Πόσο εύκολο είναι να βρεις τον κοινό παρονομαστή δύο αριθμών. Τρόποι για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, το nok is και όλες τις εξηγήσεις

Εξετάστε τρεις τρόπους για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Εύρεση μέσω Factoring

Ο πρώτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντώντας τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το LCM των αριθμών: 99, 30 και 28. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:

Για να διαιρεθεί ο επιθυμητός αριθμός με το 99, το 30 και το 28, είναι απαραίτητο και αρκετό να περιλαμβάνει όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των διαιρετών. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των αριθμών στην υψηλότερη ισχύ και να τους πολλαπλασιάσουμε μαζί:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Άρα LCM (99, 30, 28) = 13.860. Κανένας άλλος αριθμός μικρότερος από το 13.860 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 99, το 30 ή το 28.

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δεδομένων αριθμών, πρέπει να τους αποσυνθέσετε σε πρώτους παράγοντες, στη συνέχεια να πάρετε κάθε πρώτο παράγοντα με τον μεγαλύτερο εκθέτη με τον οποίο εμφανίζεται και να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους παράγοντες μαζί.

Δεδομένου ότι οι συμπρώτες αριθμοί δεν έχουν κοινό πρωταρχικούς παράγοντες, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, τρεις αριθμοί: 20, 49 και 33 είναι συμπρώτοι. Έτσι

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Το ίδιο θα πρέπει να κάνετε όταν αναζητάτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των διαφόρων πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Εύρεση με επιλογή

Ο δεύτερος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο με προσαρμογή.

Παράδειγμα 1. Όταν ο μεγαλύτερος από τους δεδομένους αριθμούς διαιρείται ομοιόμορφα με άλλους δεδομένους αριθμούς, τότε το LCM αυτών των αριθμών είναι ίσο με τον μεγαλύτερο από αυτούς. Για παράδειγμα, δίνονται τέσσερις αριθμοί: 60, 30, 10 και 6. Καθένας από αυτούς διαιρείται με το 60, επομένως:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Σε άλλες περιπτώσεις, για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους δεδομένους αριθμούς.
Στη συνέχεια, βρείτε αριθμούς που είναι πολλαπλοί ο μεγαλύτερος αριθμός, πολλαπλασιάζοντάς το επί ακέραιοι αριθμοίμε αύξουσα σειρά και έλεγχος αν οι υπόλοιποι αριθμοί που δίνονται διαιρούνται με το γινόμενο που προκύπτει.

Παράδειγμα 2. Δίνονται τρεις αριθμοί 24, 3 και 18. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο από αυτούς - αυτός είναι ο αριθμός 24. Στη συνέχεια, βρείτε τα πολλαπλάσια του 24, ελέγχοντας εάν καθένας από αυτούς διαιρείται με το 18 και με το 3:

24 1 = 24 διαιρείται με το 3 αλλά δεν διαιρείται με το 18.

24 2 = 48 - διαιρείται με το 3 αλλά δεν διαιρείται με το 18.

24 3 \u003d 72 - διαιρείται με το 3 και το 18.

Άρα LCM(24, 3, 18) = 72.

Εύρεση με διαδοχική εύρεση LCM

Ο τρίτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βρίσκοντας διαδοχικά το LCM.

Το LCM δύο δεδομένων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το LCM δύο δεδομένων αριθμών: 12 και 8. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: GCD (12, 8) = 4. Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8) = 24.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

Αρχικά, βρίσκεται το LCM οποιωνδήποτε δύο από τους δεδομένους αριθμούς.
Στη συνέχεια, το LCM του ελάχιστου κοινού πολλαπλού που βρέθηκε και το τρίτο δεδομένου αριθμού.
Στη συνέχεια, το LCM του προκύπτοντος ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του τέταρτου αριθμού, και ούτω καθεξής.
Έτσι η αναζήτηση LCM συνεχίζεται όσο υπάρχουν αριθμοί.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το LCM τρία δεδομένααριθμοί: 12, 8 και 9. Το LCM των αριθμών 12 και 8 έχουμε ήδη βρει στο προηγούμενο παράδειγμα (αυτός είναι ο αριθμός 24). Απομένει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 24 και τον τρίτο δεδομένο αριθμό - 9. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: gcd (24, 9) = 3. Πολλαπλασιάστε το LCM με τον αριθμό 9:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8, 9) = 72.

Κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστέςπρώτα τα κλάσματα οδηγούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκουν έναν τέτοιο μόνο παρονομαστή, ο οποίος διαιρείται με τον αρχικό παρονομαστή κάθε αλγεβρικού κλάσματος που αποτελεί μέρος αυτής της έκφρασης.

Όπως γνωρίζετε, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, τότε η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει. Αυτή είναι η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Επομένως, όταν τα κλάσματα οδηγούν σε έναν κοινό παρονομαστή, στην πραγματικότητα, ο αρχικός παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα που λείπει σε έναν κοινό παρονομαστή. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον παράγοντα και τον αριθμητή του κλάσματος (είναι διαφορετικός για κάθε κλάσμα).

Για παράδειγμα, δίνεται το ακόλουθο άθροισμα αλγεβρικών κλασμάτων:

Απαιτείται η απλοποίηση της έκφρασης, δηλαδή η προσθήκη δύο αλγεβρικών κλασμάτων. Για να γίνει αυτό, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να μειωθούν οι όροι-κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή. Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε ένα μονώνυμο που να διαιρείται τόσο με το 3x όσο και με το 2y. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επιθυμητό να είναι το μικρότερο, δηλαδή να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) για 3x και 2y.

Για αριθμητικούς συντελεστές και μεταβλητές, το LCM αναζητείται χωριστά. LCM(3, 2) = 6 και LCM(x, y) = xy. Επιπλέον, οι τιμές που βρέθηκαν πολλαπλασιάζονται: 6xy.

Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε με ποιον παράγοντα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 3x για να έχουμε 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Αυτό σημαίνει ότι όταν ανάγεται το πρώτο αλγεβρικό κλάσμα σε κοινό παρονομαστή, ο αριθμητής του πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 2y (ο παρονομαστής έχει ήδη πολλαπλασιαστεί όταν ανάγεται σε κοινό παρονομαστή). Ο συντελεστής για τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος αναζητείται με παρόμοιο τρόπο. Θα είναι ίσο με 3x.

Έτσι, παίρνουμε:

Τότε μπορείτε ήδη να ενεργήσετε όπως με τα κλάσματα με ίδιοι παρονομαστές: προστίθενται αριθμητές και γράφεται ένας κοινός στον παρονομαστή:

Μετά από μετασχηματισμούς, προκύπτει μια απλοποιημένη έκφραση, η οποία είναι μία αλγεβρικό κλάσμα, που είναι το άθροισμα δύο πρωτότυπων:

Τα αλγεβρικά κλάσματα στην αρχική έκφραση μπορεί να περιέχουν παρονομαστές που είναι πολυώνυμα και όχι μονώνυμα (όπως στο παραπάνω παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, προτού βρείτε κοινό παρονομαστή, συνυπολογίστε τους παρονομαστές (αν είναι δυνατόν). Επιπλέον, ο κοινός παρονομαστής συλλέγεται από διαφορετικούς παράγοντες. Εάν ο παράγοντας είναι σε πολλούς αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται μία φορά. Αν ο πολλαπλασιαστής έχει διαφορετικούς βαθμούςστους αρχικούς παρονομαστές, τότε λαμβάνεται με μεγαλύτερο. Για παράδειγμα:

Εδώ το πολυώνυμο a 2 - b 2 μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο (a - b)(a + b). Ο παράγοντας 2a – 2b διευρύνεται ως 2(a – b). Έτσι, ο κοινός παρονομαστής θα είναι ίσος με 2(a - b)(a + b).

