Θετικοί οριστικοί τετραγωνικοί τύποι

Ορισμός. Τετραγωνική μορφή από nάγνωστος λέγεται θετική οριστική, αν η κατάταξή του είναι ίση με τον θετικό δείκτη αδράνειας και είναι ίση με τον αριθμό των αγνώστων.

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο μεταβλητών τιμών.

Απόδειξη.Έστω η τετραγωνική μορφή ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των αγνώστων

επέστρεψε στο φυσιολογικό

.

Για οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών, τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς διαφορετικό από το μηδέν, δηλ. . Η αναγκαιότητα του θεωρήματος αποδεικνύεται.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο μεταβλητών, αλλά ο δείκτης αδράνειάς της είναι θετικός. Με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό των αγνώστων

Ας το επαναφέρουμε στο κανονικό. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε αυτήν την κανονική μορφή το τετράγωνο της τελευταίας μεταβλητής είτε απουσιάζει είτε εισάγεται σε αυτήν με πρόσημο μείον, δηλ. , πού ή . Ας υποθέσουμε ότι είναι ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών, που προκύπτει ως αποτέλεσμα της επίλυσης του συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Σε αυτό το σύστημα, ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών και η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική. Σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και είναι μη μηδενική. Για αυτό το σετ. Αντίφαση με την προϋπόθεση. Φτάνουμε σε αντίφαση με την υπόθεση, η οποία αποδεικνύει την επάρκεια του θεωρήματος.

Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί από τους συντελεστές εάν μια τετραγωνική μορφή είναι θετική-οριστική. Την απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνει ένα άλλο θεώρημα, για τη διατύπωση του οποίου εισάγουμε μια ακόμη έννοια. Κύρια ανήλικα διαγώνια μήτραείναι τα ανήλικα που βρίσκονται στην επάνω αριστερή γωνία του:

, , , … , .

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο εάν όλες οι κύριες δευτερεύουσες διαγώνιες της είναι θετικές.

Απόδειξηθα πραγματοποιήσουμε με τη μέθοδο της πλήρους μαθηματικής επαγωγής στον αριθμό nμεταβλητές τετραγωνικής μορφής φά.

Υπόθεση επαγωγής.Ας υποθέσουμε ότι για τετραγωνικές μορφές με λιγότερες μεταβλητές nη δήλωση είναι σωστή.

Εξετάστε την τετραγωνική μορφή από nμεταβλητές. Συλλέξτε σε μία παρένθεση όλους τους όρους που περιέχουν . Οι υπόλοιποι όροι σχηματίζουν μια τετραγωνική μορφή σε μεταβλητές. Με την υπόθεση της επαγωγής, η δήλωση είναι αληθής γι' αυτήν.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Τότε και η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Αν υποθέσουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει, τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών , για το οποίο και αντίστοιχα, , πράγμα που έρχεται σε αντίθεση με το ότι ο τετραγωνικός τύπος είναι θετική οριστική. Με την υπόθεση της επαγωγής, όλα τα κύρια διαγώνια δευτερεύοντα δευτεροβάθμιας μορφής είναι θετικά, δηλ. όλοι οι πρώτοι κύριοι ανήλικοι τετραγωνικής μορφής φάείναι θετικές. Τελευταίο δευτερεύον δευτεροβάθμιο έντυπο – είναι η ορίζουσα του πίνακα του. Αυτή η ορίζουσα είναι θετική, αφού το πρόσημο της συμπίπτει με το πρόσημο της μήτρας της κανονικής της μορφής, δηλ. με το πρόσημο της προσδιοριστικής μήτρας ταυτότητας.

Έστω όλες οι κύριες διαγώνιες δευτερεύουσες δευτερεύουσες της τετραγωνικής μορφής θετικές.Τότε όλες οι κύριες διαγώνιες δευτερεύουσες δευτερεύουσες της τετραγωνικής μορφής είναι θετικές από την ισότητα . Σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική, επομένως υπάρχει ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των μεταβλητών που ανάγει τη μορφή στη μορφή του αθροίσματος των τετραγώνων των νέων μεταβλητών. Αυτός ο γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να επεκταθεί σε έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό όλων των μεταβλητών ορίζοντας . Η τετραγωνική μορφή ανάγεται από αυτόν τον μετασχηματισμό στη μορφή

Τετράγωνα σχήματα.
Σημασία των μορφών. Το κριτήριο του Sylvester

Το επίθετο "τετράγωνο" υποδηλώνει αμέσως ότι κάτι εδώ συνδέεται με ένα τετράγωνο (δεύτερου βαθμού), και πολύ σύντομα θα μάθουμε αυτό το "κάτι" και τι είναι μια μορφή. Βγήκε αμέσως :)

Καλώς ήρθατε στο νέο μου μάθημα, και ως άμεση προθέρμανση, θα δούμε το ριγέ σχήμα γραμμικός. Γραμμική μορφή μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςΠολυώνυμο 1ου βαθμού:

- κάποιοι συγκεκριμένοι αριθμοί * (υποθέτουμε ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το μηδέν), και είναι μεταβλητές που μπορούν να λάβουν αυθαίρετες τιμές.

* Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε μόνο πραγματικούς αριθμούς .

Έχουμε ήδη συναντήσει τον όρο «ομογενής» στο μάθημα για ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων, και σε αυτή την περίπτωση υπονοεί ότι το πολυώνυμο δεν έχει προστιθέμενη σταθερά.

Για παράδειγμα: – γραμμική μορφή δύο μεταβλητών

Τώρα το σχήμα είναι τετραγωνικό. τετραγωνική μορφή μεταβλητέςπου ονομάζεται ομοιογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού, κάθε όρος του οποίουπεριέχει είτε το τετράγωνο της μεταβλητής είτε διπλόγινόμενο μεταβλητών. Έτσι, για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή δύο μεταβλητών έχει την εξής μορφή:

Προσοχή!Αυτή είναι μια τυπική καταχώριση και δεν χρειάζεται να αλλάξετε τίποτα σε αυτήν! Παρά την "τρομερή" εμφάνιση, όλα είναι απλά εδώ - διπλοί δείκτης σταθερών σηματοδοτούν ποιες μεταβλητές περιλαμβάνονται σε έναν ή τον άλλο όρο:
– αυτός ο όρος περιέχει το προϊόν και (τετράγωνο)·
- εδώ είναι η δουλειά.
- και εδώ είναι το έργο.

- Προβλέπω αμέσως ένα χονδροειδές λάθος όταν χάνουν το «μείον» του συντελεστή, μη συνειδητοποιώντας ότι αναφέρεται στον όρο:

Μερικές φορές υπάρχει μια "σχολική" εκδοχή του σχεδίου στο πνεύμα, αλλά μόνο μερικές φορές. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι οι σταθερές εδώ δεν μας λένε απολύτως τίποτα και επομένως είναι πιο δύσκολο να θυμηθούμε την "εύκολη σημειογραφία". Ειδικά όταν υπάρχουν περισσότερες μεταβλητές.

Και η τετραγωνική μορφή τριών μεταβλητών περιέχει ήδη έξι όρους:

... γιατί μπαίνουν «δύο» πολλαπλασιαστές στους «μεικτούς» όρους; Αυτό είναι βολικό και σύντομα θα γίνει σαφές γιατί.

Ωστόσο, θα γράψουμε τον γενικό τύπο, είναι βολικό να το κανονίσουμε με ένα "φύλλο":

- μελετήστε προσεκτικά κάθε γραμμή - δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό!

Η τετραγωνική μορφή περιέχει όρους με τετραγωνισμένες μεταβλητές και όρους με τα γινόμενα ζεύγους τους (εκ. συνδυαστικός τύπος συνδυασμών) . Τίποτα άλλο - όχι "μοναχικό x" και καμία προστιθέμενη σταθερά (τότε δεν λαμβάνετε μια τετραγωνική μορφή, αλλά ετερογενήςπολυώνυμο 2ου βαθμού).

Σημείωση μήτρας τετραγωνικής μορφής

Ανάλογα με τις τιμές, η εξεταζόμενη μορφή μπορεί να λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές και το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε γραμμική μορφή - εάν τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές της είναι μη μηδενικός, τότε μπορεί να αποδειχθεί θετικός ή αρνητικός (ανάλογα στις αξίες).

Αυτή η μορφή ονομάζεται εναλλασσόμενος. Και αν όλα είναι διαφανή με τη γραμμική μορφή, τότε τα πράγματα είναι πολύ πιο ενδιαφέροντα με την τετραγωνική μορφή:

Είναι ξεκάθαρο ότι αυτή η μορφή μπορεί να πάρει τις τιμές οποιουδήποτε σημείου, επομένως, η τετραγωνική μορφή μπορεί επίσης να είναι εναλλασσόμενη.

Μπορεί να μην είναι:

– πάντα, εκτός αν και τα δύο είναι ίσα με μηδέν.

- Για οποιονδηποτε διάνυσμαεκτός από το μηδέν.

Και γενικά μιλώντας,αν για κανένα μη μηδενικόδιάνυσμα , , τότε ονομάζεται η τετραγωνική μορφή θετική οριστική; αν τότε αρνητική οριστική.

