Κλασικοί και στατιστικοί ορισμοί της πιθανότητας. Κλασική και στατιστική πιθανότητα

Η τυχαιότητα της εμφάνισης γεγονότων συνδέεται με την αδυναμία πρόβλεψης εκ των προτέρων του αποτελέσματος μιας συγκεκριμένης δοκιμασίας. Ωστόσο, αν λάβουμε υπόψη, για παράδειγμα, το τεστ: πολλαπλή ρίψη νομίσματος, ω 1 , ω 2 , … , ω n , τότε αποδεικνύεται ότι περίπου στα μισά από τα αποτελέσματα ( n / 2) Βρίσκεται ένα συγκεκριμένο μοτίβο που αντιστοιχεί στην έννοια της πιθανότητας.

Υπό πιθανότηταεξελίξεις ΑΛΛΑκατανοείται κάποιο αριθμητικό χαρακτηριστικό της πιθανότητας εμφάνισης ενός γεγονότος ΑΛΛΑ. Δηλώνουμε αυτό το αριθμητικό χαρακτηριστικό R(ΑΛΛΑ). Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό της πιθανότητας. Τα κυριότερα είναι στατιστική, κλασική και γεωμετρική.

Αφήστε να παραχθεί nδοκιμές και ταυτόχρονα κάποιο γεγονός ΑΛΛΑήρθε nΜια φορές. Αριθμός nΤο Α λέγεται απόλυτη συχνότητα(ή απλώς τη συχνότητα) της εκδήλωσης ΑΛΛΑ, και η σχέση ονομάζεται η σχετική συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος Α.Σχετική συχνότητα οποιουδήποτε συμβάντος χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες ιδιότητες:

Η βάση για την εφαρμογή των μεθόδων της θεωρίας πιθανοτήτων στη μελέτη πραγματικών διεργασιών είναι η αντικειμενική ύπαρξη τυχαίων γεγονότων που έχουν την ιδιότητα της σταθερότητας συχνότητας. Πολυάριθμες δοκιμές του υπό μελέτη συμβάντος ΑΛΛΑδείχνουν ότι για μεγάλο nσχετική συχνότητα ( ΑΛΛΑ) παραμένει περίπου σταθερό.

Ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας έγκειται στο γεγονός ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος Α λαμβάνεται ως μια σταθερή τιμή p(A), γύρω από την οποία κυμαίνονται οι τιμές των σχετικών συχνοτήτων (ΑΛΛΑ) με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των δοκιμώνn.

Παρατήρηση 1. Σημειώστε ότι τα όρια μεταβολής της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος από το μηδέν στο ένα επιλέγονται από τον B. Pascal για την ευκολία του υπολογισμού και της εφαρμογής του. Σε αντιστοιχία με τον P. Fermat, ο Pascal επεσήμανε ότι οποιοδήποτε διάστημα θα μπορούσε να επιλεγεί ως το υποδεικνυόμενο διάστημα, για παράδειγμα, από το μηδέν έως το εκατό και άλλα διαστήματα. Στα παρακάτω προβλήματα σε αυτό το σεμινάριο, οι πιθανότητες δίνονται μερικές φορές ως ποσοστά, δηλ. από το μηδέν έως το εκατό. Στην περίπτωση αυτή, τα ποσοστά που δίνονται στις εργασίες πρέπει να μετατραπούν σε μετοχές, δηλ. διαιρέστε με το 100.

Παράδειγμα 1Διεξήγαγε 10 σειρές ρίψεων νομισμάτων, 1000 ρίψεις σε κάθε μία. Αξία ( ΑΛΛΑ) σε καθεμία από τις σειρές είναι 0,501. 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Αυτές οι συχνότητες συγκεντρώνονται γύρω R(ΑΛΛΑ) = 0,5.

Αυτό το παράδειγμα επιβεβαιώνει ότι η σχετική συχνότητα ( ΑΛΛΑ) είναι περίπου ίσο με R(ΑΛΛΑ), δηλ.

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα εξίσου δυνατό. Η ισοδυναμία των αποτελεσμάτων του πειράματος ολοκληρώνεται λόγω εκτιμήσεων συμμετρίας (όπως στην περίπτωση ενός νομίσματος ή ενός ζαριού). Τα προβλήματα στα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκτιμήσεις συμμετρίας είναι σπάνια στην πράξη. Σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να δοθούν λόγοι να πιστεύουμε ότι όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά. Από αυτή την άποψη, κατέστη απαραίτητο να εισαχθεί ένας άλλος ορισμός της πιθανότητας, που ονομάζεται στατιστικός. Για να δώσουμε αυτόν τον ορισμό, εισάγουμε πρώτα την έννοια της σχετικής συχνότητας ενός γεγονότος.

