Δύο ζάρια ρίχνονται τυχαία. Πιθανότητες ζαριών

Σε όλες τις εργασίες B6 ενεργό θεωρία πιθανοτήτων, που παρουσιάζονται στο Ανοιχτή τράπεζα εργασίας για, απαιτείται να βρεθεί πιθανότηταοποιαδήποτε εκδήλωση.

Χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε ένα τύπος, που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό πιθανότητα:

Σε αυτή τη φόρμουλα p είναι η πιθανότητα του γεγονότος,

κ- ο αριθμός των γεγονότων που μας «ικανοποιούν», στη γλώσσα θεωρία πιθανοτήτωνλέγονται ευνοϊκά αποτελέσματα.

n-τον αριθμό όλων των πιθανών συμβάντων ή αριθμός όλων των πιθανών αποτελεσμάτων.

Προφανώς, ο αριθμός όλων των πιθανών γεγονότων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, άρα πιθανότηταείναι μια τιμή μικρότερη ή ίση με 1.

Αν ένα πιθανότηταγεγονός ισούται με 1, που σημαίνει ότι αυτό το συμβάν θα συμβεί σίγουρα. Ένα τέτοιο γεγονός ονομάζεται αυθεντικός. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι μετά την Κυριακή θα υπάρχει Δευτέρα είναι, δυστυχώς, ένα συγκεκριμένο γεγονός και η πιθανότητα του είναι ίση με 1.

Οι μεγαλύτερες δυσκολίες στην επίλυση προβλημάτων προκύπτουν ακριβώς με την εύρεση των αριθμών k και n.

Φυσικά, όπως στην επίλυση τυχόν προβλημάτων, κατά την επίλυση προβλημάτων στις θεωρία πιθανοτήτωνπρέπει να διαβάσετε προσεκτικά την συνθήκη για να κατανοήσετε σωστά τι δίνεται και τι απαιτείται να βρεθεί.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων από από ανοιχτή τράπεζαεργασίες για .

Παράδειγμα 1. Σε ένα τυχαίο πείραμα, ρίχνονται δύο ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα να πάρετε 8 βαθμούς συνολικά. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στο πλησιέστερο εκατοστό.

Αφήστε έναν πόντο να πέσει στο πρώτο ζάρι, μετά μπορεί να πέσουν 6 στο δεύτερο διάφορες επιλογές. Έτσι, αφού το πρώτο οστό έχει 6 ξεχωριστές όψεις, συνολικός αριθμόςδιαφορετικές επιλογές ισούται με 6x6=36.

Δεν είμαστε όμως ικανοποιημένοι με όλα. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, το άθροισμα των πόντων που πέφτουν πρέπει να είναι ίσο με 8. Ας φτιάξουμε έναν πίνακα με τα ευνοϊκά αποτελέσματα:

Βλέπουμε ότι ο αριθμός των αποτελεσμάτων που μας ταιριάζουν είναι 5.

Έτσι, η πιθανότητα να πέσουν συνολικά 8 πόντοι είναι 5/36=0,13(8).

Για άλλη μια φορά διαβάζουμε την ερώτηση του προβλήματος: απαιτείται στρογγυλοποίηση του αποτελέσματος στα εκατοστά.

Ας θυμηθούμε κανόνας στρογγυλοποίησης.

Πρέπει να στρογγυλοποιήσουμε στα εκατοστά. Αν το επόμενο ψηφίο μετά τα εκατοστά (δηλαδή στο ψηφίο του χιλιοστού) είναι ένας αριθμός που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 5, τότε προσθέτουμε 1 στον αριθμό του ψηφίου των εκατοστών, αν αυτός ο αριθμός είναι μικρότερος από 5, τότε το Ο αριθμός στο ψηφίο των εκατοστών παραμένει αμετάβλητος.

Στην περίπτωσή μας, το 8 βρίσκεται στη χιλιοστή θέση, άρα ο αριθμός 3, που βρίσκεται στην εκατοστή θέση, αυξάνεται κατά 1.

