρηκτα μεταξύ τους ακριβώς μέσω της κλασικής μαθηματικής ανάλυσης. Για παράδειγμα, δεδομένης της γνωστής κατανομής πυκνότητας ενός αντικειμένου, η μάζα του, οι ροπές αδράνειας, καθώς και η συνολική ενέργεια σε ένα δυναμικό πεδίο μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας διαφορικό λογισμό. Ένα άλλο εντυπωσιακό παράδειγμα εφαρμογής της μαθηματικής ανάλυσης στη μηχανική είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα: ιστορικά, χρησιμοποιεί απευθείας τον όρο "ρυθμός αλλαγής" στη διατύπωση "Δύναμη \u003d μάζα × επιτάχυνση", καθώς η επιτάχυνση είναι η χρονική παράγωγος της ταχύτητας ή η δεύτερη παράγωγος του χρόνου από τροχιά ή χωρική θέση.

Η μαθηματική ανάλυση χρησιμοποιείται επίσης για την εύρεση κατά προσέγγιση λύσεων σε εξισώσεις. Στην πράξη, αυτός είναι ο τυπικός τρόπος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και εύρεσης ριζών στις περισσότερες εφαρμογές. Παραδείγματα είναι η μέθοδος του Νεύτωνα, η μέθοδος απλής επανάληψης και η μέθοδος γραμμικής προσέγγισης. Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της τροχιάς του διαστημικού σκάφους, χρησιμοποιείται μια παραλλαγή της μεθόδου Euler για την προσέγγιση των πορειών καμπυλόγραμμης κίνησης απουσία βαρύτητας.

Βιβλιογραφία

άρθρα εγκυκλοπαίδειας

// Encyclopedic Lexicon: In 17 vols. - Αγία Πετρούπολη. : Τύπος. A. Plushard, 1835-1841.
// Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron: σε 86 τόμους (82 τόμοι και 4 επιπλέον). - Αγία Πετρούπολη. , 1890-1907.

Εκπαιδευτική βιβλιογραφία

Πρότυπα σχολικά βιβλία

Για πολλά χρόνια, τα ακόλουθα εγχειρίδια ήταν δημοφιλή στη Ρωσία:

Kurant, R.Μάθημα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού (σε δύο τόμους). Το κύριο μεθοδολογικό εύρημα του μαθήματος: πρώτα, απλώς διατυπώνονται οι κύριες ιδέες και στη συνέχεια δίνονται αυστηρές αποδείξεις. Γράφτηκε από τον Courant όταν ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Göttingen τη δεκαετία του 1920 υπό την επίδραση των ιδεών του Klein, και στη συνέχεια μεταφέρθηκε στο αμερικανικό έδαφος τη δεκαετία του 1930. Η ρωσική μετάφραση του 1934 και η ανατύπωσή της δίνει το κείμενο σύμφωνα με τη γερμανική έκδοση, η μετάφραση της δεκαετίας του 1960 (η λεγόμενη 4η έκδοση) είναι μια συλλογή από τη γερμανική και την αμερικανική έκδοση του σχολικού βιβλίου και ως εκ τούτου είναι πολύ περίπλοκη.
Fikhtengolts G. M.Μάθημα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού (σε τρεις τόμους) και βιβλίο προβλημάτων.
Demidovich B.P.Συλλογή προβλημάτων και ασκήσεων στη μαθηματική ανάλυση.
Lyashko I. I. και άλλοι.Εγχειρίδιο αναφοράς για ανώτερα μαθηματικά, τ. 1-5.

Ορισμένα πανεπιστήμια έχουν τις δικές τους οδηγίες για ανάλυση:

Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, MehMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N.Διαλέξεις για τα Μαθηματικά. ανάλυση.
Zorich V. A.Μαθηματική ανάλυση. Μέρος Ι. Μ.: Nauka, 1981. 544 p.
Zorich V. A.Μαθηματική ανάλυση. Μέρος II. Μ.: Nauka, 1984. 640 σελ.
Kamynin L.I.Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης (σε δύο τόμους). Μόσχα: Moscow University Press, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov.Μαθηματική Ανάλυση / Εκδ.

Ο μαθητής πρέπει:

ξέρω:

ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

ιδιότητες του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Τύποι αξιοσημείωτων ορίων.

προσδιορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης σε ένα σημείο,

ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.

ορισμός του παραγώγου, η γεωμετρική και φυσική του σημασία· παράγωγα πίνακα, κανόνες διαφοροποίησης.

ένας κανόνας για τον υπολογισμό της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης. ορισμός του διαφορικού μιας συνάρτησης, των ιδιοτήτων της. ορισμός παραγώγων και διαφορικών υψηλότερων τάξεων. Προσδιορισμός ακραίας συνάρτησης, κυρτή συνάρτηση, σημεία καμπής, ασύμπτωτες.

ορισμός αόριστου ολοκληρώματος, ιδιότητές του, ολοκληρώματα πίνακα.

· τύπους για ολοκλήρωση μέσω αλλαγής μεταβλητής και με μέρη για το αόριστο ολοκλήρωμα.

ορισμός ενός ορισμένου ολοκληρώματος, οι ιδιότητές του, ο βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού - ο τύπος Newton-Leibniz.

· Τύποι για ολοκλήρωση μέσω αλλαγής μεταβλητής και με μέρη για καθορισμένο ολοκλήρωμα.

· η γεωμετρική έννοια του οριστικού ολοκληρώματος, η εφαρμογή του οριστικού ολοκληρώματος.

ικανός για:

Υπολογισμός ορίων ακολουθιών και συναρτήσεων. αποκαλύπτουν αβεβαιότητες·

· Υπολογισμός παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων, παραγώγων και διαφορικών υψηλότερων τάξεων.

βρείτε άκρα και σημεία καμπής συναρτήσεων.

· διεξάγουν μελέτη συναρτήσεων με τη βοήθεια παραγώγων και κατασκευάζουν τις γραφικές παραστάσεις τους.

Υπολογίστε αόριστα και οριστικά ολοκληρώματα με τη μέθοδο μεταβολής της μεταβλητής και κατά μέρη.

· Ενσωμάτωση ορθολογικών, παράλογων και ορισμένων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εφαρμογή καθολικής αντικατάστασης. εφαρμόστε το οριστικό ολοκλήρωμα για να βρείτε τα εμβαδά των επίπεδων σχημάτων.

Όριο λειτουργίας. Ιδιότητες ορίου συναρτήσεων. Μονομερή όρια. Το όριο του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων. Συνεχείς συναρτήσεις, οι ιδιότητές τους. Συνέχεια στοιχειωδών και σύνθετων συναρτήσεων. Αξιοσημείωτα όρια.

Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης. Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορισιμότητα συναρτήσεων. Διαφορικό λειτουργίας. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Κανόνες διαφοροποίησης: παράγωγο αθροίσματος, γινόμενο και πηλίκο. Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων, προϋποθέσεις για αύξηση και μείωση. Ακραίες συναρτήσεις, απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ακραίου. Εύρεση ακρών με χρήση της πρώτης παραγώγου. Κυρτές συναρτήσεις. Σημεία καμπής. Ασύμπτωτοι. Πλήρης μελέτη λειτουργίας.