Για να λύσετε παραδείγματα με κλάσματα, πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε τον μικρότερο κοινό παρονομαστή. Παρακάτω είναι μια αναλυτική οδηγία.

Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - έννοια

Ελάχιστος κοινός παρονομαστής (LCD) με απλά λόγιαείναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με τους παρονομαστές όλων των κλασμάτων αυτό το παράδειγμα. Με άλλα λόγια, ονομάζεται Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM). Το NOZ χρησιμοποιείται μόνο εάν οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι διαφορετικοί.

Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή - παραδείγματα

Ας εξετάσουμε παραδείγματα εύρεσης NOZ.

Υπολογίστε: 3/5 + 2/15.

Λύση (ακολουθία ενεργειών):

Εξετάζουμε τους παρονομαστές των κλασμάτων, βεβαιωνόμαστε ότι είναι διαφορετικοί και οι εκφράσεις μειώνονται όσο το δυνατόν περισσότερο.
Βρίσκουμε μικρότερος αριθμός, που διαιρείται και με το 5 και με το 15. Αυτός ο αριθμός θα είναι 15. Έτσι, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Καταλάβαμε τον παρονομαστή. Τι θα υπάρχει στον αριθμητή; Ένας επιπλέον πολλαπλασιαστής θα μας βοηθήσει να το καταλάβουμε. Ένας επιπλέον παράγοντας είναι ο αριθμός που προκύπτει διαιρώντας το NOZ με τον παρονομαστή ενός συγκεκριμένου κλάσματος. Για 3/5, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3, αφού 15/5 = 3. Για το δεύτερο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 1, αφού 15/15 = 1.
Αφού ανακαλύψαμε τον πρόσθετο παράγοντα, τον πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές των κλασμάτων και προσθέτουμε τις τιμές που προκύπτουν. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Απάντηση: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Εάν στο παράδειγμα δεν προστεθούν ή αφαιρεθούν 2, αλλά 3 ή περισσότερα κλάσματα, τότε το NOZ πρέπει να αναζητηθεί για όσα κλάσματα δίνονται.

Υπολογίστε: 1/2 - 5/12 + 3/6

Λύση (ακολουθία ενεργειών):

Εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή. Ο ελάχιστος αριθμός που διαιρείται με το 2, το 12 και το 6 είναι το 12.
Παίρνουμε: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
Αναζητούμε επιπλέον πολλαπλασιαστές. Για 1/2 - 6; για 5/12 - 1; για 3/6 - 2.
Πολλαπλασιάζουμε με τους αριθμητές και εκχωρούμε τα αντίστοιχα πρόσημα: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Απάντηση: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Πολλαπλασιασμός "σταυρός"

Μέθοδος κοινού διαιρέτη

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Για να εκτιμήσετε πόση νίκη δίνει η λιγότερο κοινή μέθοδος πολλαπλών, δοκιμάστε να υπολογίσετε τα ίδια παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διασταύρωσης.

Κοινός παρονομαστής των κλασμάτων

Φυσικά, χωρίς αριθμομηχανή. Νομίζω ότι μετά από αυτό τα σχόλια θα είναι περιττά.

Δείτε επίσης:

Αρχικά ήθελα να συμπεριλάβω τις μεθόδους κοινού παρονομαστή στην παράγραφο "Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων". Αλλά αποδείχτηκε ότι υπήρχαν τόσες πολλές πληροφορίες και η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη (εξάλλου, όχι μόνο αριθμητικά κλάσματα), ότι είναι καλύτερο να μελετηθεί αυτό το θέμα χωριστά.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Και θέλουμε να διασφαλίσουμε ότι οι παρονομαστές θα γίνουν οι ίδιοι. Η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος έρχεται στη διάσωση, η οποία, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω, ακούγεται ως εξής:

Ένα κλάσμα δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Έτσι, εάν επιλέξετε σωστά τους παράγοντες, οι παρονομαστές των κλασμάτων θα είναι ίσοι - αυτή η διαδικασία ονομάζεται. Και καλούνται οι επιθυμητοί αριθμοί, «ισοπεδώνοντας» τους παρονομαστές.