Σχετική συχνότητα συμβάντων, ή συχνότητα, είναι ο λόγος του αριθμού των πειραμάτων στα οποία εμφανίστηκε αυτό το συμβάν προς τον αριθμό όλων των πειραμάτων που εκτελέστηκαν. Ας υποδηλώσουμε τη συχνότητα του συμβάντος με , και μετά εξ ορισμού

(1.4.1)
όπου είναι ο αριθμός των πειραμάτων στα οποία εμφανίστηκε το συμβάν και είναι ο αριθμός όλων των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν.

Μια συχνότητα συμβάντος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες.

Οι παρατηρήσεις κατέστησαν δυνατό να διαπιστωθεί ότι η σχετική συχνότητα έχει τις ιδιότητες της στατιστικής σταθερότητας: σε διάφορες σειρές πολυωνυμικών δοκιμών (σε καθεμία από τις οποίες αυτό το συμβάν μπορεί να εμφανίζεται ή να μην εμφανίζεται), παίρνει τιμές αρκετά κοντά σε κάποια σταθερά. Αυτή η σταθερά, που είναι αντικειμενικό αριθμητικό χαρακτηριστικό του φαινομένου, θεωρείται η πιθανότητα αυτού του γεγονότος.

Πιθανότητασυμβάν ονομάζεται ο αριθμός γύρω από τον οποίο ομαδοποιούνται οι τιμές, η συχνότητα αυτού του συμβάντος σε διάφορες σειρές μεγάλου αριθμού δοκιμών.

Αυτός ο ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται στατιστικός.

Στην περίπτωση ενός στατιστικού ορισμού, μια πιθανότητα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1) η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα.
2) η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι μηδέν.
3) η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι μεταξύ μηδέν και ενός.
4) η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Παράδειγμα 1Από τα 500 εξαρτήματα που ελήφθησαν τυχαία, τα 8 ήταν ελαττωματικά. Βρείτε τη συχνότητα των ελαττωματικών εξαρτημάτων.

Λύση.Εφόσον σε αυτή την περίπτωση = 8, = 500, τότε σύμφωνα με τον τύπο (1.4.1) βρίσκουμε

Παράδειγμα 2. Ένα ζάρι ρίχνεται 60 φορές έξιεμφανίστηκε 10 φορές. Ποια είναι η συχνότητα εμφάνισης εξάρια?

Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι = 60, = 10, επομένως

Παράδειγμα 3Ανάμεσα σε 1000 νεογέννητα υπήρχαν 515 αγόρια.Ποιο είναι το ποσοστό γεννήσεων των αγοριών;
Λύση.Αφού σε αυτή την περίπτωση, , λοιπόν .

Παράδειγμα 4Ως αποτέλεσμα 20 βολών στο στόχο, δέχθηκαν 15 χτυπήματα. Ποια είναι η συχνότητα χτυπήματος;

Λύση.Αφού = 20, = 15, λοιπόν

Παράδειγμα 5Όταν πυροβολείτε σε στόχο, συχνότητα χτυπήματος = 0,75. Βρείτε τον αριθμό των χτυπημάτων με 40 βολές.

Λύση.Από τον τύπο (1.4.1) προκύπτει ότι . Από \u003d 0,75, \u003d 40, τότε . Έτσι δέχθηκαν 30 χτυπήματα.

Παράδειγμα 6 www.. 970 σπόροι φύτρωσαν από τους σπόρους που σπάρθηκαν Πόσοι σπόροι σπάρθηκαν;

Λύση.Από τον τύπο (1.4.1) προκύπτει ότι . Από τότε . Έτσι, σπάρθηκαν 1000 σπόροι.

Παράδειγμα 7Σε ένα τμήμα της φυσικής σειράς από το 1 έως το 20, βρείτε τη συχνότητα των πρώτων αριθμών.

Λύση.Στο υποδεικνυόμενο τμήμα της φυσικής σειράς αριθμών υπάρχουν οι ακόλουθοι πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. είναι συνολικά 8. Αφού = 20, = 8, τότε η επιθυμητή συχνότητα

Παράδειγμα 8Πραγματοποιήθηκαν τρεις σειρές επαναλαμβανόμενων ρίψεων ενός συμμετρικού νομίσματος, ο αριθμός των εμφανίσεων του εθνόσημου υπολογίστηκε: 1) = 4040, =2048, 2) = 12000, = 6019. 3) = 24000, = 12012. Βρείτε τη συχνότητα εμφάνισης του οικόσημου σε κάθε σειρά δοκιμών.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1.4.1) βρίσκουμε:

Σχόλιο.Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι, σε επαναλαμβανόμενες δοκιμές, η συχνότητα ενός συμβάντος διαφέρει ελάχιστα από την πιθανότητά του. Η πιθανότητα εμφάνισης του θυρεού κατά την ρίψη ενός κέρματος είναι p \u003d 1/2 \u003d 0,5, αφού σε αυτήν την περίπτωση n \u003d 2, m \u003d 1.

Παράδειγμα 9Μεταξύ των 300 εξαρτημάτων που κατασκευάστηκαν σε αυτόματο μηχάνημα, υπήρχαν 15 που δεν πληρούσαν το πρότυπο. Βρείτε τη συχνότητα εμφάνισης μη τυποποιημένων εξαρτημάτων.

