Θεωρητικό υλικό στις ενότητες «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική».

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ανάγει την έννοια της πιθανότητας στην έννοια της ισοπιθανότητας (ίσης πιθανότητας) των γεγονότων, η οποία θεωρείται η κύρια και δεν υπόκειται σε επίσημο ορισμό. Αυτός ο ορισμός ισχύει σε περιπτώσεις όπου είναι δυνατό να ξεχωρίσουμε μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων και εξίσου πιθανών γεγονότων - στοιχειώδη αποτελέσματα. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα δοχείο με μπάλες.

Αφήστε μια λάρνακα να περιέχει 7 πανομοιότυπες, προσεκτικά ανακατεμένες μπάλες, 2 από αυτές κόκκινες, 1 μπλε και 4 λευκές. Η δοκιμή θα συνίσταται στο γεγονός ότι μια μπάλα λαμβάνεται τυχαία από το δοχείο. Κάθε συμβάν που μπορεί να συμβεί στην εν εξελίξει δοκιμή είναι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαεπτά στοιχειώδη αποτελέσματα, τα οποία θα επισημάνουμε μι 1 , μι 2 ,..., μι 7. αποτελέσματα μι 1 , μι 2 - η εμφάνιση μιας κόκκινης μπάλας, μι 3 - η εμφάνιση μιας μπλε μπάλας, μι 4 , μι 5 , μι 6 , μι 7 - εμφάνιση λευκή μπάλα. Στο παράδειγμά μας τα γεγονότα μι 1 , μι 2 ,... μι 7 - ασύμβατο κατά ζεύγη. Επιπλέον, είναι επίσης εξίσου πιθανοί σε αυτό το τεστ. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑείναι ότι μια μπάλα που ελήφθη τυχαία από το δοχείο αποδείχθηκε ότι ήταν έγχρωμη (κόκκινη ή μπλε).

Αυτά τα στοιχειώδη αποτελέσματα στα οποία το γεγονός μας ενδιαφέρει ΑΛΛΑέρχεται, καλείται ευνοϊκά αποτελέσματα Εκδήλωση ΑΛΛΑ. Στο παράδειγμά μας, τα αποτελέσματα που ευνοούν το συμβάν ΑΛΛΑ, είναι αποτελέσματα μι 1 , μι 2 και μι 3 . Λογικό ως μέτρο της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑ, δηλαδή οι πιθανότητες R(ΑΛΛΑ), δέχονται έναν αριθμό ίσο με την αναλογία των αποτελεσμάτων που ευνοούν την εμφάνιση του γεγονότος ΑΛΛΑ,σε όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Στο παράδειγμά μας

RΤο παραπάνω παράδειγμα μας οδήγησε στον ορισμό της πιθανότητας, που συνήθως ονομάζεται κλασσικός .

Πιθανότητα γεγονότος ΑΛΛΑονομάζεται η αναλογία του αριθμού Μευνοϊκά αποτελέσματα για αυτή την εκδήλωση συνολικός αριθμός nόλα στοιχειώδη αποτελέσματα:

R(ΑΛΛΑ) = . (1.4.4)

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας χρησιμεύει ως καλό μαθηματικό μοντέλοαυτά τα τυχαία πειράματα, των οποίων ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένος και τα ίδια τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. ορμάει ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα να μην πάρετε περισσότερους από τέσσερις βαθμούς.

Λύση. Συνολικός αριθμός στοιχειωδών αποτελεσμάτων n= 6 (μπορεί να κυλήσει 1, 2, 3, 4, 5, 6). Μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων ευνοούν την εκδήλωση ΑΛΛΑ(δεν θα πέσουν πάνω από τέσσερις βαθμοί) μόνο τέσσερα αποτελέσματα Μ= 4. Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψετε 4 αριθμούς συμπληρώνοντας την κάρτα αθλητικού λότο «6» από τα «49»;

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων της εμπειρίας είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να διαγραφούν 6 αριθμοί από τους 49, δηλαδή n = ντο. Ας βρούμε έναν αριθμόαποτελέσματα ευνοϊκά για την εκδήλωση που μας ενδιαφέρει
ΑΛΛΑ= (4 αριθμοί μαντεύονται), 4 αριθμοί από τους 6 νικητές μπορούν να διαγραφούν ντοτρόπους, ενώ οι υπόλοιποι δύο αριθμοί δεν πρέπει να κερδίζουν. Μπορείτε να διαγράψετε 2 λάθος αριθμούς από τους 43 μη κερδισμένους αριθμούς ντοτρόπους. Ως εκ τούτου, ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων Μ = ντο× ντο. Λαμβάνοντας υπόψη ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος είναι ασύμβατα και εξίσου πιθανά, βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο πιθανότητας:

Ρ(Α) =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.λαμβάνονται τυχαία αριθμός τηλεφώνουαποτελείται από 5 ψηφία. Πόσο μεγάλη είναι η πιθανότητα ότι σε αυτό: 1) όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί. 2) είναι όλοι οι αριθμοί περιττοί;

Λύση. 1. Εφόσον καθεμία από τις πέντε θέσεις σε έναν πενταψήφιο αριθμό μπορεί να περιέχει οποιονδήποτε από τους αριθμούς: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, τότε όλοι οι διαφορετικοί πενταψήφιοι αριθμοί θα είναι 10 5 (00000 - 1 -ο, 00001 - 2ο, 00002 -3ο, ..., 99998 - 99999ο, και τέλος 99999 - 100000ο). Οι αριθμοί στους οποίους όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί είναι τοποθετήσεις 10 στοιχείων του 5.

Τύποςγια τον αριθμό τοποθετήσειςαπό nστοιχεία από κ:

Κ! == n (n - 1) ... (n - k + 1).

Ως εκ τούτου, ο αριθμός των ευνοϊκών υποθέσεων Μ= = 10× 9× 8× 7× 6 και η επιθυμητή πιθανότητα

Ρ(Α) = = 0,3024.