Αόριστο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητές του. Πίνακας βασικών ολοκληρωμάτων. Μέθοδος αλλαγής μεταβλητών. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Ολοκλήρωση ορθολογικών συναρτήσεων. Ενσωμάτωση κάποιων παράλογων συναρτήσεων. Καθολική αντικατάσταση.

Ορισμένο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητές του. Βασικός τύπος ολοκληρωτικού λογισμού. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής και με μέρη σε καθορισμένο ολοκλήρωμα. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά τις παραγώγους, τα διαφορικά και την εφαρμογή τους στη μελέτη συναρτήσεων. Ο διαφορικός λογισμός αναπτύχθηκε ως ανεξάρτητος κλάδος στο 2ο μισό του 17ου αιώνα υπό την επίδραση των έργων των I. Newton και G. W. Leibniz, όπου διατύπωσαν τις κύριες διατάξεις του διαφορικού λογισμού και σημείωσαν την αμοιβαία αντίστροφη φύση της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης. Από τότε, ο διαφορικός λογισμός αναπτύχθηκε σε στενή σύνδεση με τον ολοκληρωτικό λογισμό, αποτελώντας μαζί του το κύριο μέρος της μαθηματικής ανάλυσης (ή απειροελάχιστης ανάλυσης). Η δημιουργία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού άνοιξε μια νέα εποχή στην ανάπτυξη των μαθηματικών, οδήγησε στην εμφάνιση μιας σειράς νέων μαθηματικών κλάδων (θεωρία σειρών, θεωρία διαφορικών εξισώσεων, διαφορική γεωμετρία, λογισμός παραλλαγών, συναρτησιακή ανάλυση) και διεύρυνε σημαντικά τις δυνατότητες εφαρμογής των μαθηματικών σε ζητήματα φυσικών επιστημών και τεχνολογίας.

Ο διαφορικός λογισμός βασίζεται σε θεμελιώδεις έννοιες όπως πραγματικός αριθμός, συνάρτηση, όριο, συνέχεια. Αυτές οι έννοιες πήραν μια σύγχρονη μορφή στην πορεία της ανάπτυξης του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Οι κύριες ιδέες και έννοιες του διαφορικού λογισμού σχετίζονται με τη μελέτη συναρτήσεων στα μικρά, δηλαδή σε μικρές γειτονιές μεμονωμένων σημείων, η οποία απαιτεί τη δημιουργία μιας μαθηματικής συσκευής για τη μελέτη συναρτήσεων των οποίων η συμπεριφορά σε μια αρκετά μικρή γειτονιά κάθε σημείου Το πεδίο ορισμού τους είναι κοντά στη συμπεριφορά μιας γραμμικής συνάρτησης ήπολυώνυμος. Αυτή η συσκευή βασίζεται στις έννοιες του παραγώγου και του διαφορικού. Η έννοια της παραγώγου προέκυψε σε σχέση με έναν μεγάλο αριθμό διαφορετικών προβλημάτων στις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά, που οδήγησαν στον υπολογισμό ορίων του ίδιου τύπου. Το πιο σημαντικό από αυτά τα καθήκοντα είναι ο προσδιορισμός της ταχύτητας κίνησης ενός υλικού σημείου κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής και η κατασκευή μιας εφαπτομένης σε μια καμπύλη. Η έννοια του διαφορικού σχετίζεται με τη δυνατότητα προσέγγισης μιας συνάρτησης σε μια μικρή γειτονιά του υπό εξέταση σημείου με μια γραμμική συνάρτηση. Σε αντίθεση με την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής, η έννοια του διαφορικού μπορεί εύκολα να μεταφερθεί σε συναρτήσεις γενικότερης φύσης, συμπεριλαμβανομένων των αντιστοιχίσεων από τον έναν Ευκλείδειο χώρο στον άλλο, αντιστοιχίσεις χώρων Banach σε άλλους χώρους Banach και χρησιμεύει ως μία από τις βασικές έννοιες της συναρτησιακής ανάλυσης.

Παράγωγο. Αφήστε το υλικό σημείο να κινηθεί κατά μήκος του άξονα Oy και x υποδηλώνει τον χρόνο που μετράται από κάποια αρχική στιγμή. Η περιγραφή αυτής της κίνησης δίνεται από τη συνάρτηση y = f(x), η οποία αποδίδει σε κάθε χρονική στιγμή x τη συντεταγμένη y του κινούμενου σημείου. Αυτή η συνάρτηση στη μηχανική ονομάζεται νόμος της κίνησης. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της κίνησης (ειδικά αν είναι ανομοιόμορφη) είναι η ταχύτητα του κινούμενου σημείου σε κάθε στιγμή του χρόνου x (αυτή η ταχύτητα ονομάζεται και στιγμιαία ταχύτητα). Εάν ένα σημείο κινείται κατά μήκος του άξονα Oy σύμφωνα με το νόμο y \u003d f (x), τότε σε ένα αυθαίρετο σημείο του χρόνου x έχει τη συντεταγμένη f (x) και στο χρονικό σημείο x + Δx - τη συντεταγμένη f (x + Δx), όπου Δx είναι η αύξηση του χρόνου . Ο αριθμός Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), που ονομάζεται αύξηση της συνάρτησης, είναι η διαδρομή που διανύει το κινούμενο σημείο στο χρόνο από το x έως το x + Δx. Στάση

που ονομάζεται λόγος διαφοράς, είναι η μέση ταχύτητα του σημείου στο χρονικό διάστημα από x έως x + Δx. Η στιγμιαία ταχύτητα (ή απλά η ταχύτητα) ενός κινούμενου σημείου τη στιγμή x είναι το όριο στο οποίο τείνει η μέση ταχύτητα (1) όταν το χρονικό διάστημα Δx τείνει στο μηδέν, δηλαδή στο όριο (2)

Η έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας οδηγεί στην έννοια της παραγώγου. Η παράγωγος μιας αυθαίρετης συνάρτησης y \u003d f (x) σε ένα δεδομένο σταθερό σημείο x ονομάζεται όριο (2) (υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο). Η παράγωγος της συνάρτησης y \u003d f (x) σε ένα δεδομένο σημείο x συμβολίζεται με ένα από τα σύμβολα f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Η λειτουργία εύρεσης μιας παραγώγου (ή μετάβασης από μια συνάρτηση στην παράγωγή της) ονομάζεται διαφοροποίηση.

Το πρόβλημα της κατασκευής μιας εφαπτομένης σε μια επίπεδη καμπύλη, που ορίζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy από την εξίσωση y \u003d f (x), σε κάποιο σημείο M (x, y) (Εικ.) οδηγεί επίσης στο όριο (2) . Έχοντας δώσει την αύξηση Δx στο όρισμα x και λαμβάνοντας το σημείο Μ' με συντεταγμένες (x + Δx, f(x) + Δx) στην καμπύλη), προσδιορίστε την εφαπτομένη στο σημείο Μ ως οριακή θέση της τέμνουσας ΜΜ'. καθώς το σημείο Μ' τείνει προς το Μ (δηλαδή, καθώς το Δx τείνει στο μηδέν). Δεδομένου ότι δίνεται το σημείο Μ από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη, η κατασκευή της εφαπτομένης μειώνεται στον προσδιορισμό της κλίσης της (δηλαδή, της εφαπτομένης της γωνίας κλίσης της στον άξονα Ox). Σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή MR παράλληλη προς τον άξονα Ox, προκύπτει ότι η κλίση της τέμνουσας ΜΜ' είναι ίση με την αναλογία

Στο όριο στο Δx → 0, η κλίση της τομής μετατρέπεται στην κλίση της εφαπτομένης, η οποία αποδεικνύεται ίση με το όριο (2), δηλαδή την παράγωγο f’(x).

