Rn,
(ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ)

Διάνυσμα αποσύνθεση

Διάνυσμα αποσύνθεση ένασε εξαρτήματα - η λειτουργία της αντικατάστασης του φορέα έναπολλά άλλα διανύσματα ab, a2, a3, κ.λπ., τα οποία, όταν προστεθούν μαζί, σχηματίζουν το αρχικό διάνυσμα ένα;στην περίπτωση αυτή τα διανύσματα db a2, a3 κ.λπ. ονομάζονται συστατικά του διανύσματος ένα.Με άλλα λόγια, η αποσύνθεση οποιουδήποτε...
(Η ΦΥΣΙΚΗ)

Βάση και κατάταξη συστήματος διανυσμάτων

Εξετάστε το σύστημα των διανυσμάτων (1.18) Το μέγιστο ανεξάρτητο υποσύστημα του συστήματος των διανυσμάτωνΤο (1.I8) είναι ένα μερικό σύνολο διανυσμάτων αυτού του συστήματος που ικανοποιεί δύο προϋποθέσεις: 1) τα διανύσματα αυτού του συνόλου είναι γραμμικά ανεξάρτητα. 2) οποιοδήποτε διάνυσμα του συστήματος (1.18) εκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα αυτού του συνόλου....
(ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ)

Διανυσματική αναπαράσταση σε διαφορετικά συστήματασυντεταγμένες.

Θεωρήστε δύο ορθογώνια ευθύγραμμα συστήματα συντεταγμένων με σύνολα orts (i, j, k) και (i j", k") και αντιπροσωπεύστε το διάνυσμα a σε αυτά. Ας υποθέσουμε υπό όρους ότι τα αρχικά διανύσματα αντιστοιχούν σε νέα συστήματα e συντεταγμένες, και χωρίς εγκεφαλικά επεισόδια - το παλιό. Ας αναπαραστήσουμε το διάνυσμα ως επέκταση κατά μήκος των αξόνων τόσο του παλιού όσο και του νέου συστήματος...

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε ορθογώνια βάση

Εξετάστε τη βάση του χώρου Rn,στην οποία κάθε διάνυσμα είναι ορθογώνιο ως προς τα υπόλοιπα διανύσματα βάσης: Οι ορθογώνιες βάσεις είναι γνωστές και αναπαριστώνται καλά στο επίπεδο και στο διάστημα (Εικ. 1.6). Οι βάσεις αυτού του είδους είναι βολικές, πρώτα απ 'όλα, επειδή οι συντεταγμένες επέκτασης αυθαίρετο διάνυσμαπροσδιορίζεται...
(ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ)

Διανύσματα και αναπαραστάσεις τους σε συστήματα συντεταγμένων

Η έννοια του διανύσματος συνδέεται με ορισμένα φυσικές ποσότητες, τα οποία χαρακτηρίζονται από την ένταση (μέγεθος) και την κατεύθυνσή τους στο χώρο. Τέτοια μεγέθη είναι, για παράδειγμα, η δύναμη που ασκεί σε ένα υλικό σώμα, η ταχύτητα συγκεκριμένο σημείοαυτού του σώματος, η επιτάχυνση ενός υλικού σωματιδίου...
(ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΕΣΟΥ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ)

Οι απλούστερες αναλυτικές αναπαραστάσεις μιας αυθαίρετης ελλειπτικής συνάρτησης

Αναπαράσταση ελλειπτικής συνάρτησης ως άθροισμα στοιχειωδών στοιχείων.Ας είναι / (z)είναι μια ελλειπτική συνάρτηση της τάξης s με απλούς πόλους jjt, $s,που βρίσκεται στο παραλληλόγραμμο των περιόδων. Δηλώνει μέσω bkτο υπόλοιπο της συνάρτησης ως προς τον πόλο, έχουμε ότι 2 ?l = 0 (§ 1» σελ. 3, θεώρημα...
(ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΙΓΡΩΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ)

Λ. 2-1 Βασικές έννοιες διανυσματικής άλγεβρας. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση.

Βασικές έννοιες της διανυσματικής άλγεβρας

Ένα διάνυσμα είναι το σύνολο όλων των κατευθυνόμενων τμημάτων που έχουν το ίδιο μήκοςκαι κατεύθυνση
.

Ιδιότητες:

Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα

1.

Κανόνας παραλληλογράμμου:

Με ummahδύο διανύσματα και που ονομάζεται διάνυσμα , που βγαίνουν από την κοινή τους προέλευση και είναι η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και όπως στα πλάγια.

Κανόνας πολυγώνου:

Για να δημιουργήσετε το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων, πρέπει να τοποθετήσετε την αρχή του 2ου στο τέλος του 1ου όρου του διανύσματος, την αρχή του 3ου στο τέλος του 2ου και ούτω καθεξής. Το διάνυσμα που κλείνει το προκύπτον σπασμένη γραμμή, είναι το άθροισμα. Η αρχή του συμπίπτει με την αρχή του πρώτου και το τέλος με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες:

2.

Διανυσματικό προϊόν ανά αριθμό , ονομάζεται διάνυσμα που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:
.

Ιδιότητες:

3.

διαφοράφορείς και διάνυσμα κλήσης ίσο με το άθροισμα του διανύσματος και ένα διάνυσμα αντίθετο από το διάνυσμα , δηλ.
.

- ο νόμος του αντίθετου στοιχείου (διάνυσμα).

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση

Το άθροισμα των διανυσμάτων προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο
(μόνο ). Η αντίστροφη πράξη, η αποσύνθεση ενός διανύσματος σε πολλά συστατικά, είναι διφορούμενη: Για να καταστεί σαφές, είναι απαραίτητο να υποδεικνύονται οι κατευθύνσεις στις οποίες συμβαίνει η επέκταση του εξεταζόμενου διανύσματος ή, όπως λένε, είναι απαραίτητο να υποδειχθεί βάση.

Κατά τον προσδιορισμό της βάσης, η απαίτηση της μη ομοεπίπεδης και μη συγγραμμικότητας των διανυσμάτων είναι απαραίτητη. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτής της απαίτησης, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την έννοια της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των διανυσμάτων.

Αυθαίρετη έκφραση της μορφής: , καλείται γραμμικός συνδυασμόςφορείς
.