Άρα p=5/36 ≈0,14

Απάντηση: 0,14

Παράδειγμα 2. Στο πρωτάθλημα γυμναστικής συμμετέχουν 20 αθλητές: 8 από τη Ρωσία, 7 από τις ΗΠΑ, οι υπόλοιποι από την Κίνα. Η σειρά με την οποία αγωνίζονται οι αθλήτριες καθορίζεται με κλήρωση. Βρείτε την πιθανότητα ο αθλητής που αγωνίζεται πρώτος να είναι από την Κίνα.

Σε αυτό το πρόβλημα, ο αριθμός των πιθανών αποτελεσμάτων είναι 20 - αυτός είναι ο αριθμός όλων των αθλητών.

Βρείτε τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων. Είναι ίσος με τον αριθμό των αθλητών από την Κίνα.

Με αυτόν τον τρόπο,

Απάντηση: 0,25

Παράδειγμα 3: Κατά μέσο όρο, από τις 1.000 αντλίες κήπου που πωλήθηκαν, οι 5 παρουσιάζουν διαρροή. Βρείτε την πιθανότητα να μην υπάρχει διαρροή σε μία τυχαία επιλεγμένη αντλία.

Σε αυτό το πρόβλημα n=1000.

Μας ενδιαφέρουν αντλίες που δεν έχουν διαρροές. Ο αριθμός τους είναι 1000-5=995. Εκείνοι.

Καθήκοντα για πιθανότητα ζαριώνόχι λιγότερο δημοφιλή από τα προβλήματα ρίψης νομισμάτων. Η κατάσταση ενός τέτοιου προβλήματος συνήθως ακούγεται ως εξής: όταν ρίχνετε ένα ή περισσότερα ζάρια(2 ή 3), ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι 10, ή ο αριθμός των πόντων είναι 4, ή το γινόμενο του αριθμού των σημείων, ή να διαιρείται με το 2 το γινόμενο του αριθμού των πόντων, και ούτω καθεξής επί.

Η εφαρμογή του κλασικού τύπου πιθανοτήτων είναι η κύρια μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου.

Ένας θάνατος, πιθανότητα.

Η κατάσταση είναι πολύ απλή με ένα ζάρι. καθορίζεται από τον τύπο: P=m/n, όπου m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το συμβάν, και n είναι ο αριθμός όλων των στοιχειωδών εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος με το πέταγμα μιας μήτρας ή μιας μήτρας.

Πρόβλημα 1. Ένα ζάρι ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;

Δεδομένου ότι το ζάρι είναι κύβος (ή ονομάζεται επίσης κανονικό ζάρι, ο κύβος θα πέσει σε όλα τα πρόσωπα με την ίδια πιθανότητα, αφού είναι ισορροπημένος), το ζάρι έχει 6 όψεις (ο αριθμός των πόντων από 1 έως 6, που συνήθως υποδεικνύονται με τελείες), που σημαίνει , ότι στην εργασία ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων: n=6. Το γεγονός ευνοείται μόνο από αποτελέσματα στα οποία μια όψη με ζυγά σημεία 2,4 και 6 πέφτει έξω, για έναν κύβο τέτοιων όψεων: m=3. Τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την επιθυμητή πιθανότητα ενός ζαριού: P=3/6=1/2=0,5.

Εργασία 2. Ένα ζάρι ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις τουλάχιστον 5 βαθμούς;

Ένα τέτοιο πρόβλημα επιλύεται κατ' αναλογία με το παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού, ο συνολικός αριθμός των εξίσου δυνατών αποτελεσμάτων είναι: n=6, και ικανοποιεί την προϋπόθεση του προβλήματος (τουλάχιστον 5 πόντοι έπεσαν έξω, δηλαδή έπεσαν 5 ή 6 πόντοι) μόνο 2 αποτελέσματα, που σημαίνει m =2. Στη συνέχεια, βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα: P=2/6=1/3=0,333.

