Παραδείγματα εργασιών στον τόπο των σημείων.

Γεωμετρία (Ελληνική γεωμετρία, από ge - Γη και μέτρο - μέτρο)

κλάδος των μαθηματικών που μελετά χωρικές σχέσεις και μορφές, καθώς και άλλες σχέσεις και μορφές παρόμοιες με τις χωρικές στη δομή τους.

Η προέλευση του όρου "G.", που κυριολεκτικά σημαίνει "γεωσκόπηση", μπορεί να εξηγηθεί με τις ακόλουθες λέξεις που αποδίδονται στον αρχαίο Έλληνα επιστήμονα Εύδημο τον Ρόδιο (4ος αιώνας π.Χ.): "Η γεωμετρία ανακαλύφθηκε από τους Αιγύπτιους και προέκυψε όταν μέτρηση της Γης. Αυτή η μέτρηση ήταν απαραίτητη λόγω της πλημμύρας του ποταμού Νείλου, που ξέπλενε συνεχώς τα σύνορα." Ήδη στους αρχαίους Έλληνες, η γεωδαισία σήμαινε μια μαθηματική επιστήμη, ενώ ο όρος Γεωδαισία εισήχθη για την επιστήμη της μέτρησης της γης . Κρίνοντας από τα σωζόμενα θραύσματα αρχαίων αιγυπτιακών γραπτών, η βαρύτητα αναπτύχθηκε όχι μόνο από μετρήσεις της γης, αλλά και από μετρήσεις όγκων και επιφανειών κατά τη διάρκεια χωματουργικών και κατασκευαστικών εργασιών κ.λπ.

Οι αρχικές έννοιες της βαρύτητας προέκυψαν ως αποτέλεσμα μιας αφαίρεσης από όλες τις ιδιότητες και τις σχέσεις των σωμάτων, εκτός από τη σχετική θέση και το μέγεθος. Τα πρώτα εκφράζονται με το άγγιγμα ή τη συνένωση των σωμάτων μεταξύ τους, στο γεγονός ότι ένα σώμα είναι μέρος ενός άλλου, στη θέση «ανάμεσα», «μέσα» κ.λπ. Τα τελευταία εκφράζονται στις έννοιες «περισσότερο», «λιγότερο», στην έννοια της ισότητας των σωμάτων.

Με την ίδια αφαίρεση προκύπτει και η έννοια του γεωμετρικού σώματος. Ένα γεωμετρικό σώμα είναι μια αφαίρεση στην οποία μόνο το σχήμα και οι διαστάσεις διατηρούνται σε πλήρη αφαίρεση από όλες τις άλλες ιδιότητες. Ταυτόχρονα, η γεωμετρία, όπως είναι τυπικό των μαθηματικών γενικά, αφαιρείται εντελώς από την απροσδιοριστία και την κινητικότητα των πραγματικών σχημάτων και μεγεθών και θεωρεί όλες τις σχέσεις και τις μορφές που ερευνά απολύτως ακριβείς και καθορισμένες. Η αφαίρεση από την προέκταση των σωμάτων οδηγεί στις έννοιες των επιφανειών, των γραμμών και των σημείων. Αυτό εκφράζεται ξεκάθαρα, για παράδειγμα, στους ορισμούς που δίνει ο Ευκλείδης: «γραμμή είναι μήκος χωρίς πλάτος», «επιφάνεια είναι αυτή που έχει μήκος και πλάτος». Ένα σημείο χωρίς καμία επέκταση είναι μια αφαίρεση που αντανακλά τη δυνατότητα απεριόριστης μείωσης σε όλες τις διαστάσεις ενός σώματος, το νοητό όριο της άπειρης διαίρεσης του. Έπειτα, υπάρχει μια γενική έννοια ενός γεωμετρικού σχήματος, που νοείται όχι μόνο ως σώμα, επιφάνεια, γραμμή ή σημείο, αλλά και οποιοσδήποτε συνδυασμός τους.

Ζ. στην αρχική του σημασία είναι η επιστήμη των μορφών, η αμοιβαία διάταξη και το μέγεθος των μερών τους, καθώς και η μεταμόρφωση των μορφών. Αυτός ο ορισμός συμφωνεί πλήρως με τον ορισμό της γεωμετρίας ως επιστήμης των χωρικών μορφών και σχέσεων. Πράγματι, το σχήμα, όπως θεωρείται στο G., είναι μια χωρική μορφή. Επομένως, στο Γ. λένε, για παράδειγμα, «μπάλα», και όχι «σώμα σφαιρικού σχήματος». Η θέση και οι διαστάσεις καθορίζονται από χωρικές σχέσεις. Τέλος, ο μετασχηματισμός, όπως γίνεται αντιληπτός στον G., είναι επίσης μια ορισμένη σχέση μεταξύ δύο μορφών - του δεδομένου και αυτού στο οποίο μετασχηματίζεται.

Με τη σύγχρονη, γενικότερη έννοια, η γεωμετρία περιλαμβάνει μια ποικιλία μαθηματικών θεωριών, των οποίων το ανήκειν στη γεωμετρία καθορίζεται όχι μόνο από την ομοιότητα (αν και μερικές φορές πολύ απομακρυσμένη) του αντικειμένου τους με συνηθισμένες χωρικές μορφές και σχέσεις, αλλά και από το γεγονός ότι ιστορικά αναπτύχθηκαν και διαμορφώνονται πάνω στο Γ. στην αρχική του σημασία και στις κατασκευές τους προέρχονται από την ανάλυση, τη γενίκευση και την τροποποίηση των εννοιών του. Η γεωγραφία με αυτή τη γενική έννοια είναι στενά συνυφασμένη με άλλους κλάδους των μαθηματικών και τα όριά της δεν είναι ακριβή. Βλέπε Γενικοποίηση Γεωμετρίας και Σύγχρονης Γεωμετρίας.

Ανάπτυξη γεωμετρίας. Στην ανάπτυξη της γεωλογίας, μπορούν να αναφερθούν τέσσερις κύριες περίοδοι, οι μεταβάσεις μεταξύ των οποίων σήμαιναν μια ποιοτική αλλαγή στη γεωγραφία.

Η πρώτη - η περίοδος γέννησης της γεωμετρίας ως μαθηματικής επιστήμης - προχώρησε στην αρχαία Αίγυπτο, τη Βαβυλώνα και την Ελλάδα μέχρι περίπου τον 5ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Οι πρωτογενείς γεωμετρικές πληροφορίες εμφανίζονται στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της κοινωνίας. Η αρχή της επιστήμης θα πρέπει να θεωρηθεί η καθιέρωση των πρώτων γενικών νόμων, στην προκειμένη περίπτωση, των εξαρτήσεων μεταξύ γεωμετρικών μεγεθών. Αυτή η στιγμή δεν μπορεί να χρονολογηθεί. Το παλαιότερο έργο που περιέχει τα βασικά στοιχεία του Γ. έχει φτάσει σε εμάς από την αρχαία Αίγυπτο και χρονολογείται περίπου στον 17ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε., αλλά σίγουρα δεν είναι το πρώτο. Οι γεωμετρικές πληροφορίες εκείνης της περιόδου δεν ήταν πολλές και περιορίστηκαν κυρίως στον υπολογισμό ορισμένων περιοχών και όγκων. Δηλώθηκαν με τη μορφή κανόνων, προφανώς, σε μεγάλο βαθμό εμπειρικής προέλευσης, ενώ οι λογικές αποδείξεις ήταν πιθανώς ακόμη πολύ πρωτόγονες. Η Ελλάδα, σύμφωνα με τους Έλληνες ιστορικούς, μεταφέρθηκε στην Ελλάδα από την Αίγυπτο τον 7ο αιώνα. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Εδώ, κατά τη διάρκεια πολλών γενεών, εξελίχθηκε σε ένα συνεκτικό σύστημα. Αυτή η διαδικασία έλαβε χώρα μέσω της συσσώρευσης νέας γεωμετρικής γνώσης, της αποσαφήνισης των συνδέσεων μεταξύ διαφόρων γεωμετρικών γεγονότων, της ανάπτυξης μεθόδων απόδειξης και, τέλος, του σχηματισμού εννοιών για ένα σχήμα, για μια γεωμετρική πρόταση και για την απόδειξη.

Αυτή η διαδικασία οδήγησε τελικά σε ένα ποιοτικό άλμα. Η γεωμετρία έγινε ανεξάρτητη μαθηματική επιστήμη: εμφανίστηκαν οι συστηματικές της εκθέσεις, στις οποίες αποδείχθηκαν με συνέπεια οι προτάσεις της. Από τότε ξεκινά η δεύτερη περίοδος ανάπτυξης της γεωγραφίας.Γνωστές είναι οι αναφορές σε συστηματικές παρουσιάσεις της γεωλογίας, μεταξύ των οποίων γίνεται και τον 5ο αι. προ ΧΡΙΣΤΟΥ μι. Ιπποκράτης Χίου (Βλ. Ιπποκράτης Χίου). Επέζησαν και έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στο μέλλον, που εμφανίστηκε γύρω στο 300 π.Χ. μι. «Αρχές» του Ευκλείδη (Βλ. Αρχές του Ευκλείδη). Εδώ οι γεωμετρίες παρουσιάζονται με τον τρόπο που εξακολουθούν να κατανοούνται γενικά σήμερα, αν περιοριστούμε στη στοιχειώδη γεωμετρία (βλ. στοιχειώδη γεωμετρία). Αυτή είναι η επιστήμη των απλούστερων χωρικών μορφών και σχέσεων, που αναπτύχθηκε με λογική σειρά, βασισμένη σε σαφώς διατυπωμένες βασικές διατάξεις - αξιώματα και βασικές χωρικές αναπαραστάσεις. Η γεωμετρία που αναπτύχθηκε στα ίδια θεμέλια (αξιώματα), ακόμη και εκλεπτυσμένη και εμπλουτισμένη τόσο στο θέμα όσο και στις μεθόδους έρευνας, ονομάζεται Ευκλείδεια γεωμετρία. Ακόμη και στην Ελλάδα προστίθενται σε αυτήν νέα αποτελέσματα, προκύπτουν νέες μέθοδοι προσδιορισμού περιοχών και όγκων (Αρχιμήδης, 3ος αι. π.Χ.), το δόγμα των κωνικών τομών (Απολλώνιος της Πέργας, 3ος αιώνας π.Χ.), οι απαρχές της τριγωνομετρίας (Ιππαρχος , 2 σε. προ ΧΡΙΣΤΟΥ ε.) και Γ. στη σφαίρα (Μενέλαος, 1ος αι. μ.Χ.). Η παρακμή της αρχαίας κοινωνίας οδήγησε σε συγκριτική στασιμότητα στην ανάπτυξη των τσιγγάνων, αλλά συνέχισε να αναπτύσσεται στην Ινδία, την Κεντρική Ασία και τις χώρες της Αραβικής Ανατολής.

Η αναγέννηση των επιστημών και των τεχνών στην Ευρώπη οδήγησε σε περαιτέρω άνθηση της γεωγραφίας.Ένα θεμελιωδώς νέο βήμα έγινε το πρώτο μισό του 17ου αιώνα. R. Descartes, ο οποίος εισήγαγε τη μέθοδο των συντεταγμένων στη γεωμετρία. Η μέθοδος των συντεταγμένων κατέστησε δυνατή τη σύνδεση της γεωμετρίας με την τότε αναπτυσσόμενη άλγεβρα και την αναδυόμενη ανάλυση. Η εφαρμογή των μεθόδων αυτών των επιστημών στη γεωλογία έδωσε αφορμή για την αναλυτική γεωγραφία, και στη συνέχεια τη διαφορική γεωλογία. Ο Γ. έχει περάσει σε ένα ποιοτικά νέο επίπεδο σε σύγκριση με τον Γ. των αρχαίων: ήδη εξετάζει πολύ πιο γενικά στοιχεία και χρησιμοποιεί ουσιαστικά νέες μεθόδους. Από τότε ξεκίνησε η τρίτη περίοδος ανάπτυξης του G. Η αναλυτική γεωμετρία μελετά τα σχήματα και τους μετασχηματισμούς που δίνουν οι αλγεβρικές εξισώσεις σε ορθογώνιες συντεταγμένες, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της άλγεβρας. Διαφορική γεωμετρία, που προέκυψε τον 18ο αιώνα. Ως αποτέλεσμα της εργασίας των L. Euler, H. Monge και άλλων, μελετά ήδη οποιεσδήποτε επαρκώς λείες καμπύλες γραμμές και επιφάνειες, τις οικογένειές τους (δηλαδή τις συνεχείς συλλογές τους) και μετασχηματισμούς (η έννοια της «διαφορικής γεωμετρίας» είναι τώρα δίνεται συχνά πιο γενικό νόημα, το οποίο συζητείται στην ενότητα Σύγχρονη Γεωμετρία). Το όνομά του συνδέεται κυρίως με τη μέθοδό του, που προέρχεται από τον διαφορικό λογισμό. Μέχρι το 1ο μισό του 17ου αιώνα. αναφέρεται στην προέλευση της προβολικής γεωμετρίας (Βλ. προβολική γεωμετρία) στα έργα των J. Desargues και B. Pascal (Βλ. Pascal). Προέκυψε από τα προβλήματα της απεικόνισης σωμάτων σε ένα αεροπλάνο. το πρώτο του θέμα είναι εκείνες οι ιδιότητες των επίπεδων μορφών που διατηρούνται κατά την προβολή από το ένα επίπεδο στο άλλο από οποιοδήποτε σημείο. Η τελική διατύπωση και η συστηματική έκθεση αυτών των νέων τάσεων στη γεωλογία δόθηκε τον 18ο και τις αρχές του 19ου αιώνα. Euler για αναλυτική γραφική παράσταση (1748), Monge για διαφορική γραφική παράσταση (1795), J. Poncelet για προβολική γραφική παράσταση (1822) και το ίδιο το δόγμα της γεωμετρικής αναπαράστασης (σε άμεση σύνδεση με τα καθήκοντα του σχεδίου) αναπτύχθηκε ακόμη νωρίτερα (1799) και εισήχθη στο σύστημα από τον Monge με τη μορφή περιγραφικής γεωμετρίας (Βλ. περιγραφική γεωμετρία). Σε όλους αυτούς τους νέους κλάδους, τα θεμέλια (αξιώματα, αρχικές έννοιες) της γεωμετρίας παρέμειναν αμετάβλητα, ενώ το φάσμα των μορφών που μελετήθηκαν και οι ιδιότητές τους, καθώς και οι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν, διευρύνθηκαν.

Η τέταρτη περίοδος στην ανάπτυξη της γεωμετρίας ανοίγει με την κατασκευή του N. I. Lobachevsky (Βλ. Lobachevsky) το 1826 μια νέα, μη Ευκλείδεια γεωμετρία, που τώρα ονομάζεται γεωμετρία Λομπατσέφσκι (Βλ. γεωμετρία Λομπατσέφσκι). Ανεξάρτητα από τον Λομπατσέφσκι, το 1832, ο J. Bolyai κατασκεύασε την ίδια γεωμετρία (Ο Κ. Γκάους ανέπτυξε τις ίδιες ιδέες, αλλά δεν τις δημοσίευσε). Η πηγή, η ουσία και η σημασία των ιδεών του Lobachevsky συνοψίζονται στα εξής. Στη γεωμετρία του Ευκλείδη, υπάρχει ένα αξίωμα για τις παραλληλίες, το οποίο δηλώνει: «μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί κανείς να χαράξει το πολύ μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη». Πολλοί γεωμετροί προσπάθησαν να αποδείξουν αυτό το αξίωμα από άλλες βασικές προϋποθέσεις της γεωμετρίας του Ευκλείδη, αλλά χωρίς επιτυχία. Ο Λομπατσέφσκι κατέληξε στο συμπέρασμα ότι μια τέτοια απόδειξη είναι αδύνατη. Η δήλωση αντίθετη προς το αξίωμα του Ευκλείδη λέει: «μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορεί κανείς να σχεδιάσει όχι μία, αλλά τουλάχιστον δύο ευθείες παράλληλες με αυτό». Αυτό είναι το αξίωμα του Λομπατσέφσκι. Σύμφωνα με τον Λομπατσέφσκι, η προσθήκη αυτής της διάταξης σε άλλες βασικές διατάξεις του Γ. οδηγεί σε λογικά άψογα συμπεράσματα. Το σύστημα αυτών των συμπερασμάτων σχηματίζει μια νέα, μη-ευκλείδεια γεωμετρία.Η αξία του Lobachevsky έγκειται στο γεγονός ότι όχι μόνο εξέφρασε αυτή την ιδέα, αλλά ουσιαστικά έχτισε και ανέπτυξε μια νέα γεωμετρία, λογικά εξίσου τέλεια και πλούσια σε συμπεράσματα με την Ευκλείδεια. , παρά την ασυνέπειά του με τις συνήθεις οπτικές αναπαραστάσεις. Ο Λομπατσέφσκι θεώρησε τη γεωμετρία του ως πιθανή θεωρία των χωρικών σχέσεων. παρέμεινε όμως υποθετικό μέχρι να αποσαφηνιστεί το πραγματικό του νόημα (το 1868), και έτσι δόθηκε η πλήρης αιτιολόγησή του (βλ. ενότητα Ερμηνείες Γεωμετρίας).

Η επανάσταση στη γεωμετρία που έφερε ο Λομπατσέφσκι στη σημασία της δεν είναι κατώτερη από καμία από τις επαναστάσεις στις φυσικές επιστήμες, και δεν ήταν τυχαίο που ο Λομπατσέφσκι ονομάστηκε «Κοπέρνικος της Γεωμετρίας». Τρεις αρχές σκιαγράφησαν στις ιδέες του, οι οποίες καθόρισαν τη νέα ανάπτυξη των γεωμετριών.Η πρώτη αρχή είναι ότι δεν είναι λογικά νοητές μόνο οι ευκλείδειες γεωμετρίες, αλλά και άλλες «γεωμετρίες». Η δεύτερη αρχή είναι η αρχή της ίδιας της κατασκευής νέων γεωμετρικών θεωριών με τροποποίηση και γενίκευση των βασικών διατάξεων του Ευκλείδειου Γ. Η τρίτη αρχή είναι ότι η αλήθεια μιας γεωμετρικής θεωρίας, με την έννοια της αντιστοιχίας με τις πραγματικές ιδιότητες του χώρου, μπορεί να επαληθευτεί μόνο με φυσική έρευνα και είναι πιθανό μια τέτοια έρευνα να αποδεικνύει, με αυτή την έννοια, την ανακρίβεια του Ευκλείδειου Γ. Η σύγχρονη φυσική το έχει επιβεβαιώσει. Ωστόσο, η μαθηματική ακρίβεια της Ευκλείδειας γεωμετρίας δεν χάνεται εξαιτίας αυτού, αφού καθορίζεται από τη λογική συνέπεια (συνέπεια) αυτού του G. Με τον ίδιο τρόπο, σε σχέση με οποιαδήποτε γεωμετρική θεωρία, πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ της φυσικής και της μαθηματικής αλήθειας τους. το πρώτο συνίσταται στη συμμόρφωση της πραγματικότητας που επαληθεύεται από την εμπειρία, το δεύτερο στη λογική συνέπεια. Ο Λομπατσέφσκι έδωσε, έτσι, μια υλιστική προσέγγιση στη φιλοσοφία των μαθηματικών. Αυτές οι γενικές αρχές έχουν παίξει σημαντικό ρόλο όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στα μαθηματικά γενικότερα, στην ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου τους και στην κατανόηση της σχέσης τους με την πραγματικότητα.