Ένας γραμμικός συνδυασμός πολλών διανυσμάτων ονομάζεται ασήμαντοςαν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν.

Διανύσματα
που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενος, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με μηδέν:
(1), παρέχεται
. Αν η ισότητα (1) ισχύει μόνο για όλους
ταυτόχρονα ίσο με μηδέν και μετά μη μηδενικά διανύσματα
θα γραμμικά ανεξάρτητη.

Είναι εύκολο να αποδείξεις: οποιαδήποτε δύο συγγραμμικά διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα και δύο μη συγγραμμικά διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ξεκινάμε την απόδειξη με τον πρώτο ισχυρισμό.

Αφήστε τα διανύσματα και συγγραμμική. Ας δείξουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Πράγματι, αν είναι συγγραμμικά, τότε διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά έναν αριθμητικό παράγοντα, δηλ.
, ως εκ τούτου
. Εφόσον ο γραμμικός συνδυασμός που προκύπτει είναι σαφώς μη τετριμμένος και ισούται με "0", τότε τα διανύσματα και γραμμικά εξαρτώμενος.

Ας εξετάσουμε τώρα δύο μη γραμμικά διανύσματα και . Ας αποδείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κατασκευάζουμε την απόδειξη με αντίφαση.

Υποθέτουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Τότε πρέπει να υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός
. Ας το προσποιηθούμε
, τότε
. Η προκύπτουσα ισότητα σημαίνει ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικές, σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση.

Ομοίως, μπορεί κανείς να αποδείξει: οποιαδήποτε τρία ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα και δύο μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Επιστρέφοντας στην έννοια της βάσης και στο πρόβλημα της επέκτασης ενός διανύσματος σε μια συγκεκριμένη βάση, μπορούμε να πούμε ότι η βάση στο επίπεδο και στο χώρο σχηματίζεται από ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων.Μια τέτοια έννοια βάσης είναι γενική, αφού εφαρμόζεται σε χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων.

Έκφραση όπως:
, ονομάζεται αποσύνθεση του διανύσματος κατά διανύσματα ,…,.

Αν θεωρήσουμε μια βάση στον τρισδιάστατο χώρο, τότε η αποσύνθεση του διανύσματος βάση
θα
, που
-διανυσματικές συντεταγμένες.

Στο πρόβλημα της επέκτασης ενός αυθαίρετου διανύσματος σε κάποια βάση, η ακόλουθη δήλωση είναι πολύ σημαντική: οποιοδήποτε διάνυσμαμπορεί να αποσυντεθεί με μοναδικό τρόπο στη δεδομένη βάση
. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες
για οποιοδήποτε διάνυσμα σε σχέση με τη βάση
ορίζεται ξεκάθαρα.

Η εισαγωγή μιας βάσης στο χώρο και σε ένα επίπεδο καθιστά δυνατή την αντιστοίχιση σε κάθε διάνυσμα διέταξε τριπλό (ζεύγος) αριθμών - τις συντεταγμένες του. Αυτό το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα, που καθιστά δυνατή τη δημιουργία μιας σύνδεσης μεταξύ γεωμετρικών αντικειμένων και αριθμών, καθιστά δυνατή την αναλυτική περιγραφή και μελέτη της θέσης και της κίνησης των φυσικών αντικειμένων.

Ο συνδυασμός σημείου και βάσης ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων.

Αν τα διανύσματα που αποτελούν τη βάση είναι μοναδιαία και κατά ζεύγη κάθετα, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιος,και η βάση ορθοκανονική.

L. 2-2 Προϊόν διανυσμάτων

Αποσύνθεση ενός διανύσματος ως προς τη βάση

Σκεφτείτε το διάνυσμα
, δίνεται από τις συντεταγμένες του:
.

- διανυσματικά στοιχεία σε κατευθύνσεις διανυσμάτων βάσης
.

Έκφραση της φόρμας
ονομάζεται αποσύνθεση του διανύσματος βάση
.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να αποσυντεθεί βάση
διάνυσμα
:

.

Συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζονται από το θεωρούμενο διάνυσμα με διανύσματα βάσης
που ονομάζεται συνημίτονα κατεύθυνσης

;
;
.

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων και ονομάζεται αριθμός ίσος με το γινόμενο των μονάδων αυτών των διανυσμάτων με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας

Το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί ως το γινόμενο του συντελεστή ενός από αυτά τα διανύσματα και η ορθογώνια προβολή του άλλου διανύσματος στην κατεύθυνση του πρώτου
.

Ιδιότητες:

Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων είναι γνωστές
και
, λοιπόν, έχοντας επεκτείνει τα διανύσματα ως προς τη βάση
:
και
, εύρημα

, επειδή
,
, τότε

.

.

Συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων:
.

Προϋπόθεση συγγραμμικότητας για πρυτάνεις:
.

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων

ή

διανυσματική τέχνη ανά διάνυσμα ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται
, το οποίο πληροί τις προϋποθέσεις:

Ιδιότητες:

Οι θεωρούμενες αλγεβρικές ιδιότητες καθιστούν δυνατή την εύρεση μιας αναλυτικής έκφρασης για το διασταυρούμενο γινόμενο ως προς τις συντεταγμένες των συστατικών διανυσμάτων σε ορθοκανονική βάση.

Δεδομένος:
και
.

επειδή ,
,
,
,
,
,
, τότε

. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί πιο σύντομος, με τη μορφή μιας ορίζουσας τρίτης τάξης:

.

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων ,και ονομάζεται αριθμός ίσος με το διανυσματικό γινόμενο
, πολλαπλασιαζόμενο κλιμακωτά με το διάνυσμα .

Η ακόλουθη ισότητα ισχύει:
, άρα γράφεται το μικτό προϊόν
.

Όπως προκύπτει από τον ορισμό, το αποτέλεσμα ενός μικτού προϊόντος τρία διανύσματαείναι ένας αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει μια σαφή γεωμετρική σημασία:

Μονάδα μικτού προϊόντος
είναι ίσος με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίστηκε στο ανηγμένο σε κοινή αρχήφορείς ,και .

Μικτές ιδιότητες προϊόντος:

Αν οι φορείς ,,δίνονται στην ορθοκανονική βάση
τις συντεταγμένες τους, ο υπολογισμός του μικτού προϊόντος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

.