Λύση.Σε αυτή την περίπτωση, n = 300, m = 15, άρα

Παράδειγμα 10Ο ελεγκτής, ελέγχοντας την ποιότητα 400 προϊόντων, διαπίστωσε ότι 20 από αυτά ανήκουν στη δεύτερη τάξη και τα υπόλοιπα στην πρώτη. Βρείτε τη συχνότητα των προϊόντων της πρώτης τάξης, τη συχνότητα των προϊόντων της δεύτερης τάξης.

Λύση.Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε τον αριθμό των προϊόντων της πρώτης τάξης: 400 - 20 = 380. Αφού n = 400, = 380, τότε η συχνότητα των προϊόντων της πρώτης τάξης

Ομοίως, βρίσκουμε τη συχνότητα των προϊόντων της δεύτερης τάξης:

Καθήκοντα

Το τμήμα τεχνικού ελέγχου βρήκε 10 μη τυποποιημένα είδη σε μια παρτίδα 1000 ειδών. Βρείτε τη συχνότητα κατασκευής ελαττωματικών προϊόντων.
Για τον προσδιορισμό της ποιότητας των σπόρων επιλέχθηκαν 100 σπόροι και σπάρθηκαν σε εργαστηριακές συνθήκες. 95 σπόροι έδωσαν κανονικό βλαστό. Ποια είναι η συχνότητα της κανονικής βλάστησης των σπόρων;
Να βρείτε τη συχνότητα εμφάνισης πρώτων αριθμών στα ακόλουθα τμήματα της φυσικής σειράς: α) από το 21 έως το 40. β) από 41 έως 50. γ) από 51 έως 70.
Να βρείτε τη συχνότητα εμφάνισης του αριθμού σε 100 ρίψεις ενός συμμετρικού νομίσματος. (Πειραματιστείτε μόνοι σας).
Βρείτε τη συχνότητα εμφάνισης ενός ζαριού έξι στις 90.
Κάνοντας συνέντευξη από όλους τους μαθητές του μαθήματος σας, προσδιορίστε τη συχνότητα των γενεθλίων που πέφτουν σε κάθε μήνα του έτους.
Βρείτε τη συχνότητα των λέξεων πέντε γραμμάτων σε οποιοδήποτε κείμενο εφημερίδας.

Απαντήσεις

0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. α) 0,2; β) 0,3; γ) 0,2.

Ερωτήσεις

Ποια είναι η συχνότητα ενός συμβάντος;
Ποια είναι η συχνότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος;
Ποια είναι η συχνότητα ενός αδύνατου γεγονότος;
Ποιο είναι το εύρος συχνοτήτων ενός τυχαίου συμβάντος;
Ποια είναι η συχνότητα του αθροίσματος δύο ασύνδετων γεγονότων;
Ποιος είναι ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας;
Ποιες είναι οι ιδιότητες της στατιστικής πιθανότητας;

Ετικέτες . Παρακολουθώ .

Προκειμένου να συγκριθούν ποσοτικά τα γεγονότα μεταξύ τους ανάλογα με το βαθμό της δυνατότητάς τους, είναι προφανώς απαραίτητο να συσχετιστεί ένας συγκεκριμένος αριθμός με κάθε γεγονός, που όσο μεγαλύτερος, τόσο πιο δυνατό είναι το γεγονός. Αποκαλούμε αυτόν τον αριθμό την πιθανότητα του συμβάντος. Με αυτόν τον τρόπο, πιθανότητα συμβάντοςείναι ένα αριθμητικό μέτρο του βαθμού αντικειμενικής δυνατότητας αυτού του γεγονότος.

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας, που προέκυψε από την ανάλυση του τζόγου και εφαρμόστηκε αρχικά διαισθητικά, θα πρέπει να θεωρηθεί ο πρώτος ορισμός της πιθανότητας.

Η κλασική μέθοδος προσδιορισμού της πιθανότητας βασίζεται στην έννοια των εξίσου πιθανών και ασυμβίβαστων γεγονότων, τα οποία είναι τα αποτελέσματα μιας δεδομένης εμπειρίας και αποτελούν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων.

Το απλούστερο παράδειγμα εξίσου δυνατών και ασυμβίβαστων γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι η εμφάνιση μιας ή της άλλης μπάλας από μια λάρνακα που περιέχει πολλές μπάλες του ίδιου μεγέθους, βάρους και άλλων απτών χαρακτηριστικών, που διαφέρουν μόνο ως προς το χρώμα, αναμειγνύονται καλά πριν τη βγάλουν. .

Επομένως, μια δοκιμή, τα αποτελέσματα της οποίας αποτελούν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων και εξίσου πιθανών γεγονότων, λέγεται ότι περιορίζεται στο σχήμα των δοχείων ή στο σχήμα των περιπτώσεων ή εντάσσεται στο κλασικό σχήμα.