2. Από 5 περιττούς αριθμούς (1, 3, 5, 7, 9) μπορείτε να σχηματίσετε 5 5 διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς. 5 5 είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων Μ . Αφού όλες οι εξίσου πιθανές περιπτώσεις n= 10 5 , τότε η επιθυμητή πιθανότητα

Ρ(Α) ====0,03125.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Μια πλήρης τράπουλα (52 φύλλα) χωρίζεται τυχαία σε δύο ίσα πακέτα των 26 φύλλων. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:

ΑΛΛΑ- Σε κάθε πακέτο θα υπάρχουν δύο άσοι.

ΣΤΟ- σε ένα από τα πακέτα δεν θα υπάρχουν άσοι, και στο άλλο - και τα τέσσερα.

ΑΠΟ- σε ένα από τα πακέτα θα υπάρχει ένας άσος και στο άλλο - τρεις.

Λύση. Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να τραβήξουν 26 φύλλα από 52, δηλαδή τον αριθμό των συνδυασμών από 52 έως 26, n= . Αριθμός ευνοϊκό γεγονός ΑΛΛΑπεριπτώσεις
Μ= (σύμφωνα με τον βασικό κανόνα της συνδυαστικής), όπου ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι δύο άσοι στους τέσσερις μπορούν να ληφθούν με τρόπους, ο δεύτερος παράγοντας δείχνει ότι τα υπόλοιπα 24 φύλλα προέρχονται από 48 φύλλα που δεν περιέχουν άσσους με τρόπους. Η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός ΑΛΛΑ, στον συνολικό αριθμό όλων των αποτελεσμάτων:

Εκδήλωση ΣΤΟμπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο εξίσου δυνατούς τρόπους: είτε στο πρώτο πακέτο θα υπάρχουν και οι τέσσερις άσοι, και στο δεύτερο - κανένας, είτε το αντίστροφο:

Ομοίως:

σημειώσε ότι κλασικός ορισμόςεισήχθη πιθανότητα για την περίπτωση που ο χώρος στοιχειώδη γεγονόταΦυσικά, και όλα τα αποτελέσματα και οι δοκιμές είναι εξίσου πιθανά και ασύμβατα.

Εργασία 174tv

α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 176tv

Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 178tv

Ένα δοχείο περιέχει 4 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. 4 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 2 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 2 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 180tv

Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. 4 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 4 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 4 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 184tv

Ένα δοχείο περιέχει 8 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. 4 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 186tv

Ένα δοχείο περιέχει 4 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. 4 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 3 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Εργασία 188tv

Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:
α) 4 άσπρες μπάλες.
β) λιγότερες από 4 λευκές μπάλες.
γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Από την τεφροδόχο όπου βρίσκονται μπάλες, συμπεριλαμβανομένων μαύρο λευκό, τραβηγμένο κατά λάθος μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει ανάμεσά τους μαύρες άσπρες μπάλες;

Παράδειγμα 1. Στην πρώτη λάρνακα: τρεις κόκκινες, μία λευκές μπάλες. Στη δεύτερη λάρνακα: μία κόκκινη, τρεις άσπρες μπάλες. Ένα νόμισμα ρίχνεται τυχαία: εάν το εθνόσημο επιλεγεί από την πρώτη λάρνακα, διαφορετικά, από τη δεύτερη.
Λύση:
α) η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια κόκκινη μπάλα
Α - πήρε μια κόκκινη μπάλα
P 1 - οικόσημο έπεσε έξω, P 2 - διαφορετικά

β) Επιλέγεται μια κόκκινη μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα να έχει ληφθεί από την πρώτη λάρνακα, από τη δεύτερη λάρνακα.
Β 1 - από την πρώτη λάρνακα, Β 2 - από τη δεύτερη λάρνακα
,

Παράδειγμα 2. Υπάρχουν 4 μπάλες σε ένα κουτί. Μπορεί να είναι: μόνο λευκό, μόνο μαύρο ή λευκό και μαύρο. (Άγνωστη σύνθεση).
Λύση:
Α είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα
α) Όλα τα λευκά:
(πιθανότητα να πιαστεί μία από τις τρεις επιλογές όπου υπάρχει λευκό)
(πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα όπου όλα είναι λευκά)

β) Τραβηγμένα εκεί που είναι όλοι μαύροι



γ) έβγαλε μια παραλλαγή όπου όλα είναι λευκά ή/και μαύρα

- Τουλάχιστον ένα από αυτά είναι λευκό

P a + P b + P c =

Παράδειγμα 3. Ένα δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Βγάζουμε 2 μπάλες στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές.
Λύση:
5 άσπρες, 4 μαύρες μπάλες
P(A 1) - σχεδίασε μια λευκή μπάλα

P(A 2) είναι η πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι επίσης λευκή

P(A) – Λευκές μπάλες επιλεγμένες στη σειρά

Παράδειγμα 3α. Υπάρχουν 2 πλαστά και 8 αληθινά τραπεζογραμμάτια σε μια συσκευασία. Από τη συσκευασία βγήκαν 2 χαρτονομίσματα στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα ότι και τα δύο είναι ψευδή.
Λύση:
Ρ(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Παράδειγμα 4. Υπάρχουν 10 τεφροδόχοι. 9 δοχεία περιέχουν 2 μαύρες και 2 άσπρες μπάλες. Υπάρχουν 5 λευκά και 1 μαύρο σε 1 τεφροδόχο. Μια μπάλα τραβιέται από μια λάρνακα που λαμβάνεται τυχαία.
Λύση:
Ρ(Α)-? μια λευκή μπάλα λαμβάνεται από μια τεφροδόχο που περιέχει 5 λευκά
Β - η πιθανότητα να βγει από το δοχείο, όπου 5 είναι λευκά
, - βγαλμένο από άλλους
C 1 - η πιθανότητα εμφάνισης μιας λευκής μπάλας στο lvl 9.