Μια σειρά από άλλα προβλήματα της φυσικής επιστήμης οδηγούν επίσης στην έννοια του παραγώγου. Για παράδειγμα, η ισχύς ρεύματος σε έναν αγωγό ορίζεται ως το όριο lim Δt→0 Δq/Δt, όπου Δq είναι το θετικό ηλεκτρικό φορτίο που μεταφέρεται μέσω της διατομής του αγωγού σε χρόνο Δt, ο ρυθμός μιας χημικής αντίδρασης ορίζεται ως lim Δt→0 ΔQ/Δt, όπου ΔQ είναι η μεταβολή της ποσότητας ύλης κατά τη διάρκεια του χρόνου Δt και, γενικά, η παράγωγος κάποιας φυσικής ποσότητας σε σχέση με το χρόνο είναι ο ρυθμός μεταβολής αυτής της ποσότητας.

Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) ορίζεται τόσο στο ίδιο το σημείο x όσο και σε κάποια γειτονιά της και έχει παράγωγο στο σημείο x, τότε αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x. Ένα παράδειγμα συνάρτησης y \u003d |x|, που ορίζεται σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου x \u003d 0, συνεχής σε αυτό το σημείο, αλλά δεν έχει παράγωγο στο x \u003d 0, δείχνει ότι η ύπαρξη σε αυτό το σημείο δεν είναι γενικά ακολουθούν από τη συνέχεια της συνάρτησης σε μια δεδομένη παράγωγο σημείου. Επιπλέον, υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους, αλλά δεν έχουν παράγωγο σε κανένα σημείο αυτού του τομέα.

Στην περίπτωση που η συνάρτηση y \u003d f (x) ορίζεται μόνο στα δεξιά ή μόνο στα αριστερά του σημείου x (για παράδειγμα, όταν x είναι το οριακό σημείο του τμήματος στο οποίο δίνεται αυτή η συνάρτηση), Οι έννοιες των δεξιών και αριστερών παραγώγων της συνάρτησης y \u003d f (x) εισάγονται στο σημείο x. Η δεξιά παράγωγος της συνάρτησης y \u003d f (x) στο σημείο x ορίζεται ως το όριο (2) με την προϋπόθεση ότι το Δx τείνει στο μηδέν, παραμένοντας θετικό, και η αριστερή παράγωγος ορίζεται ως το όριο (2) με την προϋπόθεση ότι Δx τείνει στο μηδέν, παραμένοντας αρνητικός. Η συνάρτηση y \u003d f (x) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x αν και μόνο αν έχει δεξιά και αριστερή παράγωγο ίσες μεταξύ τους σε αυτό το σημείο. Η παραπάνω συνάρτηση y = |x| έχει μια δεξιά παράγωγο ίση με 1 στο σημείο x = 0 και μια αριστερή παράγωγο ίση με -1, και επειδή η δεξιά και η αριστερή παράγωγος δεν είναι ίσες μεταξύ τους, αυτή η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο στο σημείο x = 0. κατηγορία συναρτήσεων που έχουν παράγωγο, η διαφοροποίηση της πράξης είναι γραμμική, δηλαδή (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) και (αf(x))' = αf «(x) για οποιονδήποτε αριθμό α. Επιπλέον, ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες διαφοροποίησης:

Οι παράγωγοι ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων είναι:

α - οποιοσδήποτε αριθμός, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Η παράγωγος οποιασδήποτε στοιχειώδους συνάρτησης είναι και πάλι στοιχειώδης συνάρτηση.

Αν η παράγωγος f'(x), με τη σειρά της, έχει παράγωγο σε ένα δεδομένο σημείο x, τότε η παράγωγος της συνάρτησης f'(x) ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y = f(x) στο σημείο x. και συμβολίζεται με ένα από τα σύμβολα f''(x), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Για ένα υλικό σημείο που κινείται κατά μήκος του άξονα Oy σύμφωνα με το νόμο y \u003d f (x), η δεύτερη παράγωγος είναι η επιτάχυνση αυτού του σημείου τη στιγμή x. Τα παράγωγα οποιασδήποτε ακέραιης τάξης n ορίζονται ομοίως, σημειώνονται με τα σύμβολα f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Διαφορικός. Μια συνάρτηση y \u003d f (x), της οποίας το πεδίο ορισμού περιέχει κάποια γειτονιά του σημείου x, ονομάζεται διαφοροποιήσιμη στο σημείο x εάν η αύξησή της σε αυτό το σημείο, αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δx, δηλ. την τιμή Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή και συμβολίζεται με το σύμβολο dy ή df(x). Γεωμετρικά, για μια σταθερή τιμή του x και μια μεταβαλλόμενη αύξηση Δx, το διαφορικό είναι μια αύξηση στην τεταγμένη της εφαπτομένης, δηλαδή στο τμήμα PM "(Σχήμα). Η διαφορική dy είναι συνάρτηση τόσο του σημείου x όσο και του προσαύξηση Δx. Το διαφορικό ονομάζεται το κύριο γραμμικό τμήμα της αύξησης της συνάρτησης, αφού όταν σταθερή τιμή x μέγεθοςΤο dy είναι μια γραμμική συνάρτηση του Δχ, και η διαφορά Δου - dy είναι απείρως μικρή ως προς το Δχ ως Δχ → 0. Για τη συνάρτηση f(х) = x, εξ ορισμού, dx = Δχ, δηλαδή το διαφορικό του Η ανεξάρτητη μεταβλητή dx συμπίπτει με την προσαύξησή της Δх. Αυτό επιτρέπει στην έκφραση για το διαφορικό να ξαναγραφεί ως dy=Adx.

Για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, η έννοια του διαφορικού σχετίζεται στενά με την έννοια της παραγώγου: για να έχει μια συνάρτηση y = f (x) διαφορικό σε ένα σημείο x, είναι απαραίτητο και επαρκές να έχει πεπερασμένη παράγωγο f '(x) σε αυτό το σημείο, ενώ η ισότητα dy = f'(x)dx. Το οπτικό νόημα αυτής της δήλωσης είναι ότι η εφαπτομένη στην καμπύλη y \u003d f (x) στο σημείο με την τετμημένη x δεν είναι μόνο η οριακή θέση της τομής, αλλά και η ευθεία γραμμή, η οποία σε μια απείρως μικρή γειτονιά του το σημείο x είναι δίπλα στην καμπύλη y \u003d f (x) πιο κοντά από οποιαδήποτε άλλη ευθεία γραμμή. Έτσι, πάντα A(x) = f'(x) και ο συμβολισμός dy/dx μπορεί να γίνει κατανοητός όχι μόνο ως συμβολισμός για την παράγωγο f'(x), αλλά και ως ο λόγος των διαφορικών της συνάρτησης και του ορίσματος . Δυνάμει της ισότητας dy = f'(x)dx, οι κανόνες για την εύρεση διαφορών απορρέουν απευθείας από τους αντίστοιχους κανόνες για τα παράγωγα. Λαμβάνονται επίσης υπόψη οι διαφορές δεύτερης και ανώτερης τάξης.