Εξίσου πιθανά και ασύμβατα γεγονότα που αποτελούν μια πλήρη ομάδα θα ονομάζονται απλώς περιπτώσεις ή πιθανότητες. Επιπλέον, σε κάθε πείραμα, μαζί με τις περιπτώσεις, μπορούν να συμβούν πιο περίπλοκα γεγονότα.

Παράδειγμα: Κατά τη ρίψη ζαριών, μαζί με περιπτώσεις A i - i-σημεία που πέφτουν στην επάνω όψη, γεγονότα όπως B - ζυγός αριθμός πόντων που πέφτουν έξω, C - πολλαπλάσιο των τριών πόντων που πέφτουν έξω ...

Σε σχέση με κάθε γεγονός που μπορεί να συμβεί κατά την υλοποίηση του πειράματος, οι περιπτώσεις χωρίζονται σε ευνοϊκός, στο οποίο συμβαίνει αυτό το συμβάν και δυσμενές, στο οποίο δεν συμβαίνει το συμβάν. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το γεγονός Β ευνοείται από τις περιπτώσεις A 2 , A 4 , A 6 . γεγονός Γ - περιπτώσεις A 3 , A 6 .

κλασική πιθανότηταη εμφάνιση κάποιου γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των περιπτώσεων που ευνοούν την εμφάνιση αυτού του συμβάντος προς τον συνολικό αριθμό περιπτώσεων εξίσου πιθανών, ασυμβίβαστων, που αποτελούν μια πλήρη ομάδα σε μια δεδομένη εμπειρία:

όπου P(A)- πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α. Μ- αριθμός περιπτώσεων ευνοϊκών για το συμβάν Α. nείναι ο συνολικός αριθμός των περιπτώσεων.

Παραδείγματα:

1) (βλ. παράδειγμα παραπάνω) P(B)= , P(C) =.

2) Ένα δοχείο περιέχει 9 κόκκινες και 6 μπλε μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα μία ή δύο τυχαίες μπάλες να είναι κόκκινες.

ΑΛΛΑ- μια κόκκινη μπάλα τραβηγμένη τυχαία:

Μ= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

σι- δύο κόκκινες μπάλες που τραβήχτηκαν τυχαία:

Οι ακόλουθες ιδιότητες προκύπτουν από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας (δείξε τον εαυτό σου):

1) Η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι 0.

2) Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι 1.

3) Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος είναι μεταξύ 0 και 1.

4) Η πιθανότητα ενός γεγονότος αντίθετο από το γεγονός Α,

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι ο αριθμός των αποτελεσμάτων μιας δοκιμής είναι πεπερασμένος. Στην πράξη, όμως, πολύ συχνά γίνονται δίκες, οι πιθανές περιπτώσεις των οποίων είναι άπειρες. Επιπλέον, η αδυναμία του κλασικού ορισμού είναι ότι είναι πολύ συχνά αδύνατο να αναπαρασταθεί το αποτέλεσμα μιας δοκιμής με τη μορφή ενός συνόλου στοιχειωδών γεγονότων. Είναι ακόμη πιο δύσκολο να υποδείξουμε τους λόγους για τους οποίους θεωρούνται εξίσου πιθανά τα στοιχειώδη αποτελέσματα του τεστ. Συνήθως, η ισότητα των στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ συνάγεται από τις εκτιμήσεις της συμμετρίας. Ωστόσο, τέτοιες εργασίες είναι πολύ σπάνιες στην πράξη. Για αυτούς τους λόγους, μαζί με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, χρησιμοποιούνται και άλλοι ορισμοί της πιθανότητας.

Στατιστική ΠιθανότηταΤο συμβάν Α είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης αυτού του συμβάντος στις δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν:

πού είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν Α;

Σχετική συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος Α;

Ο αριθμός των δοκιμών στις οποίες εμφανίστηκε το συμβάν Α.

Ο συνολικός αριθμός δοκιμών.

Σε αντίθεση με την κλασική πιθανότητα, η στατιστική πιθανότητα είναι χαρακτηριστικό μιας πειραματικής.

Παράδειγμα: Για τον έλεγχο της ποιότητας των προϊόντων από μια παρτίδα, επιλέχθηκαν τυχαία 100 προϊόντα, μεταξύ των οποίων 3 προϊόντα αποδείχθηκαν ελαττωματικά. Προσδιορίστε την πιθανότητα γάμου.

Η στατιστική μέθοδος προσδιορισμού της πιθανότητας εφαρμόζεται μόνο σε εκείνα τα γεγονότα που έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:

Τα υπό εξέταση γεγονότα θα πρέπει να είναι τα αποτελέσματα μόνο εκείνων των δοκιμών που μπορούν να αναπαραχθούν απεριόριστες φορές κάτω από το ίδιο σύνολο συνθηκών.