Το κύριο χαρακτηριστικό της νέας περιόδου στην ιστορία της γεωμετρίας, που ξεκίνησε ο Lobachevsky, είναι η ανάπτυξη νέων γεωμετρικών θεωριών - νέων «γεωμετριών» και στην αντίστοιχη γενίκευση του θέματος της γεωμετρίας. προκύπτει η έννοια των διαφόρων ειδών «χώρων» (ο όρος «χώρος» έχει δύο έννοιες στην επιστήμη: αφενός, είναι ένας συνηθισμένος πραγματικός χώρος, αφετέρου, είναι ένας αφηρημένος «μαθηματικός χώρος»). Ταυτόχρονα, ορισμένες θεωρίες διαμορφώθηκαν εντός της Ευκλείδειας γεωγραφίας με τη μορφή των ειδικών κεφαλαίων της και μόνο τότε απέκτησαν ανεξάρτητη σημασία. Έτσι διαμορφώθηκε η προβολική, η συγγενική, η σύμμορφη γεωμετρία και άλλες, με θέμα τις ιδιότητες των μορφών που διατηρούνται κάτω από κατάλληλους (προβολικούς, συγγενείς, σύμμορφους κ.λπ.) μετασχηματισμούς. Προέκυψε η έννοια των προβολικών, συγγενικών και ομοιόμορφων χώρων. Η ίδια η ευκλείδεια γεωγραφία άρχισε να θεωρείται με μια ορισμένη έννοια ως η κεφαλή της προβολικής γεωγραφίας. Οι θεωρίες, όπως η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι, χτίστηκαν από την αρχή με βάση μια αλλαγή και γενίκευση των εννοιών της Ευκλείδειας γεωμετρίας.Έτσι, δημιουργήθηκε, για παράδειγμα, η πολυδιάστατη γεωμετρία. τα πρώτα έργα που σχετίζονται με αυτό (G. Grassman και A. Cayley, 1844) αντιπροσώπευαν μια επίσημη γενίκευση της συνήθους αναλυτικής βαρύτητας από τρεις συντεταγμένες σε n. Κάποιο αποτέλεσμα της ανάπτυξης όλων αυτών των νέων «γεωμετριών» συνοψίστηκε το 1872 από τον F. Klein, υποδεικνύοντας τη γενική αρχή της κατασκευής τους.

Ένα θεμελιώδες βήμα έγινε από τον B. Riemann (διάλεξη 1854, έκδοση 1867). Πρώτον, διατύπωσε ξεκάθαρα τη γενικευμένη έννοια του χώρου ως μιας συνεχούς συλλογής οποιωνδήποτε ομοιογενών αντικειμένων ή φαινομένων (βλ. ενότητα Γενίκευση του θέματος της γεωμετρίας). Δεύτερον, εισήγαγε την έννοια του χώρου με οποιοδήποτε νόμο για τη μέτρηση αποστάσεων σε απειροελάχιστα βήματα (παρόμοια με τη μέτρηση του μήκους μιας γραμμής με πολύ μικρή κλίμακα). Από εδώ αναπτύχθηκε η αχανής περιοχή της Γεωργίας, η λεγόμενη. Η γεωμετρία του Ρίμαν και οι γενικεύσεις της, που έχουν βρει σημαντικές εφαρμογές στη θεωρία της σχετικότητας, στη μηχανική κ.λπ.

Ενα άλλο παράδειγμα. Η κατάσταση του αερίου στον κύλινδρο κάτω από το έμβολο καθορίζεται από την πίεση και τη θερμοκρασία. Το σύνολο όλων των πιθανών καταστάσεων ενός αερίου μπορεί επομένως να αναπαρασταθεί ως ένας δισδιάστατος χώρος. Τα "σημεία" αυτού του "χώρου" είναι οι καταστάσεις του αερίου. Τα "σημεία" διαφέρουν σε δύο "συντεταγμένες" - πίεση και θερμοκρασία, όπως τα σημεία σε ένα επίπεδο διαφέρουν στις τιμές των συντεταγμένων τους. Η συνεχής αλλαγή κατάστασης αντιπροσωπεύεται από μια γραμμή σε αυτό το διάστημα.

Επιπλέον, μπορεί κανείς να φανταστεί οποιοδήποτε υλικό σύστημα - μηχανικό ή φυσικοχημικό. Το σύνολο όλων των πιθανών καταστάσεων αυτού του συστήματος ονομάζεται "χώρος φάσης". Τα «σημεία» αυτού του χώρου είναι τα ίδια τα κράτη. Εάν οριστεί η κατάσταση του συστήματος nποσότητες, τότε το σύστημα λέγεται ότι έχει nβαθμοί ελευθερίας. Αυτές οι ποσότητες παίζουν το ρόλο των συντεταγμένων της κατάστασης σημείου, όπως στο παράδειγμα του αερίου, η πίεση και η θερμοκρασία έπαιξαν το ρόλο των συντεταγμένων. Σύμφωνα με αυτό, ονομάζεται ένας τέτοιος χώρος φάσης του συστήματος n-διαστατικός. Η αλλαγή κατάστασης αντιπροσωπεύεται από μια γραμμή σε αυτό το διάστημα. μεμονωμένες περιοχές των κρατών, που διακρίνονται από το ένα ή το άλλο χαρακτηριστικό, θα είναι περιοχές του χώρου φάσης και τα όρια των περιοχών θα είναι επιφάνειες σε αυτόν τον χώρο. Εάν το σύστημα έχει μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας, τότε οι καταστάσεις του μπορούν να αναπαρασταθούν με σημεία στο επίπεδο. Έτσι, η κατάσταση ενός αερίου με πίεση Rκαι θερμοκρασία Ταντιπροσωπεύεται από ένα σημείο με συντεταγμένες Rκαι Τ,και οι διεργασίες που συμβαίνουν με το αέριο θα αντιπροσωπεύονται με γραμμές στο επίπεδο. Αυτή η μέθοδος γραφικής αναπαράστασης είναι πολύ γνωστή και χρησιμοποιείται συνεχώς στη φυσική και την τεχνολογία για την οπτικοποίηση των διαδικασιών και των νόμων τους. Αν όμως ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι μεγαλύτερος από 3, τότε μια απλή γραφική αναπαράσταση (ακόμα και στο διάστημα) καθίσταται αδύνατη. Στη συνέχεια, για να διατηρηθούν χρήσιμες γεωμετρικές αναλογίες, καταφεύγει κανείς στην έννοια του χώρου αφηρημένης φάσης. Έτσι, οι μέθοδοι οπτικών γραφικών εξελίσσονται σε αυτήν την αφηρημένη αναπαράσταση. Η μέθοδος του χώρου φάσης χρησιμοποιείται ευρέως στη μηχανική, τη θεωρητική φυσική και τη φυσική χημεία. Στη μηχανική, η κίνηση ενός μηχανικού συστήματος αντιπροσωπεύεται από την κίνηση ενός σημείου στο χώρο φάσης του. Στη φυσική χημεία, είναι ιδιαίτερα σημαντικό να εξεταστεί το σχήμα και η αμοιβαία γειτνίαση αυτών των περιοχών του χώρου φάσης ενός συστήματος πολλών ουσιών που αντιστοιχούν σε ποιοτικά διαφορετικές καταστάσεις. Οι επιφάνειες που χωρίζουν αυτές τις περιοχές είναι οι επιφάνειες μετάβασης από τη μια ποιότητα στην άλλη (τήξη, κρυστάλλωση κ.λπ.). Στην ίδια τη γεωμετρία, λαμβάνονται υπόψη και οι αφηρημένοι χώροι, τα «σημεία» των οποίων είναι σχήματα. έτσι ορίζονται τα «κενά» των κύκλων, των σφαιρών, των γραμμών κ.λπ. Στη μηχανική και τη θεωρία της σχετικότητας, εισάγεται επίσης ένας αφηρημένος τετραδιάστατος χώρος, προσθέτοντας χρόνο στις τρεις χωρικές συντεταγμένες ως τέταρτη συντεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι τα γεγονότα πρέπει να διακρίνονται όχι μόνο από τη θέση στο χώρο, αλλά και στο χρόνο.

Έτσι, γίνεται σαφές πώς οι συνεχείς συλλογές διαφόρων αντικειμένων, φαινομένων και καταστάσεων μπορούν να ενταχθούν στη γενικευμένη έννοια του χώρου. Σε έναν τέτοιο χώρο είναι δυνατό να σχεδιάσουμε «γραμμές» που απεικονίζουν συνεχείς ακολουθίες φαινομένων (καταστάσεις), να σχεδιάσουμε «επιφάνειες» και να προσδιορίσουμε με κατάλληλο τρόπο «αποστάσεις» μεταξύ «σημείων», δίνοντας έτσι μια ποσοτική έκφραση της φυσικής έννοιας του βαθμός διαφοράς των αντίστοιχων φαινομένων (καταστάσεων) κ.λπ. Έτσι, κατ' αναλογία με τη συνηθισμένη γεωμετρία, προκύπτει η «γεωμετρία» του αφηρημένου χώρου. ο τελευταίος μπορεί ακόμη και να έχει ελάχιστη ομοιότητα με τον συνηθισμένο χώρο, καθώς είναι, για παράδειγμα, ανομοιογενής ως προς τις γεωμετρικές του ιδιότητες και πεπερασμένος, σαν μια ανομοιόμορφα καμπυλωτή κλειστή επιφάνεια.

Το θέμα της γεωλογίας με μια γενικευμένη έννοια δεν είναι μόνο οι χωρικές μορφές και σχέσεις, αλλά οποιεσδήποτε μορφές και σχέσεις που, αφηρημένα από το περιεχόμενό τους, αποδεικνύονται παρόμοιες με τις συνηθισμένες χωρικές μορφές και σχέσεις. Αυτές οι διαστημικές μορφές πραγματικότητας ονομάζονται «χώροι» και «φιγούρες». Ο χώρος με αυτή την έννοια είναι μια συνεχής συλλογή ομοιογενών αντικειμένων, φαινομένων, καταστάσεων που παίζουν το ρόλο σημείων στο χώρο και σε αυτή τη συλλογή υπάρχουν σχέσεις παρόμοιες με τις συνηθισμένες χωρικές σχέσεις, όπως, για παράδειγμα, η απόσταση μεταξύ των σημείων, η ισότητα των μορφών κ.λπ. (μια φιγούρα είναι γενικά μέρος του χώρου). Ο Γ. θεωρεί αυτές τις μορφές πραγματικότητας αφηρημένα από το συγκεκριμένο περιεχόμενο, ενώ η μελέτη συγκεκριμένων μορφών και σχέσεων σε σχέση με το ποιοτικά μοναδικό περιεχόμενό τους είναι αντικείμενο άλλων επιστημών και ο Γ. χρησιμεύει ως μέθοδος για αυτές. Οποιαδήποτε εφαρμογή αφηρημένης γεωμετρίας μπορεί να χρησιμεύσει ως παράδειγμα, ακόμη και αν η παραπάνω εφαρμογή n-διαστατικός χώρος στη φυσική χημεία. Ο Ζ. χαρακτηρίζεται από μια τέτοια προσέγγιση του αντικειμένου, που συνίσταται στη γενίκευση και τη μεταφορά σε νέα αντικείμενα των συνηθισμένων γεωμετρικών εννοιών και οπτικών αναπαραστάσεων. Αυτό ακριβώς γίνεται στα παραπάνω παραδείγματα του χώρου των χρωμάτων κλπ. Αυτή η γεωμετρική προσέγγιση δεν είναι καθόλου καθαρή σύμβαση, αλλά αντιστοιχεί στην ίδια τη φύση των φαινομένων. Αλλά συχνά τα ίδια πραγματικά γεγονότα μπορούν να αναπαρασταθούν αναλυτικά ή γεωμετρικά, όπως ακριβώς η ίδια εξάρτηση μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση ή μια γραμμή σε ένα γράφημα.

Δεν πρέπει, ωστόσο, να αναπαριστά κανείς την ανάπτυξη της γεωμετρίας με τέτοιο τρόπο ώστε να καταγράφει και να περιγράφει μόνο σε γεωμετρική γλώσσα τις μορφές και τις σχέσεις που έχουν ήδη συναντηθεί στην πράξη, παρόμοιες με τις χωρικές. Στην πραγματικότητα, η γεωμετρία ορίζει ευρείες κατηγορίες νέων χώρων και σχημάτων σε αυτούς, προερχόμενη από μια ανάλυση και γενίκευση δεδομένων οπτικής γεωμετρίας και ήδη καθιερωμένων γεωμετρικών θεωριών. Στον αφηρημένο ορισμό, αυτοί οι χώροι και τα σχήματα εμφανίζονται ως πιθανές μορφές πραγματικότητας. Επομένως, δεν είναι αμιγώς κερδοσκοπικές κατασκευές, αλλά θα πρέπει τελικά να χρησιμεύσουν ως μέσο έρευνας και περιγραφής πραγματικών γεγονότων. Ο Λομπατσέφσκι, δημιουργώντας τη γεωμετρία του, τη θεώρησε μια πιθανή θεωρία των χωρικών σχέσεων. Και όπως η γεωμετρία του τεκμηριώθηκε με την έννοια της λογικής συνέπειας και της εφαρμοσιμότητάς της στα φυσικά φαινόμενα, έτσι και κάθε αφηρημένη γεωμετρική θεωρία περνάει από το ίδιο διπλό τεστ. Για τον έλεγχο της λογικής συνέπειας, είναι απαραίτητη η μέθοδος κατασκευής μαθηματικών μοντέλων νέων χώρων. Ωστόσο, μόνο εκείνες οι αφηρημένες έννοιες που δικαιολογούνται τόσο από την κατασκευή ενός τεχνητού μοντέλου όσο και από εφαρμογές, αν όχι άμεσα στη φυσική και τεχνολογία, τουλάχιστον σε άλλες μαθηματικές θεωρίες, μέσω των οποίων αυτές οι έννοιες συνδέονται κατά κάποιο τρόπο με την πραγματικότητα, τελικά λαμβάνουν ρίζα στην επιστήμη. Η ευκολία με την οποία λειτουργούν πλέον οι μαθηματικοί και οι φυσικοί με διαφορετικούς «χώρους» έχει επιτευχθεί ως αποτέλεσμα της μακράς ανάπτυξης της γεωμετρίας σε στενή σχέση με την ανάπτυξη των μαθηματικών στο σύνολό τους και άλλων ακριβών επιστημών. Είναι ακριβώς ως αποτέλεσμα αυτής της εξέλιξης που η δεύτερη πλευρά της γεωγραφίας, που υποδεικνύεται στον γενικό ορισμό που δίνεται στην αρχή του άρθρου, διαμορφώθηκε και απέκτησε μεγάλη σημασία: η συμπερίληψη στη γεωγραφία της μελέτης μορφών και σχέσεων παρόμοιων με τις μορφές και σχέσεις στον συνηθισμένο χώρο.

Ως παράδειγμα μιας αφηρημένης γεωμετρικής θεωρίας, μπορεί κανείς να θεωρήσει το G. n-διαστατικός Ευκλείδειος χώρος. Κατασκευάζεται με μια απλή γενίκευση των κύριων διατάξεων της συνηθισμένης γεωμετρίας, και υπάρχουν πολλές δυνατότητες για αυτό: μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να γενικεύσει τα αξιώματα της συνηθισμένης γεωμετρίας, αλλά μπορεί επίσης να προχωρήσει από τον καθορισμό σημείων με συντεταγμένες. Με τη δεύτερη προσέγγιση n-Ο διαστατικός χώρος ορίζεται ως ένα σύνολο οποιωνδήποτε στοιχείων-σημείων που δίνονται από (κάθε) nαριθμοί x 1, x2,…, xn, που βρίσκεται με συγκεκριμένη σειρά, - οι συντεταγμένες των σημείων. Περαιτέρω, η απόσταση μεταξύ των σημείων X \u003d (x 1, x 2, ..., xn)και X"= (x' 1, x' 2,…, x' n)καθορίζεται από τον τύπο:

που αποτελεί άμεση γενίκευση του γνωστού τύπου για την απόσταση στον τρισδιάστατο χώρο. Η κίνηση ορίζεται ως ο μετασχηματισμός ενός σχήματος που δεν αλλάζει τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων του. Μετά το θέμα n-η διαστατική γεωμετρία ορίζεται ως η μελέτη των ιδιοτήτων εκείνων των μορφών που δεν αλλάζουν κατά την κίνηση. Σε αυτή τη βάση, οι έννοιες μιας ευθείας γραμμής, των επιπέδων διαφόρων αριθμών διαστάσεων από δύο έως n-1, για την μπάλα κ.λπ. Οτι. αναδύεται μια θεωρία πλούσια σε περιεχόμενο, από πολλές απόψεις παρόμοια με τη συνηθισμένη ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά από πολλές απόψεις και διαφορετική από αυτήν. Συμβαίνει συχνά τα αποτελέσματα που λαμβάνονται για έναν τρισδιάστατο χώρο να μεταφέρονται εύκολα, με κατάλληλες αλλαγές, σε χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων. Για παράδειγμα, το θεώρημα ότι μεταξύ όλων των σωμάτων του ίδιου όγκου, η μπάλα έχει το μικρότερο εμβαδόν επιφάνειας, διαβάζεται αυτολεξεί με τον ίδιο τρόπο στο χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων [απλά πρέπει να έχετε κατά νου n-διάστατος όγκος, ( n-1)-διαστατικό εμβαδόν και n-διαστατική μπάλα, που ορίζονται αρκετά ανάλογα με τις αντίστοιχες έννοιες της συνηθισμένης βαρύτητας]. Στη συνέχεια, μέσα n-διαστατικός χώρος, ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο της επιφάνειας βάσης και του ύψους και ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με ένα τέτοιο γινόμενο διαιρούμενο με n. Τέτοια παραδείγματα θα μπορούσαν να συνεχιστούν. Από την άλλη πλευρά, ποιοτικά νέα δεδομένα εντοπίζονται και σε πολυδιάστατους χώρους.

Ερμηνείες της γεωμετρίας. Η ίδια γεωμετρική θεωρία επιτρέπει διαφορετικές εφαρμογές, διαφορετικές ερμηνείες (πραγματοποιήσεις, μοντέλα ή ερμηνείες). Οποιαδήποτε εφαρμογή μιας θεωρίας δεν είναι παρά η πραγματοποίηση κάποιων συμπερασμάτων της στο αντίστοιχο πεδίο των φαινομένων.

Η δυνατότητα διαφορετικών υλοποιήσεων είναι κοινή ιδιότητα κάθε μαθηματικής θεωρίας. Έτσι, οι αριθμητικές σχέσεις πραγματοποιούνται στα πιο διαφορετικά σύνολα αντικειμένων. η ίδια εξίσωση συχνά περιγράφει εντελώς διαφορετικά φαινόμενα. Τα μαθηματικά θεωρούν μόνο τη μορφή ενός φαινομένου, αφαιρώντας από το περιεχόμενο, και από την άποψη της μορφής, πολλά ποιοτικά διαφορετικά φαινόμενα συχνά αποδεικνύονται παρόμοια. Η ποικιλία των εφαρμογών των μαθηματικών και, ειδικότερα, της γεωμετρίας διασφαλίζεται ακριβώς από τον αφηρημένο χαρακτήρα τους. Πιστεύεται ότι ένα συγκεκριμένο σύστημα αντικειμένων (ένα πεδίο φαινομένων) παρέχει την πραγματοποίηση μιας θεωρίας εάν οι σχέσεις σε αυτό το πεδίο αντικειμένων μπορούν να περιγραφούν στη γλώσσα της θεωρίας με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε πρόταση της θεωρίας να εκφράζει ένα ή άλλο γεγονός που λαμβάνει χώρα στην υπό εξέταση περιοχή. Ειδικότερα, εάν μια θεωρία χτίζεται με βάση ένα συγκεκριμένο σύστημα αξιωμάτων, τότε η ερμηνεία αυτής της θεωρίας συνίσταται σε μια τέτοια σύγκριση των εννοιών της με ορισμένα αντικείμενα και τις σχέσεις τους, στην οποία ικανοποιούνται τα αξιώματα για αυτά τα αντικείμενα.

Ο Ευκλείδειος Γ. προέκυψε ως αντανάκλαση των γεγονότων της πραγματικότητας. Η συνήθης ερμηνεία του, κατά την οποία τα τεντωμένα νήματα θεωρούνται ευθεία, η μηχανική κίνηση κ.λπ., προηγείται της βαρύτητας ως μαθηματική θεωρία. Το ζήτημα των άλλων ερμηνειών δεν τέθηκε και δεν μπορούσε να τεθεί μέχρι να εμφανιστεί μια πιο αφηρημένη κατανόηση της γεωμετρίας. Ο Λομπατσέφσκι δημιούργησε τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία ως πιθανή γεωμετρία και στη συνέχεια προέκυψε το ερώτημα για την πραγματική της ερμηνεία. Αυτό το πρόβλημα λύθηκε το 1868 από τον E. Beltrami, ο οποίος παρατήρησε ότι η γεωμετρία του Lobachevsky συμπίπτει με την εσωτερική γεωμετρία επιφανειών σταθερής αρνητικής καμπυλότητας, δηλαδή τα θεωρήματα γεωμετρίας του Lobachevsky περιγράφουν γεωμετρικά γεγονότα σε τέτοιες επιφάνειες (στην περίπτωση αυτή, ο ρόλος των ευθειών παίζεται από τις γεωδαισιακές γραμμές, και τις κινήσεις του ρόλου - κάμψη της επιφάνειας προς τον εαυτό της). Δεδομένου ότι, ταυτόχρονα, μια τέτοια επιφάνεια είναι αντικείμενο της ευκλείδειας γεωμετρίας, αποδείχθηκε ότι η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι ερμηνεύεται με όρους της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Έτσι, αποδείχθηκε η συνέπεια της γεωμετρίας Lobachevsky, αφού μια αντίφαση σε αυτό, δυνάμει αυτής της ερμηνείας, θα συνεπαγόταν μια αντίφαση στη γεωμετρία του Ευκλείδη.