C 2 - η πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα, όπου υπάρχουν 5 από αυτές

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Παράδειγμα 5. 20 κυλινδρικοί κύλινδροι και 15 κωνικοί. Ο επιλογέας παίρνει 1 κύλινδρο και μετά έναν άλλο.
Λύση:
α) και οι δύο κύλινδροι είναι κυλινδρικοί
P(C1)=; P(C2)=
C 1 - ο πρώτος κύλινδρος, C 2 - ο δεύτερος κύλινδρος
P(A)=P(C1)P(C2) =
β) Τουλάχιστον ένας κύλινδρος
K 1 - ο πρώτος κώνος.
K 2 - ο δεύτερος κώνος.
P(B)=P(C1)P(K2)+P(C2)P(K1)+P(C1)P(C2)
;

γ) ο πρώτος κύλινδρος και ο δεύτερος όχι
P(C)=P(C 1)P(K2)

ε) Ούτε ένας κύλινδρος.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

ε) Ακριβώς 1 κύλινδρος
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)

Παράδειγμα 6. Υπάρχουν 10 τυπικά εξαρτήματα και 5 ελαττωματικά εξαρτήματα σε ένα κουτί.
Τρία κομμάτια κληρώνονται τυχαία.
α) Ένα από αυτά είναι ελαττωματικό
P n (K)=C n k p k q n-k,
P είναι η πιθανότητα ελαττωματικών προϊόντων

q είναι η πιθανότητα τυπικών εξαρτημάτων

n=3, τρία μέρη


β) δύο από τα τρία μέρη είναι ελαττωματικά P(2)
γ) τουλάχιστον ένα πρότυπο
P(0) - κανένα ελαττωματικό

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - πιθανότητα τουλάχιστον ένα μέρος να είναι τυπικό

Παράδειγμα 7 . Το 1ο δοχείο περιέχει 3 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες και το 2ο δοχείο περιέχει 3 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. 2 μπάλες μεταφέρονται από την 1η λάρνακα στη 2η λάρνακα χωρίς να κοιτάξουμε, και στη συνέχεια 2 μπάλες σύρονται από την 2η λάρνακα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι διαφορετικά χρώματα?
Λύση:
Όταν μεταφέρετε μπάλες από την πρώτη λάρνακα, είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές:
α) Σχεδιάζονται 2 άσπρες μπάλες στη σειρά
P WB 1 =
Θα υπάρχει πάντα μία μπάλα λιγότερη στο δεύτερο βήμα, αφού μία μπάλα έχει ήδη βγει έξω στο πρώτο βήμα.
β) κληρώνεται μία λευκή και μία μαύρη μπάλα
Η κατάσταση όταν κληρώθηκε πρώτα η άσπρη μπάλα και μετά η μαύρη
P BC =
Η κατάσταση όταν κληρώθηκε πρώτα η μαύρη μπάλα και μετά η άσπρη
P BW =
Σύνολο: P CU 1 =
γ) Σχεδιάζονται 2 μαύρες μπάλες στη σειρά
P HH 1 =
Αφού μεταφέρθηκαν 2 μπάλες από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη λάρνακα, λοιπόν συνολική ποσότηταΟι μπάλες στη δεύτερη λάρνακα θα είναι 9 (7 + 2). Κατά συνέπεια, θα αναζητήσουμε όλες τις πιθανές επιλογές:
α) Πρώτα μια λευκή και μετά μια μαύρη μπάλα τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα

P BC 2 P BB 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια άσπρη μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι έχουν τραβηχτεί 2 άσπρες μπάλες από την πρώτη λάρνακα στη σειρά. Γι' αυτό ο αριθμός των λευκών μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια λευκή μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι οι άσπρες και οι μαύρες μπάλες τραβήχτηκαν από την πρώτη λάρνακα. Γι' αυτό ο αριθμός των λευκών μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 4 (3+1) και ο αριθμός των μαύρων είναι πέντε (4+1).
P BC 2 P BC 1 - σημαίνει την πιθανότητα να τραβήχτηκε πρώτα μια άσπρη μπάλα και μετά μια μαύρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι και οι δύο μαύρες μπάλες έχουν βγει από την πρώτη λάρνακα στη σειρά. Γι' αυτό ο αριθμός των μαύρων μπαλών σε αυτή την περίπτωση είναι 6 (4+2).

Η πιθανότητα οι 2 μπάλες να είναι διαφορετικών χρωμάτων είναι ίση με:

Απάντηση: P = 0,54

Παράδειγμα 7α. Από την 1η λάρνακα, που περιέχει 5 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, 2 μπάλες μεταφέρονται τυχαία στην 2η λάρνακα, που περιέχει 2 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Στη συνέχεια, 1 μπάλα τραβιέται τυχαία από το 2ο δοχείο.
1) Ποια είναι η πιθανότητα η μπάλα που τραβήχτηκε από την λάρνακα 2 να είναι λευκή;
2) Η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα αποδείχθηκε άσπρη. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι οι μπάλες μεταφέρθηκαν από τη λάρνακα 1 στη λάρνακα 2. διαφορετικό χρώμα.
Λύση.
1) Γεγονός Α - η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα αποδείχθηκε λευκή. Εξετάστε τις ακόλουθες επιλογές για την εμφάνιση αυτού του συμβάντος.
α) Δύο άσπρες μπάλες τοποθετούνται από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Υπάρχουν 4 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
β) Οι άσπρες και οι μαύρες μπάλες τοποθετούνται από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Υπάρχουν 3 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
γ) Δύο μαύρες μπάλες τοποθετούνται από την πρώτη λάρνακα στη δεύτερη: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Υπάρχουν 2 λευκές μπάλες στη δεύτερη λάρνακα. Τότε η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Τότε η πιθανότητα η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα να είναι λευκή είναι ίση με:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Η μπάλα που τραβήχτηκε από τη 2η λάρνακα αποδείχθηκε άσπρη, δηλ. πλήρη πιθανότηταισούται με Ρ(Α)=13/32.
Η πιθανότητα ότι μπάλες διαφορετικών χρωμάτων (ασπρόμαυρα) μεταφέρθηκαν στη δεύτερη τεφροδόχο και επιλέχθηκε το λευκό: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Παράδειγμα 7β. Το πρώτο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες, το δεύτερο δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. Μία μπάλα επιλέγεται τυχαία από την πρώτη και δύο μπάλες από τη δεύτερη. Μετά από αυτό, μια μπάλα λαμβάνεται τυχαία από τις τρεις επιλεγμένες μπάλες. Αυτή η τελευταία μπάλα αποδείχθηκε μαύρη. Βρείτε την πιθανότητα να επιλέχθηκε μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα.
Λύση.
Ας εξετάσουμε όλες τις παραλλαγές του γεγονότος Α - από τρεις μπάλες, η κληρωμένη μπάλα αποδείχθηκε μαύρη. Πώς θα μπορούσε να συμβεί ανάμεσα στις τρεις μπάλες να ήταν μαύρη;
α) Μια μαύρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και δύο λευκές μπάλες από τη δεύτερη.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
β) Μια μαύρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και δύο μαύρες μπάλες από τη δεύτερη.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
γ) Μια μαύρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και μια άσπρη και μια μαύρη μπάλα από τη δεύτερη.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
δ) Μια άσπρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και δύο μαύρες μπάλες λαμβάνονται από τη δεύτερη.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
ε) Μια άσπρη σφαίρα βγήκε από την πρώτη λάρνακα και μια λευκή και μια μαύρη μπάλα βγήκαν από τη δεύτερη λάρνακα.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Η συνολική πιθανότητα είναι: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Η πιθανότητα να επιλέχθηκε μια λευκή μπάλα από μια λευκή λάρνακα είναι:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Τότε η πιθανότητα να επιλέχθηκε μια άσπρη μπάλα από την πρώτη λάρνακα, υπό την προϋπόθεση ότι επιλέχθηκε μια μαύρη από τρεις μπάλες, είναι ίση με:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Παράδειγμα 7γ. Το πρώτο δοχείο περιέχει 12 άσπρες και 16 μαύρες μπάλες, το δεύτερο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Ταυτόχρονα, μια μπάλα τραβιέται από την 1η και τη 2η λάρνακα, αναμειγνύεται και επιστρέφεται μία κάθε φορά σε κάθε δοχείο. Στη συνέχεια, μια μπάλα τραβιέται από κάθε δοχείο. Αποδείχτηκε ότι είχαν το ίδιο χρώμα. Προσδιορίστε την πιθανότητα να έχουν μείνει τόσες άσπρες μπάλες στην 1η λάρνακα όσες υπήρχαν στην αρχή.

Λύση.
Γεγονός Α - την ίδια στιγμή, μια μπάλα τραβιέται από την 1η και τη 2η λάρνακα.
Πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Πιθανότητα να τραβήξετε μια μαύρη μπάλα από την πρώτη λάρνακα: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα: P2(B) = 8/18 = 4/9
Πιθανότητα να τραβήξετε μια μαύρη μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα: P2(H) = 10/18 = 5/9

Το συμβάν Α συνέβη. Γεγονός Β - μια μπάλα τραβιέται από κάθε λάρνακα. Μετά το ανακάτεμα, η πιθανότητα επιστροφής της μπάλας στη λάρνακα μιας λευκής ή μαύρης μπάλας είναι ½.
Εξετάστε τις παραλλαγές του γεγονότος Β - αποδείχθηκε ότι ήταν του ίδιου χρώματος.

Για την πρώτη λάρνακα
1) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) τοποθετήθηκε μια άσπρη μπάλα στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) τοποθετήθηκε μια μαύρη μπάλα στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα, με την προϋπόθεση ότι προηγουμένως είχε τραβηχτεί μια λευκή μπάλα, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια μαύρη μπάλα, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Για τη δεύτερη τεφροδόχο
1) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη μπάλα τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια λευκή μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) μια άσπρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) τοποθετήθηκε μια μαύρη μπάλα στην πρώτη λάρνακα και τραβήχτηκε μια άσπρη μπάλα, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια άσπρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια μαύρη μπάλα, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι είχε τραβηχτεί προηγουμένως μια λευκή μπάλα, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) μια μαύρη μπάλα τοποθετήθηκε στην πρώτη λάρνακα και μια μαύρη τραβήχτηκε, με την προϋπόθεση ότι μια μαύρη μπάλα είχε τραβηχτεί νωρίτερα, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Οι μπάλες αποδείχτηκαν στο ίδιο χρώμα:
ένα άσπρο
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
β) μαύρο
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Παράδειγμα 7g. Το πρώτο κουτί περιέχει 5 λευκές και 4 μπλε μπάλες, το δεύτερο 3 και 1 και το τρίτο 4 και 5, αντίστοιχα. Ένα κουτί επιλέγεται τυχαία και μια μπάλα που βγαίνει από αυτό αποδεικνύεται μπλε. Ποια είναι η πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι από το δεύτερο κουτί;

Λύση.
A - εκδήλωση εξαγωγής μπλε μπαλονιού. Εξετάστε όλες τις επιλογές για την έκβαση ενός τέτοιου γεγονότος.
H1 - τραβηγμένη μπάλα από το πρώτο κουτί,
H2 - τραβηγμένη μπάλα από το δεύτερο κουτί,
H3 - η τραβηγμένη μπάλα από το τρίτο κουτί.
Ρ(Η1) = Ρ(Η2) = Ρ(Η3) = 1/3
Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος υπό όρους πιθανότητεςΤα γεγονότα Α είναι:
Ρ(Α|Η1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
Ρ(Α|Η3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Η πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι από το δεύτερο κουτί είναι:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Παράδειγμα 8 . Πέντε κουτιά με 30 μπάλες το καθένα περιέχουν 5 κόκκινες μπάλες (αυτό είναι το κουτί σύνθεσης Η1), άλλα έξι κουτιά με 20 μπάλες το καθένα περιέχουν 4 κόκκινες μπάλες (αυτό είναι το κουτί σύνθεσης Η2). Βρείτε την πιθανότητα μια τυχαία γραμμένη κόκκινη μπάλα να περιέχεται σε ένα από τα πρώτα πέντε κουτιά.
Λύση: Το έργο της εφαρμογής του τύπου συνολικής πιθανότητας.