Τα συμβάντα πρέπει να έχουν στατιστική σταθερότητα (ή σταθερότητα σχετικών συχνοτήτων). Αυτό σημαίνει ότι σε διαφορετικές σειρές δοκιμών, η σχετική συχνότητα του συμβάντος δεν αλλάζει σημαντικά.

Ο αριθμός των δοκιμών που καταλήγουν στο συμβάν Α πρέπει να είναι αρκετά μεγάλος.

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι οι ιδιότητες της πιθανότητας, που προκύπτουν από τον κλασικό ορισμό, διατηρούνται επίσης στον στατιστικό ορισμό της πιθανότητας.

Για πρακτική δραστηριότητα, είναι απαραίτητο να μπορείτε να συγκρίνετε γεγονότα ανάλογα με το βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους. Ας εξετάσουμε την κλασική περίπτωση. Μια λάρνακα περιέχει 10 μπάλες, 8 από τις οποίες είναι λευκές και 2 μαύρες. Προφανώς, το συμβάν «θα τραβηχτεί μια άσπρη μπάλα από τη λάρνακα» και το γεγονός «θα τραβηχτεί μια μαύρη μπάλα από τη λάρνακα» έχουν διαφορετικούς βαθμούς πιθανότητας εμφάνισής τους. Επομένως, για να συγκριθούν τα γεγονότα, χρειάζεται ένα συγκεκριμένο ποσοτικό μέτρο.

Ένα ποσοτικό μέτρο της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός είναι πιθανότητα . Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενοι είναι δύο ορισμοί της πιθανότητας ενός γεγονότος: ο κλασικός και ο στατιστικός.

Κλασικός ορισμόςη πιθανότητα σχετίζεται με την έννοια του ευνοϊκού αποτελέσματος. Ας σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αφήστε τα αποτελέσματα κάποιου τεστ να σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων και να είναι εξίσου πιθανά, δηλ. είναι μοναδικά δυνατές, ασυνεπείς και εξίσου δυνατές. Τέτοια αποτελέσματα ονομάζονται στοιχειώδη αποτελέσματα, ή περιπτώσεις. Λέγεται ότι η δοκιμή μειώνεται σε διάγραμμα περίπτωσηςή " σχήμα τεφροδόχου", επειδή οποιοδήποτε πιθανό πρόβλημα για μια τέτοια δοκιμή μπορεί να αντικατασταθεί από ένα αντίστοιχο πρόβλημα με δοχεία και μπάλες διαφορετικών χρωμάτων.

Έξοδος λέγεται ευνοϊκόςΕκδήλωση ΑΛΛΑαν η επέλευση της περίπτωσης αυτής συνεπάγεται την επέλευση του γεγονότος ΑΛΛΑ.

Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό πιθανότητα συμβάντος Το A είναι ίσο με τον λόγο του αριθμού των αποτελεσμάτων που ευνοούν αυτό το γεγονός προς τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων, δηλ.

(1.1)

όπου P(A)- η πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ; Μ- τον αριθμό των περιπτώσεων που ευνοούν την εκδήλωση ΑΛΛΑ; nείναι ο συνολικός αριθμός των περιπτώσεων.

Παράδειγμα 1.1.Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, είναι πιθανά έξι αποτελέσματα - απώλεια 1, 2, 3, 4, 5, 6 πόντων. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;

Λύση. Ολα n= 6 αποτελέσματα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων και είναι εξίσου πιθανά, δηλ. είναι μοναδικά δυνατές, ασυνεπείς και εξίσου δυνατές. Το γεγονός Α - "εμφάνιση ζυγού αριθμού πόντων" - ευνοείται από 3 αποτελέσματα (περιπτώσεις) - απώλεια 2, 4 ή 6 πόντων. Σύμφωνα με τον κλασικό τύπο για την πιθανότητα ενός γεγονότος, λαμβάνουμε

P(A) = = . ◄

Με βάση τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος, σημειώνουμε τις ιδιότητές του:

1. Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος βρίσκεται μεταξύ μηδέν και ενός, δηλ.

0 ≤ R(ΑΛΛΑ) ≤ 1.

2. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα.

3. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας ισχύει μόνο για εκείνα τα γεγονότα που μπορούν να εμφανιστούν ως αποτέλεσμα δοκιμών που έχουν συμμετρία πιθανών αποτελεσμάτων, δηλ. ανάγονται στο σύστημα των περιπτώσεων. Ωστόσο, υπάρχει μια μεγάλη κατηγορία γεγονότων των οποίων οι πιθανότητες δεν μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό.

Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι το νόμισμα είναι πεπλατυσμένο, τότε είναι προφανές ότι τα γεγονότα «εμφάνιση οικόσημο» και «εμφάνιση ουρών» δεν μπορούν να θεωρηθούν εξίσου πιθανά. Επομένως, ο τύπος για τον προσδιορισμό της πιθανότητας σύμφωνα με το κλασικό σχήμα δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση.

Ωστόσο, υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για την αξιολόγηση της πιθανότητας γεγονότων, με βάση το πόσο συχνά θα συμβεί ένα δεδομένο γεγονός στις δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας.