Δύο ζάρια, πιθανότητα.

Όταν λύνετε προβλήματα με τη ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείτε έναν ειδικό πίνακα βαθμολογίας. Σε αυτό, ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο πρώτο ζάρι σχεδιάζεται οριζόντια και ο αριθμός των πόντων που έπεσαν στο δεύτερο ζάρι κατακόρυφα. Το τεμάχιο εργασίας μοιάζει με αυτό:

Όμως τίθεται το ερώτημα, τι θα υπάρχει στα άδεια κελιά του πίνακα; Εξαρτάται από την εργασία που πρέπει να λυθεί. Αν σε μια εργασία μιλαμεσχετικά με το άθροισμα των πόντων, τότε το άθροισμα καταγράφεται εκεί, και αν είναι για τη διαφορά, τότε η διαφορά καταγράφεται και ούτω καθεξής.

Πρόβλημα 3. Ρίχνονται 2 ζάρια ταυτόχρονα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ένα άθροισμα μικρότερο από 5 βαθμούς;

Πρώτα πρέπει να υπολογίσετε ποιος θα είναι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων του πειράματος. Όλα ήταν προφανή όταν ρίχνοντας ένα ζάρι 6 όψεις του κύβου - 6 αποτελέσματα του πειράματος. Αλλά όταν υπάρχουν ήδη δύο ζάρια, τότε τα πιθανά αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής (x, y), όπου το x δείχνει πόσοι πόντοι έπεσαν στο πρώτο ζάρι (από 1 έως 6) και y - πόσοι πόντοι έπεσαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Συνολικά θα υπάρχουν τέτοια αριθμητικά ζεύγη: n=6*6=36 (36 κελιά αντιστοιχούν σε αυτά στον πίνακα αποτελεσμάτων).

Τώρα μπορείτε να συμπληρώσετε τον πίνακα, για αυτό, ο αριθμός του αθροίσματος των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι εισάγεται σε κάθε κελί. Ο συμπληρωμένος πίνακας μοιάζει με αυτό:

Χάρη στον πίνακα, θα καθορίσουμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν τη διοργάνωση "πέφτει συνολικά λιγότερο από 5 βαθμούς". Ας μετρήσουμε τον αριθμό των κελιών, την τιμή του αθροίσματος στο οποίο θα βρίσκεται μικρότερο από τον αριθμό 5 (δηλαδή 2, 3 και 4). Για ευκολία, ζωγραφίζουμε πάνω από τέτοια κελιά, θα είναι m = 6:

Λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του πίνακα, πιθανότητα ζαριώνισούται με: P=6/36=1/6.

Πρόβλημα 4. Ρίχτηκαν δύο ζάρια. Να προσδιορίσετε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα φτιάξουμε έναν πίνακα με τα γινόμενα των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Σε αυτό, επιλέγουμε αμέσως αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:

Καταγράφουμε τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος n=36 (ο συλλογισμός είναι ίδιος με το προηγούμενο πρόβλημα) και τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) m=20. Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι: P=20/36=5/9.

Πρόβλημα 5. Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα η διαφορά μεταξύ του αριθμού των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι μεταξύ 2 και 5;

Να καθορίσει πιθανότητα ζαριώνΑς γράψουμε τον πίνακα διαφορών βαθμολογίας και ας επιλέξουμε εκείνα τα κελιά σε αυτόν, η τιμή της διαφοράς στα οποία θα είναι μεταξύ 2 και 5:

Ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των κελιών που σκιάζονται στον πίνακα) είναι ίσος με m=10, ο συνολικός αριθμός εξίσου πιθανών στοιχειώδη αποτελέσματαθα είναι n=36. Προσδιορίζει την πιθανότητα ενός συμβάντος: P=10/36=5/18.

Στην περίπτωση ενός απλού γεγονότος και όταν ρίχνετε 2 ζάρια, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, στη συνέχεια να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτό και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτό θα θεωρείται πιθανότητα.