Πράγματι, αν
, τότε

;
;
, τότε
.

Αν οι φορείς ,,είναι ομοεπίπεδα, τότε το διανυσματικό γινόμενο
κάθετα στο διάνυσμα . Και το αντίστροφο, αν
, τότε ο όγκος του παραλληλεπίπεδου είναι μηδέν, και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα (γραμμικά εξαρτημένα).

Έτσι τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Η βάση του χώρουκαλούμε ένα τέτοιο σύστημα διανυσμάτων στο οποίο όλα τα άλλα διανύσματα του χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.
Στην πράξη, όλα αυτά είναι πολύ απλά. Η βάση, κατά κανόνα, ελέγχεται σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα και γι 'αυτό πρέπει να βρείτε την ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης, τρίτης τάξης, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων. Σχηματικά γραμμένο παρακάτω συνθήκες υπό τις οποίες τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Προς την επεκτείνετε το διάνυσμα b ως προς τα διανύσματα βάσης
e,e...,e[n] είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντελεστές x, ..., x[n] για τους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων e,e...,e[n] ισούται με το διάνυσμα σι:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = β.
Για να γίνει αυτό, η διανυσματική εξίσωση θα πρέπει να μετατραπεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων και να βρει λύσεις. Είναι επίσης αρκετά εύκολο να εφαρμοστεί.
Καλούνται οι συντελεστές x, ..., x[n] που βρέθηκαν συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση e,e...,e[n].
Ας περάσουμε στην πρακτική πλευρά του θέματος.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε διανύσματα βάσης

Εργασία 1. Ελέγξτε αν τα διανύσματα a1, a2 αποτελούν βάση στο επίπεδο

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Λύση: Να συνθέσετε την ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και να την υπολογίσετε

Η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν, ως εκ τούτου Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, πράγμα που σημαίνει ότι αποτελούν βάση.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Λύση: Υπολογίζουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα

Η ορίζουσα είναι ίση με 13 (όχι ίση με μηδέν) - από αυτό προκύπτει ότι τα διανύσματα a1, a2 είναι μια βάση στο επίπεδο.

---=================---

Σκεφτείτε τυπικά παραδείγματααπό το πρόγραμμα IAPM στο γνωστικό αντικείμενο «Ανώτατα Μαθηματικά».

Εργασία 2. Δείξτε ότι τα διανύσματα a1, a2, a3 αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου και επεκτείνετε το διάνυσμα b σε αυτή τη βάση (όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικές εξισώσειςχρησιμοποιήστε τη μέθοδο του Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Λύση: Αρχικά, εξετάστε το σύστημα των διανυσμάτων a1, a2, a3 και ελέγξτε την ορίζουσα του πίνακα A

χτισμένο σε διανύσματα άλλα από το μηδέν. Ο πίνακας περιέχει ένα μηδενικό στοιχείο, επομένως είναι πιο σκόπιμο να υπολογιστεί η ορίζουσα ως χρονοδιάγραμμα για την πρώτη στήλη ή την τρίτη σειρά.

Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, βρήκαμε ότι η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως Τα διανύσματα a1, a2, a3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Εξ ορισμού, τα διανύσματα αποτελούν τη βάση στο R3. Ας γράψουμε το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b ως προς τη βάση

Τα διανύσματα είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.
Επομένως, από τη διανυσματική εξίσωση παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Επίλυση SLAE Η μέθοδος του Cramer. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων στη μορφή

Η κύρια ορίζουσα του SLAE είναι πάντα ίση με την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα βάσης

Επομένως, στην πράξη δεν υπολογίζεται δύο φορές. Για να βρούμε βοηθητικούς ορίζοντες, βάζουμε μια στήλη με ελεύθερους όρους στη θέση κάθε στήλης της κύριας ορίζουσας. Οι ορίζουσες υπολογίζονται σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων



Αντικαταστήστε τις ευρεθείσες ορίζουσες στον τύπο του Cramer



Άρα, η επέκταση του διανύσματος b ως προς τη βάση έχει τη μορφή b=-4a1+3a2-a3 . Οι συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση a1, a2, a3 θα είναι (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Λύση: Ελέγχουμε τα διανύσματα για τη βάση - συνθέτουμε την ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και την υπολογίζουμε

Επομένως, η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν διανύσματα αποτελούν τη βάση στο χώρο. Μένει να βρούμε το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b ως προς τη δεδομένη βάση. Για να γίνει αυτό, γράφουμε τη διανυσματική εξίσωση

και να μετατραπεί σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Καταγράφουμε εξίσωση μήτρας

Στη συνέχεια, για τους τύπους Cramer, βρίσκουμε βοηθητικούς ορίζοντες



Εφαρμογή των τύπων Cramer



Έτσι δεδομένο διάνυσμαΤο b έχει ένα χρονοδιάγραμμα μέσω δύο διανυσμάτων βάσης b=-2a1+5a3, και οι συντεταγμένες του στη βάση είναι b(-2,0, 5).

Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησίαφορείς.
Βάση διανυσμάτων. Affine σύστημα συντεταγμένων

Υπάρχει ένα καρότσι με σοκολάτες στο κοινό και σήμερα κάθε επισκέπτης θα πάρει ένα γλυκό ζευγάρι - αναλυτική γεωμετρία με γραμμική άλγεβρα. Αυτό το άρθρο θα καλύψει δύο ενότητες ταυτόχρονα. ανώτερα μαθηματικά, και θα δούμε πώς τα πάνε μαζί σε ένα περιτύλιγμα. Κάντε ένα διάλειμμα, φάτε Twix! ... βλασφημία, ανοησίες που διαφωνούν. Αν και εντάξει, δεν θα σκοράρω, στο τέλος, θα πρέπει να υπάρχει μια θετική στάση στη μελέτη.