Έτσι, διευκρινίζεται η διττή έννοια της ερμηνείας της γεωμετρικής θεωρίας - φυσική και μαθηματική. Αν μιλάμε για ερμηνεία σε συγκεκριμένα αντικείμενα, τότε έχουμε μια πειραματική απόδειξη της αλήθειας της θεωρίας (φυσικά, με την κατάλληλη ακρίβεια). αν τα ίδια τα αντικείμενα έχουν αφηρημένο χαρακτήρα (όπως μια γεωμετρική επιφάνεια στο πλαίσιο της γεωμετρίας του Ευκλείδη), τότε η θεωρία συνδέεται με μια άλλη μαθηματική θεωρία, στην προκειμένη περίπτωση με την Ευκλείδεια γεωμετρία, και μέσω αυτής με τα πειραματικά δεδομένα που συνοψίζονται σε αυτήν. Μια τέτοια ερμηνεία μιας μαθηματικής θεωρίας μέσω μιας άλλης έχει γίνει μια μαθηματική μέθοδος τεκμηρίωσης νέων θεωριών, μια μέθοδος απόδειξης της συνέπειάς τους, αφού μια αντίφαση σε μια νέα θεωρία θα οδηγούσε σε μια αντίφαση στη θεωρία στην οποία ερμηνεύεται. Όμως η θεωρία με την οποία γίνεται η ερμηνεία, με τη σειρά της, χρειάζεται να τεκμηριωθεί. Επομένως, η καθορισμένη μαθηματική μέθοδος δεν αφαιρεί το γεγονός ότι η πρακτική παραμένει το τελικό κριτήριο αλήθειας για τις μαθηματικές θεωρίες. Επί του παρόντος, οι γεωμετρικές θεωρίες ερμηνεύονται πιο συχνά αναλυτικά. για παράδειγμα, σημεία στο επίπεδο Lobachevsky μπορούν να συσχετιστούν με ζεύγη αριθμών Χκαι στο, ευθείες - να προσδιορίζονται με εξισώσεις κ.λπ. Αυτή η τεχνική παρέχει μια αιτιολόγηση για τη θεωρία επειδή η ίδια η μαθηματική ανάλυση δικαιολογείται, σε τελική ανάλυση, από την τεράστια πρακτική της εφαρμογής της.

σύγχρονη γεωμετρία. Ο επίσημος μαθηματικός ορισμός των εννοιών του χώρου και του σχήματος που γίνεται αποδεκτός στα σύγχρονα μαθηματικά προέρχεται από την έννοια του συνόλου (βλ. θεωρία συνόλων). Ο χώρος ορίζεται ως ένα σύνολο οποιωνδήποτε στοιχείων («σημείων») με την προϋπόθεση ότι σε αυτό το σύνολο δημιουργούνται κάποιες σχέσεις που είναι παρόμοιες με τις συνηθισμένες χωρικές σχέσεις. Το σύνολο των χρωμάτων, το σύνολο των καταστάσεων του φυσικού συστήματος, το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο τμήμα κ.λπ. σχηματίζουν χώρους όπου τα σημεία θα είναι χρώματα, καταστάσεις, συναρτήσεις. Πιο συγκεκριμένα, αυτά τα σύνολα νοούνται ως χώροι εάν μόνο οι αντίστοιχες σχέσεις είναι σταθερές σε αυτά, για παράδειγμα, η απόσταση μεταξύ σημείων και εκείνες οι ιδιότητες και σχέσεις που καθορίζονται μέσω αυτών. Έτσι, η απόσταση μεταξύ των συναρτήσεων μπορεί να οριστεί ως το μέγιστο της απόλυτης τιμής της διαφοράς τους: max| φά(Χ)-σολ(Χ)| . Ένα σχήμα ορίζεται ως ένα αυθαίρετο σύνολο σημείων σε ένα δεδομένο χώρο. (Μερικές φορές ο χώρος είναι ένα σύστημα συνόλων στοιχείων. Για παράδειγμα, στην προβολική γεωμετρία είναι σύνηθες να θεωρούνται σημεία, γραμμές και επίπεδα ως ίσα αρχικά γεωμετρικά αντικείμενα που συνδέονται με σχέσεις «σύνδεσης».)

Οι κύριοι τύποι σχέσεων που, σε διάφορους συνδυασμούς, οδηγούν σε όλη την ποικιλία των «χώρων» της σύγχρονης γεωμετρίας είναι οι εξής:

1) Οι γενικές σχέσεις που υπάρχουν σε οποιοδήποτε σύνολο είναι οι σχέσεις μέλους και συμπερίληψης: ένα σημείο ανήκει σε ένα σύνολο και ένα σύνολο είναι μέρος ενός άλλου. Αν ληφθούν υπόψη μόνο αυτές οι σχέσεις, τότε δεν έχει οριστεί ακόμη «γεωμετρία» στο σύνολο, δεν γίνεται χώρος. Ωστόσο, εάν επιλεγούν κάποια ειδικά σχήματα (σύνολα σημείων), τότε η «γεωμετρία» του χώρου μπορεί να προσδιοριστεί από τους νόμους σύνδεσης των σημείων με αυτά τα σχήματα. Ένας τέτοιος ρόλος παίζουν τα αξιώματα συνδυασμού στη στοιχειώδη, συγγενική και προβολική γεωμετρία. εδώ οι γραμμές και τα αεροπλάνα χρησιμεύουν ως ειδικά σύνολα.

Η ίδια αρχή της επιλογής ορισμένων ειδικών συνόλων μας επιτρέπει να ορίσουμε την έννοια του τοπολογικού χώρου - ενός χώρου στον οποίο οι «γειτονιές» σημείων ξεχωρίζουν ως ειδικά σύνολα (με την προϋπόθεση ότι το σημείο ανήκει στη γειτονιά του και κάθε σημείο έχει τουλάχιστον μία γειτονιά· η επιβολή περαιτέρω απαιτήσεων στις γειτονιές καθορίζει τον ένα ή τον άλλο τύπο τοπολογικών χώρων). Εάν οποιαδήποτε γειτονιά ενός δεδομένου σημείου έχει κοινά σημεία με κάποιο σύνολο, τότε ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο επαφής αυτού του συνόλου. Δύο σύνολα μπορούν να ονομαστούν συγκινητικά εάν τουλάχιστον το ένα από αυτά περιέχει σημεία επαφής του άλλου. ένας χώρος ή ένας αριθμός θα είναι συνεχής ή, όπως λένε, συνδεδεμένος εάν δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο μη συνεχόμενα μέρη. ένας μετασχηματισμός είναι συνεχής εάν δεν διακόψει την επαφή. Έτσι, η έννοια του τοπολογικού χώρου χρησιμεύει ως μαθηματική έκφραση για την έννοια της συνέχειας. [Ένας τοπολογικός χώρος μπορεί επίσης να οριστεί από άλλα ειδικά σύνολα (κλειστά, ανοιχτά) ή απευθείας από μια σχέση εφαπτομένης, στην οποία οποιοδήποτε σύνολο σημείων συνδέεται με τα εφαπτομενικά σημεία του.] Οι τοπολογικοί χώροι ως τέτοιοι, σύνολα σε αυτά και οι μετασχηματισμοί τους αποτελούν αντικείμενο τοπολογίας. Αντικείμενο της ίδιας της γεωμετρίας (σε μεγάλο βαθμό) είναι η μελέτη τοπολογικών χώρων και μορφών σε αυτούς, προικισμένων με πρόσθετες ιδιότητες.

2) Η δεύτερη πιο σημαντική αρχή για τον προσδιορισμό ορισμένων χώρων και τη μελέτη τους είναι η εισαγωγή των συντεταγμένων. Μια πολλαπλότητα είναι ένας (συνδεδεμένος) τοπολογικός χώρος στη γειτονιά κάθε σημείου του οποίου μπορεί κανείς να εισαγάγει συντεταγμένες βάζοντας τα σημεία της γειτονιάς σε μια αλληλουχία ένα προς ένα και αμοιβαία συνεχή με συστήματα από nπραγματικούς αριθμούς x 1 , x 2 ,(, xn. Αριθμός nείναι ο αριθμός των διαστάσεων της πολλαπλής. Οι χώροι που μελετώνται στις περισσότερες γεωμετρικές θεωρίες είναι πολλαπλοί. τα πιο απλά γεωμετρικά σχήματα (τμήματα, τμήματα επιφανειών που οριοθετούνται από καμπύλες κ.λπ.) είναι συνήθως κομμάτια πολλαπλών. Εάν μεταξύ όλων των συστημάτων συντεταγμένων που μπορούν να εισαχθούν στα κομμάτια της πολλαπλής, διακρίνονται συστήματα συντεταγμένων τέτοιου είδους που ορισμένες συντεταγμένες εκφράζονται ως προς άλλες με διαφοροποιήσιμες (μία ή την άλλη αριθμό φορές) ή αναλυτικές συναρτήσεις, τότε πάρτε το λεγόμενο. λεία (αναλυτική) πολλαπλότητα. Αυτή η έννοια γενικεύει την οπτική αναπαράσταση μιας λείας επιφάνειας. Οι λείες πολλαπλές αυτές καθαυτές αποτελούν το αντικείμενο των λεγόμενων. διαφορική τοπολογία. Στο G. proper προικίζονται με πρόσθετες ιδιότητες. Οι συντεταγμένες με την αποδεκτή συνθήκη διαφορισιμότητας των μετασχηματισμών τους παρέχουν τη βάση για την ευρεία χρήση αναλυτικών μεθόδων - διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, καθώς και ανάλυσης διανυσμάτων και τανυστών (βλ. Vector calculus, Tensor calculus). Το σύνολο των θεωριών της γεωλογίας που αναπτύχθηκαν με αυτές τις μεθόδους σχηματίζει μια γενική διαφορική γεωγραφία. Η απλούστερη περίπτωσή του είναι η κλασική θεωρία των λείων καμπυλών και επιφανειών, που δεν είναι παρά μονοδιάστατες και δισδιάστατες διαφοροποιήσιμες πολλαπλότητες.

3) Η γενίκευση της έννοιας της κίνησης ως μετασχηματισμού ενός σχήματος σε άλλο οδηγεί σε μια γενική αρχή για τον ορισμό διαφορετικών χώρων, όταν ένας χώρος είναι ένα σύνολο στοιχείων (σημείων) στα οποία μια ομάδα μετασχηματισμών ένα προς ένα αυτό το σύνολο στον εαυτό του δίνεται. Η «γεωμετρία» ενός τέτοιου χώρου συνίσταται στη μελέτη των ιδιοτήτων εκείνων των μορφών που διατηρούνται κάτω από μετασχηματισμούς από αυτήν την ομάδα. Επομένως, από την άποψη μιας τέτοιας γεωμετρίας, τα σχήματα μπορούν να θεωρηθούν "ίσα" εάν το ένα περνά στο άλλο μέσω ενός μετασχηματισμού από μια δεδομένη ομάδα. Για παράδειγμα, η Ευκλείδεια γεωμετρία μελετά τις ιδιότητες των σχημάτων που διατηρούνται κάτω από κινήσεις, η συγγενική γεωμετρία μελετά τις ιδιότητες των σχημάτων που διατηρούνται υπό συγγενείς μετασχηματισμούς και η τοπολογία μελετά τις ιδιότητες των σχημάτων που διατηρούνται υπό οποιουσδήποτε μετασχηματισμούς ένα προς ένα και συνεχείς . Το ίδιο σχήμα περιλαμβάνει τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι, τις προβολικές γεωμετρίες και άλλες.Στην πραγματικότητα, αυτή η αρχή συνδυάζεται με την εισαγωγή συντεταγμένων. Ένας χώρος ορίζεται ως μια ομαλή πολλαπλότητα στην οποία οι μετασχηματισμοί ορίζονται από συναρτήσεις που σχετίζονται με τις συντεταγμένες κάθε δεδομένου σημείου και εκείνου στο οποίο διέρχεται (οι συντεταγμένες της εικόνας ενός σημείου ορίζονται ως συναρτήσεις των συντεταγμένων του ίδιου του σημείου και οι παράμετροι από τις οποίες εξαρτάται ο μετασχηματισμός· για παράδειγμα, οι συγγενικοί μετασχηματισμοί ορίζονται ως γραμμικοί: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a σε x n , i = 1, …, n). Επομένως, η γενική συσκευή για την ανάπτυξη τέτοιων «γεωμετριών» είναι η θεωρία των συνεχών ομάδων μετασχηματισμών. Μια άλλη, ουσιαστικά ισοδύναμη, άποψη είναι δυνατή, σύμφωνα με την οποία δεν καθορίζονται μετασχηματισμοί χώρου, αλλά μετασχηματισμοί συντεταγμένων σε αυτόν και μελετώνται εκείνες οι ιδιότητες των σχημάτων που εκφράζονται εξίσου σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Αυτή η άποψη έχει βρει εφαρμογή στη θεωρία της σχετικότητας, η οποία απαιτεί την ίδια έκφραση φυσικών νόμων σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων, που ονομάζονται πλαίσια αναφοράς στη φυσική.

4) Μια άλλη γενική αρχή για τον ορισμό των χώρων, που υποδείχθηκε το 1854 από τον Riemann, προέρχεται από μια γενίκευση της έννοιας της απόστασης. Σύμφωνα με τον Riemann, ο χώρος είναι μια ομαλή πολλαπλότητα στην οποία ο νόμος της μέτρησης των αποστάσεων, πιο συγκεκριμένα των μηκών, τίθεται σε απειροελάχιστα βήματα, δηλ. το διαφορικό του μήκους του τόξου της καμπύλης τίθεται ως συνάρτηση των συντεταγμένων του το σημείο της καμπύλης και τα διαφορικά τους. Αυτή είναι μια γενίκευση της εσωτερικής γεωμετρίας των επιφανειών, που ορίζεται από τον Gauss ως η μελέτη των ιδιοτήτων των επιφανειών, η οποία μπορεί να καθοριστεί με τη μέτρηση των μηκών των καμπυλών σε αυτήν. Η απλούστερη περίπτωση αντιπροσωπεύεται από το λεγόμενο. Χώροι Riemann στους οποίους ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στο απείρως μικρό (δηλαδή, σε μια γειτονιά κάθε σημείου, μπορεί κανείς να εισαγάγει συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο ώστε στο σημείο αυτό το τετράγωνο του διαφορικού του μήκους τόξου να είναι ίσο με το άθροισμα του τα τετράγωνα των διαφορικών των συντεταγμένων· σε αυθαίρετες συντεταγμένες, εκφράζεται με μια γενική θετική τετραγωνική μορφή, βλέπε Γεωμετρίες Ρίμαν (βλ. Γεωμετρία Ρίμαν)). Ένας τέτοιος χώρος, λοιπόν, είναι ευκλείδειος στο απείρως μικρό, αλλά γενικά μπορεί να μην είναι ευκλείδειος, όπως μια καμπύλη επιφάνεια μπορεί να αναχθεί μόνο σε ένα επίπεδο στο απείρως μικρό με την κατάλληλη ακρίβεια. Οι γεωμετρίες του Ευκλείδη και του Λομπατσέφσκι αποδεικνύονται μια ειδική περίπτωση αυτού του Riemannian G. Η ευρύτερη γενίκευση της έννοιας της απόστασης οδήγησε στην έννοια του γενικού μετρικού χώρου ως ένα τέτοιο σύνολο στοιχείων στο οποίο δίνεται μια "μετρική", Δηλαδή, σε κάθε ζεύγος στοιχείων εκχωρείται ένας αριθμός - η απόσταση μεταξύ τους, εξαρτάται μόνο από πολύ γενικές συνθήκες. Αυτή η ιδέα διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη συναρτησιακή ανάλυση και αποτελεί τη βάση ορισμένων από τις νεότερες γεωμετρικές θεωρίες, όπως το εγγενές όριο των μη λείων επιφανειών και τις αντίστοιχες γενικεύσεις του ορίου Riemannian.

5) Ο συνδυασμός της ιδέας του Riemann για τον ορισμό της «γεωμετρίας» σε απείρως μικρές περιοχές μιας πολλαπλής με τον ορισμό της «γεωμετρίας» μέσω μιας ομάδας μετασχηματισμών οδήγησε (E. Cartan, 1922-25) στην έννοια της χώρος στον οποίο οι μετασχηματισμοί δίνονται μόνο σε απείρως μικρές περιοχές. Με άλλα λόγια, εδώ οι μετασχηματισμοί δημιουργούν μια σύνδεση μεταξύ μόνο απείρως στενών κομματιών της πολλαπλής: ένα κομμάτι μετατρέπεται σε ένα άλλο, απείρως στενό. Επομένως, μιλάμε για χώρους με "σύνδεση" του ενός ή του άλλου τύπου. Ειδικότερα, οι χώροι με «Ευκλείδεια σύνδεση» είναι Riemannian. Περαιτέρω γενικεύσεις επιστρέφουν στην έννοια του χώρου ως ομαλή πολλαπλότητα, στην οποία δίνεται το «πεδίο» κάποιου «αντικειμένου» γενικά, το οποίο μπορεί να είναι μια τετραγωνική μορφή, όπως στη γεωμετρία του Ρίμαν, ένα σύνολο ποσοτήτων που καθορίζουν μια σύνδεση , ένας ή ο άλλος τανυστής κ.λπ. Αυτό περιλαμβάνει επίσης τα πρόσφατα εισαγόμενα λεγόμενα. πολυεπίπεδους χώρους. Αυτές οι έννοιες περιλαμβάνουν, ειδικότερα, μια γενίκευση της γεωμετρίας του Ρίμαν που σχετίζεται με τη θεωρία της σχετικότητας, όταν εξετάζονται χώροι όπου η μετρική δεν δίνεται πλέον από μια θετική, αλλά από μια εναλλασσόμενη τετραγωνική μορφή (τέτοιοι χώροι ονομάζονται επίσης Riemannian ή ψευδο -Riemannian, αν θέλουν να τα ξεχωρίσουν από τα Riemannian με την αρχική έννοια). Οι χώροι αυτοί είναι χώροι με σύνδεση που ορίζεται από την αντίστοιχη ομάδα, διαφορετική από την ομάδα των Ευκλείδειων κινήσεων.

Με βάση τη θεωρία της σχετικότητας, προέκυψε μια θεωρία των χώρων στην οποία ορίζεται η έννοια της διαδοχής των σημείων, έτσι ώστε κάθε σημείο Χσύνολο απαντήσεων V(X)σημεία που το ακολουθούν. (Αυτή είναι μια φυσική μαθηματική γενίκευση της αλληλουχίας των γεγονότων, που ορίζεται από το γεγονός ότι το συμβάν Υακολουθεί την εκδήλωση Χ,αν Χεπηρεάζει Υ,και μετά Υακολουθεί Χέγκαιρα σε οποιοδήποτε πλαίσιο αναφοράς.) Από την ίδια την ανάθεση συνόλων Vορίζει τα ακόλουθα σημεία Χ,ως ανήκει στο σύνολο V(X), τότε ο ορισμός αυτού του τύπου χώρων αποδεικνύεται ότι είναι η εφαρμογή της πρώτης από τις αρχές που αναφέρονται παραπάνω, όταν η «γεωμετρία» του χώρου καθορίζεται από την επιλογή ειδικών συνόλων. Φυσικά, ενώ πολλά Vπρέπει να υπόκεινται στις σχετικές προϋποθέσεις· στην απλούστερη περίπτωση, πρόκειται για κυρτούς κώνους. Αυτή η θεωρία περιλαμβάνει τη θεωρία των αντίστοιχων ψευδο-Ριμαννίων χώρων.