Στατιστική Πιθανότηταγεγονός Α είναι η σχετική συχνότητα (συχνότητα) της εμφάνισης αυτού του συμβάντος σε n δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, δηλ.

(1.2)

όπου R * (A)είναι η στατιστική πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ; w(A)είναι η σχετική συχνότητα του συμβάντος ΑΛΛΑ; Μείναι ο αριθμός των δοκιμών στις οποίες συνέβη το συμβάν ΑΛΛΑ; nείναι ο συνολικός αριθμός δοκιμών.

Σε αντίθεση με τις μαθηματικές πιθανότητες P(A)θεωρείται στον κλασικό ορισμό, η στατιστική πιθανότητα R * (A)είναι χαρακτηριστικό έμπειρος, πειραματικός. Με άλλα λόγια, η στατιστική πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑονομάζεται ο αριθμός, σε σχέση με τον οποίο η σχετική συχνότητα σταθεροποιείται (καθιερώνεται) w(A)με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των δοκιμών που πραγματοποιούνται υπό το ίδιο σύνολο συνθηκών.

Για παράδειγμα, όταν λένε για έναν σκοπευτή ότι χτυπά έναν στόχο με πιθανότητα 0,95, αυτό σημαίνει ότι από τις εκατό βολές που εκτοξεύτηκε από αυτόν υπό ορισμένες συνθήκες (ο ίδιος στόχος στην ίδια απόσταση, το ίδιο τουφέκι κ.λπ.). ), κατά μέσο όρο υπάρχουν περίπου 95 επιτυχημένοι. Φυσικά, δεν θα έχει κάθε εκατό 95 επιτυχημένες βολές, μερικές φορές θα υπάρχουν λιγότερες, μερικές φορές περισσότερες, αλλά κατά μέσο όρο, με επαναλαμβανόμενη επανάληψη βολής υπό τις ίδιες συνθήκες, αυτό το ποσοστό των χτυπημάτων θα παραμείνει αμετάβλητο. Ο αριθμός 0,95, που χρησιμεύει ως δείκτης της ικανότητας του σκοπευτή, είναι συνήθως πολύ σταθερός, δηλ. το ποσοστό των επιτυχιών στις περισσότερες βολές θα είναι σχεδόν το ίδιο για ένα δεδομένο σκοπευτή, μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις που αποκλίνει σημαντικά από τη μέση τιμή του.

Ένα άλλο μειονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ( 1.1 ), που περιορίζει την εφαρμογή του είναι ότι υποθέτει έναν πεπερασμένο αριθμό πιθανών αποτελεσμάτων δοκιμής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτό το μειονέκτημα μπορεί να ξεπεραστεί χρησιμοποιώντας τον γεωμετρικό ορισμό της πιθανότητας, δηλ. εύρεση της πιθανότητας να χτυπήσει ένα σημείο σε μια συγκεκριμένη περιοχή (τμήμα, τμήμα αεροπλάνου κ.λπ.).

Αφήστε μια επίπεδη φιγούρα σολαποτελεί μέρος μιας επίπεδης φιγούρας σολ(Εικ. 1.1). Στη φιγούρα σολμια τελεία ρίχνεται τυχαία. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της περιοχής σολ«ίσο» σε σχέση με το χτύπημα του με πεταμένο τυχαίο σημείο. Υποθέτοντας ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ- χτυπώντας ένα πεταχτό σημείο σε μια φιγούρα σολ- ανάλογο με το εμβαδόν αυτού του αριθμού και δεν εξαρτάται από τη θέση του σε σχέση με σολ, ούτε από τη φόρμα σολ, εύρημα

Ρύζι. 1.1 Εικ. 1.2

Παράδειγμα 1.2.Δύο μαθητές συμφώνησαν να συναντηθούν σε ένα συγκεκριμένο μέρος μεταξύ 10 και 11 το απόγευμα. Το πρώτο άτομο που φτάνει περιμένει το δεύτερο για 15 λεπτά και μετά φεύγει. Βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί η συνάντηση εάν κάθε μαθητής επιλέξει τυχαία την ώρα άφιξής του μεταξύ 10 και 11.

Λύση. Ας υποδηλώσουμε τις στιγμές άφιξης σε ορισμένο μέρος του πρώτου και του δεύτερου μαθητή, αντίστοιχα, μέσω Χκαι y. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων OxyΑς πάρουμε 10 ώρες ως σημείο εκκίνησης και 1 ώρα ως μονάδα μέτρησης. Με συνθήκη 0 ≤ Χ ≤ 1, 0 ≤ y≤ 1. Αυτές οι ανισότητες ικανοποιούνται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στο τετράγωνο OKLMμε πλευρά ίση με 1 (Εικ. 1.2). Εκδήλωση ΑΛΛΑ– μια συνάντηση δύο μαθητών – θα συμβεί εάν η διαφορά μεταξύ Χκαι οχι yθα ξεπεράσει τη 1/4 ώρα (σε απόλυτη τιμή), δηλ. | y – Χ| ≤ 0,25.