Εφαρμογές. Ο διαφορικός λογισμός δημιουργεί συνδέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων της συνάρτησης f(x) και των παραγώγων της (ή των διαφορικών της), που αποτελούν το περιεχόμενο των κύριων θεωρημάτων του διαφορικού λογισμού. Αυτά τα θεωρήματα περιλαμβάνουν τον ισχυρισμό ότι όλα τα ακραία σημεία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f(x) που βρίσκονται εντός του πεδίου ορισμού της είναι μεταξύ των ριζών της εξίσωσης f'(x) = 0 και ο συχνά χρησιμοποιούμενος τύπος πεπερασμένης αύξησης (τύπος Lagrange) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), όπου α<ξΤο 0 συνεπάγεται αυστηρή αύξηση της συνάρτησης και η συνθήκη f '' (x)\u003e 0 - η αυστηρή κυρτότητά της. Επιπλέον, ο διαφορικός λογισμός επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσει διάφορα είδη ορίων συναρτήσεων, ιδιαίτερα τα όρια των αναλογιών δύο συναρτήσεων, τα οποία είναι αβεβαιότητες της μορφής 0/0 ή της μορφής ∞/∞ (βλ. Αποκάλυψη αβεβαιοτήτων) . Ο διαφορικός λογισμός είναι ιδιαίτερα βολικός για τη μελέτη στοιχειωδών συναρτήσεων των οποίων οι παράγωγοι είναι γραμμένες ρητά.

Διαφορικός λογισμός συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.Οι μέθοδοι του διαφορικού λογισμού χρησιμοποιούνται για τη μελέτη συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών u = f(x, y), η μερική της παράγωγος ως προς το x στο σημείο M(x, y) είναι η παράγωγος αυτής της συνάρτησης ως προς το x για σταθερό y, που ορίζεται ως

και συμβολίζεται με ένα από τα σύμβολα f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ή ∂f(x,y)'/∂x. Η μερική παράγωγος της συνάρτησης u = f(x,y) ως προς το y ορίζεται και συμβολίζεται με παρόμοιο τρόπο. Η τιμή Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) ονομάζεται η συνολική αύξηση της συνάρτησης και στο σημείο M (x, y). Εάν αυτή η τιμή μπορεί να αναπαρασταθεί ως

όπου τα Α και Β δεν εξαρτώνται από τα Δχ και Δου, και το α τείνει στο μηδέν στο

τότε η συνάρτηση u = f(x, y) ονομάζεται διαφορίσιμη στο σημείο M(x, y). Το άθροισμα AΔx + BΔy ονομάζεται ολικό διαφορικό της συνάρτησης u = f(x, y) στο σημείο M(x, y) και συμβολίζεται με το σύμβολο du. Δεδομένου ότι A \u003d f'x (x, y), B \u003d f'y (x, y) και οι προσαυξήσεις Δx και Δy μπορούν να ληφθούν ίσες με τα διαφορικά τους dx και dy, το συνολικό διαφορικό du μπορεί να γραφτεί ως

Γεωμετρικά, η διαφοροποίηση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών u = f(x, y) σε ένα δεδομένο σημείο M (x, y) σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της υπάρχει σε αυτό το σημείο του εφαπτομενικού επιπέδου και το διαφορικό αυτής της συνάρτησης είναι η αύξηση της εφαρμογής του σημείου του εφαπτομένου επιπέδου που αντιστοιχεί στις προσαυξήσεις dx και dy ανεξάρτητες μεταβλητές. Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, η έννοια του διαφορικού είναι πολύ πιο σημαντική και φυσική από την έννοια των μερικών παραγώγων. Σε αντίθεση με μια συνάρτηση μιας μεταβλητής, για να είναι διαφορίσιμη μια συνάρτηση δύο μεταβλητών u = f(x, y) σε ένα δεδομένο σημείο M(x, y), δεν αρκεί οι πεπερασμένες μερικές παράγωγοι f'x( x, y) και f' y(x, y). Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να είναι διαφοροποιήσιμη η συνάρτηση u = f(x, y) στο σημείο M(x, y) είναι η ύπαρξη πεπερασμένων μερικών παραγώγων f'x(x, y) και f'y(x, y) και τείνει στο μηδέν στο

ποσότητες

Ο αριθμητής αυτής της ποσότητας προκύπτει λαμβάνοντας πρώτα την αύξηση της συνάρτησης f(x, y) που αντιστοιχεί στην αύξηση Δx του πρώτου ορίσματος και στη συνέχεια λαμβάνοντας την αύξηση της διαφοράς που προκύπτει f(x + Δx, y) - f (x, y), που αντιστοιχεί στην αύξηση Δy των δεύτερων ορισμάτων του. Μια απλή επαρκής συνθήκη για τη διαφοροποίηση της συνάρτησης u = f(x, y) στο σημείο M(x, y) είναι η ύπαρξη συνεχών μερικών παραγώγων f'x(x, y) και f'y(x, y. ) σε αυτό το σημείο.

Τα επί μέρους παράγωγα υψηλότερων τάξεων ορίζονται παρόμοια. Οι μερικές παράγωγοι ∂ 2 f/∂х 2 και ∂ 2 f/∂у 2 , στις οποίες και οι δύο διαφοροποιήσεις πραγματοποιούνται σε μία μεταβλητή, ονομάζονται καθαρές και οι μερικές παράγωγοι ∂ 2 f/∂х∂у και ∂ 2 f/∂ у∂х - ανάμεικτο. Σε κάθε σημείο όπου και οι δύο μικτές μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς, είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτοί οι ορισμοί και οι σημειώσεις μεταφέρονται στην περίπτωση μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Ιστορικό περίγραμμα. Ξεχωριστά προβλήματα προσδιορισμού των εφαπτομένων στις καμπύλες και εύρεσης των μέγιστων και ελάχιστων τιμών των μεταβλητών επιλύθηκαν από τους μαθηματικούς της Αρχαίας Ελλάδας. Για παράδειγμα, βρέθηκαν τρόποι κατασκευής εφαπτομένων σε κωνικές τομές και σε κάποιες άλλες καμπύλες. Ωστόσο, οι μέθοδοι που αναπτύχθηκαν από τους αρχαίους μαθηματικούς απείχαν πολύ από τις ιδέες του διαφορικού λογισμού και μπορούσαν να εφαρμοστούν μόνο σε πολύ ειδικές περιπτώσεις. Στα μέσα του 17ου αιώνα, έγινε σαφές ότι πολλά από τα προβλήματα που αναφέρθηκαν, μαζί με άλλα (για παράδειγμα, το πρόβλημα του προσδιορισμού της στιγμιαίας ταχύτητας) μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας την ίδια μαθηματική συσκευή, χρησιμοποιώντας παραγώγους και διαφορικά. Γύρω στο 1666, ο I. Newton ανέπτυξε τη μέθοδο των ροών (βλ. λογισμός ροής). Ο Νεύτωνας εξέτασε, συγκεκριμένα, δύο προβλήματα της μηχανικής: το πρόβλημα του προσδιορισμού της στιγμιαίας ταχύτητας κίνησης από μια γνωστή εξάρτηση της διαδρομής από το χρόνο και το πρόβλημα του προσδιορισμού της διαδρομής που διανύθηκε σε ένα δεδομένο χρόνο από μια γνωστή στιγμιαία ταχύτητα. Ο Νεύτωνας ονόμασε συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου ροής, και τους ρυθμούς μεταβολής τους - διακυμάνσεις. Έτσι, οι κύριες έννοιες του Νεύτωνα ήταν η παράγωγος (ροή) και ο αόριστος αναπόσπαστο(ευφραδής). Προσπάθησε να τεκμηριώσει τη μέθοδο των ροών με τη βοήθεια της θεωρίας των ορίων, η οποία εκείνη την εποχή ήταν ανεπαρκώς ανεπτυγμένη.