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων, γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων, διανυσματική βάσηκαι άλλοι όροι δεν έχουν μόνο γεωμετρική ερμηνεία, αλλά κυρίως, αλγεβρική σημασία. Η ίδια η έννοια του "διανύσματος" από την άποψη της γραμμικής άλγεβρας απέχει πολύ από το να είναι πάντα το "συνηθισμένο" διάνυσμα που μπορούμε να απεικονίσουμε σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε πολύ για απόδειξη, δοκιμάστε να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα πενταδιάστατου χώρου . Ή το διάνυσμα καιρού που μόλις πήγα στο Gismeteo για: - θερμοκρασία και Ατμοσφαιρική πίεσηαντίστοιχα. Το παράδειγμα, φυσικά, είναι λανθασμένο από την άποψη των ιδιοτήτων του διανυσματικού χώρου, αλλά, ωστόσο, κανείς δεν απαγορεύει την επισημοποίηση αυτών των παραμέτρων ως διάνυσμα. Φθινοπωρινή ανάσα...

Όχι, δεν θα σας φορτώσω με θεωρία, γραμμική διανυσματικοί χώροι, το καθήκον είναι να καταλαβαίνουνορισμούς και θεωρήματα. Οι νέοι όροι (γραμμική εξάρτηση, ανεξαρτησία, γραμμικός συνδυασμός, βάση κ.λπ.) ισχύουν για όλους διανύσματα από αλγεβρική άποψη, αλλά παραδείγματα θα δοθούν γεωμετρικά. Έτσι, όλα είναι απλά, προσβάσιμα και οπτικά. Εκτός από τα προβλήματα της αναλυτικής γεωμετρίας, θα εξετάσουμε και μερικά τυπικές εργασίες άλγεβρα. Για να κυριαρχήσετε το υλικό, συνιστάται να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα Διανύσματα για ανδρείκελα και Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία επίπεδων διανυσμάτων.
Επίπεδη βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Σκεφτείτε το επίπεδο του γραφείου του υπολογιστή σας (μόνο ένα τραπέζι, κομοδίνο, πάτωμα, οροφή, ό,τι θέλετε). Η εργασία θα αποτελείται από τις ακόλουθες ενέργειες:

1) Επιλέξτε βάση αεροπλάνου. Σε γενικές γραμμές, η επιφάνεια του τραπεζιού έχει μήκος και πλάτος, επομένως είναι διαισθητικά σαφές ότι απαιτούνται δύο διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα διάνυσμα σαφώς δεν είναι αρκετό, τρία διανύσματα είναι πάρα πολλά.

2) Με βάση την επιλεγμένη βάση ρυθμίστε το σύστημα συντεταγμένων(πλέγμα συντεταγμένων) για να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε όλα τα στοιχεία του πίνακα.

Μην εκπλαγείτε, στην αρχή οι εξηγήσεις θα είναι στα δάχτυλα. Επιπλέον, στο δικό σου. Παρακαλώ τοποθετήστε δείκτη του αριστερού χεριούστην άκρη του τραπεζιού, ώστε να κοιτάζει την οθόνη. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Τώρα τοποθετήστε Μικρο δαχτυλο δεξί χέρι στην άκρη του τραπεζιού με τον ίδιο τρόπο - έτσι ώστε να κατευθύνεται στην οθόνη της οθόνης. Αυτό θα είναι ένα διάνυσμα. Χαμογέλα, φαίνεσαι υπέροχη! Τι μπορεί να ειπωθεί για τα διανύσματα; Διανύσματα δεδομένων συγγραμμική, που σημαίνει γραμμικάεκφράζονται μεταξύ τους:
, καλά, ή αντίστροφα: , όπου είναι ένας μη μηδενικός αριθμός.

Μπορείτε να δείτε μια εικόνα αυτής της ενέργειας στο μάθημα. Διανύσματα για ανδρείκελα , όπου εξήγησα τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τα δάχτυλά σας θα βάλουν τη βάση στο επίπεδο του τραπεζιού του υπολογιστή; Προφανώς όχι. Τα συγγραμμικά διανύσματα ταξιδεύουν εμπρός και πίσω μόνοςκατεύθυνση, ενώ ένα επίπεδο έχει μήκος και πλάτος.

Τέτοια διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενος.

Αναφορά: Οι λέξεις "γραμμικό", "γραμμικό" αναφέρονται στο γεγονός ότι σε μαθηματικές εξισώσεις, οι εκφράσεις δεν έχουν τετράγωνα, κύβους, άλλες δυνάμεις, λογάριθμους, ημίτονο κ.λπ. Υπάρχουν μόνο γραμμικές (1ου βαθμού) εκφράσεις και εξαρτήσεις.

Δύο επίπεδα διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενος τότε και μόνο τότεόταν είναι συγγραμμικά.

Σταυρώστε τα δάχτυλά σας στο τραπέζι έτσι ώστε να υπάρχει οποιαδήποτε γωνία μεταξύ τους εκτός από 0 ή 180 μοίρες. Δύο επίπεδα διανύσματαγραμμικά δενεξαρτώνται εάν και μόνο εάν δεν είναι συγγραμμικές. Έτσι, η βάση έχει ληφθεί. Δεν χρειάζεται να ντρέπεστε που η βάση αποδείχθηκε «λοξή» με μη κάθετα διανύσματα διαφόρων μηκών. Πολύ σύντομα θα δούμε ότι όχι μόνο μια γωνία 90 μοιρών είναι κατάλληλη για την κατασκευή του και όχι μόνο μοναδιαία διανύσματα ίσου μήκους

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεπεκτάθηκε ως προς τη βάση:
, που - πραγματικούς αριθμούς. Οι αριθμοί καλούνται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση.

Το λένε και αυτό διάνυσμαπαρουσιάζεται στη φόρμα γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης. Δηλαδή η έκφραση λέγεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάσηή γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει ότι ένα διάνυσμα διαστέλλεται σε μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου ή μπορεί να πει κανείς ότι αναπαρίσταται ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων.

Ας διατυπώσουμε ορισμός βάσηςεπίσημα: βάση αεροπλάνουείναι ένα ζεύγος γραμμικά ανεξάρτητων (μη γραμμικών) διανυσμάτων, , όπου όποιοςτο επίπεδο διάνυσμα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών διανυσμάτων.

Το ουσιαστικό σημείο του ορισμού είναι το γεγονός ότι λαμβάνονται τα διανύσματα με μια ορισμένη σειρά. βάσεις - είναι δύο εντελώς διαφορετική βάση! Όπως λένε, το μικρό δάχτυλο του αριστερού χεριού δεν μπορεί να μετακινηθεί στη θέση του μικρού δακτύλου του δεξιού χεριού.