Και όλα θα ήταν καλά, αλλά η βεβαιότητα της τετραγωνικής μορφής είναι ορατή μόνο σε απλά παραδείγματα, και αυτή η ορατότητα έχει ήδη χαθεί με μια μικρή περιπλοκή:
– ?

Θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι η μορφή ορίζεται θετικά, αλλά είναι πράγματι έτσι; Ξαφνικά υπάρχουν τιμές στις οποίες είναι μικρότερη από το μηδέν;

Για αυτόν τον λογαριασμό, εκεί θεώρημα: πέφτω ιδιοτιμέςΟι πίνακες τετραγωνικής μορφής είναι θετικοί * , τότε ορίζεται θετικά. Αν όλα είναι αρνητικά, τότε είναι αρνητικά.

* Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι όλες οι ιδιοτιμές ενός πραγματικού συμμετρικού πίνακα έγκυρος

Ας γράψουμε τον πίνακα της παραπάνω φόρμας:
και από την εξίσωση ας τη βρούμε ιδιοτιμές:

Λύνουμε το παλιό καλό τετραγωνική εξίσωση:

, άρα η μορφή ορίζεται θετικά, δηλ. για οποιεσδήποτε μη μηδενικές τιμές, είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.

Η εξεταζόμενη μέθοδος φαίνεται να λειτουργεί, αλλά υπάρχει ένα μεγάλο ΑΛΛΑ. Ήδη για τον πίνακα "τρία επί τρία", η αναζήτηση ιδιοτιμών είναι μια μακρά και δυσάρεστη εργασία. με μεγάλη πιθανότητα παίρνετε πολυώνυμο 3ου βαθμού με παράλογες ρίζες.

Πώς να είσαι; Υπάρχει πιο εύκολος τρόπος!

Το κριτήριο του Sylvester

Όχι, όχι Sylvester Stallone :) Αρχικά, να σας θυμίσω τι γωνιακά ανήλικαμήτρες. Αυτό είναι καθοριστικές που «φυτρώνουν» από την επάνω αριστερή γωνία του:

και η τελευταία είναι ακριβώς ίση με την ορίζουσα του πίνακα.

Τώρα, στην πραγματικότητα, κριτήριο:

1) Ορίζεται τετραγωνική μορφή θετικώςαν και μόνο αν ΟΛΕΣ οι γωνιακές ελάσσονες του είναι μεγαλύτερες από το μηδέν: .

2) Ορίζεται τετραγωνική μορφή αρνητικόςαν και μόνο αν τα γωνιακά ελάσσονα του εναλλάσσονται στο πρόσημο, ενώ η 1η ελάσσονα είναι μικρότερη από το μηδέν: , , αν είναι άρτιο ή , αν είναι περιττό.

Εάν τουλάχιστον ένα γωνιακό ελάσσονα έχει το αντίθετο πρόσημο, τότε η μορφή εναλλασσόμενη πινακίδα. Εάν τα γωνιακά δευτερεύοντα είναι του πρόσημου «εκείνου», αλλά υπάρχουν μηδενικά μεταξύ τους, τότε αυτή είναι μια ειδική περίπτωση, την οποία θα αναλύσω λίγο αργότερα, αφού έχουμε εξετάσει τα πιο κοινά παραδείγματα.

Ας αναλύσουμε τα γωνιακά ελάσσονα του πίνακα :

Και αυτό μας λέει αμέσως ότι η μορφή δεν καθορίζεται αρνητικά.

συμπέρασμα: όλες οι δευτερεύουσες γωνίες είναι μεγαλύτερες από το μηδέν, άρα το σχήμα ορίζεται θετικά.

Υπάρχει διαφορά με τη μέθοδο ιδιοτιμής; ;)

Γράφουμε τον πίνακα σχήματος από Παράδειγμα 1:

το πρώτο του γωνιακό μικρό, και το δεύτερο , από όπου προκύπτει ότι η μορφή είναι εναλλασσόμενη, δηλ. ανάλογα με τις τιμές του , μπορεί να πάρει και θετικές και αρνητικές τιμές. Ωστόσο, αυτό είναι τόσο προφανές.

Πάρτε τη φόρμα και τον πίνακα της από Παράδειγμα 2:

εδώ καθόλου χωρίς διορατικότητα να μην καταλάβω. Αλλά με το κριτήριο Sylvester, δεν μας ενδιαφέρει:
, επομένως η φόρμα σίγουρα δεν είναι αρνητική.

, και σίγουρα όχι θετικό. (επειδή όλα τα δευτερεύοντα γωνία πρέπει να είναι θετικά).

συμπέρασμα: το σχήμα εναλλάσσεται.