Στα μέσα της δεκαετίας του 1670, ο G. W. Leibniz ανέπτυξε βολικούς αλγόριθμους για διαφορικό λογισμό. Οι βασικές έννοιες του Leibniz ήταν το διαφορικό ως απειροελάχιστη αύξηση μιας συνάρτησης και το οριστικό ολοκλήρωμα ως το άθροισμα ενός απείρως μεγάλου αριθμού διαφορικών. Εισήγαγε τη σημειογραφία του διαφορικού και του ολοκληρώματος, τον όρο "διαφορικός λογισμός", έλαβε έναν αριθμό κανόνων για τη διαφοροποίηση και πρότεινε βολικό συμβολισμό. Η περαιτέρω ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού τον 17ο αιώνα προχώρησε κυρίως στην πορεία που σκιαγράφησε ο Leibniz. τα έργα των J. και I. Bernoulli, B. Taylor και άλλων έπαιξαν σημαντικό ρόλο σε αυτό το στάδιο.

Το επόμενο στάδιο στην ανάπτυξη του διαφορικού λογισμού συνδέεται με τα έργα των L. Euler και J. Lagrange (18ος αιώνας). Ο Euler άρχισε αρχικά να παρουσιάζει τον διαφορικό λογισμό ως αναλυτικό επιστημονικό κλάδο, ανεξάρτητο από τη γεωμετρία και τη μηχανική. Χρησιμοποίησε ξανά την παράγωγο ως βασική έννοια του διαφορικού λογισμού. Ο Lagrange προσπάθησε να οικοδομήσει τον διαφορικό λογισμό αλγεβρικά, χρησιμοποιώντας τις επεκτάσεις των συναρτήσεων σε σειρές ισχύος. εισήγαγε τον όρο «παράγωγο» και τους χαρακτηρισμούς y' και f'(x). Στις αρχές του 19ου αιώνα, το πρόβλημα της τεκμηρίωσης του διαφορικού λογισμού με βάση τη θεωρία των ορίων λύθηκε βασικά, κυρίως χάρη στην εργασία των O. Cauchy, B. Bolzano και C. Gauss. Βαθύς ανάλυσηΟι αρχικές έννοιες του διαφορικού λογισμού συνδέθηκαν με την ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων και της θεωρίας των συναρτήσεων των πραγματικών μεταβλητών στα τέλη του 19ου - αρχές του 20ου αιώνα.

Λιτ.: Ιστορία των μαθηματικών: Σε 3 τόμους Μ., 1970-1972; Rybnikov K. A. Ιστορία των μαθηματικών. 2η έκδ. Μ., 1974; Nikolsky S. M. Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης. 6η έκδ. M., 2001: Zorich V. A. Mathematical analysis: In the 2nd part of the 4th ed. Μ., 2002; Kudryavtsev L.D. Ένα μάθημα μαθηματικής ανάλυσης: Σε 3 τόμους, 5η έκδ. Μ., 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. Η πορεία του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού: Σε 3 τόμους 8η έκδ. Μ., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentals of Mathematical Analysis. 7η έκδ. Μ., 2004. Μέρος 1. 5η έκδ. Μ., 2004. Μέρος 2; Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. Χ. Μαθηματική ανάλυση. 3η έκδ. Μ., 2004. Μέρος 1. 2η έκδ. Μ., 2004. Μέρος 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Ανώτερα Μαθηματικά. 2η έκδ. Μ., 2005.

Ο λογισμός είναι ένας κλάδος του λογισμού που μελετά την παράγωγο, τα διαφορικά και τη χρήση τους στη μελέτη μιας συνάρτησης.

Ιστορία εμφάνισης

Ο διαφορικός λογισμός εμφανίστηκε ως ανεξάρτητος κλάδος στο δεύτερο μισό του 17ου αιώνα, χάρη στην εργασία των Newton και Leibniz, οι οποίοι διατύπωσαν τις βασικές διατάξεις στον λογισμό των διαφορών και παρατήρησαν τη σύνδεση μεταξύ ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Από εκείνη τη στιγμή, η πειθαρχία αναπτύχθηκε μαζί με τον λογισμό των ολοκληρωμάτων, αποτελώντας έτσι τη βάση της μαθηματικής ανάλυσης. Η εμφάνιση αυτών των λογισμών άνοιξε μια νέα σύγχρονη περίοδο στον μαθηματικό κόσμο και προκάλεσε την εμφάνιση νέων κλάδων στην επιστήμη. Διεύρυνε επίσης τη δυνατότητα εφαρμογής της μαθηματικής επιστήμης στη φυσική και τεχνολογία.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Ο διαφορικός λογισμός βασίζεται στις θεμελιώδεις έννοιες των μαθηματικών. Είναι: συνέχεια, λειτουργία και όριο. Μετά από λίγο, πήραν μια μοντέρνα εμφάνιση, χάρη στον ολοκληρωτικό και διαφορικό λογισμό.

Διαδικασία δημιουργίας

Ο σχηματισμός διαφορικού λογισμού με τη μορφή μιας εφαρμοσμένης και στη συνέχεια μιας επιστημονικής μεθόδου συνέβη πριν από την εμφάνιση μιας φιλοσοφικής θεωρίας, η οποία δημιουργήθηκε από τον Νικόλαο της Κούσας. Τα έργα του θεωρούνται μια εξελικτική εξέλιξη από τις κρίσεις της αρχαίας επιστήμης. Παρά το γεγονός ότι ο ίδιος ο φιλόσοφος δεν ήταν μαθηματικός, η συμβολή του στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης είναι αναμφισβήτητη. Ο Κουζάνσκι ήταν ένας από τους πρώτους που άφησε τη θεώρηση της αριθμητικής ως το πιο ακριβές πεδίο της επιστήμης, θέτοντας τα μαθηματικά εκείνης της εποχής σε αμφιβολία.

Για τους αρχαίους μαθηματικούς, η μονάδα ήταν ένα παγκόσμιο κριτήριο, ενώ ο φιλόσοφος πρότεινε το άπειρο ως νέο μέτρο αντί για τον ακριβή αριθμό. Από αυτή την άποψη, η αναπαράσταση της ακρίβειας στη μαθηματική επιστήμη είναι ανεστραμμένη. Η επιστημονική γνώση, σύμφωνα με τον ίδιο, χωρίζεται σε ορθολογική και διανοητική. Το δεύτερο είναι πιο ακριβές, σύμφωνα με τον επιστήμονα, αφού το πρώτο δίνει μόνο ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα.