6) Η αξιωματική μέθοδος στην καθαρή της μορφή χρησιμεύει πλέον είτε για τη διατύπωση έτοιμων θεωριών, είτε για τον προσδιορισμό των γενικών τύπων χώρων με διακεκριμένα ειδικά σύνολα. Εάν ο ένας ή ο άλλος τύπος πιο συγκεκριμένων χώρων ορίζεται διατυπώνοντας τις ιδιότητές τους ως αξιώματα, τότε χρησιμοποιούνται είτε συντεταγμένες είτε μετρική κ.λπ. Η συνέπεια και επομένως η σημασία μιας αξιωματικής θεωρίας ελέγχεται με την ένδειξη του μοντέλου στο οποίο εφαρμόζεται , όπως έγινε για πρώτη φορά για τη γεωμετρία Lobachevsky. Το ίδιο το μοντέλο είναι κατασκευασμένο από αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα, επομένως η «τελική αιτιολόγηση» οποιασδήποτε γεωμετρικής θεωρίας πηγαίνει στη σφαίρα των θεμελίων των μαθηματικών γενικά, τα οποία δεν μπορούν να είναι οριστικά με την πλήρη έννοια, αλλά απαιτούν εμβάθυνση (βλ. Μαθηματικά, Αξιωματική μέθοδος ).

Αυτές οι αρχές σε διάφορους συνδυασμούς και παραλλαγές δημιουργούν μια μεγάλη ποικιλία γεωμετρικών θεωριών. Η σημασία καθενός από αυτά και ο βαθμός προσοχής στα προβλήματά του καθορίζονται από το περιεχόμενο αυτών των προβλημάτων και τα αποτελέσματα που προκύπτουν, τις συνδέσεις του με άλλες θεωρίες της γεωμετρίας, με άλλους τομείς των μαθηματικών, με τις ακριβείς φυσικές επιστήμες και με τα προβλήματα του τεχνολογία. Κάθε δεδομένη γεωμετρική θεωρία ορίζεται μεταξύ άλλων γεωμετρικών θεωριών, πρώτον, από τον χώρο ή τον τύπο του χώρου που εξετάζει. Δεύτερον, ο ορισμός μιας θεωρίας περιλαμβάνει μια ένδειξη των υπό μελέτη στοιχείων. Έτσι διακρίνονται οι θεωρίες των πολύεδρων, των καμπυλών, των επιφανειών, των κυρτών σωμάτων κ.λπ. Κάθε μία από αυτές τις θεωρίες μπορεί να αναπτυχθεί σε έναν συγκεκριμένο χώρο. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να εξετάσει τη θεωρία των πολυεδρών στον συνηθισμένο Ευκλείδειο χώρο, στο n-διαστατικός ευκλείδειος χώρος, στον χώρο Lobachevsky κλπ. Είναι δυνατόν να αναπτυχθεί η συνήθης θεωρία των επιφανειών, προβολικός, στον χώρο Lobachevsky κ.λπ. Τρίτον, η φύση των εξεταζόμενων ιδιοτήτων των σχημάτων έχει σημασία. Έτσι, μπορεί κανείς να μελετήσει τις ιδιότητες των επιφανειών που διατηρούνται υπό ορισμένους μετασχηματισμούς. μπορεί κανείς να διακρίνει μεταξύ του δόγματος της καμπυλότητας των επιφανειών, του δόγματος των κάμψεων (δηλαδή των παραμορφώσεων που δεν αλλάζουν τα μήκη των καμπυλών σε μια επιφάνεια) και του εσωτερικού G. Τέλος, στον ορισμό μιας θεωρίας μπορεί να συμπεριληφθεί βασική μέθοδος και τη φύση της διατύπωσης των προβλημάτων. Ο Ζ. διακρίνεται με αυτόν τον τρόπο: στοιχειώδες, αναλυτικό, διαφορικό· Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να μιλήσει για στοιχειώδεις ή αναλυτικές γεωμετρίες του χώρου Lobachevsky. Ο G. διακρίνεται «στο μικρό», που θεωρεί μόνο τις ιδιότητες των αυθαίρετα μικρών κομματιών μιας γεωμετρικής εικόνας (καμπύλη, επιφάνεια, πολλαπλότητα), από το G. «στο σύνολό του», το οποίο, όπως είναι σαφές από το όνομά του, γεωμετρικό εικόνες στο σύνολό τους σε όλο το μήκος τους. Γίνεται μια πολύ γενική διάκριση μεταξύ αναλυτικών μεθόδων και μεθόδων συνθετικής γεωμετρίας (ή αυστηρά γεωμετρικών μεθόδων). οι πρώτοι χρησιμοποιούν τα μέσα του αντίστοιχου λογισμού: διαφορικό, τανυστή κ.λπ., οι δεύτεροι λειτουργούν απευθείας με γεωμετρικές εικόνες.

Από όλη την ποικιλία των γεωμετρικών θεωριών, μάλιστα, η πιο ανεπτυγμένη n-διαστατική Ευκλείδεια γεωμετρία και Ριμαννιανή (συμπεριλαμβανομένης της ψευδο-Riemannian) γεωμετρία Στο πρώτο, ειδικότερα, αναπτύσσεται η θεωρία των καμπυλών και επιφανειών (και υπερεπιφανειών διαφορετικών αριθμών διαστάσεων), λεία, μελετημένη στην κλασική διαφορική γεωμετρία. Αυτό περιλαμβάνει επίσης τα πολύεδρα (πολυεδρικές επιφάνειες). Τότε είναι απαραίτητο να ονομάσουμε τη θεωρία των κυρτών σωμάτων, η οποία όμως σε μεγάλο βαθμό μπορεί να αποδοθεί στη θεωρία των επιφανειών συνολικά, αφού. ένα σώμα ορίζεται από την επιφάνειά του. Ακολουθεί η θεωρία των κανονικών συστημάτων μορφών, δηλαδή εκείνων που επιτρέπουν κινήσεις που μεταφέρουν ολόκληρο το σύστημα στον εαυτό του και οποιαδήποτε από τις φιγούρες του σε οποιαδήποτε άλλη (βλέπε ομάδες Fedorov (Βλ. ομάδα Fedorov)). Σημειώνεται ότι σημαντικός αριθμός από τα σημαντικότερα αποτελέσματα στους τομείς αυτούς οφείλονται στον Σοβ. γεωμέτρα: μια πολύ πλήρης ανάπτυξη της θεωρίας των κυρτών επιφανειών και μια σημαντική ανάπτυξη της θεωρίας των γενικών μη κυρτών επιφανειών, διάφορα θεωρήματα σε επιφάνειες γενικά (η ύπαρξη και μοναδικότητα κυρτών επιφανειών με μια δεδομένη εγγενή μετρική ή με μια δεδομένη ή άλλη «συνάρτηση καμπυλότητας», θεώρημα για την αδυναμία ύπαρξης πλήρους επιφάνειας με καμπυλότητα, παντού μικρότερη από κάποιο αρνητικό αριθμό κ.λπ.), η μελέτη της σωστής διαίρεσης του χώρου κ.λπ.

Στη θεωρία των χώρων Riemann διερευνώνται ερωτήματα σχετικά με τη σύνδεση των μετρικών ιδιοτήτων τους με την τοπολογική δομή, τη συμπεριφορά των γεωδαισιακών (μικρότερων σε μικρές τομές) γραμμών γενικά, όπως το ζήτημα της ύπαρξης κλειστών γεωδαισίων, τα ερωτήματα του " βύθιση», δηλ. η πραγμάτωση ενός δεδομένου n-διαστατικός χώρος Riemann στη μορφή n-διαστατική επιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων, ερωτήσεις ψευδο-Ριμαννίας γεωμετρίας που σχετίζονται με τη γενική θεωρία της σχετικότητας και άλλα.

Επιπλέον, πρέπει να γίνει αναφορά στην αλγεβρική γεωμετρία (βλ. Αλγεβρική γεωμετρία), η οποία αναπτύχθηκε από την αναλυτική γεωμετρία και μελετά κυρίως γεωμετρικές εικόνες που ορίζονται από αλγεβρικές εξισώσεις. κατέχει ιδιαίτερη θέση, γιατί περιλαμβάνει όχι μόνο γεωμετρικά, αλλά και αλγεβρικά και αριθμητικά προβλήματα. Υπάρχει επίσης ένα εκτεταμένο και σημαντικό πεδίο μελέτης των απειροσδιάστατων χώρων, το οποίο όμως δεν εντάσσεται στην κατηγορία της ετερογένειας, αλλά εντάσσεται στη λειτουργική ανάλυση, αφού Οι απεριόριστες διαστάσεις χώροι ορίζονται συγκεκριμένα ως χώροι των οποίων τα σημεία είναι ορισμένες συναρτήσεις. Ωστόσο, σε αυτόν τον τομέα υπάρχουν πολλά αποτελέσματα και προβλήματα που είναι πραγματικά γεωμετρικής φύσης και τα οποία επομένως πρέπει να αποδοθούν στον Γ.

Τιμή γεωμετρίας.Η χρήση της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι το πιο κοινό φαινόμενο όπου προσδιορίζονται περιοχές, όγκοι κ.λπ. Όλη η τεχνολογία, αφού το σχήμα και το μέγεθος των σωμάτων παίζουν ρόλο σε αυτήν, χρησιμοποιεί Ευκλείδεια γυροσκόπηση. Η χαρτογραφία, η γεωδαισία, η αστρονομία, όλες οι γραφικές μέθοδοι και η μηχανική είναι αδιανόητες χωρίς γυροσκόπιο. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι η ανακάλυψη του γεγονότος από τον I. Kepler ότι οι πλανήτες περιστρέφονται σε ελλείψεις. μπορούσε να εκμεταλλευτεί το γεγονός ότι η έλλειψη μελετήθηκε από αρχαίους γεωμέτρους. Η γεωμετρική κρυσταλλογραφία είναι μια βαθιά εφαρμογή της γεωμετρικής κρυσταλλογραφίας, η οποία έχει χρησιμεύσει ως πηγή και πεδίο εφαρμογής για τη θεωρία κανονικών συστημάτων μορφών (βλ. Κρυσταλλογραφία).

Οι πιο αφηρημένες γεωμετρικές θεωρίες χρησιμοποιούνται ευρέως στη μηχανική και τη φυσική, όταν το σύνολο των καταστάσεων ενός συστήματος θεωρείται ως ένας ορισμένος χώρος (δείτε την ενότητα Γενίκευση του Αντικειμένου της Γεωμετρίας). Έτσι, όλες οι πιθανές διαμορφώσεις (αμοιβαία διάταξη στοιχείων) ενός μηχανικού συστήματος σχηματίζουν έναν "χώρο διαμόρφωσης". η κίνηση του συστήματος αντιπροσωπεύεται από την κίνηση ενός σημείου σε αυτόν τον χώρο. Το σύνολο όλων των καταστάσεων ενός φυσικού συστήματος (στην απλούστερη περίπτωση, οι θέσεις και οι ταχύτητες των υλικών σημείων που σχηματίζουν το σύστημα, για παράδειγμα, τα μόρια αερίου) θεωρείται ως ο «χώρος φάσης» του συστήματος. Η άποψη αυτή βρίσκει, ειδικότερα, εφαρμογή στη στατιστική φυσική (βλ. Στατιστική φυσική) κ.λπ.

Για πρώτη φορά, η έννοια του πολυδιάστατου χώρου γεννήθηκε σε σχέση με τη μηχανική ήδη από τον J. Lagrange, όταν τρεις χώροι. συντεταγμένες x, y, zΟ χρόνος προστίθεται επίσημα ως τέταρτος t. Έτσι εμφανίζεται ένας τετραδιάστατος «χωροχρόνος», όπου ένα σημείο καθορίζεται από τέσσερις συντεταγμένες x, y, z, t. Κάθε γεγονός χαρακτηρίζεται από αυτές τις τέσσερις συντεταγμένες και, αφηρημένα, το σύνολο όλων των γεγονότων στον κόσμο αποδεικνύεται ότι είναι ένας τετραδιάστατος χώρος. Αυτή η άποψη αναπτύχθηκε στη γεωμετρική ερμηνεία της θεωρίας της σχετικότητας που δόθηκε από τον H. Minkowski και αργότερα στην κατασκευή της γενικής θεωρίας της σχετικότητας από τον A. Einstein. Σε αυτό, χρησιμοποίησε την τετραδιάστατη γεωμετρία Riemann (ψευδο-Riemannian) Έτσι, οι γεωμετρικές θεωρίες, που αναπτύχθηκαν από τη γενίκευση δεδομένων από τη χωρική εμπειρία, αποδείχθηκαν μια μαθηματική μέθοδος για την κατασκευή μιας βαθύτερης θεωρίας του χώρου και του χρόνου. Με τη σειρά της, η θεωρία της σχετικότητας έδωσε μια ισχυρή ώθηση στην ανάπτυξη γενικών γεωμετρικών θεωριών. Έχοντας προκύψει από τη στοιχειώδη πρακτική, η γεωγραφία επιστρέφει στη φυσική επιστήμη και την πρακτική σε υψηλότερο επίπεδο ως μέθοδος μέσω μιας σειράς αφαιρέσεων και γενικεύσεων.

Από γεωμετρική άποψη, η πολλαπλότητα του χωροχρόνου αντιμετωπίζεται συνήθως στη γενική θεωρία της σχετικότητας ως ανομοιογενής του τύπου Riemann, αλλά με μια μετρική που καθορίζεται από μια μορφή που αλλάζει πρόσημο, ανάγεται σε μια απειροελάχιστη περιοχή στη μορφή

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(με -ταχύτητα φωτός στο κενό). Ο ίδιος ο χώρος, αφού μπορεί να διαχωριστεί από τον χρόνο, αποδεικνύεται επίσης ότι δεν είναι ομοιογενής Riemannian. Από σύγχρονη γεωμετρική άποψη, είναι προτιμότερο να δούμε τη θεωρία της σχετικότητας με τον ακόλουθο τρόπο. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας υποστηρίζει ότι η πολλαπλότητα χώρου - χρόνου είναι ένας ψευδο-ευκλείδειος χώρος, δηλαδή ένας χώρος στον οποίο ο ρόλος των «κινήσεων» παίζεται από μετασχηματισμούς που διατηρούν την τετραγωνική μορφή.

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

Πιο συγκεκριμένα, είναι ένας χώρος με μια ομάδα μετασχηματισμών που διατηρούν την καθορισμένη τετραγωνική μορφή. Οποιοσδήποτε τύπος που εκφράζει έναν φυσικό νόμο απαιτείται να μην αλλάξει κάτω από τους μετασχηματισμούς της ομάδας αυτού του χώρου, που είναι οι λεγόμενοι μετασχηματισμοί Lorentz. Σύμφωνα με τη γενική θεωρία της σχετικότητας, η πολλαπλότητα του χωροχρόνου είναι μη ομοιογενής και μόνο σε κάθε «άπειρα μικρή» περιοχή ανάγεται σε ψευδο-ευκλείδειο, δηλαδή είναι χώρος τύπου Cartan (βλ. ενότητα Σύγχρονη γεωμετρία). Ωστόσο, μια τέτοια κατανόηση κατέστη δυνατή μόνο αργότερα, γιατί. η ίδια η έννοια των χώρων αυτού του τύπου εμφανίστηκε μετά τη θεωρία της σχετικότητας και αναπτύχθηκε υπό την άμεση επιρροή της.

Στα ίδια τα μαθηματικά, η θέση και ο ρόλος της γεωμετρίας καθορίζονται κυρίως από το γεγονός ότι η συνέχεια εισήχθη στα μαθηματικά μέσω αυτής. Τα μαθηματικά, ως επιστήμη των μορφών της πραγματικότητας, συναντούν πρώτα από όλα δύο γενικές μορφές: τη διακριτικότητα και τη συνέχεια. Ο λογαριασμός χωριστών (διακριτών) αντικειμένων δίνει αριθμητικά, κενά. Ο Γ. μελετά τη συνέχεια Μια από τις κύριες αντιφάσεις που ωθεί την ανάπτυξη των μαθηματικών είναι η σύγκρουση μεταξύ του διακριτού και του συνεχούς. Ακόμη και η διαίρεση συνεχών μεγεθών σε μέρη και η μέτρηση αντιπροσωπεύουν μια σύγκριση του διακριτού και του συνεχούς: για παράδειγμα, η κλίμακα σχεδιάζεται κατά μήκος του μετρούμενου τμήματος σε χωριστά βήματα. Η αντίφαση ήρθε στο φως. με ιδιαίτερη σαφήνεια, όταν στην αρχαία Ελλάδα (πιθανότατα τον 5ο αιώνα π.Χ.) ανακαλύφθηκε η ασυμμετρία της πλευράς και της διαγώνιου ενός τετραγώνου: το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με την πλευρά 1 δεν εκφραζόταν με κανέναν αριθμό, γιατί η έννοια του άρρητου αριθμού δεν υπήρχε. Χρειάστηκε μια γενίκευση της έννοιας του αριθμού - η δημιουργία της έννοιας ενός παράλογου αριθμού (η οποία έγινε πολύ αργότερα στην Ινδία). Η γενική θεωρία των παράλογων αριθμών δημιουργήθηκε μόλις τη δεκαετία του '70. 19ος αιώνας Η ευθεία (και μαζί της οποιαδήποτε φιγούρα) άρχισε να θεωρείται ως σύνολο σημείων. Τώρα αυτή η άποψη είναι κυρίαρχη. Ωστόσο, οι δυσκολίες της θεωρίας συνόλων έδειξαν τους περιορισμούς της. Η αντίφαση μεταξύ του διακριτού και του συνεχούς δεν μπορεί να εξαλειφθεί εντελώς.

Ο γενικός ρόλος της γεωμετρίας στα μαθηματικά έγκειται επίσης στο γεγονός ότι συνδέεται με την ακριβή συνθετική σκέψη, η οποία προέρχεται από χωρικές αναπαραστάσεις και συχνά καθιστά δυνατό να καλυφθεί γενικά αυτό που επιτυγχάνεται με την ανάλυση και τους υπολογισμούς μόνο μέσω μιας μεγάλης αλυσίδας βημάτων. . Έτσι, η γεωμετρία χαρακτηρίζεται όχι μόνο από τη θεματολογία της, αλλά και από τη μέθοδο της, η οποία προέρχεται από οπτικές αναπαραστάσεις και αποδεικνύεται γόνιμη στην επίλυση πολλών προβλημάτων σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Με τη σειρά του ο Γ. χρησιμοποιεί εκτενώς τις μεθόδους τους. Έτσι, ένα και το αυτό μαθηματικό πρόβλημα μπορεί συχνά να αντιμετωπιστεί είτε αναλυτικά είτε γεωμετρικά, είτε με συνδυασμό και των δύο μεθόδων.

Κατά μία έννοια, σχεδόν όλα τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ότι αναπτύσσονται από την αλληλεπίδραση της άλγεβρας (αρχικά αριθμητικής) και της γεωμετρίας, και με την έννοια της μεθόδου, από έναν συνδυασμό υπολογισμών και γεωμετρικών αναπαραστάσεων. Αυτό μπορεί ήδη να φανεί στην έννοια του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών ως αριθμητική γραμμή που συνδέει τις αριθμητικές ιδιότητες των αριθμών με τη συνέχεια. Εδώ είναι μερικά κύρια σημεία της επιρροής του G. στα μαθηματικά.

1) Μαζί με τη μηχανική, η γεωμετρία είχε καθοριστική σημασία για την εμφάνιση και την ανάπτυξη της ανάλυσης. Η ολοκλήρωση προέρχεται από την εύρεση περιοχών και όγκων, που ξεκίνησαν οι αρχαίοι επιστήμονες, επιπλέον, η έκταση και ο όγκος ως ποσότητες θεωρούνταν βέβαιες. δεν δόθηκε αναλυτικός ορισμός του ολοκληρώματος μέχρι το πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η σχεδίαση εφαπτομένων ήταν ένα από τα προβλήματα που οδήγησαν στη διαφοροποίηση. Η γραφική αναπαράσταση συναρτήσεων έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των εννοιών της ανάλυσης και διατηρεί τη σημασία της. Στην ίδια την ορολογία της ανάλυσης, η γεωμετρική πηγή των εννοιών της είναι ορατή, όπως, για παράδειγμα, στους όρους: «σημείο ρήξης», «εύρος μεταβολής μιας μεταβλητής» κ.λπ. Το πρώτο μάθημα ανάλυσης, που γράφτηκε το 1696 από τον G. Lopital (Βλ. Lopital), ονομαζόταν: «Απειρομικρή ανάλυση για την κατανόηση των καμπυλών γραμμών». Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων ερμηνεύεται κυρίως γεωμετρικά (ολοκληρωτικές καμπύλες κ.λπ.). Λογισμός μεταβολών Προέκυψε και αναπτύσσεται σε μεγάλο βαθμό στα προβλήματα της γεωμετρίας και οι έννοιές του παίζουν σημαντικό ρόλο σε αυτό.