Παραδείγματα προθέρμανσης για αυτολύση:

Παράδειγμα 4

Διερεύνηση τετραγωνικών μορφών για προσδιορισμό προσήμου

ένα)

Σε αυτά τα παραδείγματα, όλα είναι ομαλά (δείτε το τέλος του μαθήματος), αλλά στην πραγματικότητα, για να ολοκληρώσετε μια τέτοια εργασία Το κριτήριο του Sylvester μπορεί να μην είναι αρκετό.

Το θέμα είναι ότι υπάρχουν «οριακές» περιπτώσεις, δηλαδή: εάν υπάρχουν μη μηδενικόδιάνυσμα , τότε ορίζεται το σχήμα μη αρνητικό, αν τότε μη θετικό. Αυτές οι μορφές έχουν μη μηδενικόδιανύσματα για τα οποία .

Εδώ μπορείτε να φέρετε ένα τέτοιο "κουμπί ακορντεόν":

Επισήμανση πλήρες τετράγωνο, βλέπουμε αμέσως μη αρνητικότηταμορφή: , επιπλέον, ισούται με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα με ίσες συντεταγμένες, για παράδειγμα: .

Παράδειγμα "Mirror". μη θετικόορισμένη μορφή:

και ένα ακόμη πιο ασήμαντο παράδειγμα:
– εδώ η μορφή είναι ίση με μηδέν για οποιοδήποτε διάνυσμα , όπου είναι ένας αυθαίρετος αριθμός.

Πώς να αποκαλύψει τη μη αρνητικότητα ή τη μη θετικότητα μιας φόρμας;

Για αυτό χρειαζόμαστε την ιδέα μεγάλα ανήλικα μήτρες. Το κύριο δευτερεύον είναι ένα δευτερεύον που αποτελείται από στοιχεία που βρίσκονται στη διασταύρωση γραμμών και στηλών με τους ίδιους αριθμούς. Άρα, ο πίνακας έχει δύο κύρια δευτερεύοντα της 1ης τάξης:
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 1ης σειράς και της 1ης στήλης).
(το στοιχείο βρίσκεται στη διασταύρωση της 2ης σειράς και της 2ης στήλης),

και ένα μεγάλο δευτερεύον 2ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.

Matrix "τρία επί τρία" Υπάρχουν επτά κύριοι ανήλικοι, και εδώ πρέπει ήδη να κουνήσετε τους δικέφαλους:
- τρία ανήλικα 1ης τάξης,
τρεις ανήλικοι 2ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης σειράς και 1ης, 2ης στήλης.
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 3ης σειράς και 1ης, 3ης στήλης.
- αποτελείται από στοιχεία της 2ης, 3ης σειράς και 2ης, 3ης στήλης,
και ένα μικρό 3ης τάξης:
- αποτελείται από στοιχεία της 1ης, 2ης, 3ης σειράς και 1ης, 2ης και 3ης στήλης.
Ασκησηγια κατανόηση: καταγράψτε όλα τα κύρια δευτερεύοντα στοιχεία του πίνακα .
Ελέγχουμε στο τέλος του μαθήματος και συνεχίζουμε.

Κριτήριο Schwarzenegger:

1) Ορίζεται μη μηδενική* τετραγωνική μορφή μη αρνητικόεάν και μόνο εάν ΟΛΟΙ οι κύριοι ανήλικοι του μη αρνητικό(μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν).

* Η μηδενική (εκφυλισμένη) τετραγωνική μορφή έχει όλους τους συντελεστές ίσους με μηδέν.

2) Μη μηδενική τετραγωνική μορφή με καθορισμένο πίνακα μη θετικόεάν και μόνο εάν είναι:
– κύριοι ανήλικοι 1ης τάξης μη θετικό(μικρότερο ή ίσο με μηδέν).
είναι κύριοι ανήλικοι 2ης τάξης μη αρνητικό;
– κύριοι ανήλικοι 3ης τάξης μη θετικό(η εναλλαγή έχει αρχίσει)
…
– μείζον ελάσσονος της τάξεως μη θετικό, αν είναι περίεργο ή μη αρνητικό, αν είναι άρτιος.

Εάν τουλάχιστον ένα μικρό είναι αντίθετου πρόσημου, τότε η φόρμα είναι εναλλασσόμενη.

Ας δούμε πώς λειτουργεί το κριτήριο στα παραπάνω παραδείγματα:

Ας φτιάξουμε μια μήτρα σχήματος και πρωτίστωςας υπολογίσουμε τα γωνιακά ελάσσονα - τι γίνεται αν ορίζεται θετικά ή αρνητικά;

Οι λαμβανόμενες τιμές δεν ικανοποιούν το κριτήριο Sylvester, ωστόσο, το δεύτερο δευτερεύον όχι αρνητικό, και αυτό καθιστά απαραίτητο τον έλεγχο του 2ου κριτηρίου (στην περίπτωση του 2ου κριτηρίου δεν θα εκπληρωθεί αυτόματα, δηλαδή βγαίνει αμέσως συμπέρασμα για την εναλλαγή προσήμων του εντύπου).