Η πιθανότητα ότι όποιοςη μπάλα που λαμβάνεται περιέχεται σε ένα από τα πρώτα πέντε κουτιά:
Ρ(Η 1) = 5/11
Η πιθανότητα ότι όποιοςΗ ληφθείσα μπάλα περιέχεται σε ένα από τα έξι κουτιά:
Ρ(Η 2) = 6/11
Το γεγονός συνέβη - κληρώθηκε μια κόκκινη μπάλα. Επομένως, αυτό μπορεί να συμβεί σε δύο περιπτώσεις:
α) τραβήχτηκε από τα πέντε πρώτα κουτιά.
P 5 = 5 κόκκινες μπάλες * 5 κουτιά / (30 μπάλες * 5 κουτιά) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
β) τραβήχτηκε από άλλα έξι κουτιά.
P 6 = 4 κόκκινες μπάλες * 6 κουτιά / (20 μπάλες * 6 κουτιά) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Σύνολο: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Επομένως, η πιθανότητα μια τυχαία γραμμένη κόκκινη μπάλα να περιέχεται σε ένα από τα πρώτα πέντε πλαίσια είναι:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Παράδειγμα 9 . Ένα δοχείο περιέχει 2 άσπρες, 3 μαύρες και 4 κόκκινες μπάλες. Τρεις μπάλες κληρώνονται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα;
Λύση. Υπάρχουν τρία πιθανά αποτελέσματα γεγονότων:
α) από τις τρεις μπάλες που κληρώθηκαν, τουλάχιστον δύο είναι λευκές.
P b (2) = P 2b
Ο συνολικός αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων για αυτές τις δοκιμές είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να κληρωθούν 3 μπάλες από τις 9:

Βρείτε την πιθανότητα 2 από τις 3 μπάλες να είναι λευκές.

Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 2 λευκές μπάλες:

Αριθμός επιλογών για να επιλέξετε από 7 άλλες μπάλες τρίτη μπάλα:

β) από τις τρεις μπάλες που κληρώθηκαν, τουλάχιστον δύο είναι μαύρες (δηλαδή είτε 2 μαύρες είτε 3 μαύρες).
Βρείτε την πιθανότητα 2 από τις 3 μπάλες να είναι μαύρες.

Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 3 μαύρες μπάλες:

Αριθμός επιλογών για να επιλέξετε από 6 άλλες μπάλες μιας μπάλας:


P 2h = 0,214
Βρείτε την πιθανότητα όλες οι επιλεγμένες μπάλες να είναι μαύρες.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

γ) από τις τρεις μπάλες που κληρώθηκαν, τουλάχιστον δύο είναι κόκκινες (δηλαδή είτε 2 κόκκινες είτε 3 κόκκινες).
Ας βρούμε την πιθανότητα ότι από τις 3 επιλεγμένες μπάλες οι 2 είναι κόκκινες.

Αριθμός επιλογών για να επιλέξετε από 4 μαύρες μπάλες:

Αριθμός επιλογών για να διαλέξετε από 5 λευκές μπάλες που απομένουν 1 λευκή:


Βρείτε την πιθανότητα όλες οι επιλεγμένες μπάλες να είναι κόκκινες.

P έως (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Τότε η πιθανότητα τουλάχιστον δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα είναι: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Παράδειγμα 10 . Η πρώτη λάρνακα περιέχει 10 μπάλες, εκ των οποίων οι 7 είναι λευκές. Η δεύτερη λάρνακα περιέχει 20 μπάλες, 5 από τις οποίες είναι λευκές. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από κάθε λάρνακα και, στη συνέχεια, μια μπάλα τραβιέται τυχαία από αυτές τις δύο μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα να ληφθεί μια λευκή μπάλα.
Λύση. Η πιθανότητα να βγει μια λευκή μπάλα από την πρώτη λάρνακα είναι P(b)1 = 7/10. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να σχεδιάσουμε μια μαύρη μπάλα είναι P(h)1 = 3/10.
Η πιθανότητα να βγει μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα είναι P(b)2 = 5/20 = 1/4. Αντίστοιχα, η πιθανότητα να σχεδιάσουμε μια μαύρη μπάλα είναι P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Γεγονός Α - μια λευκή μπάλα λαμβάνεται από δύο μπάλες
Εξετάστε το αποτέλεσμα του γεγονότος Α.

1. Μια λευκή μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη λάρνακα. Μετά από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P1=7/10*1/4=7/40
2. Μια άσπρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και μια μαύρη μπάλα από τη δεύτερη. Μετά από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Μια μαύρη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα και μια λευκή μπάλα από τη δεύτερη. Μετά από αυτές τις δύο μπάλες τραβήχτηκε μια λευκή μπάλα. P3=3/10*1/4=3/40