2) Οι μιγαδικοί αριθμοί καθιερώθηκαν τελικά στα μαθηματικά στο γύρισμα του 18ου-19ου αιώνα. μόνο ως αποτέλεσμα της σύγκρισής τους με σημεία του επιπέδου, δηλ. με την κατασκευή ενός «σύνθετου επιπέδου». Στη θεωρία των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής, οι γεωμετρικές μέθοδοι παίζουν ουσιαστικό ρόλο. Η ίδια η έννοια μιας αναλυτικής συνάρτησης w = f(z) μιας μιγαδικής μεταβλητής μπορεί να οριστεί καθαρά γεωμετρικά: μια τέτοια συνάρτηση είναι μια σύμμορφη αντιστοίχιση του επιπέδου z(ή περιοχές του αεροπλάνου z) στο αεροπλάνο w. Οι έννοιες και οι μέθοδοι της γεωμετρίας του Ρίμαν βρίσκουν εφαρμογή στη θεωρία συναρτήσεων πολλών μιγαδικών μεταβλητών.

3) Η κύρια ιδέα της συναρτησιακής ανάλυσης είναι ότι οι συναρτήσεις μιας δεδομένης τάξης (για παράδειγμα, όλες οι συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται στο διάστημα ) θεωρούνται ως σημεία του «λειτουργικού χώρου» και οι σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων ερμηνεύονται ως γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των αντίστοιχων σημείων (για παράδειγμα, η σύγκλιση των συναρτήσεων ερμηνεύεται ως η σύγκλιση των σημείων, το μέγιστο της απόλυτης τιμής της διαφοράς των συναρτήσεων - ως απόσταση κ.λπ.). Στη συνέχεια, πολλά ερωτήματα ανάλυσης λαμβάνουν γεωμετρική επεξεργασία, η οποία σε πολλές περιπτώσεις αποδεικνύεται πολύ γόνιμη. Γενικά, η αναπαράσταση ορισμένων μαθηματικών αντικειμένων (συναρτήσεις, σχήματα κ.λπ.) ως σημεία κάποιου χώρου με την αντίστοιχη γεωμετρική ερμηνεία των σχέσεων αυτών των αντικειμένων είναι μια από τις πιο γενικές και γόνιμες ιδέες των σύγχρονων μαθηματικών, που έχει διεισδύσει σχεδόν όλα τα τμήματα του.

4) Ο Γ. επηρεάζει την άλγεβρα και ακόμη και την αριθμητική - θεωρία αριθμών. Η Άλγεβρα χρησιμοποιεί, για παράδειγμα, την έννοια του διανυσματικού χώρου. Στη θεωρία αριθμών, έχει δημιουργηθεί μια γεωμετρική κατεύθυνση που καθιστά δυνατή την επίλυση πολλών προβλημάτων που δύσκολα επιδέχονται την υπολογιστική μέθοδο. Με τη σειρά μας, θα πρέπει να σημειώσουμε επίσης τις γραφικές μεθόδους υπολογισμού (βλ. Νομογραφία) και τις γεωμετρικές μεθόδους της σύγχρονης θεωρίας των υπολογισμών και των υπολογιστών.

5) Η λογική βελτίωση και ανάλυση της αξιωματικής μιας θεωρίας έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη μιας αφηρημένης μορφής της αξιωματικής μεθόδου με την πλήρη αφαίρεση της από τη φύση των αντικειμένων και των σχέσεων που φιγουράρουν στην αξιωματική θεωρία. Με βάση το ίδιο υλικό αναπτύχθηκαν οι έννοιες της συνέπειας, της πληρότητας και της ανεξαρτησίας των αξιωμάτων.

Συνολικά, η αλληλοδιείσδυση της γεωμετρίας και άλλων τομέων των μαθηματικών είναι τόσο κοντά που συχνά τα όρια αποδεικνύονται υπό όρους και συνδέονται μόνο με την παράδοση. Μόνο τμήματα όπως η αφηρημένη άλγεβρα, η μαθηματική λογική και μερικά άλλα παραμένουν σχεδόν ή καθόλου συνδεδεμένα με τη γεωμετρία.

Φωτ.: Σημαντικά Κλασικά Έργα.Ευκλείδης, Αρχές, μτφρ. από τα ελληνικά, βιβλίο. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Γεωμετρία, μτφρ. από λατινικά., M. - L., 1938; Monge G., Εφαρμογές της ανάλυσης στη γεωμετρία, μτφρ. from French, M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Gauss KF, Γενική έρευνα στις καμπύλες επιφάνειες, μτφρ. από τα γερμανικά, στη συλλογή: On the foundations of geometry, M., 1956; Lobachevsky N.I., Poln. συλλογ. soch., τ. 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., Παράρτημα. Αίτηση,..., ανά. από λατινικά., M. - L., 1950; Riemann B., On the hypotheses under the foundation of geometry, μτφρ. από τα γερμανικά, στη συλλογή: On the foundations of geometry, M., 1956; Klein, F., A Comparative Review of the Newest Geometric Research ("Erlangen Program"), ό.π. Ε. Καρτάν, Ολονομία ομάδες γενικευμένων χώρων, μτφρ. από τα γαλλικά, στο βιβλίο: VIII Διεθνής Διαγωνισμός για το Βραβείο Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι (1937), Καζάν, 1940; Hilbert D., Θεμέλια της Γεωμετρίας, μτφρ. από γερμανικά., M. - L., 1948.

Ιστορία. Kolman E., Ιστορία των μαθηματικών στην αρχαιότητα, Μ., 1961; Yushkevich A. P., History of Mathematics in the Middle Ages, M., 1961; Vileitner G., Η ιστορία των μαθηματικών από τον Ντεκάρτ έως τα μέσα του 19ου αιώνα, μτφρ. from German, 2nd ed., M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

σι) Στοιχειώδης γεωμετρία. Hadamard J., Στοιχειώδης γεωμετρία, μτφρ. from French, part 1, 3rd ed., M., 1948, part 2, M., 1938; Pogorelov A. V., Στοιχειώδης Γεωμετρία, Μόσχα, 1969.

σε) Αναλυτική γεωμετρία. Alexandrov P.S., Lectures on Analytic Geometry..., M., 1968; Pogorelov A. V., Analytical Geometry, 3rd ed., M., 1968.

μι) Περιγραφική και προβολική γεωμετρία. Glagolev N. A., Descriptive geometry, 3rd ed., M. - L., 1953; Efimov N.V., Higher geometry, 4th ed., M., 1961.

μι) Η γεωμετρία του Ρίμαν και οι γενικεύσεις της. Rashevsky P.K., Riemannian geometry and tensor analysis, 2nd ed., M. - L., 1964; Norden A. P., Spaces of affine connection, M. - L., 1950; Cartan E., Geometry of Riemannian spaces, μτφρ. from French, M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Riemannian geometry, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1948.

Μερικές μονογραφίες για τη γεωμετρία. Fedorov ES, Συμμετρία και δομή κρυστάλλων. Βασικές εργασίες, Μ., 1949; Alexandrov A. D., Convex polyhedra, M. - L., 1950; του, Εσωτερική γεωμετρία κυρτών επιφανειών, M. - L., 1948; Pogorelov A. V., Εξωτερική γεωμετρία κυρτών επιφανειών, Μόσχα, 1969; Buseman G., Γεωμετρία της γεωδαισίας, μτφρ. from English, Μ., 1962; του, Κυρτές επιφάνειες, μετάφρ. from English, Μ., 1964; E. Kartan, Moving Frame Method, Theory of Continuous Groups and Generalized Spaces, μτφρ. from French, M. - L., 1936; Finikov S. P., Cartan's method of external forms in differential geometry, M. - L., 1948; δικό του, Προβολική-διαφορική γεωμετρία, Μ. - Λ., 1937; δικό του, Theory of congruences, M. - L., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Εισαγωγή στις νέες μεθόδους διαφορικής γεωμετρίας, μτφρ. από τα αγγλικά, τ. 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Ομάδες ψεύδους και διαφορική γεωμετρία, μτφρ. from English, Μ., 1960; Milnor J., Morse Theory, μτφρ. από τα αγγλικά, Μ., 1965.

Λεξικό ξένων λέξεων της ρωσικής γλώσσας

4. Παραδείγματα προβλημάτων στον τόπο των σημείων

1. Δύο τροχοί ακτίνων r 1 και r 2 κυλίονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής l. Να βρείτε το σύνολο των σημείων τομής Μ των κοινών εσωτερικών τους εφαπτομένων.

Λύση: Έστω O 1 και O 2 τα κέντρα των τροχών ακτίνων r 1 και r 2, αντίστοιχα. Αν M είναι το σημείο τομής των εσωτερικών εφαπτομένων, τότε O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Από αυτή τη συνθήκη είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι η απόσταση από το σημείο M έως την ευθεία l είναι ίση με 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Επομένως, όλα τα σημεία τομής των κοινών εσωτερικών εφαπτομένων βρίσκονται σε μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία l και απέχουν από αυτήν κατά απόσταση 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

2. Βρείτε τον τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από δύο δεδομένα σημεία.

Λύση: Έστω ένας κύκλος με κέντρο Ο να διέρχεται από τα δεδομένα Α και Β. Εφόσον ΟΑ = ΟΒ (ως ακτίνες ενός κύκλου), το σημείο Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Αντίστροφα, κάθε σημείο Ο που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ απέχει ίση από τα σημεία Α και Β. Επομένως, το σημείο Ο είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

3. Οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ του εμβαδού Σ δεν είναι παράλληλες. Βρείτε το HMT X που βρίσκεται μέσα στο τετράπλευρο για το οποίο S ABX + S CDX = S/2.

Λύση: Έστω O το σημείο τομής των ευθειών AB και CD. Ας σχεδιάσουμε τα τμήματα OK και OL στις ακτίνες OA και OD, ίσα με AB και CD, αντίστοιχα. Τότε S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL . Επομένως, η περιοχή του τριγώνου KXL είναι σταθερή, δηλαδή το σημείο X βρίσκεται σε μια ευθεία παράλληλη προς την KL.

4. Δίνονται τα σημεία Α και Β στο επίπεδο Να βρείτε το GMT M για το οποίο η διαφορά των τετραγώνων των μηκών των τμημάτων ΑΜ και ΒΜ είναι σταθερή.

Λύση: Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων επιλέγοντας το σημείο Α ως αρχή και κατευθύνοντας τον άξονα Ox κατά μήκος της ακτίνας ΑΒ. Έστω ότι το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (x, y). Τότε AM 2 = x 2 + y 2 και BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , όπου a = AB. Επομένως AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Αυτή η τιμή είναι ίση με k για σημεία M με συντεταγμένες ((a 2 + k)/2a, y); όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία κάθετη στην ΑΒ.

5. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Βρείτε το GMT X για το οποίο AX + BX = CX + DX.

Λύση: Έστω l μια ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών BC και AD. Ας υποθέσουμε ότι το σημείο Χ δεν βρίσκεται στην ευθεία l, για παράδειγμα, ότι τα σημεία Α και Χ βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας l. Στη συνέχεια AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. Δίνονται δύο ευθείες που τέμνονται σε ένα σημείο Ο. Βρείτε το GMT X για το οποίο το άθροισμα των μηκών των προβολών των τμημάτων OX σε αυτές τις ευθείες είναι σταθερό.

Λύση: Έστω a και b μοναδιαία διανύσματα παράλληλα σε δεδομένες ευθείες. Το x είναι ίσο με το διάνυσμα x. Το άθροισμα των μηκών των προβολών του διανύσματος x στις δεδομένες ευθείες είναι ίσο με |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, και η αλλαγή του πρόσημου συμβαίνει στις κάθετες που είναι υψωμένες από το σημείο Ο στις δεδομένες ευθείες. Επομένως, το επιθυμητό GMT είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι παράλληλες με τις διχοτόμους των γωνιών μεταξύ των δεδομένων ευθειών και του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στις υποδεικνυόμενες κάθετες.

7. Δίνεται ένας κύκλος Σ και ένα σημείο Μ έξω από αυτόν. Μέσω του σημείου M, σχεδιάζονται όλοι οι πιθανοί κύκλοι S 1, που τέμνουν τον κύκλο S. X - το σημείο τομής της εφαπτομένης στο σημείο M στον κύκλο S 1 με τη συνέχεια της κοινής χορδής των κύκλων S και S 1 . Βρείτε GMT X.

Λύση: Έστω Α και Β τα σημεία τομής των κύκλων S και S 1 . Τότε XM 2 = XA . XB \u003d XO 2 - R 2, όπου O και R είναι το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου S. Επομένως, XO 2 - XM 2 \u003d R 2, που σημαίνει ότι τα σημεία X βρίσκονται στην κάθετη προς την ευθεία OM.

8. Δίνονται δύο κύκλοι που δεν τέμνονται. Βρείτε τον τόπο των σημείων των κέντρων των κύκλων που διχοτομούν τους δεδομένους κύκλους (δηλαδή, τους τέμνουν σε διαμετρικά αντίθετα σημεία).

Λύση: Έστω O 1 και O 2 τα κέντρα αυτών των κύκλων, R 1 και R 2 οι ακτίνες τους. Ένας κύκλος ακτίνας r με κέντρο X τέμνει τον πρώτο κύκλο σε διαμετρικά αντίθετα σημεία εάν και μόνο εάν r 2 \u003d XO 1 2 + R 1 2, επομένως το επιθυμητό GMT αποτελείται από σημεία X έτσι ώστε XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 , όλα αυτά τα σημεία του X βρίσκονται σε μια ευθεία κάθετη στο O 1 O 2 .

9. Το σημείο Α λαμβάνεται μέσα στον κύκλο Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των εφαπτομένων στον κύκλο που διασχίζεται από τα άκρα όλων των πιθανών χορδών που περιέχουν το σημείο Α.

Λύση: Έστω O το κέντρο του κύκλου, R η ακτίνα του, M το σημείο τομής των εφαπτομένων που διασχίζονται από τα άκρα της χορδής που περιέχουν το σημείο A, P το μέσο αυτής της χορδής. Τότε OP * OM = R 2 και OP = OA cos f, όπου f = AOP. Επομένως, AM 2 \u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2, που σημαίνει ότι η τιμή του OM 2 - AM 2 \u003d 2R 2 - OA 2 είναι σταθερή. Επομένως, όλα τα σημεία του M βρίσκονται σε μια ευθεία κάθετη στην ΟΑ.

10. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M που βρίσκονται μέσα στον ρόμβο ABCD και έχουν την ιδιότητα ότι AMD + BMC = 180 o .

Λύση: Έστω N ένα σημείο τέτοιο ώστε τα διανύσματα MN = DA. Τότε NAM = DMA και NBM = BMC, άρα το AMBN είναι ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Οι διαγώνιοι του εγγεγραμμένου τετράπλευρου AMBN είναι ίσες, άρα AM| BN ή BM| ΕΝΑ. Στην πρώτη περίπτωση AMD = MAN = AMB, και στη δεύτερη περίπτωση BMC = MBN = BMA. Εάν AMB = AMD, τότε AMB + BMC = 180 o και το σημείο M βρίσκεται στη διαγώνιο AC, και εάν BMA = BMC, τότε το σημείο M βρίσκεται στη διαγώνιο BD. Είναι επίσης σαφές ότι εάν το σημείο M βρίσκεται σε μία από τις διαγώνιους, τότε AMD + BMC = 180 o .

11. α) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αποδείξτε ότι η ποσότητα AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 δεν εξαρτάται από την επιλογή του σημείου X.

β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ δεν είναι παραλληλόγραμμο. Να αποδείξετε ότι όλα τα σημεία του X που ικανοποιούν τη σχέση AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 βρίσκονται στην ίδια ευθεία κάθετη στο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων.

Λύση: Έστω P και Q τα μέσα των διαγωνίων AC και BD. Τότε AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 και BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, επομένως, στο πρόβλημα β), το επιθυμητό HMT αποτελείται από σημεία X έτσι ώστε PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, και στο πρόβλημα α) P = Q, άρα η ποσότητα που εξετάζουμε είναι ίση με (BD 2 - AC 2)/2.

Βιβλιογραφία

1. Pogorelov A.V. Γεωμετρία: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 7-9 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. - Μ.: Διαφωτισμός, 2000, σελ. 61.

2. Savin A.P. Η μέθοδος των γεωμετρικών τόπων / Προαιρετικό μάθημα στα μαθηματικά: Διδακτικό βιβλίο για τις τάξεις 7-9 του λυκείου. Comp. I.L. Νικόλσκαγια. - Μ .: Εκπαίδευση, 1991, σελ. 74.

3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Γεωμετρία: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 7-9 των εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. – Μ.: Μνημοσύνη, 2005, σελ. 84.

4. Sharygin I.F. Γεωμετρία. Βαθμοί 7-9: Εγχειρίδιο για γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα. – Μ.: Bustard, 1997, σελ. 76.

5. Πηγή Διαδικτύου: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

Η πληροφοριακή αιτιότητα των αλληλεπιδράσεων (εξουδετέρωση της εντροπίας) που σχετίζεται με τις διαδικασίες αντανάκλασης βαθμών τάξης (διεγέρσεις), η κατοχή ενός παγκόσμιου συστήματος χωροχρονικών σχέσεων, ξεχωρίζουν το «απόλυτο κβάντο» σε ένα φαινομενικό φαινόμενο φυσικής φύσης. Μπορεί να είναι μια απροσδόκητη υλική ενσάρκωση αυτής της αρχικής δραστικής ουσίας, η οποία αντικειμενικά ιδεαλισμός, ...

Το Q(y) ενός τέτοιου τμήματος είναι ίσο με, όπου το y θεωρείται σταθερό κατά την ολοκλήρωση. Ολοκληρώνοντας στη συνέχεια το Q(y) εντός του εύρους του y, δηλαδή από c έως d, φτάνουμε στη δεύτερη έκφραση για το διπλό ολοκλήρωμα (Β). Εδώ, η ολοκλήρωση εκτελείται πρώτα πάνω από το x και μετά πάνω από το y. .Οι τύποι (Α) και (Β) δείχνουν ότι ο υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος ανάγεται στον διαδοχικό υπολογισμό δύο συνηθισμένων ...

Γεωμετρίαείναι μια επιστήμη που μελετά τις χωρικές σχέσεις και τα σχήματα των αντικειμένων.

Ευκλείδεια γεωμετρίαείναι μια γεωμετρική θεωρία που βασίζεται σε ένα σύστημα αξιωμάτων που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (υπερβολική γεωμετρία)- μία από τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, μια γεωμετρική θεωρία που βασίζεται στις ίδιες βασικές προϋποθέσεις με τη συνηθισμένη ευκλείδεια γεωμετρία, με εξαίρεση το αξίωμα των παράλληλων ευθειών, το οποίο αντικαθίσταται από το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Lobachevsky.

Μια ευθεία γραμμή που οριοθετείται στο ένα άκρο και απεριόριστη στο άλλο λέγεται ακτίνα.

Το τμήμα μιας ευθείας που οριοθετείται και από τις δύο πλευρές ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα.

Ενεση- Πρόκειται για ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από δύο ακτίνες (πλευρές μιας γωνίας) που προέρχονται από ένα σημείο (την κορυφή της γωνίας). Χρησιμοποιούνται δύο μονάδες μέτρησης γωνίας: ακτίνια και μοίρες. Μια γωνία 90° ονομάζεται ορθή γωνία. Μια γωνία μικρότερη από 90° ονομάζεται οξεία γωνία. Μια γωνία μεγαλύτερη από 90° ονομάζεται αμβλεία γωνία.

Παρακείμενες γωνίεςείναι γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά. οι άλλες δύο πλευρές είναι προεκτάσεις η μία της άλλης. Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°. Κάθετες γωνίες είναι δύο γωνίες με κοινή κορυφή, στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης.