Κύριοι ανήλικοι της 1ης τάξης:
- είναι θετικά
2η τάξη μείζονα:
- όχι αρνητικό.

Έτσι, ΟΛΕΣ οι κύριες δευτερεύουσες είναι μη αρνητικές, άρα η μορφή μη αρνητικό.

Ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας , για το οποίο προφανώς δεν ικανοποιείται το κριτήριο Sylvester. Δεν λάβαμε όμως και αντίθετα σημάδια (γιατί και τα δύο γωνιακά ελάσσονα είναι ίσα με μηδέν). Επομένως, ελέγχουμε την εκπλήρωση του κριτηρίου της μη αρνητικότητας / μη θετικότητας. Κύριοι ανήλικοι της 1ης τάξης:
- όχι θετικό
2η τάξη μείζονα:
- όχι αρνητικό.

Έτσι, σύμφωνα με το κριτήριο Schwarzenegger (σημείο 2), η μορφή προσδιορίζεται μη θετικά.

Τώρα, πλήρως οπλισμένοι, θα αναλύσουμε ένα πιο διασκεδαστικό πρόβλημα:

Παράδειγμα 5

Εξετάστε την τετραγωνική μορφή για προσδιορισμό προσήμου

Αυτή η φόρμα είναι διακοσμημένη με την τάξη "άλφα", η οποία μπορεί να είναι ίση με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Αλλά θα είναι μόνο πιο διασκεδαστικό αποφασίζω.

Αρχικά, ας γράψουμε τον πίνακα φόρμας, πιθανότατα, πολλοί έχουν ήδη προσαρμοστεί για να το κάνουν προφορικά: on κύρια διαγώνιοβάζουμε τους συντελεστές στα τετράγωνα και στα συμμετρικά σημεία - τους μισούς συντελεστές των αντίστοιχων «μικτών» προϊόντων:

Ας υπολογίσουμε τα γωνιακά δευτερεύοντα:

Θα επεκτείνω την τρίτη ορίζουσα κατά μήκος της 3ης γραμμής:

Μια τετραγωνική μορφή είναι ένα ομοιογενές πολυώνυμο 2ου βαθμού σε πολλές μεταβλητές.

Η τετραγωνική μορφή στις μεταβλητές αποτελείται από όρους δύο τύπων: τα τετράγωνα των μεταβλητών και τα ζεύγη γινόμενα τους με ορισμένους συντελεστές. Είναι σύνηθες να γράφεται η τετραγωνική μορφή με τη μορφή του ακόλουθου τετραγωνικού σχήματος:

Τα ζεύγη ομοίων όρων γράφονται με τους ίδιους συντελεστές, έτσι ώστε ο καθένας από αυτούς να είναι ο μισός συντελεστής του αντίστοιχου γινομένου των μεταβλητών. Έτσι, κάθε τετραγωνική μορφή συνδέεται φυσικά με τον πίνακα συντελεστών του, ο οποίος είναι συμμετρικός.

Είναι επίσης βολικό να αναπαραστήσετε την τετραγωνική μορφή με τον ακόλουθο συμβολισμό πίνακα. Υποδηλώστε με Χ μια στήλη μεταβλητών με Χ - μια σειρά, δηλ. έναν πίνακα που μεταφέρεται με Χ. Στη συνέχεια

Οι τετραγωνικοί τύποι απαντώνται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών και στις εφαρμογές τους.

Στη θεωρία αριθμών και στην κρυσταλλογραφία, οι τετραγωνικές μορφές θεωρούνται με την παραδοχή ότι οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο ακέραιες τιμές. Στην αναλυτική γεωμετρία, η τετραγωνική μορφή είναι μέρος της εξίσωσης μιας καμπύλης (ή επιφάνειας) τάξης. Στη μηχανική και τη φυσική, η τετραγωνική μορφή φαίνεται να εκφράζει την κινητική ενέργεια του συστήματος ως προς τις συνιστώσες των γενικευμένων ταχυτήτων κ.λπ. σε ερωτήσεις για τη λύση των οποίων είναι σημαντικό να βρούμε πώς η δεδομένη συνάρτηση που βρίσκεται κοντά στο δεδομένο σημείο αποκλίνει από τη γραμμική συνάρτηση που την προσεγγίζει. Ένα παράδειγμα ενός προβλήματος αυτού του τύπου είναι η μελέτη μιας συνάρτησης για μέγιστο και ελάχιστο.