Γιατί χρειάζεται να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μερικοί μόνο λόγοι:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
Επίλυση προβλημάτων σε μετοχές και ποσοστά. Ποσοστάείναι, στην πραγματικότητα, συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε αριθμούς που κάνουν τους παρονομαστές ίσους όταν πολλαπλασιάζονται. Θα εξετάσουμε μόνο τρία από αυτά - με σειρά αυξανόμενης πολυπλοκότητας και, κατά μία έννοια, αποτελεσματικότητας.

Πολλαπλασιασμός "σταυρός"

Ο απλούστερος και πιο αξιόπιστος τρόπος, που εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε "μπροστά": πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσο με το γινόμενοαρχικοί παρονομαστές. Ρίξε μια ματιά:

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ως πρόσθετους παράγοντες, θεωρήστε τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:

Ναι, είναι τόσο απλό. Εάν μόλις αρχίζετε να μαθαίνετε κλάσματα, είναι καλύτερο να εργαστείτε με αυτήν τη μέθοδο - έτσι θα ασφαλιστείτε από πολλά λάθη και θα έχετε εγγυημένα το αποτέλεσμα.

Το μόνο μειονέκτημα αυτή τη μέθοδο- πρέπει να μετρήσετε πολύ, επειδή οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται "σε όλη τη διάρκεια", και ως αποτέλεσμα μπορείτε να πάρετε πολύ μεγάλα νούμερα. Αυτό είναι το τίμημα της αξιοπιστίας.

Μέθοδος κοινού διαιρέτη

Αυτή η τεχνική βοηθά στη μεγάλη μείωση των υπολογισμών, αλλά, δυστυχώς, χρησιμοποιείται σπάνια. Η μέθοδος είναι η εξής:

Κοιτάξτε τους παρονομαστές προτού προχωρήσετε "μέσω" (δηλαδή, "διασταύρωση"). Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) να διαιρείται με το άλλο.
Ο αριθμός που προκύπτει από μια τέτοια διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για ένα κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
Ταυτόχρονα, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - αυτή είναι η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Σημειώστε ότι 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Εφόσον και στις δύο περιπτώσεις ο ένας παρονομαστής διαιρείται με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο, εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κοινών παραγόντων. Εχουμε:

Σημειώστε ότι το δεύτερο κλάσμα δεν πολλαπλασιάστηκε με τίποτα απολύτως. Μάλιστα, έχουμε μειώσει το ποσό των υπολογισμών στο μισό!

Παρεμπιπτόντως, πήρα τα κλάσματα σε αυτό το παράδειγμα για έναν λόγο. Αν σας ενδιαφέρει, δοκιμάστε να τα μετρήσετε χρησιμοποιώντας τη σταυρωτή μέθοδο. Μετά τη μείωση, οι απαντήσεις θα είναι ίδιες, αλλά θα υπάρχει πολύ περισσότερη δουλειά.

Αυτή είναι η δύναμη της μεθόδου. κοινούς διαιρέτες, αλλά, επαναλαμβάνω, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο αν ο ένας από τους παρονομαστές διαιρεθεί με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο. Κάτι που συμβαίνει αρκετά σπάνια.

Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος

Όταν ανάγουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, ουσιαστικά προσπαθούμε να βρούμε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές. Στη συνέχεια φέρνουμε τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων σε αυτόν τον αριθμό.

Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι αριθμοί, και ο μικρότερος από αυτούς δεν θα ισούται απαραίτητα με το άμεσο γινόμενο των παρονομαστών των αρχικών κλασμάτων, όπως υποτίθεται στη μέθοδο "διασταυρούμενη".