Ιδέα

Η κύρια ιδέα και έννοια στον διαφορικό λογισμό σχετίζεται με μια συνάρτηση σε μικρές γειτονιές ορισμένων σημείων. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια μαθηματική συσκευή για τη μελέτη μιας συνάρτησης της οποίας η συμπεριφορά σε μια μικρή γειτονιά των καθορισμένων σημείων είναι κοντά στη συμπεριφορά ενός πολυωνύμου ή μιας γραμμικής συνάρτησης. Αυτό βασίζεται στον ορισμό του παραγώγου και του διαφορικού.

Η εμφάνιση προκλήθηκε από μεγάλο αριθμό προβλημάτων από τις φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά, τα οποία οδήγησαν στην εύρεση των τιμών των ορίων του ίδιου τύπου.

Μία από τις κύριες εργασίες που δίνονται ως παράδειγμα, ξεκινώντας από το γυμνάσιο, είναι να προσδιορίσετε την ταχύτητα ενός σημείου που κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής και να κατασκευάσετε μια εφαπτομένη σε αυτήν την καμπύλη. Το διαφορικό σχετίζεται με αυτό, αφού είναι δυνατόν να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση σε μια μικρή γειτονιά του εξεταζόμενου σημείου της γραμμικής συνάρτησης.

Σε σύγκριση με την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής, ο ορισμός των διαφορικών απλώς περνά σε μια συνάρτηση γενικής φύσης, ειδικότερα, στην αναπαράσταση ενός Ευκλείδειου χώρου σε έναν άλλο.

Παράγωγο

Αφήστε το σημείο να κινηθεί κατά μήκος της κατεύθυνσης του άξονα Oy, πάρτε το x ως χρόνο, ο οποίος μετράται από μια ορισμένη αρχή της στιγμής. Μια τέτοια κίνηση μπορεί να περιγραφεί από τη συνάρτηση y=f(x), η οποία εκχωρείται σε κάθε χρονική στιγμή x της συντεταγμένης του σημείου που μετακινείται. Στη μηχανική, αυτή η συνάρτηση ονομάζεται νόμος της κίνησης. Το κύριο χαρακτηριστικό της κίνησης, ιδιαίτερα ανώμαλη, είναι όταν ένα σημείο κινείται κατά τον άξονα Oy σύμφωνα με το νόμο της μηχανικής, τότε σε μια τυχαία χρονική στιγμή x αποκτά τη συντεταγμένη f (x). Τη χρονική στιγμή x + Δx, όπου το Δx υποδηλώνει την αύξηση του χρόνου, η συντεταγμένη του θα είναι f(x + Δx). Έτσι σχηματίζεται ο τύπος Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), που ονομάζεται αύξηση της συνάρτησης. Αντιπροσωπεύει τη διαδρομή που διανύει το χρονικό σημείο από το x στο x + Δx.

Σε σχέση με την εμφάνιση αυτής της ταχύτητας τη στιγμή του χρόνου, εισάγεται μια παράγωγος. Σε μια αυθαίρετη συνάρτηση, η παράγωγος σε ένα σταθερό σημείο ονομάζεται όριο (υποθέτοντας ότι υπάρχει). Μπορεί να χαρακτηριστεί με ορισμένα σύμβολα:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Η διαδικασία υπολογισμού της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Διαφορικός λογισμός συνάρτησης πολλών μεταβλητών

Αυτή η μέθοδος λογισμού χρησιμοποιείται στη μελέτη μιας συνάρτησης με πολλές μεταβλητές. Παρουσία δύο μεταβλητών x και y, η μερική παράγωγος ως προς το x στο σημείο Α ονομάζεται παράγωγος αυτής της συνάρτησης ως προς το x με σταθερό y.

Μπορεί να αναπαρασταθεί με τα ακόλουθα σύμβολα:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ή ∂f(x,y)'/∂x.

Απαιτούμενα προσόντα

Για να μελετήσετε επιτυχώς και να μπορέσετε να λύσετε διαχύσεις, απαιτούνται δεξιότητες ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Για να καταστεί ευκολότερη η κατανόηση των διαφορικών εξισώσεων, θα πρέπει να έχετε καλή κατανόηση του θέματος της παραγώγου και επίσης δεν βλάπτει να μάθετε πώς να αναζητάτε την παράγωγο μιας σιωπηρά δεδομένης συνάρτησης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στη διαδικασία της μελέτης θα είναι συχνά απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν ολοκληρώματα και διαφοροποίηση.

Τύποι διαφορικών εξισώσεων

Σχεδόν σε όλα τα τεστ που σχετίζονται με υπάρχουν 3 τύποι εξισώσεων: ομοιογενείς, με χωριστές μεταβλητές, γραμμικές ανομοιογενείς.

Υπάρχουν επίσης πιο σπάνιες ποικιλίες εξισώσεων: με ολικά διαφορικά, εξισώσεις Bernoulli και άλλες.

Βασικά Λύση

Πρώτα πρέπει να θυμάστε τις αλγεβρικές εξισώσεις από το σχολικό μάθημα. Περιέχουν μεταβλητές και αριθμούς. Για να λύσετε μια συνηθισμένη εξίσωση, πρέπει να βρείτε ένα σύνολο αριθμών που να ικανοποιούν μια δεδομένη συνθήκη. Κατά κανόνα, τέτοιες εξισώσεις είχαν μία ρίζα και για να ελέγξουμε την ορθότητα, έπρεπε να αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή με το άγνωστο.

Η διαφορική εξίσωση είναι παρόμοια με αυτήν. Γενικά, μια τέτοια εξίσωση πρώτης τάξης περιλαμβάνει:

ανεξάρτητη μεταβλητή.
Η παράγωγος της πρώτης συνάρτησης.
συνάρτηση ή εξαρτημένη μεταβλητή.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα από τα άγνωστα, x ή y, μπορεί να λείπει, αλλά αυτό δεν είναι τόσο σημαντικό, αφού η παρουσία της πρώτης παραγώγου, χωρίς παραγώγους ανώτερης τάξης, είναι απαραίτητη για να είναι σωστή η λύση και ο διαφορικός λογισμός.

Για να λύσετε μια διαφορική εξίσωση σημαίνει να βρείτε το σύνολο όλων των συναρτήσεων που ταιριάζουν σε μια δεδομένη έκφραση. Ένα τέτοιο σύνολο συναρτήσεων συχνά ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ο ολοκληρωτικός λογισμός είναι ένας από τους κλάδους της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά την έννοια ενός ολοκληρώματος, τις ιδιότητες και τις μεθόδους για τον υπολογισμό του.

Συχνά, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος συμβαίνει κατά τον υπολογισμό της περιοχής ενός καμπυλόγραμμου σχήματος. Αυτή η περιοχή σημαίνει το όριο στο οποίο τείνει το εμβαδόν ενός πολυγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε ένα δεδομένο σχήμα με σταδιακή αύξηση της πλευράς του, ενώ αυτές οι πλευρές μπορούν να γίνουν μικρότερες από οποιαδήποτε προηγουμένως καθορισμένη αυθαίρετη μικρή τιμή.