Εξετάστε, για παράδειγμα, το πρόβλημα της εξερεύνησης του μέγιστου και του ελάχιστου για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που έχει συνεχείς μερικές παραγώγους μέχρι τη σειρά. Απαραίτητη προϋπόθεση για να δώσει ένα σημείο ένα μέγιστο ή ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι η ισότητα προς το μηδέν των μερικών παραγώγων της τάξης στο σημείο. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η προϋπόθεση πληρούται. Δίνουμε στις μεταβλητές x και y μικρές προσαυξήσεις και θεωρούμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης Σύμφωνα με τον τύπο Taylor, αυτή η αύξηση, μέχρι μικρές υψηλότερες τάξεις, είναι ίση με την τετραγωνική μορφή όπου είναι οι τιμές της δεύτερης παράγωγοι που υπολογίζονται στο σημείο Εάν αυτή η τετραγωνική μορφή είναι θετική για όλες τις τιμές των και k (εκτός από το ότι η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο σε ένα σημείο· εάν είναι αρνητικό, τότε έχει ένα μέγιστο. Τέλος, εάν το σχήμα λάβει και θετικές και αρνητικές τιμές, τότε δεν θα υπάρχει μέγιστο ή ελάχιστο. Με παρόμοιο τρόπο μελετώνται συναρτήσεις μεγαλύτερου αριθμού μεταβλητών.

Η μελέτη των τετραγωνικών μορφών συνίσταται κυρίως στη μελέτη του προβλήματος της ισοδυναμίας των μορφών ως προς το ένα ή το άλλο σύνολο γραμμικών μετασχηματισμών μεταβλητών. Δύο τετραγωνικές μορφές λέγονται ισοδύναμες εάν η μία από αυτές μπορεί να μεταφραστεί στην άλλη μέσω ενός από τους μετασχηματισμούς του δεδομένου συνόλου. Στενά συνδεδεμένο με το πρόβλημα της ισοδυναμίας είναι το πρόβλημα της αναγωγής της μορφής, δηλ. μετατρέποντάς το σε κάποια πιθανώς απλούστερη μορφή.

Σε διάφορες ερωτήσεις που σχετίζονται με τετραγωνικούς τύπους, εξετάζονται επίσης διάφορα σύνολα αποδεκτών μετασχηματισμών μεταβλητών.

Σε ζητήματα ανάλυσης, εφαρμόζονται τυχόν μη μοναδικοί μετασχηματισμοί μεταβλητών. Για τους σκοπούς της αναλυτικής γεωμετρίας, μεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ορθογώνιοι μετασχηματισμοί, δηλαδή αυτοί που αντιστοιχούν στη μετάβαση από ένα σύστημα μεταβλητών καρτεσιανών συντεταγμένων σε ένα άλλο. Τέλος, στη θεωρία αριθμών και στην κρυσταλλογραφία εξετάζονται γραμμικοί μετασχηματισμοί με ακέραιους συντελεστές και με ορίζουσα ίση με μία.

Θα εξετάσουμε δύο από αυτά τα προβλήματα: το ζήτημα της αναγωγής μιας τετραγωνικής μορφής στην απλούστερη μορφή της μέσω οποιωνδήποτε μη μοναδικών μετασχηματισμών, και την ίδια ερώτηση για τους ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Πρώτα απ 'όλα, ας μάθουμε πώς ένας πίνακας μιας τετραγωνικής μορφής μετασχηματίζεται κάτω από έναν γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών.

Έστω , όπου το A είναι ένας συμμετρικός πίνακας συντελεστών μορφής, το X είναι μια στήλη μεταβλητών.

Ας κάνουμε έναν γραμμικό μετασχηματισμό μεταβλητών, γράφοντάς τον σε συντομογραφία. Εδώ το C υποδηλώνει τον πίνακα των συντελεστών αυτού του μετασχηματισμού, το X είναι μια στήλη νέων μεταβλητών. Τότε και ως εκ τούτου, έτσι ώστε ο πίνακας της μετασχηματισμένης τετραγωνικής μορφής είναι

Ο πίνακας αυτόματα αποδεικνύεται συμμετρικός, κάτι που επαληθεύεται εύκολα. Έτσι, το πρόβλημα της αναγωγής μιας τετραγωνικής μορφής στην απλούστερη μορφή της είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της αναγωγής ενός συμμετρικού πίνακα στην απλούστερη μορφή του πολλαπλασιάζοντάς τον από αριστερά και δεξιά με αμοιβαία μετατιθέμενους πίνακες.

Τετραγωνικές μορφές

τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2,..., x n) των n μεταβλητών ονομάζεται το άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών, που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ο πίνακας Α, που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές, ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής. Είναι πάντα συμμετρικόςμήτρα (δηλαδή, συμμετρικός πίνακας ως προς την κύρια διαγώνιο, a ij = a ji).