Η λύση σε αυτή την ανισότητα είναι η λωρίδα Χ – 0,25 ≤ y ≤ Χ+ 0,25 που είναι μέσα στο τετράγωνο σολαντιπροσωπεύει τη σκιασμένη περιοχή σολ. Με τον τύπο (1.3)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά. Η ισοδυναμία των αποτελεσμάτων του πειράματος συμπεραίνεται λόγω των εκτιμήσεων της συμμετρίας. Τα προβλήματα στα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκτιμήσεις συμμετρίας είναι σπάνια στην πράξη. Σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να δοθούν λόγοι να πιστεύουμε ότι όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά. Από αυτή την άποψη, κατέστη απαραίτητο να εισαχθεί ένας άλλος ορισμός της πιθανότητας, που ονομάζεται στατιστική. Ας εισαγάγουμε πρώτα την έννοια της σχετικής συχνότητας.

Σχετική συχνότητα συμβάντων, ή συχνότητα, είναι ο λόγος του αριθμού των πειραμάτων στα οποία συνέβη αυτό το συμβάν προς τον αριθμό όλων των πειραμάτων που έγιναν. Δηλώστε τη συχνότητα του συμβάντος ΑΛΛΑδιά μέσου W(A),έπειτα

όπου nείναι ο συνολικός αριθμός των πειραμάτων. Μείναι ο αριθμός των πειραμάτων στα οποία συνέβη το συμβάν ΑΛΛΑ.

Με έναν μικρό αριθμό πειραμάτων, η συχνότητα του συμβάντος είναι σε μεγάλο βαθμό τυχαία και μπορεί να διαφέρει σημαντικά από τη μια ομάδα πειραμάτων στην άλλη. Για παράδειγμα, με περίπου δέκα ρίψεις ενός νομίσματος, είναι πολύ πιθανό το εθνόσημο να εμφανίζεται 2 φορές (συχνότητα 0,2), με άλλες δέκα ρίψεις, μπορεί κάλλιστα να πάρουμε 8 οικόσημα (συχνότητα 0,8). Ωστόσο, όσο αυξάνεται ο αριθμός των πειραμάτων, η συχνότητα του συμβάντος χάνει όλο και περισσότερο τον τυχαίο χαρακτήρα της. Οι τυχαίες περιστάσεις που είναι εγγενείς σε κάθε μεμονωμένη εμπειρία αλληλοεξουδετερώνονται σε μια μάζα και η συχνότητα τείνει να σταθεροποιείται, πλησιάζοντας, με μικρές διακυμάνσεις, κάποια μέση σταθερή τιμή. Αυτή η σταθερά, που είναι αντικειμενικό αριθμητικό χαρακτηριστικό του φαινομένου, θεωρείται η πιθανότητα αυτού του γεγονότος.

Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας: πιθανότητασυμβάντα ονομάζεται ένας αριθμός γύρω από τον οποίο ομαδοποιούνται οι τιμές της συχνότητας ενός δεδομένου συμβάντος σε διάφορες σειρές μεγάλου αριθμού δοκιμών.

Η ιδιότητα της σταθερότητας της συχνότητας, που επαληθεύεται επανειλημμένα πειραματικά και επιβεβαιώνεται από την εμπειρία της ανθρωπότητας, είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές κανονικότητες που παρατηρούνται σε τυχαία φαινόμενα. Υπάρχει μια βαθιά σύνδεση μεταξύ της συχνότητας ενός γεγονότος και της πιθανότητας του, η οποία μπορεί να εκφραστεί ως εξής: όταν υπολογίζουμε τον βαθμό πιθανότητας ενός γεγονότος, συνδέουμε αυτήν την αξιολόγηση με μεγαλύτερη ή μικρότερη συχνότητα εμφάνισης παρόμοιων γεγονότων στην πράξη .

γεωμετρική πιθανότητα

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας προϋποθέτει ότι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένος. Στην πράξη, υπάρχουν πειράματα για τα οποία το σύνολο τέτοιων αποτελεσμάτων είναι άπειρο. Προκειμένου να ξεπεραστεί αυτό το μειονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας, που είναι ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε δοκιμές με άπειρο αριθμό αποτελεσμάτων, εισάγεται γεωμετρικές πιθανότητες - οι πιθανότητες ενός σημείου να πέσει σε μια περιοχή.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται μια τετραγωνισμένη περιοχή στο επίπεδο σολ, δηλ. περιοχή που έχει έκταση Σ Γ. Στην περιοχή του σολπεριέχει έκταση σολπεριοχή S g. Προς περιοχή σολμια τελεία ρίχνεται τυχαία. Θα υποθέσουμε ότι το σημείο ρίψης μπορεί να πέσει σε κάποιο σημείο της περιοχής σολμε πιθανότητα ανάλογη του εμβαδού αυτού του τμήματος και ανεξάρτητη από το σχήμα και τη θέση του. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑ- «χτυπώντας το ριχτό σημείο στην περιοχή σολ”, τότε η γεωμετρική πιθανότητα αυτού του γεγονότος καθορίζεται από τον τύπο:

Στη γενική περίπτωση, η έννοια της γεωμετρικής πιθανότητας εισάγεται ως εξής. Να δηλώσετε το μέτρο του εμβαδού σολ(μήκος, εμβαδόν, όγκος) διαμέσου μες ζ, και το μέτρο της περιοχής σολ- μέσω μες Γ ; ας επίσης ΑΛΛΑ– εκδήλωση «σημείο ρίψης χτυπά την περιοχή σολ, που περιέχεται στην περιοχή σολ". Ευκαιρία χτυπήματος περιοχής σολσημείο ρίχνεται στην περιοχή σολ, καθορίζεται από τον τύπο

Μια εργασία. Ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Μια κουκκίδα ρίχνεται τυχαία στον κύκλο. Ποια είναι η πιθανότητα να πέσει το σημείο στο τετράγωνο;

Λύση.Έστω η ακτίνα του κύκλου R, τότε το εμβαδόν του κύκλου είναι . Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι , τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραγώνου είναι . Η πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος ορίζεται ως ο λόγος του εμβαδού του τετραγώνου προς το εμβαδόν του κύκλου, δηλ. .

ερωτήσεις δοκιμής

1. Τι ονομάζεται τεστ (πείραμα);

2. Τι ονομάζεται γεγονός;

3. Ποιο γεγονός ονομάζεται α) αξιόπιστο; β) τυχαία; γ) αδύνατο;

4. Ποια γεγονότα ονομάζονται α) ασυμβίβαστα; β) άρθρωση;

5. Ποια γεγονότα ονομάζονται αντίθετα;Είναι α) ασύμβατα β) η άρθρωση είναι τυχαία;

6. Τι ονομάζεται πλήρης ομάδα τυχαίων γεγονότων;

7. Εάν τα γεγονότα δεν μπορούν να συμβούν όλα μαζί ως αποτέλεσμα της δοκιμής, θα είναι ασύμβατα κατά ζεύγη;

8. Να σχηματίζονται γεγονότα ΑΛΛΑκαι όλη η ομάδα;

9. Ποια στοιχειώδη αποτελέσματα ευνοούν αυτό το γεγονός;

10. Ποιος ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται κλασικός;

11. Ποια είναι τα όρια της πιθανότητας οποιουδήποτε γεγονότος;

12. Κάτω από ποιες συνθήκες εφαρμόζεται η κλασική πιθανότητα;

13. Κάτω από ποιες συνθήκες εφαρμόζεται η γεωμετρική πιθανότητα;

14. Ποιος ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται γεωμετρικός;

15. Ποια είναι η συχνότητα ενός συμβάντος;

16. Ποιος ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται στατιστικός;

Έλεγχος εργασιών

1. Από τα γράμματα της λέξης «ωδείο» εξάγεται τυχαία ένα γράμμα. Βρείτε την πιθανότητα αυτό το γράμμα να είναι φωνήεν. Βρείτε την πιθανότητα αυτό να είναι το γράμμα «ο».

2. Τα γράμματα «ο», «π», «σ», «τ» γράφονται σε πανομοιότυπες κάρτες. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί η λέξη "σχοίνι" σε κάρτες που απλώνονται τυχαία στη σειρά.

3. Στην ομάδα συμμετέχουν 4 γυναίκες και 3 άνδρες. Μεταξύ των μελών της ταξιαρχίας κληρώνονται 4 εισιτήρια για το θέατρο. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν 2 γυναίκες και 2 άνδρες μεταξύ των κατόχων εισιτηρίων;

4. Δύο ζάρια ρίχνονται. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των πόντων και στα δύο ζάρια να είναι μεγαλύτερο από 6.

5. Τα γράμματα l, m, o, o, t είναι γραμμένα σε πέντε όμοια φύλλα.Ποια είναι η πιθανότητα αφαιρώντας τα χαρτιά ένα-ένα τυχαία, να πάρουμε τη λέξη «σφυρί» με τη σειρά απελευθέρωσής τους; ?

6. Από τα 10 δελτία κερδίζουν τα 2. Ποια είναι η πιθανότητα ανάμεσα σε πέντε δελτία που βγαίνουν τυχαία, ένα να κερδίσει;

7. Ποια είναι η πιθανότητα σε έναν τυχαία επιλεγμένο διψήφιο αριθμό τα ψηφία να είναι τέτοια ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με μηδέν.

8. Επιλέγεται τυχαία ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει το 30. Βρείτε την πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι διαιρέτης του 30.

9. Επιλέγεται τυχαία ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει το 30. Βρείτε την πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 3.

10. Επιλέγεται τυχαία ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει το 50. Βρείτε την πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι πρώτος.