Άρα η πιθανότητα μπορεί να βρεθεί ως το άθροισμα των παραπάνω πιθανοτήτων.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Παράδειγμα 11 . Υπάρχουν n μπάλες τένις σε ένα κουτί. Από αυτούς έπαιξαν μ . Για το πρώτο παιχνίδι, πήραν δύο μπάλες τυχαία και τις έβαλαν πίσω μετά το παιχνίδι. Για το δεύτερο παιχνίδι πήραν και δύο μπάλες τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο παιχνίδι να γίνει με νέες μπάλες;
Λύση. Σκεφτείτε το γεγονός Α - το παιχνίδι παίχτηκε για δεύτερη φορά με νέες μπάλες. Ας δούμε ποια γεγονότα μπορούν να οδηγήσουν σε αυτό.
Σημειώστε με g = n-m, τον αριθμό των νέων μπαλών πριν τραβήξετε έξω.
α) Δύο νέες μπάλες κληρώνονται για το πρώτο παιχνίδι.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
β) για το πρώτο παιχνίδι έβγαλαν μία νέα μπάλα και μία ήδη παίχτηκε.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
γ) για το πρώτο παιχνίδι, βγήκαν δύο μπάλες που παίχτηκαν.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Σκεφτείτε τα γεγονότα του δεύτερου παιχνιδιού.
α) Κλήθηκαν δύο νέες μπάλες, με την επιφύλαξη του P1: αφού είχαν ήδη κληρωθεί νέες μπάλες για το πρώτο παιχνίδι, τότε για το δεύτερο παιχνίδι ο αριθμός τους μειώθηκε κατά 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
β) Τραβήχτηκαν δύο νέες μπάλες, με την επιφύλαξη P2: αφού μια νέα μπάλα είχε ήδη κληρωθεί για το πρώτο παιχνίδι, τότε για το δεύτερο παιχνίδι ο αριθμός τους μειώθηκε κατά 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg /(n(n-1))
γ) Έβγαλαν δύο νέες μπάλες, με την προϋπόθεση P3: δεδομένου ότι δεν χρησιμοποιήθηκαν νέες μπάλες για το πρώτο παιχνίδι, ο αριθμός τους δεν άλλαξε για το δεύτερο παιχνίδι g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Συνολική πιθανότητα P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Απάντηση: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Παράδειγμα 12 . Το πρώτο, το δεύτερο και το τρίτο κουτί περιέχουν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες το καθένα, το τέταρτο και το πέμπτο κουτί περιέχουν 1 άσπρη και 1 μαύρη μπάλα. Επιλέγεται τυχαία ένα κουτί και από αυτό τραβιέται μια μπάλα. Ποια είναι η υπό όρους πιθανότητα να επιλεγεί το τέταρτο ή το πέμπτο κουτί εάν η κληρωμένη μπάλα είναι λευκή;
Λύση.
Η πιθανότητα επιλογής κάθε κουτιού είναι P(H) = 1/5.
Εξετάστε τις υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α - σχεδίαση λευκής μπάλας.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Συνολική πιθανότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Υπό όρους πιθανότητα να έχει επιλεγεί το τέταρτο πλαίσιο
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Υπό όρους πιθανότητα να έχει επιλεγεί το πέμπτο πλαίσιο
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Άρα, η υπό όρους πιθανότητα να επιλεγεί το τέταρτο ή το πέμπτο πλαίσιο είναι
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Παράδειγμα 13 . Μια τεφροδόχος περιέχει 7 λευκές και 4 κόκκινες μπάλες. Έπειτα τοποθετούνταν μια άλλη άσπρη ή κόκκινη ή μαύρη μπάλα στη λάρνακα και μετά την ανάμειξη έβγαζαν μια μπάλα. Αποδείχθηκε ότι ήταν κόκκινος. Ποια είναι η πιθανότητα α) να τοποθετήθηκε κόκκινη μπάλα; β) μαύρη μπάλα;
Λύση.
α) κόκκινη μπάλα
Γεγονός Α - κληρώνεται μια κόκκινη μπάλα. Γεγονός H - βάλτε μια κόκκινη μπάλα. Πιθανότητα ότι μια κόκκινη μπάλα τοποθετήθηκε στη λάρνακα P(H=K) = 1 / 3
Τότε P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
β) μαύρη μπάλα
Γεγονός Α - κληρώνεται μια κόκκινη μπάλα. Γεγονός H - βάλτε μια μαύρη μπάλα.
Η πιθανότητα να τοποθετηθεί μια μαύρη μπάλα στο δοχείο είναι P(H=H) = 1/3
Τότε P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Παράδειγμα 14 . Υπάρχουν δύο δοχεία με μπάλες. Το ένα έχει 10 κόκκινες και 5 μπλε μπάλες, το άλλο έχει 5 κόκκινες και 7 μπλε μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα μια κόκκινη μπάλα να τραβηχτεί τυχαία από την πρώτη λάρνακα και μια μπλε από τη δεύτερη;
Λύση.Αφήστε το γεγονός A1 - μια κόκκινη μπάλα τραβιέται από την πρώτη λάρνακα. A2 - μια μπλε μπάλα τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα:
,
Τα γεγονότα Α1 και Α2 είναι ανεξάρτητα. Η πιθανότητα κοινής εμφάνισης των γεγονότων Α1 και Α2 είναι ίση με

Παράδειγμα 15 . Υπάρχει μια τράπουλα (36 τεμάχια). Δύο κάρτες κληρώνονται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κόκκινα και τα δύο φύλλα;
Λύση.Αφήστε το γεγονός A 1 να είναι το πρώτο τραβηγμένο φύλλο του κόκκινου χρώματος. Γεγονός Α 2 - το δεύτερο τραβηγμένο φύλλο του κόκκινου χρώματος. Β - και τα δύο τραβηγμένα φύλλα του κόκκινου χρώματος. Εφόσον πρέπει να συμβεί και το συμβάν A 1 και το συμβάν A 2, τότε B = A 1 · A 2 . Τα συμβάντα A 1 και A 2 εξαρτώνται, άρα P(B):
,
Από εδώ