Καταλάβαμε τη βάση, αλλά δεν αρκεί να ορίσετε το πλέγμα συντεταγμένων και να εκχωρήσετε συντεταγμένες σε κάθε στοιχείο στο γραφείο του υπολογιστή σας. Γιατί όχι αρκετά; Τα διανύσματα είναι ελεύθερα και περιφέρονται σε ολόκληρο το επίπεδο. Πώς, λοιπόν, αντιστοιχίζετε συντεταγμένες σε αυτές τις μικρές βρώμικες κουκκίδες που έχουν απομείνει από ένα άγριο Σαββατοκύριακο; Χρειάζεται ένα σημείο εκκίνησης. Και ένα τέτοιο σημείο αναφοράς είναι ένα σημείο γνωστό σε όλους - η προέλευση των συντεταγμένων. Κατανόηση του συστήματος συντεταγμένων:

Θα ξεκινήσω με το «σχολικό» σύστημα. Ήδη στο εισαγωγικό μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελα Τόνισα μερικές από τις διαφορές μεταξύ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και μιας ορθοκανονικής βάσης. Εδώ είναι η τυπική εικόνα:

Όταν μιλάμε για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, τότε πιο συχνά σημαίνουν την προέλευση των συντεταγμένων, άξονες συντεταγμένωνκαι κλίμακα κατά μήκος των αξόνων. Δοκιμάστε να πληκτρολογήσετε "ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων" στη μηχανή αναζήτησης και θα δείτε ότι πολλές πηγές θα σας πουν για τους άξονες συντεταγμένων που είναι γνωστοί από την 5η-6η τάξη και πώς να σχεδιάσετε σημεία σε ένα επίπεδο.

Από την άλλη φαίνεται ότι ορθογώνιο σύστημαΟι συντεταγμένες μπορούν να προσδιοριστούν με βάση μια ορθοκανονική βάση. Και σχεδόν είναι. Η διατύπωση έχει ως εξής:

προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου . Δηλαδή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων οπωσδηποτεορίζεται από ένα μόνο σημείο και δύο μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα. Γι' αυτό, βλέπετε το σχέδιο που έδωσα παραπάνω - μέσα γεωμετρικά προβλήματασυχνά (αλλά σε καμία περίπτωση πάντα) σχεδιάζουν και διανύσματα και άξονες συντεταγμένων.

Νομίζω ότι όλοι το καταλαβαίνουν με τη βοήθεια ενός σημείου (προέλευσης) και μιας ορθοκανονικής βάσης ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ του αεροπλάνου και ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ του αεροπλάνουμπορούν να εκχωρηθούν συντεταγμένες. Μεταφορικά μιλώντας, «τα πάντα στο αεροπλάνο μπορούν να αριθμηθούν».

Τα διανύσματα συντεταγμένων πρέπει να είναι μονάδες; Όχι, μπορεί να έχουν αυθαίρετο μη μηδενικό μήκος. Θεωρήστε ένα σημείο και δύο ορθογώνια διανύσματα αυθαίρετου μη μηδενικού μήκους:

Μια τέτοια βάση ονομάζεται ορθογώνιο. Η αρχή των συντεταγμένων με διανύσματα ορίζει το πλέγμα συντεταγμένων και οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου, οποιοδήποτε διάνυσμα έχει τις δικές του συντεταγμένες στη δεδομένη βάση. Για παράδειγμα, ή. Η προφανής ταλαιπωρία είναι ότι τα διανύσματα συντεταγμένων σε γενική περίπτωση έχουν διαφορετικά μήκη εκτός της ενότητας. Εάν τα μήκη είναι ίσα με ένα, τότε προκύπτει η συνήθης ορθοκανονική βάση.

! Σημείωση : στην ορθογώνια βάση, και επίσης κάτω μέσα συγγενικές βάσειςθεωρούνται οι μονάδες επιπέδου και χώρου κατά μήκος των αξόνων ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ. Για παράδειγμα, μια μονάδα κατά μήκος της τετμημένης περιέχει 4 cm, μια μονάδα κατά μήκος της τεταγμένης περιέχει 2 cm. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να μετατρέψουν τις «μη τυπικές» συντεταγμένες σε «συνήθη εκατοστά» εάν είναι απαραίτητο.

Και η δεύτερη ερώτηση, η οποία στην πραγματικότητα έχει ήδη απαντηθεί - είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων βάσης κατ' ανάγκη ίση με 90 μοίρες; Δεν! Όπως λέει ο ορισμός, τα διανύσματα βάσης πρέπει να είναι μόνο μη γραμμικό. Κατά συνέπεια, η γωνία μπορεί να είναι οτιδήποτε εκτός από 0 και 180 μοίρες.

Κάλεσε ένα σημείο στο αεροπλάνο προέλευση, και μη γραμμικόφορείς, , σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του αεροπλάνου :

Μερικές φορές αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται λοξόςΣύστημα. Τα σημεία και τα διανύσματα φαίνονται ως παραδείγματα στο σχέδιο:

Όπως καταλαβαίνετε, το σύστημα συντεταγμένων συγγενών είναι ακόμα λιγότερο βολικό, οι τύποι για τα μήκη των διανυσμάτων και των τμημάτων, που εξετάσαμε στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, δεν λειτουργούν σε αυτό. Διανύσματα για ανδρείκελα , πολλές νόστιμες φόρμουλες που σχετίζονται με κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων . Αλλά οι κανόνες για την προσθήκη διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό ισχύουν, τύπους διαίρεσης τμήματος από αυτή την άποψη, καθώς και ορισμένους άλλους τύπους εργασιών που θα εξετάσουμε σύντομα.

Και το συμπέρασμα είναι ότι η πιο βολική ειδική περίπτωση συγγενικό σύστημαοι συντεταγμένες είναι ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα. Επομένως, αυτή, η δική της, τις περισσότερες φορές πρέπει να τη δει κανείς. ... Ωστόσο, όλα σε αυτή τη ζωή είναι σχετικά - υπάρχουν πολλές καταστάσεις στις οποίες είναι σκόπιμο να υπάρχει μια λοξή (ή κάποια άλλη, για παράδειγμα, πολικός) σύστημα συντεταγμένων. Ναι, και τα ανθρωποειδή τέτοια συστήματα μπορεί να έρθουν σε γεύση =)

Ας περάσουμε στο πρακτικό κομμάτι. Όλες οι εργασίες αυτό το μάθημαισχύουν τόσο για ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων όσο και για τη γενική συγγενική περίπτωση. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ, όλο το υλικό είναι διαθέσιμο ακόμα και σε έναν μαθητή.