Διχοτόμος γωνίαςονομάζεται ακτίνα που διχοτομεί μια γωνία.

Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται, όσο καιρό και αν συνεχιστούν. Όλες οι γραμμές που είναι παράλληλες σε μία ευθεία είναι παράλληλες μεταξύ τους. Όλες οι κάθετοι στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες μεταξύ τους και αντίστροφα, μια ευθεία κάθετη σε μία από τις παράλληλες ευθείες είναι κάθετη στις άλλες. Το μήκος του κάθετου τμήματος που περικλείεται μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών είναι η μεταξύ τους απόσταση. Όταν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται με μια τρίτη ευθεία, σχηματίζονται οκτώ γωνίες, οι οποίες ονομάζονται ανά ζεύγη: αντίστοιχες γωνίες (αυτές οι γωνίες είναι κατά ζεύγη ίσες). εσωτερικές εγκάρσιες γωνίες (είναι ίσες σε ζεύγη). εξωτερικές εγκάρσιες γωνίες (είναι ίσες σε ζεύγη). εσωτερικές μονόπλευρες γωνίες (το άθροισμά τους είναι 180°). εξωτερικές μονόπλευρες γωνίες (το άθροισμά τους είναι 180°).

Το θεώρημα του Θαλή. Όταν οι πλευρές μιας γωνίας τέμνονται από παράλληλες ευθείες, οι πλευρές της γωνίας χωρίζονται σε αναλογικά τμήματα.

Αξιώματα γεωμετρίας. Αξίωμα του ανήκειν: μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων σε ένα επίπεδο μπορεί κανείς να χαράξει μια ευθεία γραμμή και, επιπλέον, μόνο ένα. Αξίωμα τάξης: μεταξύ οποιωνδήποτε τριών σημείων που βρίσκονται σε μια γραμμή, υπάρχει το πολύ ένα σημείο μεταξύ δύο άλλων.

Αξίωμα συνάφειας (ισότητα)τμήματα και γωνίες: αν δύο τμήματα (γωνίες) είναι ίσα με το τρίτο, τότε είναι ίσα μεταξύ τους. Αξίωμα παράλληλων ευθειών: μέσω οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται έξω από μια ευθεία, είναι δυνατό να τραβήξουμε μια άλλη ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη, και επιπλέον, μόνο μία.

Αξίωμα συνέχειας (Αξίωμα του Αρχιμήδη): για οποιαδήποτε δύο τμήματα AB και CD, υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων A1, A2, …, An που βρίσκεται στην ευθεία AB, έτσι ώστε τα τμήματα AA1, A1A2, …, An-1An είναι ίσα με το τμήμα CD και το σημείο Β βρίσκεται μεταξύ Α και An.

Ένα επίπεδο σχήμα που σχηματίζεται από μια κλειστή αλυσίδα τμημάτων ονομάζεται πολύγωνο.
Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών, ένα πολύγωνο μπορεί να είναι τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο, εξάγωνο κλπ. Το άθροισμα των μηκών λέγεται περίμετρος και συμβολίζεται με p.
Αν όλες οι διαγώνιοι βρίσκονται μέσα στο πολύγωνο, αυτό ονομάζεται κυρτό. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 180°*(n-2), όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών (ή πλευρών) του πολυγώνου.

Τρίγωνοείναι ένα πολύγωνο με τρεις πλευρές (ή τρεις γωνίες). Αν και οι τρεις γωνίες είναι οξείες, τότε πρόκειται για οξύ τρίγωνο. Εάν μία από τις γωνίες είναι ορθή, τότε είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Οι πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα. Αν μια από τις γωνίες είναι αμβλεία, τότε είναι αμβλύ τρίγωνο. Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι παρακάτω σχέσεις είναι αληθείς:

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου:

Σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο:

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο και ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω του:

όπου a είναι η πλευρά, n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (το απόθεμα ενός κανονικού πολυγώνου).

Εμβαδόν κανονικού πολυγώνου:

Τα μήκη των πλευρών και των διαγωνίων σχετίζονται με τον τύπο:

Βασικές ιδιότητες των τριγώνων:

• απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μια μεγαλύτερη γωνία και το αντίστροφο.
• Οι απέναντι ίσες πλευρές είναι ίσες γωνίες και το αντίστροφο.
• το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180°.
• συνεχίζοντας μια από τις πλευρές του τριγώνου, παίρνουμε την εξωτερική γωνία. Η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών που δεν γειτνιάζουν με αυτό.
• Οποιαδήποτε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Σημάδια ισότητας τριγώνων: τα τρίγωνα είναι ίσα αν είναι ίσα:

• δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ τους.
• δύο γωνίες και η γειτονική πλευρά τους.
• τρεις πλευρές.

Δοκιμές ισότητας ορθογωνίου τριγώνου: Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα εάν ισχύει μία από τις ακόλουθες συνθήκες:

• τα πόδια τους είναι ίσα.
• το σκέλος και η υποτείνουσα ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και την υποτείνουσα του άλλου.
• η υποτείνουσα και η οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίσες με την υποτείνουσα και την οξεία γωνία του άλλου.
• το σκέλος και η παρακείμενη οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και η παρακείμενη οξεία γωνία του άλλου.
• το σκέλος και η απέναντι οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίσα με το σκέλος και η αντίθετη οξεία γωνία του άλλου.

Το ύψος ενός τριγώνου είναι η κάθετη που πέφτει από οποιαδήποτε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά (ή την προέκτασή της). Αυτή η πλευρά ονομάζεται βάση του τριγώνου. Τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται πάντα σε ένα σημείο, που ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου. Το ορθόκεντρο ενός οξέος τριγώνου βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο, και το ορθόκεντρο ενός αμβλεού τριγώνου είναι έξω. Το ορθόκεντρο ενός ορθογωνίου τριγώνου συμπίπτει με την κορυφή της ορθής γωνίας.

Ο τύπος για το ύψος ενός τριγώνου είναι:

Διάμεσοςείναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο και είναι το κέντρο βάρους του. Αυτό το σημείο διαιρεί κάθε διάμεσο 2:1 από την κορυφή.

Διαχωριστική γραμμή- αυτό είναι ένα τμήμα της διχοτόμου της γωνίας από την κορυφή έως το σημείο τομής με την αντίθετη πλευρά. Οι τρεις διχοτόμοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο βρίσκεται πάντα μέσα στο τρίγωνο και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Η διχοτόμος χωρίζει την απέναντι πλευρά σε μέρη ανάλογα με τις διπλανές πλευρές.
Ο τύπος για τη διχοτόμο ενός τριγώνου είναι:

Μέσος κάθετοςείναι μια κάθετη που τραβιέται από το μέσο του τμήματος (πλευρά). Οι τρεις διάμεσες κάθετες ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Σε ένα οξύ τρίγωνο, αυτό το σημείο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. σε αμβλεία - έξω? σε ένα ορθογώνιο - στη μέση της υποτείνουσας. Το ορθόκεντρο, το κέντρο βάρους, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου συμπίπτουν μόνο σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των σκελών: c2 = a2 + b2.

Στη γενική περίπτωση (για αυθαίρετο τρίγωνο) έχουμε: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, όπου C είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.

τετράπλευρο- ένα σχήμα που σχηματίζεται από τέσσερα σημεία (κορυφές), από τα οποία κανένα δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία και τέσσερα διαδοχικά τμήματα (πλευρές) που τα συνδέουν, τα οποία δεν πρέπει να τέμνονται.

Παραλληλόγραμμοείναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες. Οποιεσδήποτε δύο απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου ονομάζονται βάσεις του και η απόσταση μεταξύ τους ονομάζεται ύψος του.

Ιδιότητες παραλληλογράμμου:

• Οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.
• Οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.
• οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου χωρίζονται στο μισό στο σημείο της τομής τους.
• το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων πλευρών του.

Περιοχή παραλληλόγραμμου:

Ακτίνα κύκλου εγγεγραμμένου σε παραλληλόγραμμο:

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμοείναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες ίσες με 90°.

Βασικές ιδιότητες ενός ορθογωνίου.
Οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι και τα ύψη του.
Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου είναι ίσες: AC = BD.

Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του (σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα).

Περιοχή ορθογωνίου: S=ab.

Διάμετρος ορθογωνίου:

Ακτίνα κύκλου που περικλείεται γύρω από ένα ορθογώνιο:

Ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι μεταξύ τους κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες τους.

Το εμβαδόν ενός ρόμβου εκφράζεται σε διαγώνιες:

Ένα τετράγωνο είναι ένα παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες και ίσες πλευρές. Ένα τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου ταυτόχρονα, επομένως, έχει όλες τις ιδιότητές τους που αναφέρονται παραπάνω.

Τετράγωνη περιοχή:

Ακτίνα κύκλου περιγεγραμμένη σε τετράγωνο:

Ακτίνα κύκλου εγγεγραμμένου σε τετράγωνο:

Τετράγωνη διαγώνιος:

Τραπέζιοείναι ένα τετράπλευρο με δύο αντίθετες πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες πλευρές ονομάζονται βάσεις του τραπεζοειδούς και οι άλλες δύο ονομάζονται πλευρές. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων είναι το ύψος. Το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών ονομάζεται μέση γραμμή του τραπεζοειδούς. Η μέση γραμμή ενός τραπεζοειδούς είναι το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων και είναι παράλληλη με αυτές. Ένα τραπέζιο με ίσες πλευρές ονομάζεται ισοσκελές τραπέζιο. Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, οι γωνίες σε κάθε βάση είναι ίσες.

Περιοχή τραπεζίου: , όπου a και b οι βάσεις, h το ύψος.

Μέση γραμμή του τριγώνουείναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου. Η μέση γραμμή ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της βάσης του και είναι παράλληλη με αυτό. Η ιδιότητα αυτή προκύπτει από την ιδιότητα του τραπεζοειδούς, αφού το τρίγωνο μπορεί να θεωρηθεί ως περίπτωση εκφυλισμού του τραπεζοειδούς, όταν μία από τις βάσεις του γίνεται σημείο.

Ομοιότητα αεροπλάνων. Εάν αλλάξετε όλες τις διαστάσεις ενός επίπεδου σχήματος ίσες φορές (λόγος ομοιότητας), τότε το παλιό και το νέο σχήμα ονομάζονται παρόμοια. Δύο πολύγωνα είναι όμοια αν οι γωνίες τους είναι ίσες και οι πλευρές τους ανάλογες.

Σημάδια ομοιότητας τριγώνων. Δύο τρίγωνα είναι παρόμοια αν:

• όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες (δύο γωνίες είναι αρκετές).
• όλες οι πλευρές τους είναι ανάλογες.
• Οι δύο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τις δύο πλευρές του άλλου και οι γωνίες που περιλαμβάνονται μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίσες.

Τα εμβαδά των παρόμοιων σχημάτων είναι ανάλογα με τα τετράγωνα των όμοιων γραμμών τους (π.χ. πλευρές, διάμετροι).

Τόπος σημείωνείναι το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν ορισμένες δεδομένες προϋποθέσεις.

Κύκλος- Αυτός είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο που ισαπέχει από ένα σημείο, που ονομάζεται κέντρο του κύκλου. Το τμήμα που συνδέει το κέντρο του κύκλου με οποιοδήποτε από τα σημεία του ονομάζεται ακτίνα και συμβολίζεται - r. Το τμήμα του επιπέδου που οριοθετείται από κύκλο ονομάζεται κύκλος. Ένα μέρος ενός κύκλου ονομάζεται τόξο. Μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία ενός κύκλου ονομάζεται τέμνουσα και το τμήμα της που βρίσκεται μέσα στον κύκλο ονομάζεται χορδή. Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διάμετρος και συμβολίζεται d. Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή, ίση σε μέγεθος με δύο ακτίνες: d = 2r.

Όπου α είναι το πραγματικό, β είναι ο φανταστικός ημιάξονας.

Εξίσωση επιπέδου στο διάστημα:
Ax + By + Cz + D = 0,
όπου x, y, z είναι ορθογώνιες συντεταγμένες ενός μεταβλητού σημείου του επιπέδου, τα A, B, C είναι σταθεροί αριθμοί.
Μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο κύκλου κάθετου στην ακτίνα που σύρεται σε αυτό το σημείο ονομάζεται εφαπτομένη. Αυτό το σημείο ονομάζεται σημείο επαφής.

Ιδιότητες εφαπτομένης:

• η εφαπτομένη στον κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που σύρεται στο σημείο επαφής.
• Από ένα σημείο έξω από τον κύκλο, δύο εφαπτομένες μπορούν να σχεδιαστούν στον ίδιο κύκλο. τα τμήματα τους είναι ίσα.

Τμήμα- αυτό είναι το τμήμα του κύκλου που οριοθετείται από ένα τόξο και την αντίστοιχη χορδή. Το μήκος της καθέτου που τραβιέται από το μέσο της χορδής μέχρι την τομή με το τόξο ονομάζεται ύψος του τμήματος.

Τομέας- αυτό είναι ένα μέρος ενός κύκλου που οριοθετείται από ένα τόξο και δύο ακτίνες που τραβούν τα άκρα αυτού του τόξου.

Γωνίες σε κύκλο. Μια κεντρική γωνία είναι μια γωνία που σχηματίζεται από δύο ακτίνες. Εγγεγραμμένη γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο συγχορδίες που αντλούνται από το κοινό τους σημείο. Η περιγραφόμενη γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο εφαπτομένες που σύρονται από ένα κοινό σημείο.

Αυτός ο τύπος είναι η βάση για τον προσδιορισμό της μέτρησης ακτίνων των γωνιών. Το μέτρο ακτίνων οποιασδήποτε γωνίας είναι ο λόγος του μήκους ενός τόξου που τραβιέται από μια αυθαίρετη ακτίνα και περικλείεται μεταξύ των πλευρών αυτής της γωνίας προς την ακτίνα του.

Σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του κύκλου.

Η εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το ήμισυ της κεντρικής γωνίας που βασίζεται στο ίδιο τόξο. Επομένως, όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βασίζονται στο ίδιο τόξο είναι ίσες. Και δεδομένου ότι η κεντρική γωνία περιέχει τον ίδιο αριθμό μοιρών με το τόξο της, κάθε εγγεγραμμένη γωνία μετριέται με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βασίζονται σε ημικύκλιο είναι ορθές.

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο χορδές μετριέται κατά το ήμισυ του αθροίσματος των τόξων που περικλείονται μεταξύ των πλευρών της.

Η γωνία που σχηματίζεται από δύο τομές μετράται από τη μισή διαφορά των τόξων που περικλείονται μεταξύ των πλευρών του.

Η γωνία που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια χορδή μετριέται με το μισό του τόξου που περικλείεται μέσα σε αυτήν.

Η γωνία που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια τομή μετριέται από τη μισή διαφορά των τόξων που περικλείονται μεταξύ των πλευρών της.

Η περιγραφόμενη γωνία, που σχηματίζεται από δύο εφαπτόμενες, μετράται από τη μισή διαφορά των τόξων που περικλείονται μεταξύ των πλευρών της.

Τα γινόμενα των τμημάτων των χορδών στα οποία χωρίζονται με το σημείο τομής είναι ίσα.

Το τετράγωνο μιας εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο της τομής και του εξωτερικού της τμήματος.

Μια χορδή κάθετη στη διάμετρο διχοτομείται στο σημείο τομής τους.

Ένα πολύγωνο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, οι κορυφές του οποίου βρίσκονται σε έναν κύκλο. Ένα πολύγωνο που περικλείεται κοντά σε έναν κύκλο είναι ένα πολύγωνο του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον κύκλο. Κατά συνέπεια, ένας κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζεται περιγεγραμμένος κοντά στο πολύγωνο. ένας κύκλος στον οποίο οι πλευρές ενός πολυγώνου εφάπτονται ονομάζεται εγγεγραμμένος κύκλος. Για ένα αυθαίρετο πολύγωνο, είναι αδύνατο να εγγραφεί σε αυτό και να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του. Για ένα τρίγωνο, αυτή η πιθανότητα υπάρχει πάντα.

Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε τετράπλευρο αν τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. Για παραλληλόγραμμα, αυτό είναι δυνατό μόνο για ρόμβο (τετράγωνο). Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των διαγωνίων. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τετράπλευρο εάν το άθροισμα των απέναντι γωνιών του είναι 180°. Για παραλληλόγραμμα, αυτό είναι δυνατό μόνο για ένα ορθογώνιο (τετράγωνο). Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής των διαγωνίων. Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τραπέζιο αν είναι ισοσκελές. Κανονικό πολύγωνο είναι ένα πολύγωνο με ίσες πλευρές και γωνίες.

Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο. Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με 180°(n - 2)/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών του. Μέσα σε ένα κανονικό πολύγωνο υπάρχει ένα σημείο Ο, σε ίση απόσταση από όλες τις κορυφές του, το οποίο ονομάζεται κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου. Το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου απέχει επίσης από όλες τις πλευρές του. Ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα κανονικό πολύγωνο και ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω του. Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν με το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι η ακτίνα ενός κανονικού πολυγώνου και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι το απόθεμά του.

Βασικά αξιώματα της στερεομετρίας.

Όποιο και αν είναι το επίπεδο, υπάρχουν σημεία που ανήκουν σε αυτό το επίπεδο και σημεία που δεν ανήκουν.

Εάν δύο διαφορετικά επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο.

Εάν δύο ευδιάκριτες ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο, τότε ένα και μόνο ένα επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί μέσα από αυτές.

Μέσα από τρία σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, μπορεί κανείς να σχεδιάσει άπειρο αριθμό επιπέδων, τα οποία στην περίπτωση αυτή σχηματίζουν μια δέσμη επιπέδων. Η ευθεία από την οποία περνούν όλα τα επίπεδα της δέσμης ονομάζεται άξονας της δέσμης. Μέσα από οποιαδήποτε ευθεία και ένα σημείο εκτός αυτής της ευθείας, μπορεί να σχεδιαστεί ένα και μόνο επίπεδο. Μέσα από δύο γραμμές δεν είναι πάντα δυνατό να σχεδιάσετε ένα επίπεδο, τότε αυτές οι γραμμές ονομάζονται λοξές.

Οι διασταυρούμενες γραμμές δεν τέμνονται, όσο και αν συνεχιστούν, αλλά δεν είναι παράλληλες, αφού δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Μόνο οι παράλληλες ευθείες είναι μη τεμνόμενες γραμμές μέσω των οποίων μπορεί να σχεδιαστεί ένα επίπεδο. Η διαφορά μεταξύ λοξών και παράλληλων γραμμών είναι ότι οι παράλληλες γραμμές έχουν την ίδια κατεύθυνση, αλλά οι λοξές γραμμές δεν έχουν. Μέσα από δύο τεμνόμενες γραμμές, μπορεί πάντα να σχεδιαστεί ένα και μόνο ένα επίπεδο. Η απόσταση μεταξύ δύο λοξών γραμμών είναι το μήκος του τμήματος που συνδέει τα πλησιέστερα σημεία που βρίσκονται στις λοξές γραμμές. Τα επίπεδα που δεν τέμνονται ονομάζονται παράλληλα επίπεδα. Ένα επίπεδο και μια ευθεία είτε τέμνονται (σε ​​ένα σημείο) είτε όχι. Στην τελευταία περίπτωση, η ευθεία και το επίπεδο λέγεται ότι είναι παράλληλα μεταξύ τους.

Μια κάθετη που πέφτει από ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το δεδομένο σημείο με ένα σημείο στο επίπεδο και τρέχει σε μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο.

Η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο είναι η βάση της κάθετης που πέφτει από το σημείο στο επίπεδο. Η προβολή ενός τμήματος στο επίπεδο P είναι ένα τμήμα του οποίου τα άκρα είναι οι προβολές των σημείων αυτού του τμήματος.

Διεδρική γωνία είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα με μια κοινή ευθεία γραμμή που τα οριοθετεί. Τα ημιεπίπεδα ονομάζονται όψεις και η ευθεία που τα περιορίζει ονομάζεται ακμή της διεδρικής γωνίας. Το επίπεδο που είναι κάθετο στην άκρη δίνει μια γωνία στην τομή του με τα ημιεπίπεδα που ονομάζεται γραμμική γωνία της διεδρικής γωνίας. Μια διεδρική γωνία μετριέται από τη γραμμική γωνία της.