Παράδειγμα 16 . Δύο δοχεία περιέχουν μπάλες που διαφέρουν μόνο στο χρώμα και στην πρώτη λάρνακα υπάρχουν 5 άσπρες μπάλες, 11 μαύρες και 8 κόκκινες και στη δεύτερη 10, 8, 6 μπάλες, αντίστοιχα. Μία μπάλα τραβιέται τυχαία και από τα δύο δοχεία. Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα;
Λύση.Έστω δείκτης 1 σημαίνει άσπρο χρώμα, δείκτης 2 - μαύρο χρώμα; 3 - κόκκινο χρώμα. Έστω το γεγονός A i - μια μπάλα του i-ου χρώματος έχει σχεδιαστεί από την πρώτη λάρνακα. γεγονός B j - μια μπάλα j -ου χρώματος λήφθηκε από τη δεύτερη λάρνακα. γεγονός Α - και οι δύο μπάλες είναι του ίδιου χρώματος.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Τα γεγονότα A i και B j είναι ανεξάρτητα, ενώ τα A i · B i και A j · B j είναι ασύμβατα για το i ≠ j . Συνεπώς,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Παράδειγμα 17 . Από μια λάρνακα με 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες βγαίνουν μία κάθε φορά μέχρι να εμφανιστεί το μαύρο. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβηχτούν 3 μπάλες από το δοχείο; 5 μπάλες;
Λύση.
1) η πιθανότητα να τραβηχτούν 3 μπάλες από την λάρνακα (δηλαδή η τρίτη μπάλα θα είναι μαύρη και οι δύο πρώτες θα είναι λευκές).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) η πιθανότητα να τραβηχτούν 5 μπάλες από το δοχείο
μια τέτοια κατάσταση δεν είναι δυνατή, γιατί μόνο 3 άσπρες μπάλες.
P=0

Εργασία #1

τυχαία γεγονότα

6 επιλογή.

Εργασία 1.1.Πέτα τρία νομίσματα. Βρείτε την πιθανότητα ότι το "εθνόσημο" εμφανίζεται μόνο σε δύο νομίσματα.

Διερευνημένο συμβάν Α - μόνο δύο νομίσματα από τα τρία θα έχουν οικόσημο. Ένα νόμισμα έχει δύο όψεις, που σημαίνει ότι θα γίνουν 8 γεγονότα κατά τη ρίψη τριών νομισμάτων.Σε τρεις περιπτώσεις, μόνο δύο νομίσματα θα έχουν εθνόσημο. Η πιθανότητα του συμβάντος Α υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ρ(Α) = m/n = 3/8.

Απάντηση: πιθανότητα 3/8.

Εργασία 1.2.Η λέξη EVENT αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Στη συνέχεια, τα φύλλα αναμειγνύονται και αφαιρούνται χωρίς να επιστρέφονται ένα-ένα. Να βρείτε την πιθανότητα να αφαιρεθούν τα γράμματα με τη σειρά της δεδομένης λέξης.

Το τεστ συνίσταται στην αφαίρεση καρτών με γράμματα σε τυχαία σειρά χωρίς επιστροφή. Το στοιχειώδες γεγονός είναι η λαμβανόμενη ακολουθία γραμμάτων. Το συμβάν Α πρόκειται να λάβει η σωστή λέξηΕΚΔΗΛΩΣΗ . Τα στοιχειώδη συμβάντα είναι μεταθέσεις 7 γραμμάτων, που σημαίνει ότι σύμφωνα με τον τύπο έχουμε n= 7!

Τα γράμματα στη λέξη ΓΕΓΟΝΟΣ δεν επαναλαμβάνονται, επομένως δεν είναι δυνατές μεταθέσεις στις οποίες η λέξη δεν αλλάζει. Ο αριθμός τους είναι 1.

Με αυτόν τον τρόπο,

P(A) = 1/7! = 1/5040.

Απάντηση:Ρ(Α) = 1/5040.

Εργασία 1.3.Όπως και στο προηγούμενο πρόβλημα, βρείτε την αντίστοιχη πιθανότητα της περίπτωσης όταν η λέξη που δίνεται είναι η λέξη ANTONOV ILYA.

Αυτό το πρόβλημα επιλύεται παρόμοια με το προηγούμενο.

n=11!; M = 2!*2! = 4.

P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Απάντηση: P(A)=1/9979200.

Εργασία 1.4.Ένα δοχείο περιέχει 8 μαύρες και 6 άσπρες μπάλες. 5 μπάλες κληρώνονται τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ τους να υπάρχει:

α) 3 άσπρες μπάλες.

β) λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.

γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

8 ώρες Το τεστ θα είναι το τυχαίο σχέδιο 5 μπάλων. Στοιχειώδης

Τα 6 β γεγονότα είναι όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί 5 από τις 14 μπάλες. Ο αριθμός τους είναι

α) A 1 - από τις κληρωμένες μπάλες 3 είναι λευκές. Έτσι, από τις κληρωμένες μπάλες 3 είναι λευκές και 2 μαύρες. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού, παίρνουμε

P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001.

β) A 2 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν λιγότερες από 3 λευκές. Αυτό το συμβάν αποτελείται από τρία ασύμβατα συμβάντα:

Στο 1 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχουν μόνο 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες,

Β 2 - μεταξύ των κληρωμένων μπάλων μόνο μία λευκή και 4 μαύρες μπάλες

Στο 3 - δεν υπάρχει ούτε μία λευκή μπάλα ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες, και οι 5 μπάλες είναι μαύρες:

Σε 2 σε 3.

Επειδή τα συμβάντα B 1 , B 2 και B 3 δεν είναι συμβατά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001.

- Δεν υπάρχουν άσπρες μπάλες μεταξύ των συρόμενων μπάλων. Σε αυτήν την περίπτωση:

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Απάντηση: P (A 1) \u003d 280/1001, P (A 2) \u003d 483/1001, P (A 3) \u003d 973/1001.

Πρόβλημα 1.6.Το πρώτο δοχείο περιέχει 5 άσπρες και 7 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. 2 μπάλες τραβιούνται τυχαία από την πρώτη και 2 μπάλες από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ των συρόμενων μπάλων:

α) όλες οι μπάλες του ίδιου χρώματος.