Η κύρια ιδέα για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός αυθαίρετου γεωμετρικού σχήματος είναι να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, δηλαδή να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους και του πλάτους. Όσον αφορά τη γεωμετρία, όλες οι κατασκευές γίνονται χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα και, στη συνέχεια, η αναλογία μήκους προς πλάτος είναι μια λογική τιμή. Κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου τριγώνου, μπορείτε να προσδιορίσετε ότι εάν βάλετε το ίδιο τρίγωνο δίπλα του, τότε σχηματίζεται ένα ορθογώνιο. Σε ένα παραλληλόγραμμο, το εμβαδόν υπολογίζεται με μια παρόμοια, αλλά λίγο πιο περίπλοκη μέθοδο, μέσω ενός ορθογωνίου και ενός τριγώνου. Στα πολύγωνα, το εμβαδόν υπολογίζεται μέσω των τριγώνων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Κατά τον προσδιορισμό του ελέους μιας αυθαίρετης καμπύλης, αυτή η μέθοδος δεν θα λειτουργήσει. Εάν το σπάσετε σε μεμονωμένα τετράγωνα, τότε θα υπάρχουν μη συμπληρωμένα μέρη. Σε αυτήν την περίπτωση, προσπαθεί κανείς να χρησιμοποιήσει δύο εξώφυλλα, με ορθογώνια πάνω και κάτω, με αποτέλεσμα αυτά να περιλαμβάνουν το γράφημα της συνάρτησης και όχι. Η μέθοδος διαχωρισμού σε αυτά τα ορθογώνια παραμένει σημαντική εδώ. Επίσης, αν πάρουμε διαιρέσεις που μειώνονται όλο και περισσότερο, τότε η περιοχή πάνω και κάτω πρέπει να συγκλίνει σε μια ορισμένη τιμή.

Θα πρέπει να επιστρέψετε στη μέθοδο διαίρεσης σε ορθογώνια. Υπάρχουν δύο δημοφιλείς μέθοδοι.

Ο Riemann επισημοποίησε τον ορισμό του ολοκληρώματος, που δημιουργήθηκε από τους Leibniz και Newton, ως την περιοχή ενός υπογράφου. Σε αυτήν την περίπτωση, ελήφθησαν υπόψη αριθμοί, που αποτελούνται από έναν ορισμένο αριθμό κάθετων ορθογωνίων και προκύπτουν με διαίρεση του τμήματος. Όταν, καθώς μειώνεται το διαμέρισμα, υπάρχει ένα όριο στο οποίο μειώνεται η περιοχή ενός παρόμοιου σχήματος, αυτό το όριο ονομάζεται ολοκλήρωμα Riemann μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα.

Η δεύτερη μέθοδος είναι η κατασκευή του ολοκληρώματος Lebesgue, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι για τον τόπο διαίρεσης της καθορισμένης περιοχής σε μέρη του ολοκληρώματος και στη συνέχεια τη σύνταξη του ολοκληρωτικού αθροίσματος από τις τιμές που λαμβάνονται σε αυτά τα μέρη, το εύρος τιμών του χωρίζεται σε διαστήματα και στη συνέχεια συνοψίζεται με τα αντίστοιχα μέτρα των αντίστροφων εικόνων αυτών των ολοκληρωμάτων.

Σύγχρονα οφέλη

Ένα από τα κύρια εγχειρίδια για τη μελέτη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού γράφτηκε από τον Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Το εγχειρίδιό του είναι ένας θεμελιώδης οδηγός για τη μελέτη της μαθηματικής ανάλυσης, η οποία έχει περάσει από πολλές εκδόσεις και μεταφράσεις σε άλλες γλώσσες. Δημιουργήθηκε για φοιτητές και έχει χρησιμοποιηθεί από καιρό σε πολλά εκπαιδευτικά ιδρύματα ως ένα από τα κύρια βοηθήματα σπουδών. Δίνει θεωρητικά δεδομένα και πρακτικές δεξιότητες. Εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1948.

Αλγόριθμος έρευνας συναρτήσεων

Για τη διερεύνηση μιας συνάρτησης με μεθόδους διαφορικού λογισμού, είναι απαραίτητο να ακολουθήσουμε τον ήδη δεδομένο αλγόριθμο:

Βρείτε το εύρος της συνάρτησης.
Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που δίνεται.
Υπολογίστε τα άκρα. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο και τα σημεία όπου ισούται με μηδέν.
Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση.

Ποικιλίες διαφορικών εξισώσεων

DE πρώτης τάξης (αλλιώς, διαφορικός λογισμός μιας μεταβλητής) και οι τύποι τους:

Διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωση: f(y)dy=g(x)dx.
Οι απλούστερες εξισώσεις ή διαφορικός λογισμός μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, που έχει τον τύπο: y"=f(x).
Γραμμική ανομοιογενής ΔΕ πρώτης τάξης: y"+P(x)y=Q(x).
Η διαφορική εξίσωση του Bernoulli: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Εξίσωση με ολικά διαφορικά: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και οι τύποι τους:

Γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερές τιμές του συντελεστή: y n +py"+qy=0 p, το q ανήκει στο R.
Γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερή τιμή των συντελεστών: y n +py"+qy=f(x).
Γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση: y n +p(x)y"+q(x)y=0, και ανομοιογενής εξίσωση δεύτερης τάξης: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης και οι τύποι τους:

Διαφορική εξίσωση που επιτρέπει χαμηλότερη τάξη: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Η γραμμική εξίσωση υψηλότερης τάξης είναι ομοιογενής: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, και ανομοιογενή: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Στάδια επίλυσης προβλήματος με διαφορική εξίσωση

Με τη βοήθεια του τηλεχειριστηρίου δεν λύνονται μόνο μαθηματικές ή φυσικές ερωτήσεις, αλλά και διάφορα προβλήματα από τη βιολογία, την οικονομία, την κοινωνιολογία και άλλα. Παρά τη μεγάλη ποικιλία θεμάτων, θα πρέπει να ακολουθεί κανείς μια ενιαία λογική ακολουθία κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων:

Σύνταξη DU. Ένα από τα πιο δύσκολα βήματα που απαιτεί μέγιστη ακρίβεια, αφού οποιοδήποτε λάθος θα οδηγήσει σε εντελώς λάθος αποτελέσματα. Όλοι οι παράγοντες που επηρεάζουν τη διαδικασία πρέπει να ληφθούν υπόψη και να καθοριστούν οι αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει επίσης να βασίζεται σε γεγονότα και λογικά συμπεράσματα.
Λύση της διατυπωμένης εξίσωσης. Αυτή η διαδικασία είναι απλούστερη από το πρώτο σημείο, καθώς απαιτεί μόνο αυστηρούς μαθηματικούς υπολογισμούς.
Ανάλυση και αξιολόγηση των ληφθέντων αποτελεσμάτων. Η παραγόμενη λύση θα πρέπει να αξιολογηθεί για να διαπιστωθεί η πρακτική και θεωρητική αξία του αποτελέσματος.

Ένα παράδειγμα χρήσης διαφορικών εξισώσεων στην ιατρική

Η χρήση τηλεχειριστηρίου στον τομέα της ιατρικής συμβαίνει κατά την κατασκευή ενός επιδημιολογικού μαθηματικού μοντέλου. Ταυτόχρονα, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι αυτές οι εξισώσεις βρίσκονται και στη βιολογία και τη χημεία, που προσεγγίζουν την ιατρική, γιατί η μελέτη διαφόρων βιολογικών πληθυσμών και χημικών διεργασιών στο ανθρώπινο σώμα παίζει σημαντικό ρόλο σε αυτήν.