Στη σημειογραφία πίνακα, η τετραγωνική μορφή έχει τη μορφή f(X) = X T AX, όπου

Πράγματι

Για παράδειγμα, ας γράψουμε την τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές στα τετράγωνα των μεταβλητών και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με το ήμισυ των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Έτσι

Έστω ότι η μήτρα-στήλη των μεταβλητών X λαμβάνεται από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό της μήτρας-στήλης Υ, δηλ. X = CY, όπου C είναι ένας μη εκφυλισμένος πίνακας τάξης n. Στη συνέχεια η τετραγωνική μορφή
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Έτσι, κάτω από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό C, ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * = C T AC.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τετραγωνική μορφή f(y 1, y 2) που προκύπτει από την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 με γραμμικό μετασχηματισμό.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονικός(Εχει κανονική άποψη) αν όλοι οι συντελεστές του a ij = 0 για i ≠ j, δηλ.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Η μήτρα του είναι διαγώνιος.

Θεώρημα(η απόδειξη δεν δίνεται εδώ). Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό.

Για παράδειγμα, ας ανάγουμε στην κανονική μορφή την τετραγωνική μορφή
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πρώτα το πλήρες τετράγωνο για τη μεταβλητή x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Τώρα επιλέγουμε το πλήρες τετράγωνο για τη μεταβλητή x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Στη συνέχεια, ο μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 και y 3 \u003d x 3 φέρνει αυτήν την τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Σημειώστε ότι η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής ορίζεται διφορούμενα (η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή με διαφορετικούς τρόπους). Ωστόσο, οι κανονικές μορφές που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους έχουν μια σειρά από κοινές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές μιας τετραγωνικής φόρμας δεν εξαρτάται από το πώς η φόρμα ανάγεται σε αυτήν τη μορφή (για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα θα υπάρχουν πάντα δύο αρνητικοί και ένας θετικός συντελεστής). Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται ο νόμος της αδράνειας των τετραγωνικών μορφών.

Ας το επαληθεύσουμε αυτό με την αναγωγή της ίδιας τετραγωνικής μορφής στην κανονική μορφή με διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε τον μετασχηματισμό με τη μεταβλητή x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, όπου y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 και y 3 = x 1 . Εδώ, ένας θετικός συντελεστής 2 στο y 3 και δύο αρνητικοί συντελεστές (-3) στο y 1 και y 2 (και χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο, πήραμε έναν θετικό συντελεστή 2 στο y 1 και δύο αρνητικούς συντελεστές - (-5) στο y 2 και (-1 /20) για y 3).

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής, που ονομάζεται ο βαθμός της τετραγωνικής μορφής, ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν μεταβάλλεται υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Ο τετραγωνικός τύπος f(X) ονομάζεται θετικώς (αρνητικός) βέβαιος, εάν για όλες τις τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, είναι θετικό, δηλ. f(X) > 0 (αρνητικό, δηλ.
f(X)< 0).

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 είναι θετική οριστική, επειδή είναι το άθροισμα των τετραγώνων και η τετραγωνική μορφή f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 είναι αρνητική οριστική, επειδή αντιπροσωπεύει ότι μπορεί να αναπαρασταθεί ως f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις, είναι κάπως πιο δύσκολο να διαπιστωθεί η προσήλωση-οριστικότητα μιας τετραγωνικής μορφής, επομένως ένα από τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιείται για αυτό (τα διατυπώνουμε χωρίς αποδείξεις).

Θεώρημα. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική (αρνητική) οριστική αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα της είναι θετικές (αρνητικές).

Θεώρημα (κριτήριο Sylvester). Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα αυτής της μορφής είναι θετικά.

Μείζονα (γωνιακό) ελάσσοναΗ k-η τάξη του πίνακα A της ν-ης τάξης ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τις πρώτες k σειρές και στήλες του πίνακα A ().

Σημειώστε ότι για αρνητικούς-οριστικούς τετραγωνικούς τύπους, τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται και η δευτερεύουσα πρώτης τάξης πρέπει να είναι αρνητική.

Για παράδειγμα, εξετάζουμε την τετραγωνική μορφή f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 για την οριστικότητα του πρόσημου.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Μέθοδος 2. Η κύρια ελάσσονα της πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 = 2 > 0. Η κύρια ελάσσονα της δεύτερης τάξης D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Εξετάζουμε μια άλλη τετραγωνική μορφή για την οριστικότητα του πρόσημου, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής А = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική.

Σε αυτή την ενότητα θα επικεντρωθούμε σε μια ειδική αλλά σημαντική κατηγορία θετικών τετραγωνικών μορφών.