β) μόνο τρεις άσπρες μπάλες.

γ) τουλάχιστον μία λευκή μπάλα.

Urn 1 Urn 2 Οι μπάλες τραβήχτηκαν και από τα δύο δοχεία ανεξάρτητα. Δοκιμές

5 b 6 b σχεδιάζουν δύο μπάλες από την πρώτη λάρνακα και δύο μπάλες

7h 4h από τη δεύτερη λάρνακα. Τα στοιχειώδη γεγονότα θα είναι συνδυασμοί

2 ή 2 από τις 12 ή 10 μπάλες αντίστοιχα.

2 2 α) A 1 - όλες οι τραβηγμένες μπάλες του ίδιου χρώματος, δηλ. είναι όλα λευκά

ή όλα μαύρα.

Ορίζουμε για κάθε δοχείο όλα τα πιθανά συμβάντα:

Σε 1 - 2 λευκές μπάλες βγαίνουν από την πρώτη λάρνακα.

B 2 - 1 λευκή και 1 μαύρη μπάλα τραβήχτηκαν από την πρώτη λάρνακα.

Σε 3 - 2 μαύρες μπάλες βγαίνουν από την πρώτη λάρνακα.

C 1 - 2 άσπρες μπάλες βγαίνουν από τη δεύτερη λάρνακα.

C 2 - 1 άσπρη και 1 μαύρη μπάλα τραβιέται από τη δεύτερη λάρνακα.

C 3 - 2 μαύρες μπάλες βγαίνουν από τη δεύτερη λάρνακα.

Άρα Α 1 =

, από όπου, λαμβάνοντας υπόψη την ανεξαρτησία και την ασυμβατότητα των γεγονότων, αποκτούμε

P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).

Ας βρούμε τον αριθμό των στοιχειωδών γεγονότων n 1 και n 2 για το πρώτο και το δεύτερο δοχείο, αντίστοιχα. Εχουμε:

Βρείτε τον αριθμό κάθε στοιχείου συμβάντων που καθορίζουν τα ακόλουθα συμβάντα:

C 1: m 21 = C 2: m 22 = C 3: m 23 =

Συνεπώς,

P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 \u003d 46/495.

β) A 2 - από τις κληρωμένες μπάλες μόνο 3 είναι λευκές. Σε αυτήν την περίπτωση

C2 (B 2 C 1);

P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)

P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3.

γ) A 3 - ανάμεσα στις κληρωμένες μπάλες υπάρχει τουλάχιστον μία λευκή.

- Δεν υπάρχει ούτε μία άσπρη μπάλα ανάμεσα στις εξαγόμενες μπάλες. Τότε ) \u003d P (B 3) * P (C 3) \u003d 21/66 * 6/45 \u003d 7/165;

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

Απάντηση: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) \u003d 1/3, P (A 3) \u003d 158/165.

Πρόβλημα 1.7.Ένα δοχείο περιέχει 5 ασπρόμαυρες μπάλες, 4 άσπρες μπάλες προστίθενται σε αυτές. Μετά από αυτό, 3 μπάλες βγαίνουν τυχαία από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα όλες οι τραβηγμένες μπάλες να είναι λευκές, υποθέτοντας ότι όλες οι πιθανές προτάσεις για το αρχικό περιεχόμενο της λάρνας είναι εξίσου πιθανές.

Υπάρχουν δύο τύποι δοκιμών εδώ: πρώτον, δίνονται τα αρχικά περιεχόμενα της λάρνας και στη συνέχεια κληρώνεται τυχαία η 3η μπάλα και το αποτέλεσμα της δεύτερης δοκιμής εξαρτάται από το αποτέλεσμα της πρώτης. Επομένως, χρησιμοποιείται ο τύπος συνολικής πιθανότητας.

γεγονός Α - κληρώνονται τυχαία 3 λευκές μπάλες. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος εξαρτάται από το πώς πρωτότυπη σύνθεσημπάλες στην τεφροδόχο.

Σκεφτείτε τα γεγονότα:

Στο 1 - υπήρχαν 5 λευκές μπάλες στην τεφροδόχο.

Σε 2 - υπήρχαν 4 άσπρες και 1 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.

Σε 3 - υπήρχαν 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.

Στο 4 - υπήρχαν 2 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.

Στο 5 - υπήρχαν 1 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες στην λάρνακα.

Στα 6 - υπήρχαν 5 μαύρες μπάλες στην τεφροδόχο.

Συνολικός αριθμός στοιχειωδών αποτελεσμάτων

Ας βρούμε τις υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος Α υπό διάφορες συνθήκες.

P (A / B 1) \u003d 1. P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3. P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12. P (A / B 4) \u003d 5/21. P (A / B 5) \u003d 5/42. P (A / B 6) \u003d 1/21.

P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Πρόβλημα 1.10.Στο κατάστημα συναρμολόγησης, ένας ηλεκτροκινητήρας είναι συνδεδεμένος στη συσκευή. Οι ηλεκτρικοί κινητήρες παρέχονται από τρεις κατασκευαστές. Στην αποθήκη υπάρχουν ηλεκτρικοί κινητήρες αυτών των εργοστασίων αντίστοιχα σε ποσότητα M 1 =13, M 2 =12, και M 3 = 17 τεμάχια, που μπορούν να λειτουργήσουν χωρίς βλάβη μέχρι το τέλος της περιόδου εγγύησης με πιθανότητες 0,91 , 0,82 και 0,77, αντίστοιχα. Ο εργαζόμενος παίρνει τυχαία έναν ηλεκτροκινητήρα και τον τοποθετεί στη συσκευή. Βρείτε την πιθανότητα ένας ηλεκτροκινητήρας να έχει εγκατασταθεί και να λειτουργεί χωρίς αποτυχία μέχρι το τέλος της περιόδου εγγύησης να έχει παρασχεθεί από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο κατασκευαστή, αντίστοιχα.