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των επίπεδων διανυσμάτων;

Τυπικό πράγμα. Για δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές, είναι απαραίτητο και επαρκές οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.Ουσιαστικά πρόκειται για μια τελειοποίηση συντεταγμένη προς συντεταγμένη της προφανούς σχέσης .

Παράδειγμα 1

α) Ελέγξτε αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά .
β) Τα διανύσματα αποτελούν βάση; ?

Απόφαση:
α) Μάθετε αν υπάρχει για διανύσματα συντελεστής αναλογικότητας, έτσι ώστε να πληρούνται οι ισότητες:

Θα σας πω σίγουρα για την "foppish" έκδοση της εφαρμογής αυτού του κανόνα, η οποία λειτουργεί αρκετά καλά στην πράξη. Η ιδέα είναι να συντάξουμε αμέσως μια αναλογία και να δούμε αν είναι σωστή:

Ας κάνουμε μια αναλογία από τους λόγους των αντίστοιχων συντεταγμένων των διανυσμάτων:

Συντομεύουμε:
, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογες, επομένως,

Η σχέση θα μπορούσε να γίνει και αντίστροφα, αυτή είναι μια ισοδύναμη επιλογή:

Για τον αυτοέλεγχο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι συγγραμμικά διανύσματαεκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηυπάρχουν ισότητες . Η εγκυρότητά τους μπορεί εύκολα να ελεγχθεί μέσω στοιχειωδών πράξεων με διανύσματα:

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Εξετάζουμε διανύσματα για συγγραμμικότητα . Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , από τη δεύτερη εξίσωση προκύπτει ότι , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές (χωρίς λύσεις). Έτσι, οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων δεν είναι ανάλογες.

συμπέρασμα: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Μια απλοποιημένη έκδοση της λύσης μοιάζει με αυτό:

Να συνθέσετε την αναλογία από τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως, αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Συνήθως οι αναθεωρητές δεν απορρίπτουν αυτήν την επιλογή, αλλά δημιουργείται πρόβλημα σε περιπτώσεις όπου ορισμένες συντεταγμένες είναι ίσες με μηδέν. Σαν αυτό: . Ή όπως αυτό: . Ή όπως αυτό: . Πώς να επεξεργαστείτε την αναλογία εδώ; (Πραγματικά, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν). Γι' αυτόν τον λόγο ονόμασα την απλοποιημένη λύση "foppish".

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Μικρό δημιουργικό παράδειγμαΓια ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 2

Σε ποια τιμή των διανυσμάτων παραμέτρων θα είναι συγγραμμική;

Στο διάλυμα του δείγματος, η παράμετρος βρίσκεται μέσω της αναλογίας.

Υπάρχει ένας κομψός αλγεβρικός τρόπος ελέγχου των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα. Ας συστηματοποιήσουμε τις γνώσεις μας και ας τις προσθέσουμε ως το πέμπτο σημείο:

Για δύο επίπεδα διανύσματα, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:

2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι μη μηδενική.

Αντίστοιχα, οι παρακάτω αντίθετες προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.
2) τα διανύσματα δεν αποτελούν βάση.
3) τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
4) Τα διανύσματα μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
+ 5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι ίση με μηδέν.

Ελπίζω πολύ, πολύ ότι αυτή τη στιγμή έχετε ήδη κατανοήσει όλους τους όρους και τις δηλώσεις που έχετε συναντήσει.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νέο, πέμπτο σημείο: δύο επίπεδα διανύσματα είναι συγγραμμικές αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:. Για να χρησιμοποιήσετε αυτή τη δυνατότητα, φυσικά, πρέπει να είστε σε θέση βρείτε καθοριστικούς παράγοντες .

Εμείς θα αποφασίσουμεΠαράδειγμα 1 με τον δεύτερο τρόπο:

α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

β) Δύο επίπεδα διανύσματα αποτελούν βάση εάν δεν είναι συγγραμμικά (γραμμικά ανεξάρτητα). Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων :
, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση.

Απάντηση:α) , β) μορφή.

Φαίνεται πολύ πιο συμπαγές και πιο όμορφο από τη λύση με τις αναλογίες.

Με τη βοήθεια του εξεταζόμενου υλικού, είναι δυνατό να καθοριστεί όχι μόνο η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, αλλά και να αποδειχθεί ο παραλληλισμός τμημάτων, ευθειών. Εξετάστε μερικά προβλήματα με συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματα.

Παράδειγμα 3

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Δεν χρειάζεται να δημιουργηθεί σχέδιο στο πρόβλημα, αφού η λύση θα είναι καθαρά αναλυτική. Θυμηθείτε τον ορισμό του παραλληλογράμμου:
Παραλληλόγραμμο Λέγεται ένα τετράπλευρο, στο οποίο οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Επομένως, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί:
1) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και?
2) παραλληλισμός αντίθετων πλευρών και .

Αποδεικνύουμε:

1) Βρείτε τα διανύσματα:

2) Βρείτε τα διανύσματα:

Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα ("σύμφωνα με το σχολείο" - ίσα διανύσματα). Η συγγραμμικότητα είναι αρκετά εμφανής, αλλά είναι καλύτερο να ληφθεί η απόφαση σωστά, με τη διάταξη. Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:
, άρα αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και .

συμπέρασμα: αντίθετες πλευρέςΤα τετράπλευρα είναι παράλληλα κατά ζεύγη, επομένως είναι παραλληλόγραμμο εξ ορισμού. Q.E.D.

Περισσότερες καλές και διαφορετικές φιγούρες:

Παράδειγμα 4

Δίνονται κορυφές τετράπλευρου. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.

Για μια πιο αυστηρή διατύπωση της απόδειξης, είναι καλύτερο, φυσικά, να λάβουμε τον ορισμό του τραπεζοειδούς, αλλά αρκεί απλώς να θυμηθούμε πώς μοιάζει.

Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Ολοκληρωμένη Λύσηστο τέλος του μαθήματος.

Και τώρα ήρθε η ώρα να μετακινηθείτε σιγά σιγά από το αεροπλάνο στο διάστημα:

Πώς να προσδιορίσετε τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων του χώρου;

Ο κανόνας είναι πολύ παρόμοιος. Για δύο διανύσματα διαστήματος να είναι συγγραμμικά, αναγκαία και επαρκήώστε οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους να είναι ανάλογες.

Παράδειγμα 5

Μάθετε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:

ένα) ;
σι)
σε)

Απόφαση:
α) Ελέγξτε αν υπάρχει συντελεστής αναλογικότητας για τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων:

Το σύστημα δεν έχει λύση, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Το "Απλοποιημένο" γίνεται με τον έλεγχο της αναλογίας. Σε αυτήν την περίπτωση:
– οι αντίστοιχες συντεταγμένες δεν είναι αναλογικές, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

Απάντηση:τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β-γ) Αυτά είναι σημεία για αυτοτελή απόφαση. Δοκιμάστε το με δύο τρόπους.

Υπάρχει μια μέθοδος για τον έλεγχο των διανυσμάτων του χώρου για συγγραμμικότητα και μέσω μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, αυτή τη μέθοδοπου καλύπτονται στο άρθρο Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων .

Ομοίως με την περίπτωση του επιπέδου, τα εξεταζόμενα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη του παραλληλισμού χωρικών τμημάτων και γραμμών.

Καλώς ήρθατε στη δεύτερη ενότητα:

Γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία τρισδιάστατων διανυσμάτων χώρου.
Χωρική βάση και συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Πολλές από τις κανονικότητες που έχουμε εξετάσει στο αεροπλάνο θα ισχύουν και για το διάστημα. Προσπάθησα να ελαχιστοποιήσω την περίληψη της θεωρίας, αφού η μερίδα του λέοντος των πληροφοριών έχει ήδη μασηθεί. Παρόλα αυτά, σας συνιστώ να διαβάσετε προσεκτικά το εισαγωγικό μέρος, καθώς θα εμφανιστούν νέοι όροι και έννοιες.

Τώρα, αντί για το επίπεδο του πίνακα του υπολογιστή, ας εξετάσουμε τον τρισδιάστατο χώρο. Αρχικά, ας δημιουργήσουμε τη βάση του. Κάποιος είναι τώρα σε εσωτερικό χώρο, κάποιος είναι σε εξωτερικό χώρο, αλλά σε κάθε περίπτωση, δεν μπορούμε να ξεφύγουμε από τις τρεις διαστάσεις: πλάτος, μήκος και ύψος. Επομένως, απαιτούνται τρία χωρικά διανύσματα για την κατασκευή της βάσης. Ένα ή δύο διανύσματα δεν είναι αρκετά, το τέταρτο είναι περιττό.

Και πάλι ζεσταίνουμε στα δάχτυλα. Παρακαλώ σηκώστε το χέρι σας και απλώστε μέσα διαφορετικές πλευρές αντίχειρα, δείκτη και μεσαίο δάχτυλο. Αυτά θα είναι διανύσματα, κοιτάζουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις, έχουν διαφορετικά μήκη και έχουν διαφορετικές γωνίες μεταξύ τους. Συγχαρητήρια, η βάση του τρισδιάστατου χώρου είναι έτοιμη! Παρεμπιπτόντως, δεν χρειάζεται να το αποδείξετε αυτό στους δασκάλους, ανεξάρτητα από το πώς στρίβετε τα δάχτυλά σας, αλλά δεν μπορείτε να ξεφύγετε από τους ορισμούς =)

Στη συνέχεια, ας ρωτήσουμε σημαντικό θέμα, εάν οποιαδήποτε τρία διανύσματα αποτελούν βάση τρισδιάστατο χώρο ? Πατήστε σταθερά τρία δάχτυλα στην επιφάνεια του τραπεζιού του υπολογιστή. Τι συνέβη? Τρία διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και, χοντρικά, έχουμε χάσει μία από τις μετρήσεις - το ύψος. Τέτοιοι φορείς είναι ομοεπίπεδηκαι, προφανώς, ότι δεν δημιουργείται η βάση του τρισδιάστατου χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι τα συνεπίπεδα διανύσματα δεν χρειάζεται να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, μπορούν να βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα(απλά μην το κάνεις με τα δάχτυλά σου, μόνο ο Σαλβαδόρ Νταλί ξεκόλλησε έτσι =)).

Ορισμός: τα διανύσματα λέγονται ομοεπίπεδηεάν υπάρχει επίπεδο στο οποίο είναι παράλληλα. Εδώ είναι λογικό να προσθέσουμε ότι αν δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, τότε τα διανύσματα δεν θα είναι συνεπίπεδα.

Τρία συνεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά εξαρτώμενα, δηλαδή εκφράζονται γραμμικά μεταξύ τους. Για απλότητα, φανταστείτε πάλι ότι βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Πρώτον, τα διανύσματα δεν είναι μόνο συνεπίπεδα, αλλά μπορούν επίσης να είναι συγγραμμικά, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω οποιουδήποτε διανύσματος. Στη δεύτερη περίπτωση, εάν, για παράδειγμα, τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, τότε το τρίτο διάνυσμα εκφράζεται μέσω αυτών με μοναδικό τρόπο: (και γιατί είναι εύκολο να μαντέψει κανείς από τα υλικά της προηγούμενης ενότητας).

Ισχύει και το αντίστροφο: τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή σε καμία περίπτωση δεν εκφράζονται μεταξύ τους. Και, προφανώς, μόνο τέτοια διανύσματα μπορούν να αποτελέσουν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Ορισμός: Η βάση του τρισδιάστατου χώρουονομάζεται τριπλό γραμμικά ανεξάρτητων (μη ομοεπίπεδων) διανυσμάτων, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, ενώ οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται στη δεδομένη βάση , όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος στη δεδομένη βάση

Ως υπενθύμιση, μπορείτε επίσης να πείτε ότι ένα διάνυσμα αναπαρίσταται ως γραμμικός συνδυασμόςδιανύσματα βάσης.

Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων εισάγεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και για επίπεδη θήκη, ένα σημείο και οποιαδήποτε τρία γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα:

προέλευση, και μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά, σετ συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του τρισδιάστατου χώρου :

Φυσικά, το πλέγμα συντεταγμένων είναι «λοξό» και άβολο, αλλά, παρόλα αυτά, το κατασκευασμένο σύστημα συντεταγμένων μας επιτρέπει να οπωσδηποτεπροσδιορίστε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε διανύσματος και τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου του χώρου. Παρόμοια με το επίπεδο, στο συγγενικό σύστημα συντεταγμένων του χώρου, ορισμένοι τύποι που έχω ήδη αναφέρει δεν θα λειτουργήσουν.

Η πιο οικεία και βολική ειδική περίπτωση ενός συστήματος συντεταγμένων συγγενών, όπως όλοι μπορούν να μαντέψουν, είναι ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων του χώρου:

σημείο στο διάστημα που ονομάζεται προέλευση, και ορθοκανονικήσύνολο βάσης Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου . γνώριμη εικόνα:

Πριν προχωρήσουμε σε πρακτικές εργασίες, συστηματοποιούμε ξανά τις πληροφορίες:

Για τρία διανύσματα χώρου, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
2) Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση.
3) τα διανύσματα δεν είναι ομοεπίπεδα.
4) τα διανύσματα δεν μπορούν να εκφραστούν γραμμικά μεταξύ τους.
5) η ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων, είναι διαφορετική από το μηδέν.

Οι αντίθετες δηλώσεις, νομίζω, είναι κατανοητές.

Η γραμμική εξάρτηση / ανεξαρτησία των διανυσμάτων χώρου ελέγχεται παραδοσιακά χρησιμοποιώντας την ορίζουσα (στοιχείο 5). Παραμένων πρακτικές εργασίεςθα έχει έντονο αλγεβρικό χαρακτήρα. Ήρθε η ώρα να κρεμάσετε ένα γεωμετρικό ραβδί σε ένα καρφί και να κρατήσετε ένα γραμμικό ρόπαλο μπέιζμπολ άλγεβρας:

Τρία διανύσματα χώρουείναι ομοεπίπεδες αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν: .

Εφιστώ την προσοχή σας σε μια μικρή τεχνική απόχρωση: οι συντεταγμένες των διανυσμάτων μπορούν να γραφτούν όχι μόνο σε στήλες, αλλά και σε σειρές (η τιμή της ορίζουσας δεν θα αλλάξει από αυτό - δείτε παρακάτω). ιδιότητες των καθοριστικών παραγόντων). Αλλά είναι πολύ καλύτερο στις στήλες, αφού είναι πιο ωφέλιμο για την επίλυση κάποιων πρακτικών προβλημάτων.

Για εκείνους τους αναγνώστες που έχουν ξεχάσει λίγο τις μεθόδους υπολογισμού οριζόντων ή ίσως δεν έχουν καθόλου προσανατολισμό, προτείνω ένα από τα παλαιότερα μαθήματά μου: Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Παράδειγμα 6

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου:

Απόφαση: Στην πραγματικότητα, η όλη λύση καταλήγει στον υπολογισμό της ορίζουσας.

α) Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (η ορίζουσα επεκτείνεται στην πρώτη γραμμή):

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (όχι ομοεπίπεδα) και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

Απάντηση: αυτά τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

β) Αυτό είναι ένα σημείο για ανεξάρτητη απόφαση. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

συναντιούνται και δημιουργικές εργασίες:

Παράδειγμα 7

Σε ποια τιμή της παραμέτρου τα διανύσματα θα είναι ομοεπίπεδα;

Απόφαση: Τα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα αν και μόνο αν η ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων είναι ίση με μηδέν:

Ουσιαστικά απαιτείται η επίλυση μιας εξίσωσης με ορίζουσα. Πετάμε στα μηδενικά όπως οι χαρταετοί σε jerboas - είναι πιο κερδοφόρο να ανοίξουμε τον προσδιορισμό στη δεύτερη γραμμή και να απαλλαγούμε αμέσως από τα μειονεκτήματα:

Πραγματοποιούμε περαιτέρω απλοποιήσεις και περιορίζουμε το θέμα στο απλούστερο γραμμική εξίσωση:

Απάντηση: στο

Είναι εύκολο να το ελέγξετε εδώ, για αυτό πρέπει να αντικαταστήσετε την προκύπτουσα τιμή στην αρχική ορίζουσα και να βεβαιωθείτε ότι ανοίγοντάς το ξανά.

Τέλος, σκεφτείτε ένα ακόμη τυπική εργασία, που έχει περισσότερο αλγεβρικό χαρακτήρα και παραδοσιακά περιλαμβάνεται στο μάθημα της γραμμικής άλγεβρας. Είναι τόσο κοινό που αξίζει ένα ξεχωριστό θέμα:

Να αποδείξετε ότι 3 διανύσματα αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου
και βρείτε τις συντεταγμένες του 4ου διανύσματος στη δεδομένη βάση

Παράδειγμα 8

Δίνονται διανύσματα. Δείξτε ότι τα διανύσματα αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Απόφαση: Ας ασχοληθούμε πρώτα με την κατάσταση. Κατά συνθήκη, δίνονται τέσσερα διανύσματα και, όπως μπορείτε να δείτε, έχουν ήδη συντεταγμένες σε κάποια βάση. Ποια είναι η βάση - δεν μας ενδιαφέρει. Και το εξής είναι ενδιαφέρον: τρία διανύσματα μπορεί κάλλιστα να σχηματιστούν νέα βάση. Και το πρώτο βήμα είναι εντελώς το ίδιο με τη λύση του Παραδείγματος 6, είναι απαραίτητο να ελέγξετε εάν τα διανύσματα είναι πραγματικά γραμμικά ανεξάρτητα:

Υπολογίστε την ορίζουσα, που αποτελείται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:

, επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν τη βάση ενός τρισδιάστατου χώρου.

! Σπουδαίος : διανυσματικές συντεταγμένες αναγκαίωςσημειωσε σε στήλεςκαθοριστική, όχι χορδές. Διαφορετικά, θα υπάρξει σύγχυση στον περαιτέρω αλγόριθμο επίλυσης.