Απάντηση αριστερά Επισκέπτης

Με ένα ζάρι, η κατάσταση είναι άσεμνα απλή. Να σας υπενθυμίσω ότι η πιθανότητα βρίσκεται με τον τύπο P=m/n
Π
=
Μ
n
, όπου n
n
- τον αριθμό όλων των εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του πειράματος με το πέταγμα μιας μήτρας ή μιας μήτρας, και m
Μ
- τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν την εκδήλωση.

Παράδειγμα 1. Ένα ζάρι ρίχνεται μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;

Αφού το ζάρι είναι κύβος (λέγουν και κανονικό ζάρι, δηλαδή ζάρι είναι ισορροπημένο, ώστε να πέφτει σε όλα τα πρόσωπα με την ίδια πιθανότητα), οι όψεις του ζαριού είναι 6 (με αριθμό πόντων από 1 έως 6, που συνήθως υποδεικνύονται με σημεία), μετά και ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων στην εργασία n=6
n
=
6
. Μόνο τέτοια αποτελέσματα είναι ευνοϊκά για το γεγονός όταν ένα πρόσωπο με 2, 4 ή 6 πόντους (μόνο ζυγοί) πέσει έξω, τέτοιες όψεις είναι m = 3
Μ
=
3
. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα είναι P=3/6=1/2=0,5
Π
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Παράδειγμα 2. Ένα ζάρι ρίχνεται. Βρείτε την πιθανότητα να πάρετε τουλάχιστον 5 βαθμούς.

Διαφωνούμε με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Ο συνολικός αριθμός των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη ενός ζαριού n=6
n
=
6
, και η συνθήκη "τουλάχιστον 5 βαθμοί έπεσαν έξω", δηλαδή "ή 5 ή 6 πόντοι έπεσαν έξω" ικανοποιείται από 2 αποτελέσματα, m=2
Μ
=
2
. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι P=2/6=1/3=0,333
Π
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Δεν βλέπω καν νόημα να δίνω περισσότερα παραδείγματα, ας περάσουμε σε δύο ζάρια, όπου όλα είναι πιο ενδιαφέροντα και πιο δύσκολα.

Δύο ζάρια

Όταν πρόκειται για προβλήματα με τη ρίψη 2 ζαριών, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα βαθμολογίας. Ας σχεδιάσουμε τον αριθμό των σημείων στην πρώτη μήτρα οριζόντια και τον αριθμό των σημείων της δεύτερης μήτρας κάθετα. Ας πάρουμε ένα τέτοιο κενό (συνήθως το κάνω στο Excel, μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο παρακάτω):

πίνακας βαθμολογίας για ρίψη 2 ζαριών
Και τι γίνεται με τα κελιά του πίνακα, ρωτάτε; Και εξαρτάται από το τι πρόβλημα θα λύσουμε. Θα υπάρχει μια εργασία σχετικά με το άθροισμα των πόντων - θα γράψουμε το άθροισμα εκεί, για τη διαφορά - θα σημειώσουμε τη διαφορά, και ούτω καθεξής. Ξεκινάμε;

Παράδειγμα 3. 2 ζάρια ρίχνονται ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα το συνολικό ρολό να είναι μικρότερο από 5.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων του πειράματος. όταν βάλαμε ένα ζάρι, όλα ήταν προφανή, 6 πρόσωπα - 6 αποτελέσματα. Υπάρχουν ήδη δύο οστά εδώ, επομένως τα αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως διατεταγμένα ζεύγη αριθμών της μορφής (x, y)
Χ
,
y
, όπου x
Χ
- πόσοι πόντοι έπεσαν στο πρώτο ζάρι (από 1 έως 6), y
y
- πόσοι πόντοι έπεσαν στο δεύτερο ζάρι (από 1 έως 6). Προφανώς, θα υπάρχουν n=6⋅6=36 τέτοια ζεύγη αριθμών
n
=
6
⋅
6
=
36
(και αντιστοιχούν σε μόλις 36 κελιά στον πίνακα αποτελεσμάτων).