πολύεδρη γωνία. Αν σχεδιάσουμε ένα σύνολο επιπέδων μέσα από ένα σημείο που τέμνονται διαδοχικά κατά μήκος ευθειών, παίρνουμε ένα σχήμα που ονομάζεται πολυεδρική γωνία. Τα επίπεδα που σχηματίζουν μια πολυεδρική γωνία ονομάζονται όψεις του. οι ευθείες κατά τις οποίες τέμνονται διαδοχικά οι όψεις ονομάζονται ακμές της πολυεδρικής γωνίας. Ο ελάχιστος αριθμός όψεων μιας πολυεδρικής γωνίας είναι τρεις.

Τα παράλληλα επίπεδα κόβονται στις άκρες μιας πολυεδρικής γωνίας, αναλογικά τμήματα και σχηματίζουν παρόμοια πολύγωνα.

Σημάδια παραλληλισμού ευθείας και επιπέδου.

Εάν μια ευθεία που βρίσκεται έξω από ένα επίπεδο είναι παράλληλη με οποιαδήποτε ευθεία που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο, τότε είναι παράλληλη σε αυτό το επίπεδο.

Αν μια ευθεία και ένα επίπεδο είναι κάθετα στην ίδια ευθεία, τότε είναι παράλληλα.

Σημάδια παράλληλων επιπέδων:

• Αν δύο τεμνόμενες ευθείες σε ένα επίπεδο είναι αντίστοιχα παράλληλες με δύο τεμνόμενες ευθείες σε άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι παράλληλα.
• Αν δύο επίπεδα είναι κάθετα στην ίδια ευθεία, τότε είναι παράλληλα.
• Σημάδια καθετότητας ευθείας και επιπέδου.
• Εάν μια ευθεία είναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται σε ένα επίπεδο, τότε είναι κάθετη σε αυτό το επίπεδο.
• Αν ένα επίπεδο είναι κάθετο σε μία από τις παράλληλες ευθείες, τότε είναι και κάθετο στην άλλη.

Μια ευθεία που τέμνει ένα επίπεδο και δεν είναι κάθετη σε αυτό ονομάζεται πλάγια στο επίπεδο.

Θεώρημα τριών καθέτων

Μια ευθεία που βρίσκεται σε ένα επίπεδο και είναι κάθετη στην προβολή ενός λοξού επιπέδου σε αυτό το επίπεδο είναι επίσης κάθετη στο ίδιο το λοξό επίπεδο.

Σημάδια παράλληλων ευθειών στο χώρο:

• Αν δύο ευθείες είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο, τότε είναι παράλληλες.
• Εάν ένα από τα τεμνόμενα επίπεδα περιέχει μια ευθεία παράλληλη προς ένα άλλο επίπεδο, τότε είναι παράλληλη με τη γραμμή τομής των επιπέδων.

Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xy:
ax + bx + c = 0, όπου a, b, c είναι σταθεροί αριθμοί, x και y οι συντεταγμένες του μεταβλητού σημείου M(x,y) της ευθείας.

Σημάδια παράλληλων ευθειών:

Σημάδι καθετότητας επιπέδων: αν ένα επίπεδο διέρχεται από μια ευθεία κάθετη σε άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα.

Θεώρημα σε κοινή κάθετο σε δύο λοξές ευθείες.Για οποιεσδήποτε δύο τεμνόμενες ευθείες, υπάρχει μόνο μία κοινή κάθετη.

Πολύεδρο- αυτό είναι ένα σώμα, το όριο του οποίου αποτελείται από κομμάτια επιπέδων (πολύγωνα). Αυτά τα πολύγωνα ονομάζονται όψεις, οι πλευρές τους ονομάζονται ακμές, οι κορυφές τους είναι οι κορυφές του πολυεδρικού. Τα τμήματα που συνδέουν δύο κορυφές και δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζονται διαγώνιοι του πολυέδρου. Ένα πολύεδρο είναι κυρτό αν όλες οι διαγώνιοι του βρίσκονται μέσα του.

Κύβος- τρισδιάστατη φιγούρα με έξι ίσες όψεις.

Όγκος και εμβαδόν επιφάνειας ενός κύβου:

Πρίσμα είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι δύο όψεις (οι βάσεις του πρίσματος) είναι ίσα πολύγωνα με αντίστοιχες παράλληλες πλευρές και οι υπόλοιπες όψεις είναι παραλληλόγραμμα.

Τα τμήματα που συνδέουν τις αντίστοιχες κορυφές ονομάζονται πλευρικές ακμές. Το ύψος ενός πρίσματος είναι κάθε κάθετο που πέφτει από οποιοδήποτε σημείο της βάσης στο επίπεδο της άλλης βάσης. Ανάλογα με το σχήμα του πολυγώνου που βρίσκεται στη βάση, το πρίσμα μπορεί να είναι, αντίστοιχα, τριγωνικό, τετράγωνο, πενταγωνικό, εξαγωνικό κ.λπ. Αν οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι κάθετες στο επίπεδο της βάσης, τότε ένα τέτοιο πρίσμα είναι ονομάζεται ευθεία γραμμή? αλλιώς είναι λοξό πρίσμα. Εάν ένα κανονικό πολύγωνο βρίσκεται στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται επίσης κανονικό. Η διαγώνιος ενός πρίσματος είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο κορυφές του πρίσματος που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος:
S πλευρά \u003d P * H, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης και H είναι το ύψος.

Παραλληλεπίπεδοείναι ένα πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι παραλληλόγραμμα. Έτσι, το παραλληλεπίπεδο έχει έξι όψεις, και όλες είναι παραλληλόγραμμα. Οι αντίθετες όψεις είναι κατά ζεύγη ίσες και παράλληλες. Το παραλληλεπίπεδο έχει τέσσερις διαγώνιους. όλα τέμνονται σε ένα σημείο και χωρίζονται στη μέση σε αυτό.

Αν οι τέσσερις πλευρικές όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια, τότε λέγεται ευθεία. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, στο οποίο και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια, ονομάζεται ορθογώνιο. Η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου d και οι ακμές του a, b, c σχετίζονται με τη σχέση d2 = a2 + b2 + c2. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τετράγωνες, ονομάζεται κύβος. Όλες οι άκρες ενός κύβου είναι ίσες.

Όγκος και επιφάνεια ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου:
V = a*b*c, S σύνολο = 2(ab + ac + bc).

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο στο οποίο η μία όψη (η βάση της πυραμίδας) είναι ένα αυθαίρετο πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις (πλευρικές όψεις) είναι τρίγωνα με μια κοινή κορυφή, που ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Η κάθετη που πέφτει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση της ονομάζεται ύψος της πυραμίδας. Ανάλογα με το σχήμα του πολυγώνου στη βάση, η πυραμίδα μπορεί να είναι, αντίστοιχα, τριγωνική, τετράγωνη, πενταγωνική, εξαγωνική κ.λπ. Μια τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο, μια τετράγωνη πυραμίδα είναι ένα πεντάεδρο κ.λπ. Μια πυραμίδα ονομάζεται κανονική αν η βάση είναι κανονικό πολύγωνο και το ύψος της πέφτει στο κέντρο της βάσης. Όλες οι πλευρικές ακμές μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσες. όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα. Το ύψος της πλευρικής όψης ονομάζεται απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας.

Αν σχεδιάσουμε ένα τμήμα παράλληλο στη βάση της πυραμίδας, τότε το σώμα που περικλείεται μεταξύ αυτών των επιπέδων και της πλευρικής επιφάνειας ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα. Οι παράλληλες όψεις ονομάζονται βάσεις. η απόσταση μεταξύ τους είναι το ύψος. Μια κολοβωμένη πυραμίδα ονομάζεται σωστή αν η πυραμίδα από την οποία προήλθε είναι σωστή. Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίσα ισοσκελές τραπεζοειδή.

Πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας:
, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης. h είναι το ύψος της πλευρικής όψης (το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας).

Ο όγκος της κολοβωμένης πυραμίδας:

Πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας:
,
όπου P και P' είναι οι περίμετροι των βάσεων. h είναι το ύψος της πλευρικής όψης (το απόθεμα μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας).

Μια κυλινδρική επιφάνεια σχηματίζεται μετακινώντας μια ευθεία γραμμή που διατηρεί την κατεύθυνσή της και τέμνεται με μια δεδομένη γραμμή (καμπύλη). Αυτή η γραμμή ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή. Οι ευθείες που αντιστοιχούν στις διαφορετικές θέσεις της ευθείας καθώς κινείται ονομάζονται γεννήτριες της κυλινδρικής επιφάνειας.

Κύλινδρος είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια κυλινδρική επιφάνεια με κλειστό οδηγό και δύο παράλληλα επίπεδα. Μέρη αυτών των επιπέδων ονομάζονται βάσεις του κυλίνδρου. Η απόσταση μεταξύ των βάσεων είναι το ύψος του κυλίνδρου. Ένας κύλινδρος είναι ευθύς εάν οι γεννήτριές του είναι κάθετες στη βάση. διαφορετικά ο κύλινδρος είναι κεκλιμένος. Ένας κύλινδρος ονομάζεται κυκλικός αν η βάση του είναι κύκλος. Εάν ένας κύλινδρος είναι και ευθύς και κυκλικός, τότε ονομάζεται στρογγυλός. Ένα πρίσμα είναι μια ειδική περίπτωση κυλίνδρου.

Όγκος, εμβαδόν των πλευρικών και πλήρων επιφανειών του κυλίνδρου:
,
όπου R είναι η ακτίνα των βάσεων. H είναι το ύψος του κυλίνδρου.

Κυλινδρικά τμήματα της πλευρικής επιφάνειας ενός κυκλικού κυλίνδρου.

Τα τμήματα παράλληλα με τη βάση είναι κύκλοι της ίδιας ακτίνας.

Τα τμήματα παράλληλα με τις γεννήτριες του κυλίνδρου είναι ζεύγη παράλληλων γραμμών.

Οι τομές που δεν είναι παράλληλες ούτε με τη βάση ούτε με τις γεννήτριες είναι ελλείψεις.

Μια κωνική επιφάνεια σχηματίζεται όταν μια ευθεία γραμμή κινείται, περνώντας όλη την ώρα από ένα σταθερό σημείο και τέμνοντας μια δεδομένη γραμμή, που ονομάζεται οδηγός. Οι γραμμές που αντιστοιχούν στις διάφορες θέσεις της γραμμής καθώς κινείται ονομάζονται γενεσιουργοί της κωνικής επιφάνειας. το σημείο είναι η κορυφή του. Η κωνική επιφάνεια αποτελείται από δύο μέρη: το ένα περιγράφεται από μια ακτίνα και το άλλο από τη συνέχειά της.

Συνήθως, ένα από τα μέρη του θεωρείται ως κωνική επιφάνεια.

Κώνος- αυτό είναι ένα σώμα που οριοθετείται από ένα από τα μέρη μιας κωνικής επιφάνειας με έναν κλειστό οδηγό και ένα επίπεδο που τέμνει την κωνική επιφάνεια που δεν διέρχεται από την κορυφή.

Το τμήμα αυτού του επιπέδου που βρίσκεται μέσα στην κωνική επιφάνεια ονομάζεται βάση του κώνου. Η κάθετη που πέφτει από την κορυφή στη βάση ονομάζεται ύψος του κώνου.

Η πυραμίδα είναι μια ειδική περίπτωση κώνου. Ένας κώνος ονομάζεται κυκλικός αν η βάση του είναι κύκλος. Η ευθεία γραμμή που συνδέει την κορυφή του κώνου με το κέντρο της βάσης ονομάζεται άξονας του κώνου. Αν το ύψος ενός κυκλικού κώνου συμπίπτει με τον άξονά του, τότε ένας τέτοιος κώνος ονομάζεται κυκλικός.

Όγκος, εμβαδόν των πλευρικών και πλήρων επιφανειών του κώνου:
,
όπου r είναι η ακτίνα. Sosn - περιοχή; P είναι η περιφέρεια της βάσης. L είναι το μήκος της γεννήτριας. H είναι το ύψος του κώνου.

Όγκος και εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός κόλουρου κώνου:

Κωνικές τομές.

Τα τμήματα ενός κυκλικού κώνου παράλληλα με τη βάση του είναι κύκλοι.

Ένα τμήμα που τέμνει μόνο ένα τμήμα ενός κυκλικού κώνου και δεν είναι παράλληλο με καμία από τις γεννήτριές του είναι έλλειψη.

Ένα τμήμα που τέμνει μόνο ένα μέρος ενός κυκλικού κώνου και είναι παράλληλο με μια από τις γεννήτριές του είναι παραβολή.

Ένα τμήμα που τέμνει και τα δύο μέρη ενός κυκλικού κώνου είναι γενικά μια υπερβολή που αποτελείται από δύο κλάδους. Συγκεκριμένα, εάν το τμήμα αυτό διέρχεται από τον άξονα του κώνου, τότε λαμβάνουμε ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών (που σχηματίζουν έναν κώνο).

σφαιρική επιφάνεια- αυτός είναι ο τόπος των σημείων στο χώρο, σε ίση απόσταση από ένα σημείο, που ονομάζεται κέντρο μιας σφαιρικής επιφάνειας.

Μπάλα (σφαίρα)είναι ένα σώμα που οριοθετείται από μια σφαιρική επιφάνεια. Μπορείτε να πάρετε μια μπάλα περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο (ή κύκλο) γύρω από τη διάμετρο. Όλα τα επίπεδα τμήματα μιας σφαίρας είναι κύκλοι. Ο μεγαλύτερος κύκλος βρίσκεται στο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας και ονομάζεται μεγάλος κύκλος. Η ακτίνα του είναι ίση με την ακτίνα της σφαίρας. Οποιοιδήποτε δύο μεγάλοι κύκλοι τέμνονται στη διάμετρο της μπάλας. Αυτή η διάμετρος είναι επίσης η διάμετρος των τεμνόμενων μεγάλων κύκλων. Μέσω δύο σημείων μιας σφαιρικής επιφάνειας που βρίσκονται στα άκρα της ίδιας διαμέτρου, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε έναν άπειρο αριθμό μεγάλων κύκλων.

Ο όγκος μιας σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περιγράφεται γύρω της και η επιφάνεια της σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερη από τη συνολική επιφάνεια του ίδιου κυλίνδρου.

Η εξίσωση μιας σφαίρας σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
Εδώ x, y, z είναι οι συντεταγμένες ενός μεταβλητού σημείου στη σφαίρα.
x0, y0, z0 - συντεταγμένες του κέντρου.
R είναι η ακτίνα της σφαίρας.

Όγκος σφαίρας και εμβαδόν σφαίρας:

Ο όγκος του σφαιρικού τμήματος και η περιοχή της τμηματικής επιφάνειας:
,
όπου h το ύψος του σφαιρικού τμήματος.

Όγκος και συνολική επιφάνεια του σφαιρικού τομέα:
,
όπου R είναι η ακτίνα της μπάλας. h είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος.

Όγκος και συνολική επιφάνεια του σφαιρικού στρώματος:
,
όπου h είναι το ύψος. Τα r1 και r2 είναι οι ακτίνες των βάσεων του σφαιρικού στρώματος.

Όγκος και εμβαδόν επιφάνειας ενός τόρου:
,
όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου. R είναι η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι τον άξονα περιστροφής.

Μέση καμπυλότητα της επιφάνειας S στο σημείο A0:

μέρη μπάλας. Μέρος της μπάλας (σφαίρας), αποκομμένο από αυτήν με οποιοδήποτε επίπεδο, ονομάζεται σφαιρικό (σφαιρικό) τμήμα. Ο κύκλος ονομάζεται βάση του σφαιρικού τμήματος. Το τμήμα της κάθετου που σύρεται από το κέντρο του κύκλου στη τομή με τη σφαιρική επιφάνεια ονομάζεται ύψος του σφαιρικού τμήματος. Το τμήμα της σφαίρας που περικλείεται ανάμεσα σε δύο παράλληλα επίπεδα που τέμνουν τη σφαιρική επιφάνεια ονομάζεται σφαιρικό στρώμα. η καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού στρώματος ονομάζεται σφαιρική ζώνη (ζώνη). Η απόσταση μεταξύ των βάσεων της σφαιρικής ζώνης είναι το ύψος της. Το τμήμα της μπάλας που οριοθετείται από την καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού τμήματος και την κωνική επιφάνεια, η βάση της οποίας είναι η βάση του τμήματος και η κορυφή είναι το κέντρο της μπάλας, ονομάζεται σφαιρικός τομέας.

Συμμετρία.

Συμμετρία καθρέφτη. Ένα γεωμετρικό σχήμα λέγεται συμμετρικό ως προς το επίπεδο S αν για κάθε σημείο Ε αυτού του σχήματος μπορεί να βρεθεί ένα σημείο Ε' του ίδιου σχήματος, έτσι ώστε το τμήμα EE' να είναι κάθετο στο επίπεδο S και να διαιρείται με αυτό το αεροπλάνο στο μισό. Το επίπεδο S ονομάζεται επίπεδο συμμετρίας. Συμμετρικές φιγούρες, αντικείμενα και σώματα δεν είναι ίσα μεταξύ τους με τη στενή έννοια της λέξης, ονομάζονται ίσα καθρέφτης.

κεντρική συμμετρία. Ένα γεωμετρικό σχήμα λέγεται συμμετρικό ως προς το κέντρο C, εάν για κάθε σημείο Α αυτού του σχήματος μπορεί να βρεθεί ένα σημείο Ε του ίδιου σχήματος, έτσι ώστε το τμήμα ΑΕ να διέρχεται από το κέντρο Γ και να διχοτομείται σε αυτό το σημείο. Το σημείο Γ σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται κέντρο συμμετρίας.

συμμετρία περιστροφής. Ένα σώμα έχει περιστροφική συμμετρία εάν, όταν περιστρέφεται κατά γωνία 360° / n (το n είναι ακέραιος αριθμός) γύρω από κάποια ευθεία γραμμή AB (άξονας συμμετρίας), συμπίπτει πλήρως με την αρχική του θέση. Για n=2 έχουμε αξονική συμμετρία.

Παραδείγματα τύπων συμμετρίας.Μια μπάλα (σφαίρα) έχει και κεντρική και κατοπτρική συμμετρία και περιστροφική συμμετρία. Το κέντρο συμμετρίας είναι το κέντρο της μπάλας. Το επίπεδο συμμετρίας είναι το επίπεδο οποιουδήποτε μεγάλου κύκλου. ο άξονας συμμετρίας είναι η διάμετρος της μπάλας.

Ο στρογγυλός κώνος είναι αξονικά συμμετρικός. ο άξονας συμμετρίας είναι ο άξονας του κώνου.

Ένα ευθύ πρίσμα έχει κατοπτρική συμμετρία. Το επίπεδο συμμετρίας είναι παράλληλο με τις βάσεις του και βρίσκεται στην ίδια απόσταση μεταξύ τους.

Συμμετρία επίπεδων μορφών.

Συμμετρία άξονα καθρέφτη. Εάν ένα επίπεδο σχήμα είναι συμμετρικό σε σχέση με ένα επίπεδο (κάτι που είναι δυνατό μόνο εάν το επίπεδο σχήμα είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο), τότε η ευθεία κατά την οποία τέμνονται αυτά τα επίπεδα είναι ο άξονας συμμετρίας της δεύτερης τάξης αυτού του σχήματος. Σε αυτή την περίπτωση, το σχήμα ονομάζεται κατοπτρικό συμμετρικό.

κεντρική συμμετρία. Αν ένα επίπεδο σχήμα έχει άξονα συμμετρίας δεύτερης τάξης, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος, τότε το σημείο στο οποίο τέμνονται η ευθεία και το επίπεδο του σχήματος είναι το κέντρο συμμετρίας.

Παραδείγματα συμμετρίας επίπεδων σχημάτων.

Το παραλληλόγραμμο έχει μόνο κεντρική συμμετρία. Το κέντρο συμμετρίας του είναι το σημείο τομής των διαγωνίων.
Ένα ισοσκελές τραπεζοειδές έχει μόνο αξονική συμμετρία. Ο άξονας συμμετρίας του είναι μια κάθετη που τραβιέται μέσα από τα μέσα των βάσεων του τραπεζοειδούς.