Για παράδειγμα, για τους παρονομαστές 8 και 12, ο αριθμός 24 είναι αρκετά κατάλληλος, αφού 24: 8 = 3. 24:12 = 2. Αυτός ο αριθμός είναι πολύς λιγότερο προϊόν 8 12 = 96.

Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται τους (LCM).

Σημείωση: το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b συμβολίζεται με LCM(a; b). Για παράδειγμα, LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Εάν καταφέρετε να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό, το συνολικό ποσό των υπολογισμών θα είναι ελάχιστο. Δείτε τα παραδείγματα:

Πώς να βρείτε τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή

Βρείτε τιμές έκφρασης:

Σημειώστε ότι 234 = 117 2; 351 = 117 3. Οι συντελεστές 2 και 3 είναι συμπρώτοι (δεν έχουν κοινούς διαιρέτες εκτός από το 1), και ο παράγοντας 117 είναι κοινός. Επομένως LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Ομοίως, 15 = 5 3; 20 = 5 4. Οι παράγοντες 3 και 4 είναι συμπρωτάρηδες και ο παράγοντας 5 είναι κοινός. Επομένως LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:

Σημειώστε πόσο χρήσιμη αποδείχθηκε η παραγοντοποίηση των αρχικών παρονομαστών:

Ανακαλύπτοντας ίδιοι πολλαπλασιαστές, φτάσαμε αμέσως στο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
Από την προκύπτουσα επέκταση, μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" για κάθε ένα από τα κλάσματα. Για παράδειγμα, 234 3 \u003d 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.

Μην νομίζετε ότι αυτά σύνθετα κλάσματαστα πραγματικά παραδείγματα δεν θα. Συναντιούνται συνεχώς, και οι παραπάνω εργασίες δεν είναι το όριο!

Το μόνο πρόβλημα είναι πώς να βρείτε αυτό το NOC. Μερικές φορές τα πάντα βρίσκονται σε λίγα δευτερόλεπτα, κυριολεκτικά "με το μάτι", αλλά γενικά αυτό είναι ένα σύνθετο υπολογιστικό πρόβλημα που απαιτεί ξεχωριστή εξέταση. Εδώ δεν θα θίξουμε αυτό.

Δείτε επίσης:

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Αρχικά ήθελα να συμπεριλάβω τις μεθόδους κοινού παρονομαστή στην παράγραφο "Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων". Υπήρχαν όμως τόσες πολλές πληροφορίες και η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη (εξάλλου, όχι μόνο τα αριθμητικά κλάσματα έχουν κοινούς παρονομαστές), που είναι καλύτερο να μελετήσουμε αυτό το θέμα χωριστά.

Ένα κλάσμα δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Γιατί χρειάζεται να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή;

Κοινός παρονομαστής, έννοια και ορισμός.

Εδώ είναι μερικοί μόνο λόγοι:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
Επίλυση προβλημάτων σε μετοχές και ποσοστά. Τα ποσοστά είναι, στην πραγματικότητα, συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.

Πολλαπλασιασμός "σταυρός"

Ο απλούστερος και πιο αξιόπιστος τρόπος, που εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε "μπροστά": πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών. Ρίξε μια ματιά:

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ως πρόσθετους παράγοντες, θεωρήστε τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:

Το μόνο μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι πρέπει να μετράτε πολύ, επειδή οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται "μπροστά", και ως αποτέλεσμα, μπορούν να ληφθούν πολύ μεγάλοι αριθμοί. Αυτό είναι το τίμημα της αξιοπιστίας.

Μέθοδος κοινού διαιρέτη

Κοιτάξτε τους παρονομαστές προτού προχωρήσετε "μέσω" (δηλαδή, "διασταύρωση"). Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) να διαιρείται με το άλλο.
Ο αριθμός που προκύπτει από μια τέτοια διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για ένα κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
Ταυτόχρονα, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - αυτή είναι η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Αυτή είναι η δύναμη της μεθόδου των κοινών διαιρετών, αλλά, και πάλι, μπορεί να εφαρμοστεί μόνο όταν ένας από τους παρονομαστές διαιρεθεί με τον άλλο χωρίς υπόλοιπο. Κάτι που συμβαίνει αρκετά σπάνια.

Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος

Για παράδειγμα, για τους παρονομαστές 8 και 12, ο αριθμός 24 είναι αρκετά κατάλληλος, αφού 24: 8 = 3. 24: 12 = 2. Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μικρότερος από το γινόμενο του 8 12 = 96.

Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται τους (LCM).

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:

Σημειώστε πόσο χρήσιμη αποδείχθηκε η παραγοντοποίηση των αρχικών παρονομαστών:

Έχοντας βρει τους ίδιους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
Από την προκύπτουσα επέκταση, μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" για κάθε ένα από τα κλάσματα. Για παράδειγμα, 234 3 \u003d 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.

Για να εκτιμήσετε πόση νίκη δίνει η λιγότερο κοινή μέθοδος πολλαπλών, δοκιμάστε να υπολογίσετε τα ίδια παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διασταύρωσης. Φυσικά, χωρίς αριθμομηχανή. Νομίζω ότι μετά από αυτό τα σχόλια θα είναι περιττά.

Μην νομίζετε ότι τέτοια σύνθετα κλάσματα δεν θα υπάρχουν σε πραγματικά παραδείγματα. Συναντιούνται συνεχώς, και οι παραπάνω εργασίες δεν είναι το όριο!

Δείτε επίσης:

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Ένα κλάσμα δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Γιατί χρειάζεται να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μερικοί μόνο λόγοι:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
Επίλυση προβλημάτων σε μετοχές και ποσοστά. Τα ποσοστά είναι, στην πραγματικότητα, συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.

Πολλαπλασιασμός "σταυρός"

Ο απλούστερος και πιο αξιόπιστος τρόπος, που εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε "μπροστά": πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών.

Ρίξε μια ματιά:

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ως πρόσθετους παράγοντες, θεωρήστε τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:

Μέθοδος κοινού διαιρέτη

Κοιτάξτε τους παρονομαστές προτού προχωρήσετε "μέσω" (δηλαδή, "διασταύρωση"). Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) να διαιρείται με το άλλο.
Ο αριθμός που προκύπτει από μια τέτοια διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για ένα κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
Ταυτόχρονα, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - αυτή είναι η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος

Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται τους (LCM).

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:

Σημειώστε πόσο χρήσιμη αποδείχθηκε η παραγοντοποίηση των αρχικών παρονομαστών:

Έχοντας βρει τους ίδιους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
Από την προκύπτουσα επέκταση, μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" για κάθε ένα από τα κλάσματα. Για παράδειγμα, 234 3 \u003d 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.

Δείτε επίσης:

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Ένα κλάσμα δεν αλλάζει αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Γιατί χρειάζεται να φέρετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή; Εδώ είναι μερικοί μόνο λόγοι:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να πραγματοποιηθεί αυτή η λειτουργία.
Σύγκριση κλασμάτων. Μερικές φορές η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή απλοποιεί πολύ αυτό το έργο.
Επίλυση προβλημάτων σε μετοχές και ποσοστά. Τα ποσοστά είναι, στην πραγματικότητα, συνηθισμένες εκφράσεις που περιέχουν κλάσματα.

Πολλαπλασιασμός "σταυρός"

Ο απλούστερος και πιο αξιόπιστος τρόπος, που εγγυάται την εξίσωση των παρονομαστών. Θα ενεργήσουμε "μπροστά": πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και το δεύτερο με τον παρονομαστή του πρώτου. Ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων θα γίνουν ίσοι με το γινόμενο των αρχικών παρονομαστών. Ρίξε μια ματιά:

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ως πρόσθετους παράγοντες, θεωρήστε τους παρονομαστές των γειτονικών κλασμάτων. Παίρνουμε:

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Αυτό είναι το τίμημα της αξιοπιστίας.