Τώρα ήρθε η ώρα να συμπληρώσετε τον πίνακα. Σε κάθε κελί θα εισάγουμε το άθροισμα του αριθμού των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι και θα έχουμε την παρακάτω εικόνα:

πίνακας βαθμολογίας για ρίψη 2 ζαριών
Τώρα αυτός ο πίνακας θα μας βοηθήσει να βρούμε τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ευνοούν τα αποτελέσματα του συμβάντος "συνολικά λιγότερα από 5". Για να γίνει αυτό, μετράμε τον αριθμό των κελιών στα οποία η τιμή του αθροίσματος είναι μικρότερη από 5 (δηλαδή 2, 3 ή 4). Για λόγους σαφήνειας, θα ζωγραφίσουμε πάνω από αυτά τα κελιά, θα είναι m = 6
Μ
=
6
:

πίνακας αθροισμάτων πόντων μικρότεροι από 5 όταν ρίχνετε 2 ζάρια
Τότε η πιθανότητα είναι: P=6/36=1/6
Π
=
6
36
=
1
6
.

Παράδειγμα 4. Ρίχνονται δύο ζάρια. Να βρείτε την πιθανότητα το γινόμενο του αριθμού των σημείων να διαιρείται με το 3.

Φτιάχνουμε πίνακα με τα γινόμενα των πόντων που έπεσαν στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι. Επιλέξτε αμέσως σε αυτό εκείνους τους αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 3:

πίνακας βαθμολογίας για ρίψη 2 ζαριών
Μένει μόνο να σημειωθεί ότι ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων n=36
n
=
36
(δείτε το προηγούμενο παράδειγμα, ο συλλογισμός είναι ο ίδιος) και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των γεμισμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) m=20
Μ
=
20
. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος θα είναι ίση με P=20/36=5/9
Π
=
20
36
=
5
9
.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτού του είδους οι εργασίες, με την κατάλληλη προετοιμασία (για να διευθετηθούν μερικές ακόμη εργασίες), μπορούν να λυθούν γρήγορα και εύκολα. Για αλλαγή, ας κάνουμε μια ακόμη εργασία με έναν άλλο πίνακα (όλοι οι πίνακες μπορούν να ληφθούν στο κάτω μέρος της σελίδας).

Παράδειγμα 5. Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα η διαφορά μεταξύ του αριθμού των πόντων στο πρώτο και το δεύτερο ζάρι να είναι από 2 έως 5.

Ας γράψουμε τον πίνακα διαφορών βαθμολογίας, επιλέξτε τα κελιά σε αυτόν, στα οποία η τιμή της διαφοράς θα είναι μεταξύ 2 και 5:

πίνακας διαφοράς βαθμολογίας για ρίψη 2 ζαριών
Έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός εξίσου δυνατών στοιχειωδών αποτελεσμάτων n=36
n
=
36
, και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο αριθμός των γεμισμένων κελιών στον παραπάνω πίνακα) είναι m=10
Μ
=
10
. Τότε η πιθανότητα του γεγονότος θα είναι ίση με P=10/36=5/18
Π
=
10
36
=
5
18
.

Έτσι, στην περίπτωση που πρόκειται να ρίξουμε 2 ζάρια και απλό γεγονός, πρέπει να δημιουργήσετε έναν πίνακα, να επιλέξετε τα απαραίτητα κελιά σε αυτόν και να διαιρέσετε τον αριθμό τους με το 36, αυτή θα είναι η πιθανότητα. Εκτός από τις εργασίες για το άθροισμα, το γινόμενο και τη διαφορά του αριθμού των πόντων, υπάρχουν επίσης εργασίες σχετικά με το συντελεστή διαφοράς, τον μικρότερο και μεγαλύτερο αριθμό σημείων που έχουν πέσει έξω (μπορείτε να βρείτε κατάλληλους πίνακες στο αρχείο Excel) .