Ο ρόμβος έχει τόσο κεντρική όσο και αξονική συμμετρία. Ο άξονας συμμετρίας του είναι οποιαδήποτε από τις διαγώνιές του. το κέντρο συμμετρίας είναι το σημείο τομής τους.

Ο τόπος σημείων (εφεξής GMT) είναι ένα επίπεδο σχήμα που αποτελείται από σημεία με μια συγκεκριμένη ιδιότητα και δεν περιέχει ούτε ένα σημείο που δεν έχει αυτήν την ιδιότητα.

Θα εξετάσουμε μόνο εκείνα τα HMT που μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία.

Ας εξετάσουμε το HMT στο επίπεδο, το οποίο έχει τις απλούστερες και πιο συχνά εκφραζόμενες ιδιότητες:

1) Το HMT, σε απόσταση r από ένα δεδομένο σημείο O, είναι ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο O ακτίνας r.

2) GMT των σημείων Α και Β που ισαπέχουν από δύο δεδομένα σημεία είναι μια ευθεία κάθετη στο τμήμα ΑΒ και διέρχεται από τη μέση του.

3) GMT σε ίση απόσταση από δύο δεδομένες τεμνόμενες ευθείες, υπάρχει ένα ζεύγος αμοιβαία κάθετων γραμμών που διέρχονται από το σημείο τομής και διαιρούν τις γωνίες μεταξύ των δεδομένων γραμμών στη μέση.

4) GMT, που απέχουν στην ίδια απόσταση h από μια ευθεία γραμμή, υπάρχουν δύο ευθείες γραμμές παράλληλες σε αυτήν την ευθεία γραμμή και βρίσκονται στις απέναντι πλευρές της σε μια δεδομένη απόσταση h.

5) Ο τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται σε μια δεδομένη ευθεία m σε ένα δεδομένο σημείο M πάνω της είναι κάθετος στην ΑΒ στο σημείο Μ (εκτός από το σημείο Μ).

6) Ο τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται σε έναν δεδομένο κύκλο σε ένα δεδομένο σημείο M πάνω του είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο M και το κέντρο του δεδομένου κύκλου (εκτός από τα σημεία M και O).

7) Το HMT, του οποίου αυτό το τμήμα είναι ορατό σε μια δεδομένη γωνία, είναι δύο τόξα κύκλων που περιγράφονται σε ένα δεδομένο τμήμα και περικλείουν μια δεδομένη γωνία.

8) GMT, οι αποστάσεις από τις οποίες σε δύο δεδομένα σημεία Α και Β είναι σε αναλογία m: n, είναι ένας κύκλος (που ονομάζεται κύκλος του Απολλώνιου).

9) Ο τόπος των ενδιάμεσων σημείων των χορδών που σχεδιάζονται από ένα σημείο ενός κύκλου είναι ένας κύκλος χτισμένος σε ένα τμήμα που συνδέει ένα δεδομένο σημείο με το κέντρο ενός δεδομένου κύκλου, όπως σε μια διάμετρο.

10) Ο τόπος κορυφών τριγώνων ίσου σε μέγεθος με ένα δεδομένο και με κοινή βάση είναι δύο ευθείες παράλληλες στη βάση και που διέρχονται από την κορυφή του δεδομένου τριγώνου και συμμετρικές με αυτήν ως προς την ευθεία που περιέχει τη βάση.

Ας δώσουμε παραδείγματα εύρεσης GMT.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.Βρείτε το GMT, που είναι τα μεσαία σημεία των συγχορδιών,τραβηγμένο από ένα σημείο του δεδομένου κύκλου(GMT No. 9).

Απόφαση. Έστω ένας κύκλος με κέντρο το Ο και να επιλεγεί το σημείο Α σε αυτόν τον κύκλο από τον οποίο σχεδιάζονται οι χορδές. Ας δείξουμε ότι το επιθυμητό HMT είναι ένας κύκλος χτισμένος σε AO ως διάμετρος (εκτός από το σημείο Α) (Εικ. 3).

Έστω ΑΒ μια συγχορδία και Μ το μέσο της. Ας συνδέσουμε το Μ και το Ο. Τότε MO ^ AB (η ακτίνα που χωρίζει τη χορδή στη μέση είναι κάθετη σε αυτή τη χορδή). Αλλά, τότε RAMO = 90 0 . Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο με διάμετρο ΑΟ (GMT No. 7). Επειδή αυτός ο κύκλος διέρχεται από το σημείο Ο, τότε το Ο ανήκει στο GMT μας.

Αντίστροφα, ας ανήκει το M στο GMT μας. Στη συνέχεια, τραβώντας τη χορδή ΑΒ μέσω Μ και συνδέοντας τα Μ και Ο, παίρνουμε ότι РАМО = 90 0 , δηλ. MO ^ AB, και, επομένως, το M είναι το μέσο της συγχορδίας AB. Αν το Μ συμπίπτει με το Ο, τότε το Ο είναι το μέσο του AC.

Συχνά η μέθοδος συντεταγμένων σάς επιτρέπει να βρείτε το GMT.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.Βρείτε το GMT, η απόσταση από την οποία σε δύο δεδομένα σημεία Α και Β βρίσκονται στη δεδομένη αναλογία m: n (m ≠ n).

Απόφαση. Επιλέγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε τα σημεία Α και Β να βρίσκονται στον άξονα Ox συμμετρικά ως προς την αρχή των συντεταγμένων και ο άξονας Oy να διέρχεται από το μέσο του ΑΒ (Εικ. 4). Θέτουμε ΑΒ = 2α. Τότε το σημείο Α έχει συντεταγμένες Α (α, 0), το σημείο Β έχει συντεταγμένες Β (-α, 0). Έστω το C που ανήκει στο HMT μας, οι συντεταγμένες C(x, y) και CB/CA = m/n.Αλλά Που σημαίνει

(*)

Ας αλλάξουμε την εξίσωσή μας. Εχουμε

Τα σώματα διαφέρουν μεταξύ τους σε βάρος, χρώμα, πυκνότητα, σκληρότητα, χώρο που καταλαμβάνουν κ.λπ.

Αυτά τα σημάδια ονομάζονται ιδιότητες των σωμάτων.

Τα σώματα με αυτές τις ιδιότητες ονομάζονται φυσικά σώματα.

Μεταξύ αυτών των ιδιοτήτων, η ιδιότητα του σώματος που ονομάζεται μήκος.

Μήκοςυπάρχει την ιδιότητα ενός σώματος να καταλαμβάνει μια ορισμένη θέση στο χώρο.

Ονομάζεται γεωμετρική ιδιότητα του σώματος. Αυτή η ιδιότητα καθορίζει το σχήμα και το μέγεθος του σώματος.

Ένα σώμα που έχει μόνο μία ιδιότητα επέκτασης ονομάζεται γεωμετρικό σώμα. Λαμβάνοντας υπόψη ένα γεωμετρικό σώμα, δώστε προσοχή μόνο στο σχήμα και το μέγεθός του.

Οι υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος ονομάζονται φυσικές.

γεωμετρικό σώμαυπάρχει χώρος που καταλαμβάνει το φυσικό σώμα.

Το γεωμετρικό σώμα είναι περιορισμένο από όλες τις πλευρές. Χωρίζεται από τον υπόλοιπο χώρο από την επιφάνεια του σώματος. Για να το εκφράσουν αυτό, λένε ότι

Επιφάνειαυπάρχει όριο σώματος.

Η μία επιφάνεια χωρίζεται από την άλλη με μια γραμμή. Η γραμμή ορίζει την επιφάνεια, επομένως η γραμμή ονομάζεται όριο της επιφάνειας.

Γραμμήυπάρχει όριο επιφάνειας.

Το τέλος μιας γραμμής ονομάζεται τελεία. Ένα σημείο οριοθετεί και διαχωρίζει μια ευθεία από την άλλη, γι' αυτό ένα σημείο ονομάζεται όριο ευθείας.

Τελείαυπάρχει όριο γραμμής.

Το σχήμα 1 δείχνει ένα σώμα με τη μορφή κουτιού κλειστού από όλες τις πλευρές. Οριοθετείται από έξι πλευρές που σχηματίζουν την επιφάνεια του κουτιού. Κάθε πλευρά του κουτιού μπορεί να θεωρηθεί ως ξεχωριστή επιφάνεια. Αυτές οι πλευρές χωρίζονται μεταξύ τους με 12 γραμμές που σχηματίζουν τις άκρες του κουτιού. Οι γραμμές χωρίζονται μεταξύ τους με 8 σημεία που αποτελούν τις γωνίες του κουτιού.

Τα σώματα, οι επιφάνειες και οι γραμμές δεν έχουν το ίδιο μέγεθος. Αυτό σημαίνει ότι καταλαμβάνουν έναν άνισο χώρο, ή μια άνιση έκταση.

όγκος σώματος. Η τιμή ενός γεωμετρικού σώματος ονομάζεται όγκος ή χωρητικότητα του σώματος.

επιφάνεια. Το εμβαδόν της επιφάνειας ονομάζεται εμβαδόν.

Μήκος γραμμής. Το μήκος της γραμμής ονομάζεται μήκος.

Το μήκος, το εμβαδόν και ο όγκος είναι ετερογενή μεγέθη. Μετρώνται σε διαφορετικές μονάδες και χρησιμοποιούνται για διαφορετικούς σκοπούς. Για να βρείτε την απόσταση δύο αντικειμένων, το πλάτος του βραχίονα, το βάθος του πηγαδιού, το ύψος του πύργου, καθορίστε το μήκος της γραμμής. Για αυτό, γίνεται μόνο μία μέτρηση, δηλαδή γίνεται μέτρηση προς μία κατεύθυνση. Κατά τη μέτρηση, καταφύγετε σε μονάδες μήκους. Αυτές οι μονάδες μήκους ονομάζονται versts, sazhens, arshins, πόδια, μέτρα κλπ. Η μονάδα μήκους έχει μία διάσταση, γι' αυτό λένε ότι

Οι γραμμές έχουν μία διάσταση. Οι γραμμές δεν έχουν ούτε πλάτος ούτε πάχος. Έχουν το ίδιο μήκος.

Για να έχετε μια ιδέα για το μέγεθος της εικόνας, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος και το πλάτος της. Το μήκος και το πλάτος δίνουν μια ιδέα για την περιοχή της εικόνας. Για να προσδιοριστεί η περιοχή, έγινε απαραίτητο να γίνουν δύο μετρήσεις ή να μετρηθεί η εικόνα σε δύο κατευθύνσεις. Για τον προσδιορισμό του μεγέθους της περιοχής, χρησιμοποιούνται μονάδες επιφάνειας. Ως μονάδα εμβαδού λαμβάνεται ένα τετράγωνο, οι πλευρές του οποίου έχουν μια ορισμένη μονάδα μήκους. Οι μονάδες εμβαδού ονομάζονται τετραγωνικά μίλια, τετράγωνα βερστ, τετραγωνικά πόδια κ.ο.κ. Ένα τετράγωνο βερστ είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου η κάθε πλευρά είναι ίση με έναν στύλο και ούτω καθεξής. Μια μονάδα εμβαδού έχει δύο διαστάσεις: μήκος και πλάτος. Εφόσον οι επιφάνειες μετρώνται σε μονάδες εμβαδού, με αυτή την έννοια λένε ότι

Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις. Οι επιφάνειες δεν έχουν πάχος. Μπορούν να έχουν μόνο μήκος και πλάτος.

Για να έχετε μια ιδέα για τη χωρητικότητα ενός δωματίου ή κουτιού, πρέπει να γνωρίζετε τους όγκους τους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος του δωματίου, δηλαδή να κάνετε τρεις μετρήσεις ή να το μετρήσετε σε τρεις κατευθύνσεις. Οι όγκοι μετρώνται σε μονάδες όγκου. Ως μονάδα όγκου λαμβάνεται ένας κύβος, κάθε πλευρά του οποίου είναι ίση με μία. Οι μονάδες όγκου έχουν τρεις διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος. Εφόσον οι όγκοι μετρώνται σε μονάδες όγκων, λέμε ότι

Τα σώματα έχουν τρεις διαστάσεις.

Οι μονάδες όγκου ονομάζονται κυβικά versts, κυβικά πόδια κλπ. Ανάλογα με το μήκος της πλευράς του κύβου.

Ένα σημείο δεν έχει μήκος, δεν έχει πλάτος, δεν έχει ύψος ή ένα σημείο δεν έχει διάσταση.

γεωμετρικές προεκτάσεις. Οι γραμμές, οι επιφάνειες και τα στερεά ονομάζονται γεωμετρικές προεκτάσεις.

Γεωμετρία είναι η επιστήμη των ιδιοτήτων και της μέτρησης των γεωμετρικών προεκτάσεων.

Η γεωμετρία είναι η επιστήμη του χώρου. Καθορίζει ένα σύνολο απαραίτητων σχέσεων που σχετίζονται με τη φύση του χώρου.

Σχηματισμός γεωμετρικών εκτάσεων με κίνηση

Μια γραμμή μπορεί να θεωρηθεί με τον ίδιο τρόπο όπως ένα ίχνος που αφήνεται από την κίνηση ενός σημείου, μια επιφάνεια ως ίχνος που αφήνεται από την κίνηση μιας γραμμής και ένα σώμα ως ίχνος που αφήνεται από την κίνηση μιας επιφάνειας. Άλλοι ορισμοί της γραμμής, της επιφάνειας και του στερεού βασίζονται σε αυτές τις εκτιμήσεις.

Γραμμή είναι ο τόπος του κινούμενου σημείου.

Επιφάνεια είναι ο τόπος της κινούμενης γραμμής.

Σώμα είναι ο τόπος της κινούμενης επιφάνειας.

Όλα τα αντικείμενα που θεωρούνται στη φύση έχουν τρεις διαστάσεις. Δεν υπάρχουν σημεία, γραμμές, επιφάνειες σε αυτό, αλλά υπάρχουν μόνο σώματα. Ωστόσο, στη γεωμετρία, τα σημεία, οι γραμμές και οι επιφάνειες θεωρούνται χωριστά από τα σώματα. Ταυτόχρονα, ένα πολύ λεπτό κέλυφος του σώματος μας δίνει κάποια κατά προσέγγιση οπτική αναπαράσταση της επιφάνειας, μια πολύ λεπτή κλωστή ή τρίχα μας δίνει μια οπτική αναπαράσταση της γραμμής και το άκρο του νήματος γύρω από το σημείο.

γραμμές

Οι γραμμές χωρίζονται σε ευθείες γραμμές, διακεκομμένες γραμμές και καμπύλες.

είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Ένα σφιχτά τεντωμένο λεπτό νήμα δίνει κάποια οπτική αναπαράσταση μιας ευθείας γραμμής.

Οποιαδήποτε γραμμή συμβολίζεται με γράμματα που τοποθετούνται στα σημεία της. Το σχέδιο 2 δείχνει μια ευθεία γραμμή ΑΒ. Σε κάθε ευθεία γραμμή, τραβάει την προσοχή κατεύθυνσηκαι αξία.

Η κατεύθυνση μιας ευθείας γραμμής καθορίζεται από τη θέση της.

υπάρχει μια διαδοχική και συνεχής σύνδεση πολλών ευθειών που έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις.

Η διακεκομμένη γραμμή ABCD (εικ. 3) αποτελείται από ευθείες γραμμές AB, BC, CD, οι οποίες δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση.

υπάρχει ένα που δεν μπορεί να αποτελείται από ευθείες γραμμές.

Η γραμμή που φαίνεται στο Σχ. 4, θα είναι μια καμπύλη γραμμή.

Μια γραμμή που αποτελείται από ευθείες γραμμές και καμπύλες ονομάζεται μερικές φορές σύνθετη γραμμή.

Το σχέδιο (4, α) αντιπροσωπεύει μια τέτοια σύνθετη γραμμή.

επιφάνειες

Οι επιφάνειες χωρίζονται σε ίσιες ή επίπεδες και καμπύλες. Μια επίπεδη επιφάνεια ονομάζεται επίπεδο.

Επίπεδο. Μια επιφάνεια ονομάζεται επίπεδο όταν κάθε ευθεία γραμμή που διασχίζεται από κάθε δύο σημεία της επιφάνειας βρίσκεται πάνω της με όλα τα σημεία της.

Καμπύλη επιφάνεια υπάρχει ένα που δεν μπορεί να αποτελείται από επίπεδα.

Μια ευθεία γραμμή που χαράσσεται μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων μιας καμπύλης επιφάνειας δεν ταιριάζει σε αυτήν με όλα τα ενδιάμεσα σημεία της.

Κάποια οπτική αναπαράσταση του επιπέδου δίνεται από την επιφάνεια ενός καλά γυαλισμένου καθρέφτη ή την επιφάνεια του λιμνάζοντος νερού. Ένα παράδειγμα κυρτών επιφανειών είναι η επιφάνεια μιας μπάλας του μπιλιάρδου.

Τομές γεωμετρίας

Η γεωμετρία χωρίζεται σε επιπεδομετρία και συμπαγή γεωμετρία.

Πλανομετρία μελετά την ιδιότητα των γεωμετρικών προεκτάσεων που εξετάζονται στο επίπεδο.

Στερεομετρία μελετά τις ιδιότητες τέτοιων γεωμετρικών επεκτάσεων που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν σε ένα επίπεδο.

Η επιπεδομετρία ονομάζεται γεωμετρία σε επίπεδο, στερεομετρία - γεωμετρία στο χώρο.

Η γεωμετρία χωρίζεται περαιτέρω σε πρωτογενή και ανώτερη.Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μόνο η αρχική γεωμετρία.

Διαφορετικές μορφές έκφρασης γεωμετρικών αληθειών

Οι γεωμετρικές αλήθειες εκφράζονται με τη μορφή αξιωμάτων, θεωρημάτων, λημμάτων και προβλημάτων ή εργασιών.

Αξίωμα υπάρχει αλήθεια, αλλά τα στοιχεία της δεν απαιτούν απόδειξη.

Παραδείγματα αληθειών που δεν απαιτούν απόδειξη είναι τα ακόλουθα αξιώματα:

Το σύνολο ισούται με το άθροισμα των μερών του.

Το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος του. Τα μέρη είναι μικρότερα από το σύνολο.

Δύο ποσότητες ίσες με το ίδιο τρίτο είναι ίσες μεταξύ τους.

Προσθέτοντας ή αφαιρώντας ίσα από ίσες ποσότητες, παίρνουμε ίσες ποσότητες.

Προσθέτοντας ή αφαιρώντας από ίσες τιμές όχι εξίσου, παίρνουμε άνισες τιμές.

Προσθέτοντας ή αφαιρώντας ίσα από άνισες τιμές, παίρνουμε άνισες τιμές.

Το άθροισμα των μεγαλύτερων είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των μικρότερων.

Μια ομοιογενής ποσότητα, που δεν είναι ούτε περισσότερη ούτε μικρότερη από μια άλλη, ισούται με αυτήν κ.λπ.

Θεώρημα. Ένα θεώρημα ή υπόθεση είναι μια αλήθεια που απαιτεί απόδειξη..

Απόδειξη είναι ένα σύνολο επιχειρημάτων που κάνουν το θεώρημα προφανές.

Το θεώρημα αποδεικνύεται με τη βοήθεια αξιωμάτων.

Η σύνθεση του θεωρήματος. Κάθε θεώρημα αποτελείται από μια συνθήκη και ένα συμπέρασμα.

Η κατάσταση μερικές φορές ονομάζεται εικασία, υπόθεση, και το συμπέρασμα μερικές φορές ονομάζεται συνέπεια. Η συνθήκη δίνεται και επομένως μερικές φορές παίρνει το όνομα δεδομένος.

Ένα θεώρημα ονομάζεται αντίστροφο εάν το συμπέρασμα γίνεται συνθήκη και η συνθήκη ή η υπόθεση γίνεται συμπέρασμα. Στην περίπτωση αυτή, αυτό το θεώρημα ονομάζεται άμεσο. Δεν έχει κάθε θεώρημα το αντίστροφό του.

Πρόβλημα ή πρόκληση υπάρχει μια ερώτηση που μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια θεωρημάτων.

Λήμμα είναι μια βοηθητική αλήθεια που διευκολύνει την απόδειξη του θεωρήματος.