Στο παραπάνω παράδειγμα επιδημίας, μπορεί κανείς να εξετάσει την εξάπλωση μιας μόλυνσης σε μια απομονωμένη κοινωνία. Οι κάτοικοι χωρίζονται σε τρεις τύπους:

Μολυσμένα, αριθμός x(t), που αποτελείται από άτομα, φορείς της λοίμωξης, καθένας από τους οποίους είναι μεταδοτικός (η περίοδος επώασης είναι μικρή).
Το δεύτερο είδος περιλαμβάνει ευπαθή άτομα y(t) που μπορούν να μολυνθούν μέσω επαφής με μολυσμένα άτομα.
Το τρίτο είδος περιλαμβάνει άνοσα άτομα z(t), τα οποία είναι άνοσα ή έχουν πεθάνει λόγω ασθένειας.

Ο αριθμός των ατόμων είναι σταθερός, δεν λαμβάνονται υπόψη οι γεννήσεις, οι φυσικοί θάνατοι και η μετανάστευση. Θα βασίζεται σε δύο υποθέσεις.

Το ποσοστό επίπτωσης σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι x(t)y(t) (με βάση την υπόθεση ότι ο αριθμός των περιπτώσεων είναι ανάλογος με τον αριθμό των τομών μεταξύ ασθενών και ευπαθών εκπροσώπων, ο οποίος στην πρώτη προσέγγιση θα είναι ανάλογος με x(t)y(t)), στο Επομένως, ο αριθμός των ασθενών αυξάνεται και ο αριθμός των ευπαθών ατόμων μειώνεται με ρυθμό που υπολογίζεται από τον τύπο ax(t)y(t) (a > 0).

Ο αριθμός των ατόμων με ανοσία που έχουν αποκτήσει ανοσία ή πέθαναν αυξάνεται με ρυθμό ανάλογο με τον αριθμό των περιπτώσεων, bx(t) (b > 0).

Ως αποτέλεσμα, είναι δυνατό να συνταχθεί ένα σύστημα εξισώσεων λαμβάνοντας υπόψη και τους τρεις δείκτες και να εξαχθούν συμπεράσματα με βάση αυτό.

Παράδειγμα χρήσης στα οικονομικά

Ο διαφορικός λογισμός χρησιμοποιείται συχνά στην οικονομική ανάλυση. Το κύριο καθήκον στην οικονομική ανάλυση είναι η μελέτη ποσοτήτων από την οικονομία, οι οποίες γράφονται με τη μορφή συνάρτησης. Αυτό χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων όπως αλλαγές στο εισόδημα αμέσως μετά την αύξηση των φόρων, επιβολή δασμών, αλλαγές στα έσοδα της εταιρείας όταν αλλάζει το κόστος παραγωγής, σε ποια αναλογία μπορούν οι συνταξιούχοι να αντικατασταθούν με νέο εξοπλισμό. Για την επίλυση τέτοιων ερωτήσεων, απαιτείται η κατασκευή μιας συνάρτησης σύνδεσης από τις μεταβλητές εισόδου, οι οποίες στη συνέχεια μελετώνται χρησιμοποιώντας τον διαφορικό λογισμό.

Στον οικονομικό τομέα, είναι συχνά απαραίτητο να βρεθούν οι βέλτιστοι δείκτες: μέγιστη παραγωγικότητα εργασίας, υψηλότερο εισόδημα, χαμηλότερο κόστος κ.λπ. Κάθε τέτοιος δείκτης είναι συνάρτηση ενός ή περισσότερων ορισμάτων. Για παράδειγμα, η παραγωγή μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της εισροής εργασίας και κεφαλαίου. Από αυτή την άποψη, η εύρεση μιας κατάλληλης τιμής μπορεί να μειωθεί στην εύρεση του μέγιστου ή του ελάχιστου συνάρτησης από μία ή περισσότερες μεταβλητές.

Προβλήματα αυτού του είδους δημιουργούν μια κατηγορία ακραίων προβλημάτων στον οικονομικό τομέα, η επίλυση των οποίων απαιτεί διαφορικό λογισμό. Όταν ένας οικονομικός δείκτης πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ή να μεγιστοποιηθεί ως συνάρτηση άλλου δείκτη, τότε στο σημείο του μέγιστου, ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς τα ορίσματα θα τείνει στο μηδέν εάν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν. Διαφορετικά, όταν μια τέτοια αναλογία τείνει σε κάποια θετική ή αρνητική τιμή, το καθορισμένο σημείο δεν είναι κατάλληλο, γιατί αυξάνοντας ή μειώνοντας το όρισμα, μπορείτε να αλλάξετε την εξαρτημένη τιμή στην επιθυμητή κατεύθυνση. Στην ορολογία του διαφορικού λογισμού, αυτό θα σημαίνει ότι η απαιτούμενη συνθήκη για το μέγιστο μιας συνάρτησης είναι η μηδενική τιμή της παραγώγου της.

Στα οικονομικά, υπάρχουν συχνά καθήκοντα για να βρείτε το άκρο μιας συνάρτησης με πολλές μεταβλητές, επειδή οι οικονομικοί δείκτες αποτελούνται από πολλούς παράγοντες. Τέτοια ερωτήματα είναι καλά μελετημένα στη θεωρία των συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, εφαρμόζοντας τις μεθόδους διαφορικού υπολογισμού. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν όχι μόνο μεγιστοποιημένες και ελαχιστοποιημένες συναρτήσεις, αλλά και περιορισμούς. Τέτοιες ερωτήσεις σχετίζονται με τον μαθηματικό προγραμματισμό και επιλύονται με τη βοήθεια ειδικά αναπτυγμένων μεθόδων, βασισμένων επίσης σε αυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Μεταξύ των μεθόδων διαφορικού λογισμού που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά, μια σημαντική ενότητα είναι η οριακή ανάλυση. Στην οικονομική σφαίρα, αυτός ο όρος αναφέρεται σε ένα σύνολο μεθόδων για τη μελέτη μεταβλητών δεικτών και αποτελεσμάτων κατά την αλλαγή του όγκου δημιουργίας, κατανάλωσης, με βάση την ανάλυση των οριακών δεικτών τους. Ο περιοριστικός δείκτης είναι οι παράγωγοι ή μερικές παράγωγοι με πολλές μεταβλητές.

Ο διαφορικός λογισμός πολλών μεταβλητών είναι ένα σημαντικό θέμα στο πεδίο της μαθηματικής ανάλυσης. Για μια λεπτομερή μελέτη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορα εγχειρίδια για την τριτοβάθμια εκπαίδευση. Ένα από τα πιο διάσημα δημιουργήθηκε από τον Fikhtengolts - "Μάθημα διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού". Όπως υποδηλώνει το όνομα, οι δεξιότητες στην εργασία με ολοκληρώματα έχουν μεγάλη σημασία για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Όταν πραγματοποιείται ο διαφορικός λογισμός μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, η λύση γίνεται πιο απλή. Αν και, πρέπει να σημειωθεί, υπόκειται στους ίδιους βασικούς κανόνες. Για να μελετήσουμε στην πράξη μια συνάρτηση με διαφορικό λογισμό, αρκεί να ακολουθήσουμε τον ήδη υπάρχοντα αλγόριθμο, ο οποίος δίνεται στο γυμνάσιο και είναι ελαφρώς πολύπλοκος όταν εισάγονται νέες μεταβλητές.