Μέθοδος κοινού διαιρέτη

Κοιτάξτε τους παρονομαστές προτού προχωρήσετε "μέσω" (δηλαδή, "διασταύρωση"). Ίσως το ένα από αυτά (αυτό που είναι μεγαλύτερο) να διαιρείται με το άλλο.
Ο αριθμός που προκύπτει από μια τέτοια διαίρεση θα είναι ένας πρόσθετος παράγοντας για ένα κλάσμα με μικρότερο παρονομαστή.
Ταυτόχρονα, ένα κλάσμα με μεγάλο παρονομαστή δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα - αυτή είναι η εξοικονόμηση. Ταυτόχρονα, η πιθανότητα λάθους μειώνεται απότομα.

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Ελάχιστη κοινή πολλαπλή μέθοδος

Ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους παρονομαστές ονομάζεται τους (LCM).

Εργο. Βρείτε τιμές έκφρασης:

Τώρα ας φέρουμε τα κλάσματα σε κοινούς παρονομαστές:

Σημειώστε πόσο χρήσιμη αποδείχθηκε η παραγοντοποίηση των αρχικών παρονομαστών:

Έχοντας βρει τους ίδιους παράγοντες, φτάσαμε αμέσως στο λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο, σε γενικές γραμμές, είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα.
Από την προκύπτουσα επέκταση, μπορείτε να μάθετε ποιοι παράγοντες "λείπουν" για κάθε ένα από τα κλάσματα. Για παράδειγμα, 234 3 \u003d 702, επομένως, για το πρώτο κλάσμα, ο πρόσθετος παράγοντας είναι 3.

Για να φέρετε τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, πρέπει: 1) να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων, θα είναι ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής. 2) βρείτε έναν πρόσθετο παράγοντα για καθένα από τα κλάσματα, για τον οποίο διαιρούμε τον νέο παρονομαστή με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος. 3) πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με τον πρόσθετο παράγοντα του.

Παραδείγματα. Να σμικρύνετε τα παρακάτω κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή.

Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: LCM(5; 4) = 20, αφού το 20 είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται και με το 5 και με το 4. Βρίσκουμε για το 1ο κλάσμα έναν επιπλέον παράγοντα 4 (20 : 5=4). Για το 2ο κλάσμα, ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής είναι 5 (20 : 4=5). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 4 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 20 ).

Ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι το 8, αφού το 8 διαιρείται με το 4 και τον εαυτό του. Δεν θα υπάρχει πρόσθετος πολλαπλασιαστής στο 1ο κλάσμα (ή μπορείτε να το πείτε αυτό ίσο με ένα), στο 2ο κλάσμα ο πρόσθετος παράγοντας είναι 2 (8 : 4=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 8 ).

Αυτά τα κλάσματα δεν είναι μη αναγώγιμα.

Μειώνουμε το 1ο κλάσμα κατά 4 και μειώνουμε το 2ο κλάσμα κατά 2. ( δείτε παραδείγματα για συντομογραφίες συνηθισμένα κλάσματα: Χάρτης ιστότοπου → 5.4.2. Παραδείγματα αναγωγής συνηθισμένων κλασμάτων). Βρείτε το LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 1ο κλάσμα είναι 5 (80 : 16=5). Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής για το 2ο κλάσμα είναι 4 (80 : 20=4). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 5 και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 4. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 80 ).

Βρείτε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή του NOC(5 ; 6 και 15) = LCM(5 ; 6 και 15)=30. Ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής στο 1ο κλάσμα είναι 6 (30 : 5=6), ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής στο 2ο κλάσμα είναι 5 (30 : 6=5), ο πρόσθετος πολλαπλασιαστής στο 3ο κλάσμα είναι 2 (30 : 15=2). Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 1ου κλάσματος με το 6, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 2ου κλάσματος με το 5, τον αριθμητή και τον παρονομαστή του 3ου κλάσματος επί 2. Μειώσαμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή ( 30 ).

Σελίδα 1 από 1 1