Ορισμός 3. Μια πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη αρνητική (μη θετική) εάν για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών

. (35)

Στην περίπτωση αυτή, ο συμμετρικός πίνακας των συντελεστών ονομάζεται θετικός ημιορισμένος (αρνητικός ημιορισμένος).

Ορισμός 4. Μια πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετική-οριστική (αρνητική-οριστική) εάν για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν

. (36)

Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας ονομάζεται επίσης θετική οριστική (αρνητική οριστική).

Η κλάση θετικών-οριστικών (αρνητικού-οριστικού) μορφών είναι μέρος της κατηγορίας των μη αρνητικών (αντίστοιχα, μη θετικών) μορφών.

Ας δοθεί μια μη αρνητική μορφή. Το αντιπροσωπεύουμε ως άθροισμα ανεξάρτητων τετραγώνων:

. (37)

Σε αυτήν την αναπαράσταση, όλα τα τετράγωνα πρέπει να είναι θετικά:

. (38)

Πράγματι, αν υπήρχαν, τότε θα ήταν δυνατό να επιλέξετε τέτοιες τιμές για τις οποίες

Αλλά τότε, για αυτές τις τιμές των μεταβλητών, η φόρμα θα είχε αρνητική τιμή, κάτι που είναι αδύνατο από τη συνθήκη. Προφανώς, αντίστροφα, από τις (37) και (38) προκύπτει ότι η μορφή είναι θετική.

Έτσι, μια μη αρνητική τετραγωνική μορφή χαρακτηρίζεται από τις ισότητες .

Έστω τώρα μια θετική οριστική μορφή. Έπειτα και η μη αρνητική μορφή. Επομένως, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή (37), όπου όλα είναι θετικά. Από τη θετική οριστικότητα της μορφής προκύπτει ότι . Πράγματι, στην περίπτωση που είναι δυνατό να επιλέξετε τέτοιες τιμές που δεν είναι ίσες με το μηδέν ταυτόχρονα, για τις οποίες όλα θα εξαφανιστούν. Αλλά στη συνέχεια, δυνάμει του (37), στο , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση (36).

Είναι εύκολο να δούμε ότι, αντίθετα, εάν στο (37) και είναι όλα θετικά, τότε είναι θετική οριστική μορφή.

Με άλλα λόγια, ένας μη αρνητικός τύπος είναι θετικός οριστικός αν και μόνο αν δεν είναι ενικός.

Το παρακάτω θεώρημα δίνει ένα κριτήριο για τη θετική οριστικότητα μιας μορφής με τη μορφή ανισώσεων που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές της μορφής. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται η σημείωση που συναντάται ήδη στις προηγούμενες ενότητες για διαδοχικές κύριες δευτερεύουσες ομάδες του πίνακα:

.

Θεώρημα 3. Για να είναι μια τετραγωνική μορφή θετική οριστική, είναι απαραίτητο και αρκετό οι ανισότητες

Απόδειξη. Η επάρκεια των συνθηκών (39) προκύπτει απευθείας από τον τύπο Jacobi (28). Η αναγκαιότητα των προϋποθέσεων (39) καθορίζεται ως εξής. Από τη θετική οριστικότητα της μορφής προκύπτει η θετική οριστικότητα των «κολοβωμένων» μορφών

.

Αλλά τότε όλες αυτές οι μορφές πρέπει να είναι μη ενικές, δηλ.

Τώρα έχουμε την ευκαιρία να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Jacobi (28) (για ). Αφού στη δεξιά πλευρά αυτού του τύπου όλα τα τετράγωνα πρέπει να είναι θετικά, τότε

Αυτό συνεπάγεται ανισότητες (39). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Δεδομένου ότι κάθε βασικό δευτερεύον ενός πίνακα, με σωστή επαναρίθμηση των μεταβλητών, μπορεί να τοποθετηθεί στην επάνω αριστερή γωνία, έχουμε

Συνέπεια. Σε θετική οριστική τετραγωνική μορφή, όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα συντελεστών είναι θετικά:

Σχόλιο. Από τη μη αρνητικότητα διαδοχικών κυρίων ανηλίκων

δεν ακολουθεί τη μη αρνητικότητα της μορφής . Πράγματι, η μορφή

,

εν , ικανοποιεί τις προϋποθέσεις, αλλά δεν είναι μη αρνητικό.

Ωστόσο, υπάρχει το εξής

Θεώρημα 4. Για να είναι μια τετραγωνική μορφή μη αρνητική, είναι απαραίτητο και επαρκές όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα συντελεστών του να είναι μη αρνητικά:

Απόδειξη. Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική μορφή που είναι μη θετική, είναι απαραίτητο και αρκετό οι ανισότητες